Độ cong trung bình trên siêu mặt trong En

1
LỜI NÓI ĐẦU
Hình học vi phân là một bộ môn có nhiều ứng dụng trong toán học và
thực tiễn, trong đó các kiến thức cơ bản về độ cong và mặt trong không gian
Euclid 3-chiều đã được trình bày khá chi tiết.
Vì vậy, với mục đích tập dượt nghiên cứu khoa học về độ cong mà
trong đó lý thuyết độ cong nói chung và độ cong trung bình nói riêng được
trình bày trong không gian 3 chiều, vậy ta có thể mở rộng một số kết quả đã
biết trong Hình học vi phân cổ điển cho không gian nhiều chiều được không?
Với những lí do như đã trình bày trên, chúng tôi lựa chọn đề tài của
luận văn là “Độ cong trung bình trên siêu mặt trong E n ”.
Trong luận văn này, chúng tôi đã tập hợp các khái niệm và chứng minh
các tính chất về độ cong trung bình trên siêu mặt trong E n và chứng minh một
số mặt là mặt cực tiểu.
Luận văn này được trình bày với bố cục như sau:
Chương 1: Một số khái niệm cơ bản và ánh xạ Weingarten trên siêu mặt trong
En .

Trong chương này, chúng tôi trình bày định nghĩa và tính chất tích có
hướng của (n – 1) vectơ trong E n và một số khái niệm cơ bản như: mảnh tham
số, mảnh hình học, mặt định hướng, đa tạp con k chiều trong E n , đạo hàm của
trường vectơ, ánh xạ Weingarten và các khái niệm cơ bản về siêu mặt trong
E n để làm cơ sở cho chương 2.

Chương 2: Độ cong trung bình trên siêu mặt trong không gian Euclid.
Đây là chương thể hiện các kết quả chính của luận văn, trình bày chi
tiết định nghĩa dạng cơ bản thứ I và thứ II, công thức tính độ cong trung bình
qua hai dạng cơ bản, minh họa bằng một số ví dụ cụ thể, các khái niệm và
tính chất của độ cong trung bình trên siêu mặt trong E n , khái niệm siêu mặt
cực tiểu và chứng minh một số mặt là mặt cực tiểu.

2
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại khoa toán trường Đại
Học Vinh, dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo TS. NGUYỄN DUY
BÌNH. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người đã hướng dẫn
tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy
cô giáo trong bộ môn Hình học Tôpô, các thầy cô trong khoa Toán đã nhiệt
tình giảng dạy, góp ý và tạo điều kiện cho tác giả trong quá trình học tập và
thực hiện luận văn.

Vinh, tháng 7 năm 2013
Tác giả
Trương Hoàng Giang


3

CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ ÁNH
XẠ WEINGRTEN TRÊN SIÊU MẶT TRONG E n
I.1 Tích có hướng của (n – 1) vectơ trong E n .
I.1.1Định nghĩa.

ur ur uu
r
ur
e
,
e
,...,

e
Cho 1 2
là cơ sở trực chuẩn của Ε n .
n

{

}

ur
Giả sử ai

{ }

n−1
i =1

ur
là các vectơ trong Ε n có tọa độ đối với cơ sở đã cho:

ur
a1 = (a11 , a12 ,..., a1n )
uu
r
a2 = (a21 , a22 ,..., a2 n )

................................
uuur
an −1 = (an −11, an −12 ,..., an −1n ).

ur
Tích có hướng của (n-1) vectơ trên là một vectơ trong Ε n , ký hiệu là

r ur uu
r
uuur
a = a1 ∧ a2 ∧ ... ∧ an−1 , có tọa độ đối với cơ sở đã cho:


r 
a=




a12
a22
...

a13
a23
...

...
...
...

a1n
a11
a2 n

a
, − 12
...
...

an−12 an−13 ... an−1n

a13
a23
...

...
...
...

a1n
a11
a2 n
a
,...,(− 1) n+1 21
...
...

an−11 an−13 ... an−1n

a12
a22
...

...

...
...

a1n−1
a2 n−1
...

an−11 an−12 ... an−1n−1


÷
÷
÷
÷÷


I.1.2Các tính chất.
I.1.2.1 Mệnh đề. (Xem [7])
Tích có hướng của (n −1) vectơ có tính chất tuyến tính đối với từng
thành phần. Tức là:
ur

r

Giả sử u i (uij ) (i =1, n −1, j =1, n) và ui' (u ij ) (i =1, n −1, j =1, n) là các vectơ
trong E n , λ ∈ R thì:

r

r

r

r

r

r

r

r

i) u1 ∧ u 2 ∧ ... ∧ λ u i ∧ ... ∧ u n−1 = λ (u1 ∧ u 2 ∧ ... ∧ u i ∧ ... ∧ u n −1 ) ;
ur
r
r ur'
r
r
r
r
r
r
ii) u1 ∧ .... ∧ (u i + ui ) ∧ ... ∧ u n −1 = (u1 ∧ ... ∧ u i ∧ ... ∧ u n −1 ) + (u1 ∧ .... ∧ ui' ∧ .... ∧ u n −1 ) .
Chứng minh: Bằng kiểm tra trực tiếp ta có được kết quả.


4
I.1.2.2 Mệnh đề. (Xem [7])
Tích có hướng của (n −1) vectơ trong E n có tính chất phản giao hoán,

tức là:
r r
r
r
u1 ∧ u 2 ∧ ... ∧ u j ∧ ... ∧ u n −1 =
r r
r
r
= − u1 ∧ u 2 ∧ .... u j ∧ ..... ∧ u n −1 , ∀ u1 , u2 ,..., u n −1 ∈ E n , ∀i, j = 1, n − 1, i ≠ j.
Chứng minh: Bằng kiểm tra trực tiếp ta có được kết quả.
I.1.2.3 Mệnh đề. (Xem [7])
r
r
r
r
Giả sử u1 ,....., u n −1 là (n − 1) vectơ trong E n . Hệ vectơ u1 ,....., u n −1 phụ

{

}

r r
r
ur
thuộc tuyến tính khi và chỉ khi: u = u1 ∧ ... ∧ u n −1 = 0.

Chứng minh:

r
u

* Điều kiện cần: Giả sử i (uij ) (i =1, n − 1, j =1, n là (n − 1) vectơ trong E n

mà

r

r

{ u ,......, u } là
1

n −1

ur r

hệ phụ thuộc tuyến tính thì u = 0 (trong đó

r r
r
u = u1 ∧ ..... ∧ u n −1 ).
ur

uuur

Thật vậy: Do { u1 ,...., un −1} là hệ phụ thuộc tuyến tính nên ∃λk ∈ R (k = 2, n − 1)
r
r
r
r
sao cho u1 = λ2 u 2 + λ3 u 3 + .... + λn −1 u n −1 .

