Phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*******

ĐOÀN THỊ LINH

PHỔ CỦA TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH
TỰ LIÊN HỢP BỊ CHẶN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học:
ThS. HOÀNG NGỌC TUẤN

Hà Nội - 2015


LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của bài khóa luận này, em xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới Thạc sỹ Hoàng Ngọc Tuấn người đã tận tình hướng dẫn để em có
thể hoàn thành đề tài này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong
khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt
quá trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè
đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề
tài khóa luận này.


LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan đề tài khóa luận "Phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị
chặn" được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Thạc sỹ Hoàng Ngọc Tuấn không
trùng với bất kì đề tài nào khác.
Trong quá trình hoàn thành đề tài, em đã kế thừa những thành tựu của các nhà
khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, ngày

tháng 05 năm 2015
Sinh viên

Đoàn Thị Linh


Mục lục
Lời Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1. Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.1. Định nghĩa không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Toán tử liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3. Tính trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4
4
5

1.3. Phổ của toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Chương 2. phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn . . . . . . . . . . . . . .

7

2.1. Các tính chất phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn . . . . . .

7

2.1.1. Định lý giá trị riêng, vectơ riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2. Định lý tập giải thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3. Định lí phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7
8
9

2.2. Một số tính chất phổ khác của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn .

10
2.2.1. Định lý phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2. Định lý chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3. Định lý (m và M là các giá trị phổ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4. Định lý phổ thặng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3. Toán tử dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1. Định lý tích của toán tử dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2. Định nghĩa dãy đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3. Định lý dãy đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

10
11
11
12

13
13
15
16


2.4. Căn bậc hai của toán tử dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.4.1. Định nghĩa căn bậc hai dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2. Định lý căn bậc hai dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17
18

2.5. Phép chiếu toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1. Định lý phép chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2. Định lý tính dương, chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3. Định lý tích của các phép chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.4. Định lý tổng của các phép chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6. Các tính chất khác của phép chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1. Định lý quan hệ thứ tự riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2. Định lý hiệu của các phép chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.3. Định lý dãy đơn điệu tăng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.7. Họ phổ của một toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn . . . . . . . . . .

20
21
22
22
23

24
24
25
26

28

2.7.1. Định nghĩa họ phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.2. Họ phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.3. Mệnh đề toán tử liên hợp với T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.4. Bổ đề các toán tử liên quan với Tλ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.5. Định lý họ phổ liên kết với một toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28
32
33
35
36

2.8. Biểu diễn phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn . . . . . . . . .

39

2.8.1. Định lý phổ cho toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.2. Định lý các tính chất của p(T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39
42

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

LỜI MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Lý thuyết toán tử tuyến tính và lý thuyết phổ đóng vai trò quan trọng trong Giải
tích hàm và nhiều ngành toán học khác, vì thế nó được nhiều nhà toán học quan
tâm. Trong học phần Giải tích hàm, sinh viên chỉ mới được cung cấp một số kiến
thức cơ bản của toán tử tuyến tính liên tục. Mục đích của khoá luận là tìm hiểu,
nghiên cứu các tính chất phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn. Với mục
đích đó, dựa vào các tài liệu tham khảo, em tìm hiểu các khái niệm và các tính chất
cơ bản, chứng minh chi tiết một số mệnh đề định lý có trong các tài liệu.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu các tính chất phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn.
3. Phương pháp nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu dựa trên sự kết hợp của các phương pháp: nghiên cứu lý luận,
phân tích, tổng hợp, đánh giá.
4. Phạm vi nghiên cứu
Do thời gian không nhiều nên bài khóa luận chỉ tìm hiểu được một số tính chất
phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn.
5. Bố cục đề tài
Bố cục của đề tài bao gồm :
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị.
1. Không gian định chuẩn.
2. Không gian Hilbert.
Chương 2: Phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn.
1. Các tính chất phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn.
2. Một số tính chất phổ khác của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn.
3. Toán tử dương.
4. Căn bậc hai của toán tử dương.
5. Phép chiếu toán tử.
6. Các tính chất của phép chiếu.

7. Họ phổ.
8. Họ phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn.
9. Biểu diễn phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn.
Do thời gian thực hiện đề tài không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên bài khóa luận
không tránh khỏi những sai sót. Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến
phản biện của quý thầy cô và bạn đọc. Xin chân thành cảm ơn!
1


Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
1.1.

Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi X là không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính
định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P (P = R hoặc C) cùng với ánh
xạ || || : X −→ R thỏa mãn các tiên đề sau:
1. ∀x ∈ X, || x || 0, || x || = 0 ⇔ x = 0.
2. ∀x ∈ X, ∀α ∈ P, || αx || = |α| · || x ||.
3. ∀x, y ∈ X, || x + y || || x || + || y ||.
Số || x || được gọi là chuẩn của vectơ x.
Các tiên đề 1, 2, 3 gọi là các tiên đề chuẩn.
Định nghĩa 1.1.2. Dãy điểm (xn ) trong không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ bản
nếu:
lim || xn − xm || = 0.
n,m→∞

Định nghĩa 1.1.3. Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach, nếu mọi

dãy cơ bản trong X đều hội tụ.
Định nghĩa 1.1.4. Cho hai không gian tuyến tính bất kì X, Y trên trường P (P = R
hoặc C). Một ánh xạ T : X −→ Y gọi là ánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu
i) T (x1 + x2 ) = T (x1 ) + T (x2 ), ∀x1 , x2 ∈ X.
ii) T (αx) = αT x, ∀α, ∀x ∈ X.

