Định lý ba chuỗi và thuật mạnh số lớn đối với dãy các phần tử ngẫu nhiên

1

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU

2

Chương 1. Kiến thức cơ sở

4

1.1 Phần tử ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2 Phần tử ngẫu nhiên độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3 Các dạng hội tụ của dãy các phần tử ngẫu nhiên . . . . . . .

5

1.4 Các đặc trưng của phần tử ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . .

8

1.5 Một số bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.6 Không gian Rademacher loại p

12

. . . . . . . . . . . . . . . .

Chương 2. Định lí ba chuỗi và luật mạnh số lớn

14

2.1 Định lí ba chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.2 Luật mạnh số lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.3 Một số đặc trưng của không gian Rademacher loại p . . . . .

32

KẾT LUẬN

36

TÀI LIỆU THAM KHẢO

37

2

LỜI NÓI ĐẦU

Định lí ba chuỗi và luật mạnh số lớn là những vấn đề quan trọng của lí
thuyết xác suất. Đối với dãy các biến ngẫu nhiên ta đã đạt được nhiều kết
quả sâu sắc như định lí ba chuỗi Kolmogorov, luật mạnh số lớn Kolmogorov
cho dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, . . . Ngày nay lí thuyết xác suất đang
phát triển mạnh mẽ, khái niệm biến ngẫu nhiên đã được mở rộng thành khái
niệm tổng quát hơn là khái niệm phần tử ngẫu nhiên. Khái niệm này được
đề xuất bởi Maurice Fréchet năm 1948. Việc nghiên cứu định lí ba chuỗi và
luật mạnh số lớn cho dãy các phần tử ngẫu nhiên lại được đặt ra. Đi theo
hướng đó chúng tôi chọn đề tài "Định lí ba chuỗi và luật mạnh số lớn đối
với dãy các phần tử ngẫu nhiên".
Mục tiêu của luận văn là thiết lập định lí ba chuỗi và luật mạnh số lớn
cho dãy các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian Banach với các
điều kiện thích hợp. Bên cạnh đó chúng tôi cũng chỉ ra một số đặc trưng của
không gian Rademacher loại p.
Cấu trúc của luận văn gồm hai chương. Trong chương 1, chúng tôi trình
bày các khái niệm về phần tử ngẫu nhiên, phần tử ngẫu nhiên độc lập, các
dạng hội tụ, các đặc trưng của phần tử ngẫu nhiên, một số bất đẳng thức và
khái niệm không gian Rademacher loại p. Trong chương 2, chúng tôi trình
bày định lí ba chuỗi và luật mạnh số lớn cho dãy các phần tử ngẫu nhiên
nhận giá trị trên không gian Banach với các điều kiện thích hợp và một số
đặc trưng của không gian Rademacher loại p.


3

Luận văn được hoàn thành dưới sự quan tâm hướng dẫn nhiệt tình, sâu
sát của thầy giáo PGS.TS. Nguyễn Văn Quảng và sự giúp đỡ, động viên của
các bạn cùng lớp Cao học ngành Lí thuyết xác suất và thống kê Toán học
khóa 16. Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đối với tất cả các
thầy cô giáo khoa Toán trường Đại học Vinh, đặc biệt là thầy giáo PGS.TS.
Nguyễn Văn Quảng đã trang bị cho tác giả những kiến thức cần thiết, bổ
ích để có thể hoàn thành luận văn cũng như khóa học một cách tốt đẹp.
Vinh, ngày 19 tháng 11 năm 2010
Tác giả
Huỳnh Lâm Đan Thanh


4

Chương 1
Kiến thức cơ sở
Trong suốt luận văn này ta luôn giả sử rằng (Ω, F, P) là không gian xác
suất đầy đủ, E là không gian Banach khả li, B(E) là σ -đại số Borel, G là
σ -đại số con của F.
1.1

Phần tử ngẫu nhiên

1.1.1 Định nghĩa
Ánh xạ X : Ω −→ E được gọi là phần tử ngẫu nhiên G - đo được, nhận
giá trị trong E nếu X là G/B(E) đo được, tức là với mọi B ∈ B(E) thì
X −1 (B) ∈ G .