Do đó:

r r r
r
u = u1 ∧ u 2 ∧ .... ∧ u n −1

r
r
r
r
r
= (λ2 u 2 + λ3 u 3 + ... + λn −1 u n −1 ) ∧ u 2 ∧ ... ∧ u n −1
r uu
r
r
r
r
= λ2 u 2 ∧ u2 ∧ .... ∧ u n −1 + .... + λn −1 u n −1 ∧ .... ∧ u n −1

(1)

Theo định nghĩa tích có hướng của (n −1) vectơ trong E n , ta có:
r
r
r
u 2 ∧u 2 ∧..... ∧u n −1 =

 u22 u23 .....u2 n

u

u23 ......u2 n
= 22
;...; (−1) n +1
 .... .... .... ....

u
 n −12 un −13 .....un −1n
r
= (0,.............0) =0

u21

u22

.....u2 n −1

u21 u22

......u2 n −1

.... .... .... ....
un −11 un −12 .....un −1n −1


÷
÷
÷
÷
÷


5
r

r

r

r

r

r

r r

Vậy λ2 u 2 ∧ u 2 ∧ .... ∧ u n −1 = λ2 (u 2 ∧ u 2 ∧ ..... ∧ u n −1 ) = λ2 0 = 0 .
Tương tự ta cũng có:
r r r
r
r
λ3 u 3 ∧ u 2 ∧ u 3 ∧ ... ∧ u n −1 = 0
............
r
r
r
r
λn −1 u n −1 ∧ u 2 ∧ .... ∧ u n −1 = 0
Thay các đẳng thức trên vào (1) ta có:

r ur r
r ur
u = 0 + 0 + ..... + 0 = 0.
r
r
r r
Vậy nếu u1 ,..., u n −1 phụ thuộc tuyến tính thì u = 0 .

{

}

r r
r
r
r
r
* Điều kiện đủ: Giả sử u = u1 ∧ .... ∧ u n −1 = 0 thì u1 ,...., u n −1 là hệ vectơ phụ

{

}

thuộc tuyến tính.

r
r
Thật vậy, giả sử ngược lại hệ u1 ,..., u n −1 là hệ độc lập tuyến tính khi

{

}

r
r
đó hạng của vectơ u1 ,..., u n −1 bằng (n −1) tức là hạng của ma trận.

{

}

u11 u12 .... u1n



A = ... ... .... ...
 bằng (n −1)
un −11 un −12 ... un −1n −1 

ur r

r r

Do đó u ≠ 0 , điều này mâu thuẫn giả thiết u = 0 .
r r
r
r r r
r
r
Vậy u1 , u 2 ,..., u n −1 phụ thuộc tuyến tính thì vectơ u = u1 ∧ u 2 ∧ ... ∧ u n−1 = 0.

{

}

I.1.2.4 Mệnh đề. (Xem [7])
r r
r
r r r
r
Giả sử u1 , u 2 ,..., u n −1 là các vectơ trong E n và u = u1 ∧ u 2 ∧ ... ∧ u n −1 khi
r

r

đó u trực giao với các vectơ u i (i =1, n − 1).
Chứng minh:
r

Giả sử u i (uij ) (i =1, n − 1, j =1, n) là các vectơ trong E n . Theo định nghĩa
tích có hướng của (n −1) vectơ và tích vô hướng của 2 vectơ, ta có:


6

u12 u13 .... u1n

u11 u13 .... u1n

rr u

u ..... u2 n
u. u1 = 22 23
... ... ........

u11 −

un −12 un −13 ...un −1n −1
u11 u12 .... u1n −1

u21 u23 ..... u2 n
... ... ........

u11 u12 .... u1n −1
u12 + ... + (−1) n +1

un −11 un −12 ...un −1n

u21 u22 ..... u2 n −1
... ... ........

u1n

un −11 un −12 ...un −1n −1

u1n

u21 u22 ..... u2 n −1 u2 n
= ... ... ..... ..... .....

=0

un −11 un −12 ...un−1n −1 un −1n
u11

u12 .... u1n −1 u1n

(vì định thức có hai hàng bằng nhau).
Tương tự ta cũng chứng minh được:
rr rr
rr
u. u 2 = u. u 3 = ... = u. u n −1 = 0
r r
r
r
Vậy u ⊥ u i (i =1, n −1) hay u trực giao với các vectơ u i (i =1, n −1).
I.2 Siêu mặt trong E n .
I.2.1Mảnh tham số k-chiều trong E n .
Ánh xạ r từ tập mở U trong R k → E n (k ≤ n − 1) vào không gian Euclid n
chiều E n :
r : U ⊂ Rk → E n
(u1 ,...., uk ) a r (u1 ,...., uk ) gọi là một mảnh tham số trong E n .
0
0
0
• Điểm (u1 , u2 ,..., un −1 ) ∈U được gọi là điểm chính quy của mảnh tham số r

nếu tại điểm đó r là một dìm, tức là:

{ r ( u , u ,..., u ) , r ( u , u ,..., u ) ,..., r ( u , u ,..., u ) }
'

u1

0
1

0
2

o
n −1

'
u2

0
1

0
2

0
n −1

'
un−1

0
1

0

2

0
n −1

độc lập tuyến tính.
0
0
0
• Điểm (u1 , u2 ,..., un −1 ) ∈U được gọi là điểm không chính quy (điểm kỳ

dị) của mảnh tham số r nếu

{ r ( u , u ,..., u ) , r ( u , u ,..., u ) ,..., r ( u , u ,..., u ) }
'
u1

0
1

0
2

tuyến tính.

o
n −1

'
u2

0
1

0
2

0
n −1

'
un −1

0
1

0
2

0
n −1

phụ thuộc


7
• Mảnh tham số r gọi là chính quy nếu mọi điểm của nó đều là điểm chính
quy.
0
0

0
• Tại điểm chính quy (u1 , u2 ,..., un −1 ) ∈U của mảnh tham số r, siêu phẳng
0
0
0
đi qua điểm p0 ( u1 , u2 ,..., un −1 ) với không gian vectơ chỉ phương sinh bởi hệ

{

r'
r'
r'
0
0
o
0
0
0
0
0
0
vectơ: r u1 ( u1 , u2 ,..., un −1 ) , r u2 ( u1 , u2 ,..., un −1 ) ,..., r u n−1 ( u1 , u2 ,..., un −1 )

