Đạo hàm ánh xạ kiểu weigarten và ứng dụng luận văn thạc sỹ toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

VÕ CÔNG DANH

ĐẠO HÀM ÁNH XẠ KIỂU WEIGARTEN
VÀ ỨNG DỤNG
CHUYÊN NGÀNH: HÌNH HC- TễPễ

Mó s: 60.46.10

luận văn thạc sĩ toán học

Ngi hng dẫn khoa học:
PGS. TS. NGUYỄN HỮU QUANG

VINH - 2011


MỤC LỤC
Trang
LỜI NÓI ĐẦU ………………………………………………………............1
CHƯƠNG I: ÁNH XẠ KIỂU WEIGARTEN……………………………. .3
I.

Đa tạp Riemann……………………………………………………..........3

II. Liên thông Levi-Civita……………………………………………….......7
III. Ánh xạ đẳng cự……………………………………………………........13
IV. Ánh xạ kiểu Weigarten……………………………………………........17
CHƯƠNG II: ĐẠO HÀM ÁNH XẠ KIỂU WEIGARTEN…………….. 22

I.

Đạo Hàm ánh xạ kiểu Weigarten…………………………………….....22

II. Độ cong của đa tạp Riemann con………………………………............26
KẾT LUẬN……………………………………………………....................37
TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………....................38


1

LỜI NĨI ĐẦU
Hình học Riemann ra đời từ giữa thế kỉ 19 và các quan tâm của nó
là độ cong của không gian mà chủ yếu là độ cong hằng tại mỗi điểm của
khơng gian đó.
Như chúng ta đã biết ánh xạ Weigarten đóng vai trị rất quan trọng
trong nghiên cứu hình dạng của mặt S trong E 3 . Từ đó, các nhà tốn học đã
mở rộng nghiên cứu ánh xạ kiểu Weigarten của siêu mặt S của đa tạp
Riemann, và tìm được rất nhiều tính chất hình học đặc trưng của mặt S .
Trong luận văn này, chúng tơi trình bày một số tính chất của ánh xạ
kiểu Weigarten của đa tạp Riemann con m -chiều trong đa tạp Riemann
n m  k chiều, và một số ứng dụng của nó. Ngồi ra, bằng việc sử dụng cơng

cụ “ Đạo hàm của ánh xạ kiểu Weigarten ” để đi tìm một số tính chất về độ
cong của đa tạp Riemann con.
Do vậy, luận văn được mang tên : Đạo hàm của ánh xạ kiểu
Weigarten và ứng dụng
Luận văn được trình bày trong hai chương:
Chương1. Ánh xạ kiểu Weigarten
Trong chương này, chúng tơi trình bày các khái niệm và chứng minh

chi tiết một số tính chất quan trọng của ánh xạ kiểu Weigarten.
Chương này trình bày những kiến thức cơ sở chuẩn bị cho việc trình
bày của chương sau. Chương I được chia làm bốn phần:
V. Đa tạp Riemann
VI. Liên thông Levi-Civita
VII. Ánh xạ đẳng cự
VIII. Ánh xạ kiểu Weigarten


2
Chương 2. Đạo hàm ánh xạ kiểu Weigarten
Trong chương này, chúng tơi trình bày định nghĩa và một số tính chất
cơ bản của ánh xạ đạo hàm của ánh xạ kiểu Weigarten, và ứng dụng nó
nghiên cứu một số tính chất của độ cong của đa tạp Riemann con. Chương II
được chia làm hai phần:
III. Đạo Hàm ánh xạ kiểu Weigarten
IV. Độ cong của đa tạp Riemann con
Luận văn được hoàn thành vào tháng 12 năm 2011 tại trường Đại Học
Vinh với sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Hữu Quang. Nhân dịp này tác
giả xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy, người đã chỉ dẫn cho tác
giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong bộ mơn
Hình học-Tơpơ, các thầy cơ giáo trong khoa Toán, khoa đào tạo Sau Đại học
– Trường Đại học Vinh, đã nhiệt tình giảng dạy, góp ý và tạo điều kiện cho
tác giả trong quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Vinh, ngày 15 tháng 12 năm 2011
Tác giả