Phần tử ngẫu nhiên F -đo được sẽ được gọi đơn giản là phần tử ngẫu

nhiên.
Hiển nhiên, nếu X là phần tử ngẫu nhiên G -đo được, thì X là phần tử
ngẫu nhiên.
1.1.2 Ví dụ
Xét ánh xạ X : Ω −→ E xác định bởi
X(ω) = 0, ∀ω ∈ Ω.

Khi đó X là phần tử ngẫu nhiên G - đo được, với G = {∅, Ω}.
Thật vậy,
X −1 (B) =

∅ nếu 0 ∈
/B
Ω nếu 0 ∈ B

nên X −1 (B) ∈ G với mọi B ∈ B(E).


5

1.2

Phần tử ngẫu nhiên độc lập

Một tập hữu hạn các phần tử ngẫu nhiên X1 , X2 , . . . , Xn nhận giá trị
trong E được gọi là độc lập nếu với mỗi B1 , B2 , . . . , Bn ∈ B(E) ta có
P(X1 ∈ B1 , X2 ∈ B2 , . . . , Xn ∈ Bn ) = P(X1 ∈ B1 )P(X2 ∈ B2 ) . . . P(Xn ∈ Bn ).
Một dãy các phần tử ngẫu nhiên {Xn } trong E được gọi là độc lập nếu
mọi tập con hữu hạn của nó đều độc lập.
1.3

Các dạng hội tụ của dãy các phần tử ngẫu nhiên

1.3.1 Định nghĩa
Cho {Xn } là dãy các phần tử ngẫu nhiên xác định trên không gian
(Ω, F, P) nhận giá trị trong (E, B(E)). Ta nói {Xn } hội tụ đến X :
h.c.c

1. Hầu chắc chắn, kí hiệu Xn −−→ X , nếu
P( lim Xn − X = 0) = 1.
n→∞

P

2. Theo xác suất, kí hiệu Xn −
→ X , nếu với mọi ε > 0 thì
lim P( Xn − X > ε) = 0.

n→∞

Lp

3. Theo trung bình cấp p, kí hiệu Xn −→ X nếu
lim E( Xn − X p ) = 0.

n→∞

D

4. Yếu (theo phân phối), kí hiệu Xn −

→ X nếu
w

PXn −
→P
trong đó
PX : B(E) −→ R
B −→ P(X −1 (B)).


6

1.3.2 Định nghĩa
Cho {Xn } là dãy các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong E. Ta nói dãy
phần tử ngẫu nhiên {Xn } là dãy cơ bản hầu chắc chắn (h.c.c) nếu
P( lim

m,n→∞

Xn − Xm = 0) = 1.

1.3.3 Bổ đề
Dãy {Xn } là cơ bản h.c.c khi và chỉ khi một trong hai điều kiện sau
thỏa mãn:
(i) lim P( sup Xk − Xl > ε) = 0, ∀ε > 0,
n→∞

k,l n

(ii) lim P(sup Xk − Xn > ε) = 0, ∀ε > 0.

n→∞

k n

Chứng minh. Ta có
Xk − Xl

X k − Xn + Xl − Xn .

Suy ra
(sup Xk − Xn > ε) ⊂ ( sup
k n

Xk − Xl > ε) ⊂ (sup Xk − Xn >

k,l n

k n

ε
).
2

Do đó (i) và (ii) tương đương. Ta sẽ chứng minh {Xn } cơ bản h.c.c khi và
chỉ khi thỏa mãn (i).
Đặt

∞

Xk − Xl > ε = sup

∆n (ε) =

X k − Xl > ε .

k,l n

k,l=n

Khi đó ∆n (ε) là dãy giảm và ta chứng minh được
∞

lim

k,l→∞

Xk − Xl = 0 =

lim

k,l→∞

∆n (
m=1 n=1

Thật vậy,
ω ∈

∞

Xk − Xl = 0

1
).
m


7

⇔ lim

k,l→∞

Xk (ω) − Xl (ω) = 0

⇔ ∀ε > 0, ∃n : Xk (ω) − Xl (ω)

