Tóm tắt luận án tiến sĩ một số hệ phương trình cặp trong cơ học chất lỏng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
——————– * ———————

Đặng Thanh Sơn

MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CẶP
TRONG CƠ HỌC CHẤT LỎNG

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 62460103

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2015


Công trình được hoàn thành tại:
Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội

Người hướng dẫn khoa học:
1. TS. Trần Xuân Tiếp
2. PGS. TS. Cung Thế Anh

Phản biện 1:
Phản biện 2:
Phản biện 3:

Luận án được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp
Trường họp tại Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
Vào hồi .......... giờ, ngày ..... tháng ..... năm .....

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:
1. Thư viện Tạ Quang Bửu - Trường ĐHBK Hà Nội
2. Thư viện Quốc gia Việt Nam


MỞ ĐẦU
1.

LỊCH SỬ VẤN ĐỀ VÀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Các hệ phương trình trong cơ học chất lỏng xuất hiện khi mô
tả chuyển động của các chất lỏng và khí như nước, không khí, dầu
mỏ,..., và chúng xuất hiện khi nghiên cứu nhiều hiện tượng trong
khoa học hàng không, công nghiệp dầu mỏ, vật lí plasma,... Một
trong những lớp hệ phương trình quan trọng trong cơ học chất
lỏng là hệ Navier-Stokes, miêu tả dòng chảy của chất lỏng thuần
nhất, nhớt, không nén được và có dạng:

 ∂u − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p
∂t
∇ · u

= f (x, t),
= 0,

ở đó u = u(x, t), p = p(x, t) tương ứng là hàm vectơ vận tốc và
hàm áp suất cần tìm, hệ số nhớt ν > 0 và f là hàm ngoại lực.
Được đưa ra lần đầu tiên vào năm 1822, cho đến nay lí thuyết
hệ Navier-Stokes đã đạt được nhiều kết quả sâu sắc (xem các cuốn

chuyên khảo của Constantin-Foias (1988), Temam (1979, 1995,
2000)). Các vấn đề cơ bản đặt ra khi nghiên cứu là:
• Tính đặt đúng của bài toán. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm,
sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện đã cho.
• Dáng điệu tiệm cận của nghiệm. Nghiên cứu dáng điệu tiệm
cận nghiệm khi thời gian t ra vô cùng thông qua nghiên cứu sự
tồn tại và tính chất của tập hút hoặc của các đa tạp bất biến, sự
tồn tại và tính ổn định của nghiệm dừng. Việc nghiên cứu dáng
điệu tiệm cận nghiệm là rất quan trọng vì nó cho phép ta hiểu và
dự đoán xu thế phát triển của hệ động lực trong tương lai, từ đó
đưa ra những đánh giá, điều chỉnh thích hợp.
• Bài toán điều khiển. Bao gồm bài toán điều khiển được, bài
toán điều khiển tối ưu và bài toán ổn định hóa: Tìm điều khiển
thích hợp sao cho có thể chuyển quỹ đạo của hệ từ vị trí này sang
1


vị trí khác, hoặc là tìm điều khiển thích hợp để nghiệm tương ứng
làm cực đại hoặc cực tiểu một phiếm hàm cho trước.
Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu những hệ phương
trình cặp trong cơ học chất lỏng là một hướng nghiên cứu mới và
rất thời sự. Ở đây hệ Navier-Stokes của trường vectơ vận tốc được
kết hợp phù hợp với một phương trình khác cho ta mô hình toán
học mô tả nhiều quá trình trong vật lí, hóa học, kỹ thuật,...như
các công trình của Cabral-Rosa-Temam (2004), Cao-Wu (2010),
Fucci-Wang-Singh (2009), Jia-Zhou (2012), Temam (1997),... Hệ
phương trình cặp cũng xuất hiện khi nghiên cứu dòng chảy của
chất lỏng hỗn hợp như: hệ Cahn-Hilliard-Navier-Stokes. Các kết
quả đạt được là sự tồn tại, dáng điệu tiệm cận nghiệm thông qua
sự tồn tại tập hút toàn cục, chủ yếu là trong miền bị chặn. Cho

đến nay, các kết quả về dáng điệu tiệm cận nghiệm đối với những
hệ phương trình cặp rất phong phú và đã khá hoàn thiện. Tuy
nhiên các kết quả tương ứng trong trường hợp không ôtônôm và
miền không bị chặn vẫn còn ít. Bên cạnh đó các kết quả về bài
toán điều khiển đối với các hệ phương trình cặp trong cơ học chất
lỏng vẫn còn khá ít, do tính phức tạp của nó.
Chúng tôi điểm qua một số kết quả cho những hệ phương trình
cặp trong cơ học chất lỏng liên quan đến nội dung của luận án.
• Hệ phương trình Bénard (một trường hợp riêng của hệ Boussinesq): Là sự kết hợp giữa hệ Navier-Stokes của trường vectơ vận
tốc u với phương trình đối lưu-khuếch tán của nhiệt độ T có dạng:

→
∂t u + (u · ∇)u − ν∆u + ∇p = fu + α−
e 2 (T − Tr ),
∂t T + u · ∇T − κ∆T = fT , ∇ · u = 0.

(1)

Hệ Bénard mô tả chuyển động của chất lỏng nhớt, không nén
được dưới tác dụng của nhiệt độ. Các tác giả C. Foias, O. Manley
và R. Temam đã nghiên cứu sự tồn tại, dáng điệu tiệm cận nghiệm
của hệ (1) với các điều kiện biên như: Dirichlet, Neumann, tuần
hoàn (1987, 1993, 1997). Gần đây, Cabral-Temam (2004) đã chứng
2


minh sự tồn tại, đánh giá số chiều Hausdorff của tập hút toàn cục
cho hệ (1) xét trong miền không bị chặn hai chiều.
• Hệ phương trình động lực học thủy từ trường: Là mô hình
được đề cập lần đầu tiên bởi T.G. Cowling (1957) khi kết hợp hệ

Navier-Stokes của trường vectơ vận tốc u với hệ Maxwell của từ
trường B. Hệ MHD miêu tả dòng chảy của các chất lỏng dẫn điện
trong từ trường, và có dạng như sau:

(
|B|2 )
∆u


∂t u + (u · ∇)u −
− S(B · ∇)B = f,
+∇ p+S



Re
2
1
∂t B + (u · ∇)B − (B · ∇)u +
curl(curl B) = 0,

Rm



∇ · u = 0, ∇ · B = 0.

(2)

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu cũng như nghiệm mạnh đã

được chứng minh lần đầu tiên bởi Duvaut-Lions (1972). Năm 1983,
Sermange-Temam đã đưa ra khái niệm về tập bất biến để nghiên
cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ (2), đồng thời chứng minh
được số chiều Hausdorff hữu hạn cho tập bất biến này.
• Hệ phương trình Navier-Stokes và hệ Boussinesq với mật độ
khối lượng thay đổi: Khi mô tả chuyển động của các chất lỏng có
mật độ khối lượng thay đổi, ta dùng hệ Navier-Stokes có mật độ
khối lượng ρ(x, t) được cho bởi:

∂t (ρu) − ν∆u + ∇ · (ρuu) + ∇p = ρf,
∂t ρ + ∇ · (ρu) = 0, ∇ · u = 0.