3

Chương1. ÁNH XẠ KIỂU WEIGARTEN
Trong chương này, chúng tôi nêu một số kiến thức cơ sở đã được trình
bày trong các tài liệu ([1],[2])về ánh xạ kiểu Weigarten. Cũng trong chương
này, chúng tôi luôn giả thiết M là đa tạp có cơ sở tơpơ đếm được.
I. Đa tạp Riemann
1.1. Định nghĩa
Một cấu trúc Riemann g trên đa tạp khả vi M đó là một ánh xạ g : p  g p ;
p  M , trong đó g p thỏa mãn:

- g p là tích vơ hướng trong Tp M ,
- g phụ thuộc khả vi vào p ( nghĩa là g ( X , Y ) ( P ) g p ( X p , Yp ) và g là hàm khả
vi theo p ).
Khi đó  M , g  được gọi là một đa tạp Riemann.
1.2. Ví dụ
 Xét nửa mặt phẳng : M H   x, y   R 2 / y  0

Với ánh xạ gp: TpH x TpH  R xác định bởi
 
1  
g : p  g p X p , Y p  2 . X p .Y p ; p( x; y ) , p ( x, y )  M
y









Trong đó X p .Y p là tích vơ hướng thơng thường trong R 2
Khi đó, gp là tích vơ hướng trong TpH,  p.






Thật vậy, với  X p , Y p , Z p  Tp M ;  R, p( x, y )
+ Tính song tuyến tính : p H, ta có :
  
1   
g p (X p Y p , Z p )  2
X p Y p , Z p
y ( p)






4



1  
1 
.
X
.Yp .Z p

p .Z p 
y 2 ( p)
y 2 ( p)

 
 
 g p ( X p , Z p )  g p (Y p , Z p ) .
 
 
1
g p ( X p , Y p )  2
 X p .Y p
y ( p)





 
 g p ( X p , Y p ) .


Suy ra gp tuyến tính với X p


Tương tự, gp tuyến tính với Y p .
Vậy gp song tuyến tính.
+ Tính đối xứng : p  H, ta có :
 
1  

g p ( X p ,Y p )  2
X p .Y p
y ( p)
1  
 2
Y p .X p
y ( p)
 
 g p (Y p , X p ) .

+ Tính xác định dương : p  H, ta có :
 
1  
g p ( X p ,Y p )  2
X p .Y p
y ( p)


1 
Xp
y 2 ( p)

2


0;  X p

 

g p ( X p , Y p ) 0  X p 0 .

1

Mặt khác: g ( X , Y )  y 2  X iYi
i

Do X, Y khả vi nên gp khả vi


5
Vậy (H,g) là một đa tạp Riemann 2–chiều, và được gọi là nửa phẳng
Poincare.
 Giả sử  là hàm số khả vi và luôn dương trên E n .
n
Ta đặt g ( X , Y )  . XY , X , Y  B( E n ). Khi đó  E , g  là một đa tạp

Riemann.
Thật vậy, ta cần kiểm tra các điều kiện để g là một cấu trúc Riemann
n
+) g p là tích vơ hướng trong Tp E ; p  E n .
n
Thật vậy, X p , Yp , Z p  Tp E ;  ,   F( E n ) ta có:

+ g p ( X p , Yp )  ( p) X pYp
 ( p)Yp X p
 g p (Yp , X p ) .

