Hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------

PHẠM LAN PHƯƠNG

HỆ PHƯƠNG TRÌNH
ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI

Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Mã số:

60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. HÀ TIẾN NGOẠN

Hà Nội – Năm 2015


Mục lục
Mở đầu
1

2

3

Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Không gian Lp (Ω), 1 ≤ p < +∞ . . . . . . .
1.1.2 Không gian W l,p (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N) . .
1.1.3 Không gian W0l,p (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N) . .
1.2 Không gian Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Định nghĩa không gian C(Ω), C l (Ω) . . . . .
1.2.2 Định nghĩa không gian C 0,α (Ω) . . . . . . .
1.2.3 Định nghĩa không gian C l,α (Ω) . . . . . . .
1.3 Các định lý nhúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Định nghĩa phép nhúng . . . . . . . . . . .
1.3.2 Định lý nhúng vào Lp (Ω) . . . . . . . . . . .
1.3.3 Định lý nhúng của không gian W l,p (Ω) . . .
1.4 Một số bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Bất đẳng thức Young . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Bất đẳng thức Holder . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Bất đẳng thức Poincare . . . . . . . . . . .
1.5 Định lý Fredholm đối với phương trình tuyến tính
1.5.1 Định nghĩa ánh xạ compact . . . . . . . . .
1.5.2 Định nghĩa ánh xạ liên hợp . . . . . . . . .
1.5.3 Định lý Fredholm trong không gian Banach
1.5.4 Định lý Fredholm trong không gian Hilbert

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic
2.1 Nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Hệ phương trình elliptic và bài toán Dirichlet . . . . . . .
2.1.2 Nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Bất đẳng thức cơ bản thứ nhất. Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm
suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Bất đẳng thức cơ bản thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm suy rộng . . . . . . .
2.3 Các tính chất định tính của nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . .
1

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

5
5
5
6
7
8
8
8
9

9
9
9
10
11
11
11
12
12
12
12
12
13

14
. 14
. 14
. 15
.
.
.
.

15
15
25
28


MỤC LỤC

2.3.1

2.4
2.5

Đánh giá max |u| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Ω

2.3.2 Đánh giá |u|α,Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.3 Đánh giá |u|1,α,Ω và ||u||W 2,2 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Đánh giá tiên nghiệm trong không gian Holder C l,α (Ω) . . . . . . 45
Tính giải được của bài toán Dirichlet trong không gian C l,α (Ω) . 47

Kết luận

48

Tài liệu tham khảo

49

2


MỞ ĐẦU
Đối với một phương trình elliptic tuyến tính cấp hai, người ta đã nghiên cứu
tính giải được của bài toán Dirichlet. Đối với phương trình elliptic dạng bảo
toàn, người ta đã đưa được nghiệm suy rộng trong không gian Sobolev W 1,2 (Ω)
và chứng minh được sự tồn tại nghiệm của bài toán. Đối với các phương trình

elliptic dạng không bảo toàn, người ta đã đưa vào các lớp nghiệm cổ điển trong
không gian Holder C 2,β (Ω) và cũng chứng minh được sự tồn tại và tính trơn của
nghiệm.
Mục tiêu của Luận văn là trình bày sự mở rộng các kết quả về tính giải được
của bài toán Dirichlet cho một phương trình elliptic tuyến tính cấp hai sang
trường hợp hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai. Dưới sự hướng dẫn của
PGS. TS Hà Tiến Ngoạn, tác giả đã hoàn thành luận văn với để tài
"Hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai".
Luận văn được chia làm hai chương:
• Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị.
• Chương 2: Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic.

Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị như các không gian Sobolev,
Holder, các định lý Fredholm về tính giải được của phương trình tuyến tính
trong không gian Banach, Hilbert. Chương 2 - nội dung chính của Luận văn,
trình bày bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai. Với
hệ phương trình dạng bảo toàn, luận văn trình bày khái niệm lớp nghiệm suy
rộng trong không gian Sobolev W 1,2 (Ω), phát biểu và chứng minh tính giải được
Fredholm của bài toán Dirichlet trong không gian này. Đối với lớp hệ phương
trình dạng không bảo toàn, Luận văn trình bày chứng minh đánh giá tiên nghiệm
đối với nghiệm của bài toán, phát biểu tính giải được Fredholm của bài toán
Dirichlet trong không gian Holder C 2,β (Ω).
Mặc dù có nhiều cố gắng, song do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luận
3


MỞ ĐẦU

văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tác giả rất mong nhận được sự góp
ý của các thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.

Qua luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Hà
Tiến Ngoạn, người Thầy đã truyền cho tác giả có niềm say mê nghiên cứu toán
học. Thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập
và hoàn thiện luận văn này.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo Sau đại học,
Khoa Toán-Cơ-Tin, các thầy cô đã tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành
bản luận văn này.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 25 tháng 07 năm 2015
Tác giả

Phạm Lan Phương

4


Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
1.1
1.1.1

Không gian Sobolev
Không gian Lp (Ω), 1 ≤ p < +∞

Định nghĩa 1.1. Lp (Ω) là không gian Banach gồm các hàm đo được u xác định
trên Ω và p - khả tích sao cho
|u(x)|p dx < +∞.
Ω

Chuẩn của Lp (Ω) được định nghĩa bởi


 p1
|u(x)|p dx ,

||u||Lp (Ω) = 
Ω

trong đó |u(x)| là trị tuyệt đối hoặc mô đun của u(x).
Khi p = +∞, L∞ (Ω) là không gian Banach các hàm bị chặn trên Ω với chuẩn
||u||∞ = sup |u(x)| = ess sup |u(x)| ≡ inf{M ; |u(x)| ≤ M ; hầu khắp nơi trong Ω}
Ω

Ω

Khi p = 2, L2 (Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng
(u, v)L2 (Ω) =

u(x).v(x)dx,
Ω

|u(x)|2 dx.