2


Điều kiện tương đương
T (α1 x1 + · · · + αk xk ) = α1 T x1 + · · · + αk T xk ,
với mọi x1 , · · · , xk thuộc X và với mọi α1 , · · · , αk .
Nếu X = Y thì ta nói T là một toán tử trong X.
Định nghĩa 1.1.5. Giả sử X, Y là hai không gian định chuẩn. Toán tử T : X −→ Y
gọi là liên tục nếu
xn −→ x0
thì
T xn −→ T x0 .
Định nghĩa 1.1.6. Toán tử T : X −→ Y gọi là bị chặn nếu có một hằng số c > 0 để
với mọi x ∈ X:
(∗)

|| T x ||

c || x || .

Định lý 1.1.1. Cho T là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không
gian định chuẩn Y. Khi đó ba mệnh đề sau tương đương
1. T liên tục.
2. T liên tục tại điểm x0 nào đó thuộc X.

3. T bị chặn.
Định nghĩa 1.1.7. Cho T là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian định chuẩn X
vào không gian định chuẩn Y. Hằng số c > 0 nhỏ nhất thỏa mãn hệ thức (∗) gọi là
chuẩn của toán tử T và kí hiệu là ||T ||.
Định lý 1.1.2. Cho toán tử tuyến tính T từ không gian định chuẩn X vào không gian
định chuẩn Y. Nếu toán tử T bị chặn thì
|| T || = sup || T || ,
||x|| 1

hay,
|| T || = sup || T || .
||x||=1

Định nghĩa 1.1.8. Toán tử tuyến tính T : X −→ Y (X, Y là hai không gian định
chuẩn) gọi là toán tử compact nếu T biến một tập bị chặn bất kì trong X thành tập
compact tương đối trong Y.
Toán tử compact còn gọi là toán tử hoàn toàn liên tục.

3


1.2.

Không gian Hilbert

1.2.1.

Định nghĩa không gian Hilbert

Định nghĩa 1.2.1. Cho không gian tuyến tính X trên trường P (P = R hoặc C) ta

gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X x X vào
trường P, kí hiệu ., . thỏa mãn tiên đề:
1. ∀x, y ∈ X, y, x = y, x .
2. ∀x, y, z ∈ X : x + y, z = x, z + y, z .
3. ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ P : αx, y = α x, y .
4. ∀x ∈ X, x, x
0, x, x = 0 ⇔ x = θ ,
x, y, z gọi là các nhân tử của tích vô hướng. Số x, y gọi là tích vô hướng của hai
nhân tử x, y. Các tiên đề 1, 2, 3, 4 gọi là hệ tiên đề tích vô hướng.
Định nghĩa 1.2.2. Tập H = ∅ gồm những phần tử x, y, z, ... nào đó là không gian
Hilbert nếu tập H thỏa mãn các điều kiện sau
1. H là không gian tuyến tính trên trường P;
2. H được trang bị một tích vô hướng;
3. H là không gian Banach với chuẩn || x || =
x, x , ∀x ∈ H.
Ta gọi mọi không gian con đóng của không gian Hilbert H là không gian Hilbert
con của không gian H.

1.2.2.

Toán tử liên hợp

Định nghĩa 1.2.3. Cho T : H1 −→ H2 là một toán tử tuyến tính bị chặn, trong đó
H1 và H2 là không gian Hilbert. Khi đó toán tử liên hợp T ∗ của T là toán tử
T ∗ : H2 −→ H1
sao cho với mọi x ∈ H1 và y ∈ H2 ,
T x, y = x, T ∗ y .
Định lý 1.2.1. Cho T là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Hilbert X vào
không gian Hilbert Y. Khi đó tồn tại toán tử T ∗ liên hợp với toán tử T ánh xạ không
gian Y vào không gian X.

4


Định lý 1.2.2. Cho T là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Hilbert X vào
không gian Hilbert Y. Khi đó toán tử liên hợp T ∗ với toán tử T cũng là toán tử tuyến
tính bị chặn và
|| T ∗ || = || T || .
Định nghĩa 1.2.4. Toán tử tuyến tính bị chặn T ánh xạ không gian Hilbert H vào
chính nó gọi là tự liên hợp nếu
T x, y = x, Ty .
Toán tử tự liên hợp còn được gọi là toán tử đối xứng.
Định lý 1.2.3. Cho toán tử tuyến tính bị chặn T ánh xạ không gian Hilbert H vào
chính nó. Khi đó T là tự liên hợp khi và chỉ khi tích vô hướng T x, x là số thực với
mọi x ∈ H.
Định lý 1.2.4. Tích của hai toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn S và T trên không
gian Hilbert H là tự liên hợp khi và chỉ khi hai toán tử đó giao hoán
ST = TS.

1.2.3.

Tính trực giao

Định nghĩa 1.2.5. Cho H là không gian Hilbert. Ta nói hai phần tử x, y ∈ H là trực
giao với nhau nếu x, y = 0, và được kí hiệu là x ⊥ y.
Cho A là tập con khác rỗng của H, x ∈ H. Khi đó, ta nói x trực giao với A nếu
x trực giao với mọi phần tử trong A, và được kí hiệu là x ⊥ A.
Định nghĩa 1.2.6. Cho H là không gian Hilbert, E là không gian vectơ con của H.
Tập hợp F ⊂ H các phần tử trực giao với E được gọi là phần bù trực giao của E
trong H và được kí hiệu là: E ⊥ .

