Đạo hàm Lie của độ cong và độ xoắn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
---@&?---

ĐẶNG VĂN THÂN

ĐẠO HÀM LIE CỦA ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
---@&?---

ĐẶNG VĂN THÂN

ĐẠO HÀM LIE CỦA ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN

CHUYÊN NGÀNH: HÌNH HỌC - TÔ PÔ
Mã số: 60.46.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS. TS. NGUYỄN HỮU QUANG

NGHỆ AN - 2012

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU……………………………………………………………….…………………………………….….
CHƯƠNG I. ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI …..
I. Đa tạp khả vi…………………………….………………………………………………………………….………..
II. Liên thông tuyến tính trên đa tạp khả vi………………………………….……………………
III. Độ cong và độ xoắn trên đa tạp khả vi…………………………………….………..………...
CHƯƠNG II. ĐẠO HÀM LIE CỦA ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN…….….
I. Đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính…………………………………………………………..
II. Đạo hàm Lie của độ cong và độ xoắn………………………….………………………..………
KẾT LUẬN……………………………………………………………………………………….……………………..
TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………………………………………….

Trang
1
3
3
6
13
22
22
26
32
33


1

LỜI NÓI ĐẦU
Như ta đã biết, đạo hàm là công cụ quan trọng trong việc khảo sát các bài
toán cực trị hình học và đạo hàm Lie là một công cụ quan trọng để nghiên cứu
các tính chất của hình học trên đa tạp khả vi. Trong những thập niên gần đây,
nhiều nhà toán học đã quan tâm nghiên cứu và đã có nhiều tài liệu viết về đạo
hàm Lie của độ cong và độ xoắn như: Khu Quốc Anh - Nguyễn Doãn Tuấn với
tài liệu - Lý thuyết liên thông và hình học Riemann; Đoàn Quỳnh với tài liệu Hình học vi phân, Nguyễn Hữu Quang với tài liệu - Bài giảng Đại số Lie và
nhóm Lie; Sultanov.A.Ya với tài liệu - Derivations of linear algebras and lianear
connections...
Mục đích chính của luận văn này là trình bày chi tiết và có hệ thống một số
kiến thức về đạo hàm Lie của độ cong và đạo hàm Lie của độ xoắn trên đa tạp
khả vi. Do đó luận văn được mang tên: “ Đạo hàm Lie của độ cong và độ
xoắn”.
Luận văn được trình bày trong hai chương:
Chương 1. Độ cong và độ xoắn trên đa tạp
Trong chương này, chúng tôi trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất cơ
bản của đa tạp khả vi, liên thông tuyến tính và độ cong và độ xoắn trên đa tạp.
Đây là những kiến thức cơ sở để chuẩn bị cho việc trình bày chương sau.
Chương I được chia làm ba phần.
I. Đa tạp khả vi
II. Liên thông tuyến tính trên đa tạp khả vi.
III . Độ cong và độ xoắn.
Chương 2 . Đạo hàm Lie của độ cong và độ xoắn.
Chương này là nội dung chính của luận văn. Trong chương này, chúng tôi trình
bày chi tiết các khái niệm và tính chất, ví dụ về đạo hàm Lie của liên thông tuyến
tính và đạo hàm Lie của độ cong và đạo hàm Lie của độ xoắn. Chương II được
chia làm 2 phần.


2

I . Đạo hàm của liên thông tuyến tính.
II . Đạo hàm Lie của độ cong và độ xoắn.
Luận văn được hoàn thành vào tháng 10 năm 2012 tại trường Đại học
Vinh dưới sự hướng dẫn của PGS – TS Nguyễn Hữu Quang. Tác giả xin bày tỏ
long biết ơn sâu sắc tới Thầy, người đã hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình
học tập và nghiên cứu.
Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô
giáo trong bộ môn Hình học - Tôpô, các thầy cô trong khoa Toán, khoa đào tạo
Sau đại học - Trường Đại học Vinh, đã nhiệt tình giảng dạy, góp ý và tạo điều
kiện cho tác giả trong quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Cũng nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè, gia đình đã
động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn./.
Vinh, tháng 10 năm 2012
Tác giả

CHƯƠNG I
ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN TRÊN ĐA TẠP
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số tính chất cơ bản của độ cong và
độ xoắn của đa tạp khả vi.
I.Đa tạp khả vi.
1.1. Định nghĩa.
Giả sử M là một T2 - không gian với cơ sở đếm được, U là tập mở trong M, V là
tập mở trong Rn và ánh xạ ϕ : U → V là đồng phôi thì ( U,ϕ ) được gọi là một
bản đồ của M.
Chú ý:


3

- Với p ∈ U, ϕ ( p ) = ( x1 , x2 ,..., xn ) . Khi đó ( x1 , x2 ,..., xn ) được gọi là tọa độ địa
phương của p đối với ( U,ϕ ) . ( ( U,ϕ ) được gọi là hệ tọa độ địa phương của M).
- Một điểm p có thể thuộc nhiều bản đồ của M, do đó p có nhiều bộ tọa độ địa
phương khác nhau.
1.2. Ví dụ.
2
2
Trong ¡ 2 , ta lấy M = S1 = { ( x; y ) | x + y = 1} . Ta xét U1 = { ( x; y ) | y > 0} ;