(u, u) = ||u||2 =
Ω

Nhận xét 1.1. Nếu f ∈ L2 (Ω); g ∈ L2 (Ω) thì

f gdx ≤

Ω

 12

|f |2 dx 

|f g|dx ≤ 
Ω

 21 

Ω

5

|g|2 dx
Ω


Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

(f, g là các hàm bình phương khả tích).
Nếu a ∈ L∞ (Ω) và f, g ∈ L2 (Ω) thì
af gdx ≤ ||a||∞
Ω

Ω

1.1.2

|f g| dx.

Không gian W l,p (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N)

Định nghĩa 1.2. Với ∀l ∈ N; 1 ≤ p < +∞, ta có
W l,p (Ω) = {u(x) ∈ Lp (Ω); Dα u(x) ∈ Lp (Ω), ∀α : |α| ≤ l},

trong đó
α = (α1 , α2 , . . . , αn ); αj ∈ N; |α| = α1 + α2 + · · · + αn ;
Dα u = D1α1 D2α2 . . . Dnαn ; Dj =

Khi đó, chuẩn của u(x) ∈

∂
∂xj .
W l,p (Ω)

được định nghĩa bởi
 p1

|Dα u|p dx .

||u||W l,p (Ω) = 
Ω |α|≤l

Một chuẩn tương đương là
||u||pW l,p (Ω) =

|Dα u|pLp (Ω) .
|α|≤l

Nhận xét 1.2. Giả sử Ω ⊂ Rn ; l ∈ N ; 1 ≤ p < +∞ thì W l,p (Ω) là một không gian
Banach.
Khi l = 1, p = 2 thì
W 1,2 (Ω) = u ∈ L2 (Ω); D1 u ∈ L2 (Ω) .

Không gian W 1,2 (Ω) được trang bị tích vô hướng
(u, v) = (u, v)L2 (Ω) +
1≤l≤n

∂u ∂v
;
∂xl ∂xl

,
L2 (Ω)

và chuẩn tương ứng
||u||2W 1,2 (Ω) =

|∇u(x)|2 + u(x)2 dx.
Ω

Khi đó W 1,2 (Ω) là không gian Hilbert.
Nhận xét 1.3. Nếu l < m thì
W m,p (Ω) ⊂ W l,p (Ω).
6


Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

1.1.3

Không gian W0l,p (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N)

a) Không gian C0∞ (Ω)
C0∞ (Ω) = {u(x) ∈ C ∞ (Ω), supp u ⊂ Ω}.

b) Không gian W0l,p (Ω)
Định nghĩa 1.3. Không gian W0l,p (Ω) với 1 ≤ p < +∞ là bao đóng của C0∞ (Ω)
trong chuẩn của không gian W l,p (Ω).
Kí hiệu
W0l,p (Ω) = C0∞ (Ω).

Khi đó,
W0l,p (Ω) = {u(x); u(x) ∈ W l,p (Ω), Dα u|∂Ω = 0; |α| ≤ l − 1}.

Nhận xét 1.4.

i) Đối với các hàm u(x) ∈ W01,p (Ω), v(x) ∈ W 1,p (Ω) ta có
uxi vdx = −

uvxi dx,
Ω

Ω

trong đó

1

p

+

1
p

= 1.

ii) Hai chuẩn tương đương trong W 1,p (Ω)
||u||pW 1,p (Ω) =

||Dα u||pLp (Ω) ,
|α|≤l

||Dα u||Lp (Ω) .

||u||W 1,p (Ω) =
|α|≤l

Hai chuẩn là tương đương, nếu tồn tại c1 , c2 ∈ R∗+ sao cho
c1 ||u|| ≤ |||u||| ≤ c2 ||u||.

iii) Hai chuẩn sau là tương đương trên W0l,p (Ω)
n

||u|| = ||u||Lp (Ω) +

||Dj u||Lp (Ω) ,
j=1

n

|||u||| =

||Dj u||Lp (Ω) ,
j=1

trong đó Dj u = Dxj u.

7


Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

iv) Khi l = 1, p = 2
Chuẩn của W01,2 (Ω) xác định bởi
n

||u||2W 1,2 (Ω)

=

||u||2L2 (Ω)

||uxj ||2L2 (Ω) .

+
j=1

Chuẩn mới tương đương là
n

|||u|||2W 1,2 (Ω)
0

=

||u||2W 1,2 (Ω)

aij (x)uxi uxj dx,

=
Ω i,j=1

n

trong đó aij = aji , c1 |ξ|2 ≤

aij (x)ξi ξj ≤ c2 |ξ|2 , ∀ξ ∈ Rn .

i,j=1

1.2

Không gian Holder

Cho Ω là một tập mở trong Rn . Ta định nghĩa một số không gian
1.2.1

Định nghĩa không gian C(Ω), C l (Ω)

Định nghĩa 1.4.
C(Ω) = {u(x); u(x) liên tục trong Ω},
C l (Ω) = {u(x) ∈ C(Ω) : Dα u ∈ C(Ω); ∀|α| ≤ l},

với l ∈ N.
Trong không gian C l (Ω) xác định chuẩn
Dα u.

|u|l,Ω = sup
Ω

1.2.2

|α|≤l

Định nghĩa không gian C 0,α (Ω)

Định nghĩa 1.5. C 0,α (Ω) là không gian Banach các hàm u(x) liên tục trong Ω
với |u|(α),Ω xác định
C 0,α (Ω) = {u(x) ∈ C 0 (Ω); |u|(α),Ω = sup

x,y∈Ω
x=y

|u(x) − u(y)|
< +∞},
|x − y|α

với 0 < α ≤ 1.
Chuẩn của C 0,α (Ω) được định nghĩa bởi
|u|α,Ω = max |u| + |u|(α),Ω .
Ω

Chú ý 1.1. Hàm u(x) ∈ C 0,α (Ω) nếu u(x) ∈ C 0,α (Ω ) với ∀Ω ⊂ Ω.

