Định lý Goingup và định lý Goingdown

❇❐ ●■⑩❖ ❉Ö❈ ❱⑨ ✣⑨❖ ❚❸❖

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❱■◆❍

✣➄◆● ❚❍➚ ◆❍×

✣➚◆❍ ▲Þ ●❖■◆● ✕ ❯P
❱⑨ ✣➚◆❍ ▲Þ ●❖■◆● ✕ ❉❖❲◆

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

◆❣❤➺ ❆♥ ✲ ✷✵✶✸


❇❐ ●■⑩❖ ❉Ö❈ ❱⑨ ✣⑨❖ ❚❸❖
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❱■◆❍
✣➄◆● ❚❍➚ ◆❍×

✣➚◆❍ ▲Þ ●❖■◆● ✕ ❯P
❱⑨ ✣➚◆❍ ▲Þ ●❖■◆● ✕ ❉❖❲◆
❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤ ✿

✣❸■ ❙➮ ❱⑨ ▲Þ ❚❍❯❨➌❚ ❙➮
▼➣ sè✿ ✻✵ ✹✻ ✵✺

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈
◆❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝
❚❙✳ ▲➊ ❚❍➚ ❍❖⑨■ ❚❍❯

◆❣❤➺ ❆♥ ✲ ✷✵✶✸

▼Ö❈ ▲Ö❈

✶
✶
✹

▼ö❝ ❧ö❝
▼ð ✤➛✉

✶

❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à

✶✳✶✳ P❤ê ❝õ❛ ✈➔♥❤ ✈➔ tæ♣æ ❩❛r✐s❦✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹

✶✳✷✳ ▼ð rë♥❣ ✈➔ t❤✉ ❤➭♣ ✐✤➯❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻

✶✳✸✳ ❱➔♥❤ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻

✶✳✹✳ ❱➔♥❤ ✈➔ ♠æ✤✉♥ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❤â❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✼

✶✳✺✳ ▼æ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤

✾

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✳✻✳ ▼æ✤✉♥ ♣❤➥♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵
✶✳✼✳ ▼æ✤✉♥ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ♣❤➥♥❣

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵

✶✳✽✳ ❱➔♥❤ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✤➛② ✤õ t❤❡♦ tæ♣æ m✲❛❞✐❝

✷

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶

✣à♥❤ ❧þ ●♦✐♥❣ ✕ ✉♣ ✈➔ ✣à♥❤ ❧þ ●♦✐♥❣ ✕ ❞♦✇♥

✶✸

✷✳✶✳ ●✐î✐ t❤✐➺✉ ✈➲ ✣à♥❤ ❧þ ●♦✐♥❣ ✕ ✉♣ ✈➔ ✣à♥❤ ❧þ ●♦✐♥❣ ✕ ❞♦✇♥ ✳ ✳ ✳ ✶✸
✷✳✷✳ ✣à♥❤ ❧þ ●♦✐♥❣ ✕ ❞♦✇♥ ✈➔ ✤ç♥❣ ❝➜✉ ♣❤➥♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺
✷✳✸✳ ✣à♥❤ ❧þ ●♦✐♥❣ ✕ ✉♣ ✈➔ ♠ð rë♥❣ ♥❣✉②➯♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻
✷✳✹✳ ✣à♥❤ ❧þ ●♦✐♥❣ ✕ ❞♦✇♥ ✈➔ ♠ð rë♥❣ ♥❣✉②➯♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹

❑➳t ❧✉➟♥

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✷✾
✸✵




é
r t ở ổ ữủ tt õ ỡ

f : A B ởt ỗ ợ ộ tố q ừ

B t p = f 1 (q) := q A õ p ởt tố ừ A
q ữủ ồ tr r p õ ỵ
ú ố ợ ợ tố t ý p p ừ A s
p p ợ tố t ý q ừ B tr p tỗ t ởt
tố q ừ B tr p s q q ữỡ tỹ t õ
ỵ ú ố ợ ợ tố t ý p p
ừ A s p p ợ tố t ý q ừ B tr p
tỗ t ởt tố q ừ B tr p s q q r
số ỵ tữớ ữủ sỷ ử rở
tố rở õ ú tữớ
ữủ ũ s s ừ ởt số ỳ s tr ởt trữớ
ợ ừ ởt õ tr õ
ỵ ỵ ú tr ởt số trữớ
ủ ữ B tr A ởt ỗ r trữớ
ủ B tr A ỵ ữủ t ữợ
sỷ A B B tr A p1 p2 . . . pn ởt
tố tr A q1 q2 . . . qm ởt

tố tr B s qi A = pi (1 i m) õ
q1 q2 . . . qm õ t rở t q1 q2 . . . qn s




qi A = pi (1 i n) ỵ ữủ t ữợ
sỷ A B A õ B tr

A p1 p2 . . . pn ởt tố tr A
q1 q2 . . . qm ởt tố tr B s

qi A = pi (1 i m) õ q1 q2 . . . qm õ t
rở t q1 q2 . . . qn s qi A = pi ợ 1 i n
õ rt t ỵ ỵ
ử ừ ỹ
t t q t tờ ủ tứ õ tr
ỵ õ tr
t t ở ừ
ữủ tr tr ữỡ ữỡ tự r
ữỡ ú tổ tr ởt số ừ số ử
ỡ s tr ở ừ ữỡ
r ú tổ ỏ tr ởt số t q õ ữợ ỳ
ử ử ự s ữỡ
ỵ ỵ r ữỡ ú tổ tr
ỵ ỵ ừ ỹ
ử t ú tổ s tr ỳ s
ợ t ỵ ỵ
ỵ ỵ ỗ
ỵ rở

ỵ rở
ữủ t t rữớ ồ ữợ sỹ ữợ
ừ ổ ữủ tọ ớ ỡ s
s ổ t t ữợ ở
t t ủ t tr sốt q tr ồ t
ụ ỡ ỗ õ


✸

tr❛♦ ✤ê✐ ✈➔ ❝❤➾ ❞➝♥ ❝❤♦ t→❝ ❣✐↔ ✈➲ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳
◆❤➙♥ ❞à♣ ♥➔②✱ t→❝ ❣✐↔ ①✐♥ tr➙♥ trå♥❣ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ tî✐ ❝→❝ t❤➛② ❝æ ❣✐→♦
tr♦♥❣ ❇ë ♠æ♥ ✣↕✐ sè✱ ❑❤♦❛ ❚♦→♥✱ P❤á♥❣ ✣➔♦ t↕♦ ❙❛✉ ✤↕✐ ❤å❝✱ ❇❛♥ ●✐→♠
❤✐➺✉ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❱✐♥❤ ✤➣ ❣✐ó♣ ✤ï ✈➔ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤➸ t→❝ ❣✐↔ ❝â ♠ët
♠æ✐ tr÷í♥❣ ❤å❝ t➟♣ tèt ✈➔ ❤➳t sù❝ t❤✉➟♥ ❧ñ✐✳

◆❣❤➺ ❆♥✱ t❤→♥❣ ✵✽ ♥➠♠ ✷✵✶✸

❚→❝ ❣✐↔


✹

❈❍×❒◆● ✶

❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ❝❤ó♥❣ tæ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ✣↕✐ sè ♥❤➡♠
♠ö❝ ✤➼❝❤ ❧➔♠ ❝ì sð ❝❤♦ ✈✐➺❝ tr➻♥❤ ❜➔② ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ð ❈❤÷ì♥❣
✷✳ ◆❣♦➔✐ r❛ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❝á♥ tr➼❝❤ ❞➝♥ ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ✤➣ ❝â ❞÷î✐ ❞↕♥❣ ♥❤ú♥❣
♠➺♥❤ ✤➲ ♥❤➡♠ ♣❤ö❝ ✈ö ❝❤♦ ❝→❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ð ♣❤➛♥ s❛✉✳❚r♦♥❣ t♦➔♥ ❜ë ❧✉➟♥

✈➠♥✱ ❝→❝ ✈➔♥❤ ✤÷ñ❝ ♥❤➢❝ ✤➳♥ ❧➔ ✈➔♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦→♥✱ ❝â ✤ì♥ ✈à 1 = 0✳

✶✳✶

P❤ê ❝õ❛ ✈➔♥❤ ✈➔ tæ♣æ ❩❛r✐s❦✐

✶✳✶✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳

❈❤♦ I ❧➔ ✐✤➯❛♥ t❤ü❝ sü ❝õ❛ R✳ ❑❤✐ ✤â✿

✭✐✮ ■✤➯❛♥ I ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥❣✉②➯♥ tè ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐ x , y ∈ R ♠➔ xy ∈ I ❦➨♦
t❤❡♦ x ∈ I ❤♦➦❝ y ∈ I ✳
✭✐✐✮ ■✤➯❛♥ I ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝ü❝ ✤↕✐ ♥➳✉ ❦❤æ♥❣ tç♥ t↕✐ ✐✤➯❛♥ J = R ♠➔ I = J
✈➔ I ⊂ J ✳
❚ø ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ tr➯♥ t❛ s✉② r❛ I ❧➔ ♥❣✉②➯♥ tè ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ✈➔♥❤ t❤÷ì♥❣

R/I ❧➔ ♠✐➲♥ ♥❣✉②➯♥❀ I ❧➔ ✐✤➯❛♥ ❝ü❝ ✤↕✐ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ✈➔♥❤ t❤÷ì♥❣ R/I ❧➔
♠ët tr÷í♥❣✳
❚➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè ❝õ❛ ✈➔♥❤ R ✤÷ñ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ SpecR✳ ❱î✐
♠é✐ ✐✤➯❛♥ I ❝õ❛ ✈➔♥❤ R t❛ ❦➼ ❤✐➺✉ V (I) = {p ∈ SpecR | p ⊇ I}.

✶✳✶✳✷ ▼➺♥❤ ✤➲✳ ❈❤♦ R ❧➔ ✈➔♥❤✳❈→❝ ♣❤→t ❜✐➸✉ s❛✉ ❧➔ ✤ó♥❣✿




I J ừ R õ V (IJ) = V (I J) = V (I) V (J)

ú ồ ỳ
V (

jS

V (Ij ) ợ S t số tũ ỵ

Ij ) =
jS

V (I) = V (J)



I=



J

V (0) = SpecR V (R) =
ữ t ủ V (I) ợ I ừ R t t
ồ t õ tr ổ tổổ õ SpecR tr t ởt
ổ tổổ ợ ồ t õ V (I) tr õ I ừ R ổổ
ữủ ồ tổổ rs ổ tổổ SpecR ữủ ồ ờ ừ
R ộ t ủ V (I) ữủ ồ t số I
ởt ổ tổổ X ữủ ồ ổ tr ồ
t õ tr X ứ ú ỵ r R tr
t SpecR ổ tổổ tr f : A B ởt ỗ
õ ợ ộ q SpecB t f 1 (q) SpecA a f : SpecB

SpecA a f (q) = f 1 (q) tử
ởt t õ tr ởt ổ tổổ ữủ ồ t q õ

ổ t t ủ ừ t õ tỹ sỹ R
F ởt t õ ừ X = SpecR õ F t q
F = V (p) ợ ởt tố p õ p t
ữủ ồ tờ qt r t ừ F
r ởt ổ tổổ X ộ t õ Z õ ởt t
t t ủ ừ ỳ t õ t q Z = Z1 Z2 . . .Zr

Zi Zj ợ i = j t õ Zi ữủ ồ t t q
ừ Z.

sỷ tỹ sỹ ừ õ V (I) õ t
t ởt tỷ ỹ t t q




P tỷ ỹ t tr tr ữủ ồ tố ỹ

t tr ừ r r I tố ỹ
t ự



rở t

f : R R

ởt ỗ

J ởt ừ R J c = f 1 (J) õ J c

ởt ừ R ữủ ồ t ừ J tr R
ỗ f
I ởt ừ R I e =< f (I) > s
f (I) õ I e ởt ừ R ồ rở ừ
I tr R ỗ f
ú ỵ r

p tố ừ R p c = R t p c
tố ừ R

p tố ừ R t pe õ t ổ
tố ừ R

f : A B ởt ỗ p ởt
tố ừ A õ p t ừ ởt tố ừ B
pec = p



ữỡ

R ữủ ồ ữỡ R õ
t ởt ỹ


✼

✶✳✸✳✷ ❱➼ ❞ö✳ ✭✶✮✳ ▼é✐ tr÷í♥❣ ❧➔ ♠ët ✈➔♥❤ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✈➻ ❝❤➾ ❝â ❞✉② ♥❤➜t
♠ët ✐✤➯❛♥ ❝ü❝ ✤↕✐ ❧➔ ④✵⑥✳
✭✷✮✳ ❱➔♥❤ ❝→❝ ❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛ ❤➻♥❤ t❤ù❝ K[[x]] =

∞

ai x i | ai ∈ K

❧➔

i=0

✈➔♥❤ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✈î✐ ✐✤➯❛♥ ❝ü❝ ✤↕✐ ❞✉② ♥❤➜t ❧➔ ❁①❃✳

✶✳✹

❱➔♥❤ ✈➔ ♠æ✤✉♥ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❤â❛

✶✳✹✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ❈❤♦ ✈➔♥❤ R ✈➔ S ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ ✈➔♥❤ R✳ ❚➟♣ ❤ñ♣
S ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ t➟♣ ♥❤➙♥ ✤â♥❣ ❝õ❛ ✈➔♥❤ R ♥➳✉ 1 ∈ S ✈➔ ✈î✐ ♠å✐ a, b ∈ S t❤➻
ab ∈ S ✳

✶✳✹✳✷ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ❈❤♦ S ❧➔ t➟♣ ♥❤➙♥ ✤â♥❣ ❝õ❛ ✈➔♥❤ R✳ ❚r➯♥ t➼❝❤ ✣➲✲❝→❝
R × S = {(r, s) | r ∈ R, s ∈ S}
①➨t q✉❛♥ ❤➺ ❤❛✐ ♥❣æ✐ ∼ ♥❤÷ s❛✉✿

(r, s) ∼ (r , s ) ⇔ ∃t ∈ S : t(rs − r s) = 0.
❉➵ t❤➜② ∼ ❧➔ ♠ët q✉❛♥ ❤➺ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ tr➯♥ R × S ✳ ❑❤✐ ✤â R × S ✤÷ñ❝
❝❤✐❛ t❤➔♥❤ ❝→❝ ❧î♣ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣

(r, s) = {(r , s ) ∈ R × S | (r , s ) ∼ (r, s)}.
❑➼ ❤✐➺✉ r/s t❤❛② ❝❤♦ (r, s) ✈➔

S −1 R = R × S/ ∼ = {r/s | r ∈ R, s ∈ S}
❧➔ t➟♣ t❤÷ì♥❣ ❝õ❛ R × S t❤❡♦ q✉❛♥ ❤➺ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ∼ .
❚r➯♥ S −1 R tr❛♥❣ ❜à ❤❛✐ ♣❤➨♣ t♦→♥ ❝ë♥❣ ✭✰✮ ✈➔ ♥❤➙♥ ✭✳✮✱ ❦❤✐ ✤â S −1 R
trð t❤➔♥❤ ♠ët ✈➔♥❤ ✈➔ ❣å✐ ❧➔ ✈➔♥❤ ❝→❝ t❤÷ì♥❣ ❝õ❛ R t❤❡♦ t➟♣ ♥❤➙♥ ✤â♥❣

S✳


✽

▼é✐ ✐✤➯❛♥ ❝õ❛ ✈➔♥❤ ❝→❝ t❤÷ì♥❣ S −1 R ✤➲✉ ❝â ❞↕♥❣ S −1 I ✱ tr♦♥❣ ✤â I ❧➔
✐✤➯❛♥ ❝õ❛ ✈➔♥❤ R✳ ❚❛ ❝â S −1 I = S −1 R ⇔ I ∩ S = φ✳ ❉♦ ✤â S −1 I ❧➔ ✐✤➯❛♥
t❤ü❝ sü ❝õ❛ S −1 R ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ I ∩ S = φ.
❈❤♦ p ∈ SpecR✳ ❑❤✐ ✤â S = R\p ❧➔ ♠ët t➟♣ ♥❤➙♥ ✤â♥❣ ❝õ❛ ✈➔♥❤ R✳
❱➔♥❤ S −1 R tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ♥➔② ❧➔ ✈➔♥❤ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ Rp ✱ ✈î✐
✐✤➯❛♥ ❝ü❝ ✤↕✐ ❞✉② ♥❤➜t ❧➔ pRp = {a/s | a ∈ p, s ∈ R\p} ♥➯♥ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

✈➔♥❤ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❤â❛ ❝õ❛ ✈➔♥❤ R t↕✐ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè p.
❈❤♦ M ❧➔ ♠ët R✲♠æ✤✉♥✳ ❚r➯♥ t➼❝❤ ✣➲✲❝→❝ M × S t❛ ①➨t q✉❛♥ ❤➺ ❤❛✐
♥❣æ✐

(m, s) ∼ (m , s ) ⇔ ∃t ∈ S : t(s m − sm ) = 0.
❉➵ t❤➜② ∼ ❧➔ ♠ët q✉❛♥ ❤➺ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ tr➯♥ M × S ✳ ❑❤✐ ✤â M × S ✤÷ñ❝
❝❤✐❛ t❤➔♥❤ ❝→❝ ❧î♣ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✳ ❱î✐ ♠é✐ ♣❤➛♥ tû (m, s) ∈ M × S ✱ ❦➼ ❤✐➺✉

m/s ❧➔ ❧î♣ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ❝❤ù❛ (m, s)✱ tù❝ ❧➔
(m/s) = {(m , s ) ∈ M × S | (m , s ) ∼ (m, s)}.
= {(m , s ) ∈ M × S | ∃t ∈ S : t(s m − sm ) = 0}.
❑➼ ❤✐➺✉ S −1 M = M × S/ ∼ ❧➔ t➟♣ t❤÷ì♥❣ ❝õ❛ M × S t❤❡♦ q✉❛♥ ❤➺ t÷ì♥❣
✤÷ì♥❣ ∼✱ tù❝ ❧➔✿

S −1 M = M × S/ ∼ = {m/s | m ∈ M, s ∈ S}.
❈❤ó þ r➡♥❣ tr♦♥❣ S −1 M : m/s = m /s ⇔ ∃t ∈ S : t(s m − sm ) = 0.
❚r➯♥ S −1 M tr❛♥❣ ❜à ❤❛✐ ♣❤➨♣ t♦→♥ ❝ë♥❣ ✭✰✮ ✈➔ ♥❤➙♥ ✭✳✮✳ ❑❤✐ ✤â S −1 M
❧➔ ♠ët S −1 R✲♠æ✤✉♥ ✈➔ ❣å✐ ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝→❝ t❤÷ì♥❣ ❝õ❛ M t❤❡♦ t➟♣ ♥❤➙♥ ✤â♥❣

S ✱ ✈î✐ ♣❤➛♥ tû ❦❤æ♥❣ ❧➔ 0/1 = 0M /s, ∀s ∈ S ✳
S −1 M ❝ô♥❣ ❝â ❝➜✉ tró❝ ❧➔ ♠ët R✲♠æ✤✉♥ ✈î✐ ♣❤➨♣ ♥❤➙♥ ✈î✐ ✈æ ❤÷î♥❣
①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉✿

r.m/s = r/1.m/s = rm/s,
tr♦♥❣ ✤â r ∈ R ✈➔ m/s ∈ S −1 M.




p SpecR õ S = R\p ởt t õ ừ R
r trữớ ủ t t Rp t S 1 R t Mp t S 1 M
ổ Mp ữủ ồ ổ ữỡ õ ừ M t tố
p.

f

: M N ởt Rỗ õ t

s tữỡ ữỡ
f ỡ tữỡ ự t
fp : Mp Np ỡ tữỡ ự t ợ ộ

tố p tr õ fp = S 1 f ợ S = R\p

fm : Mm Nm ỡ tữỡ ự t ợ ộ

ỹ m ừ R

A S t õ ừ A f : A
S 1 A tỹ õ ợ ộ p ừ S 1 A t õ p =
S 1 (f 1 (p)) tữỡ ự p f 1 (p) ởt ỡ tứ t
S 1 A t ừ A ỡ ỳ tữỡ ự ởt s
ỳ t tố ừ S 1 A t tố ừ

A ổ ợ



ổ ỳ s

ởt Rổ M

ữủ ồ ỳ s õ

ởt t s ỗ ỳ tỷ õ tỗ t tỷ

x1 , x2 , ..., xn M s M = {r1 x1 + r2 x2 + ... + rn xn ri R; i = 1, n}

sỷ A B C C Bổ
ỳ s B Aổ ỳ s t C Aổ ỳ
s


✶✵

✶✳✻

▼æ✤✉♥ ♣❤➥♥❣

✶✳✻✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳

✭✐✮ ❈❤♦ P ❧➔ ♠ët R✲♠æ✤✉♥✳ ❑❤✐ ✤â P ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

♠æ✤✉♥ ♣❤➥♥❣ ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐ ❞➣② ❦❤î♣ ♥❣➢♥ ❝→❝ R✲♠æ✤✉♥

0

/

M

f

/M

/

P ⊗M

g /

/0

M

t❤➻ ❞➣②

0

/

P ⊗M
R

1P ⊗ f

R

1P ⊗ g
/

P ⊗M
R

/ 0.

❧➔ ❦❤î♣✳
✭✐✐✮ ❈❤♦ ✤ç♥❣ ❝➜✉ ✈➔♥❤ f : R → S ✳ ❑❤✐ ✤â f ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤ç♥❣ ❝➜✉ ♣❤➥♥❣
♥➳✉ S ❧➔ ♠ët R✲♠æ✤✉♥ ♣❤➥♥❣✳

✶✳✻✳✷ ✣à♥❤ ❧þ✳ ❈❤♦ ✤ç♥❣ ❝➜✉ ✈➔♥❤ f : R → S ✳ ❑❤✐ ✤â ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉
t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿
✭✐✮ S ❧➔ R✲♠æ✤✉♥ ♣❤➥♥❣✳
✭✐✐✮ Sq ❧➔ Rq∩R ✲♠æ✤✉♥ ♣❤➥♥❣✱ ✈î✐ ♠å✐ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè q ❝õ❛ S ✳

✭✐✐✐✮ Sm ❧➔ Rm∩R ✲♠æ✤✉♥ ♣❤➥♥❣✱ ✈î✐ ♠å✐ ✐✤➯❛♥ ❝ü❝ ✤↕✐ m ❝õ❛ S ✳

✶✳✼

▼æ✤✉♥ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ♣❤➥♥❣

✶✳✼✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ❈❤♦ M ❧➔ ♠ët R✲♠æ✤✉♥ ❦❤→❝ ✵✳ ❑❤✐ ✤â M ✤÷ñ❝ ❣å✐
❧➔ ♠æ✤✉♥ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ♣❤➥♥❣ ♥➳✉ M ❧➔ ♠æ✤✉♥ ♣❤➥♥❣ ✈➔ ✈î✐ ♠å✐ R✲♠æ✤✉♥ N
♠➔ M ⊗ N = 0 t❤➻ N = 0✳
R

✶✳✼✳✷ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ▼ët ✤ç♥❣ ❝➜✉ ✈➔♥❤ f : R → S ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤ç♥❣ ❝➜✉
❤♦➔♥ t♦➔♥ ♣❤➥♥❣ ♥➳✉ S ❧➔ R✲♠æ✤✉♥ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ♣❤➥♥❣✳




f : R S ởt ỗ õ f
t f : SpecS SpecR t


R S õ ởt ỗ
f : R S ữủ ồ ỗ ữỡ f (mR ) mS ợ ồ
ỹ mR ừ R mS ỹ ừ S

q R S ữỡ f : R S ởt ỗ
ữỡ õ S Rổ S Rổ
t

ữỡ ừ t tổổ m

R, m ởt ữỡ t R ữ ởt tổổ ợ
ỡ s ừ tỷ mt ợ t = 0, 1, 2, ... ú ỵ r
ỡ s ừ ởt tỷ tũ ỵ r R ỗ ợ r + mt ợ

t = 0, 1, 2, ... õ ừ t tổổ m ừ R ữủ
R ữủ tổ tữớ t ổ ỳ ữ
s ởt tr R ởt rn tỷ ừ R s
ợ ồ t > 0 tỗ t số tỹ n0 rn rm mt ợ ồ n, m > n0 .
rn ữủ ồ ở tử ổ ợ ồ t > 0 tỗ t số tỹ
n0 rn 0 = rn mt ợ ồ n > n0 .
rn sn ữủ ồ tữỡ ữỡ
(rn ) (sn ) rn sn ổ õ q tr t
q tữỡ ữỡ R t ợ tữỡ
ữỡ ừ
ú ỵ r rn sn t rn + sn
rn sn ụ ợ tữỡ ữỡ ừ rn + sn
rn sn ổ ử tở ồ ừ ợ tữỡ


✶✷

✤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ❞➣② ✭rn ✮ ✈➔ ✭sn ✮✱ tù❝ ❧➔ ♥➳✉ (rn ) ∼ (rn ) ✈➔ (sn ) ∼ (sn ) t❤➻

(rn + sn ) ∼ (rn + sn ) ✈➔ (rn sn ) ∼ (rn sn )✳ ❱➻ t❤➳ R ✤÷ñ❝ tr❛♥❣ ❜à ❤❛✐ ♣❤➨♣
t♦→♥ ❤❛✐ ♥❣æ✐ + ✈➔ . ✤ç♥❣ t❤í✐ ❝ò♥❣ ✈î✐ ❤❛✐ ♣❤➨♣ t♦➔♥ ♥➔②✱ R ❧➟♣ t❤➔♥❤
♠ët ✈➔♥❤✳ ▼é✐ ♣❤➛♥ tû r ∈ R ❝â t❤➸ ✤ç♥❣ ♥❤➜t ✈î✐ ❧î♣ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ❝õ❛
❞➣② ❈❛✉❝❤② ♠➔ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû tr♦♥❣ ❞➣② ✤➲✉ ❧➔ r✳ ❱➻ t❤➳ t❛ ❝â ♠ët

✤ì♥ ❝➜✉ tü ♥❤✐➯♥ ❣✐ú❛ ❝→❝ ✈➔♥❤

R −→ R
r −→ (r)✱
tr♦♥❣ ✤â ✭r✮ ❧➔ ❞➣② ♠➔ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ ♥â ✤➲✉ ❧➔ r✳ ✣ç♥❣ ❝➜✉ tü
♥❤✐➯♥ ♥➔② ❧➔ ♠ët ✤ç♥❣ ❝➜✉ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ♣❤➥♥❣✳




ì

ị P ị



ợ t ỵ ỵ


f : A B ởt ỗ ợ ộ tố q ừ B
t p = f 1 (q) := q A õ p ởt tố ừ A
q ữủ ồ tr r p ỵ ữủ ồ

ú ố ợ tọ s
ợ tố t ý p p ừ A s p p ợ
tố t ý q ừ B tr p tỗ t ởt tố
q ừ B tr p s q q

ữỡ tỹ ỵ ữủ ồ ú ố ợ tọ
s

ợ tố t ý p p ừ A s p p ợ
tố t ý q ừ B tr p tỗ t ởt tố
q ừ B tr p s q q

ờ tữỡ ữỡ ợ s ợ ộ
tố p ừ A ộ ỹ t q ừ pB t õ q A = p.
ự sỷ p ởt tố ừ A q
ởt tố ỹ t ừ pB q ởt tố




q tỷ ỹ t t q ừ t ủ

V (pB) = {Q SpecB | Q pB}.
s ự q A = p t õ q pB q A p
sỷ q A = p t tỗ t tố q1 ừ B s
q1 A = p q q1 õ q q1 pB t ợ t tố t

ừ q q A = p
sỷ p, p tố ừ A s p p
q tố ừ B tr p tự q A = p õ t
õ t t ọ q ởt ỹ t q tr số tt
tố ự pB tt r q A = p. r ự


ú ỵ f
Y = SpecB =
a

: A B ởt ỗ t X = SpecA
a

f ợ a f : SpecB SpecA

f (q) = f 1 (q) ử sỷ B tr õ õ t

ữủ tr ữợ ồ ữ s p X t X = V (p) X
Y ởt t t q tũ ỵ ừ 1 (X ) õ
tờ qt ừ Y t tờ qt ừ X

ử K[x] ởt tự tr trữớ K t x1 =
x(x 1) x2 = x2 (x 1) õ K(x) = K(x1 , x2 ) tự
K[x1 , x2 ] K[x] s r ởt s ỳ t
f : C = Spec(K[x]) C = Spec(K[x1 , x2 ]),
C ữớ t C ữớ x31 x22 + x1 x2 = 0
f Q1 : x = 0 Q2 : x = 1 ừ C t ũ ởt

P = (0, 0) ừ C õ tổ tữớ ừ C f ởt
s tứ C \ {Q1 , Q2 } C \ {P }




y ởt t B = k[x, y] A = k[x1 , x2 , y] õ

Y = SpecB ởt t X = SpecA ởt ữớ t X t
ữủ ỗ t ữớ t L1 : x = 0 L2 : x = 1 tr

Y L3 Y ởt ữớ t ữủ y = ax, a = 0

g : Y X tỹ õ g(L3 ) = X ữớ t
q tr X g 1 (X ) = L3 {(0, a), (1, 0)} õ ỵ
ổ ú trữớ ủ A B



ỵ ỗ

r ởt ỗ f : A B ữủ ồ ỗ
B ởt Aổ ỵ s t r ỗ
tọ ỵ

ỵ f : A B ởt ỗ õ ỵ
ú ố ợ f
ự sỷ p, p tố ừ A s p p
q tố ừ B tr p p = q A f : A B ỗ

t s r B Aổ ử ỵ t
s r Bq Ap ổ t t õ : Ap Bq ỗ
ữỡ (pAp ) (p)Bq qBq õ t q t s
r Bq Ap ổ t t

: SpecBq SpecAp t
ớ t s ự tỗ t ởt tố q ừ B tr
p s q q t sỷ q tố ừ Bq tr
p Ap tự q Ap = p Ap q = q B t q tố

ừ B tr p q q

ú ỵ R, m ởt ữỡ R
ừ m ừ R õ ỗ tỹ R R t
ử t ỵ tr õ tọ ỵ
õ ợ ộ tố p ừ R ộ tố ỹ t q
ừ pR t õ q R = p



ỵ rở

rữợ t ú tổ tr rở

A ởt ừ B
x B õ r tỷ x tr A tỗ t n N
a1 , a2 , ..., an A s
xn + a1 xn1 + ... + an1 x + an = 0
õ x ừ ởt tự ỡ ợ tỷ tr A

ử ồ tỷ a ừ A t ý tr A
a ừ tự f (x) = x a A[x]
x = r/s Q tr Z tr õ r, s Z, s = 0, (r, s) = 1
t rn + a1 rn1 s + ... + an1 rsn1 + an sn = 0 ợ ai Z õ õ

s t rn (r, s) = 1 s = 1 r x Z
ởt ổ ữủ ồ tr t õ tỷ ừ õ
õ ờ s

ờ A ừ B sỷ b B b

tr A M ởt Aổ ỳ s M ụ A[b]ổ
tr t I ừ A s bM IM õ b
ừ ởt tự f (x) = xn + a1 xn1 + ... + an1 x + an ợ tỷ tr I


✶✼

✷✳✸✳✹ ▼➺♥❤ ✤➲✳ ❈❤♦ A ❧➔ ✈➔♥❤ ❝♦♥ ❝õ❛ ✈➔♥❤ B ✈➔ b ∈ B✳ ❑❤✐ ✤â ❝→❝ ✤✐➲✉
❦✐➺♥ s❛✉ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿
✭✐✮ b ♥❣✉②➯♥ tr➯♥ A❀
✭✐✐✮ A[b] ❧➔ A✲♠æ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤❀
✭✐✐✐✮ A[b] ✤÷ñ❝ ❝❤ù❛ tr♦♥❣ ♠ët ✈➔♥❤ ❝♦♥ C ❝õ❛ B s❛♦ ❝❤♦ C ❧➔ A✲♠æ✤✉♥

❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤❀
✭✐✈✮ ❚ç♥ t↕✐ ♠ët A[b]✲♠æ✤✉♥ tr✉♥❣ t❤➔♥❤ M s❛♦ ❝❤♦ M ❝ô♥❣ ❧➔ A✲♠æ✤✉♥

❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ (i) ⇒ (ii)✿ ◆➳✉ b ♥❣✉②➯♥ tr➯♥ A t❤➻ b ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♠ët ✤❛
t❤ù❝ ✈î✐ ❤➺ sè tr➯♥ A✳ ❉♦ ✤â tç♥ t↕✐ ai ∈ A, i = 1, n s❛♦ ❝❤♦

bn + a1 bn−1 + ... + an−1 b + an = 0
❱î✐ ♠å✐ m ≥ n✱ t❛ ❝â bm = −(a1 bm−1 + ... + an bm−n )✳ ❉ò♥❣ q✉② ♥↕♣ t❛
❝â t❤➸ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ bm ❧➔ ♠ët tê ❤ñ♣ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝õ❛ 1, b, ..., bn−1 ✳ ❙✉② r❛
♠å✐ ♣❤➛♥ tû f (b) ∈ A[b] ❧➔ ♠ët tê ❤ñ♣ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝õ❛ 1, b, ..., bn−1 ✳ ❉♦ ✤â

{1, b, ..., bn−1 } ❧➔ ♠ët ❤➺ s✐♥❤ ❝õ❛ A[b] tr➯♥ A✱ ❤❛② A[b] ❧➔ A✲♠æ✤✉♥ ❤ú✉
❤↕♥ s✐♥❤✳

(ii) ⇒ (iii)✿ ▲➜② C = A[b]✱ ❤✐➸♥ ♥❤✐➯♥ C ❧➔ ✈➔♥❤ ❝♦♥ ❝õ❛ ✈➔♥❤ B ✈➔ C ❧➔
A✲♠æ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤✳

(iii) ⇒ (iv)✿ ▲➜② M = C ✳ ◆➳✉ y ∈ A[b] s❛♦ ❝❤♦ yM = 0 t❤➻ y = y.1 = 0✳
❉♦ ✤â M ❧➔ A[b]✲♠æ✤✉♥ tr✉♥❣ t❤➔♥❤✱ ❤✐➸♥ ♥❤✐➯♥ M ❧➔ A✲♠æ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥
s✐♥❤✳

(iv) ⇒ (i)✿ ⑩♣ ❞ö♥❣ ❇ê ✤➲ ✷✳✸✳✸ ✈î✐ I = A✳

✷✳✸✳✺ ❍➺ q✉↔✳ ❈❤♦ A ❧➔ ✈➔♥❤ ❝♦♥ ❝õ❛ ✈➔♥❤ B✳ ●✐↔ sû b1, b2, ..., bn ∈ B✳
◆➳✉ b1 , b2 , ..., bn ✤➲✉ ♥❣✉②➯♥ tr➯♥ A t❤➻ A[b1 , b2 , ..., bn ] ❧➔ A✲♠æ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥
s✐♥❤✳




ự ự q t n ợ n = 1 q ữủ
s r trỹ t tứ
ợ n > 1 sỷ A[b1 , b2 , .., bn ] Aổ ỳ s õ

A[b1 , b2 , .., bn ] = A[b1 , b2 , .., bn1 ][bn ] bn tr A bn
v

tr A[b1 , b2 , .., bn1 ] A A[b1 , b2 , .., bn1 ] õ A[b1 , b2 , .., bn1 , bn ]

A[b1 , b2 , .., bn1 ]ổ ỳ s r A[b1 , b2 , .., bn1 , bn ] Aổ
ỳ s

q sỷ A ừ B C ừ B ỗ
ỳ tỷ tr A ởt ừ B ự A
ự x, y C õ x, y tr A s r A[x, y]
tr A s r x y, xy A[x, y] tr A xy x y C
C ởt ừ B ự A

C tr q tr ữủ ồ õ ừ A tr

B C = A t A ữủ ồ õ tr C = B t
B ữủ ồ tr A ữ B tr A ồ
tỷ ừ B tr A

ử A ộ tỷ a A ừ tự
x a A[x] a tr A A rở
tr õ
ồ tỷ ừ số tỹ R tr số ỳ t Q
R rở ừ Q
ồ tỷ Q tr Z Z õ Z
õ tr Q ữ Z ổ õ tr trữớ số
ự C i C\Z tr Z




A ởt ừ B S t
õ ừ A C õ ừ A tr B t S 1 C
õ ừ S 1 A tr S 1 B
ự t tỷ b/s S 1 B tr S 1 A ợ s S, b

B õ t õ ữỡ tr
(b/s)n + (a1 /s1 )(b/s)n1 + ... + (an1 /sn1 )(b/s) + (an /sn ) = 0 (),
ợ ai A si S i = 1, n
t u = s1 s2 ...sn S ừ ữỡ tr () ợ (us)n t
ữủ

(ub)n + (a1 s2 ...sn s)(ub)n1 + ... + (an1 s1 ...sn2 sn s)(ub) + (an s1 ...sn1 s) = 0
r (ub)n + a1 (ub)n1 + ... + an1 (ub) + an = 0 ợ ai A, i = 1, n
õ tỗ t v S s v(un bn + a1 un1 bn1 + ... + an1 ub + an ) = 0 ứ
õ t õ vub tr A vub C b/s = vub/vus S 1 C

S 1 C õ ừ S 1 A tr S 1 B
q s t rở õ t t

q A B C tọ A B C sỷ B
tr A C tr B õ C tr A
ự sỷ C tr B B tr A c C

c tr B c ừ ởt tự
f (x) = xn + b1 xn1 + ... + bn1 x + bn B[x]; bi B, i = 1, n
t B = A[b1 , b2 , ..., bn ] b1 , b2 , ..., bn tỷ tr A

B Aổ ỳ s t f (x) A[b1 , b2 , ..., bn ][x] c
tỷ tr B = A[b1 , b2 , ..., bn ] r B [c] B ổ ỳ




s t s r B [c] = A[b1 , b2 , ..., bn ][c] = A[b1 , b2 , ..., bn , c]

Aổ ỳ s õ c tỷ tr A C
tr A

q A ừ B C õ
ừ A tr B õ C õ tr B
ự x B tr C t t ừ

rở t õ x tr A õ x C

s t t t ữủ t q
ữỡ õ

A ởt ừ B B tr
A õ S t õ ừ A t S 1 B tr S 1 A
ự t tỷ x/s t ý tở S 1 B ợ x B s S
õ x tr A tỗ t ai A(i = 1, n) tọ ữỡ tr

xn + a1 xn1 + ... + an1 x + an = 0
r (x/s)n + (a1 /s)(x/s)n1 + ... + (an1 /sn1 )(x/s) + (an /sn ) = 0

x/s tỷ tr S 1 A õ S 1 B tr S 1 A

s t t t ữủ t q
tữỡ

A ừ B B tr A
b ởt tỹ sỹ ừ B a = bc = A b ởt ừ A

õ B/b tr A/a


✷✶

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❳➨t t÷ì♥❣ ù♥❣ f : A/a → B/b ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ x + a −→ x + b✳
❉♦ A ❧➔ ✈➔♥❤ ❝♦♥ ❝õ❛ ✈➔♥❤ B ✈➔ a ⊆ b ♥➯♥ f ❧➔ →♥❤ ①↕ ✈➔ ❧➔ ✤ì♥ ❝➜✉ ✈➔♥❤✳
❉♦ ✤â A/a ❧➔ ✈➔♥❤ ❝♦♥ ❝õ❛ B/b✳
▲➜② ❜➜t ❦ý x ∈ B ✱ ✈➻ B ♥❣✉②➯♥ tr➯♥ A ♥➯♥ x ♥❣✉②➯♥ tr➯♥ A✱ ❦❤✐ ✤â t❛

❝â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✿

xn + a1 xn−1 + ... + an−1 x + an = 0; ai ∈ a, i = 1, n.
●✐↔ sû x + b ∈ B/b❀ n ∈ N❀ a1 + a, a2 + a, ..., an + a ∈ A/a✳ ❚❛ ❝â✿

(x + b)n + (a1 + a)(x + b)n−1 + ... + (an−1 + a)(x + b) + (an + a)
= xn + b + (a1 + a)(xn−1 + b) + ... + (an−1 + a)(x + b) + an + a
= xn + a1 xn−1 + ... + an−1 x + an + a + b = 0.
❍❛② x + b ♥❣✉②➯♥ tr➯♥ A/a✳ ❱➟② B/b ♥❣✉②➯♥ tr➯♥ A/a✳

✷✳✸✳✶✸ ▼➺♥❤ ✤➲✳ ❈❤♦ A ❧➔ ✈➔♥❤ ❝♦♥ ❝õ❛ ♠✐➲♥ ♥❣✉②➯♥ B✱ B ♥❣✉②➯♥ tr➯♥
A✳ ❑❤✐ ✤â A ❧➔ tr÷í♥❣ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ B ❧➔ tr÷í♥❣✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✭⇒✮ ●✐↔ sû A ❧➔ tr÷í♥❣✱ t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ B ❧➔ tr÷í♥❣✳ ▲➜②

b ∈ B, b = 0✱ ❞♦ b ♥❣✉②➯♥ tr➯♥ A ♥➯♥ b ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✿
bn + a1 bn−1 + ... + an−1 b + an = 0, a1 ∈ A, i = 1, n.
❙✉② r❛ b−1 = −(an )−1 (bn−1 + a1 bn−2 + ... + an−1 ) ∈ B ✈➔ ❞♦ ✤â B ❧➔ ♠ët
tr÷í♥❣✳
✭⇐✮ ●✐↔ sû B ❧➔ tr÷í♥❣✱ t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ A ❧➔ tr÷í♥❣✳ ▲➜② a ∈ A, a = 0✳
❑❤✐ ✤â a−1 ∈ B ✈➔ ♥❣✉②➯♥ tr➯♥ A ♥➯♥ t❛ ❝â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✿

(a−1 )n + t1 (a−1 )n−1 + ... + tn−1 (a−1 ) + tn = 0; ti ∈ A
◆❤➙♥ ❝↔ ❤❛✐ ✈➳ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈î✐ an−1 t❛ ✤÷ñ❝✿

a−1 = −(t1 + ... + tn−1 an−2 + tn an−1 ) ∈ A


✷✷

❙✉② r❛ A ❧➔ tr÷í♥❣✳

✷✳✸✳✶✹ ❍➺ q✉↔✳ ●✐↔ sû A ❧➔ ✈➔♥❤ ❝♦♥ ❝õ❛ ✈➔♥❤ B✱ B ♥❣✉②➯♥ tr➯♥ A✳ ❈❤♦
q ❧➔ ♠ët ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè ❝õ❛ B ✈➔ p = qc = A ∩ q✳ ❑❤✐ ✤â q ❧➔ ✐✤➯❛♥ ❝ü❝

✤↕✐ ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ p ❧➔ ✐✤➯❛♥ ❝ü❝ ✤↕✐✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû q ❧➔ ♠ët ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè ❝õ❛ B ✱ ✈➔ ✤➦t p = qc = A∩ q✳
❑❤✐ ✤â p ❧➔ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè ❝õ❛ A✳
❚❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✸✳✶✷✱ B/q ♥❣✉②➯♥ tr➯♥ A/p ✈➔ t❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✸✳✶✸✱ p
❧➔ ✐✤➯❛♥ ❝ü❝ ✤↕✐ ❝õ❛ A ⇔ A/p ❧➔ tr÷í♥❣ ⇔ B/q ❧➔ tr÷í♥❣ ⇔ q ❧➔ ✐✤➯❛♥ ❝ü❝
✤↕✐ ❝õ❛ B.

✷✳✸✳✶✺ ❍➺ q✉↔✳ ●✐↔ sû A ❧➔ ✈➔♥❤ ❝♦♥ ❝õ❛ ✈➔♥❤ B✱ B ♥❣✉②➯♥ tr➯♥ A✳ ❈❤♦
p1 , p2 ❧➔ ❝→❝ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè ❝õ❛ B s❛♦ ❝❤♦ p1 ⊆ p2 ✈➔ p1 ∩ A = p2 ∩ A✳

❑❤✐ ✤â p1 = p2 ✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✣➦t p = p1 ∩ A = p2 ∩ A ✈➔ S = A\p✱ ❞♦ p ❧➔ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥
tè ♥➯♥ S ❧➔ t➟♣ ♥❤➙♥ ✤â♥❣ ❝õ❛ A✳ ❚❛ ❝â S ∩ p1 = φ ✈➔ S ∩ p2 = φ.
●å✐ m ❧➔ ♠ð rë♥❣ ❝õ❛ p tr♦♥❣ S −1 A = Ap ✱ ❦❤✐ ✤â m ❧➔ ✐✤➯❛♥ ❝ü❝ ✤↕✐ ❞✉②
♥❤➜t ❝õ❛ Ap .
●å✐ n1 , n2 ❧➔ ❝→❝ ♠ð rë♥❣ ❝õ❛ p1 , p2 tr♦♥❣ Bp ✱ t❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♥➳✉
n1 ⊆ n2 t❤➻ n1 = n2 ✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ✈➻ p ⊆ p1 ✈➔ Ap ⊆ Bp ♥➯♥ m ⊆ n1 ∩ Ap ✳

❍✐➸♥ ♥❤✐➯♥ n1 ∩ Ap ⊆ Ap ✱ ♥➳✉ n1 ∩ Ap = Ap t❤➻ Ap ⊆ n1 ❞♦ ✤â 1 ∈ n1 ❤❛②
n1 = Bp ✭✈➻ 1 ∈ Ap ⊆ Bp ✈➔ Ap ⊆ n1 ♥➯♥ 1 ∈ n1 ⇒ Bp ⊆ n1 ♠➔ t❛ ✤➣ ❝â
n1 ⊆ Bp ♥➯♥ s✉② r❛ n1 = Bp ✮ ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈➻ n1 ❧➔ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè ❝õ❛ Bp ✳

❱➟② m ⊆ n1 ∩ Ap ⊂ Ap ✱ ♠➦t ❦❤→❝ m ❧➔ ✐✤➯❛♥ ❝ü❝ ✤↕✐ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ Ap ♥➯♥
t❛ s✉② r❛ m = n1 ∩ Ap ✳
❚÷ì♥❣ tü t❛ ❝â m = n2 ∩ Ap ✳❚❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✸✳✶✶✱ Bp ♥❣✉②➯♥ tr➯♥ Ap ✈➔