+ g p ( X p   Yp , Z p )  ( p)( X p   Yp ) Z p
 ( p ) X p Z p   ( p)Yp Z p
 g p ( X p , Z p )   g p (Yp , Z p ) .
2

+ g p ( X p , X p )  ( p ) X p X p  ( p )  X p  0 .
+ g p ( X p , X p ) 0  X p 0 .
+) g p khả vi theo p ; p  E n ( Ta chứng minh g ( X , Y ) là hàm số khả vi
n

X , Y 

B( E ) ). Thật vậy, X , Y 
n

n

n

B( E ); X  X i Ei , Y  Yi Ei với  Ei  i 1
n

i 1

i 1

là trường mục tiêu trực chuẩn trong B( E n ). Khi đó ta có
n

g ( X , Y )   X iYi .
i 1

Do X , Y khả vi nên X i , Yi ; i 1, n . Do  là hàm số khả vi trên E n nên g ( X , Y )
là hàm số khả vi X , Y  B( E n ).

n
Vậy  E , g  là một đa tạp Riemann.


6
1.3. Mệnh đề
Mọi đa tạp khả vi M luôn trang bị được một cấu trúc Riemann
Chứng minh:
n

Giả sử M là đa tạp có cấu truc khả vi  U  ,   I và  Ei  i 1 là cơ sở chính tắc
( Ei 


) của B(U). Khi đó với X, Y  B(M) ta có sự biểu diễn:
xi
n

X U   X i Ei ,
i 1
n

Y U   Yi Ei .
i 1

Ta xét
n

g / p ( X p , Yp )  X i ( p)Yi ( p); p  U
i 1

Dễ thấy g / p là tích vơ hướng trong TpM và g khả vi theo p U
Đặt

g p ( X p , Y p )   ( p ).g 
 I

p

( X p ,Yp )

với mọi X, Y  B(M). Ở đây    I

là phân hoạch đơn vị khả vi ứng với phủ  U   I . Khi đó, g là một cấu trúc
Riemann trên M. Thật vậy, ta kiểm tra các điều kiện:
+

g p ( X p , Y p )   ( p ).g 
 I

p

( X p ,Yp )

  ( p ) X i ( p ).Yi ( p )
 I

  ( p )Yi ( p ). X i ( p )
 I

  ( p ).g 
 I

p

(Y p , X p )

 g / p (Yp , X p ); X p , Yp  Tp M .


7
+

g p (  X p  Y p , Z p )   ( p).g 

p

 I

  ( p ).g 
 I

p

  ( p ). g 
 I

( X p  Y p , Z p )

(  X i ( p )  Yi ( p ), Z i ( p ))

p

( X i ( p), Z i ( p))    ( p). g 
 I

p

(Yi ( p), Z i ( p))

  g p ( X p , Z p )  g p (Y p , Z p ) .

+

g p ( X p , X p )   ( p ).g 
 I

p

(X p , X p )

  ( p ). X i ( p ). X i ( p )
 ,i

2

  ( p ). X i ( p ) 0 .
 ,i

+ gp(X p, X p)

2

  ( p ). X i ( p ) 0
 ,i

 X i ( p) 0; p  M ; i 1, n
 X ( p) 0 .

Tiếp theo, ta chứng minh g là hàm số khả vi theo p với mọi pM, tức là ta
cần chứng minh g(X,Y) là hàm số khả vi với mọi X, Y  B(M)
Ta lại có   khả vi với mọi I. Từ đó suy ra g(X,Y) là hàm số khả vi với
mọi X, Y  B(M). Vậy luôn tồn tại một cấu trúc Riemann g trên M .
II. Liên thông Lêvi-Civita
1.4. Định nghĩa (xem [1 ]). Giả sử M là đa tạp Riemann với cấu trúc
Riemann g và  là liên thông tuyến tính trên M . Ta nói rằng  là liên thông
Riemann nếu đối với mỗi đường khả vi c : J  M ( J  R ) và X , Y là các
trường véc tơ song song dọc c , ta có g ( X , Y ) là hàm hằng trên J .
1.5. Định lý (xem [1 ])


8
Giả sử M là đa tạp Riemann,  là liên thơng tuyến tính trên M . liên thơng
 là Riemann khi và chỉ khi g = 0.

(Nghĩa là Z  g ( X , Y )  g (Z X , Y )  g ( X , Z Y ) , X , Y , Z  B( M )).
1.6. Định nghĩa
Liên thơng tuyến tính  được gọi là liên thông Lêvi-Civita nếu và chỉ nếu 
thỏa mãn hai tiên đề sau:
 T ( X , Y ) X Y  Y X   X , Y  0 , X , Y 

 Z  X , Y  Z X .Y  Z Y . X , X , Y , Z 

B( M ).