8


Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

1.2.3

Định nghĩa không gian C l,α (Ω)

Định nghĩa 1.6.
C l,α (Ω) = {u(x) ∈ C l,α (Ω); Dα u ∈ C 0,α ; ∀|α| = l}.

Chuẩn trong C l,α (Ω)
|D(l) u|(α),Ω .

|u|l,α,Ω = |u|l,Ω +
(l)

1.3
1.3.1

Các định lý nhúng
Định nghĩa phép nhúng

Định nghĩa 1.7. (Phép nhúng)
Cho B1 , B2 là hai không gian Banach.
Ta nói rằng B1 nhúng vào B2 và kí hiệu B1 → B2 , nếu với u ∈ B1 thì u ∈ B2 .
Định nghĩa 1.8. (Phép nhúng liên tục)
Một không gian Banach B1 được gọi là nhúng liên tục trong không gian
Banach B2 , ký hiệu B1 → B2 , nếu B1 nhúng vào B2 và ||u||B2 ≤ c||u||B1 , với c là
hằng số không phụ thuộc vào u ∈ B1 .
Định nghĩa 1.9. (Phép nhúng hoàn toàn liên tục)
Một không gian Banach B1 được gọi là nhúng hoàn toàn liên tục trong không
gian Banach B2 , nếu một tập bị chặn trong B1 là một tập tiền compact trong
B2 .
1.3.2

Định lý nhúng vào Lp (Ω)

Định lý 1.1. Giả sử Ω là miền bị chặn và 1 ≤ p < q < +∞.
Khi đó, Lq (Ω) ⊂ Lp (Ω) và ánh xạ nhúng
j : Lq (Ω) → Lp (Ω)

là liên tục.
Chứng minh. Giả sử u ∈ Lq (Ω).
Ta cần chứng minh u ∈ Lp (Ω) hay |u|p dx < +∞.
Ω

Ta có
||u||pLp (Ω) =

|u|p dx =
Ω

1.|u|p dx.
Ω

9


Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có
||u||pLp (Ω)

≤

1

q
dx
q−p

Ω

q−p
q

p

p
q

q
p

= (mes Ω)

(|u| ) dx

q−p
q

||u||Lq (Ω)

p
q

< +∞ (1.1)

Ω

Vì Ω bị chặn và u ∈ Lq (Ω) nên
(mes Ω)

q−p
q

< +∞.

Vậy u ∈ Lp (Ω).
Từ công thức (1.1) ta suy ra
 p1



|u|p dx ≤ (mes Ω)



 pq1


q−p
q

|u|q dx



Ω

Ω

 1q


= (mes Ω)

q−p
q

|u|q dx .


Ω

Tức là
||u||Lp (Ω) ≤ (mes Ω)

q−p
q

.||u||Lq (Ω) .

Từ (1.2) chứng tỏ ánh xạ j : Lq (Ω) → Lp (Ω) là liên tục và
||j|| ≤ (mes Ω)

1.3.3

q−p
q

1

1

= (mes Ω) p − q .

Định lý nhúng của không gian W l,p (Ω)

Định lý 1.2. Cho Ω ⊂ Rn là tập bị chặn.
Khi đó, ta có các khẳng định sau

1. Nếu lp < n và
np
Với q ≤ n−pl
, thì W l,p (Ω) nhúng liên tục vào Lq (Ω),
np
Với q < n−pl
, thì W l,p (Ω) nhúng hoàn toàn liên tục vào Lq (Ω).
2. Nếu lp > n và
l,p
β
Với β ≤ pl−n
p , thì W (Ω) nhúng liên tục vào C (Ω),
l,p
β
Với β < pl−n
p , thì W (Ω) nhúng hoàn toàn liên tục vào C (Ω).

10

(1.2)


Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

1.4

Một số bất đẳng thức

1.4.1

Bất đẳng thức Young

Ta có bất đẳng thức Young
|a|p |b|q
|ab| ≤
+
,
p
q

trong đó p, q ∈ R; p > 0; q > 0 thỏa mãn
Nhận xét 1.5.
Cauchy.

1
p

+

1
q

(1.3)

= 1.

i) Khi p = q = 2, bất đẳng thức (1.3) chính là bất đẳng thức
1

1

ii) Thay a bởi ε p a, b bởi ε− p b, với ε > 0. Khi đó (1.3) trở thành
q

q
ε|a|p ε− p |b|q
|ab| ≤
+
≤ ε|a|p + ε− p |b|q .
p
q

1.4.2

Bất đẳng thức Holder

Với u ∈ Lp (Ω); v ∈ Lq (Ω) và

1
p

+

1
q

= 1, ta có bất đẳng thức Holder



 p1 

uvdx ≤ 

|u|p dx 

Ω

 1q
|u|q dx = ||u||p ||u||q .
Ω

Ω

Nhận xét 1.6. i) Khi p = q = 2 bất đẳng thức Holder trở thành bất đẳng
thức Schwarz
 12

 21 
uvdx ≤
Ω

Ω

|u|2 dx = ||u||L2 (Ω) ||u||L2 (Ω) .

|u|2 dx 

|uv|dx ≤

Ω

Ω

ii) Trong trường hợp tổng quát với m là hàm u1 , u2 , . . . , um nằm trong không
gian Lp1 (Ω), Lp2 (Ω), . . . , Lpm (Ω), bất đẳng thức Holder có dạng
u1 u2 . . . um dx ≤ ||u||p1 ||u||p2 . . . ||u||pm ,
Ω

với

1
p1

+

1
p2

+ ··· +

1
pm

= 1.

11


Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

1.4.3

Bất đẳng thức Poincare

Giả sử Ω là miền bị chặn và p ≥ 1. Khi đó, tồn tại số c = c(Ω) > 0 sao cho
n

|uxj (x)|2 dx;

2

|u(x)| dx ≤ c
Ω

Ω

j=1

với mọi hàm u(x) ∈ W01,2 (Ω).