Rõ ràng U1 là một tập mở của S1 và V1 = (-1;1) là tập mở trong ¡ .
Trong đó ϕ1 : U1 → V1

là ánh xạ đồng phôi

(x; y ) a x
Như vậy, ( U,ϕ ) là một bản đồ của S1.
Thật vậy:
- ϕ1 là song ánh:
• Ta lấy hai điểm A, B thuộc U1 với A(x1; 1 − x12 ),B(x2 ; 1 − x22 )
với A ≠ B, ta suy ra x1 ≠ x2 do đó ϕ (A) ≠ ϕ (B) .
Vậy ϕ1 là đơn ánh.
• Với bất kỳ x ∈ V1 , ta xét điểm A(x; 1 − x 2 ) ∈ U1 , ta có ϕ (A) = x
Vậy ϕ1 là toàn ánh.
- Vì ϕ1 là phép chiếu lên trục hoành nên ϕ1 liên tục.
−1
Mặt khác ϕ1 : V1 → U1

x a ( x; 1 − x 2 )
−1
Ta có: ϕ1 = ( ψ 1;ψ 2 ) với ψ 1 ( x) = x và ψ 2 ( x) = 1 − x 2 , ∀x ∈ ( −1;1)

−1
Từ ψ 1 , ψ 2 liên tục, ta suy ra ϕ1 liên tục.


4

Vậy (U, ϕ ) là một bản đồ của S1.
1.3. Định nghĩa.
Giả sử (U1, ϕ1 ) và (U2, ϕ 2 ) là hai bản đồ của M và W1 = ( U1 ∩ U 2 ) ≠ φ . Khi đó
−1
(U1, ϕ1 ) và (U2, ϕ 2 ) được gọi là phù hợp nếu ánh xạ ϕ 2°ϕ1 là một vi phôi.

M

W

ϕ1
W1

ϕ2
W2

Chú ý:
• Ta ký hiệu W1 = ϕ1 (W), W2 = ϕ 2 (W). Khi đó (U1, ϕ1 ) và (U2, ϕ 2 ) phù
−1
hợp nếu ánh xạ ϕ 2°ϕ1 : W1 → W2 là vi phôi.

• Nếu U1 ∩ U2 = φ , ta quy ước rằng (U1, ϕ1 ) và (U2, ϕ 2 ) phù hợp
{ U 2 = { ( x; y ) ∈ S1 | x > 0}


V = ( −1;1)
Trở lại ví dụ (1.2) ở trên và xét thêm bản đồ  2
ϕ2 : U 2 → V2
 ( x; y ) a y

Ta kiểm tra tính phù hợp của (U1, ϕ1 ) và (U2, ϕ 2 ).


5

 W = U1 ∩ U 2 = { ( x; y ) ∈ S1 | x > 0, y > 0} ≠ φ

Ta xét  W1 = ϕ1 (W) = (0;1)
 W = ϕ (W) = (0;1)
2
 2
−1
Khi đó ta có f = ϕ 2°ϕ1 : W1 → W2

xa

1 − x 2 là một song ánh khả vi

Mặt khác, với bất kỳ y ∈ (0;1) , ta có
f −1 ( y ) = ( ϕ 2°ϕ1 ) ( y ) = ( ϕ1°ϕ 2 −1 ) ( y ) = ϕ1 (ϕ 2 −1 ( y )).
−1

Vậy f là vi phôi hay (U1, ϕ1 ) và (U2, ϕ 2 ) là hai bản đồ phù hợp của S1.
1.4. Định nghĩa.
i) Giả sử M là T2 – không gian.

Α = { ( U i ;ϕi ) i∈I là họ các bản đồ trên M}
Nếu Α thỏa mãn:
a)

UU
i∈I

i

=M.

b) ( U i ;ϕi ) và ( U j ;ϕ j ) là phù hợp, với mọi i ≠ j thì ta nói Α là một Atlat của
M.
ii) Hai Atlat Α = ( U i ;ϕi ) i∈I , Β= ( V j ;ψ j ) j∈J được gọi là phù hợp nếu ( U i ;ϕi ) và

( V ;ψ ) là phù hợp với mọi ∀i; j .
j

j

1.5 Định nghĩa.
i) Nếu Α là một Atlat cực đại trên M (tức là Α không nằm trong bất cứa Atlat
nào) thì Α được gọi là một cấu trúc khả vi trên M.
ii) Một T2 – không gian M có cấu trúc khả vi được gọi là đa tạp khả vi n – chiều.
Chú ý.


6

Trong quá trình khảo sát tính khả vi của đa tạp, ta chỉ cần chỉ ra một Atlat thích

hợp.
Ta tiếp tục xét M = S1, cùng thêm các bản đồ sau:
Trở lại với ví dụ 1.4, ta đặt:
 U 3 = { ( x; y ) ∈ S1 | x < 0}

V3 = (−1;1)

ϕ3 : U 3 → V3

 ( − 1 − y 2 ; y) a y

 U 4 = { ( x; y ) ∈ S1 | y < 0}

V4 = (−1;1)

ϕ 4 : U 4 → V4

 (x; − 1 − x 2 ) a x

4

dễ thấy

U Uα = M
α
=1

và hai bản đồ bất kỳ là phù hợp. Do đó ( Uα ;ϕα ) α =1 là một cấu
4

trúc khả vi của S1.
Vậy S1 là một đa tạp khả vi 1 – chiều
II. Liên thông tuyến tính.
Trong mục này, ta luôn giả thiết M là đa tạp khả vi thực với hệ bản đồ

(U

α

;φ α ) α∈ I và tôpô của M có cơ sở đếm được.