ε, ∀k, l

1
, ∀k, l
m
1
Xk − X l
m

⇔ ∀m, ∃n : Xk (ω) − Xl (ω)
∞

⇔ ∀m, ∃n : ω ∈

k,l=n
∞

∞

⇔ω∈

∆n
m=1 n=1

n
n

1
.
m

Suy ra
∞

∞

(Xn ) cơ bản h.c.c ⇔ P

∆n

1
m

=1

∆n

1
m

=0

1
m

=0

m=1 n=1
∞ ∞

⇔P
m=1 n=1
∞

⇔P

∆n
n=1

1
= 0, ∀m
n→∞
m
⇔ lim P ∆n (ε) = 0, ∀ε > 0.

⇔ lim P ∆n
n→∞

1.3.4 Bổ đề
Dãy {Xn } cơ bản h.c.c khi và chỉ khi dãy {Xn } hội tụ h.c.c.
Chứng minh. Đặt Ω1 = {ω : Xn (ω) hội tụ}, Ω2 = {ω : Xn (ω) cơ bản}.
Khi đó vì E là không gian Banach nên Ω1 = Ω2 .
Do đó
(Xn ) hội tụ h.c.c ⇔ P(Ω1 ) = 1 ⇔ P(Ω2 ) = 1 ⇔ (Xn ) cơ bản h.c.c.


8

1.3.5 Mệnh đề
Cho {Xn } là dãy các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong E. Khi
đó {Xn } hội tụ h.c.c đến một phần tử ngẫu nhiên X trong E nếu và chỉ
nếu
P

sup Xm − Xn −
→ 0.
m n

Chứng minh.
(Xn ) hội tụ h.c.c
⇔ (Xn ) cơ bản h.c.c
P

⇔ sup Xm − Xn −
→ 0.

m n

1.4

Các đặc trưng của phần tử ngẫu nhiên

1.4.1 Kỳ vọng
1.4.1.1 Định nghĩa
Một phần tử ngẫu nhiên X nhận giá trị trong E được gọi là có giá trị kỳ
vọng là EX ∈ E nếu
E(f (X)) = f (EX), ∀f ∈ E∗ ,

trong đó E∗ = {f : E −→ R, f là phiếm hàm tuyến tính, liên tục}.
* Nếu E X < ∞ thì ta nói X khả tích.
Chú ý. Giá trị kỳ vọng được định nghĩa ở trên là duy nhất.
Chứng minh. Thật vậy,
Giả sử tồn tại E X sao cho ∀f ∈ E∗ ta có f (E X) = E(f (X)).
⇒ ∀f ∈ E∗ , f (E X) − f (EX) = 0.


9

⇒ ∀f ∈ E∗ , f (E X − EX) = 0.
⇒ E X − EX = 0.
⇒ E X = EX.

1.4.1.2 Ví dụ
Cho a ∈ E, A ∈ F, X = aIA .
X(ω) =

a nếu ω ∈ A
0 nếu ω ∈
/A

Khi đó EX = P(A)a ∈ E .
Thật vậy, với mọi f ∈ E∗
f (EX) = f (P(A) a) = P(A) f (a).
E(f (X)) = E[f (a) IA ] = f (a) E IA = f (a)P(A).

Vậy EX = P(A).
1.4.1.3 Tính chất
Định lí. Giả sử X, Y là các phần tử ngẫu nhiên, ξ là đại lượng ngẫu
nhiên cùng xác định trên (Ω, F, P), a ∈ R, α ∈ E. Khi đó nếu tồn tại
EX, EY, Eξ thì

1. Tồn tại E(X + Y ) và E(X + Y ) = EX + EY ,
2. Tồn tại E(aX) và E(aX) = aEX ,
3. Tồn tại E(αξ) và E(αξ) = αEξ ,
4. Nếu P(X = α) = 1 thì EX = α,
5. Nếu ξ và f (X) độc lập với mọi f ∈ E ∗ thì tồn tại E(ξX)
và E(ξX) = EξEX ,


10

6. Với mọi ánh xạ tuyến tính T : E −→ E (E là không gian Banach
khả li) thì tồn tại E[T (X)] và
E[T (X)] = T [E(X)].

Định lí. Nếu E X < ∞ thì tồn tại EX và E X

EX .