Tính chất cơ bản
1. x ⊥ y, ∀y ∈ H ⇔ x = ∅.
2. θ ⊥ H.
3. Nếu x ⊥ A, A = {y1 , y2 , · · · , yn } ⊂ H thì x trực giao với mọi tổ hợp tuyến tính
các phần tử trong A.
4. Giả sử x ⊥ xn , ∀n 1 và lấy dãy xn hội tụ đến y khi n −→ ∞ thì x ⊥ y.
5


5. A trù mật khắp nơi trong H, x ⊥ A ⇔ x = θ .
Bất đẳng thức Schwarz: Giả sử ., . là một tích vô hướng trên X. Khi đó
| x, y |

x, x .

y, y , ∀x, y ∈ X.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x, y phụ thuộc tuyến tính.
Mệnh đề không gian không: Phần bù trực giao Y ⊥ của một không gian con đóng
Y của không gian Hilbert H là không gian không N (P) của phép chiếu trực giao P
từ H lên Y.

1.3.

Phổ của toán tử tuyến tính

Cho X = {∅} là không gian chuẩn phức và T : D(T ) −→ X là một toán tử tuyến
tính với miền xác định D(T ) ⊂ X. Một giá trị chính quy λ của T là một số phức sao
cho:
(1) Rλ (T ) tồn tại.

(2) Rλ (T ) bị chặn.
(3) Rλ (T ) xác định trên tập trù mật trong X.
Tập giải thức ρ(T ) của T là tập các giá trị chính quy λ của T.
Phần bù σ (T ) = C − ρ(T ) trong mặt phẳng phức C được gọi là phổ của T, và
λ ∈ σ (T ) được gọi là một giá trị phổ của T. Hơn nữa, phổ σ (T ) được phân chia
thành ba tập rời rạc dưới đây:
• Phổ điểm: σ p (T ) là tập sao cho Rλ (T ) không tồn tại. Một λ ∈ σ p (T ) được
gọi là một giá trị riêng của T.
• Phổ liên tục: σc (T ) là một tập sao cho Rλ (T ) tồn tại và thỏa mãn (3) nhưng
không thỏa mãn (2), tức là Rλ (T ) không bị chặn.
• Phổ thặng dư: σr (T ) là tập sao cho Rλ (T ) tồn tại (có thể bị chặn hoặc không)
nhưng không thỏa mãn (3), tức là miền xác định của Rλ (T ) không trù mật
trong X.
Chú ý:
1. C = ρ(T ) ∪ σ (T ).
2. Rλ (T ) tồn tại khi và chỉ khi Tλ x = 0 hay (T − λ I)x = 0 thì x = 0. Do đó, nếu
(T − λ I)x = 0 với x = 0 nào đó thì λ ∈ σ p (T ).

6


Chương 2

phổ của toán tử tuyến tính tự
liên hợp bị chặn
2.1.

Các tính chất phổ của toán tử tuyến tính tự liên
hợp bị chặn

2.1.1.

Định lý giá trị riêng, vectơ riêng

Định lý 2.1.1. Cho T : H → H là một toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn trên
một không gian Hilbert phức H. Khi đó
(a) Tất cả các giá trị riêng của T (nếu tồn tại) là số thực.
(b) Các vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng khác nhau của T là trực
giao.
Chứng minh. (a) cho λ là giá trị riêng bất kì của T và x là một vectơ riêng tương
ứng. Khi đó x = 0 và T x = λ x. Theo tính tự liên hợp của T ta có
λ x, x = λ x, x

=

T x, x

=

x, T x = x, λ x = λ x, x .

Ở đây, x, x = || x ||2 = 0 vì x = 0, và chia 2 vế cho x, x ta có λ = λ . Do đó, λ là
số thực.
(b) Cho λ và µ là các giá trị riêng của T, và cho x, y là các vectơ riêng tương
7


ứng. Khi đó T x = λ x và Ty = µy. Vì T là tự liên hợp và µ là số thực,
λ x, y = λ x, y

=

T x, y

=

x, Ty = x, µy = µ x, y .

Vì λ = µ, nên x, y = 0, nó là cơ sở trực giao của x và y.
Thậm chí, phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn T là số thực. Kết quả
chú ý này sẽ có được từ những đặc trưng dưới đây của tập giải thức ρ(T ) của T.

2.1.2.

Định lý tập giải thức

Định lý 2.1.2. Cho T : H −→ H là một toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn trên
không gian Hilbert phức H. Khi đó, một số λ thuộc tập giải thức ρ(T ) của T khi và
chỉ khi tồn tại một số c > 0 sao cho với mỗi x ∈ H ta có
(2)

|| Tλ x ||

c || x || ,

(Tλ = T − λ I).

Chứng minh. (a) Nếu λ ∈ ρ(T ), thì Rλ = Tλ−1 : H −→ H tồn tại và bị chặn, tức là
|| Rλ || = k (k > 0), vì Rλ = 0. Vì I = Rλ Tλ , nên với mỗi x ∈ H ta có
|| x || = || Rλ Tλ x ||

|| Rλ || · || Tλ x || = k || Tλ x || .