Ta ký hiệu:
F(M) = { f : U → R , f khả vi}
B(M) = {X| X là trường véc tơ tiếp xúc, khả vi trên M}
TpM = { Không gian các véc tơ tiếp xúc với M tại p∈ M}
1.6. Định nghĩa.
Ánh xạ ∇ : B(M) × B(M) → B(M)


7

(X,Y) a ∇ X Y
được gọi là liên thông tuyến tính trên M nếu và chỉ nếu ∇ thỏa mãn các điều
kiện sau:
T1. ∇ X (Y+Z) = ∇ X Y + ∇ X Z; ∀ X, Y, Z ∈ B(M).
T2. ∇ X+Y Z = ∇ X Z + ∇ Y Z; ∀ X, Y, Z ∈ B(M).
T3. ∇ϕ X Y = ϕ∇ X Y; ϕ ∈ F(M), ∀ X, Y ∈ B(M).
T4. ∇ Xϕ Y = X [ ϕ ] .Y + ϕ .∇ X Y, ϕ ∈ F(M), ∀ X, Y ∈ B(M)
∇ X Y được gọi là đạo hàm của trường véc tơ Y dọc theo X đối với ∇ .
1.7. Ví dụ.

1. M là đa tạp khả song với trường mục tiêu { E 1, E2, …En} và giả sử
Y=

n

n

∑ X [ Y ]E . Khi đó ∇ là một liên thông tuyến tính.

∑ Yi E i , ta đặt ∇ X Y =
i=1

i

i=1

i

Thật vậy: Để chứng minh ∇ là một liên thông tuyến tính, ta cần chứng minh ∇
thỏa mãn 4 tính chất của liên thông tuyến tính.
T1: ∇ X (Y+Z) =
=

∑ ( X [ Y +Z ] ) E
n

i=1

i

i

n

∑ (X [ Y ]E +X [ Z ] E )
i=1

=

i

i

i

i

n

n

i=1

i=1

i

∑ X [ Yi ]E i +∑ X [ Zi ]E i

= ∇ X Y + ∇ X Z; ∀ X, Y, Z ∈ B(M).

T2: ∇ X+Y Z =

n

∑ (X+Y) [ Z ]E
i=1
n

i

i

= ∑ (X [ Zi ] E i +Y [ Zi ] E i )
i=1


8

n

n

i=1

i=1

= ∑ X [ Zi ] E i + ∑ Y [ Zi ] E i
= ∇ X Z+∇ Y Z ; ∀ X, Y, Z ∈ B(M).
T3: ∇ϕ X Y =

n

∑ϕ X [ Y ]E
i

i=1

i

n

= ϕ ∑ X [ Yi ] E i
i=1

= ϕ ∇ X Y.
n
∇
φY
=
X φY  E
∑
T4: X
i=1  i  i
=

] +φX Y[ ] E)
∑ ( Xφ[ Y
n

i

i=1

=

(

i

i

)

 E
Y
+ φ ∑X Y
∑ Xφ
[
]
i
 i
i=1
i=1
n

n

i

∇Y.

[ Y+φ
]
= Xφ
X
1.8. Mệnh đề. (xem [2])
Trên M luôn tồn tại liên thông tuyến tính ∇ .
Chứng minh.
Trước hết ta chứng minh trên mỗi U α luân tồn tại liên thông tuyến tính ∇ α . Thật
vậy, giả sử X, Y ∈ B( U α ). Ta chú ý đến vi phôi φ α : U α → Vα , ( Vα là tập mở
trong Rn)
−1
Ta đặt ∇ α (X,Y) = φ α* (D X' Y') ; trong đó X’ = φ α* (X) , Y’ = φ α* (Y) .

Ta nhận thấy rằng ∇ α là liên thông tuyến tính trên U α ; ∀α ∈ I .
g α∇
Giả sử { g α } α∈I là phân hoạch đơn vị liên kết với {U α }α∈I . Ta đặt ∇ = ∑
α∈I
Khi đó ∇ là liên thông tuyến tính trên M.

α


9

1.9. Mệnh đề. (xem [2])
Giả sử ∇ là liên thông tuyến tính trên N, và M ⊂ N,
∀ X,Y ∈ B(M), ta đặt ∇ X Y=(∇ X Y)T . Khi đó ∇ là liên thông tuyến tính trên M.
(Ở đây T là ký hiệu thành phần tiếp xúc trên M).
Chứng minh.
Ta kiểm tra các điều kiện của liên thông tuyến tính ∇ .