1.4.2 Phương sai
1.4.2.1 Định nghĩa
Cho X là phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong E với giá trị kỳ vọng
EX . Phương sai của X , kí hiệu là DX , cho bởi công thức
DX = E X − EX 2 .

1.4.2.1 Tính chất
Giả sử X là phần tử ngẫu nhiên, ξ là đại lượng ngẫu nhiên cùng xác
định trên không gian xác suất (Ω, F, P), a ∈ R, α ∈ E. Khi đó
1. D(a X) = a2 DX ,
2. D(α ξ) = α

2 Dξ ,

3. DX = 0 khi và chỉ khi X = EX (h.c.c).
1.5

Một số bất đẳng thức

1.5.1 Bất đẳng thức Cr
Giả sử X, Y ∈ Lr , r > 0. Khi đó
E X +Y

r

Cr (E X

r

+E Y

r

),

trong đó Cr = max(1, 2r−1 ) chỉ phụ thuộc vào r.
Chứng minh. Ta có bất đẳng thức sơ cấp
(a + b)r

(ar + br ) max(1, 2r−1 ), a > 0, b > 0, r > 0,


11

và
r

X +Y

( X + Y )r ,

nên từ đó ta thay a bởi X , b bởi Y , sau đó lấy kỳ vọng hai vế sẽ được
điều phải chứng minh.
1.5.2 Bất đẳng thức Jensen
Nếu ϕ : E −→ R là hàm lồi liên tục, X : Ω −→ E là phần tử ngẫu
nhiên và E X < ∞ thì
ϕ(EX)

Eϕ(X).

Chứng minh. Giả sử X là phần tử ngẫu nhiên rời rạc
∞

∞

aj IAj , với

X=
j=1

Aj = ∅, aj ∈ E, Aj ∈ F.

Aj = Ω, Ai
j=1

Khi đó

∞

ϕ(X) =

ϕ(aj ) IAj .
j=1

Đặt

n

aj IAj .

Xn =
j=1

Khi đó
n

n

EX = lim EXn ; EXn =
n→∞

Vì

∞
j=1 P(Aj )

aj P(IAj ); Eϕ(X) =
j=1

= 1 nên cn =

Ta có
1
1
EXn = ϕ
ϕ
cn

cn

n

n
j=1 P(Aj )

ϕ(aj ) P(IAj ).
j=1

−→ 1 khi n → ∞.
n

P(Aj )
aj P(Aj ) = ϕ
aj
j=1
j=1 cn

n

P(Aj )
ϕ(aj )
j=1 cn


12

=

1
cn

n

P(Aj ) ϕ(aj ) −→ Eϕ(X) khi n → ∞.
j=1

Do đó
1
EXn
cn

lim ϕ

n→∞

(1.1)

Eϕ(X).

Mặt khác
lim ϕ

n→∞

1
1
1
EXn = ϕ lim

EXn = ϕ( lim
lim EXn ) = ϕ(EX).
n→∞ cn
n→∞ cn n→∞
cn
(1.2)

Từ (1.1) và (1.2) suy ra
ϕ(EX)

Eϕ(X).

1.5.3 Bất đẳng thức Markov
Giả sử X là phần tử ngẫu nhiên bất kỳ. Khi đó với mọi ε > 0 ta có
P( X

ε)

E X
.
ε

Chứng minh. Ta có X : Ω −→ E và . : E −→ R là ánh xạ liên tục
nên X : Ω −→ R là biến ngẫu nhiên không âm. Từ đó ta áp dụng bất
đẳng thức Markov đối với biến ngẫu nhiên không âm ta có điều phải chứng
minh.
1.6

Không gian Rademacher loại p

1.6.1 Định nghĩa
Không gian Banach E được gọi là có tính chất Rademacher loại p (viết
tắt là E thuộc loại p), 1

p

2, nếu tồn tại một hằng số c > 0 sao cho
n

+

inf b ∈ R : ∀n và x1 , x2 , . . . , xn ∈ E, E

p

ri xi
i=1

1
p

n

b

xi
i=1

p

1
p

c,


13

trong đó {ri } là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối với
P(ri = −1) = P(ri = 1) = 12 .
1.6.2 Mệnh đề (Woyczyn
´ ski (1980))
Những khẳng định sau là tương đương:
(a) E thuộc loại p,
(b) tồn tại hằng số c > 0 sao cho ∀n ∈ N và với mọi dãy các phần tử
ngẫu nhiên độc lập bất kì {Xi }ni=1 nhận giá trị trong E với kỳ vọng 0 và
khả tích bậc p ta có
n

E

Xi
i=1

n

p

c

E Xi
i=1

p

.


14

Chương 2
Định lí ba chuỗi và Luật mạnh số lớn
2.1

Định lí ba chuỗi

Trong mục này chúng tôi sẽ mở rộng định lí ba chuỗi của Kolmogorov cho
dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trên không gian Banach.
2.1.1 Bổ đề. Cho X1 , X2 , . . . , Xn là dãy các phần tử ngẫu nhiên khả
tích, Sk = X1 + X2 + · · · + Xk , (k = 1, 2, . . . , n). Khi đó với mọi ε > 0, ta
có
P max Sk > ε
1 k n

1
ε

n

E Xk .

k=1

Chứng minh. Ta có
S k = X 1 + X2 + · · · + Xk

X1 + X2 + · · · + Xk , k = 1, n.

Suy ra
X1 + X2 + · · · + X k + X n .

max Sk

1 k n

Từ đó và bất đẳng thức Markov ta có
n

P max Sk > ε
1 k n

Xk > ε

P
k=1

1
E
ε

n

Xk
k=1

1
=
ε

n

E Xk .
k=1

2.1.2 Mệnh đề. Nếu E thuộc loại p thì tồn tại hằng số c > 0 sao cho
với mỗi n ∈ N và với mỗi dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập {Xi }ni=1 nhận
giá trị trong E với kỳ vọng 0 và khả tích bậc p, ta có với mọi λ > 0
n

P max X1 + X2 + · · · + Xj > λ
1 j n

−p

cλ

E Xj
j=1

p

.


15

Chứng minh. Đặt Sj = X1 + X2 + · · · + Xj , Fj = σ(X1 , X2 , . . . , Xj ).
Khi đó (Sn , Fn , n

1) là martingale.

Thật vậy,
i) Ta có
X1 ∈ F1 ⊂ Fn , ∀n

1,

X2 ∈ F2 ⊂ Fn , ∀n

2,

...
Xn ∈ Fn , ∀n.

Suy ra
Sn = X1 + X2 + · · · + Xn ∈ Fn , ∀n ∈ N∗ .
n

n

ii) ESn = E

Xi =

EXi = 0, ∀n ∈ N∗ .

i=1

i=1

Suy ra Sn khả tích ∀n ∈ N∗ .
iii) Ta có {Xn } độc lập, I1 = {0, 1, . . . , n − 1}, I2 = {n}.
Suy ra
σ(X0 , X1 , . . . , Xn−1 ) và σ(Xn ) độc lập.

Tức là Fn−1 và Xn độc lập.
Khi đó ∀n ∈ N∗ , ta có
E Sn Fn−1 = E Sn−1 + Xn Fn−1
= E Sn−1 Fn−1 +E Xn Fn−1
= Sn−1 + EXn (vì Fn−1 và Xn độc lập)
= Sn−1 .

Vậy (Sn , Fn , n
Do đó

1) là martingale.

Sn , Fn , n

Thật vậy,

1 là martingale dưới không âm.


16

i) Sn ∈ Fn , ∀n vì Sn ∈ Fn và . là ánh xạ liên tục.
ii) E Sn

p

n

=E

Xi

p

n

c

p

E Xi

i=1

< ∞ (vì E thuộc loại p).

i=1

Suy ra
n

E Sn = E

n

Xi

E

Xi

i=1

iii) E

Sn Fn−1

1
p

p

< ∞ (bất đẳng thức Liapunov).

i=1

E(Sn Fn−1 ) = Sn−1 .

Khi đó,
P max Sj > λ = P max Sj
1 j n

p

1 j n

n

λ

−p

> λp
p

E

Xi

(theo bổ đề 2.1.1).

i=1
n

c λ−p

E Xi

p

(do E thuộc loại p).

i=1

2.1.3 Bổ đề. Giả sử E là không gian thuộc loại p, {Xn } là dãy các phần
tử ngẫu nhiên độc lập, khả tích bậc p và EXn = 0, ∀n. Khi đó tồn tại
hằng số c > 0 sao cho với mọi ε > 0 ta có
k

(i) P( max

n m k

Sm − Sn > ε)

m n

.

m=n+1
∞

(ii) P( sup Sm − Sn > ε)

p

E Xm

c

c

E Xm

p

.

m=n+1

trong đó Sk = X1 + X2 + · · · + Xk , k = 1, 2, . . .
Chứng minh. (i) Đặt Y1 = 0, . . . , Yn = 0, Yn+1 = Xn+1 , . . . , Yk = Xk .
Khi đó Y1 , . . . , Yk thỏa mãn giả thiết của mệnh đề 2.1.2 và
Y1 + · · · + Yn + Yn+1 + · · · + Ym = Xn+1 + · · · + Xm = Sm − Sn .


17

Do đó
P( max

n m k

Sm − Sn > ε) = P( max

1 m k

k
−p

Y1 + Y2 + · · · + Ym > ε)

Mε

p

E Ym

(theo mệnh đề 2.1.2)

m=1
k

=c

p

E Ym
m=1
k

=c

E Xm

p

.

m=n+1

với M > 0, c = M ε−p .
(ii) Đặt
Bk = ( max

n m k

Sm − Sn > ε).

Khi đó {Bk , k > n} là dãy tăng và
∞

Bk = ( sup Sm − Sn > ε).
k=n+1

m n

Do đó
∞

P( sup Sm − Sn > ε) = P
m n

Bk
k=n+1

= lim P(Bk )(do Bk là dãy tăng)

k→∞

= lim P( max
k→∞

n m k
k

c lim

k→∞

Sm − Sn > ε)

E Xm
m=n+1

∞

=c

E Xm
m=n+1

p

.

p

(do (i))


18

2.1.4 Bổ đề. (xem[4]) Cho X, Y là các phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận
giá trị trong không gian Hilbert có kỳ vọng 0. Khi đó
X, Y dP = 0.
Ω

2.1.5 Mệnh đề. Cho {Xn } là dãy các phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận
giá trị trong không gian Hilbert với kỳ vọng hữu hạn và giả sử rằng tồn
tại hằng số A sao cho
Xn − EXn

A, ∀n.

Khi đó với mỗi ε > 0 và n > 1, ta có
P max X1 + X2 + · · · + Xj

ε

1 j n

(2A + 4ε)2
,
DX

trong đó
S n = X1 + X2 + · · · + Xn .

Chứng minh. Đặt
M0 = Ω,
Mk = {ω : max Sj
1 j k

ε}, k = 1, n,

∆k = Mk−1 − Mk , k = 1, n.

Giả sử P(Mn ) > 0 (vì P(Mn ) = 0 thì (2.3) luôn đúng).
Đặt
S0 = 0,
Xk = Xk − EXk , k
k

Xi .

Sk =
i=1

1.

(2.3)


19

xk =

1
P(Mk )

Sk dP , k = 0, n.
Mk

Suy ra
(Sk − xk )dP = 0.
Mk

Suy ra
E(Sk − xk )IMk = 0.

Ta có
Sk+1 − xk+1 2 dP
Mk+1

Sk+1 − xk+1 2 dP −

=
Mk

Sk+1 − xk+1 2 dP

∆k+1

= I1 − I2 .

Sk+1 − xk+1 2 dP

I1 =
Mk

Sk − xk + Xk+1 + xk − xk+1 , Sk − xk + Xk+1 + xk − xk+1 dP

=
Mk

( Sk − xk

=

2

+ Xk+1

2

+ xk − xk+1 2 )dP +

Mk

+

Mk

Sk − xk , xk − xk+1 dP +

Mk

+

Mk

Xk+1 , xk − xk+1 dP +

Mk

+
Mk

Xk+1 , Sk − xk dP

Mk

xk − xk+1 , Xk+1 dP

xk − xk+1 , Sk − xk dP

Sk − xk , Xk+1 dP


20

( Sk − xk

=

2

+ Xk+1

2

+ xk − xk+1 2 )dP.