1.5
1.5.1

Định lý Fredholm đối với phương trình tuyến tính
Định nghĩa ánh xạ compact

Định nghĩa 1.10. Cho V1 , V2 là hai không gian tuyến tính định chuẩn.
Ánh xạ T : V1 → V2 được gọi là compact nếu T biến các tập bị chặn trong V1
thành các tập tiền compact trong V2 .

1.5.2

Định nghĩa ánh xạ liên hợp

Định nghĩa 1.11. Cho T là toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert
H . Khi đó, ánh xạ liên hợp T ∗ cũng là tuyến tính bị chặn trong H , được xác
định bởi
(T ∗ y, x) = (y, T x)

với mọi x, y ∈ H .
(x)||
Rõ ràng, ||T ∗ || = ||T ||, ở đây ||T || = sup ||T||x||
.
x=0

Nhận xét 1.7. Nếu T compact thì T ∗ cũng compact.
1.5.3

Định lý Fredholm trong không gian Banach

Định lý 1.3. Cho V là không gian tuyến tính định chuẩn.
T : V → V là ánh xạ tuyến tính compact.
Khi đó, nếu phương trình
x − Tx = 0

duy nhất nghiệm, thì với mọi y ∈ V , phương trình
x − Tx = y

có nghiệm duy nhất và toán tử (I − T )−1 là toán tử bị chặn.

12


Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

Định lý 1.4. Cho V là không gian tuyến tính định chuẩn.
T : V → V là ánh xạ tuyến tính compact.
Khi đó, tập hợp các giá trị riêng của nó là đếm được và sẽ không có điểm tụ nào
ngoài λ = 0. Mỗi giá trị riêng khác không đều có bội hữu hạn.
1.5.4

Định lý Fredholm trong không gian Hilbert

Định lý 1.5. Cho H là không gian Hilbert và T : H → H là ánh xạ compact.
Khi đó, tồn tại một tập đếm được Λ ⊂ R chứa vô hạn các phần tử trừ λ = 0, sao
cho nếu λ = 0, λ ∈
/ Λ thì các phương trình
λx − T x = y, λx − T ∗ x = y

(1.4)

có nghiệm duy nhất xác định x ∈ H với mọi y ∈ H , và các ánh xạ ngược
(λI − T )−1 , (λI − T ∗ )−1 đều bị chặn.
Nếu λ ∈ Λ, không gian rỗng của ánh xạ λI − T, λI − T ∗ có chiều dương xác định
và phương trình (1.4) là giải được khi và chỉ khi y trực giao với không gian rỗng
của λI − T ∗ trong trường hợp thứ nhất và λI − T trong các trường hợp khác.

13

Chương 2

Bài toán Dirichlet cho hệ phương
trình elliptic
2.1

Nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet

2.1.1

Hệ phương trình elliptic và bài toán Dirichlet

a) Hệ phương trình elliptic
Với x ∈ Ω ⊂ Rn , xét hệ phương trình dạng bảo toàn
Lu ≡

∂
∂fi
[aij (x)uxj + Ai (x)u] + Bi (x)uxi + B(x)u =
+ f,
∂xi
∂xi

(2.1)

ở đây, u, fi và f là các hàm vecto N phần tử
u1
 u2 





u =  ..

.

fi1
 fi2 







 ; f =  ..
.

 ; fi =  ..
.

fiN

uN

f1
 f2 



;

fN

aij (x) là hàm vô hướng : aij (x).uxj = aij (x).E.uxj ;
Ai (x), Bi (x), B(x) là các ma trận vuông cấp N.

Giả sử rằng các hệ số aij của hệ (2.1) thỏa mãn bất đẳng thức
n

n

ξi2

λ

ξi2 ; λ, µ = const > 0,

≤ aij (x)ξi ξj ≤ µ

i,j=1

(2.2)

i=1

với ∀x ∈ Ω; ∀ξi ∈ Rn .
Khi đó hệ (2.1) là hệ phương trình elliptic.
b) Bài toán Dirichlet

Bài toán Dirichlet đối với hệ phương trình (2.1) là bài toán tìm hàm vecto

14


Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic

u(x) trong Ω của hệ phương trình (2.1) và thỏa mãn điều kiện biên
u|S = ϕ|S ,

(2.3)

im
im
||aim
i , bi ||Lq (Ω) , ||b ||L q (Ω) < µ; q > n.

(2.4)

với ϕ(x) ∈ W 1,2 (Ω).
Ta giả sử thêm điều kiện
2

Với mọi hàm fi (x), f (x) và ϕ(x) thỏa mãn
||fi ||L2 (Ω) ||f ||L

2ˆ
n (Ω)
n
ˆ +2

, ||ϕ||W 1,2 (Ω) < ∞,

(2.5)

ở đây
n
ˆ=

n
2+ε

với n > 2;
với n = 2; ε > 0.

Các giả thiết fi , f, ϕ là cần thiết đối với sự tồn tại của nghiệm suy rộng thuộc
W 1,2 (Ω) của hệ (2.1).
2.1.2

Nghiệm suy rộng

1. Nghiệm suy rộng của hệ phương trình elliptic
Hàm vecto u(x) ∈ W 1,2 (Ω) được gọi là nghiệm suy rộng của hệ (2.1) nếu với
mọi hàm vecto η(x) ∈ W01,2 (Ω), thỏa mãn đẳng thức tích phân
(aij uxj + Ai u − fi )ηxi − (Bi uxi + Bu − f )η dx = 0.

(2.6)

Ω

2. Nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet
Hàm u(x) ∈ W 1,2 (Ω) được gọi là nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet nếu
u(x) là nghiệm suy rộng của hệ phương trình (2.1) và u(x) − ϕ(x) ∈ W01,2 (Ω).