Chia hai vế cho k ta được || Tλ x || c || x ||, trong đó c = 1k .
(b) Ngược lại, giả sử (2) đúng với một số c > 0 cố định với mọi x ∈ H. Khi đó ta
chứng minh được:
(α) Tλ : H −→ Tλ (H) là song ánh;
(β ) Tλ (H) trù mật trong H;
(γ) Tλ (H) đóng trong H, để cho Tλ (H) = H và Rλ = Tλ−1 bị chặn bởi phép
nghịch đảo bị chặn.
(α) Ta có Tλ x1 = Tλ x2 ⇒ x1 = x2 . Vì Tλ là tuyến tính nên từ (2) ta suy ra được
0 = || Tλ x1 − Tλ x2 || = || Tλ (x1 − x2 ) ||

c || x1 − x2 || ;

do đó, || x1 − x2 || = 0 vì c > 0, và x1 = x2 . Vì x1 , x2 là tùy ý, ta có toán tử Tλ : H −→
Tλ (H) là song ánh.
(β ) Ta nhận thấy rằng x0 ⊥ Tλ (H) ⇒ x0 = 0, để Tλ (H) = H bởi Định lý phép
chiếu. Cho x0 ⊥ Tλ (H). Khi đó x0 ⊥ Tλ (H). Do đó, ∀x ∈ H, ta có
0 = Tλ x, x0 = T x, x0 − λ x, x0 .
8


Vì T là tự liên hợp, nên ta có
x, T x0 = T x, x0 = x, λ x0 ,
để T x0 = λ x0 . Một nghiệm là x0 = 0, và x0 = 0 là không thể vì λ là một giá trị riêng
của T, để λ = λ bởi 2.1.1 và T x0 − λ x0 = Tλ x0 = 0, và (2) dẫn đến mâu thuẫn
0 = || Tλ x0 ||

c || x0 || > 0

vì c > 0. Kết quả là x0 = 0. Vì vậy, Tλ (H)⊥ = {0} vì x0 là vectơ trực giao bất kì từ
Tλ (H). Do đó Tλ (H) = H, nghĩa là, Tλ (H) trù mật trong H.
(γ) Cuối cùng ta chứng minh rằng y ∈ Tλ (H) thì y ∈ Tλ (H), để Tλ (H) là đóng,
và Tλ (H) = H bởi (β ). Lấy y ∈ Tλ (H), khi đó có một dãy (yn ) trong y ∈ Tλ (H), hội
tụ tới y. Vì yn ∈ Tλ (H), ta có yn = Tλ xn với xn ∈ H. Bởi (2), ta có
|| xn − xm ||

1
1
|| Tλ (xn − xm ) || = || yn − ym || .
c
c

Do đó (xn ) là dãy Cauchy vì (yn ) hội tụ. H là không gian đủ, nên (xn ) hội tụ, nghĩa
là, xn −→ x. Vì T là liên tục, nên Tλ cũng liên tục, và yn = Tλ xn −→ Tλ x. Theo
định nghĩa, Tλ x ∈ Tλ (H). Vì giới hạn là duy nhất, nên Tλ x = y, để y ∈ Tλ (H). Do
đó, Tλ (H) là đóng vì y ∈ Tλ (H) là tùy ý. Do đó, Tλ (H) = H bởi (β ). Nghĩa là,
Rλ = Tλ−1 được xác định trên toàn H, và bị chặn, nó được trực tiếp suy ra từ (2). Do
đó, λ ∈ ρ(T ).

2.1.3.

Định lí phổ

Định lý 2.1.3. Phổ σ (T ) của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn T : H −→ H
trên không gian Hilbert phức H là số thực.
Chứng minh. Sử dụng Định lý 2.1.2, ta thấy rằng λ = α + iβ , (α, β là số thực) với
β = 0 thuộc ρ(T ), để ρ(T ) ⊂ R.
Với mỗi x = 0 thuộc H ta có

Tλ x, x = T x, x − λ x, x
và, vì x, x và T x, x là số thực nên,
Tλ x, x = T x, x − λ x, x .

9


Ở đây, λ = α − iβ . Bằng cách trừ vế với vế,
Tλ x, x − Tλ x, x = (λ − λ ) x, x = 2iβ || x ||2 .
Vế trái bằng −2iIm Tλ x, x , trong đó Im là kí hiệu phần ảo. Biểu thức cuối không
thể vượt quá giá trị tuyệt đối. Chia biểu thức cuối cho 2, lấy giá trị tuyệt đối và áp
dụng bất đẳng thức Schwarz, ta được
|β | || x ||2 = |Im Tλ x, x |

| Tλ x, x |

|| Tλ x || || x || .

Chia cho || x || = 0 được |β | · || x || || Tλ x ||. Nếu β = 0, thì λ ∈ ρ(T ) bởi định lý
trước. Do đó, với λ ∈ σ (T ) ta có β = 0, nghĩa là λ là số thực.

2.2.

Một số tính chất phổ khác của toán tử tuyến tính
tự liên hợp bị chặn

Phổ σ (T ) của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn T là số thực. Điều đó đã
được chứng minh trong mục trước. Ở mục này, phổ của toán tử như thế được mô tả
chi tiết hơn vì nó có một số tính chất chung quan trọng.

2.2.1.