B( M ).

Trong đó X , Y là tích vơ hướng trong B( M ).
1.7. Ví dụ
 Cho M R n và  = D : B( M ) B( M ) 

B( M )

( X , Y )  DX Y .

Từ tính chất của D trong R n ta thấy  là một liên thông Levi-Civita trên R n .
m

 Giả sử M là đa tạp khả song với trường mục tiêu  E1 ,..., En  , Y  Yi Ei ,
i 1

m

đặt X Y  X  Yi  Ei . Khi đó  là liên thơng Lêvi-Civita trên M.
i 1

1.8. Mệnh đề (xem [1 ])
Liên thông Lêvi-Civita trên đa tạp Riemann M luôn tồn tại và duy nhất.
Chứng minh:
+ Sự tồn tại của  :
Giả sử X, Y  B(M), ta xác định  bởi phương trình sau :

X Y.Z 

1
1
X  Y, Z  Y  Z, X   Z  X, Y     Z  X, Y   Y.  Z, X   X.  Y, Z   , (1)

2
2

với Z là trường véc tơ tuỳ ý của B(M).
Ta kiểm tra ánh xạ  X, Y   X Y thỏa mãn các điều kiện của Định nghĩa 1.4.


9
Ta đặt T(X, Y) X Y  Y X   X, Y  , do công thức (1) ta có :
Z 

B(M) :

T(X, Y).Z  X Y  Y X   X, Y   .Z
X Y.Z  Y X.Z   X, Y  .Z

1
1
X. Y, Z  Y. Z, X   Z. X, Y     Z.  X, Y   Y.  Z, X   X.  Y, Z  

2
2
1
1

  Y. X, Z  X. Z, Y   Z. X, Y     Z.  Y, X   X.  Z, Y   Y.  X, Z     X, Y  .Z 0.
2
2


Do đó,

T ( X , Y ) 0, X , Y  B(M).

Z X.Y  Z Y.X 

+

Mặt khác

1
1
Z. X, Y   X. Y, Z   Y  Z, X     Y.  Z, X   X.  Y, Z   Z.  X, Y  

2
2

1
1
Z. X, Y   Y. Z, X   X  Y, Z     X.  Z, Y   Y.  X, Z   Z  Y, X  

2
2
Z  X, Y 

Như vậy,  là liên thông Lêvi – Civita
+ Sự duy nhất của  :
Ta chứng minh rằng nếu  là liên thông Lêvi – Civita trên M thì X Y thoả
mãn (1)
Thật vậy, X, Y, Z  B(M) , ta có
X Y  Y X  X, Y   Z X X Z   Z, X  .

Tương tự ta có : Y Z Z Y   Y, Z
X Y Y X   X, Y  .

Từ đó ta thu được X Y.Z  Y X   X, Y   .Z


10
Y X.Z   X, Y  .Z .

Mặt khác, từ Định nghĩa 1.4 ta suy ra :
Z Y.X Z  X, Y   X Y.Z ,
Y X.Z Y  X, Z  Y Z.X .