2.2

Bất đẳng thức cơ bản thứ nhất. Sự tồn tại và duy nhất
của nghiệm suy rộng

2.2.1

Bất đẳng thức cơ bản thứ nhất

Xét bài toán (2.1), (2.3) thỏa mãn các điều kiện (2.2), (2.4), (2.5). Do hàm
vecto u(x) ∈ W 1,2 (Ω) là nghiệm suy rộng của hệ (2.1), nên
L(u, η) ≡

aij uxj + Ai u ηxi − (Bi uxi + Bu) η dx =
Ω

(fi ηxi − f η) dx,
Ω

15


Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic

hay,
L(u, η) = (fi , ηxi ) − (f, η),

(2.7)

với η(x) ∈ W01,2 (Ω) và thỏa mãn u(x) − ϕ(x) ∈ W01,2 (Ω).
Đặt
v(x) = u(x) − ϕ(x).

Với hàm này, từ đẳng thức (2.7) ta thu được
L(v, η) = −L(ϕ, η) + (fi , ηxi ) − (f, η),

(2.8)

v|S = 0,

(2.9)

và từ (2.3) ta có
với v ∈ W01,2 (Ω). Đến đây, thay vì xét hàm u, ta tìm hàm v ∈ W01,2 (Ω) thỏa mãn
đẳng thức (2.8). Từ đó, ta cũng suy ra được hàm u = v + ϕ là nghiệm suy rộng
của bài toán (2.1), (2.3).
Xét
(2.10)
l(η) = −L(ϕ, η) + (fi , ηxi ) − (f, η)
là phiếm hàm tuyến tính trên W 1,2 (Ω).
Bước 1 Đánh giá |l(η)|.
Ta có
|l(η)| ≤ |L(ϕ, η)| +

(fi , ηxi ) + |(f, η)|
i

≤
Ω

|Bi ϕxi η| + |Bϕη|

|Ai ϕηxj | +

|aij ϕxj ηxi | +
i

i,j

dx+

(2.11)

i

|(fi , ηxi )| + |(f, η)|.

+
i

Với u ∈ W 1,2 (Ω), η ∈ W01,2 (Ω) bất kì, cˆ(q, Ω) và c(q, Ω) là các hằng số thì

||u||L 2q (Ω) ≤ c(q, Ω)||u||W 1,2 (Ω) , q ≥ n
ˆ 

q−2

||η||L

1

2q (Ω)
q−2

1

≤ c(q, Ω) mes n − q Ω||∇η||L2 (Ω)

≡ cˆ(q, Ω)||∇η||L2 (Ω) , q ≥ n
ˆ.

(2.12)




Mặt khác, theo bất đẳng thức Holder ta có
|(f, η)| ≤ ||f ||L

2ˆ
n (Ω)
n
ˆ +2

||η||L

2ˆ

n (Ω)
n
ˆ −2

≤ cˆ(ˆ
n, Ω)||f ||L

2ˆ
n (Ω)
n
ˆ +2

|(fi , ηxi )| ≤ ||f ||L2 (Ω) ||∇η||L2 (Ω) .

16

||∇η||L2 (Ω) ,

(2.13)


Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic

|L(ϕ, η)| ≤

≤µ

∇ϕ∇ηdx + µ
Ω

∇ϕηdx + µ

ϕ∇ηdx + µ
Ω

Ω



 21 

≤ µ

|∇ϕ|2 dx 
Ω

 21 

+ µ

|∇ϕ|2 dx 
Ω

ϕηdx
Ω

 21

 q−2


2q



|ϕ| q−2 dx

Ω

 q−2

2q



2q

|η| q−2 dx

2q

2q (Ω)
q−2

Ω

||∇η||L2 (Ω) + µ||η||L

2q (Ω)
q−2

||η||L

|η| q−2 dx



Ω

+µ||ϕ||L

 q−2
2q

2q

|ϕ| q−2 dx

+

Ω

≤ µ||∇ϕ||L2 (Ω) ||∇η||L2 (Ω) + µ||ϕ||L

|∇η|2 dx +



Ω

 q−2

2q

 12

2q

|∇η|2 dx + µ 
Ω



Ω

Ω

Ω

Ω

Bϕηdx

Bi ϕxi ηdx +

Ai ϕηxi dx +

aij ϕxj ηxi dx +

2q (Ω)
q−2

2q (Ω)
q−2

||∇ϕ||L2 (Ω) +

(2.14)

.

Áp dụng (2.12) vào (2.14) ta được
|L(ϕ, η)| ≤ µ||∇ϕ||L2 (Ω) ||∇η||L2 (Ω) + µ c(q, Ω)||ϕ||W 1,2 (Ω) ||∇η||L2 (Ω) +
+ µ cˆ(q, Ω)||∇η||W 1,2 (Ω) ||∇ϕ||L2 (Ω) + µ c(q, Ω)||ϕ||W 1,2 (Ω)

cˆ(q, Ω)||∇η||W 1,2 (Ω)

≤ µ [1 + c(q, Ω) + cˆ(q, Ω) + c(q, Ω)ˆ
c(q, Ω)] ||ϕ||W 1,2 (Ω) ||∇η||L2 (Ω)
≤ µ [(1 + c(q, Ω)) (1 + cˆ(q, Ω))] ||ϕ||W 1,2 (Ω) ||∇η||L2 (Ω) .

(2.15)

Thay (2.13), (2.15) vào (2.11) ta được
|l(η)| ≤ {µ[(1+c(q, Ω))(1+ˆ
c(q, Ω))]||ϕ||W 1,2 (Ω) +||f ||L2 (Ω) +ˆ
c(ˆ
n, Ω)||f ||L

2ˆ
n (Ω)
n

ˆ +2

≡ c(q, Ω, ϕ, f, f )||∇η||L2 (Ω) .