(3)

Khi điều kiện ban đầu ρ0 (x) ≥ c0 > 0, sự tồn tại nghiệm yếu được
chứng minh lần đầu tiên bởi Antontsev-Kazhikov (1973). Trong
trường hợp ρ0 (x) ≥ 0, sự tồn tại nghiệm yếu, nghiệm mạnh, các
vấn đề liên quan đến bài toán điều khiển đã được trình bày khá
hoàn chỉnh bởi E.F. Cara (2012). Khác với hệ Navier-Stokes với
mật độ khối lượng là hằng số, câu hỏi về tính duy nhất nghiệm
yếu vẫn chưa được giải quyết thậm chí trong không gian 2 chiều.
Khi kết hợp hệ (3) với một phương trình đối lưu-khuếch tán
3


của nhiệt độ có mật độ thay đổi ta được hệ sau:

→

∂ (ρu) − ν∆u + ∇ · (ρuu) + ∇p = ρf + γ −

e N θ,

 t
∂t (ρθ) − κ∆θ + ∇ · (ρθu) = ρg,



∂t ρ + ∇ · (ρu) = 0, ∇ · u = 0.

(4)

Hệ Boussinesq với mật độ khối lượng thay đổi (4) miêu tả chuyển
động của chất lỏng có mật độ ρ, nhớt, không nén được dưới ảnh
hưởng của nhiệt độ. Theo hiểu biết của chúng tôi, hiện chưa có
kết quả nào liên quan đến hệ này.
Như vậy, đối với lớp các hệ phương trình cặp xuất hiện trong
cơ học chất lỏng, mặc dù các kết quả gần đây tập trung vào việc
nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm, các bài
toán điều khiển, tuy nhiên các kết quả hiện có chủ yếu dừng lại ở
trường hợp ôtônôm trong miền bị chặn và hệ phương trình được
xét có mật độ khối lượng của chất lỏng là hằng số. Do vậy, những
vấn đề chúng tôi quan tâm nghiên cứu trong luận án này bao gồm:
• Nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm
cho hệ phương trình Bénard (1) và hệ MHD (2) trong trường
hợp không ôtônôm và miền xét bài toán thỏa mãn bất đẳng thức
Poincaré. Khi ngoại lực phụ thuộc vào thời gian, quỹ đạo nghiệm
không còn là bất biến dương đối với phép tịnh tiến theo thời gian
và do đó lí thuyết tập hút toàn cục cổ điển không còn thích hợp.
Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm, chúng tôi sử dụng lí
thuyết tập hút lùi, một lí thuyết mới được phát triển gần đây và tỏ

ra rất hữu ích khi nghiên cứu các hệ động lực không ôtônôm (xin
xem cuốn chuyên khảo của Carvalho, Langa và Robinson (2013)).
• Nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm có điều kiện,
bài toán điều khiển tối ưu và bài toán thời gian tối ưu của hệ
Boussinesq với mật độ khối lượng thay đổi trong miền bị chặn.
Khi nghiên cứu hệ Bénard và hệ MHD trong miền không bị
chặn, khó khăn lớn gặp phải là các phép nhúng Sobolev cần thiết
4


chỉ liên tục chứ không compact; dẫn đến Bổ đề compact AubinLions cổ điển và các phương pháp thường dùng cho miền bị chặn
không còn thích hợp nữa. Để khắc phục khó khăn này, chúng tôi
sử dụng các bổ đề compact phù hợp để chứng minh sự tồn tại
nghiệm và tính liên tục yếu của quá trình, sử dụng phương pháp
phương trình năng lượng để chứng minh tính compact tiệm cận
lùi, một điều kiện quan trọng cho sự tồn tại tập hút lùi.
Khi nghiên cứu hệ Boussinesq với mật độ khối lượng thay đổi,
khó khăn gây ra chủ yếu là do mật độ không còn là hằng số; điều
này dẫn đến việc nghiên cứu phức tạp lên rất nhiều. Để chứng
minh sự tồn tại nghiệm, chúng tôi sử dụng phương pháp nửa
Galerkin kết hợp với kết quả của Lions về phương trình chuyển
dịch (1989). Tính duy nhất có điều kiện của nghiệm được chứng
minh bằng cách sử dụng ý tưởng của P.-L. Lions (1996). Để nghiên
cứu bài toán điều khiển tối ưu và bài toán thời gian tối ưu, chúng
tôi phát triển các ý tưởng của E.F. Cara (2012) cho hệ NavierStokes với mật độ khối lượng thay đổi; tuy nhiên việc nghiên cứu
khó khăn hơn khá nhiều do hệ đang xét có cấu trúc phức tạp hơn.
Từ những phân tích ở trên, chúng tôi chọn vấn đề nghiên cứu
sự tồn tại, dáng điệu tiệm cận nghiệm (thông qua sự tồn tại và
đánh giá số chiều fractal tập hút lùi) của các hệ Bénard và MHD
trong trường hợp khi ngoại lực có thể phụ thuộc vào biến thời

gian; đồng thời nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm có
điều kiện, bài toán điều khiển tối ưu và bài toán thời gian tối
ưu của hệ Boussinesq với mật độ khối lượng thay đổi, làm đề tài
nghiên cứu của Luận án "Một số hệ phương trình cặp trong
cơ học chất lỏng".
2. MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Luận án tập trung nghiên cứu sự tồn tại, dáng điệu tiệm cận
nghiệm của các hệ Bénard, hệ MHD trong trường hợp không
5


ôtônôm; sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm có điều kiện, bài toán
điều khiển tối ưu và bài toán thời gian tối ưu của hệ Boussinesq
với mật độ khối lượng thay đổi. Cụ thể như sau:
Nội dung 1. Nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất, dáng điệu
tiệm cận nghiệm và đánh giá số chiều fractal của tập hút lùi của
hệ Bénard hai chiều trong miền không bị chặn thỏa mãn bất đẳng
thức Poincaré.
Nội dung 2. Nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất, dáng điệu
tiệm cận của nghiệm và đánh giá số chiều fractal của tập hút lùi
của hệ MHD hai chiều trong miền không bị chặn thỏa mãn bất
đẳng thức Poincaré và điều kiện nón.
Nội dung 3. Nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm có
điều kiện, bài toán điều khiển tối ưu và bài toán thời gian tối ưu
của hệ Boussinesq với mật độ khối lượng thay đổi trong miền bị
chặn.
3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
• Để nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm, chúng tôi sử dụng
các phương pháp và công cụ của Giải tích hàm phi tuyến: phương
pháp xấp xỉ Galerkin, hoặc xấp xỉ nửa Galerkin kết hợp các dạng

phù hợp của Bổ đề compact và các bổ đề xử lí số hạng phi tuyến.
• Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm, chúng tôi sử dụng
các công cụ và phương pháp của lí thuyết hệ động lực tiêu hao vô
hạn chiều không ôtônôm.
• Để nghiên cứu bài toán điều khiển tối ưu, chúng tôi sử dụng
các phương pháp của lí thuyết điều khiển tối ưu đối với phương
trình đạo hàm riêng và các công cụ của giải tích lồi.
4. KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN
• Đối với hệ Bénard và MHD không ôtônôm trong miền không
bị chặn hai chiều: Chứng minh được sự tồn tại duy nhất nghiệm
6


yếu đối với bài toán (1), (2); chứng minh được sự tồn tại và đánh
giá số chiều fractal của tập hút lùi.
• Đối với hệ Boussinesq có mật độ khối lượng thay đổi trong
miền bị chặn hai hoặc ba chiều: Chứng minh được sự tồn tại và
tính duy nhất có điều kiện của nghiệm yếu; chứng minh được sự
tồn tại nghiệm và thiết lập được điều kiện cần tối ưu cấp một của
bài toán điều khiển tối ưu và bài toán thời gian tối ưu cho hệ (4).
Các kết quả của luận án là mới, có ý nghĩa khoa học, góp phần
vào việc hoàn thiện lí thuyết các hệ phương trình cặp trong cơ học
chất lỏng. Nội dung chính của luận án đã được công bố trong 02
bài báo trên các tạp chí khoa học quốc tế, 02 bài gửi đăng và đã
được báo cáo tại: Đại hội Toán học toàn quốc VIII, Nha Trang,
2013; Hội thảo tối ưu và tính toán khoa học XIII, Ba Vì, 2015;
Xêmina của Bộ môn Toán Cơ bản, Viện Toán ứng dụng và Tin
học, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội; Xêmina của Bộ môn Giải
tích, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội.
5. CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình được
công bố và danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm 4 chương:
Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho các
chương sau; Chương 2 trình bày các kết quả về sự tồn tại, dáng
điệu tiệm cận của nghiệm yếu cho hệ Bénard hai chiều; Chương 3
trình bày các kết quả về sự tồn tại, dáng điệu tiệm cận của nghiệm
yếu cho hệ động lực học thủy từ trường (MHD) hai chiều; Chương
4 trình bày kết quả về sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm có điều
kiện của nghiệm yếu, bài toán điều khiển tối ưu và bài toán thời
gian tối ưu của hệ Boussinesq có mật độ khối lượng thay đổi trong
miền bị chặn hai hoặc ba chiều.

7


Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tôi nhắc lại các không gian hàm cần
dùng để nghiên cứu, thiết lập các đánh giá cần thiết để xử lí số
hạng phi tuyến trong hệ phương trình. Chúng tôi cũng trình bày
các kết quả tổng quát về lí thuyết tập hút lùi và một số kết quả
bổ trợ được dùng trong các chương sau.
1.1.

CÁC KHÔNG GIAN HÀM

Cho Ω là tập mở trong RN với biên ∂Ω. Kí hiệu Q := Ω×(0, T )
∑
là trụ không-thời gian với T < ∞ và

:= ∂Ω × (0, T ).
Với 1 ≤ m, p ≤ +∞, ta cũng thường kí hiệu Lp (Ω) = Lp (Ω)N ,
Wm,p (Ω) = W m,p (Ω)N , Hm (Ω) = H m (Ω)N , H10 (Ω) = H01 (Ω)N để
xét các hàm vectơ trong không gian N chiều. Đặt
V1 = {u ∈ C0∞ (Ω)N : ∇ · u = 0},
V2 = {B ∈ C ∞ (Ω)N : ∇ · B = 0 và B · n|∂Ω = 0},
V1 , H1 lần lượt là bao đóng của V1 trong H10 (Ω), L2 (Ω),
V2 , H2 lần lượt là bao đóng của V2 trong H1 (Ω), L2 (Ω),
V3 = H01 (Ω),

H3 = L2 (Ω).

Tích vô hướng và chuẩn tương ứng trong Vi , i = 1, 3 như sau:
• ((u, v))1

N ∫
∑

=

j=1

∥u∥1
• ((B, C))2
∥B∥2

• ((θ, φ))3
∥θ∥3
8

∇uj · ∇vj dx, ∀u, v ∈ V1 ,
1/2

((u, u))1 ,

=
=
=

Ω

∫

∀u ∈ V1 .

curl B · curl Cdx,
∀B, C ∈ V2 ,
1/2
∀B ∈ V2 .
((B, B))2 ,
∫
= Ω ∇θ · ∇φdx, ∀θ, φ ∈ V3 ,
1/2
∀θ ∈ V3 .
=
((θ, θ))3 ,
Ω


Các không gian Hi , i = 1, 3 với tích vô hướng

∫
(u, v) =
uvdx, ∀u, v ∈ Hi
Ω

và chuẩn tương ứng |.| = (u, v)1/2 .
Ký hiệu H := Hi ×Hj và V := Vi ×Vj với (i, j) ∈ {(1, 2), (1, 3)}.
Dễ thấy V ⊂ H ≡ H ′ ⊂ V ′ , trong đó các phép nhúng là trù mật
và liên tục. Ta dùng ký hiệu ∥ · ∥∗ cho chuẩn trong V ′ , và ⟨., .⟩ chỉ
đối ngẫu giữa V và V ′ . Các không gian trên đều là không gian
Hilbert.
Tương tự, ta cũng định nghĩa các không gian hàm phụ thuộc
thời gian thường được sử dụng trong luận án này gồm: C([a, b]; X);
Lp (a, b; X), 1 ≤ p ≤ +∞; Lploc (R; X); W m,p (0, T ; X); N s,q (0; T ; B)
(không gian Nikolskii), trong đó X là không gian Banach.
1.2.

TẬP HÚT LÙI

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số định nghĩa và kết
quả về sự tồn tại tập hút lùi, cũng như phương pháp đánh giá số
chiều của tập hút lùi sẽ được sử dụng trong luận án.
1.3.
1.3.1.

MỘT SỐ KẾT QUẢ THƯỜNG DÙNG
Một số bất đẳng thức thường dùng

Ta nhắc lại một số bất đẳng thức sơ cấp nhưng rất quan trọng
và thường xuyên được sử dụng trong luận án: Bất đẳng thức

Cauchy; Bất đẳng thức Young; Bất đẳng thức H¨older; các dạng
bất đẳng thức Gronwall.
1.3.2.

Một số định lí và bổ đề quan trọng

Ta nhắc lại một số định lí và bổ đề quan trọng thường được
sử dụng để chứng minh các kết quả của luận án: Bất đẳng thức
Ladyzhenskaya, Bất đẳng thức Poincaré và các bổ đề compact.
9


Chương 2

HỆ BÉNARD HAI CHIỀU KHÔNG ÔTÔNÔM
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại, dáng điệu
tiệm cận nghiệm của hệ Bénard hai chiều không ôtônôm trên
miền không nhất thiết bị chặn nhưng thỏa mãn bất đẳng thức
Poincaré. Chúng tôi chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm yếu
bằng phương pháp xấp xỉ Galerkin và chứng minh sự tồn tại, đánh
giá số chiều fractal của tập hút lùi của quá trình sinh bởi bài toán.
Nội dung của chương này dựa trên bài báo [1] trong Danh mục
các công trình đã công bố của tác giả.
2.1.

ĐẶT BÀI TOÁN

Cho Ω ⊂ R2 là miền tùy ý với biên ∂Ω, thỏa mãn bất đẳng
thức Poincaré. Xét hệ Bénard không ôtônôm sau:


→
∂t u + (u · ∇)u − ν∆u + ∇p = fu (x, t) + α−
e 2 (T − Tr ),
∂t T + u · ∇T − κ∆T = fT (x, t), ∇ · u = 0,

(2.1)

trong đó u = u(x, t), p = p(x, t) tương ứng là hàm vectơ vận
tốc và hàm áp suất cần tìm; T = T (x, t) là nhiệt độ cần tìm;
ν > 0, κ > 0 lần lượt là hệ số nhớt, hệ số truyền nhiệt; α = ϑg là
tham số đặc trưng cho sự nổi của chất lỏng với hệ số giãn nở nhiệt
−
ϑ và gia tốc rơi tự do g; vectơ →
e 2 = (0, 1); Tr là nhiệt độ môi
trường; fu (x, t) là hàm ngoại lực tác động lên chất lỏng, fT (x, t)
là nguồn nhiệt.
Xét hệ (2.1) thỏa mãn điều kiện biên không thuần nhất

u(x, t) = φ (x), ∀(x, t) ∈ ∂Ω × (τ, +∞),
u
(2.2)
T (x, t) = φT (x), ∀(x, t) ∈ ∂Ω × (τ, +∞),
và điều kiện ban đầu
u(x, τ ) = u0 (x),
10

T (x, τ ) = T0 (x),

x ∈ Ω.

(2.3)


Kí hiệu V := V1 × V3 ,

H := H1 × H3 .

Ta định nghĩa tích vô hướng và chuẩn trong V , H như sau
˜ 3 , ∥z∥ = ((z, z))1/2 , ∀z, z˜ ∈ V,
((z, z˜)) = ((v, v˜))1 + γ((θ, θ))
˜ |z| = (z, z)1/2 , ∀z, z˜ ∈ H,
(z, z˜) = (v, v˜) + γ(θ, θ),
α2 1
trong đó γ cho bởi γ ≥
.
λ1 νκ
Đặt A : V → V ′ là toán tử xác định bởi
˜ 3.
⟨Az, z˜⟩ = a(z, z˜) = ν((v, v˜))1 + γκ((θ, θ))
Đặt B : V × V → V ′ là toán tử xác định bởi
ˆ θ),
˜
⟨B(z, zˆ), z˜⟩ = b(z, zˆ, z˜) = b1 (v, vˆ, v˜) + γb2 (v, θ,
trong đó các dạng ba tuyến tính được cho bởi
∫

2
∑

∂ˆ

vj
b1 (v, vˆ, v˜) =
vi
v˜j dx,
∂xi
Ω i,j=1

ˆ θ)
˜ =
b2 (v, θ,

∫ ∑
2

∂ θˆ ˜
vi
θdx,
∂xi
Ω i=1

và ta viết tắt B(z) = B(z, z). Ta có bổ đề sau.
Bổ đề 2.1. Giả sử Ω ⊂ R2 và z, z˜ ∈ V , khi đó
|b(z, z, z˜)| ≤ |z|∥z∥∥˜
z ∥.
Giả sử rằng ub và Tb xác định trong miền Ω lần lượt là dòng
chảy nền và nhiệt độ nền sao cho ub = φu , Tb = φT trên ∂Ω. Ta
đặt v = u − ub và θ = T − Tb , khi đó (2.1) được viết lại như sau:

→
∂t v + (v · ∇)v − ν∆v + ∇p = f¯u − (ub · ∇)v − (v · ∇)ub + α−

e 2 θ,
∂t θ + v · ∇θ − κ∆θ = f¯T − ub · ∇θ − v · ∇Tb , ∇ · v = 0,

(2.4)

với f¯u và f¯T được xác định bởi
→
f¯u = fu + ν∆ub − (ub · ∇)ub + α−
e 2 (Tb − Tr ),
f¯T = fT + κ∆Tb − ub · ∇Tb .

(2.5)

11


Điều kiện biên cho hệ (2.4) là
v(x, t) = 0,

θ(x, t) = 0,

với mọi x ∈ ∂Ω.

(2.6)

Và điều kiện ban đầu
v(., τ ) = v0 = u0 − ub ,

θ(., τ ) = θ0 = T0 − Tb .

(2.7)

Đặt R : V → V ′ là toán tử cho bởi
→
⟨Rz, z˜⟩ = ¯b(zb , z, z˜) + ¯b(z, zb , z˜) − α(−
e 2 θ, v˜),
∫
∫
ˆ
v · vˆdx − γ Ω v · ∇θ˜θdx.
trong đó ¯b(z, zˆ, z˜) = − Ω (v · ∇)˜
Đặt e : V → R cho bởi e(z) = ⟨f¯u , v⟩V1′ ,V1 +γ⟨f¯T , θ⟩V3′ ,V3 = ⟨Ψ, z⟩,
−
với Ψ = (fu , fT ) − (ν∆ub , κ∆Tb ) − B(zb , zb ) + (α→
e 2 (Tb − Tr ), 0).
2.2.

SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM YẾU
Trước hết, ta định nghĩa nghiệm yếu của bài toán (2.4)-(2.7).

Định nghĩa 2.1. Hàm z = (v, θ) được gọi là nghiệm yếu của bài
toán (2.4)-(2.7) trên khoảng (τ, T ) nếu


z ∈ L2 (τ, T ; V ) ∩ L∞ (τ, T ; H),


z ′ + (A + R)z + B(z) = Ψ trong V ′ , với hầu khắp t ∈ (τ, T ),




z(τ ) = z0 .
(2.8)

Sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu được chỉ ra trong định lí sau.
Định lí 2.1. Giả sử fu ∈ L2loc (R; V1′ ), fT , Tr ∈ L2loc (R; V3′ ), zb =
(ub , Tb ) cho trước. Khi đó, với mọi z0 ∈ H, τ ∈ R, T > τ cho
trước, bài toán (2.8) có duy nhất nghiệm yếu z trên khoảng (τ, T ).
2.3.

SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI

Ta định nghĩa quá trình liên tục Z(t, τ ) : H → H cho bởi
Z(t, τ )z0 = z(t; τ, z0 ),
12

τ ≤ t, z0 ∈ H,


trong đó z(t) = z(t; τ, z0 ) là nghiệm yếu duy nhất của bài toán
(2.8) với điều kiện ban đầu z(τ ) = z0 .
Bổ đề 2.2. Cho {z0n }n ⊂ H là một dãy hội tụ yếu trong H đến
phần tử z0 ∈ H. Khi đó
Z(t, τ )z0n ⇀ Z(t, τ )z0 trong H, với mọi t ≥ τ.
Z(., τ )z0n ⇀ Z(., τ )z0 trong L2 (τ, T ; V ), với mọi T > τ.
Định lí 2.2. Giả sử Ψ ∈ L2loc (R; V ′ ) thỏa mãn
∫ t
eσs ∥Ψ(s)∥2∗ ds < +∞ với mọi t ∈ R.
−∞

Khi đó tồn tại duy nhất tập Dσ -hút lùi Aˆ = {A(t) : t ∈ R} của
quá trình {Z(t, τ )} sinh bởi bài toán (2.8).
2.4.

ĐÁNH GIÁ SỐ CHIỀU FRACTAL CỦA TẬP HÚT LÙI

Giả sử fu ∈ L∞ (−∞, T ∗ ; V1′ ), fT , Tr ∈ L∞ (−∞, T ∗ ; V3′ ), khi đó
Ψ ∈ L∞ (−∞, T ∗ ; V ′ ) với T ∗ ∈ R nào đó.

(2.9)

Định lí 2.3. Giả sử các điều kiện của Định lí 2.1 và (2.9) được
thỏa mãn. Khi đó tập Dσ -hút lùi Aˆ = {A(t) : t ∈ R} của quá trình
Z(t, τ ) sinh bởi bài toán (2.8) có
số chiều fractal
hữu hạn
(
)
{
(
)
µ 4 + (ν/κ)3/2 }
dF A(τ ) ≤ max 1, C
Θ ,
δ 2 λ1 (ν + κ)

)
α2 (
∥fT ∥2L∞ (−∞,T ∗ ;V3′ ) + κ2 ∥∆Tb ∥2V3′ + c2buT
2 3 2

λ1 ν κ
)
1(
+ 3 ∥fu ∥2L∞ (−∞,T ∗ ;V1′ ) + ν 2 ∥∆ub ∥2V1′ + c2buu + α2 ∥Tb − Tr ∥2V3′ .
ν

trong đó Θ =

Chú ý cuối chương. Bằng cách sử dụng phương pháp phương
trình năng lượng và phương pháp đánh giá số chiều fractal hữu
hạn như trong chương này, chúng tôi đã chứng minh được những
kết quả tương ứng cho hệ Newton-Boussinesq trong miền không
bị chặn hai chiều (2014).
13


Chương 3

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC THỦY TỪ
TRƯỜNG (MHD) HAI CHIỀU KHÔNG ÔTÔNÔM
Trong chương này, chúng tôi xét hệ phương trình động lực học
thủy từ trường (MHD) hai chiều trên một miền không nhất thiết
bị chặn nhưng thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré và điều kiện nón.
Đầu tiên, sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin và phương pháp
compact, chúng tôi chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm yếu
của bài toán. Tiếp theo, chúng tôi chứng minh sự tồn tại duy nhất
và số chiều fractal hữu hạn của tập Dσ -hút lùi.
Nội dung chương này dựa trên bài báo [2] trong Danh mục các
công trình đã công bố của tác giả.
3.1.

ĐẶT BÀI TOÁN

Giả sử Ω là miền tùy ý trong R2 thỏa mãn điều kiện nón. Xét
hệ MHD không ôtônôm sau:
(
)

1
S
∂u
2


+ (u · ∇)u −
∆u + ∇ p + |B| − S(B · ∇)B = f (x, t),


Re
2
 ∂t
∂B
1
+ (u · ∇)B − (B · ∇)u +
curl(curlB) = 0,


∂t
Rm




∇ · u = 0, ∇ · B = 0,
(3.1)

với điều kiện ban đầu
u(x, τ ) = u0 (x),

B(x, τ ) = B0 (x), ∀x ∈ Ω,

(3.2)

và điều kiện biên
u = 0,

B · n = 0 và curl B = 0

trên ∂Ω,

(3.3)

trong đó u = u(x, t) là hàm vectơ vận tốc của chất lỏng; B =
B(x, t) là vectơ từ trường; p = p(x, t) và |B|2 /2 lần lượt là hàm
áp suất chất lỏng và áp suất từ trường; f (x, t) là hàm ngoại lực
14


tác động lên chất lỏng; n là vectơ pháp tuyến đơn vị trên ∂Ω;
S = M 2 /(Re Rm ) với M, Re , Rm lần lượt là các hệ số Hartman,
Reynolds và Reynolds trong từ trường.

Kí hiệu V := V1 × V2 ,

H := H1 × H2 .

Trên V ta trang bị tích vô hướng
˜ 2 , ∀z = (u, B), z˜ = (˜
˜ ∈ V,
((z, z˜)) = ((u, u
˜))1 + S((B, B))
u, B)
tích vô hướng này sinh ra chuẩn tương ứng ∥z∥ = ((z, z˜))1/2 .
Tích vô hướng và chuẩn trong H được cho bởi
˜
˜ ∈ H,
(z, z˜) = (u, u
˜) + S(B, B),
∀z = (u, B), z˜ = (˜
u, B)
|z|
=
(z, z)1/2 ,
∀z ∈ H.
Đặt A : V → V ′ là toán tử xác định bởi
1
S
˜ 2.
⟨Az, z˜⟩ = a(z, z˜) =
((u, u
˜))1 +
((B, B))

Re
Rm
Đặt B : V × V → V ′ là toán tử xác định bởi
⟨B(z1 , z2 ), z3 ⟩ = b(u1 , u2 , u3 ) − Sb(B1 , B2 , u3 ) + Sb(u1 , B2 , B3 )
− Sb(B1 , u2 , B3 ), ∀zi = (ui , Bi ) ∈ V, i = 1, 2, 3,
trong đó dạng ba tuyến tính b được cho bởi
2 ∫
∑
∂vj
b(u, v, w) =
ui
wj dx,
∂x
i
i,j=1
Ω

và ta viết tắt B(z) = B(z, z). Tính bị chặn của toán tử B được
chứng minh trong bổ đề sau.
Bổ đề 3.1. Giả sử miền Ω ⊂ R2 thỏa mãn điều kiện nón. Khi đó
|⟨B(z, z), z˜⟩| ≤ C|z|∥z∥∥˜
z ∥,

z, z˜ ∈ V.

Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu những vấn đề sau:
• Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu.
• Sự tồn tại và đánh giá số chiều fractal của tập hút lùi.
15

3.2.

SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM YẾU

Trong mục này, bằng phương pháp xấp xỉ Galerkin, chúng tôi
sẽ chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu. Trước hết, ta
định nghĩa nghiệm yếu của bài toán (3.1)-(3.3) như sau.
Định nghĩa 3.1. Đặt Ψ = (f, 0), hàm z = (u, B) được gọi là
nghiệm yếu của bài toán (3.1)-(3.3) trên khoảng (τ, T ) nếu


z ∈ L2 (τ, T ; V ) ∩ C([τ, T ]; H),


z ′ + Az + B(z) = Ψ trong V ′ , với hầu khắp t ∈ (τ, T ),



z(τ ) = z0 .

(3.4)

Kết quả về sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm yếu của
bài toán được trình bày trong định lí sau.
Định lí 3.1. Giả sử f ∈ L2loc (R; V1′ ). Khi đó, với mọi z0 ∈ H, τ ∈
R, T > τ , bài toán (3.4) có duy nhất một nghiệm yếu trên (τ, T ).
Hơn nữa, với mọi t > τ , hàm cho bởi z0 → z(t) liên tục trên H.
3.3.

SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI

Theo kết quả của Định lí 3.1, ta có thể định nghĩa một quá
trình liên tục Z(t, τ ) : H → H cho bởi
Z(t, τ )z0 = z(t; τ, z0 ),

τ ≤ t, z0 ∈ H,

trong đó, z(t) = z(t; τ, z0 ) là nghiệm yếu duy nhất của bài toán
(3.4) với điều kiện ban đầu z(τ ) = z0 .
Bổ đề 3.2. Cho {z0n }n ⊂ H là một dãy hội tụ yếu trong H đến
phần tử z0 ∈ H. Khi đó
Z(t, τ )z0n ⇀ Z(t, τ )z0 trong H, với mọi t ≥ τ.
Z(., τ )z0n ⇀ Z(., τ )z0 trong L2 (τ, T ; V ), với mọi T > τ.
16


Bổ đề 3.3. Giả sử f ∈ L2loc (R; V1′ ) thỏa mãn
∫ t
eσs ∥f (s)∥2V1′ ds < +∞ với mọi t ∈ R.

(3.5)

−∞

Khi đó tồn tại họ hình cầu
Bˆσ = {z ∈ H : |z(t)| ≤ Rσ (t), t ∈ R}
là họ Dσ -hấp thụ lùi của quá trình Z(t, τ ).
Bổ đề 3.4. Giả sử f ∈ L2loc (R; V1′ ) thỏa mãn (3.5). Khi đó quá
trình Z(τ, t) sinh bởi bài toán (3.4) là Dσ -compact tiệm cận lùi.

Từ hai bổ đề trên, ta có kết quả quan trọng sau.
Định lí 3.2. Giả sử f ∈ L2loc (R; V1′ ) thỏa mãn (3.5). Khi đó tồn
tại duy nhất tập Dσ -hút lùi Aˆ = {A(t) : t ∈ R} của quá trình
{Z(t, τ )} sinh bởi bài toán (3.4).
3.4.

ĐÁNH GIÁ SỐ CHIỀU FRACTAL CỦA TẬP HÚT LÙI
Giả sử: (C1 ) Ngoại lực f ∈ L∞ (−∞, T ∗ ; V1′ ) với T ∗ ∈ R nào đó;
(C2 ) Tập R2 \ Ω chứa nửa nón.

Định lí 3.3. Giả sử các điều kiện của Định lí 3.1 và các giả
thiết (C1 )-(C2 ) được thỏa mãn. Khi đó tập Dσ -hút lùi Aˆ = {A(t) :
(
)
t ∈ R} có số chiều
fractal
thỏa
mãn
d
A(τ
)
F
]≤ max(1, K/L),
[(√
)2 2
√
Re + Rm Re + (Re Rm )3/2 ∥f ∥2L∞ (−∞,T ∗ ;V ′ ) ,
trong đó K = µ
1
1 ( λ1

c0 )
L=
+
.
4 Re
Rm
Chú ý cuối chương. Từ các kết quả trong chương này, trong
trường hợp từ trường B ≡ 0, ta thu lại được các kết quả tương
ứng về sự tồn tại, dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ Navier-Stokes
2 chiều không ôtônôm. Đồng thời các kết quả này là sự mở rộng
tương ứng của Temam (1997) từ trường hợp ôtônôm trong miền
bị chặn sang trường hợp không ôtônôm trong miền không bị chặn
nhưng thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré và điều kiện nón.
17


Chương 4
HỆ BOUSSINESQ VỚI MẬT ĐỘ KHỐI LƯỢNG
THAY ĐỔI

Trong chương này, chúng tôi xét hệ Boussinesq với mật độ khối
lượng (mà về sau ta sẽ gọi tắt là mật độ) thay đổi trong miền bị
chặn Ω ⊂ RN , N = 2 hoặc 3, với biên trơn. Đầu tiên sử dụng
phương pháp xấp xỉ nửa Galerkin, chúng tôi chứng minh sự tồn
tại nghiệm yếu. Tiếp theo, chúng tôi chứng minh nghiệm yếu đó
là duy nhất khi nó đủ trơn. Cuối cùng, chúng tôi xét các bài toán
gồm: điều khiển tối ưu và thời gian tối ưu.
Nội dung của chương này dựa trên các bài báo [3, 4] trong
Danh mục các công trình nghiên cứu của tác giả.
4.1.

ĐẶT BÀI TOÁN

Cho Ω là miền bị chặn trong RN (N = 2 hoặc 3) với biên trơn
∂Ω. Hệ Boussinesq với hàm mật độ thay đổi được cho bởi:

→

∂t (ρu) − ν∆u + ∇ · (ρuu) + ∇p = ρf + γ −
e N θ,







∂t (ρθ) − κ∆θ + ∇ · (ρθu) = ρg,
∂t ρ + ∇ · (ρu) = 0, ∇ · u = 0




u = 0, θ = 0,




ρ|
t=0 = ρ0 , (ρu)|t=0 = ρ0 u0 , (ρθ)|t=0 = ρ0 θ0 ,

4.2.

x ∈ Ω,
x ∈ Ω,
x ∈ Ω,

(4.1)

x ∈ ∂Ω,
x ∈ Ω.

SỰ TỒN TẠI CỦA NGHIỆM YẾU

Định lí 4.1. Với T > 0 cho trước. Giả sử rằng z0 = (u0 , θ0 ) ∈
H, ρ0 ∈ L∞ (Ω) với ρ0 ≥ 0 hầu khắp Ω, và f ∈ L2 (0, T ; L2 (Ω)), g ∈
L2 (0, T ; L2 (Ω)). Khi đó tồn tại bộ ba (ρ, z, p), trong đó z = (u, θ),
thỏa mãn
ρ ∈ L∞ (Q) ∩ C 0 ([0, T ]; Lr (Ω)), ∀1 ≤ r < +∞,
z ∈ L2 (0, T ; V ), p ∈ W −1,∞ (0, T ; L2 (Ω)),
ρz ∈ L∞ (0, T ; L2 (Ω) × L2 (Ω)) ∩ N 1/4,2 (0, T ; W−1,3 (Ω) × W −1,3 (Ω)),
inf ρ0 ≤ ρ(x, t) ≤ sup ρ0
Ω

18

Ω

hầu khắp trong Q,

sao cho

∫ [
]
−
→

ρ
(∂
u
+
(u
·
∇)u
−
f
)
·
v
−
γ
e
θ
·
v
dx
t
N


Ω




+ν((u, v))1 = 0, ∀v ∈ V1 , theo nghĩa phân bố trong D ′ (0, T ),


∫
Ω [ρ (∂t θ + u · ∇θ − g) · φ] dx




+κ((θ, φ))3 = 0, ∀φ ∈ V3 , theo nghĩa phân bố trong D′ (0, T ),


 ∂ρ


+ ∇ · (ρu) = 0,
∂t
(4.2)

và điều kiện ban đầu
ρ|t=0 = ρ0 ,
)
∫
ρu · vdx (0) =
ρ0 u0 · vdx, ∀v ∈ V1 ,

Ω
Ω
(∫
)
∫
ρθ · φdx (0) =
ρ0 θ0 · φdx, ∀φ ∈ V3 .
(∫

Ω

4.3.

(4.3)

Ω

SỰ DUY NHẤT CÓ ĐIỀU KIỆN CỦA NGHIỆM YẾU

Giả sử bài toán (4.2)-(4.3) tồn tại nghiệm (ρ, z) thỏa mãn
∇ρ ∈ L2 (0, T ; L3 (Ω)), ρ ∈ C 0 (Q), z ∈ C 0 (Q)N × C 0 (Q),
∇z ∈ L2 (0, T ; L∞ (Ω) × L∞ (Ω)), z t ∈ L2 (0, T ; L3 (Ω) × L3 (Ω)).

(4.4)

Khi đó ta có kết quả sau về sự duy nhất nghiệm.
(
)
Định lí 4.2. Giả sử rằng (f, g) ∈ L2 0, T ; L3 (Ω) × L3 (Ω) và
√

γ ≤ λ1 νκ.
(4.5)
Gọi (ρ, z) là nghiệm của bài toán (4.1) thỏa mãn (4.4). Khi đó
(ρ, z) ≡ (ρ, z) hầu khắp Q.
4.4.

BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU

Trong mục này chúng tôi xét bài toán điều khiển tối ưu đối
với hàm mục tiêu
cho bởi
∫
∫
J(h, ρ, z) =

+

a′1

∫∫

a1
2

|z(x, T ) − ze (x)|2 dx +
Ω

|z(x, t) − zd | dxdt +
2

2
Q

a′2

∫∫

a2
2

|ρ(x, T ) − ρe (x)|2 dx
Ω

b
|ρ(x, t) − ρd | dxdt +
2

∫∫

2

2
Q

|h|2 dxdt,

ω×(0,T )

(4.6)

19


trong đó ω là tập mở khác rỗng trong Ω; các số thực không âm
a1 , a′1 , a2 , a′2 với ít nhất một số thực dương; hằng số dương b cho
biết chi phí của điều khiển; các trạng thái ze (x) = (ue (x), θe (x)) ∈
H, zd = (ud , θd ) ∈ L2 (Q) × L2 (Q) và ρe ∈ L∞ (Ω), ρd ∈ L∞ (Q)
cho trước. Khi đó hàm mật độ ρ(x, t), trạng thái z = (u, θ) và
điều khiển h = (v, w) thỏa mãn hệ Boussinesq sau:

→

∂t (ρu) − ν∆u + ∇ · (ρuu) + ∇p = γ −
e N θ + v1ω ,







∂t (ρθ) − κ∆θ + ∇ · (ρθu) = w1ω ,
∂t ρ + ∇ · (ρu) = 0, ∇ · u = 0,




u = 0, θ = 0,





ρ|
t=0 = ρ0 , (ρu)|t=0 = ρ0 u0 , (ρθ)|t=0 = ρ0 θ0 ,

(x, t) ∈ Q,
(x, t) ∈ Q,
(x, t) ∈ Q,
∑
(x, t) ∈ ,

(4.7)

x ∈ Ω,

với ρ0 , z0 = (u0 , θ0 ) cho trước. Từ đây, chúng tôi xét trường hợp
ρ0 ∈ L∞ (Ω),

ρ0 ≥ α > 0 hầu khắp Ω.

Xét bài toán sau:

Cực tiểu hóa phiếm hàm J(h, ρ, z),
trong đó (ρ, z) là nghiệm của (4.7) với h ∈ Uad .
4.4.1.

(4.8)

Sự tồn tại nghiệm tối ưu

Định lí 4.3. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn:
1. Tập ∅ ̸= Uad ⊂ L2 (ω × (0, T )) × L2 (ω × (0, T )) lồi và đóng.
2. J là nửa liên tục dưới yếu, tức là nếu (hm , ρm , z m ) là nghiệm
của (4.7), hm ⇀ h trong L2 (ω × (0, T )) × L2 (ω × (0, T )), ρm ⇀∗ ρ
trong L∞ (Q) và z m ⇀ z trong L2 (0, T ; V ) thì
lim inf J(hm , ρm , z m ) ≥ J(h, ρ, z).
m→∞

3. Uad bị chặn hoặc J là cưỡng đối với h, tức là J(hm , ρm , z m ) →
+∞ khi hm ∈ Uad , ∥hm ∥L2 (ω×(0,T ))×L2 (ω×(0,T )) → ∞.
Khi đó bài toán tối ưu (4.8) có ít nhất một nghiệm.
4.4.2.

Điều kiện cần tối ưu cấp một

Định lí 4.4. Giả sử Uad ⊂ L2 (ω × (0, T )) × L2 (ω × (0, T )) là tập
khác rỗng, đóng, lồi và J được cho trong (4.6). Gọi (h∗ , ρ∗ , z ∗ ) là
20


nghiệm tối ưu của bài toán (4.8), giả sử (ρ∗ , z ∗ ) thỏa mãn
∇ρ∗ ∈ L2 (0, T ; W 1,∞ (Ω)),

ρ∗ ∈ C 0 (Q),

∇z ∗ ∈ L2 (0, T ; L∞ (Ω) × L∞ (Ω)),

z ∗ ∈ C 0 (Q)N × C 0 (Q),

z ∗ ∈ L∞ (0, T ; H2 (Ω) × H 2 (Ω)) ∩ L2 (0, T ; H3 (Ω) × H 3 (Ω)),

∇zt∗ ∈ L2 (Q) × L2 (Q),

(4.9)

zt∗ ∈ L2 (0, T ; L∞ (Ω) × L∞ (Ω)),

và (4.5) thỏa mãn. Khi đó, bởi Định lí 4.2, (ρ∗ , z ∗ ) là nghiệm
yếu duy nhất của bài toán (4.7), và tồn tại duy nhất nghiệm yếu
(η, z), với z = (ξ, ψ), của bài toán

[
]
∂ξ


−ρ∗
− ν∆ξ + ρ∗ − (u∗ · ∇)ξ + (ξ · ∇)u∗ + ψ∇θ∗ − ∇η


∂t




+∇q = a′1 (u∗ − ud ), ∇ · ξ = 0, (x, t) ∈ Q,




∂ψ


→


ρ∗
+ κ∆ψ + ρ∗ u∗ · ∇ψ + γ −
e N · ξ = −a′1 (θ∗ − θd ), (x, t) ∈ Q,


∂t
[ ∗
]
[ ∗
]



− ∂η − u∗ · ∇η + ∂u + (u∗ · ∇)u∗ · ξ + ∂θ + u∗ · ∇θ ∗ ψ
∂t
∂t
∂t


′
∗

= a2 (ρ − ρd ), (x, t) ∈ Q,




∑



ξ = 0,
ψ = 0, (x, t) ∈ ,





η|t=T = a2 (ρ∗ |t=T − ρe ), x ∈ Ω,



a1
a1


(u∗ |t=T − ue ), ψ|t=T = ∗
(θ ∗ |t=T − θe ), x ∈ Ω.
ξ|t=T = ∗
ρ |t=T
ρ |t=T
(4.10)

Hơn nữa, ta có bất đẳng thức sau
 ∫∫



(bh∗ + z)(h − h∗ )dxdt ≥ 0
(4.11)

ω×(0,T )


∀h ∈ U ,
ad

4.5.

∗

h ∈ Uad .

BÀI TOÁN THỜI GIAN TỐI ƯU

Xét hàm mục tiêu
1
b
I(h, ρ, z) = T ∗ (h, z; ze , δ)2 +
2
2

∫∫
|h|2 dxdt,
ω×(0,T )

ở đó ze = (ue , θe ) ∈ H, δ > 0 và
T ∗ (h, z; ze , δ) := inf{T > 0 : |u(., T ) − ue | ≤ δ, |θ(., T ) − θe | ≤ δ}.

21


4.5.1.

Sự tồn tại nghiệm tối ưu

Xét Uad ⊂ L2 (ω × (0, T0 )) × L2 (ω × (0, T0 )), T0 > 0 cố định và
E0 = {(h, ρ, z) : h ∈ Uad , (ρ, z) là nghiệm của (4.7) trong Ω×(0, T0 )}.
Chúng ta xét bài toán thời gian tối ưu sau

Tìm (h∗ , ρ∗ , z ∗ ) ∈ E0 sao cho
I(h∗ , ρ∗ , z ∗ ) =

min

I(h, ρ, z).

(4.12)

(h,ρ,z)∈E0

Bây giờ chúng tôi sẽ chỉ ra bài toán (4.12) có nghiệm.
Định lí 4.5. Giả sử tập hợp các bộ ba (h, ρ, z) chứa trong E0 sao
cho I(h, ρ, z) < +∞ là khác rỗng. Khi đó, bài toán (4.12) tồn tại
ít nhất một nghiệm.
4.5.2.

Điều kiện cần tối ưu cấp một

Chúng tôi xét hàm mục tiêu Φ cho bởi

∫∫
2

Φ(T, h) = T + b
|h|2 dxdt,
2
2
Ω×(0,T0 )

∀(T, h) ∈ [0, T ] × L2 (ω × (0, T )) × L2 (ω × (0, T )).
0
0
0

Khi đó, xét bài toán (4.12) như sau


Cực tiểu hóa phiếm hàm Φ(T, h),


trong đó T ∈ [0, T0 ], (h, ρ, z) ∈ E0 ,



|u(., T ) − ue | = |θ(., T ) − θe | = δ.

(4.13)

Định lí 4.6. Giả sử những điều kiện trong Định lí 4.5 thỏa mãn
và (T ∗ , h∗ ) là nghiệm của (4.13) ứng với trạng thái (ρ∗ , z ∗ ). Ta
giả sử rằng 0 < T ∗ < T0 , và
∃τ > 0 sao cho t → z ∗ (., t) thuộc lớp C 1 trong [T ∗ − τ, T ∗ ],
22


(

)
u∗ (., T ∗ ) − ue , u∗t (., T ∗ ) < 0,

(

)
θ∗ (., T ∗ ) − θe , θt∗ (., T ∗ ) < 0,

kí hiệu E ∗ là không gian năng lượng ứng với T ∗ . Ta cũng giả sử
(ρ∗ , z ∗ ) là nghiệm của (4.9) và (4.5) thỏa mãn, dẫn đến (ρ∗ , z ∗ )
là nghiệm yếu duy nhất của (4.7) (Định lí 4.2) ứng với T = T ∗
và h = h∗ . Khi đó, tồn tại λ1 , λ2 ∈ R và nghiệm yếu (η, z) ∈ E ∗ ,
trong đó z = (ξ, ψ), của bài toán sau

[
]
∂ξ

−ρ∗
− ν∆ξ + ρ∗ − (u∗ · ∇)ξ + (ξ · ∇)u∗ + ψ∇θ∗ − ∇η




∂t




+∇q = 0, ∇ · ξ = 0, (x, t) ∈ Ω × (0, T ∗ ),




∂ψ

→

ρ∗
+ κ∆ψ + ρ∗ u∗ · ∇ψ + γ −
e N · ξ = 0, (x, t) ∈ Ω × (0, T ∗ ),


 ∂t
[ ∗
]


∂η
∂u

∗

∗
∗

−
− u · ∇η +
+ (u · ∇)u · ξ
∂t
[ ∂t ∗
]
∂θ

∗
∗


+
+ u · ∇θ ψ = 0, (x, t) ∈ Ω × (0, T ∗ ),


∂t





ξ = 0, ψ = 0, (x, t) ∈ ∂Ω × (0, T ∗ ),






η|t=T ∗ = 0, x ∈ Ω,





λ1
λ2

ξ|t=T ∗ =
(u∗ |t=T ∗ − ue ), ψ|t=T ∗ = ∗
(θ∗ |t=T ∗ − θe ), x ∈ Ω.
∗
ρ |t=T ∗
ρ |t=T ∗

Hơn nữa, ta có bất đẳng thức sau
 ∫∫



(bh∗ + z)(h − h∗ )dxdt ≥ 0

ω×(0,T ∗ )


∀h ∈ U ,
ad

h∗ ∈ Uad ,

với thời gian tối ưu
(
(
)
(
))
T ∗ = P[0,T0 ] −λ1 u∗ (., T ∗ )−ue , u∗t (., T ∗ ) −λ2 θ∗ (., T ∗ )−θe , θt∗ (., T ∗ ) ,

và
|u∗ (., T ∗ ) − ue | = |θ∗ (., T ∗ ) − θe | = δ
thỏa mãn. Ở đây P[0,T0 ] : R+ → [0, T0 ] là phép chiếu trực giao.
Chú ý cuối chương. Từ các kết quả trong chương này, trong
trường hợp nhiệt độ θ ≡ 0, ta thu lại được các kết quả tương ứng
về sự tồn tại, tính duy nhất có điều kiện của nghiệm yếu, bài toán
điều khiển tối ưu và bài toán thời gian tối ưu của hệ phương trình
Navier-Stokes với mật độ thay đổi của E.F. Cara (2012).
23