Từ đó, ta có
X Y.Z Y X.Z   X, Y  .Z
Y  X, Z  Y Z.X   X, Y  .Z

Y  X, Z   Z Y   Y, Z  .X   X, Y  .Z
Y  X, Z  Y Y.X   Y, Z .X   X, Y  .Z
  Y, Z .X  Z. X, Y   Y.  X, Z    X, Y  .Z   X Z   Z, X   .Y
  Y, Z .X  Z. X, Y   Y.  X, Z    X, Y  .Z  X Z.Y   Z, X  .Y
  Y, Z .X  Z. X, Y   Y.  X, Z    X, Y  .Z  X Z.Y  X.  Z, Y   X Y.Z

Ta suy ra :
X Y.Z 

1
1
X  Y, Z  Y  Z, X   Z  X, Y     Z  X, Y   Y  Z, X   X  Y, Z   .

2
2

Bây giờ ta xét  M , g  là đa tạp Riemann m  k chiều, M là đa tạp khả vi
m chiều ( M  M ). Như chúng ta đã biết M được gọi là đa tạp Riemann con

của M nếu M là đa tạp Riemann với cấu trúc Riemann g cảm sinh từ g .
(Nghĩa là cấu trúc Riemann g trên M được xác định bởi
g p ( X p , Y p )  g p ( X p , Y p ) p  M

)

Chẳng hạn, trong R 4 với hệ tọa độ địa phương  x1 , x2 , x3 , x4  , xét tích vơ
hướng g ( X , Y )  X .Y với mọi X , Y  B( R 4 ). Khi đó


11





G   x1 , x2 , x1 , x2   x1 , x2   R 2 là đa tạp con 2-chiều của R 4 .

Thật vậy, G là đa tạp khả vi con của R 4 do phép nhúng
i : G  R4

 x1 , x2 , x1 , x2    x1 , x2 , x1 , x2 
Dễ thấy g G là một cấu trúc Riemann trên G
Vậy G là đa tạp Riemann con của R 4 .
Giả sử M là một đa tạp Riemann trong R n ( M  R n ) với cấu trúc Riemann
g trên M được cảm sinh từ tích vơ hướng thơng thường trong R n . Giả sử

X ,Y 

B( M ), ta có sự biểu diễn ( DX Y  DX Y 

T

N

T

  DX Y  . ở đây,  DX Y  và

N

 DX Y  tương ứng là thành phần tiếp xúc và thành phần pháp dạng của

DX Y .

T
Ta đặt: X Y =  DX Y  (*)

1.9. Mệnh đề
 xác định bởi (*) là liên thông Lêvi-Civita trên M .

Chứng minh:
Rõ ràng  là liên thơng tuyến tính trên M . Bây giờ ta kiểm tra hai điều
kiện còn lại:
 T ( X , Y ) X Y  Y X   X , Y 
T

T

 DX Y    DY X    X , Y 
T

 DX Y  DY X    X , Y 
T

  X , Y     X , Y 
 X , Y    X , Y  0 (Do  X , Y  
 Z  X , Y  DZ X .Y  DZ Y . X , X , Y , Z 



T

  DZ X    DZ X 

N

B( M )

 .Y    D Y 
Z

X , Y 

B( M ),

T

  DZ Y 

N

 .X

B( M ).


12
T

N

T

N

 DZ X  .Y   DZ X  .Y   DZY  . X   DZ Y  .X

DZ X .Y  DZ Y . X , ( Do

 DZ X 

N

N

 Y và  DZ Y   X ).

Từ đây, trong suốt luận văn ta kí hiệu  là liên thơng Levi-Civita trên M ,
 là liên thông Lêvi-Civita trên M cảm sinh từ  .

1.10. Mệnh đề
T

M  N,  là liên thông tuyến tính trong N. Đặt X Y  X Y  . Khi đó  là
liên thơng Lêvi- Civita.
Chứng minh:
Thật vậy, X,Y,Z  B(M),  F( M ).
T1. X Z Y X Z Y 

T



 X Y  Z Y

T



T

= X Y   Z Y 

T

= XY + ZY.
T2. X Y X Y 

T

  X Y



T





T



  X Y

 X Y .

T3. X (Y  Z ) X Y  Z  



T

 X Y   X Z



 X Y



T

T

   Z 
X

T


13
= X Y   X Z .
T4. X X X Y 

T



 X   .Y   . X Y



T



T

 X   .Y     X Y



T

  X .Y   . X Y .

T5. T ( X , Y )  X Y  Y X   X , Y  



  X Y  Y X



T

  X ,Y 

T

  X , Y     X , Y 

 X , Y    X , Y 
0 .

T6. Z  X .Y  Z X .Y  Z Y . X
T





 Z X  .Y  Z Y . X

 Z X .Y   Z Y . X .

Vậy  là liên thông tuyến tính Lêvi - Civita
III. Ánh xạ đẳng cự
1.11. Định nghĩa
Cho ánh xạ f khả vi từ  M , g    N , g  . f được gọi là ánh xạ đẳng cự nếu
và chỉ nếu: p  M ta đều có :
g f ( p ) ( f p X p , f  p Yp ) g p ( X p , Yp ) , X , Y  B( M ).

( f đẳng cự nếu và chỉ nếu f p bảo tồn tích vơ hướng p  M ).
-Chú ý: Nếu f là ánh xạ đẳng cự thì f là phép nhúng. f được gọi là vi phôi

đẳng cự nếu f là ánh xạ đẳng cự và f là song ánh.


14
1.12. Ví dụ
 f là một phép dời hình hay phản dời hình của E 3 thì với mọi đa tạp hai

chiều S trong E 3 F S : S  F ( S ) là một ánh xạ đẳng cự, hơn nữa là vi phôi
đẳng cự từ S vào F ( S ) ( Tương đương dời hình hay phản dời hình).
 Xét trên đa tạp Riemann H   x, y  / x, y  R; y  0 ,ánh xạ

f :H  H
( x, y )  f ( x, y ) ( x, y )

là một vi phôi đẳng cự. Thật vậy, giả sử  F1 , F2  là trường mục tiêu trực chuẩn
trong H. Khi đó ta có:
f*/ p : Tp H  Tp H
 1 0  1  1
 f*/ p ( F1 )  J f / p  F1  
     F1 ,
 0 1   0  0
 1 0   0   0
 f*/ p ( F2 )  J f / p  F2  
     F2 .
 0 1  1  1

Khi đó
g f ( p )  f*/ p ( F1 ), f*/ p ( F2 )  



1
f*/ p ( F1 ) f */ p ( F2 )
y2

1
F1F2
y2

 g p ( F1 , F2 ) .

Suy ra f là một ánh xạ đẳng cự. Mặt khác, f song ánh và f, f -1 khả vi. Vậy f là
vi phôi đẳng cự
1.13. Mệnh đề
Phép vi phôi đẳng cự bảo tồn liên thông Lêvi-Civita.


15
Chứng minh :
 là

một liên thông Lêvi-Civita trên M

Xét phép vi phôi đẳng cự f :  M , g    N , g  , ta ký hiệu  là một liên thơng
tuyến tính xác định bởi f X f*Y f* (X Y)
*

Khi đó, ta có  là một liên thông Lêvi – Civita trên N
Thật vậy, ta có
T1) f X f X f*Y f*  X X Y 

*

1

*

2

1

2



f* X1 Y  X2 Y



f*X1 f*Y  f*X1 f*Y; X1 , X 2 , Y 

B(M).

T2) Ta nhận xét rằng, với mọi   F( M ) (M) thì  f*X f*  o f  X nên ta có :
 f*X f*Y f* (o f )X f*Y



f*  o f  X Y

 f* X f*Y



f*  o fX Y 

 f*  X Y 
 f*X f*Y; X, Y 

B(M).

T3) f X  f*Y1  f*Y2  f*  X  Y1  Y2  
*

f*  X Y1  X Y2 
f*X f*Y1  f*X f*Y2 ; X, Y1 , Y2  B(M).

T4) Ta có
f*X f*Y f*X f* o f  Y


16



f* X of  Y





f* o fX Y  X of  Y





 f*  X Y   f* X o f  Y







 f*X f*Y  f* X of  Y .