}||∇η||L2 (Ω)

(2.16)

Bước 2 Chứng minh bất đẳng thức cơ bản thứ nhất với các toán tử elliptic.
Với hàm v(x) ∈ W01,2 (Ω) bất kì, ta có bất đẳng thức
||v||2L

2q (Ω)
q−2

n
n
n
≤ c2 (q) ε ||∇v||2L2 (Ω) + ε− q−n (1 − )||v||2L2 (Ω) ,
q
q

trong đó ε > 0 bất kỳ.
Xét hệ số B(x) có dạng
B(x) = B + (x) − B − (x),

với
B + (x) = max{B(x) − B0 ; 0};
B − (x) = −B0 + max{−B(x) + B0 ; 0};
17

(2.17)


Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic

và
B0 =

1
mes Ω

B(x)dx.
Ω

Ta định nghĩa
M = max




n



i=1

(Bi − Ai )2

; ||B + ||L q (Ω)

2




(2.18)



L q (Ω)
2

Trước hết, ta đi xét bổ đề sau
Bổ đề 2.1. Giả sử rằng các điều kiện (2.2), (2.4) thỏa mãn. Khi đó, với hàm
v ∈ W01,2 (Ω) bất kỳ thì
4
4
|∇v|2 + B − v 2 dx ≤ L(v, v) + c1 (q)||v||2L2 (Ω) ,
λ
λ

(2.19)

Ω

ở đây c1 (q) =

M (2λ+1)n 2
2c (q)
λ2 q

q
q−n

q−n
n .

Chứng minh. Theo điều kiện elliptic (2.2) ta có
(λ|∇v|2 + B − v 2 )dx ≤ L(v, v) +

|Ai − Bi ||vvxi | + B + v 2 dx
Ω

Ω

1
4ε

ε|∇v|2 +

≤ L(v, v) +

(Ai − Bi )2 + B + v 2

(2.20)

dx,

i

Ω

ở đây, ε là số dương tùy ý.
Áp dụng bất đẳng thức Holder cho hai phần tử cuối trong tích phân vế phải bất
đẳng thức (2.20) ta được
1
4ε
Ω

(Ai − Bi )2 + B + v 2 dx ≤
i
q
2


1
4ε

≤
Ω

≤

2q

(Ai − Bi )2 + B +

|v| q−2 dx

dx 

i

1
4ε

 q−2
q

 2q 
Ω

(Ai − Bi )2 + B +
i

||v||2L
L q (Ω)

2q (Ω)
q−2

≤

2


≤


1

4ε

(Ai − Bi )2

+ ||B + ||L q (Ω)  ||v||2L
2

i

L q (Ω)
2

18

2q (Ω)
q−2

≤


Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic

≤M

1
+ 1 ||v||2L 2q (Ω) .
4ε
q−2

Từ bất đẳng thức này và bất đẳng thức (2.20) ta rút ra

λ|∇v|2 + B − v 2 dx ≤ L(v, v) + ε

|∇v|2 dx + M (

1
+ 1)||v||2L 2q (Ω)
4ε
q−2

Ω

Ω

λ
|∇v|2 + B − v 2
2

⇔

dx ≤ L(v, v) +

M (4ε + 1)
||v||2L 2q (Ω)
4ε
q−2

Ω

2
2

M (4ε + 1) 2
|∇v|2 + B − v 2 dx ≤ L(v, v) +
. ||v||2L 2q (Ω)
λ
λ
4ε
λ
q−2

⇔
Ω

2
2
M (4ε + 1)
|∇v|2 + B − v 2 dx ≤ L(v, v) +
||v||2L 2q (Ω) .
λ
λ
2ελ
q−2

⇔

(2.21)

Ω

Đặt ε = λ2 , bất đẳng thức (2.21) trở thành
M (2λ + 1)

2
2
||v||2L 2q (Ω) .
|∇v|2 + B − v 2 dx ≤ L(v, v) +
λ
λ
λ2
q−2

(2.22)

Ω

Kết hợp (2.17) và (2.22), rút ra
2
M (2λ + 1) 2
n
2
|∇v|2 + B − v 2 dx ≤ L(v, v) +
c (q) ε ||∇v||2L2 (Ω) +
2
λ
λ
λ
q
Ω
n

+ε− q−n (1 −
≤

n
)||v||2L2 (Ω)
q

n
2
M (2λ + 1) 2
n
n
M (2λ + 1) 2
− q−n
2
L(v, v) +
c
(q)ε
||∇v||
c
(q)ε
(1 − )||v||2L2 (Ω) .
+
L
2
2
2 (Ω)
λ
λ
q
λ
q

Đặt ε =

λ2 q
,
2M (2λ+1)c2 (q)n

bất phương trình trên trở thành

2
2
M (2λ + 1)
λ2 q
n
|∇v|2 + B − v 2 dx ≤ L(v, v) + c2 (q)
||v||2L2 (Ω) +
2
2
λ
λ
λ
2M (2λ + 1)c (q)n q
Ω

+

M (2λ + 1) 2
λ2 q
c
(q)

λ2
2M (2λ + 1)c2 (q)n

−n
q−n

(1 −

n
)||v||2L2 (Ω)
q

2
2
1
|∇v|2 + B − v 2 dx ≤ L(v, v) +
λ
λ
2

⇔
Ω

M (2λ + 1)c2 (q)
+
λ2

|∇v|2 dx+
Ω

λ2 q
2M (2λ + 1)c2 (q)n
19

−n
q−n

(1 −

n
)||v||2L2 (Ω)
q


Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic

4
4
|∇v|2 + B − v 2 dx ≤ L(v, v) + c1 (q)||v||2L2 (Ω) ,
λ
λ

⇔
Ω

với c1 (q) =

2M (2λ+1)c2 (q)
λ2

λ2 q
2M (2λ+1)c2 (q)n

−n
q−n

.