Định lý phổ

Định lý 2.2.1. Phổ của σ (T ) của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn T : H −→ H
trên không gian Hilbert phức H nằm trên đoạn đóng [m, M] trên trục số thực, ở đó
(1)

M = sup T x, x .

m = inf T x, x ,
||x||=1

||x||=1

Chứng minh. σ (T ) nằm trên trục thực (bởi 2.1.3). Ta thấy bất kì số thực λ = M + c
với c > 0 thuộc tập giải thức ρ(T ). Với x = 0 và υ = || x ||−1 x ta có x = || x || υ và
T x, x = || x ||2 T υ, υ

˜ υ˜ = x, x M.
|| x ||2 sup T υ,
˜
||υ||=1

Từ đó, − T x, x

− x, x M. Theo bất đẳng thức Schwarz ta có
|| Tλ x || · || x ||

− Tλ x, x

= − T x, x + λ x, x
(−M + λ ) x, x
= c || x ||2 ,

trong đó, c = λ − M > 0 bởi giả thiết. Chia cho || x || ta được bất đẳng thức || Tλ x ||
c || x ||. Do đó λ ∈ ρ(T ) bởi 2.1.2. Với λ < m, ta chứng minh tương tự.
10


2.2.2.

Định lý chuẩn

Định lý 2.2.2. Với toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn bất kì T trên không gian
Hilbert phức H ta có
|| T || = max(|m| , |M|) = sup | T x, x | .

(2)

||x||=1

Chứng minh. Theo bất đẳng thức Schwarz,
sup | T x, x |
||x||=1

sup || T x || · || x || = || T || ,
||x||=1

nghĩa là, K || T ||, trong đó K kí hiệu cho biểu thức bên trái. Ta thấy rằng || T ||

K. Nếu T z = 0 với z bất kì thì T = 0. Mặt khác, với z bất kì thỏa mãn T z = 0, ta đặt
1
−1
υ = || T z || 2 z và w = || T z || 2 T z. Khi đó, || υ ||2 = || w ||2 = || T z ||.
Ta đặt y1 = υ + w và y2 = υ − w. Khi đó T là tự liên hợp,
Ty1 , y1 − Ty2 , y2

= 2( T υ, w + Tw, υ )
= 2( T z, T z + T 2 z, z )

(3)

= 4 || T z ||2 .
Với y = 0 và x = || y ||−1 y ta có y = || y || x và
| Ty, y | = || y ||2 | T x, x |

|| y ||2 sup | T x,
˜ x˜ | = K || y ||2 .
||x||=1
˜

Theo bất đẳng thức tam giác và tính toán đơn giản ta có
| Ty1 , y1 − Ty2 , y2 |

| Ty1 , y1 | + | Ty2 , y2 |
K(|| y1 ||2 + || y2 ||2 )
= 2K(|| υ ||2 + ||w||2 )
= 4K || T z || .

Từ đó và (3) ta có 4 || T z ||2 4K || T z ||. Do đó || T z ||

mọi z, ta có || T || K. Cùng với K || T || ta có (2).

2.2.3.

K. Lấy cận trên đúng với

Định lý (m và M là các giá trị phổ)

Định lý 2.2.3. Cho H và T như trong Định lý 2.2.1 và H = {0}. Khi đó m và M xác
định trong (1) là các giá trị phổ của T.
11


Chứng minh. Ta có M ∈ σ (T ). Theo định lý ánh xạ phổ, phổ của T + kI (k là hằng
số thực) có được từ phổ của T bằng phép tịnh tiến, và
M ∈ ρ(T )

⇐⇒

M + k ∈ σ (T + kI).

Do đó, không mất tính tổng quát ta giả sử 0 m M . Khi đó theo định lý trước ta
có
M = sup T x, x = || T || .
||x||=1

Theo định nghĩa của cận trên đúng, có một dãy (xn ) sao cho
|| xn || = 1,
Khi đó || T xn ||

T xn , xn = M − δn ,

δn

δn −→ 0.

0,

|| T || · || xn || = || T || = M, và vì T tự liên hợp,

|| T xn − Mxn ||2

=

T xn − Mxn , T xn − Mxn

= || T xn ||2 − 2M T xn , xn + M 2 || xn ||2
M 2 − 2M(M − δn ) + M 2 = 2Mδn

−→

0.

Do đó, không có c dương sao cho
|| TM xn || = || T xn − Mxn ||

c = c || xn ||

(|| xn || = 1).

Định lý 2.1.2 cho thấy λ = M không thuộc tập giải thức của T. Do đó M ∈ σ (T ).
Với λ = m chứng minh tương tự.

2.2.4.

Định lý phổ thặng dư

Định lý 2.2.4. Phổ thặng dư σr (T ) của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn
T : H −→ H trên không gian Hilbert phức H là rỗng.
Chứng minh. Ta nhận thấy rằng giả sử σr (T ) = ∅ dẫn tới một mâu thuẫn. Cho
λ ∈ σr (T ). Theo định nghĩa của σr (T ), tồn tại nghịch đảo của Tλ nhưng miền xác
định của nó D(Tλ−1 ) không trù mật trong H. Do đó theo định lý phép chiếu có y = 0
thuộc H trực giao với D(Tλ−1 ). Mà D(Tλ−1 ) là miền của Tλ , do đó
Tλ x, y = 0

∀x ∈ H.

Vì λ là số thực (2.1.3) và T là tự liên hợp, nên ta có x, Tλ y = 0, với mọi x. Lấy
x = Tλ y, ta có || Tλ y ||2 = 0, sao cho
Tλ y = Ty − λ y = 0.
12


Vì y = 0, ta có λ là giá trị riêng của T. Nhưng nó mâu thuẫn với λ ∈ σr (T ). Do đó,
σr (T ) = ∅ là không thể suy ra σr (T ) = ∅.