T1: ∇ x (Y+Z) = (∇ x (Y+Z))T
= (∇ X Y + ∇ X Z)T
= ( ∇XY ) + ( ∇X Z)
T

T

= ∇ X Y + ∇ X Z; ∀ X,Y, Z ∈ B(M).
T2: ∇ X+Z Y = (∇ X+Z Y)T
= ( ∇XY + ∇ZY )

T

= ( ∇ X Y ) + ( ∇ ZY )
T

T

= ∇ X Y + ∇ Z Y; ∀ X,Y, Z ∈ B(M).
T3:

∇ φX Y = ( ∇ φX Y )

T

= ( φ∇ X Y )

T

= φ ( ∇XY )

T

= φ∇ X Y ; ∀φ ∈F(M), ∀ X,Y ∈ B(M).
T4:

∇ X (φY) = ( ∇ X (φY) )

T

= (Xφ
[ .Y
] +φ ∇Y)
X

T


10

= ( Xφ
[ .Y
]

)

T

+φ( ∇Y)
X

T

= Xφ
∀φ ∈ F(M), ∀ X,Y ∈ B(M).
X
[ .Y
] +φ ∇Y;
Vậy, ∇ là liên thông tuyến tính trên M.
1.10. Mệnh đề. (xem [2])
Giả sử M = ¡ n , ∇ X Y = D X Y + S(X,Y)
(S là ánh xạ song tuyến tính từ: B(M) × B(M) a B(M). Khi đó ∇ là liên thông
tuyến tính trên đa tạp M.
Chứng minh.
Ta kiểm tra các tiên đề của một liên thông tuyến tính:
T1:

∇ X (Y+Z) = DX (Y+Z) + S(X,Y+Z)
= D X Y + D X Z + S(X,Y) + S(X,Z)
= [D X Y + S(X,Y) ]+ [D X Z + S(X,Z)]
= ∇ X Y + ∇ X Z ; ∀ X,Y, Z ∈ b(M).

T2:

∇ X+Z Y = D X+Z Y + S(X+Z,Y)
= D X Y + D Z X + S(X,Y) + S(Z,Y)
= [D X Y + S(X,Y) ]+ [D Z Y + S(Z,Y)]
= ∇ X Y + ∇ Z Y ; ∀ X,Y, Z ∈ b(M).

T3:

∇ φX Y = DφX Y + S(φX,Y)
= φD X Y + φS(X,Y)
= φ(D X Y + S(X,Y))
= φ∇ X Y ; ∀φ ∈F(M); ∀ X,Y ∈ b(M).

T4:

∇ X (φY) = D X (φY) + S(X,φY)
= Xφ
+φS(X,Y)
[ .Y
] +φD Y
X


11

= Xφ
+S(X,Y))
[ .Y
] +φ(D Y
X
= Xφ
∀φ ∈ F(M); ∀ X,Y ∈ b(M).
[ .Y
] +φ ∇Y;
X
Vậy, ∇ là liên thông tuyến tính trên M.
Từ mệnh đề trên ta có hệ quả sau:

1.11. Hệ quả.
a. Giả sử ∇ là liên thông tuyến tính trên M = ¡ n . Khi đó ta đặt:
µ X Y = D Y + [ X,Y ] ; ∀X, Y ∈ B(M) thì ∇
µ cũng là liên thông tuyến tính.
∇
X
b. Trong ¡ 3 , ∀X, Y ∈ B( ¡ 3 ) , ta đặt ∇ X Y = D X Y +

1
X ∧ Y; n ∈ ¥ .
n

Khi đó ∇ là một liên thông tuyến tính.
1.12. Mệnh đề. (xem [2])
Giả sử ∇1 , ∇ 2 là hai liên thông tuyến tính trên M và φ1 , φ 2 ∈ F(M). Khi đó
∇ = φ1∇1 + φ 2∇ 2 là liên thông tuyến tính khi và chỉ khi φ1 + φ 2 = 1 .
(Ở đây ( φ∇ ) X Y = φ.∇ X Y; ∀ X, Y ∈B(M) ).
Chứng minh.
Điều kiện cần: Giả sử ∇1 , ∇ 2 là hai liên thông tuyến tính trên M và
∇ = φ1∇1 + φ 2∇ 2 là liên thông tuyến tính.
Ta chứng minh: φ1 + φ 2 = 1 , với ∀φ1 , φ 2 ∈ F(M).
Thật vậy: Với X, Y ∈ B(M), ∀φ1 , φ 2 , φ3 ∈ F(M). Ta có:

∇ X ( φ3Y ) = ( φ1∇1 + φ 2∇ 2 ) X ( φ3Y )
= φ1∇1X ( φ3 Y ) + φ2∇ X2 ( φ3 Y )
= φ1 ( X [ φ3 ] .Y + φ3∇1X Y ) + φ 2 ( X [ φ3 ] .Y + φ3∇X2 Y )


12

= ( φ1 + φ2 ) X [ φ3 ] .Y + φ3 ( φ1∇1X Y + φ 2∇X2 Y )

= ( φ1 + φ 2 ) X [ φ3 ] .Y + φ3∇ X Y.