Mk

(do Xk+1 , (Sk − xk ) IMk độc lập; EXk+1 = 0, E(Sk − xk ) IMk = 0)
Sk − xk

2

dP + P(Mk ) D(Xk+1 ) (Xk+1 , IMk độc lập).

Mk

Mặt khác,
Sk − xk = Sk − ESk −

1
P(Mk )

(Sk − ESk )dP
Mk

1
P(Mk )

Sk +

Sk dP
Mk

Sk +

1
ε
P(Mk )

dP

Mk

Sk + ε.

và
xk − xk+1 =

1
P(Mk )

Sk dP −

1
P(Mk+1 )

Mk

Sk dP −

1
P(Mk+1 )

Mk+1

ε+ε+A
= 2 ε + A.

Lại có Sk

ε trên ∆k+1 nên
Sk+1 − xk+1 2 dP

I2 =
∆k+1

Sk − xk + xk − xk+1 + Xk+1 2 dP

=
∆k+1

( Sk + ε + 2 ε + A + A)2 dP
∆k+1

Xk+1 dP
Mk+1


21

(4 ε + 2 A)2 P(∆k+1 ).

Do đó,
Sk − xk 2 dP

Sk+1 − xk+1 2 dP −
Mk

Mk+1

Sk+1 − xk+1 2 dP −

=
Mk

Sk+1 − xk+1 2 dP −

∆k+1

Sk − xk 2 dP

Mk

Sk − xk 2 dP + P(Mk ) DXk+1 − (4 ε + 2 A)2 P(∆k+1 ) −
Mk

Sk − xk 2 dP

Mk

2

= P(Mk ) DXk+1 − (4 ε + 2 A) P(∆k+1 )

P(Mn ) DXk+1 − (4 ε + 2 A)2 P(∆k+1 )(∗)(vì Mn ⊂ Mk , 0

k

n − 1).

Hơn nữa,
4 ε2 P(Mn )

( Sn + ε)2 dP (vì Sn

ε trên Mn )

Mn

Sn − xn 2 dP(vì Sn − xn

Sn + ε)

Mn

Sn−1 − xn−1 2 dP + P(Mn−1 ) DXn − (4 ε + 2 A)2 P(∆n )
Mn−1

(do (∗))
Sn−1 − xn−1 2 dP + P(Mn ) DXn − (4 ε + 2 A)2 P(∆n )

Mn−1

(Mn ⊂ Mn−1 )
...
n
2

DXi − (4 ε + 2 A)2 P(∆n )

S0 − x0 dP + P(Mn )
M0

i=1


22

n

DXi − (4 ε + 2 A)2 P(∆n ) (do S0 = x0 = 0)

= P(Mn )
i=1
n

DXi − (4 ε + 2 A)2 P(Ω\Mn )

P(Mn )
i=1

(vì ∆n = Mn−1 \Mn ⊂ Ω\Mn )
n

DXi + (4 ε + 2 A)2 − (4 ε + 2 A)2 P(Mn ).

= P(Mn )
i=1

Suy ra
n
2

(4 ε + 2 A)

2

DXi + (4 ε + 2 A)2 P(Mn ).

−4 ε P(Mn ) + P(Mn )
i=1

Do đó

n
2

(4 ε + 2 A)

P(Mn )

DXi .
i=1

Vậy
P(Mn )

(4 ε + 2 A)2
.
n
DX
i
i=1

2.1.6 Bổ đề. Giả sử
∞

P(Xn = Yn ) < ∞.
n=1

Nếu

∞
n=1 Xn

hội tụ h.c.c thì

∞
n=1 Yn

Chứng minh. Đặt An = (Xn = Yn ), ∀n

Khi đó

∞
n=1 P(An )

hội tụ h.c.c.

1.

< ∞ nên theo bổ đề Borel-Cantelli ta có:

P(lim sup An ) = 0.
Suy ra
P(lim inf An ) = 1.