}

gọi là siêu phẳng tiếp xúc của S tại P.
I.2.2Mảnh hình học k-chiều trong E n .
Tập con S của E n gọi là một mảnh hình học k-chiều trong E n nếu nó là
ảnh của một dìm, đồng phôi lên ảnh r :U → E n từ một tập mở U trong R k
vào E n ; r gọi là một tham số hóa của mảnh hình học S. Mảnh hình học còn

được gọi là mảnh đơn chính quy.
I.2.3Đa tạp con k chiều trong E n .
Cho S là một tập con của E n , nhắc lại rằng tập con của S gọi là mở trong
S nếu nó là giao của S với một tập mở trong E n ; với p ∈ S , mọi tập con
của S chứa một tập mở trong S chứa p gọi là một lân cận của p trong S.
Cho tọa độ afin ( x1 , x2 ,....., xn ) trong E n thì S của E n là một đa tạp con k
chiều trong E n khi và chỉ khi mỗi điểm p ∈ S có lân cận mở (trong S) là
một mảnh hình học với tham số hóa kiểu đồ thị.
Đa tạp con n-1 chiều trong không gian En còn gọi là siêu mặt.
I.2.4Mặt định hướng.
Mặt định hướng được khi trên không gian tiếp xúc của nó tại mỗi điểm
có thể xác định một hướng sao cho mặt được phủ bởi một họ các mảnh
hình học với tham số hóa địa phương rα : U α ⊂ R k → E n , α ∈ I mà ánh xạ
tiếp xúc của chúng ánh xạ hướng chính tắc trên R k thành hướng đã xác
định trên không gian tiếp xúc của mặt. Một mặt định hướng được và khi đã


8
xác định hướng trên mỗi không gian tiếp xúc như ở trên được gọi là mặt
định hướng.
Một siêu mặt là định hướng được khi và chỉ khi tồn tại trường pháp
vectơ đơn vị khả vi.
I.2.5Đạo hàm của trường vectơ.
I.2.5.1 Định nghĩa.
Cho cung tham số ρ : J → E n
t a ρ (t ) và cho trường vectơ X dọc ρ
uur
uu
r
uu

r
X xác định hàm vectơ X : J → E n , X (t ) = ( ρ (t ), X (t )) thì có thể xét trường
uur

vectơ dọc ρ là t → X ' (t ) = ( ρ (t ), X ' (t )) , gọi là đạo hàm của X dọc ρ trong
E n , ký hiệu:

DX
.
dt

1.2.5.2 Định nghĩa.
ur

Cho X là một trường vectơ trên tập mở U ⊂ E n , α p = ( p, α ) là một vectơ
tiếp xúc tại p của U.
'
Giả sử ρ : J → U là cung tham số đi qua p sao cho α p = ρ (t0 ) , với

ρ (t ) = ( x1 (t );....; xn (t )) .

Đạo hàm của trường vectơ X theo vectơ tiếp xúc α p , ký hiệu Dα X là
p

D( X oρ )
(t0 ) .
một vectơ tiếp xúc tại p ∈ u và được xác định bởi: Dα X =
p

I.2.6Vectơ tiếp xúc với siêu mặt S.

r

Cho S là siêu mặt trong E n , p là một điểm trên S.
Cung tham số ρ :I → S
t a ρ ( t ) là một đường cong trên S và t0∈ I
ρ ( t0 ) = p , ta gọi vectơ tiếp xúc với ρ tại p là ánh xạ:

Vp : F( p ) → R

dt


9

f a

d
f oρ (t )
gọi là vectơ tiếp xúc với siêu mặt (hay đa tạp) S
dt
t =t0

tại p, F( p ) là tập các hàm trên S khả vi tại điểm p.
Nếu r : U → S

r
( u1 , u2 ,..., un−1 ) a r ( u1 , u2 ,..., un −1 ) là một tham số hóa của siêu mặt S trong E n
 ∂ 

'
thì r  ÷÷ = Ru (trong đó: ru = Ru or ), { Ru } i =1 là trường mục tiêu tiếp xúc
∂u



i



 ∂
 ∂ ui

trên S). 

Khi đó: n =

n −1

i

i

i

i


 , i = 1, n − 1 là trường mục tiêu chính tắc trong U ⊂ R n −1 .


ru'1 ∧ ru'2 ∧ .....ru'n−1
ru'1 ∧ ru'2 ∧ .....ru'n−1

là trường vectơ pháp tuyến đơn vị trên S.

Không gian vectơ tiếp xúc của S tại p được ký hiệu là TpS.
Đường thẳng đi qua điểm p 0 thuộc S và vuông góc với siêu phẳng tiếp xúc
của S tại p0 gọi là pháp tuyến của S tại p0.
I.2.7Cung trong E n .
Hai cung tham số ρ : J → E n và r : I → E n
t a ρ (t )

u a r (u )

(I, J là những khoảng trong R; ρ và r khả vi) gọi là tương đương nếu có vi
phôi λ : J → I , t a u = λ (t ) sao cho ro λ = ρ .
Dễ thấy đó là một quan hệ tương đương. Mỗi lớp tương đương của
quan hệ đó gọi là một cung trong E n ; mỗi cung tham số của lớp tương
đương đó còn gọi là một tham số hóa của cung; vi phôi λ gọi là phép đổi
tham số của cung.
I.3 Ánh xạ Weingarten.
Giả sử S là siêu mặt trong E n , S được cho bởi tham số hóa địa phương:
r : U ⊂ R n −1 → E n
(u1 , u2 ,...un −1 ) a r (u1 , u2 ,...un −1 )


10
'
với { Ru } ( Ru or = ru , i = 1, n − 1) xác định hướng của S. Tp S là không gian

i

i

i

vectơ tiếp xúc của S tại p có cơ sở { Ru ( p), i = 1, n − 1} .
i

I.3.1Nhận xét.
Xét: n =

Ru1 ∧ Ru2 ∧ ... ∧ Run−1
Ru1 ∧ Ru2 ∧ ... ∧ Run−1

1) n xác định như trên là trường vectơ pháp tuyến của siêu mặt S.
Thật vậy, theo (1.1.2.4) ta có: n ⊥ Ru , ∀i =1, n −1⇒ n ⊥ Tp S , n =1 .
i

2) − Dα n∈Tp S
Chứng minh: Vì n trường vectơ pháp tuyến đơn vị ⇒ n 2 =1
⇒ α  n 2  = α [ n.n ] = 0;
⇒ ( Dα n). n + n.( Dα n) = 0 ⇒ ( Dα n).n = 0;
⇒ Dα n ⊥ n ⇒ Dα n∈Tp S ⇒ − Dα n ∈Tp S .

I.3.2Định nghĩa.
Xét ánh xạ: hp :Tp S → Tp S

ur
ur

α a hp (α ) = − D αur n
được gọi là ánh xạ Weingarten của S tại p.
Khi p thay đổi, ký hiệu chung các ánh xạ hp đó là h, ta có:
h: TS → TS
uu
r
ur
α a h (α ) = − Dar n .
I.3.3Mệnh đề: hp là tự đồng cấu, tuyến tính, đối xứng của Tp S .
Chứng minh: hp là ánh xạ tuyến tính.
ur ur

Thật vậy, ∀ α , β ∈Tp S , ∀ λ ∈ R


11
ur ur
hp (α + β ) = − Dαuur+ uβr n
= − ( Dαur n + Dβur n)
= − Dαur n − Duβr n
ur
ur
= hp (α ) + hp ( β )
ur ur
ur
ur
⇒ hp (α + β ) = hp (α ) + hp ( β )
ur
hp (λα ) = − Dλαur n = −λ Dαur n = λ (− Dαur n)

ur
= λ hp (α )
ur
ur
⇒ hp (λα ) = λ h p (α )

Vậy hp là ánh xạ tuyến tính.
ur ur

hp có tính chất đối xứng nghĩa là: ∀ α , β ∈Tp S thì:
ur ur ur
ur
hp (α ) β = α .hp ( β )

(2)

Thật vậy: Giả sử
r :U ⊂ R n−1 → E n
(u1 ,...., un −1 ) a r (u1 ,..., un −1 ) là tham số hóa địa phương của S.

với p ∈ S , p = r (u1 , u2 ,..., un −1 ) thì
ur
ur
r ′u1 (u10 , u20 ,..., un0−1 );.........; r ′un−1 (u10 , u20 ,..., un0−1 ) độc lập tuyến tính trong
0

0

0

{

}

không gian (n −1) chiều Tp S .
ur
ur
⇒ r ′u (u10 , u20 ,..., un0−1 );.........; r ′u (u10 , u20 ,..., un0−1 ) là cơ sở của Tp S .

{

Đặt:

n−1

1

}

uuuuuuuuuuuuuuuuuuur ur
Ru1 (r (u1 , u2 ,..., un )) = r ′u1 (u1 , u 2 ,..., un );
uuuuuuuuuuuuuuuuuuuu
r ur
Ru2 (r (u1 , u2 ,..., un )) = r ′u2 (u1 , u 2 ,..., u n );
............
................
uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu
r ur
Run−1 (r (u1 , u2 ,..., u n )) = r ′un−1 (u1 , u2 ,..., un );

uuuuuuuuuur
uuuuuuuuuuur
⇒ Rui (r (u i0 ));.......; Run−1 (r (u i0 ))

{

}

là cơ sở của Tp S .


12

{

uuu
r

uuuu
r

}

Hay Ru ( P);......; Ru ( P) là cơ sở của Tp S .
n −1

1

Để chứng minh (2) ta chỉ cần chứng minh đúng trên cơ sở, nghĩa là:
uur

uuur
uur
uuur
hp Ru ( p ) Ru ( p ) = Ru ( p ).hp Ru ( p )
(3)

(

i

)

j

(

i

j

)

Thật vậy:

uuuu
r
uur
D
(
n

o
r ) (u1 , u2 ,..., un )
hp Rui ( p ) = − DuRuur( p ) n = −
;
ui
dui
uuuu
r
r
uur
uuu
r
D (n or ) (u1 , u2 ,..., un ) uu
'
⇒ hp ( Rui ( p )). Ru j ( p ) = −
. ru j (u1 , u2 ,..., un )
dui
uuuu
r
r
 Dn or uu
= −
. ru' j  (u1 , u2 ,..., un ).
(4)
du
i


r
r

uuuuuuuuuuuuuuuuuu
r uu
uuuu
r uu
Mặt khác: n(r (u1 , u2 ,..., un )) ⊥ ru' j (u1 , u2 ,..., un ) ⇒ n or. ru' j (u1, u 2 ,..., un ) = 0 ;

(

)

uuuu
r
r
uuur
uuuu
r
D ( n or ) (u1 , u2 ,..., un ) uu
⇒
. ru' j (u1 , u2 ,..., un ) + n or (ui ). ru''j ui (u1 , u2 ,..., un ) = 0;
dui
uuuu
r
r
D ( n or ) (u1 , u2 ,..., un ) uu
⇒−
. ru' j (u1 , u2 ,..., un ) =
dui
uuur
uuuu
r

= n or (u1 , u2 ,..., un ). ru''j ui (u1 , u2 ,..., un ).
(5)
uuur
uur
uur
uuuu
r
Từ (4)và(5) ⇒ hp ( Rui ( p)).Rui ( p) = n or (u1 , u2 ,..., un ). ru''j ui (u1 , u2 ,..., un ) (6)

Tương tự như trên ta cũng chứng minh được:
uuur
uur
uur
uuuu
r
hp ( Rui ( p ) ). Rui ( p ) = n or (u1 , u2 ,..., un ). ru''iu j .

(7)

uuur
uuur
''
Mặt khác: ru j ui (u1 , u2 ,..., un ) = ru''i u j (u1 , u2 ,..., un )

(8)

uur
uuur
uur
uuur

Từ (6), (7) và (8) ⇒ hp ( Ru ( p )). Ru ( p) = Ru ( p ).hp ( Ru ( p ))
i

uu
r ur

j

Khi đó: ∀ α , β ∈Tp S với
ur
ur
ur
ur
α = α1 R u1 + α 2 R u2 + ..... + α n −1 R un−1
ur
ur
ur
ur
β = β1 R u1 + β 2 R u2 + ..... + β n −1 R un−1
Áp dụng kết quả trên ta có:

i

j


13

ur ur ur
ur

ur ur
hp (α ). β = α . h p ( β ), ∀ α , β ∈Tp S .
Hay hp là ánh xạ đối xứng.
I.4 Sơ lược về các độ cong trên siêu mặt và quan hệ giữa chúng.
I.4.1Định nghĩa.
Cho đa tạp (n −1) chiều S có hướng trong E n , hp là tự đồng cấu tuyến
tính đối xứng trong không gian vectơ Euclid (n −1) chiều Tp S .
Vì ánh xạ Weigarten là tự đồng cấu đối xứng nên có n-1 giá trị riêng là
thực.
- Các giá trị riêng của hp được gọi là độ cong chính tại p của S mỗi vectơ
riêng xác định một phương gọi là phương chính tại p của S.
- Định thức của tự đồng cấu tuyến tính hp gọi là độ cong Gauss của S tại
p , ký hiệu: K ( p ) .

-

1
vết của tự đồng cấu tuyến tính hp gọi là độ cong trung bình của S
n −1

tại p , ký hiệu: H ( p) .
I.4.2Mệnh đề. (Xem [7])
Giả sử siêu mặt S có (n – 1) độ cong chính là k1 , k2 ,..., kn −1 mà đôi một
khác nhau thì các phương chính đôi một vuông góc với nhau.
Chứng minh:
uu
r uur

Giả sử ki ≠ k j (∀i, j =1, n − 1) và α i , α j là các phương chính tương ứng với
các độ cong chính ki , k j .

uu
r
uu
r
Khi đó ta có: hp (α i ) = k i α i (i =1, n − 1) ;
uur
uur
hp (α j ) = k j α j ( j = 1, n − 1) .

(9)
(10)

uur

Nhân vô hướng hai vế của (9) với α j
uu
r uur
uu
r uur
⇒ hp (α i ).α j = ki α i .α j .

(11)
uu
r

Nhân vô hướng hai vế của (10) với α i


14
uur uu

r
uur uu
r
⇒ hp (α j ).α i = k j α j .α i .

(12)
uu
r uur

uur uu
r

Vì hp có tính đối xứng nên: hp (α i ).α j = hp (α j ).α i
uu
r uur

uur uu
r

uu
r uur

Từ (11) và (12) ⇒ ki α i .α j = k j α j .αi ⇔ (ki − k j ) α i .α j = 0.
Theo giả thiết ki ≠ k j (∀i, j =1, n − 1) ⇒ ki − k j ≠ 0 (∀i, j = 1, n − 1) .
uu
r uur

uu
r uur

Do đó α i .α j = o ⇔ α i ⊥ α j (∀i, j = 1, n − 1) .
I.4.3Mối quan hệ giữa các độ cong trên siêu mặt trong E n .
Vì hp là tự đồng cấu đối xứng nên chỉ có một trong hai trường hợp sau:
1) hp có (n −1) giá trị riêng thực (không hoàn toàn trùng nhau) khi đó
(n − 1) phương chính tại p hoàn toàn xác định và đôi một vuông góc với

nhau.
Gọi (n −1) giá trị riêng đó là k1 , k2 ,..., kn −1 thì có hệ (n −1) vectơ trực chuẩn

{

ur uu
r

uuur

}

của Tp S là e1 , e2 ,..., en −1 là các vectơ riêng.

Ta có:

ur
ur
hp (e1 ) = k1 e1
 uu
r
uu
r
hp (e2 ) = k2 e2


....................
r
 r
hp (en −1 ) = kn −1 e n −1

Khi đó theo định nghĩa, độ cong trung bình và độ cong Gauss tại p là:
H ( p) =

k1 + k2 + ... + kn −1
n −1

K ( p ) = k1.k2 ...kn −1
2) hp có đúng một giá trị riêng thực (bội (n − 1) ), khi đó mọi phương là
ur uuur
phương chính nên mọi cơ sở trực chuẩn e1 ,..., en −1 của Tp S .

{

}


15

ur
ur
hp (e1 ) = k1 e1
 uu
r
uu

r
hp (e2 ) = k2 e2

....................
r
 r
h
(
e
)
=
k
e
n
−
1
n −1 n −1
 p

Ta có:

trong đó: k1 = k 2 = ... = kn −1 , khi đó theo định nghĩa: H ( p ) = k1 và K ( p ) = (k1 ) n −1
Điểm p mà tại đó k1 = k2 = ... = kn −1 gọi là điểm rốn của S, khi

k1 = k2 = ... = kn −1 = 0 điểm p gọi là điểm dẹt và khi k1 = k2 = ... = kn −1 ≠ 0 điểm
p được gọi là điểm cầu.
I.4.4Ví dụ.
Trong R 4 giả sử cho siêu trụ S có phương trình x2 + y2 + z2 = 1
Hãy tính độ cong Gauss, độ cong trung bình của S.
Giải:

Ta đặt:
 x = cos u sin v

π
π
 y = sin u sin v ; 0 < u < , 0 < v , , t ∈ R
2
2

 z = cos v

h = t

Khi đó tham số hóa của (S) là:
r : U ⊂ R3 → E 4
(u , v, t ) a r (u, v, t ) = (cos u sin v,sin u sin v, cos v, t )

Với ∀p = (u , v, t )∈ R 3 , ta có:
Ru

p

= ru′ = (− sin u sin v, cos u sin v, 0, 0);

Rv

p

= rv′ = (cos u cos v,sin u cos v, − sin v, 0);

Rt

p

= rt′ = (0, 0, 0,1).

p

p

p

Khi đó vectơ pháp tuyến của siêu trụ được tính


16

n=

Ru ∧ Rv ∧ Rt
Ru ∧ Rv ∧ Rt

Tính toán trực tiếp ta được:
1
(− cos u sin 2 v, − sin u sin 2 v, − sin v cos v, 0)
sin v
⇔ n = (− cos u sin v, − sin u sin v, − cos v, 0).
n=

Khi đó:

hp ( Ru p ) = − nu′

p

= (sin u sin v, − cos u sin v, 0,0)

= − Ru + 0 Rv + 0 Rt

hp ( Rv

p

) = − nv′

p

(1)

= ( − cos u cos v, -sinu cos v,sin v, 0)

= 0 Ru − Rv + 0 Rt

hp ( Rt

p

(2)

) = (0, 0, 0, 0)

(3)

= 0 Ru + 0 Rv + 0 Rt

Từ (1) (2) và (3) ta có:
 hp ( Ru ) = − Ru + 0 Rv + 0 Rt

 hp ( Rv) = 0 Ru − Rv + 0 Rt

 hp ( Rt ) = 0 Ru + 0 Rv + 0 Rt

∀p = (u , v, t ) ∈ R 3

Theo định nghĩa ta có độ cong trung bình và độ cong Gauss của siêu trụ là:
1
2
H ( p ) = (−1 −1 + 0) = − ;
3
3

−1 0 0
K ( p) = 0 − 1 0 = 0
0 0 0

Vậy: độ cong trung bình của siêu trụ H ( p) = −

2
và độ cong Gauss K ( p) = 0 .
3

17

CHƯƠNG 2: ĐỘ CONG TRUNG BÌNH TRÊN SIÊU
MẶT TRONG KHÔNG GIAN EUCLID
2.1 Các dạng cơ bản trên siêu mặt trong E n .
2.1.1 Định nghĩa. (Xem [7])
S là siêu mặt định hướng trong E n có tham số hóa địa phương,

r :U ⊂ R n −1 → E n
(u1 ,..., un −1 ) a r (u1 ,..., un −1 )
Tp S là không gian vectơ tiếp xúc với S tại p . Với mỗi p ∈ S

I p :Tp S xTp S → R

II p :Tp S xTp S → R

(α , β ) a α . β

(α , β ) a hp (α ). β

I p , II p là những dạng song tuyến tính đối xứng trên Tp S . Chúng được gọi

theo thứ tự là dạng cơ bản thứ nhất và dạng cơ bản thứ hai của S tại p .
Ký hiệu: I p (α , α ) = I p (α ) ; II p (α , α ) = II p (α ).
Khi p thay đổi ta ký hiệu là I và II.
2.1.2 Các hệ số của dạng cơ bản I và II.
Trong tham số hóa địa phương, r :(u1 , u2 ,..., un −1 ) a (u1 , u2 ,..., un −1 ) của siêu

ur r

mặt S ta xét các hàm số trên U sau: gij = r ′ui . r u j .


18
gij gọi là các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất đối với tham hóa địa phương r
uur ur
uu
r
uuuu
r
ur uuuu
r
hij = h( Rui ).R u j = r ′′uiu j (n or ) = − r ′ui .(n or )′u j
ur uuuu
r
= − r ′u j .(n or )′ui .
r

(với n là trường vectơ pháp tuyến đơn vị xác định hướng của siêu mặt S ),
hij gọi là các hệ số của dạng cơ bản thứ hai đối với tham số hóa địa phương r.

Đặt:

 g11 g12 .... g1n −1 
g
g 22 .... g 2 n −1 
21

P=

;
............................ 


 g n −11 g n −12 .... g n −1n −1 

 h11 h12 .... h1n −1 
 h h .... h

21
22
2 n −1 

Q=
............................ 


 hn −11 hn −12 .... hn −1n −1 

Ta gọi P, Q là ma trận các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất và dạng cơ bản
thứ hai của siêu mặt trong tham số hóa r.
2.1.3 Mệnh đề. (Xem [7])
Cho P,Q là ma trận các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất và dạng cơ bản
thứ hai của siêu mặt S tại p. Khi đó ma trận của ánh xạ Weingarten đối
với cơ sở tọa độ { Ru } i =1 là ma trận của P −1Q .
n −1

i

Chứng minh: Giả sử

 h( Ru1 ) = a 11 Ru1 + a12 Ru2 + ..... + a1n −1 Run−1

 h( Ru2 ) = a 21 Ru1 + a22 Ru2 + ..... + a2 n −1 Run−1

.............................................................
 h( R ) = a R + a R + ..... + a
n −11 u1
n −12 u2
n −1n −1 Run−1 .
 un−1

(1)

Suy ra ma trận của ánh xạ Weingarten đối với cơ sở { Ru } , i = 1, n − 1 là:
i

 a11 a12 ......a1n −1

 a a ......a

2 n −1
 = a 
A =  21 22
(i, j = 1, n − 1).

  ij  ( n −1)( n −1)


 an −11 an −12 ......an −1n −1 

Từ (1) ta có:


19
 h( Rui ) Ru1 = a i1 Ru1 Ru1 + ai 2 Ru2 Ru1 + ..... + ain −1Run−1 Ru1

 h( Rui ) Ru2 = a i1 Ru1 Ru2 + ai 2 Ru2 Ru2 + ..... + ain −1Run−1 Ru2

.............................................................
 h( R ) R = a R R + a R R + ..... + a R R .
i1 u1 un−1
i 2 u2 un−1
in −1 un−1 un −1
 ui un−1
g12 ..... g1n −1  ai1 
 hi1   g11

÷ 
÷
÷
hi 2 ÷  g 21 g 22 ..... g 2 n −1 ÷ ai 2 ÷

⇔
=
.
 ... ÷  .............................. ÷ ... ÷

÷ 
÷
÷

 hin −1   g n −11 g n −12 ..... g n −1n −1  ain −1 
g12 ..... g1n −1 
 h11 h21 .... hn −11
  a11 a21 .... an −11
  g11

÷ 
÷
÷
h12 h22 .... hn −12
a12 a22 .... an −12
g 21 g 22 ..... g 2 n −1 ÷

÷

÷

⇔
=
.
 ...
÷  ...
÷ .............................. ÷

÷ 
÷
÷
 h1n −1 h2 n −1 .... hn −1n −1   a1n −1 a2 n −1 .... an −1n −1   g n −11 g n −12 ..... g n −1n −1 
⇔ (hij ) = (aij )( gij ), (i, j = 1, n − 1).

(2)

Vì { Ru } i =1 là cơ sở suy ra { Ru } i =1 độc lập tuyến tính.
n −1

n −1

i

i

Do định thức Gram:
det( gij ) ≠ 0,

∀i, j = 1, n − 1 .

Từ (2), ta có:
(aij ) = ( gij ) −1.( hij ),

∀i, j = 1, n − 1;

⇔ A = P −1Q .

2.1.4 Công thức tính độ cong trung bình.
Giả sử S là siêu mặt định hướng trong E n , lấy { α i , i =1, n − 1} là một cơ sở
của Tp S , giả sử:
hp (α1 ) = a11α1 + a12α 2 + ... + a1n −1α n −1
hp (α 2 ) = a21α1 + a22α 2 + ... + a2 n−1α n−1
....

...

...

hp (α n−1 ) = an −11α1 + an−12α 2 + ... + an−1n −1α n −1.

Khi đó theo định nghĩa:
H ( p) =

1
(a11+ a22 + ... + an −1n −1 ) .
n −1


20
2.1.4.1 Mệnh đề. (Xem [7])
Cho { α i , i =1, n − 1} là một cơ sở của Tp S . Khi đó
i) hp (α1 ) ∧ h p (α 2 ) ∧ ... ∧ h p (α n −1 ) = K ( p)α1∧ α 2 ∧ ... ∧ α n −1
ii) hp (α1 ) ∧ α 2 ∧ ... ∧ α n −1 + ... + α1 ∧ α 2 ∧ ... ∧ hp (α n −1 ) =
= ( n − 1) H ( p ) α1 ∧ α 2 ∧ ... ∧ α n −1 .
Chứng minh:
i) Ta có: hp (α1 ) ∧ hp (α 2 ) ∧ ... ∧ h p (α n −1 ) =
= (a11α1 + a12α 2 + ... + a1n −1α n−1 ) ∧ ... ∧ ( an−11α1 + an −12α 2 + ... + an −1n −1α n −1 )
 a11 a12 ... a1n−1 

÷
a21 a22 ... a2 n −1 ÷

=
(α ∧ α 2 ∧ ... ∧ α n −1 )

 ... ... ... ...
÷ 1

÷
÷
 an −11 an−12 ... an−1n −1 

(Vì α i ∧ α i = 0 ∀i = 1, n − 1 và tích có hướng của (n − 1) vectơ trong E n có tính
tuyến tính).
= K ( p ).α1 ∧ α 2 ∧ ... ∧ α n −1
⇒ hp (α1 ) ∧ hp (α 2 ) ∧ ... ∧ hp (α n −1 ) = K ( p) α1 ∧ α 2 ∧ ... ∧ α n −1

(3)

ii) hp (α1 ) ∧ α 2 ∧ ... ∧ α n −1 + ... + α1 ∧ α 2 ∧ ... ∧ h p (α n −1 ) =
= (a11α1 + a12α 2 + ... + a1n −1α n −1 ) ∧ α 2 ∧ ... ∧ α n −1 + α1 ∧ α 2 ∧ ... ∧ (an −11α1 + an −12α 2
+ ... + an −1n −1α n −1 )
= a11α1 ∧ α 2 ∧ ... ∧ α n −1 + ... + an −1n −1α1 ∧ α 2 ∧ ... ∧ α n −1

(Vì α i ∧ α i = 0 ∀i = 1, n − 1 và tích có hướng của (n − 1) vectơ trong E n có
tính tuyến tính).
⇒ hp (α1 ) ∧ α 2 ∧ α n −1 + α1 ∧ α 2 ∧ ... ∧ hp (α n−1 )
= (a11 + a22 + ... + an −1n −1 ).α1 ∧ α 2 ∧ ... ∧ α n −1
= (n − 1) H ( p ).α1 ∧ α 2 ∧ ... ∧ α n −1

(3) (4) ⇒ điều phải chứng minh.
2.1.4.2 Mệnh đề. (Xem [7])

(4)

21
Cho { α i , i = 1, n − 1} là một cơ sở của Tp S . Khi đó, ta có công thức tính độ
cong trung bình của siêu mặt S trong E n thông qua dạng cơ bản I và II là:
II (α1 , α1 ) II (α1 , α 2 ) .... II (α1 , α n −1 )
I (α 2 , α1 ) I (α 2 , α 2 )

.... I (α 2 , α n −1 )

+ .... +

I (α1 , α1 )

I (α1 , α 2 ) .... I (α1 , α n −1 )

I (α 2 , α1 )

I (α 2 , α 2 ) .... I (α 2 , α n −1 )

....
....
.... ....
....
....
.... ....
I (α n −1 , α1 ) I (α n −1 , α 2 ) .... I (α n −1 , α n −1 )
II (α n −1 , α1 ) II (α n −1 , α 2 ) .... II (α n −1 , α n −1 )
H ( p) =
I (α1 , α1 ) I (α1 , α 2 ) .... I (α1 , α n −1 )
(n − 1)

Đặt biệt: khi
α i = Rui ⇒ H ( p ) =

I (α 2 , α1 ) I (α 2 , α 2 ) .... I (α 2 , α n −1 )
....
....
.... ....
I (α n −1 , α1 ) I (α n −1 , α 2 ) .... I (α n −1 , α n−1 )

h11

h12

.... h1n −1

g 21

g 22 .... g 2 n −1

.... .... .... ....
g n −11 g n −12 .... g n −1n−1

+ .... +

g11

g12 .... g1n −1

g 21

g 22 .... g 2 n −1

....
.... .... ....
hn −11 hn−12 .... hn −1n −1

(n − 1) gij

Chứng minh:
Từ mệnh đề (2.1.4.1) nhân hai vế vô hướng hai vế của (4) với
α1 ∧ α 2 ∧ ... ∧ α n −1 ta được:
hp (α1 ).α1 hp (α1 ).α 2 .... hp (α1 ).α n −1

H ( p) =

Do đó:

α 2 .α1 α 2 .α 2
....
....
α n −1.α1 α n −1.α 2

α1.α1 α1.α 2 .... α1.α n −1
α 2 .α1 α 2 .α 2 .... α 2 .α n −1
.... α 2 .α n −1
+ .... +
....
....
.... ....

.... ....
hp (α n −1 ).α1 hp (α n −1 ).α 2 .... hp (α n −1 ).α n −1
.... α n −1.α n −1
α1.α1 α1.α 2 .... α1.α n −1
α .α α .α .... α 2 .α n −1
(n − 1) 2 1 2 2
.... ....
.... ....
α n −1.α1 α n −1.α 2 .... α n −1.α n −1


22
II (α1 , α1 ) II (α1 , α 2 ) .... II (α1 , α n −1 )
I (α 2 , α1 ) I (α 2 , α 2 )
....
H ( p) =

....

.... I (α 2 , α n −1 )
.... ....

+ .... +

I (α1 , α1 )

I (α1 , α 2 ) .... I (α1 , α n −1 )

I (α 2 , α1 )

I (α 2 , α 2 ) .... I (α 2 , α n −1 )

....

....

.... .. ..

I (α n −1 , α1 ) I (α n −1 , α 2 ) .... I (α n −1 , α n −1 )
II (α n −1 , α1 ) II (α n −1 , α 2 ) .... II (α n −1 , α n −1 )
I (α1 , α1 ) I (α1 , α 2 ) .... I (α1 , α n −1 )
(n − 1)

I (α 2 , α1 ) I (α 2 , α 2 ) .... I (α 2 , α n −1 )
....

....

.... ....

I (α n −1 , α1 ) I (α n −1 , α 2 ) .... I (α n −1 , α n −1 )

Khi α i = Ru theo (2.1.2)

h11

h12

.... h1n −1

g 21

g 22 .... g 2 n −1

.... .... .... ....
g n −11 g n −12 .... g n −1n −1

i

⇒ H ( p) =

+ .... +

g11

g12 .... g1n −1

g 21

g 22 .... g 2 n−1

....
.... .... ....
hn −11 hn −12 .... hn −1n −1

(n − 1) gij

Công thức H(p) là công thức tính độ cong trung bình của siêu mặt S thông
qua dạng cơ bản thứ I và II.
2.1.5 Các ví dụ.

1) Siêu mặt S trong E 4 xác định bởi tham số hóa kiểu đồ thị
r :(u , v, t ) a r (u , v, t ) = (u , v, t , 1 − u 2 − v 2 − t 2 ) .

Tính độ cong trung bình của siêu mặt S tại p (0, 0, 0, 1).
ur
r
Giải: Ta có: u′ = (1, 0, 0, −
ur
rv′ = (0,1, 0, −
u
r
rt′= (0, 0,1, −

u
1− u − v 2 − t 2
2

v
1− u − v2 − t 2
2

t
1− u − v2 − t 2
2

);

);
).

Do đó vectơ pháp tuyến của siêu mặt S là:
r
n = (−

u
v
t
1
;−
;−
;−
).
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1− u − v − t
1− u − v − t
1− u − v − t
1− u − v 2 − t 2
2

Các hệ số của dạng cơ bản I

23
ur ur
g11 = ru′. ru′ = 1 +

u2
1− v2 − t 2
=
;
1− u 2 − v2 − t 2 1− u 2 − v2 − t 2
ur ur
u.v
g12 = g 21 = ru′. rv′ =
;
2
1− u − v2 − t 2
ur u
r
u.t
g13 = g 31 = ru′. rt′=
;
2
1− u − v2 − t 2

ur ur
g 22 = rv′. rv′ = 1 +

v2
1− u 2 − t 2
=
;

1− u 2 − v 2 − t 2 1− u 2 − v2 − t 2
ur u
r
v.t
g 23 = g 32 = rv′. rt′=
;
2
1− u − v2 − t 2
u
r u
r
t2
1− u 2 − v2
g 33 = rt′. rt′ =1 +
=
.
1− u 2 − v 2 − t 2 1− u 2 − v2 − t 2

Khi đó tại p = r (0, 0, 0), các g ij (i , j =1,3) là :
g11 =1, g12 = g 21 = 0, g13 = g31 = 0;
g 22 =1, g 23 = g 32 = 0, g 22 = 1;
1 0 0
gij (i, j = 1,3) = 0 1 0 = 1 .
0 01

Các hệ số của dạng cơ bản II.
Ta có:

uu
r

r ′′uu = (0, 0, 0,

v 2 + t 2 −1
);
(1 − u 2 − v 2 − t 2 )3/2

uu
r
r ′′uv = (0, 0, 0,

− u.v
);
(1 − u − v 2 − t 2 )3/2

uu
r
r ′′ut = (0, 0, 0,

− u.t
);
(1 − u − v 2 − t 2 )3/ 2

uu
r
r ′′vv = (0, 0, 0,

u 2 + t 2 −1
);
(1 − u 2 − v 2 − t 2 )3/2

2

2

uu
r
r ′′vt = (0, 0, 0,

− v.t
);
(1 − u − v 2 − t 2 )3/ 2

uu
r
r ′′tt = (0, 0, 0,

u 2 + v 2 −1
).
(1 − u 2 − v 2 − t 2 )3/2

2


24
Do đó:
r uu
r
h11 = n. r ′′uu =

v2 + t 2 −1

;
(1 − u 2 − v 2 − t 2 )5/2
r uu
r
− u.v
h12 = n. r ′′uv =
;
2
(1 − u − v 2 − t 2 )5/2
r uu
r
h13 = n. r ′′ut =

− u.t
;
(1 − u − v 2 − t 2 )5/2
r uu
r
− u.v
h21 = n. r ′′vu =
;
2
(1 − u − v 2 − t 2 )5/ 2
r uu
r
u 2 + t 2 −1
h22 = n. r ′′vv =
;
(1 − u 2 − v 2 − t 2 )5/2
2

r uu
r
h23 = n. r ′′vt =

− v.t
;
(1 − u − v 2 − t 2 )5/2
r uu
r
− t.u
h31 = n. r ′′tu =
;
2
(1 − u − v 2 − t 2 )5/2
r uu
r
− t.v
h32 = n. r ′′tv =
;
2
(1 − u − v 2 − t 2 )5/ 2
r uu
r
u 2 + v 2 −1
h33 = n. r ′′tt =
.
(1 − u 2 − v 2 − t 2 )5/ 2
2

Tại p = r (0, 0, 0) thì các hij (i, j =1,3) là:
h11 = − 1,

h12 = 0,

h13 = 0

h21 = 0,

h22 = − 1,

h23 = 0

h31 = 0,

h32 = 0,

h33 = − 1.

Áp dụng công thức tính độ cong trung bình theo các hệ số của dạng cơ bản
1
3

I và II ta được: H ( p) = − .
ur r
3
ρ
(
u
)

=
0
+
a
.
ch
i + uk
ρ
:
J
→
E
2) Cho đường xích
,
a
rr r
trong đó i; j; k là cơ sở trực chuẩn của E 3 ; 0 ∈ E 3 .

{

(a > 0) ,

}

Mặt tròn xoay tọa thành do quay đường dây xích trên quanh trục OZ được
gọi là mặt Catenoid.
Tính độ cong trung bình của mặt đó.


25

Giải: Ta có tham số hóa của mặt tròn xoay trên là:
r
r
r
u
u
r (u , v) = 0 + a.ch cos vi + a.ch sin v j + uk .
a
a
ur
r
r r
u
u
⇒ ru' (u, v) = sh cos vi + sh sin v j + k ;
a
a
ur
r
r
u
u
rv' (u , v) = − a ch sin vi + ach cos j ;
a
a
uur
r 1 u
r
1 u
ruu'' (u , v) = ch cos vi + ch sin v j ;

a a
a a
uu
r
r
r
u
u
rvv'' (u , v) = −ach cos vi − ach sin v j .
a
a

Các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất là:
⇒ E (u , v) = sh 2

u
u
u
+ 1 = ch 2 ; F (u , v) = 0 ; G (u , v) = a 2ch 2 .
a
a
a

Các hệ số của dạng cơ bản thứ hai là:
L(u, v ) =

ur ur uur
( ru' ∧ rv' )ruu''

EG − F 2

M (u , v) = 0;

N (u , v) =
⇒H =

(u, v ) =

u
a
;
EG − F 2
−ch 2

u
a ;
EG − F 2

a 2ch 2

EN + GL − 2 FM
=0.
2( EG − F 2 )

3) Trong không gian E4 với mục tiêu trực chuẩn (O; e 1,e2,e3,e4), xét siêu
mặt tròn xoay tạo thành khi mặt phẳng có phương trình tham số
x(u1,u2)=(u1,u2,au1+bu2,0), a, b là hằng số, quay xung quanh mặt phẳng tọa
độ (O,e1,e2). Phương trình tham số của siêu mặt là
r(u1,u2,u3)=(u1,u2,(au1+bu2)cosu3,(au1+bu2)sinu3)
Tính độ cong trung bình của siêu mặt.
Giải: Ta có