(1)

Do ∇ là liên thông tuyến tính nên ∇ X ( φ3Y ) = X [ φ3 ] .Y + φ3∇ X Y

(2)

Từ (1) và (2) ta suy ra φ1 + φ 2 = 1
Điều kiện đủ: Giả sử φ1 + φ 2 = 1 và φ1 , φ 2 ∈ F(M). Ta chứng minh:
∇ = φ1∇1 + φ 2∇ 2 là liên thông tuyến tính.
Thật vậy: với X, X’, Y, Y’ ∈ F(M). Ta kiểm tra 4 điều kiện của liên thông tuyến
tính của ∇ .
'
φ1 +
T1. ∇ X ( Y + Yφ) = ( 1∇

2

2
∇Y
) X+( Y

'

)

= φ1∇1X ( Y + Y ' ) + φ 2∇ 2X ( Y + Y ' )

= φ1∇1X Y + φ1∇1X Y ' + φ 2∇X2 Y + φ 2∇X2 Y '

= ( φ1∇1 + φ2∇ 2 ) Y + ( φ1∇1 + φ 2∇ 2 ) Y '
X

X

= ∇X Y + ∇X Y '
1
T2. ∇ X+X Yφ= ( 1∇φ+

2

'

∇ 2 ) X+X
Y

'

= φ1∇1X+X' Y + φ 2∇ 2X+X' Y
= ( φ1∇1 + φ 2∇ 2 ) Y + ( φ1∇1 + φ 2∇ 2 ) ' Y
X

X

= ∇ X Y + ∇ X' Y
1
T3. ∇ αX Yφ= ( 1∇φ+

2

∇2 Y
) αX

2
= φ1αX
∇1 Y + 2φ ∇
Y
αX

= αφ1∇1X Y + α φ 2∇2X Y

= α ( φ1∇1 + φ 2∇ 2 ) .Y
X

; ( α ∈ F(M))


13

1
2
T4. ∇X ( αY ) = ( φ1∇ + φ 2∇ ) αY ; ( α ∈ F(M))

= φ1∇1X ( αY ) + φ 2∇ X2 ( αY )
= φ1 ( X [ α ] .Y+α∇1X .Y ) + φ 2 ( X [ α ] .Y+α.∇X2 .Y )
= ( φ1 + φ 2 ) X [ α ] .Y + α ( φ1∇1X Y + φ 2∇X2 Y )

= Xα

[ .Y
] + α ∇ XY

(do φ1 + φ 2 = 1 )

Từ mệnh đề (1.12) ta có nhận xét rằng: Tổng của hai liên thông tuyến tính không
phải là một liên thông tuyến tính.
III. Độ cong và độ xoắn trên đa tạp.
1.13. Định nghĩa.
Giả sử ∇ là một liên thông tuyến tính trên đa tạp M và ∀X,Y, Z ∈ B(M)
Khi đó ánh xạ R: B(M) × B(M)xB(M) → B(M)
(X,Y,Z)

a R(X,Y,Z);

với R(X,Y,Z) = ∇ X∇ Y Z - ∇ Y∇ X Z - ∇[ X,Y] Z ,
được gọi là độ cong trên đa tạp M.
1.14. Ví dụ.
Giả sử S là mặt trụ trong R3 cho bởi tham số hóa
 x = cosu
( u,v ) a  y = sinu , (u, v) ∈ ¡
z = v


2

Khi đó R|S = 0
Giải:
Thật vậy, ta đặt: X = r’u = ( -sinu, cosu, 0) = (- y , x , 0)
Y = r’v = (0, 0, 1) = (0, 0, 1)

Với X, Y ∈ B(S) và giả sử Z ∈ B(S), Z được cho bởi


14

Z = ϕ X + ψ Y = (− yϕ , xϕ , ψ ) = (Z1, Z2, Z3)
Ta có:

(

+) ∇ X∇ Y Z = D X ( D Y Z )

T

) = ( D ( Y[ Z ] , Y[ Z ] , Y[ Z ] ) )
T

T

X

1

2

T

3

( ( D Y Z ) là thành phần tiếp xúc của D Y Z trên mặt trụ)

T

T

T

  −∂yϕ ∂xϕ ∂ψ T    ∂ϕ
∂ψ  
=  DX 
,
,
=
D
X
+
Y÷÷
÷ ÷  X
∂
z
∂
z
∂
z
∂
z
∂
z




 

 
  ∂ϕ 
 ∂ψ
=  DX 
÷X + D X 
 ∂z
  ∂z 

T

 
 ∂ϕ 
 ∂ψ 
Y
÷Y ÷ = X   X + X 
 
 ∂z 
 ∂z 

 2 ∂ 2ϕ
 2 ∂ 2ψ
∂ 2ϕ 
∂ 2ψ 
= −y
+x
X + −y
+x
Y

∂x∂z
∂y∂z ÷
∂x∂z
∂y∂z ÷




(

+) ∇ Y∇ X Z = D Y ( D X Z )

T

(1)

) (
T

= D Y ( X [ Z1 ] , X [ Z 2 ] , X [ Z3 ] )

T

)

T

T

T

  2 ∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂ψ
∂ψ  
2 ∂ϕ
=  DY  − y
− ϕ x − xy
, − yx
−ϕ y + x
, −y
+x
÷÷
 
∂
x
∂
y
∂
x
∂
y
∂
x
∂
y
 ÷



   ∂ϕ
 ∂ψ
∂ϕ 
∂ψ
=  D Y   − y
+x
X + −y
+x
÷
∂x
∂y 
∂x
∂y

 