Vậy bổ đề đã được chứng minh xong.
Ta cần sử dụng bất đẳng thức (2.19) để đánh giá nghiệm suy rộng của bài toán
Dirichlet (2.1), (2.3).
Từ (2.8), (2.9), (2.10) ta có
L(v, v) = L(ϕ, v) + (fi , vxi ) − (f, v) ≡ l(v),

với v = u − ϕ.
Khi đó, (2.19) trở thành
4
4
|∇v|2 + B − v 2 dx ≤ l(v) + c1 (q)||v||2L2 (Ω)
λ
λ
Ω

4
c(q, Ω, ϕ, f, f )||v||L2 (Ω) + c1 (q)||v||2L2 (Ω)
λ
8
1
≤ ||v||2L2 (Ω) + 2 c2 (q, Ω, ϕ, f, f ) + c1 (q)||v||2L2 (Ω)
2

λ
1
8
≤
|v|2L2 (Ω) + 2 c2 (q, Ω, ϕ, f, f ) + c1 (q)||v||2L2 (Ω) .
2
λ
≤

Ω

Rút gọn hai vế của bất đẳng thức trên ta được
4
1
8
|∇v|2 + B − v 2 dx ≤ 2 c2 (q, Ω, ϕ, f, f ) + c1 (q)||v||2L2 (Ω) .
2
λ
λ

(2.23)

Ω

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức (2.23) với 2, ta được
8
16
|∇v|2 + B − v 2 dx ≤ 2 c2 (q, Ω, ϕ, f, f ) + 2c1 (q)||v||2L2 (Ω) .
λ
λ

(2.24)

Ω

Đến đây, ta có thể triệt tiêu được phần tử ||v||2L2 (Ω) ở vế phải bất đẳng thức
(2.24).
a) Thật vậy, vì v ∈ W01,2 (Ω) nên
1

||v||L2 (Ω) ≤ c0 mes n (Ω)||v||2L2 (Ω)

Mà B − (x) = −B0 . Từ hai điều này, (2.22) trở thành
16
8
|∇v|2 − B0 v 2 dx ≤ 2 c2 (q, Ω, ϕ, f, f ) + 2c1 (q)||v||2L2 (Ω) .
λ
λ
Ω

20

(2.25)


Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic

|∇v|2 dx ≤

⇔

2
16
c(q, Ω, ϕ, f, f )2 + 2c1 (q)c20 mes n Ω||∇v||4L2 (Ω) +
2
λ

Ω

Ω

|∇v|2 dx ≤

⇔

8
B0 v 2 dx.
λ

2
2
16 2
8
c (q, Ω, ϕ, f, f )+2c1 (q)c20 mes n Ω||∇v||4L2 (Ω) + B0 c20 mes n Ω||∇v||4L2 (Ω) .
2
λ
λ

Ω

|∇v|2 dx ≤

⇔

2
16 2
8
c (q, Ω, ϕ, f, f ) + 2c1 (q) + B0 c20 mes n Ω
2
λ
λ

Ω

|∇v|2 dx.
Ω

2
8
16
1 − 2c1 (q) + B0 c20 mes n Ω |∇v|2 dx ≤ 2 c2 (q, Ω, ϕ, f, f ).
λ
λ

⇔

(2.26)

Ω

Đặt

2
8
δ ≡ 2c1 (q) + B0 c20 mes n Ω < 1,
λ

ta rút ra được
(1 − δ)|∇v|2 dx ≤

16 2
c (q, Ω, ϕ, f, f ).
λ2

Ω

Suy ra
|∇v|2 dx ≤

16
c2 (q, Ω, ϕ, f, f ).
(1 − δ)λ2

(2.27)

Ω

b) Trường hợp ϕ ≡ 0, thì v ≡ u là nghiệm của (2.1).
Khi đó (2.24) và (2.27) tương ứng trở thành
8

16
|∇u| + B − u2 dx ≤ 2 ||f ||L2 (Ω) + c(n, Ω)||f ||L 2n (Ω)
λ
λ
n+2
2

2

+

(2.28)

Ω

+2c1 (q)||u||2L2 (Ω) ,

và
16
|∇v| dx ≤
||f ||L2 (Ω) + c(n, Ω)||f ||L 2n (Ω)
(1 − δ)v 2
n+2
2

2

.

(2.29)

Ω

c) Trường hợp ϕ = 0.
Khi đó, u = v + ϕ là nghiệm suy rộng của bài toán (2.1), (2.3) thì (2.22) và (2.25)
trở thành
8
32
|∇u|2 + B − u2 dx ≤ 2 c2 (q, Ω, ϕ, f, f )+
λ
λ

Ω

|∇ϕ|2 +

+2

8 −
|B | + 4c1 (q) ϕ2 dx + 8c1 (q)||u||2L2 (Ω)
λ

Ω

21


Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic

≡ c21 (q, Ω, ϕ, f, f ) + 8c1 (q)||u||2L2 (Ω) .

và
|∇u|2 dx ≤

32
c2 (q, Ω, ϕ, f, f ) + 2
(1 − η)λ2

Ω

(2.30)
|∇ϕ|2 dx

Ω

≡ c2 (q, Ω, ϕ, f, f ).

(2.31)

Trong các bất đẳng thức trên, hằng số c(q, Ω, ϕ, f, f ) được cho bởi (2.16) và c1 (q)
được cho bởi (2.19). Bất đẳng thức (2.30) là bất đẳng thức cơ bản đối với nghiệm
của bài toán (2.1), (2.3). Trường hợp ϕ ≡ 0, thì bất đẳng thức (2.28) là bất đẳng
thức cơ bản thứ nhất đối với nghiệm của bài toán.Khi điều kiện δ < 1, ta có thể
sử dụng các bất đẳng thức (2.29) và (2.31).
d) Tiếp theo ta chỉ ra rằng với n ≥ 3, trường hợp q = n vẫn giữ lại một số dạng
cơ bản của bài toán Dirichlet.
Thật vậy, giả sử điều kiện (2.2) được thỏa mãn và
n

n

a2i ,
i=1

b2i , a
i=1

≤ µ; n ≥ 3.

(2.32)

L n (Ω)
2

Ta viết
Bi (x) − Ai (x) = ci (x) + ci (x),
A+ (x) = c (x) + c (x).

(2.33)

với ci (x), c (x) là các hàm bị chặn và ci (x), c (x) tương ứng thuộc Ln (Ω) và L n2 (Ω) .
Giả sử rằng
n

[ci (x)]2 , |c (x)|

max

≤ Mε ,

i=1
n

(2.34)
2

≤ε.

(ci ) , c
i=1

L n (Ω)
2

Rõ ràng, trong trường hợp tổng quát Mε không bị chặn khi ε → 0; và Mε trên
ε xác định bởi µ trong (2.32) và toán tử L. Với toán tử L, ta có bất đẳng thức
tương tự với (2.19). Việc rút ra bất đẳng thức này giống như việc suy ra bất
đẳng thức (2.19), cụ thể: ta cần đánh giá các phần tử vế phải của bất đẳng thức
(2.20) bằng việc áp dụng các phương trình (2.33).
Ta có
λ|∇v|2 + B − v 2 dx ≤ L(v, v) +
Ω

ε|∇v|2 + [
Ω

22

1
4ε

(Ai − Bi )2 + A+ ]v 2 dx
i


Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic

1
4ε

ε|∇v|2 +

≤ L(v, v) +

(ci (x) + ci (x))2 + (c (x) + c (x)) v 2 dx
i

Ω

1
4ε

ε|∇v|2 dx +

≤ L(v, v) +
Ω

Ω

1

4ε

+

i

(ci (x))2 + c (x) v 2 dx
i

Ω

ε|∇v|2 dx +

≤ L(v, v) +

(ci (x))2 + c (x) v 2 dx+

λ+1
λ+1
Mε ||v||2L2 (Ω) +
ε ||v||2L 2n .
λ
λ
n−2 (Ω)

Ω

Đặt ε = λ2 , bất đẳng thức trên trở thành
λ+1
λ+1

λ
|∇v|2 dx+
Mε ||v||2L2 (Ω) +
ε ||v||2L 2n .
2
λ
λ
n−2 (Ω)

λ|∇v|2 + B − v 2 dx ≤ L(v, v)+
Ω

Ω

Suy ra
λ
|∇v|2 + B − v 2
2

dx ≤ L(v, v) +

λ+1
λ+1
Mε ||v||2L2 (Ω) +
ε ||v||2L 2n .
λ
λ
n−2 (Ω)

Ω

Khi đó
2
2(λ + 1)
2
2(λ + 1)
|∇v|2 + B − v 2 dx ≤ L(v, v) +
Mε ||v||2L2 (Ω) +
ε ||v||2L 2n (Ω) .
2
2
λ
λ
λ
λ
n−2
Ω

(2.35)
Mà v ∈ W02,1 (Ω) nên theo bất đẳng thức (2.12) ta có
||v||L

2n (Ω)
n−2

≤ c(n, Ω)||∇v||L2 (Ω) .

Suy ra,
||v||2L

Khi đó

2n (Ω)
n−2

≤ c2 (n)||∇v||2L2 (Ω) .

2(λ + 1)
2(λ + 1) 2
ε ||v||2L 2n (Ω) ≤ ε
c (n)||∇v||2L2 (Ω) .
2
2
λ
λ
n−2

(2.36)

Ta chọn ε sao cho
ε

2(λ + 1) 2
c (n) ≤ δ1 < 1.
λ2

(2.37)

Kết hợp (2.36) và (2.37) ta có
2(λ + 1)

ε ||v||2L 2n (Ω) ≤ δ1 ||∇v||2L2 (Ω) .
2
λ
n−2
23

(2.38)


Chương 2. Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic

Thế (2.38) vào (2.35) ta được
2
2(λ + 1)
2
Mε ||v||2L2 (Ω) .
(1 − δ1 )|∇v|2 + B − v 2 dx ≤ L(v, v) +
λ
λ
λ2

(2.39)

Ω

Đặt v = u − ϕ, bất đẳng thức trên trở thành
2
2(λ + 1)
2
Mε ||v||2L2 (Ω) .

(1 − δ1 )|∇v|2 + B − v 2 dx ≤ l(v) +
2
λ
λ
λ

(2.40)

Ω

Thay (2.16) vào bất đẳng thức (2.40) ta được
2
2
(1 − δ1 )|∇v|2 + B − v 2 dx ≤ c(q, Ω, ϕ, f, f )||∇v||L2 (Ω) +
λ
λ
Ω

+

2(λ + 1)
Mε ||v||2L2 (Ω) .
λ2

(2.41)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy vào (2.41) ta rút ra
2
ε
1 2 2

(1 − δ1 )|∇v|2 + B − v 2 dx ≤ ||∇v||2L2 (Ω) +
c (q, Ω, ϕ, f, f )+
λ
2
2ε λ2
Ω

+

2(λ + 1)
Mε ||v||2L2 (Ω) .
λ2

Đặt ε = 1 − δ1 , đồng thời rút gọn hai vế bất phương trình trên ta thu được kết
quả
(1−δ1 )
2
2 |∇v|

+ λ2 B − v 2 dx ≤

Ω

≤

2
λ2 (1 − δ

1)

c2 (q, Ω, ϕ, f, f ) +

2(λ + 1)
Mε ||v||2L2 (Ω) .
λ2

(2.42)

Vậy (2.42) chính là bất đẳng thức cơ bản thứ nhất đối với nghiệm suy rộng của
hệ phương trình (2.1) trong W01,2 (Ω).
Hệ quả 2.1. Nếu ϕ ≡ 0 thì v ≡ u là nghiệm của phương trình (2.1).
Khi đó
1−δ1
2
2 |∇v|

+ λ2 B − v 2 dx ≤

Ω

≤

2
||f ||L2 (Ω) + c(n, Ω)||f ||L 2n (Ω)
2
λ (1 − δ1 )
n+2

2

+

2(λ + 1)
Mε ||v||2L2 (Ω) .
λ2

(2.43)

Từ đây, ta thấy sự tương ứng của bất đẳng thức trên với nghiệm suy rộng
u(x) ∈ W 1,2 (Ω) của bất đẳng thức (2.30).
Nếu
2
1 − δ1
2 λ+1
−
Mε − min a− (x) c20 mes n Ω1 ≥ δ2 > 0,
(2.44)
2

λ

λ

Ω1

24