(1)

Mặt khác, ta có :
f*  X  o f  Y 

f*/ p

f (p)

  f X 
*

o

f



/p

Y/ p



f*/ p X p    f*/ p Y/ p
f*X / f (p)    f*Y/ f (p) ; p  M .

Suy ra f*  X  o f  Y  f*X    f*Y và do đó từ (1) ta có
T5) T(f*X, f*Y) f X f*Y  f Y f*X   f*X, f*Y 
*

*

f*  X Y  Y X   X, Y  
f* (0) 0 .

Vậy T(f*X, f*Y) 0 .
T6) Do f đẳng cự nên p  M và X,Y  B(M ;
Ta có
X.Y(p) f* X.f*Y(f (p))


  X.Y 

o

f  1  f  p   f*X.f*Y(f (p))





  X.Y 

o

f  1 f*X.f*Y .




17
Từ đó suy ra
f* Z  f*X, f*Y   f  p   f* Z   X.Y  o f  1   f  p  
Z   X.Y  o f  1o f  f  1  f  p  
o

Z  X.Y  (p)
Z X.Y(p)  X.Z Y  p 
f*  Z X  .f*Y(f (p))  f*X.f*Z Y(f (p))

f*Z f*X.f*Y(f (p))  f*X.f*Zf*Y(f (p))
f*Z f*X.f*Y  f*X.f*Z f*Y(f (p))
 f* Z  f*X, f*Y  f*Zf*X.f*Y  f*X.f*Zf*Y .

Vậy  là liên thông Lêvi – Civita trên M .
1.14. Nhận xét
Nếu M , N là hai đa tạp Riemann với các liên thông Lêvi-Civita tương ứng
,  và f là vi phôi đẳng cự M  N . Khi đó:
f (X Y )  f X fY .

IV. Ánh xạ kiểu Weigarten
Giả sử  M , g  là đa tạp Riemann định hướng  n m  k  - chiều với liên
thông Lêvi-Civita  và  M , g  là đa tạp Riemann con m - chiều của  M , g 
với liên thông Lêvi-Civita  cảm sinh từ  . Ta ký hiệu N  M  là modun các
trường véc tơ pháp tuyến có cơ sở trực chuẩn  N1 , N 2 ,..., N k  .
Như chúng ta đã biết với mỗi X , Y  B( M ) ta có: X Y  B( M ) và



X Y  X Y

T

  Y 
X

N

.


18
T

N

Trong đó  X Y  X Y  B( M ),  X Y   N  M  .
1.15. Định nghĩa
Các ánh xạ hi : B( M )  B( M ), i 1, k .



X   X N i



T

hi được gọi là ánh xạ kiểu Weigarten.

Ta nhận thấy rằng:
 Định nghĩa ánh xạ trên là hợp lý, thật vậy, ta có:  N i , N i  1 

X  N i , Ni   X  1 0





 2 X N i .N i 0
 X N i  N i



 X N i



T



B( M )

 Vì X N i chỉ phụ thuộc giá trị X p tại p nên hi ( X ) cũng chỉ phụ thuộc

vào giá trị


Xp

X p  T p M

tại p , ( nghĩa là ánh xạ

hi ( X p ) hoàn

toàn xác định với

).

 Nếu M là mặt trong R 3 thì hi ( X ) là ánh xạ Weigarten đã biết trong các

giáo trình hình học vi phân. Thật vậy, Khi M là mặt trong R 3 với pháp tuyến
đơn vị n, ta có X N  D X n , X  B( M ).
Mặt khác ,

n 1

nên

Từ đó, D X n  n hay

X [ n.n]  X [1] 0

D X n  B( M

)

T

Ta có   X N    D X n  T  D X n h( X ) .
1.16. Ví dụ
 Đa tạp 2-chiều M trong R 4 được cho bởi tham số hóa:

r : R2  R4
(u, v)  (cos u,sin v, v, u ) ,