  ∂ϕ
 ∂ψ
∂ϕ 
∂ψ
=  DY  − y
+x
X
+
D
−
y
+
x
Y 

∂x
∂y ÷
∂x
∂y


 
 ∂ϕ
 ∂ψ
∂ϕ 
∂ψ 
= Y − y
+ x  X + Y − y
+x
Y
∂
x
∂
y
∂
x
∂
y




=

T

 
÷Y ÷÷
 ÷


∂  ∂ϕ
∂ϕ 
∂  ∂ψ
∂ψ 
−
y
+
x
X
+
−
y
+
x
Y
∂z  ∂x
∂y 
∂z 
∂x
∂y 

T

 

÷Y ÷
 


15



∂ 2ϕ
∂ 2ϕ 
∂ 2ψ
∂ 2ψ 
= −y
+x
X + −y
+x
Y.
∂y∂z ÷
∂y∂z ÷
 ∂x∂z

 ∂x∂z

T
T
+) [ X,Y ] = D X Y − D Y X = ( D X Y ) − ( D Y X ) = 0 ⇒ D[ X,Y] Z = 0

Mặt khác R(X,Y)Z = ∇ X∇ Y Z − ∇ Y∇ X Z − ∇[ X,Y] Z

(2)

(3)
(4)

thay (1), (2), (3) vào (4) ta thu được kết quả:
R(X,Y)Z = ∇ X∇ Y Z − ∇ Y∇ X Z − ∇[ X,Y] Z = 0
Vậy R|S = 0.
1.15. Mệnh đề. (xem [6])
Độ cong R là ánh xạ tam tuyến tính.
Chứng minh.
a) Độ cong R là ánh xạ tam tuyến tính.
Thật vậy, ta kiểm tra R tam tuyến tính đối với X.
+ ∀ X, Y, Z ∈ B(M). Ta có
R(X+X’, Y, Z) = ∇X+X’∇YZ - ∇Y∇X+X’Z - ∇[X+X’,Y]Z
= ∇X∇yZ + ∇X’∇yZ - ∇Y(∇XZ + ∇X’Z) - ∇[X,Y] + [X’+Y]Z
= ∇X∇YZ - ∇Y∇XZ - ∇[X,Y]Z + ∇X’∇YZ - ∇Y∇X’Z - ∇[X’,Y]Z
= R(X, Y, Z) + R(X’, Y, Z).
+ ∀X, Y, Z ∈ B(M), ∀ϕ ∈ F(M):
R(ϕX, Y, Z) = ∇ϕX∇YZ - ∇Y∇ϕXZ - ∇[ϕX,Y]Z
Trong đó: ∇ϕX∇yZ = ϕ∇X∇yZ

(1)

∇Y∇ϕXZ = ∇Y(ϕ∇XZ)
= Y[ϕ].∇XZ + ϕ∇Y∇XZ
[ϕX,Y] = ∇ϕXY - ∇YϕX
= ϕ∇XY - (Y[ϕ].X + ϕ∇YX])

(2)

16

= ϕ∇XY - ϕ∇YX - Y[ϕ].X
= ϕ(∇XY - ∇YX) - Y[ϕ].X
= ϕ[X,Y] - Y[ϕ].X
Suy ra: ∇[ϕX,Y]Z = ∇ϕ[X,Y] - Y[ϕ]Z
= ∇ϕ[X,Y]Z – Y[ϕ].∇XZ

(3)

Lấy đẳng thức (1) trừ (2) trừ (3) ta được:
R(ϕX, Y, Z) = ϕ∇X∇YZ - ϕ∇Y∇XZ – Y[ϕ].∇XZ - ϕ∇[X,Y]Z + Y[ϕ]. ∇XZ
= ϕ(∇X∇YZ - ∇Y∇XZ - ∇[X,Y]Z)
= ϕR(X, Y, Z).
Tương tự, ta kiểm tra được R tuyến tính đối với Y.
Bây giờ ta kiểm tra R tuyến tính đối với Z
+ ∀X, Y, Z, Z’ ∈ B(M). Ta có:
R(X, Y, Z + Z’) = ∇X∇Y(Z + Z’) - ∇Y∇X(Z + Z’) - ∇[X,Y](Z + Z’)
= ∇X∇yZ - ∇X∇yZ’ - ∇Y∇XZ - ∇Y∇XZ’ - ∇[X,Y]Z - ∇ [X,Y]Z’
= R(X, Y, Z) + R(X, Y, Z’).
+ ∀X, Y, Z ∈ B(M), ∀ϕ ∈ F(M):
R(X, Y, ϕZ) = ∇X∇YϕZ - ∇Y∇XϕZ - ∇[X,Y] ϕZ
Trong đó:
∇X∇yϕZ = ∇X(Y[ϕ].Z + ϕ∇yZ)
= ∇X(Y[ϕ].Z + ∇X(ϕ∇YZ)
= X[Y[ϕ]]. Z + Y[ϕ]. ∇XZ + X[ϕ]. ∇YZ + ϕ∇X∇YZ

(4)

Tương tự, ta tính được:

