Xây dựng đường cong lãi suất chuẩn của việt nam

1

Môc lôc
BẢNG KÝ HIỆU VIẾT TẮT_______________________________________________________3
DANH MỤC BẢNG VÀ BIỂU ĐỒ__________________________________________________4
PHẦN MỞ ĐẦU_________________________________________________________________6
1. Tính cấp thiết của dự án....................................................................................................6
2. Mục tiêu của dự án...........................................................................................................6
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.....................................................................................7
4. Phương pháp nghiên cứu và số liệu sử dụng......................................................................7
5. Kết cấu của dự án.............................................................................................................8
PHẦN 1 CÁC MÔ HÌNH XÂY DỰNG ĐƯỜNG CONG LÃI SUẤT CHUẨN________________9
1.1. Các đường cong lãi suất hoàn vốn..................................................................................9
1.2. Các mô hình xây dựng đường cong lãi suất chuẩn.........................................................11
1.2.1. Mô hình một nhân tố.....................................................................................................................11
1.2.1.1. Mô hình Vasicek.....................................................................................................................13
1.2.1.2. Mô hình Merton.....................................................................................................................15
1.2.1.3. Mô hình Cox-Ingersoll-Ross (CIR)...........................................................................................16
1.2.2. Các mô hình tự do chênh lệch giá..................................................................................................18
1.2.2.1. Mô hình Ho-Lee......................................................................................................................19
1.2.2.2. Mô hình Hull-White................................................................................................................19
1.2.2.3. Mô hình Black-Derman-Toy (BDT)..........................................................................................20
1.2.3. Mô hình đa nhân tố.......................................................................................................................20
1.2.3.1. Mô hình hai nhân tố...............................................................................................................20
1.2.3.2. Mô hình đa nhân tố Heath-Jarrow-Morton (HJM).................................................................21
1.2.4. Các kỹ thuật sử dụng phương pháp tham số.................................................................................21
1.2.4.1. Mô hình Nelson-Siegel...........................................................................................................21
1.2.4.2. Mô hình hàm nối trục bậc ba (cubic spline model)...............................................................23
1.2.4.3. Mô hình hàm nối trục cơ bản (B-spline)................................................................................24

1.3. Điều kiện áp dụng các mô hình xây dựng đường cong lãi suất chuẩn.............................25

1.3.1. Yêu cầu của mô hình xây dựng đường cong lãi suất chuẩn...........................................................25
1.3.2. Điều kiện áp dụng của các mô hình xây dựng đường cong lãi suất chuẩn....................................26
a. Mô hình một nhân tố......................................................................................................................26
b. Mô hình đa nhân tố.........................................................................................................................27
c. Mô hình chênh lệch giá...................................................................................................................28
d. Mô hình sử dụng phương pháp tham số........................................................................................28

1.4. Thực tế xây dựng đường cong lãi suất chuẩn của một số nước......................................29
1.4.1.Thực tế của các nước......................................................................................................................29
1.4.1.1. Thực tế của Mỹ.......................................................................................................................29
1.4.1.2. Thực tế của Malaysia..............................................................................................................32
1.4.1.3. Thực tế của Singapore............................................................................................................34
1.4.2. Bài học từ việc xây dựng đường cong lãi suất chuẩn của các nước..............................................37

PHẦN 2 ĐẶC ĐIỂM THỊ TRƯỜNG CÁC CÔNG CỤ NỢ VIỆT NAM____________________41
2.1.Thị trường trái phiếu Chính phủ.....................................................................................41
2.1.1. Thực trạng thị trường trái phiếu Chính phủ..................................................................................41
2.1.1.1. Phát hành trái phiếu Chính phủ.............................................................................................42
2.1.1.2. Qui mô của thị trường............................................................................................................44


2

2.1.2. Đặc điểm thị trường trái phiếu Chính phủ.....................................................................................49
2.1.2.1. Tính thanh khoản của thị trường...........................................................................................49
2.1.2.2. Lãi suất TPCP..........................................................................................................................50

2.2. Thị trường trái phiếu doanh nghiệp..............................................................................55
2.2.1. Thực trạng thị trường trái phiếu doanh nghiệp.............................................................................55

2.2.1.1. Số lượng doanh nghiệp phát hành trái phiếu........................................................................55
2.2.1.2. Qui mô thị trường trái phiếu doanh nghiệp..........................................................................57

2.3. Thị trường tín dụng ngân hàng.....................................................................................64
2.3.1. Thị trường giữa tổ chức tín dụng và doanh nghiệp, cá nhân (thị trường 1).................................64
2.3.1.1. Thực trạng thị trường.............................................................................................................64
2.3.1.2. Đặc điểm thị trường...............................................................................................................66
2.3.2. Thị trường tiền tệ liên ngân hàng (thị trường 2)...........................................................................75
2.3.2.1. Thực trạng hoạt động thị trường...........................................................................................75
2.3.2.2. Đặc điểm thị trường trường tiền tệ liên ngân hàng..............................................................78

PHẦN 3 XÂY DỰNG ĐƯỜNG CONG LÃI SUẤT CHUẨN CỦA VIỆT NAM______________82
3.1. Quan điểm và thực tế xây dựng đường cong lãi suất hoàn vốn của Việt Nam.................82
3.1.1. Quan điểm xây dựng đường cong lãi suất chuẩn..........................................................................82
3.1.2. Đường cong lãi suất chuẩn hiện hành...........................................................................................83

3.2. Xây dựng đường cong lãi suất chuẩn của Việt Nam.......................................................86

3.2.1. Lựa chọn mô hình xây dựng đường cong lãi suất chuẩn cho Việt Nam........................................86
3.2.1.1. Xác định đường cong lãi suất hoàn vốn mục tiêu..................................................................86
3.2.1.2. Lựa chọn mô hình xây dựng đường cong lãi suất chuẩn.......................................................87
3.2.2. Lựa chọn lãi suất đầu vào cho mô hình Vacisek............................................................................89
3.2.2.1. Phương án 1: Sử dụng lãi suất đấu thầu nghiệp vụ thị trường mở 14 ngày.........................89
3.2.2.2. Phương án 2: Sử dụng lãi suất liên ngân hàng qua đêm.......................................................91
3.2.2.3. Phương án 3: Sử dụng cả lãi suất thị trường mở và lãi suất liên ngân hàng qua đêm..........92

3.3. Thử nghiệm xây dựng đường cong lãi suất chuẩn của Việt Nam....................................93
3.3.1. Hệ thống dữ liệu............................................................................................................................93
3.3.2. Xác định các thông số của mô hình................................................................................................95
3.3.3. Đường cong lãi suất mô phỏng......................................................................................................97

3.4. Kết luận..................................................................................................................... 102
KẾT LUẬN___________________________________________________________________104
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO_____________________________________________106
PHỤ LỤC____________________________________________________________________110


3

BẢNG KÝ HIỆU VIẾT TẮT
NHNN

Ngân hàng Nhà nước

TPCP
CSTT

Trái phiếu Chính phủ
Chính sách tiền tệ

BTC

Bộ Tài chính

KBNN

Kho bạc Nhà nước

NHTM

Ngân hàng thương mại

HNX

Sở giao dịch chứng khoán Hà Nội

HSX
TPKB
TCTD
NVTTM
TDNDTW
VKD

Sở giao dịch chứng khoán TP.HCM
Trái phiếu kho bạc
Tổ chức tín dụng
Nghiệpvụ thị trường mở
Tín dụng Nhân dân Trung ương
Vốn khả dụng

CSTT

Chính sách tiền tệ

TTTT

Thị trường tiền tệ

TTCK

Thị trường chứng khoán

GTCG

Giấy tờ có giá

OMO

Thị trường mở

CTNY

Công ty niêm yết

CTĐC

Công ty đại chúng

CTCP

Công ty cổ phần

TD

Tín dụng

VN

Việt Nam

BFV

Bloomberg Fair Value


4

DANH MỤC BẢNG VÀ BIỂU ĐỒ
1. Danh mục bảng
STT

Nội dung

Bảng 1.1

Đặc điểm của các mô hình xây dựng đường cong lãi suất chuẩn

Bảng 1.2

Điều kiện áp dụng các mô hình xây dựng đường cong lãi suất chuẩn

Bảng 2.1

Giá trị TPCP niêm yết tại Sở giao dịch chứng khoán

Bảng 2.2

Giá trị TPCP giao dịch và giá trị TPCP niêm yết

Bảng 2.3

Quy mô niêm yết tại HNX

Bảng 2.4

Số lượng thành viên thị trường mở

Bảng 2.5

Khối lượng trúng thầu và phương thức giao dịch OMO 2005 -2009

Bảng 2.6

Kết quả giao dịch trái phiếu tại HNX ngày 12/3/2010

Bảng 2.7

Tần suất giao dịch OMO 2005-2009

Bảng 2.8

Tỷ lệ trái phiếu trúng thầu/ trái phiếu gọi thầu

Bảng 2.9

Kế hoạch và thực hiện huy động TPCP 2008 – 2010

Bảng 2.10

Số lượng doanh nghiệp cả nước 2007-2009

Bảng 2.11

Số lượng Công ty đại chúng (2001-2009)

Bảng 2.12

Một số đợt phát hành trái phiếu doanh nghiệp tiêu biểu

Bảng 2.13

Cơ cấu trái phiếu phát hành của Việt Nam và một số nước 2009

Bảng 2.14

Một số đợt phát hành trái phiếu doanh nghiệp tiêu biểu

Bảng 2.15

Tốc độ tăng huy động vốn và cho dư nợ của hệ thống ngân hàng

Bảng 2.16

Lãi suất cho vay thỏa thuận cho các đối tượng theo Thông tư 01

Bảng 2.17

Lãi suất huy động và cho vay bình quân tháng 12/2009 (%/năm)

Bảng 2.18

Lãi suất cho vay bình quân tháng 02 - 3/2010

Bảng 2.19

Doanh số giao dịch trên TTTT liên ngân hàng


5

2. Danh mục biểu đồ
STT
Biểu đồ 1.1
Biểu đồ 1.2

Nội dung
Các dạng đường cong lãi suất hoàn vốn
Hình ảnh đường cong lãi suất chuẩn của Mỹ (tháng 12/2009)

Biểu đồ 1.3

Hình ảnh đường cong lãi suất chuẩn của Malaysia

Biểu đồ 1.4

Hình ảnh đường cong lãi suất chuẩn của Singapore

Biểu đồ 2.1

Giá trị TPCP phát hành 2006-2009

Lãi suất trúng thầu tín phiếu kho bạc, lãi suất cho vay ngắn hạn của
các ngân hàng (%/năm) 2000-2009
Lãi suất OMO và cặp lãi suất chỉ đạo của NHNN năm 2008
Lãi suất OMO và cặp lãi suất chỉ đạo của NHNN tháng 4/2010
Lãi suất trái TPCP mới phát hành, lãi suất hoàn vốn TPCP và lãi
suất tiền gửi NHCT Việt Nam
Vốn huy động qua TTCK
Giá trị trái phiếu doanh nghiệp phát hành
Tỷ trọng giá trị trái phiếu doanh nghiệp phát hành so với tổng vốn
huy động qua TTCK
Cơ cấu trái phiếu phát hành ở Việt Nam
Lãi suất danh nghĩa của trái phiếu doanh nghiệp
Tổng dư nợ tín dụng của hệ thống TCTD
Lãi suất cho vay ngắn hạn của NHTM
Diễn biến các mức lãi suất chủ đạo của NHNN,lãi suất tín dụng
ngân hàng 2007-2009
Diễn biến lãi suất cơ bản và lãi suất TDNH tháng 02 – 7/2009
Lãi suất thị trường tiền tệ liên ngân hàng (2005-2010)
Lãi suất qua đêm liên ngân hàng, lãi suất huy động và cho vay ngắn
hạn của các ngân hàng (2008-2010)
Hình dạng đường cong lãi suất chuẩn của Việt Nam trên Bloomberg
Diễn biến của lãi suất liên ngân hàng loại OND
Diễn biến lãi suất OMO 14 ngày
Diễn biến của lãi suất liên ngân hàng loại 1 tháng
Thiết lập các thông số của mô hình
Màn hình Solver
Màn hình Solver Options

Biểu đồ 2.2
Biểu đồ 2.3

Biểu đồ 2.4
Biểu đồ 2.5
Biểu đồ 2.6
Biểu đồ 2.7
Biểu đồ 2.8
Biểu đồ 2.9
Biểu đồ 2.10
Biểu đồ 2.11
Biểu đồ 2.12
Biểu đồ 2.13
Biểu đồ 2.14
Biểu đồ 2.15
Biểu đồ 2.16
Biểu đồ 3.1
Biểu đồ 3.2
Biểu đồ 3.3
Biểu đồ 3.4
Biểu đồ 3.5
Biểu đồ 3.6
Biểu đồ 3.7


6

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của dự án
Đường cong lãi suất chuẩn là một trong những chỉ báo kinh tế rất quan trọng
căn cứ vào nội dung thông tin mà nó phản ánh. Phần lớn các nước chọn lãi suất trái
phiếu kho bạc cho việc xây dựng đường cong lãi suất chuẩn. Song việc xác định
một hoặc một số lãi suất cụ thể và lựa chọn mô hình để xây dựng đường cong lãi

suất chuẩn không giống nhau giữa các nước.
Việt Nam đang tham gia sâu vào phân công lao động quốc tế, các giao dịch
vốn đang ngày càng được tự do hoá đòi hỏi phải được hỗ trợ bởi các các công cụ dự
báo vĩ mô theo chuẩn mực quốc tế phù hợp với đặc điểm của thị trường tài chính
Việt Nam. Việc nghiên cứu hình thành đường cong lãi suất chuẩn của Việt Nam sẽ
phần nào đáp ứng được yêu cầu này.
Đã có một số tổ chức công bố đường cong lãi suất chuẩn của Việt Nam trong
khoảng 2 năm trở lại đây dựa trên số liệu của lãi suất kho bạc. Tuy vậy căn cứ vào
đặc điểm của thị trưòng trái phiếu chỉnh phủ, các đường cong lãi suất chuẩn này
chưa phản ánh đầy đủ nội dung thông tin vốn có trong điều kiện cụ thể của Việt
Nam. Trong điều kiện cụ thể của Việt Nam khi mà thị trường trái phiếu chính phủ
đang còn rất mỏng, kỳ hạn trái phiếu chưa đa dạng, lãi suất thị trường chưa được tự
do hoá và tính thanh khoản của thị trường còn yếu thì việc lựa chọn một hoặc một
số loại lãi suất thay thế với mô hình phù hợp để xây dựng đường cong lãi suất chuẩn
là rất cần thiết.
Tiếp theo đề tài nghiên cứu khoa học cấp ngành "Hoàn thiện các điều kiện
xây dựng đường cong lãi suất chuẩn của Việt Nam", dự án "Xây dựng đường cong
lãi suất chuẩn của Việt Nam" hướng tới việc lựa chọn lãi suất thích hợp với mô
hình phản ánh tương thích, từ đó xây dựng đường cong lãi suất chuẩn của Việt
Nam.
2. Mục tiêu của dự án


7

- Khảo sát các mô hình xây dựng đường cong lãi suất và các điều kiện áp
dụng cho mỗi mô hình.
- Nghiên cứu thực tế xây dựng đường cong lãi suất chuẩn của một số nước từ
đó rút ra những bài học cần thiết cho Việt Nam.
- Phân tích đặc điểm thị trường các công cụ nợ và hệ thống lãi suất của Việt

Nam để lựa chọn các lãi suất thích hợp cho việc xây dựng đường cong lãi suất
chuẩn
- Lựa chọn mô hình tương thích với hệ thống số liệu và đặc điểm của VN để
xây dựng đường cong lãi suất chuẩn
- Xây dựng phần mềm mô phỏng phản ánh đường cong lãi suất của VN.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu các mô hình xây dựng đường cong lãi
suất chuẩn về lý thuyết, kinh nghiệm các nước và vận dụng cho Việt Nam.
- Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu thị trường các công cụ nợ Việt nam từ
năm 2000 mà chủ yếu từ năm 2005 đến nay để tìm ra loại lãi suất phù hợp sử dụng
cho mô hình xây dựng đường cong lãi suất chuẩn của Việt Nam.
4. Phương pháp nghiên cứu và số liệu sử dụng
- Sử dụng phương pháp nghiên cứu thực nghiệm, dựa trên đặc điểm và điều
kiện áp dụng các mô hình, kinh nghiệm của các nước trên thế giới trong việc xây
dựng mô hình cho đường cong lãi suất của Việt Nam.
- Số liệu lãi suất được thu thập từ Bộ tài chính, Uỷ ban chứng khoán Nhà
Nước, Ngân hàng Nhà nước và các websites được lựa chọn. Hệ thống số liệu này sẽ
được phân tích, lựa chọn và loại trừ tối đa các yếu tố “nhiễu” là sai lệch bản chất
của số liệu


8

- Mô hình đường cong lãi suất chuẩn của VN được xây dựng trên cơ sở vận
dụng những mô hình đã được sử dụng và có sự điều chỉnh phù hợp với điều thị
trường tài chính Việt nam
5. Kết cấu của dự án
Ngoài phần mở đầu, kết luận, dự án gồm 3 phần:
Phần 1: Các mô hình xây dựng đường cong lãi suất chuẩn

Phần 2: Đặc điểm thị trường các công cụ nợ Việt Nam
Phần 3. Xây dựng đường cong lãi suất chuẩn của Việt nam


9

PHẦN 1

CÁC MÔ HÌNH XÂY DỰNG ĐƯỜNG CONG LÃI SUẤT CHUẨN
1.1. Các đường cong lãi suất hoàn vốn
Đường cong lãi suất hoàn vốn (yield curve): được hình thành bằng cách
minh họa các mức lãi suất hoàn vốn của các trái phiếu chỉ khác nhau về kỳ hạn đáo
hạn trên cùng một đồ thị.
Biểu đồ 1.1: Các dạng đường cong lãi suất hoàn vốn

Đường cong lãi suất hoàn vốn đến kỳ đáo hạn (yield-to-maturity yield
curve): được hình thành bằng cách minh họa các mức lãi suất hoàn vốn đến kỳ đáo
hạn của các trái phiếu chỉ khác nhau về kỳ hạn đáo hạn trên cùng một đồ thị. Đường
cong lãi suất hoàn vốn đến kỳ đáo hạn là đường cong quan sát được phổ biến nhất
vì nó là công cụ đo lợi nhuận được sử dụng thường xuyên nhất. Thông thường,
người ta hay niêm yết đường cong này trên các phương tiện thông tin đại chúng
trong chuyên mục về lĩnh vực tài chính. Hạn chế chủ yếu của đường cong lãi suất
hoàn vốn là được hình thành trên giả định về việc tái đầu tư coupon (phiếu lợi tức)
ở một mức tỷ suất cố định trong suốt kỳ hạn của trái phiếu. Tuy nhiên, trong thực
tế, lãi suất thị trường biến động theo thời gian. Điều này khiến giả định nêu trên khó
có thể được thỏa mãn trong thực tế và là nguyên nhân dẫn đến rủi ro tái đầu tư. Chỉ


10

có những người nắm giữ trái phiếu chiết khấu mới tránh được rủi ro tái đầu tư vì
không có coupon được trả trong suốt kỳ hạn của trái phiếu chiết khấu.
Bên cạnh đó, đường cong lãi suất hoàn vốn đến kỳ đáo hạn cũng không chỉ
ra được sự khác biệt giữa các cách thức thanh toán khác nhau của các trái phiếu có
coupon khác nhau. Ví dụ: các trái phiếu có coupon thấp thì thường thanh toán dòng
tiền với tỷ trọng cao dần khi càng gần ngày đáo hạn so với các trái phiếu có coupon
cao. Điều này xảy ra vì đường cong lãi suất hoàn vốn đến kỳ đáo hạn cũng giả định
là cách thức thanh toán dòng tiền mặt là như nhau cho tất cả các loại trái phiếu. Do
đó, các dòng tiền không được chiết khấu theo đúng tỷ suất phù hợp với các trái
phiếu trong cùng một nhóm được dùng để xây dựng đường cong. Để khắc phục vấn
đề này, các nhà phân tích trái phiếu đôi khi xây dựng nên đường cong lãi suất hoàn
vốn đến kỳ đáo hạn của các trái phiếu có cùng mức coupon (coupon yield curve).
Đường cong lãi suất hoàn vốn đến kỳ đáo hạn của các trái phiếu có cùng
mức coupon (coupon yield curve): minh họa lãi suất hoàn vốn đến kỳ đáo hạn của
các trái phiếu có cùng mức coupon và chỉ khác nhau về kỳ hạn đáo hạn lên cùng
một đồ thị. Đường cong này thì có thể chỉ ra được rằng các trái phiếu có coupon cao
thì có lãi suất hoàn vốn cao tương đối so với các trái phiếu có coupon thấp. Nói
cách khác, khi biểu diễn trên cùng một đồ thị thì đường cong lãi suất hoàn vốn của
các trái phiếu trả coupon cao sẽ nằm phía trên đường cong biểu diễn lãi suất hoàn
vốn của các trái phiếu trả coupon thấp. Tuy nhiên, do hạn chế của số liệu nên việc
xây dựng đường cong này không phải là dễ.
Đường cong lãi suất hoàn vốn của trái phiếu được giao dịch với giá bằng
mệnh giá (par yield curve): minh họa các mức lãi suất hoàn vốn đến kỳ đáo hạn của
các trái phiếu hiện hành chỉ khác nhau về kỳ hạn và đều được giao dịch ở mức gần
bằng mệnh giá. Lãi suất hoàn vốn trong trường hợp này sẽ bằng với lãi suất coupon
đối với các trái phiếu được định giá bằng mệnh giá hoặc gần bằng mệnh giá (vì lãi
suất hoàn vốn đến kỳ đáo hạn của các trái phiếu giao dịch tại giá bằng mệnh giá
bằng lãi suất coupon). Tuy nhiên, đường cong này thường được sử dụng trên thị
trường sơ cấp để giải quyết các vấn đề liên quan đến việc xác định mức coupon cho

11

đợt phát hành trái phiếu mới với giá phát hành bằng mệnh giá. Nếu các trái phiếu
trên thị trường được giao dịch ở mức giá thấp hơn rất nhiều so với mệnh giá thì
không thể xây dựng đường cong loại này một cách trực tiếp mà phải gián tiếp thông
qua đường cong lãi suất hoàn vốn giao ngay.
Cấu trúc kỳ hạn của lãi suất (the term structure of interest rates): chính là
đường cong lãi suất hoàn vốn của trái phiếu chiết khấu (zero-coupon yield curve)
hay đường cong lãi suất hoàn vốn giao ngay (spot yield curve). Lãi suất hoàn vốn
của trái phiếu chiết khấu được coi là lãi suất hoàn vốn chính xác nhất nếu người ta
nắm giữ trái phiếu này đến khi đáo hạn. Do không có rủi ro tái đầu tư và không có
luồng tiền phát sinh trong kỳ như các loại trái phiếu coupon nên lãi suất hoàn vốn
của trái phiếu chiết khấu khắc phục được hạn chế của hai giả định được sử dụng để
xây dựng đường cong lãi suất hoàn vốn đến kỳ đáo hạn như đã trình bày ở trên.
Đối với các thị trường mà trái phiếu chiết khấu được giao dịch phổ biến với
kỳ hạn phong phú, người ta có thể xây dựng được đường cong trái phiếu chiết khấu
một cách trực tiếp trên cơ sở các dữ liệu quan sát được. Ngược lại, đối với các thị
trường trái phiếu chiết khấu kém thanh khoản thì người ta cũng có thể xây dựng
được đường cong lãi suất hoàn vốn giao ngay một cách gián tiếp từ một đường cong
lãi suất hoàn vốn đến kỳ đáo hạn thông thường tương ứng. Trong dự án này, chúng
tôi sử dụng cụm từ “cấu trúc kỳ hạn của lãi suất” và “đường cong lãi suất hoàn vốn
của trái phiếu chiết khấu” hoặc “đường cong lãi suất hoàn vốn giao ngay” với ý
nghĩa tương đương nhau.
1.2. Các mô hình xây dựng đường cong lãi suất chuẩn
1.2.1. Mô hình một nhân tố
Mô hình một nhân tố là loại mô hình cho phép xây dựng được một cấu trúc
kỳ hạn hoàn chỉnh từ một loại lãi suất ngắn hạn. Chúng ta có thể minh họa quá trình
này bằng cách chỉ ra phương pháp sử dụng các mô hình để định giá trái phiếu chiết
khấu với bất cứ kỳ hạn nào.

12

Loại mô hình này thuộc dạng mô hình điểm cân bằng của cấu trúc kỳ hạn và
được xây dựng dựa trên mô hình cân bằng tổng thể của nền kinh tế. Các mô hình
này thường sử dụng các tham số cố định mà quan trọng nhất là sự biến động của
chuỗi số liệu là ổn định và các tham số thực tế được sử dụng để hình thành cấu trúc
kỳ hạn đều được ước lượng từ số liệu lịch sử. Tuy nhiên, người ta thường dùng các
tham số được ước lượng từ bộ số liệu thực tế và các biến động của bộ số liệu thực tế
đó được suy ra từ giá của các hợp đồng kỳ hạn được mua đi bán lại.
Giả định P(t , T ) là giá của một trái phiếu chiết khấu phi rủi ro tại thời điểm t,
đáo hạn tại thời điểm T và có giá trị tại thời điểm đáo hạn là 1. Mức giá này là một
quá trình ngẫu nhiên mặc dù chúng ta đều biết giá tại thời điểm đáo hạn là 1. Giả
định rằng một nhà đầu tư giữ trái phiếu này bằng cách vay một lượng giá trị Ct để
tài trợ. Vì vậy tại bất kỳ thời điểm t giá trị đoản của dòng tiền phải là Ct = − P (t , T )
nếu không sẽ có hoạt động kinh doanh chênh lệch giá diễn ra. Giá trị của dòng tiền
đoản sẽ tăng dần theo một tỷ lệ được gọi là lãi suất phi rủi ro ngắn hạn r(t) tại thời
điểm t được tính như sau:
dCt
= r ( t ) Ct
dt

(1.1)

Lấy tích phân phương trình trên chúng ta thu được:
Ct = C0 exp

( ∫ r ( s ) ds )
t

0

(1.2)

trong đó: C0 và Ct lần lượt là giá trị dòng tiền để tài trợ việc nắm giữ trái phiếu tại
thời điểm gốc và thời điểm t; r(s) là hàm lãi suất ngắn hạn với s chạy từ 0 đến t.
Như vậy, quá trình ngẫu nhiên của hai vế trong phương trình (1.2) là như
nhau và giá trị kỳ vọng của hai vế là như nhau. Do đó, chúng ta có thể sử dụng để
tính giá của một trái phiếu chiết khấu tại bất kỳ thời điểm t như sau:
P (t , T ) = E exp


( ∫ r ( s ) ds ) 
T

0

(1.3)


13

Một khi chúng ta xây dựng được một công thức mô tả quá trình ngẫu nhiên
của lãi suất ngắn hạn r thì chúng ta có thể tính toán được giá và lãi suất hoàn vốn cụ
thể của một trái phiếu chiết khấu tại bất kỳ thời điểm nào bằng cách tính giá trị kỳ
vọng nêu trên. Ý nghĩa của mô hình nói trên là: Nếu xác định được quá trình lãi
suất ngắn hạn r ( t ) quyết định đến diễn biến của toàn bộ cấu trúc kỳ hạn thì chúng
ta có thể xây dựng được mô hình cấu trúc kỳ hạn chỉ cần thông qua việc xác định
được quá trình lãi suất ngắn hạn r ( t ) .

Vì vậy, mô hình lãi suất ngắn hạn liên quan đến sự biến động của lãi suất
hoàn vốn của trái phiếu và có thể sử dụng để hình thành nên cấu trúc kỳ hạn của lãi
suất, định giá trái phiếu với mọi kỳ hạn đáo hạn. Các mô hình cơ bản chủ yếu là mô
hình một nhân tố trong đó miêu tả quá trình lãi suất ngắn hạn r dưới dạng một
nguồn của sự bất ổn định như sau:
dr = µ r ( t ) dt + σ r ( t ) dW

(1.4)

trong đó µ là tỷ lệ thay đổi trung bình của lãi suất ngắn hạn, σ là độ lệch chuẩn
của lãi suất ngắn hạn r. Tất cả các khái niệm này được giả định rằng hàm của lãi
suất ngắn hạn và độc lập theo thời gian. Giả định quan trọng của mô hình một
nhân tố là tất cả các lãi suất biến động cùng chiều.
1.2.1.1. Mô hình Vasicek
Mô hình này được xây dựng dựa trên ba giả định quan trọng.
Giả định thứ nhất là lãi suất ngắn hạn tuân theo một quy trình có tính thống
kê được mô tả như sau:
dr = a ( b − r ) dt + σ dW

(1.5)

Mô hình này đề cập đến vấn đề hồi phục trung bình. Đây là một quá trình mà
trong đó nếu lãi suất ngắn hạn cao thì nó sẽ có xu hướng quay trở lại mức lãi suất
dài hạn trung bình; khi lãi suất ngắn hạn thấp thì nó sẽ có xu hướng tăng lên để trở
về mức trung bình. Trong mô hình của Vasicek, lãi suất ngắn hạn đươc kéo về mức


14

lãi suất trung bình dài hạn b với tốc độ a. Quy trình hồi phục trung bình được phản

ánh bởi khái niệm thống kê σ dW tuân theo phân phối chuẩn.
Giả định thứ hai là giá của một trái phiếu chiết khấu P ( t , T ) được quyết định
bởi việc đánh giá tại thời điểm t về giá trị của lãi suất giao ngay r ( τ ) với t ≤ τ ≤ T
trong suốt kỳ hạn còn lại của trái phiếu.
Giả định thứ ba là thị trường hiệu quả. Điều này có nghĩa là không có chi phí
giao dịch, thông tin là có sẵn đối với mọi nhà đầu tư và mỗi nhà đầu tư đều hành xử
một cách hợp lý (hàm ý là mỗi nhà đầu tư đều mong muốn có nhiều tài sản hơn và
sử dụng tất cả các thông tin có sẵn để ra quyết định). Giả định này cũng hàm ý rằng
cách nhà đầu tư có kỳ vọng đồng nhất và do đó không có chỗ cho hành vi kinh
doanh chênh lệch giá phi rủi ro và sinh lời.
Như vậy, với giả định thứ nhất thì sự phát triển của quy trình lãi suất giao
ngay trong một khoảng thời gian ( t , T ) , t ≤ T chỉ phụ thuộc vào giá trị hiện hành r ( t )
, với các giá trị nhận tại các thời điểm trước t là biết trước. Giả định thứ hai hàm ý
rằng mức giá P ( t , T ) là một hàm số của r ( t ) . Nói cách khác, kỳ vọng được hình
thành từ những hiểu biết về toàn bộ quá trình phát triển trong quá khứ của lãi suất ở
tất cả kỳ hạn đáo hạn.
Từ ba giả định trên và sử dụng quá trình biến đổi toán học, Vasicek đưa ra
giá tại thời điểm t của một trái phiếu chiết khấu có kỳ hạn đáo hạn T là:
P(t,T)=A(t,T)e-B(t,T)r(t)

(1.6)

Trong đó: r ( t ) là giá trị của lãi suất ngắn hạn r tại thời điểm t,
B ( t, T ) =

1 − e − A(t −T )
a

(1.7)

(

)

 B ( t , T ) − ( T − t ) a 2b − ( σ 2 / 2 ) σ 2 B ( t , T ) 2 

A ( t , T ) = exp 
−

a2
4a




(1.8)


15

B ( t , T ) , A ( t , T ) là nghiệm của phương trình vi phân từng phần xây dựng trên

cơ sở ba giả định của mô hình mà giá của trái phiếu chiết khấu tại thời điểm t, đáo
hạn tại thời điểm T. P ( t , T ) phải thỏa mãn với điều kiện biên là giá tại thời điểm đáo
hạn P ( T , T ) = 1 .
Trên cơ sở công thức tính giá trái phiếu (1.6), cuối cùng chúng ta thu được
công thức miêu tả cấu trúc kỳ hạn hoàn chỉnh là một hàm của lãi suất ngắn hạn r ( t )
với các tham số a, b và độ lệch chuẩn của phân phối lãi suất đó σ như sau:
r ( t, T ) = −

1
1
ln A ( t , T ) +
B ( t,T ) r ( T )
T −t
T −t

(1.9)

Công thức (1.9) nói lên rằng r ( t , T ) , lãi suất hoàn vốn của một trái phiếu
chiết khấu tại thời điểm t đáo hạn tại thời điểm T, là một hàm tuyến tính của lãi suất
ngắn hạn r ( t ) và giá trị của lãi suất ngắn hạn r ( t ) sẽ quyết định mức độ của cấu
trúc kỳ hạn tại thời điểm t.
Bên cạnh ưu điểm là dễ phân tích, mô hình Vasicek có một số nhược điểm
chính như sau: vì lãi suất ngắn hạn thường được phân bố một cách thông thường khi
chạy mô hình, ứng với mỗi biến t chúng ta đều có thể xác định được biến r mang
dấu âm và điều này, theo quan điểm kinh tế là không thể chấp nhận được. Đơn giản
là vì lãi suất danh nghĩa không thể giảm xuống dưới mức 0% nếu một người giữ
tiền mặt. Lãi suất danh nghĩa có thể giảm xuống đến mức 0% trong một thời gian
dài, phụ thuộc vào thời gian nắm giữ tiền mặt của người đó.
1.2.1.2. Mô hình Merton
Mô hình Merton (1971) giả định rằng quy trình lãi suất là một quy trình
Weiner tổng hợp được mô tả như sau:
r ( t ) = r0 + α t + σ W ( t )

(1.10)

Trong đó: r(t) là lãi suất tại thời điểm t, r0 là lãi suất tức thời tại thời điểm gốc.
Lấy vi phân cả hai vế của phương trình (1.10) ta được:

16

dr = α dt + σ dW

(1.11)

Với các giá trị t nằm trong đoạn 0 ≤ t ≤ T , ta có được:
r ( T ) = r ( t ) + α ( T − t ) + σ ( W ( T) − W ( t) )

(1.12)

Trong đó r ( T ) tuân theo phân phối chuẩn với trung bình là r ( t ) + α ( T − t ) và độ
lệch chuẩn là σ

( T −t) .

Vì vây, R(t,T), lãi suất hoàn vốn liên tục tại thời điểm t của một trái phiếu chiết
khấu có mệnh giá 1 đáo hạn tại thời điểm T, được tính như sau:
R ( t, T ) =



1
1
ln 

T − t  P ( r ( t ) , T − t ) 

(1.13)

1
A( T − t ) + r ( t )
T −t
= R ( r ( t ) ,T − t )
=

trong đó R là một hàm như sau:
R ( t, T ) =

1
1
σ2
A ( T ) + r = αT − T 2 + r
T
2
6

(1.14)

Trong mô hình của Merton, độ lệch chuẩn của lãi suất tương lai thì có ảnh
hưởng mạnh đến các mức lãi suất kỳ hạn, vì vậy mô hình Merton có thể đưa ra mức
lãi suất kỳ hạn nhận giá trị âm đối với các kỳ hạn dài hạn.
Mô hình Vacisek và Merton có thể được ứng dụng một cách trực tiếp để định
giá các công cụ tài chính. Mặc dù các mô hình nói trên có thể đưa ra kết quả là các
giá trị lãi suất âm trong một số điều kiện nhất định. Tuy nhiên, thực tế cho thấy, lãi
suất âm chỉ xuất hiện trong các điều kiện mô hình cụ thể với xác suất thấp nên các
mô hình loại này vẫn được sử dụng phổ biến.
1.2.1.3. Mô hình Cox-Ingersoll-Ross (CIR)
Trong hai mô hình nghiên cứu ở trên, chúng ta đều thấy rằng nếu giả định lãi

suất ngắn hạn tuân theo phân phối chuẩn thì kết quả sẽ cho ra lãi suất kỳ hạn có giá


17

trị âm. Mô hình CIR (1985) ra đời với mục đích là khắc phục vấn đề này. Theo đó,
cấu trúc động của lãi suất ngắn hạn được mô tả là:
dr = a ( b − r ) dt + σ rdW

(1.15)

Công thức trên cũng đề cập đến vấn đề hồi phục trung bình như trong mô hình
Vacisek. Tuy nhiên, điểm khác biệt của mô hình CIR là toán tử thống kê chứa độ
lệch chuẩn được tỷ trọng hóa theo

r . Đây là đặc điểm nổi bật của mô hình CIR vì

nó hàm ý rằng khi lãi suất ngắn hạn tăng lên thì độ lệch chuẩn giảm đi. Kết quả là
các mức lãi suất kỳ hạn sẽ luôn luôn nhận giá trị dương. Trong mô hình CIR, giá
của trái phiếu chiết khấu được tính như sau:
P ( t,T ) = A ( t , T ) e − B (t ,T ) r

(1.16)

trong đó
B ( t,T ) =

(
( γ + a) ( e (

)
− 1) + 2γ

2 eγ ( T − t ) − 1
γ T −t )



2γ e( a +γ ) ( T −t ) / 2

A(t , T ) = 
 ( γ + a ) eγ ( T −t ) − 1 + 2γ 



(

2 ab / σ 2

(1.17)

)

γ = a 2 + 2σ 2

Do đó, chúng ta tính được R(t,T), lãi suất hoàn vốn của một trái phiếu chiết
khấu tại thời điểm t đáo hạn tại thời điểm T, như sau:
R ( t , T ) =  rB ( t , T ) − log A(t , T )  / ( T − t )

(1.18)

Vì lãi suất trong dài hạn R ( t , T ) là một hàm của lãi suất ngắn hạn r ( t ) nên
chỉ cần duy nhất lãi suất ngắn hạn để có thể tính được toàn bộ cấu trúc kỳ hạn hoàn
chỉnh.
Chính vì được xây dựng dựa trên mục đích khắc phục hạn chế của mô hình
Vacisek và Merton về khả năng đưa ra các mức lãi suất kỳ hạn có giá trị âm được


18

ước lượng từ hai mô hình nói trên, mô hình CIR tỏ ra ưu việt hơn trong môi trường
lãi suất thấp vì nó giới hạn lãi suất không âm.
1.2.2. Các mô hình tự do chênh lệch giá
Mô hình tự do chênh lệch giá có mục đích là xây dựng nên một cấu trúc kỳ
hạn lý thuyết tương thích với cấu trúc thực tế quan sát được để khiến cho lãi suất
hoàn vốn quan sát trên thị trường thì có giá trị bằng với lãi suất hoàn vốn được tính
toán trên cơ sở mô hình. Vì vậy, mô hình tự do chênh lệch giá thường có xu hướng
phù hợp với đường cong lãi suất chiết khấu quan sát được trên thị trường, và tốc độ
hồi phục trung bình của lãi suất ngắn hạn sẽ phụ thuộc vào thời gian bởi vì xu
hướng trung bình trong tương lai hình thành bởi lãi suất ngắn hạn được quyết định
bởi hình dạng của đường cong hoàn vốn ban đầu. Điều này hàm ý rằng là đối với
đường cong có hệ số góc dương thì lãi suất ngắn hạn sẽ tăng lên về mặt trung bình
trong khi nó sẽ giảm nếu đường cong ban đầu có hệ số góc âm. Ngược lại, đối với
một đường cong lồi (lõm) thì xu hướng biến động của các mức lãi suất ngắn hạn kỳ
vọng cũng sẽ lồi (lõm). Trong khi đó, mức hồi phục trung bình trong mô hình điểm
cân bằng thì không phụ thuộc vào thời gian.
Về mặt lý thuyết, mức giá được tính toán từ bất kỳ mô hình nào mà bằng giá
trị có thể quan sát được trên thị trường thì mô hình đó thuộc dạng mô hình tự do
chênh lệch giá. Tuy nhiên, ở đây chúng ta sử dụng thuật ngữ mô hình vì bản chất là
chúng ta đang so sánh giữa mức giá tính toán bằng lý thuyết với mức giá thực sự

của thị trường. Nếu trong mô hình điểm cân bằng thì cấu trúc kỳ hạn là sản phẩm
đầu ra thì trong mô hình tự do chênh lệch giá cấu trúc kỳ hạn quan sát được trong
thực tế sẽ là nhân tố đầu vào. Thực tế cho thấy, mô hình điểm cân bằng không thể là
mô hình tự do chênh lệch giá trong một số điều kiện nhất định vì nó hàm chứa
những sai số nhỏ tại một số điểm trên đường cong do đó sẽ tạo ra sai số lớn đối với
cả cấu trúc kỳ hạn. Vấn đề cơ bản nhất cần phải xem xét ở đây là khái niệm lãi suất
ngắn hạn phi rủi ro.
Vì vậy, những người ứng dụng mô hình trong thực tế thường sử dụng mô
hình tự do chênh lệch giá nếu họ thành công trong việc làm cho mô hình tương


19

thích với số liệu thực tế. Tuy nhiên, việc áp dụng mô hình tự do chênh lệch giá
không hề đơn giản, cho nên trong một số điều kiện nhất định, mô hình điểm cân
bằng được ưa thích hơn. Chẳng hạn như trong điều kiện mà nguồn dữ liệu thực tế
đáng tin cậy không sẵn có và phong phú thì người ta thường có xu hướng chọn mô
hình điểm cân bằng. Đặc biệt, trong điều kiện của các thị trường đang phát triển thì
khi mô hình hóa cấu trúc kỳ hạn của lãi suất người ta thấy rằng việc sử dụng mô
hình điểm cân bằng thì có hiệu quả hơn.
1.2.2.1. Mô hình Ho-Lee
Ho-Lee (1986) là một trong những nghiên cứu đầu tiên về mô hình tự do
chênh lệch giá và sử dụng cách tiếp cận lưới nhị thức với hai tham số: độ lệch chuẩn
của lãi suất ngắn hạn và phần bù rủi ro của lãi suất ngắn hạn. Mô hình của Ho-Lee
sử dụng thông tin có sẵn từ cấu trúc kỳ hạn hiện hành quan sát được trên thị trường
để tạo ra mô hình lý thuyết phù hợp nhất với cấu trúc kỳ hạn hiện hành quan sát
được. Tuy nhiên, mô hình này ấn định mức biến động là như nhau cho các mức lãi
suất giao ngay và mức lãi suất kỳ hạn nên cấu trúc biến động dạng này chỉ phù hợp
với một số chủ thể tham gia thị trường nhất định. Bên cạnh đó, mô hình này cũng
không đề cập được đến vấn đề hồi phục trung bình.

1.2.2.2. Mô hình Hull-White
Hull-White (1990) đã mở rộng mô hình Vasicek nhằm tạo ra một kết quả
phản ánh chính xác nhất cấu trúc kỳ hạn hiện hành quan sát được trên thị trường.
Mô hình Hull-White cũng được biết đến với tên gọi là mô hình Vasicek mở rộng.
Trong mô hình này quy trình lãi suất được mô tả như sau:
α

dr = a  − r ÷dt + σ dw(t)
a


(1.19)

trong đó a là tốc độ hồi phục trung bình của lãi suất và là hằng số, σ là độ lệch
chuẩn của lãi suất và là hằng số. Tương tự mô hình Vasicek, lãi suất có tốc độ hồi
phục trung bình phụ thuộc thời gian. Nếu như trong mô hình Vacisek a # 0 và α
=a.b trong đó b là một hằng số thì trong mô hình của Hull-White điều kiện khống


20

chế đơn giản hơn chỉ với a # 0. Ưu điểm của mô hình Hull-White là không những
có thể phản ánh chính xác với cấu trúc kỳ hạn ban đầu là dữ liệu đầu vào của mô
hình mà còn cả cấu trúc kỳ hạn có sự biến động mạnh.
1.2.2.3. Mô hình Black-Derman-Toy (BDT)
Trong các mô hình nói trên thì chỉ có tham số α là một hàm số theo thời
gian. Điều này có nghĩa là sự biến động của lãi suất ngắn hạn tỷ lệ với lãi suất ngắn
hạn tức thời, cho nên tỷ lệ tương đối giữa mức độ biến động so với mức lãi suất là
hằng số. Tuy nhiên, do trong mô hình BDT tốc độ thay đổi trung bình của lãi suất
phức tạp hơn trong các mô hình mô tả ở trên, nên mô hình này đòi hỏi việc biểu

diễn toán học phù hợp với cả cấu trúc kỳ hạn hiện hành và biến động lãi suất hiện
hành. Mô hình này cũng phản ánh được hiện tượng hồi phục trung bình.
Về cơ bản, mô hình BDT dựa trên nhân tố then chốt là lãi suất ngắn hạn để
hình thành cấu trúc kỳ hạn. Sử dụng cách tiếp cận cây nhị thức, trong đó nhánh thứ
nhất được dùng để tính lãi suất ngắn hạn hiện hành của các mức lãi suất ngắn hạn
của một kỳ hạn trong tương lai. Sau đó, các mức lãi suất mới hình thành này sẽ tiếp
tục được sử dụng để tính ra các mức lãi suất cho hai giai đoạn tiếp theo. Việc tính
toán cứ tiếp tục như vậy cho đến khi toàn bộ cấu trúc kỳ hạn được hình thành.
1.2.3. Mô hình đa nhân tố
Nếu như mô hình một nhân tố chỉ mô tả được kiểu thay đổi duy nhất của
đường cong lãi suất hoàn vốn là dạng dịch chuyển song song thì các mô hình đa
nhân tố cho phép giải thích được dạng thức thay đổi phi song song hoặc những thay
đổi về độ dốc của đường cong.
1.2.3.1. Mô hình hai nhân tố
Mô hình đa nhân tố ra đời sớm nhất là mô hình hai nhân tố của Brennan và
Schwartz (1982). Mô hình này sử dụng hai nhân tố là quy luật thống kê của lãi suất
ngắn hạn r và lãi suất hoàn vốn của các trái phiếu chính phủ dài hạn. Trong mô hình
này, hai nhân tố này biến động độc lập nên cho phép việc dịch chuyển song song và
phi song song của đường cong lãi suất hoàn vốn diễn ra.


21

Một mô hình hai nhân tố khác được phát triển trên cơ sở mô hình của
Brennan và Schwartz là mô hình trong đó hai nhân tố được sử dụng là giá của trái
phiếu dài hạn và độ chênh lệch giữa lãi suất hoàn vốn dài hạn và lãi suất ngắn hạn.
1.2.3.2. Mô hình đa nhân tố Heath-Jarrow-Morton (HJM)
Heath-Jarrow-Morton (1992) tiếp cận bằng cách mô hình hóa đường cong kỳ
hạn như là một quá trình sinh ra từ toàn bộ đường cong hoàn vốn ban đầu chứ
không chỉ đơn thuần dựa vào yếu tố lãi suất ngắn hạn. Trong đó, lãi suất giao ngay

tuân theo quy luật thống kê và đường cong lãi suất hoàn vốn được tạo ra từ mô hình
là một hàm của các nhân tố mang tính thống kê. Mô hình HJM sử dụng đường cong
lãi suất hoàn vốn hiện hành và đường cong lãi suất hoàn vốn kỳ hạn để xác định
quy luật thống kê theo thời gian liên tục nhằm mục đích mô tả sự phát triển của toàn
bộ đường cong hoàn vốn qua từng giai đoạn thời gian cụ thể. Điểm cốt lõi trong mô
hình của HJM là yếu tố đầu vào của mô hình là đường cong lãi suất kỳ hạn hiện
hành và một hàm số mô tả được sự biến động theo quy luật thống kê của lãi suất kỳ
hạn và trên cơ sở các yếu tố đó mô hình HJM cho phép xây dựng nên toàn bộ cấu
trúc kỳ hạn của lãi suất.
1.2.4. Các kỹ thuật sử dụng phương pháp tham số
1.2.4.1. Mô hình Nelson-Siegel
Bản chất của kỹ thuật này là mô hình hóa lãi suất kỳ hạn bằng cách sử dụng
hàm số hóa. Một trong các công trình phát triển sớm nhất kỹ thuật này là mô hình
của Nelson và Siegel (1987). Cách tiếp cận của mô hình này được hình thành trên
giả định là nếu biết được mối quan hệ giữa lãi suất giao ngay và lãi suất kỳ hạn thì
có thể mô hình hóa đường cong lãi suất giao ngay bằng cách dựa trên trung bình
hình học của đường cong lãi suất kỳ hạn. Theo đó, Nelson-Siegel định nghĩa đường
cong lãi suất kỳ hạn là một hàm của các tham số cần tìm mà những tham số này thể
hiện mối liên quan của lãi suất kỳ hạn đến lãi suất ngắn hạn và hình dạng của đường
cong kỳ hạn.


22

Cụ thể là cách tiếp cận của Nelson-Siegel đưa ra một hàm linh động cân
bằng để mô tả lãi suất kỳ hạn f(T) được biết đến với tên gọi là hàm Laguerre có
thêm hằng số như sau:
f ( T ) = β 0 + β1e −T /τ1 +

β 2 −T / τ 1

Te
τ1

(1.20)

trong đó: T là biến số được tính toán dựa trên các tham số β 0 , β1 , β 2 và τ 1 ; β 0 , β1 , β 2
(đơn vị là %/năm) lần lượt thể hiện sức mạnh của thành phần dài hạn, ngắn hạn và
trung hạn cấu thành nên lãi suất kỳ hạn; τ 1 là tham số thời gian (thường tính theo
đơn vị năm) mà giá trị lớn hay nhỏ của nó tương ứng sẽ quyết định đến việc đường
cong lý thuyết sẽ phản ánh tốt đường cong thực tế đối với các kỳ hạn ngắn hay dài;
hình dạng của đường cong lãi suất kỳ hạn f(T) sẽ có thể là đơn điệu, hình chữ U
hoặc hình chữ S tùy thuộc vào giá trị tham số β1 , β 2 ước lượng được và sẽ tiệm cận
với giá trị β 0 - các mức lãi suất trong dài hạn. Các tham số β 0 , β1 , β 2 và τ 1 này phải
được ước lượng. Đối với dữ liệu theo thời gian như các bộ số liệu về lãi suất thì
phương pháp GMM (General Method of Moments) và ML (maximum likelihood) là
hai kỹ thuật phổ biến nhất để ước lượng các tham số nêu trên.
Biết rằng lãi suất giao ngay rs được tính bằng trung bình của các lãi suất kỳ
hạn f(u) như sau:
T

rs =

∫ f ( u ) du

(1.21)

0

T

thì công thức (1.20) có thể được dùng để tính rs(T), mức lãi suất giao ngay tại thời
điểm T, như sau:
rs ( T ) = β 0 + ( β1 + β 2 )

τ1
1 − e − T / τ 1 ) − β 2 e −T / τ 1
(
T

(1.22)

Một phương pháp tham số khác được đề xuất bởi Svensson (1994,1995) và
được biết đến với tên gọi là mô hình Nelson-Siegel mở rộng. Bằng cách thêm một
tham số vào trong mô hình gốc của Nelson-Siegel, mô hình mới cho phép có nhiều


23

sự linh động hơn nên đường cong lãi suất thu được có thể mô tả đường cong kỳ hạn
f(T) với nhiều điểm uốn hơn. Cụ thể như sau:
f ( T ) = β 0 + β1e −T /τ1 + β 2

T −T /τ1
T
e
+ β 3 e −T / τ 2
τ1
τ1

(1.23)

trong đó T là biến số được tính toán dựa trên các tham số β 0 , β1 , β 2 , β3,τ 2 và τ 1 . Các
tham số β 0 , β1 , β 2 , β 3,τ 2 và τ 1 này phải được ước lượng. Như vậy, so với mô hình gốc
thì mô hình mới này cần phải ước lượng nhiều hơn 2 tham số là β3, cho phép mô tả
hình dạng chữ U ở các kỳ hạn đáo hạn dài hơn và τ 2 cũng là tham số thời gian
(thường tính theo đơn vị năm) quyết định đến việc đường cong hình chữ U ở các kỳ
hạn đáo hạn dài hơn có phản ánh chính xác hay không hình dạng đường cong trong
thực tế.
Ưu điểm của mô hình tham số là đường cong lãi suất hoàn vốn lý thuyết phù
hợp với đường cong quan sát trong thực tế ở các kỳ hạn đáo hạn dài. Nhưng ở các
kỳ hạn đáo hạn ngắn thì mô hình này lại biểu hiện không tốt bằng các mô hình lãi
suất ngắn hạn/mô hình một nhân tố.
1.2.4.2. Mô hình hàm nối trục bậc ba (cubic spline model)
Mô hình hàm nối trục ra đời với mục đích là để phát huy ưu điểm của mô
hình tham số trong việc mô phỏng tốt các mức lãi suất hoàn vốn của các kỳ hạn đáo
hạn dài đồng thời khắc phục nhược điểm của mô hình tham số ở các kỳ hạn đáo hạn
ngắn.
Một hàm nối trục tổng quát là một đường cong được hình thành từ các đoạn
đa thức riêng lẻ được nối với nhau tại các điểm kết nối biết trước. Về mặt kỹ thuật,
trục hoành sẽ được chia thành các phân đoạn được lựa chọn sẵn (dựa trên các điểm
kết nối biết trước) với độ dài như nhau hoặc khác nhau. Tại các điểm kết nối cho
trước, đường cong và đạo hàm bậc một của nó có tính liên tục tại tất cả các điểm
nằm trên đường cong. Một hàm nối trục bậc ba có công thức như sau:


24

N −1

S ( x ) = α x 3 + β x 2 + γ x + δ + ∑η i x − k i

3

(1.24)

i =1

trong đó α , β , γ , δ và η là các hằng số và ki , i = [ 0, N ] là tập hợp các điểm kết nối
cho trước.
1.2.4.3. Mô hình hàm nối trục cơ bản (B-spline)
Bên cạnh công thức tổng quát của hàm nối trục bậc ba như trên, người ta
cũng thường tạo ra các đường nối trục bằng cách kết hợp tuyến tính các đường nối
trục cơ bản lại với nhau. Phương pháp này có tên gọi là nối trục cơ bản. Đây là một
cách biến đổi tổng quát cho phép hạn chế các vấn đề về trị số của công thức (1.24).
Một hàm nối trục cơ bản bậc n có thể được viết dưới dạng sau:
Bi ,n ( x ) =

x − ki
k −x
Bi ,n −1 ( x ) + i + n
Bi +1, n −1 ( x )
ki + n −1 − ki
ki + n − ki +1

(1.25)

trong đó Bi ,1 ( x) = 1 nếu ki ≤ x ≤ ki +1 và Bi ,1 ( x) = 0 cho các trường hợp còn lại.
Trong điều kiện số điểm kết nối cho trước là đủ lớn thì người ta có thể sử
dụng các mô hình nối trục này để nội suy. Tuy nhiên, nếu áp dụng trong việc hoạch
định chính sách tiền tệ thì không nên sử dụng mô hình này vì nó không tạo ra các

đường cong đạt độ trơn (Anderson-Sleath, 1999).
Có thể tổng hợp đặc điểm phản ánh sự sự khác biệt của các mô hình trong
việc xây dựng đường cong lãi suất chuẩn ở bảng 1.1:
Bảng 1.1: Đặc điểm của các mô hình xây dựng đường cong lãi suất chuẩn
STT
1

Mô hình
Mô hình
một
nhân tố

Vacisek

Đặc điểm mô hình
- Lãi suất ngắn hạn được kéo về mức lãi suất trung bình dài hạn
b với tốc độ a
- Quy trình hồi phục trung bình được phản ánh bởi thống kê
dW tuân theo quy luật chuẩn

σ

- P(t,T) được quyết định bởi việc đánh giá tại thời điểm t về giá
trị của lãi suất giao ngay.
Merton

Quy trình lãi suất là một quy trình Weiner tổng hợp

CIR

- Được phát triển từ mô hình Vacisek


25

- Trong cấu trúc động của lãi suất ngắn hạn, toán tử thống kê độ
lệch chuẩn được tỷ trọng hóa theo r khiến cho các mức lãi
suất kỳ hạn mang giá trị dương.
2

3

4

Mô hình
chênh
lệch giá

Mô hình
đa nhân
tố

Mô hình
sử dụng
phương
pháp
tham số

Ho-Lee

- Mức biến động lãi suất giao ngay và lãi suất kỳ hạn là như
nhau
- Không có sự hồi phục trung bình

Hull-White

- Phản ánh chính xác cấu trúc kỳ hạn có sự biến động mạnh.

BlackDermanToy

- Tính toán cả cấu trúc kỳ hạn và biến động lãi suất hiện hành

Hai
tố

- Sử dụng quy luật thống kê của lãi suất ngắn hạn r và lãi suất
hoàn vốn của trái phiếu chính phủ dài hạn

nhân

- Sử dụng cách tiếp cận nhị thức
- Phản ánh được hiện tượng hồi phục trung bình

- Mô tả được sự dịch chuyển song song và phi song song của
đường cong lãi suất hoàn vốn.
HealthJarrowMorton

- Lãi suất giao ngay tuân theo quy luật thống kê

NelsonSiegel

- Tìm mối liên hệ giữa lãi suất giao ngay và lãi suất kỳ hạn (xác
định các hệ số của mô hình)

- Đường cong lãi suất hoàn vốn là một hàm của các nhân tố
mang tính chất thống kê.

- Từ một loại lãi suất ngắn hạn, sẽ suy ra các mức lãi suất ở
những kỳ hạn dài hơn.
Svenson

Là sự mở rộng của mô hình Nelson-Siegel với 2 biến mới được
đưa vào mô hình để mô tả các điểm uốn

Nối
trục
bậc ba

Đường cong lãi suất được hình thành từ các đoạn đa thức riếng
lẻ được nối với nhau tại các điểm biết trước

1.3. Điều kiện áp dụng các mô hình xây dựng đường cong lãi suất chuẩn
1.3.1. Yêu cầu của mô hình xây dựng đường cong lãi suất chuẩn
Việc xây dựng đường cong lãi suất chuẩn dựa trên nguyên lý về cấu trúc kỳ
hạn của lãi suất. Vì lãi suất giữa các kỳ hạn có mối liên hệ chặt chẽ với nhau theo
cấu trúc kỳ hạn của lãi suất, theo đó lãi suất dài hạn bằng trung bình của các mức lãi
suất ngắn hạn. và các mô hình đều được xây dựng dựa trên nguyên tắc từ một loại
lãi suất (thường là ngắn hạn) để tính toán các loại lãi suất khác (thường là dài hạn)
Mục đích của mô hình hóa cấu trúc kỳ hạn là xây dựng được một đường
cong lý thuyết thỏa mãn các tiêu chuẩn sau: (i) phản ánh phù hợp các mức lãi suất

kỳ hạn (ii) đường cong kỳ hạn được tính ra từ mô hình phải có độ trơn đủ để cung