23

Đặt

∞

Xn hội tụ

B=

lim inf An .

n=1

Suy ra
P(B) = 1.
Lấy



ω∈B⇒

∞

Xn (ω) hội tụ

n=1


ω ∈ lim inf An
⇒




∞

Xn (ω) hội tụ

n=1
∃ nω : ω ∈ An , ∀n nω
∞

Xn (ω) hội tụ

⇒ n=1

Xn (ω) = Yn (ω), ∀n nω
∞

⇒

Yn (ω) hội tụ.
n=1
∞

⇒ω∈

Yn (ω) hội tụ .
n=1
∞

⇒B⊂

Yn (ω) hội tụ .
n=1

∞

⇒P

Yn (ω) hội tụ = 1.
n=1

Vậy

∞

Yn (ω) hội tụ h.c.c.
n=1


24

2.1.7 Bổ đề. Giả sử {Xn } là dãy các phần tử ngẫu nhiên độc lập
nhận giá trị trong không gian Banach E thuộc loại p. Khi đó, nếu
∞
n=1 E

Xn − EXn

p

∞
n=1 (Xn

< ∞ thì

− EXn ) hội tụ h.c.c.

Chứng minh. Đặt Yn = Xn − EXn .
Khi đó (Yn , n

1) là dãy các phần tử ngẫu nhiên độc lập, khả tích bậc p

và EYn = 0, ∀n.
Đặt
Sn = (X1 − EX1 ) + (X2 − EX2 ) + · · · + (Xn − EXn ) = Y1 + Y2 + · · · + Yn .

Ta cần chứng minh (Sn , n
(Sn , n

1) hội tụ h.c.c. Để làm điều đó ta chứng minh

1) là dãy cơ bản h.c.c.

Ta có,
lim P( sup Sm − Sn > ε) = lim P( sup Yn+1 + Yn+2 + · · · + Ym > ε)

n→∞

n→∞

m≥n

m≥n
∞

E Ym p (theo bổ đề 2.1.3)

lim c

n→∞

m=n+1

∞

E Xm − EXm

= lim c
n→∞

p

m=n+1
∞

E Xn − EXn

= 0.(vì

p

< ∞).

n=1

Vậy (Sn , n

1) là dãy cơ bản h.c.c, do đó (Sn , n

1) hội tụ h.c.c.

2.1.8 Định lý. Cho {Xn } là dãy các phần tử ngẫu nhiên độc lập trong
không gian Banach E thuộc loại p (1

p

2) và hằng số K > 0 cố

định.
Đặt
Yn (ω) =

Xn (ω)
0

nếu
nếu

Xn (ω)
K
Xn (ω) > K


25

(a) Sự hội tụ của ba chuỗi
∞

(1)

P( Xn > K),
n=1
∞

(2)

EYn và
n=1
∞

(3)

E Yn − EYn p ,

n=1
∞
n=1 Xn .

kéo theo sự hội tụ hầu chắc chắn của chuỗi

(b) Nếu E là không gian Hilbert thì sự hội tụ hầu chắc chắn của chuỗi
∞
n=1 Xn

kéo theo sự hội tụ của ba chuỗi trên với p = 2.

Chứng minh. (a) Giả sử ba chuỗi (1), (2), (3) hội tụ.
Ta có dãy {Yn − EYn } là dãy các phần tử ngẫu nhiên độc lập vì {Xn }
độc lập và f (x) = x − a là liên tục.
Hơn nữa, E(Yn − EYn ) = 0 và E Yn − EYn
Áp dụng mệnh đề 2.1.2 ta có ∀m
k

P

(Yi − EYi )

max
n k n

i=n

p

< ∞ (vì (3) hội tụ).

1:
n

1
m

p

1 − cm

E Yi − EYi
i=n

Suy ra
k

lim P

n →∞

(Yi − EYi )

max
n k n

i=n

1
= 1(vì (3) hội tụ).
m

Kéo theo
k

lim lim P

n→∞ n →∞

Do đó

(Yi − EYi )

max
n k n

i=n

∞

(Yn − EYn ) hội tụ h.c.c.
n=1

1
= 1.
m

p

.