∇Y∇XϕZ = Y[X[ϕ].Z + X[ϕ].∇YZ + Y[ϕ]∇XZ + ϕ.∇Y∇XZ
∇[X,Y]ϕZ = [X,Y][ϕ].Z + ϕ∇[X,Y]Z

(5)


17

= X[Y[ϕ]].Z – Y[X[ϕ]].Z + ϕ∇[X+Y].Z

(6)

Lấy đẳng thức (4) trừ (5) trừ (6), ta được:
R(X, Y, ϕZ) = ϕR(X, Y, Z).
Vậy, R là ánh xạ tam tuyến tính.
1.16. Mệnh đề. (xem [5])
Giả sử X, Y, Z là các trường véc tơ trên M thì:
a) R(X, Y, Z) = - R(Y, X, Z).
b) R(X, Y, Z) + R(Y, Z, X) + R(Z, X, Y) = 0.
Chứng minh.
a) Từ định nghĩa độ cong ta có:
R(X, Y, Z) = ∇X∇YZ - ∇Y∇XZ - ∇[X,Y]Z
= - (∇Y∇XZ - ∇X∇YZ + ∇[X,Y]Z)
= - (∇Y∇XZ - ∇X∇YZ - ∇[Y,X]Z)
= - R(Y, X, Z).
b) Áp dụng bổ đề (1.15) ta có R là tam tuyến tính nên ta chỉ cần chứng minh b)
n

∂  
đúng trong trường mục tiêu của một bản đồ địa phương (U,X);  X i =

.
 ÷

÷
∂
x
i

1



Mặt khác, ta có: [Xi, Xj] = 0; ∀i, j = 1, n .
∀ X, Y, Z ∈B(M) ta có: [X, Y] = [Y, Z] = [Z, X] = 0
Suy ra: ∇XY = ∇YX; ∇ZY = ∇YZ; ∇ZX = ∇XZ.
Vậy R(X, Y, Z) + R(Y, Z, X) + R(Z, X, Y) = ∇X∇YZ - ∇Y∇XZ - ∇[X,Y]Z
+ ∇Y∇ZX - ∇Z∇YX - ∇[Y,Z]X + ∇Z∇XY - ∇X∇ZY - ∇[Z,X]Y = 0.
1.17. Định nghĩa.
Ánh xạ T: B(M)xB(M) → B(M)


18

(X,Y) a T(X,Y),
được xác định bởi: T(X,Y) = ∇ X Y - ∇ Y X - [ X,Y ] . Khi đó T được gọi là độ xoắn
trên đa tạp M.
1.18. Ví dụ.
Giả sử ¡

n

với liên thông ∇ = D thì
T(X, Y) = D X Y - D Y X - [ X,Y ]
= [ X,Y ] - [ X,Y ] = 0 ; ∀ X, Y ∈ B(M)

Vậy T = 0.
* Nhận xét: T(X,Y) = - T(Y,X); ∀ X, Y ∈ B(M).
Thật vậy:
Ta có: T(X,Y) = ∇ X Y - ∇ Y X - [ X,Y ]
= - ∇ Y X + ∇ X Y + [ Y,X ]
= - (∇ Y X - ∇ X Y - [ Y,X ] )
= - T(X,Y).
1.19. Mệnh đề. (xem [6])
Trên mỗi đa tạp khả vi M luôn tồn tại một liên thông tuyến tính mà độ xoắn của
nó bằng 0.
Chứng minh.
Giả sử M là liên thông tuyến tính ∇ và T là độ xoắn ứng với ∇.
Đặt ∇ : B(M) × B(M) → B(M)
(X; Y) a ∇ X Y = ∇ X Y -

1
T(X, Y)
2

Khi đó, ∇ là liên thông tuyến tính trên M có độ xoắn T = 0 .
Thật vậy: Trước tiên ta chứng minh ∇ là liên thông tuyến tính trên M.