2.3.

Toán tử dương

Nếu T là tự liên hợp, T x, x là số thực, như đã biết ở mục 2.1. Do đó ta có thể
xét tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn trên không gian Hilbert
phức H và đưa vào tập này một quan hệ thứ tự bởi định nghĩa
(1)

T1

⇐⇒

T2

T1 x, x

T2 x, x

với mọi x ∈ H. Thay vì T1 T2 ta cũng viết T2 T1 .
Một trường hợp đặc biệt quan trọng là toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn
T : H −→ H được gọi là toán tử dương, kí hiệu
(2)

T

0

khi và chỉ khi

T x, x

0, ∀x ∈ H.

Thay vì viết T 0 ta cũng viết 0 T . Thực tế, một toán tử như vậy được gọi là
không âm, nhưng thông thường người ta gọi là toán tử dương.
Chú ý mối liên hệ đơn giản giữa (1) và (2), tức là,
T1

T2

⇐⇒

0

T2 − T1 ,

nghĩa là, (1) đúng khi và chỉ khi T2 − T1 là dương.
Phần này và phần sau chúng ta sẽ nói về toán tử dương và căn bậc hai của chúng,
hơn nữa, nó cũng là phương tiện trong phép lấy đạo hàm của một phép biểu diễn
phổ cho toán tử tuyến tinh tự liên hợp bị chặn trong chương này.
Tổng của các toán tử dương là dương.
Ta đã biết tích của các toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn là tự liên hợp khi
và chỉ khi các toán tử giao hoán và ta sẽ nhận thấy trong trường hợp này, tính dương
được bảo toàn.

2.3.1.

Định lý tích của toán tử dương

Định lý 2.3.1. Nếu hai toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn S và T trên không gian
Hilbert H là dương và giao hoán (ST = TS), thì tích của chúng ST là dương.

13

0, ∀x ∈ H. Nếu S = 0, định lý đúng. Nếu S = 0 ta

Chứng minh. Ta có ST x, x
thực hiện hai bước (a) và (b):
(a) ta xét
(3)

S1 =

1
S,
|| S ||

Sn+1 = Sn − Sn2

(n = 1, 2, · · · ),

và chứng minh bằng quy nạp
(4)

0

Sn

I.

(b) Ta chứng minh rằng ST x, x
0, với mọi x ∈ H.

Chứng minh chi tiết dưới đây
(a) Với n = 1 bất đẳng thức (4) đúng. Thật vậy, giả sử 0 S suy ra 0 S1 , và
S1 I thu được nhờ việc áp dụng bất đẳng thức Schwarz và bất đẳng thức || Sx ||
|| S || · || x ||:
S1 x, x =

1
|| S || · || x ||
|| S ||

1
Sx, x
|| S ||

|| x ||2 = Ix, x .

Giả sử (4) đúng với n = k, nghĩa là,
0

Sk

=⇒

I

0

I − Sk

I.

Khi đó, vì Sk là tự liên hợp với x ∈ H và y = Sk x nên ta có
Sk2 (I − Sk )x, x

=

(I − Sk )Sk x, Sk x

=

(I − Sk )y, y

0.

Theo định nghĩa điều đó chứng minh
Sk2 (I − Sk )

0.

Sk (I − Sk )2

0.

Tương tự,

Cộng vế với vế và rút gọn ta được
0
Do đó 0

Sk2 (I − Sk ) + Sk (I − Sk )2 = Sk − Sk2 = Sk+1 .

Sk+1 . Và Sk+1

I suy ra từ Sk2
0

0 và I − Sk

I − Sk + Sk2 = I − Sk+1 .
14

0 bởi phép cộng; thật vậy


Hoàn thành chứng minh (4) bằng quy nạp.
(b) Ta thấy ST x, x
0, ∀x ∈ H. Từ (3) ta có
S1

=

S12 + S2

=

S12 + S22 + S3

··· ···
S12 + S22 + · · · + Sn2 + Sn+1 .

=
Vì Sn+1

0 nên ta có
S12 + · · · + Sn2 = S1 − Sn+1

(5)
Theo định nghĩa của

S1 .

và tính tự liên hợp của S j , có nghĩa là

n

∑ || S j x ||2 =

j=1

n

n

∑

S j x, S j x =

j=1

∑

S2j x, x

S1 x, x .

j=1

Vì n là tùy ý, chuỗi vô hạn || S1 x ||2 + || S2 x ||2 + · · · hội tụ.
Do đó, || Sn x || −→ 0 và Sn x −→ 0. Theo (5),
n

∑ S2j

(6)

x = (S1 − Sn+1 )x

−→

(n −→ ∞).

S1 x

j=1

Phép của các S j giao hoán với T vì chúng là tổng và tích của S1 = || S ||−1 S, và S
và T giao hoán. Sử dụng S = || S || S1 , công thức (6), T 0 và tính liên tục của tích
trong, với mỗi x ∈ H và y j = S j x ta có
ST x, x

= || S || T S1 x, x
n

= || S || lim

n→∞

= || S || lim

n→∞

nghĩa là ST x, x

2.3.2.

∑

T S2j x, x

∑

Ty j , y j

j=1
n

0,

j=1

0.

Định nghĩa dãy đơn điệu

Định nghĩa 2.3.1. Một dãy đơn điệu (Tn ) của toán tử tuyến tính tự liên hợp Tn trên
không gian Hilbert H là một dãy (Tn ) đơn điệu tăng, tức là
T1

T2

T3
15

···


Hay đơn điệu giảm, tức là
T1

T2

T3

···

Một dãy đơn điệu tăng có những tính chất đáng chú ý dưới đây (một định lý
tương tự đúng cho dãy đơn điệu giảm).

2.3.3.

Định lý dãy đơn điệu

Định lý 2.3.2. Cho (Tn ) là một dãy của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn trên
không gian Hilbert phức H sao cho
(7)

T1

T2 · · ·

Tn

···

K

ở đó K là toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn trên H. Giả sử rằng T j bất kì giao
hoán với K và với mỗi Tm . Khi đó (Tn ) là toán tử hội tụ mạnh (Tn x −→ T x, ∀x ∈ H)
và giới hạn toán tử T là tuyến tính, bị chặn và tự liên hợp, thỏa mãn T K.
Chứng minh. Xét Sn = K − Tn và chứng minh:
(a) Dãy ( Sn2 x, x ) hội tụ với mỗi x ∈ H.
(b) Tn x −→ T x, ở đó T là tuyến tính, tự liên hợp và bị chặn bởi định lý sự bị
chặn đều.
Chứng minh chi tiết dưới đây.
(a) Rõ ràng, Sn là tự liên hợp. Ta có
2
Sm
− Sn Sm = (Sm − Sn )Sm = (Tn − Tm )(K − Tm ).

Cho m < n. Khi đó Tn − Tm và K − Tm là dương bởi (7). Vì các toán tử này giao hoán,

2 −S S
nên tích của chúng là dương bởi Định lý 2.3.1. Do đó, ở vế trái, Sm
0, tức
n m
2
là Sm
Sn Sm với m < n.
Tương tự,
Sn Sm − Sn2 = Sn (Sm − Sn ) = (K − Tn )(Tn − Tm ) 0,
để Sn Sm

Sn2 . Cùng với,
2
Sm

Sn Sm

Sn2 ,

(m < n).

Theo định nghĩa, sử dụng tính tự liên hợp của Sn , ta có
(8)

2
Sm
x, x

Sn2 x, x = Sn x, Sn x = || Sn x ||2

Sn Sm x, x

16

0.


Điều đó cho thấy ( Sn2 x, x ) với x cố định là dãy đơn điệu giảm của các số không
âm. Do đó nó hội tụ.
(b) Ta có (Tn x) hội tụ. Theo giả thiết, mỗi Tn giao hoán với mỗi Tm và K. Do đó
các S j giao hoán. Các toán tử đó là tự liên hợp. Vì −2 Sm Sn x, x
−2 Sn2 x, x bởi
(8), ở đó m < n, ta có
|| Sm x − Sn x ||2

=

(Sm − Sn )x, (Sm − Sn )x

=

(Sm − Sn )2 x, x

=

2
Sm
x, x − 2 Sm Sn x, x + Sn2 x, x
2
Sm

x, x − Sn2 x, x .

Từ điều trên và sự hội tụ được chứng minh trong phần (a) ta có (Sn x) là dãy Cauchy.
Nó hội tụ vì H là không gian đủ. Tn = K − Sn nên (Tn x) cũng hôi tụ. Rõ ràng giới
hạn phụ thuộc vào x, ta có thể viết Tn x −→ T x với x ∈ H.
Do đó, ta có một toán tử tuyến tính T : H −→ H. T là tự liên hợp vì Tn là tự liên
hợp và tích trong là liên tục. Vì (Tn x) hội tụ, nên nó là bị chặn với x ∈ H. Định lý sự
bị chặn đều cho thấy T là bị chặn.
Cuối cùng, T K suy ra từ Tn K.

2.4.

Căn bậc hai của toán tử dương

Nếu T là tự liên hợp, thì T 2 là dương vì T 2 x, x = T x, T x
0. Ta xét bài toán
hội tụ: cho toán tử dương T, tìm một toán tử tự liên hợp A sao cho A2 = T . Điều
đó gợi ý đến khái niệm dưới đây. Nó sẽ là cơ sở trong sự liên hệ với phép biểu diễn
phổ.

2.4.1.

Định nghĩa căn bậc hai dương

Cho T : H −→ H là toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn dương trên không gian
Hilbert phức H. Khi đó toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn A được gọi là một căn
bậc hai của T nếu
(1)
A2 = T.
Nếu A

0 thì A gọi là căn bậc hai dương của T, và được kí hiệu bởi
1

A = T 2.
1

T 2 tồn tại duy nhất:
17


2.4.2.

Định lý căn bậc hai dương

Định lý 2.4.1. Mỗi toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn dương T : H −→ H trên
không gian Hilbert phức H có một căn bậc hai dương A là duy nhất. Toán tử A này
giao hoán với từng toán tử tuyến tính bị chặn trên H mà nó giao hoán với T.
Chứng minh. Ta tiến hành chứng minh trong 3 bước:
(a) Ta thấy nếu định lý đúng với giả thiết thêm T I, định lý cũng đúng nếu
không có giả thiết đó.
1
(b) Ta có sự tồn tại của toán tử A = T 2 từ An x −→ Ax, trong đó A0 = 0 và
1
An+1 = An + (T − A2n ),
2

(2)

n = 0, 1, · · · ,

ta cũng chứng minh tính giao hoán được phát biểu trong định lý.
(c) Ta chứng minh sự duy nhất của căn bậc hai dương.
Chứng minh chi tiết dưới đây.
1
(a) Nếu T = 0, thì ta có thể lấy A = T 2 = 0. Cho T = 0, theo bất đẳng thức
Schwarz
|| T x || · || x || || T || · || x ||2 .
T x, x
Chia cho || T || = 0 và đặt Q =

1
||T ||

Qx, x

T , ta có
|| x ||2 = Ix, x ;
1

nghĩa là Q I. Giả sử Q có căn bậc hai dương duy nhất B = Q 2 , ta có B2 = Q và ta
1
thấy rằng một căn bậc hai của T = || T || Q là || T || 2 B vì
1

(|| T || 2 B)2 = || T || B2 = || T || Q = T.
1

Dễ dàng thấy rằng Q 2 là duy nhất suy ra căn bậc hai dương của T là duy nhất.
Do đó, nếu ta có thể chứng minh định lý với giả thiết thêm T I thì ta chứng minh

xong.
(b) Sự tồn tại. Xét (2). Vì A0 = 0, nên ta có A1 = 21 T , A2 = T − 18 T 2 , · · · . Mỗi
An là một đa thức trong T. Do đó An là tự liên hợp và giao hoán, và chúng cũng giao
hoán với mỗi toán tử giao hoán với T. Ta chứng minh
n = 0, 1, · · · ;

(3)

An

I

(4)

An

An+1

(5)

An x −→ Ax,
18

n = 0, 1, · · · ;
1

A = T 2;


(6)

ST = T S

=⇒

AS = SA,

trong đó, S là toán tử tuyến tính tự bị chặn trên H.
Chứng minh (3):
Ta có A0 I. Cho n > 0. Vì I − An−1 là tự liên hợp, nên (I − An−1 )2
T I suy ra I − T 0. Từ điều đó và (2) ta có (3):
0

0. Cũng có

1
1
(I − An−1 )2 + (I − T )
2
2
1
= I − An−1 − (T − A2n−1 )
2
= I − An .
Chứng minh (4):

Ta sử dụng phép quy nạp. Từ (2) ta có 0 = A0 A1 = 12 T . Ta thấy rằng An−1
với n cố định bất kì suy ra An An+1 . Từ (2) ta được
An+1 − An

Trong đó, An − An−1
2.3.1.

An

1
1
= An + (T − A2n ) − An−1 − (T − A2n−1 )
2
2
1
= (An − An−1 )[I − (An + An−1 )].
2
0 bởi giả thiết và [· · · ]

0 bởi (3). Do đó An+1 − An

0 bởi

Chứng minh (5):
(An ) là đơn điệu bởi (4) và An I bởi (3). Do đó, từ Định lý 2.3.3 suy ra sự tồn tại
của một toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn A thỏa mãn An x −→ Ax, ∀x ∈ H. Vì
(An x) hội tụ, (2) có
1
An+1 x − An x = (T x − A2n x)
2

−→

0

khi n −→ ∞. Do đó T x − A2 x = 0, ∀x, nghĩa là, T = A2 . Cũng có A 0 vì 0 = A0
An bởi (4), tức là An x, x
0 với x ∈ H. Điều đó suy ra Ax, x
0 với x ∈ H, theo
tính liên tục của tích trong.
Chứng minh (6):

19


Ta có ST = TS suy ra An S = SAn , tức là An Sx = SAn x, ∀x ∈ H. Cho n −→ ∞ ta có
(6).
(c) Tính duy nhất. Cho A và B đều là căn bậc hai dương của T. Khi đó A2 =
B2 = T . Cũng có BT = BB2 = B2 B = T B để cho AB = BA bởi (6). Cho x ∈ H tùy
ý và y = (A − B)x. Khi đó Ay, y
0 và By, y
0 vì A 0, B 0. Sử dụng AB =
2
2
BA và A = B ta có
Ay, y + By, y = (A + B)y, y = (A2 − B2 )x, y = 0.
Do đó Ay, y = By, y = 0. Vì A 0 và A tự liên hợp, nên A có một căn bậc hai
dương C, tức là C2 = A và C là tự liên hợp.Ta có
0 = Ay, y = C2 y, y = Cy,Cy = ||Cy ||2
và Cy = 0. Cũng có Ay = C2 y = C(Cy) = 0. Tương tự, By = 0. Do đó (A - B)y = 0.
Sử dụng y = (A - B)x, với mọi x ∈ H ta có
|| Ax − Bx ||2 = (A − B)2 x, x = (A − B)y, x = 0.
Từ đó ta có Ax - Bx = 0 với mọi x ∈ H và chứng minh A = B.
Ứng dụng của căn bậc hai sẽ được xét trong phần 2.8. Căn bậc hai là quy tắc cơ

sở trong liên hệ với biểu diễn phổ của toán tử tuyến tính tự liên hợp bị chặn.

2.5.

Phép chiếu toán tử

Khái niệm của phép chiếu toán tử P hay gọi tắt là phép chiếu P được định nghĩa
ở chương 1, trong đó không gian Hilbert H được biểu diễn như tổng trực tiếp của
không gian con đóng Y và phần bù trực giao của nó Y ⊥ . Do đó
(1)

H
x

= Y ⊕Y ⊥
(y ∈ Y, z ∈ Y ⊥ ).

= y+z

Vì tổng đó là trực tiếp, nên y là duy nhất với x ∈ H cho trước. Do đó (1) xác định
một toán tử tuyến tính
(2)

P:H
x
20

−→ H
−→ y = Px.