19

T1: ∇ (X + X') Y = ∇ (X + X') Y -

1
T(X + X', Y)
2

= ∇ X Y + ∇ X'Y = ∇ X Y + ∇ X'Y -

1
1
1
∇ X + X' Y + ∇ Y (X + X') + [ X + X', Y ]
2
2
2

1
1
1
1
1
1
∇ X Y - ∇ X' Y+ ∇ Y X + ∇ Y X' + [ X, Y ] + [ X', Y ]
2
2
2
2
2
2

= ∇XY -

1
1
1
1
1
1
∇ X Y + ∇ Y X + [ X, Y ] + ∇ X'Y- ∇ X' Y + ∇ Y X' + [ X', Y ]
2
2
2
2
2
2

= ∇XY -

1
1
(∇ X Y - ∇ Y X - [ X, Y ] )+ ∇ X'Y- (∇ X' Y - ∇ Y X' - [ X', Y ] )
2
2

= ∇XY -

1
1
T(X, Y) + ∇ X'Y- T(X' , Y)
2

2

Vậy: ∇ (X + X') Y = ∇ X Y -

1
1
T(X, Y) + ∇ X'Y- T(X' , Y)
2
2

= ∇ X Y + ∇ X' Y.
T2: ∇ X (Y + Y') = ∇ X (Y + Y') -

1
T(X, Y + Y')
2

= ∇ X Y + ∇ X Y' = ∇ X Y + ∇ X Y' = ∇XY -

1
1
T(X, Y) - T(X, Y')
2
2

1
1
(∇ X Y - ∇ Y X - [ X, Y ] ) - (∇ X Y' - ∇ Y'X - [ X, Y'] )
2
2

1
1
(∇ X Y - ∇ Y X - [ X, Y ] ) + ∇ X Y' - (∇ X Y' - ∇ Y'X - [ X, Y'] )
2
2

1


=  ∇ X Y - T(X, Y) ÷ +
2



1


 ∇ X Y' - T(X, Y') ÷
2



= ∇ X Y + ∇ X Y'.
T3: ∇ X (φY) = ∇ X (φY) -

1
T(X, φY)
2

20

= X[ φ ]Y + φ∇ X Y -

1
φT(X, Y)
2

1


= X[ φ ]Y + φ  ∇ X Y - T(X, Y) ÷
2


= X[ φ ]Y + φ∇ X Y
Vậy: ∇ X (φY) = X[ φ ]Y + φ∇ X Y
Vậy ∇ là liên thông tuyến tính trên M.
Cuối cùng ta tính T = 0, ta có:
T(X, Y) = ∇ X Y - ∇ Y X - [ X, Y ]
1


=  ∇ X Y - T(X, Y) ÷ 2


1



=  ∇ X Y - (∇ X Y - ∇ Y X - [ X, Y ] ) ÷ 2



1


 ∇ Y X - T(X, Y) ÷ - [ X, Y ]
2



1


 ∇ Y X - (∇ Y X - ∇ X Y - [ X, Y ] ÷
2



- [ X, Y ]
1
1
1


=  ∇ X Y - ∇ X Y + ∇ Y X + [ X, Y ] ) ÷ 2
2
2




1
1
1


 ∇ Y X - ∇ Y X + ∇ X Y + [ X, Y ] ÷
2
2
2



- [ X, Y ]
= ∇XY -

1
1
1
1
1
1
∇ X Y + ∇ Y X + [ X, Y ] ) - ∇ Y X + ∇ Y X - ∇ X Y - [ X, Y ]
2
2
2
2
2
2

- [ X, Y ]
= ∇XY - ∇YX + ∇ YX - ∇XY + D XX - DYY = 0

Do đó T = 0
Vậy ∇ là liên thông tuyến tính cần tìm.


21

CHƯƠNG II
ĐẠO HÀM LIE CỦA ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN
I. Đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính
2.1. Định nghĩa.
Cho X, Y, Z ∈ B(M).
a) LX(Y) : = [X, Y]
b) Ánh xạ L X∇ : B(M) × B(M) → B(M) gọi là đạo hàm Lie của liên thông
tuyến tính ∇ nếu

( LX ∇ )(Y, Z) = LX( ∇ Y Z) - ∇ Y ( LXZ) - ∇[ X , Y] Z.

2.2. Ví dụ.
Trong R2, với X(2x; y), Y(x; xy) và Z(xy, x2y).
Tính (LX∇)(Y,Z) với ∇= D thông thường.
Giải: Áp dụng các công thức ∇ = D, ∇XY = DXY, [X,Y] = DXY - DYX và
DXY = (X[Y1], X[Y2]) với
(LXD)(Y,Z) = LX(DYZ) – DY(LXZ) – D[X,Y]Z
= [X, ∇YZ] – DY[X,Z] - D[X,Y]Z
Ta có:

22

+ DYZ = (xy +x2y; 2x2y + x3y) nên [X, ∇yZ] = (xy +3x2y; 8x2y + 6x3y)
+ [X, Y] = (0; 2xy) nên D[X,Y]Z = (2x2y; 2x3y)
+ [X, Z] = (xy; 4x2y) nên DY([X,Z]) = (x2y + xy; 8x2y + 4x3y)
Vậy: (LX∇)(Y,Z) = 0
2.3. Nhận xét.
M = Rn, ∇ = D thì (LXD)(Y, Z) = 0
Thật vậy:
Ta có, theo định nghĩa 2.1. ta có:
(L X D)(Y,Z) = L X (D Y Z) - D Y (L X Z) - D[ X,Y] Z
= [X,D Y Z] - D Y [X,Z] - D[ X,Y] Z
= D X (D Y Z) - D D Z X - D Y (D X Z - D Z X) - D (D
Y

XY

- D Y X)

Z

= D X (D Y Z) - D Y (D Z X) - D Y (D X Z) + D Y (D Z X) - D D Y Z + D D X Z
X

Y

= D X (D Y Z) - D Y (D Z X) - D Y (D X Z) + D Y (D Z X) - D X (D Y Z) + D Y (D Z Z)
= 0.
2.4. Mệnh đề. (xem [2])

Đạo hàm Lie LX∇ thỏa mãn các điều kiện:
a) ( LX∇) là ánh xạ song tuyến tính .
b) L αX+βY∇ =αL X∇ +βL X∇ .
với ∀X, Y ∈ B(M); α, β ∈ R.
Chứng minh.
a) (LX∇)(Y,Z) tuyến tính thực đối với ∀ Y, Z ∈ B(M)
+) Ta kiểm tra LX∇ tuyến tính đối với Y.
* ∀ Y, Y’, Z ∈ B(M). Ta có: