Đạo hàm dọc đường cong trên đa tạp Riemann 2 chiều

LỜI NÓI ĐẦU
Phép tính đạo hàm là một công cụ hữu hiệu trong việc trình bày các tính chất
hình học trên các đa tạp khả vi. Phép tính đạo hàm dọc theo một đường cong đã
được trình bày trong nhiều tài liệu viết về hình học vi phân.
Trong luận văn này chúng tôi trình bày hệ thống các khái niệm và chứng
minh chi tiết một số tính chất cơ bản của đạo hàm của trường véctơ dọc đường
cong trên đa tạp Riemann và sử dụng nó để trình bày chuyển dịch song song trên
đa tạp Riemann.
Luận văn được chia thành 2 chương
Chương I: Đa tạp Riemann 2 – chiều
I.

Đa tạp Riemann 2 – chiều.

II.

Dạng liên thông trên đa tạp Riemann.

Trong chương I, chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản của đa tạp Riemann,
các kiến thức đó làm cơ sở cho chương tiếp theo. Cũng trong chương này, chúng
tôi nêu định lý tổng quát về sự xác định dạng liên thông trên đa tạp Riemann 2 –
chiều, định lý về công thức đổi mục tiêu của các dạng liên thông. Các kiến thức
đó được trình bày theo tinh thần cô đọng nhất.
Chương II: Đạo hàm của trường véc tơ dọc đường cong trên đa tạp Riemann.
I.

Đạo hàm của trường véc tơ dọc cung tham số.

II.

Chuyển dịch song song trên đa tạp Riemann.

Trong chương II, ở mục I, chúng tôi nêu và có chứng minh chi tiết

một số tính chất của đạo hàm của trường véc tơ dọc cung tham số, đồng thời
trình bày các kết quả về đạo hàm và về trường véc tơ song song. Mục II, chúng
tôi tiếp tục nêu và chứng minh chi tiết một số tính chất của phép dịch chuyển
song song trên đa tạp Riemann 2–chiều và chỉ ra một số ví dụ về phép dịch
chuyển song song trên một số mặt cụ thể.
Luận văn được hoàn thành vào tháng 10 năm 2013 tại trường Đại học Vinh.

1


Tác giả chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS. TS.
Nguyễn Hữu Quang - Người đã đặt bài toán và hướng dẫn tác giả trong suốt
quá trình học tập, nghiên cứu và làm luận văn. Tác giả cũng cảm ơn các thầy
giáo trong bộ môn hình học đã giảng dạy, chỉ bảo những vấn đề có liên quan
đến đề tài nghiên cứu và cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong
Khoa toán, khoa sau đại học – Trường Đại học Vinh, ban Giám Hiệu và các
đồng nghiệp trong tổ toán trường trung học phổ thông Quỳ Hợp 3, gia đình, bạn
bè đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suôt quá trình hoàn thành luận
văn này.
Vinh, tháng 10 năm 2013
Tác giả

2


CHƯƠNG I.

ĐA TẠP RIEMANN 2-CHIỀU.

Trong luận văn này, chúng tôi luôn giả thiết M là đa tạp thực khả vi với cơ sở
đếm được và với hệ bản đồ U , I . Ta kí hiệu:


B ( M )   X / X là trường véc tơ tiếp xúc khả vi trên M 



F ( M )   f / f : M  R, f khả vi trên U – mở trong M 



Tp M   véc tơ tiếp xúc với M tại p  M 

I. ĐA TẠP RIEMANN 2 – CHIỀU.
1.1 - Định nghĩa (Xem  2 ).
Một cấu trúc Riemann trên M đó là một ánh xạ g đặt tương ứng với mỗi điểm p
 M với một g p thoả mãn :

1/. g p Là một tích vô hướng trong T p M ; p  M .
2/. g phụ thuộc khả vi vào p .( nghĩa là g ( X , Y )( P)  g p ( X p , Yp ) và
g là một hàm số khả vi theo p trên M ; X , Y  B ( M ) ).
Đa tạp M cùng với cấu trúc g xác định ở trên được gọi là đa tạp Riemann thực 2
- chiều, kí hiệu M hay (M,g).
1.2 - Ví dụ :
Ta kí hiệu H = {( x, y)  Oxy | y>0}. Ta đưa vào H một cấu trúc Riemann g
như sau g : p  g p .Trong đó g p  X p , Yp  =

1
y2

X

p

,Yp

 với p(x,y)  H.

Thật vậy, ta sẽ kiểm tra g là cấu trúc Riemann.
Trước hết, ta sẽ chứng minh g p là tích vô hướng trên H ; p  H ; p  x, y  .
 g p  X p , Yp



=

1
y2

X

p

,Yp

=

1
y2

Y

p

,Xp




3


=
 gp X p , X p



g p  Yp , X p

;

p(x,y)  H.

1
X p . X p  0 và g p  X p , X p
y2

=

=0 

1
X p2 = 0
y2

 X p = 0.
1
  X p   X p Yp
y2

 g p   X p   X p , Yp  =

= .

1
y2

X

p

,Yp

+

1
y2

 X  ,Y 

p

p

=  g p  X p , Yp  +  g p  X p , Yp 
Tương tự, ta cũng có : g p  X p ,  Yp   Yp    g p  X p , Yp  +  g p  X p , Yp  .
Tiếp tục, kiểm tra tính khả vi của g.
Giả sử X ( X 1 , X 2 ) ; Y( Y1 ,Y2 ) là hai trường vectơ khả vi với toạ độ tự nhiên trong
H. Khi đó, ta có X 1 , X 2 , Y1 ,Y2 là các hàm số khả vi trên H.Ta xét :
g ( X,Y) =
=

1
X.Y
y2
1
( X 1 .Y1  X 2 .Y2 ).
y2

Vì tích và tổng các hàm số khả vi cũng là các hàm số khả vi nên g (X,Y) khả vi .
1.3 - Liên thông Lêvi – Civita
1.3.1 - Định nghĩa : Giả sử M là đa tạp Riemann
Ánh xạ  : B ( M )  B( M )  B( M )
( X ,Y )   X Y

được gọi là liên thông Lêvi-Civita trên đa tạp M nếu và chỉ nếu  thỏa mãn các
điều kiện sau:

(T1 ). X (Y  Z )   X Y   X Z ; X ,Y , Z  B( M )

T .
2

T .
3

X Y

X

Z   X Z  Y Z ; X , Y , Z  B( M )

Y   X Y ; X , Y  B( M ),  F ( M )

T . Y   X  Y  
4

X

X

Y ; X , Y  B( M );  F ( M )

4


T . Y   X   X , Y   0; X , Y  B( M )
T  .Z  X .Y    X .Y   Y .X ; X ,Y , Z  B( M )
5

X

Y

Z

6

Z

Ta chú ý rằng : Hai điều kiện T5  ,  T6  được gọi là tính chất Lêvi-Civita.
Điều kiện T5  chỉ ra rằng độ xoắn trên M bằng 0 và điều kiện T6  là điều kiện
liên thông trên M bằng 0. Hay nói cách khác đi liên thông Lêvi-Civita  trên M
là liên thông tuyến tính trên M mà  làm cho độ xoắn và liên thông Riemann
triệt tiêu.
1.3.2 - Ví dụ
Giả sử M là đa tạp khả song n - chiều với trường mục tiêu E1 , E2 ,..., En  .
n

n

i 1

i 1





Với X , Y  B( M ) : X   X i Ei ;Y   Yi Ei X i , Yi  F  M  ; i  1, n .

n

Ta đặt  X Y   X Yi  Ei . Khi đó,  là một liên thông Lêvi-Civita trên M.
i 1

Thật vậy, với X , X ',Y ,Y '  B( M );   F  M  ta có
n

T1)  X Y  Y '   X Yi  Y 'i Ei
i 1

n

n

i 1

i 1

  X Yi Ei   X Y 'i Ei
  XY   XY '
n

T2)  X  X 'Y   ( X  X ') Yi  Ei
i 1

n

n

i 1

i 1

  X Yi Ei   X 'Yi Ei
  X Y   X 'Y .
n

T3)  X Y   ( X ) Yi  Ei
i 1

n

   X Yi Ei
i 1

  X Y

5


n

T4)  X Y    X Yi  Ei
i 1

n

  ( X Yi   Yi X  )Ei
i 1

n

n

i 1

i 1

   X Yi Ei  X    Yi Ei

  X Y  X  Y .
T5)  X , Y    X Y    Y  X  

 X Y1E1  ...  Yn En     Y  X 1E1  ...  X n En   
n
n
   X Yi Ei       Y  X i Ei   
 i 1

 i 1


   X Y      Y X   
  X , Y    X Y  Y X
n

n

T6) Do X   X i Ei ;Y   Yi Ei

i 1

i 1

n

n

i , j 1

i 1

 X .Y   X iY j  Ei E j    X iYi
Ta có
n
Z  X .Y   Z   X iYi 
 i 1


n

   Z  X i Yi  Z Yi  X i 
i 1
n

n

i 1

i 1

  Z  X i Yi   Z Yi  X i
 Z  X 1 Y1  Z  X 2 Y2  ...  Z  X n Yn

 Z Y1  X 1  Z Y2  X 2  ...  Z Yn  X n
n

n

n

n

i 1

i 1

i 1

i 1

   Z  X i  Ei . Yi Ei    Z Yi  Ei . X i Ei

6


n

n

i 1

i 1

   Z  X i  Ei .Y    Z Yi  Ei . X
 Y . Z X  X . Z Y

 Z  X .Y    Z X .Y   Z Y . X
Ta kí hiệu :  X Y    X Y  P ; với X p  Tp M với Y cố định thuộc M thì ánh xạ
P

X p   X Y là ánh xạ tuyến tính Tp M  Tp M .
p

1.3.3 - Định lý.(Xem  2 )
Véctơ   X Y  P chỉ phụ thuộc vào giá trị của X tại p, nghĩa là nếu X , X  B( M ) ,
sao cho X p  X p thì   X Y ( P )    X Y ( P ) .
Chứng minh : Như ta đã biết với mỗi p  M , ánh xạ :  p : X p  ( X Y ) p là ánh
xạ tuyến tính từ Tp M đến Tp M , từ đó.



 X    X   0
X   X 

 p (0)  0   p X p  X p  0
 p
 p

p

p

p

p

   X Y P    X Y  P
Như ta đã biết liên thông tuyến tính trên đa tạp Riemann M không duy nhất
(xem 3 , nhận xét 2.7 trang 14), vấn đề đặt ra là liên thông Lêvi-Civita trên đa
tạp Riemann M có luôn tồn tại và duy nhất hay không? để trả lời câu hỏi đó ta
xét định lý sau :
1.3.4 - Định lý. Liên thông Lêvi-Civita trên đa tạp Riemann M luôn tồn tại và
duy nhất.
Chứng minh.
 Sự tồn tại  :
Giả sử X , Y  B( M ) , ta xác định  bởi phương trình sau:

 X Y .Z 

1
1
X Y .Z   Y  Z . X   Z  X .Y     Z . X , Y   Y . Z , X   X .Y , Z  (1)

2
2

7

Với Z là trường véc tơ tuỳ ý của B (M ) .
Có thể kiểm tra trực tiếp thấy ánh xạ

 X ,Y   

X

Y thoả mãn các điều kiện

(T1 ) , T2  ,  T3  , T4  của định nghĩa 1.3.1.
* Ta đặt T  X , Y    X Y  Y X   X , Y  , do công thức (1) ta có:
Với mọi z  B ( M ) :

T  X , Y  .Z  ( X Y  Y X   X , Y ).Z
  X Y .Z  Y X .Z   X , Y .Z
1
1
X Y .Z   Y  Z . X   Z  X .Y     Z . X ,Y   X .Y , Z   Y . Z , X 

2
2
1
1
  Y  X .Z   X  Z .Y   Z  X .Y    Z .Y , X   X . Z , Y   Y . X , Z 
2
2
  X , Y .Z  0


Do đó T ( X , Y )  0; X , Y  B( M ); (điều kiện T5  của định nghĩa 1.3.1 thoả

mãn).
*  Z X .Y   Z Y . X 

1
 Z  X .Y   X Y .Z   Y  Z . X 
2

1
1
Y . Z , X   X .Y , Z   Z . X , Y     Z  X .Y   Y  Z . X   X Y .Z  

2
2
1
  X . Z , Y   Y . X , Z   Z .Y , X    Z  X .Y 
2


(Điều kiện T6  của định nghia 1.3.1 thoả mãn)
Như vậy,  là liên thông Lêvi-Civita.
 Bây giờ để chứng minh tính duy nhất của  ta chứng minh rằng nếu 
là liên thông Lêvi-Civita trên M thì  X Y thoả mãn (1).
Thật vậy, X ,Y  B( M ) , từ điều kiện (T5) của định nghĩa 1.3.1 ta suy ra

 X Y  Y X   X , Y    Z X   X Z   Z , X 
Tương tự, ta có : Y Z   Z Y  Y , Z 

Z X   X Z   Z , X 

8

Từ đó ta thu được  X Y .Z   Y X   X ,Y   .Z  Y X .Z   X ,Y .Z
Mặt khác, từ điều kiện (T6) của định nghĩa 1.3.1 ta suy ra :

 Z Y . X  Z  X .Y    Z X .Y
Tương tự, ta có :

 X Z .Y  X  Z .Y    X Y .Z
Y X .Z  Y  X .Z   Y Z . X

Từ đó

 X Y .Z  Y X .Z   X , Y .Z
 Y  X .Z   Y Z . X   X , Y .Z
 Y  X .Z   ( Z Y  Y , Z ). X   X ,Y .Z
 Y  X .Z    Z Y . X  Y , Z . X   X ,Y .Z

 Y  X .Z   Z  X .Y    Z X .Y  Y , Z . X  X , Y .Z
  Y , Z . X  Z  X .Y   Y  X .Z    X ,Y .Z  ( X Z   Z , X ).Y
  Y , Z . X  Z  X .Y   Y  X .Z    X ,Y .Z   X Z .Y   Z , X .Y
  Y , Z . X  Z  X .Y   Y  X .Z    X ,Y .Z   X Z .Y  X  Z .Y    X Y .Z
Từ đó, suy ra

 X Y .Z 

1
1
X Y .Z   Y  Z . X   Z  X .Y     Z . X , Y   Y . Z , X   X .Y , Z 


2
2

Như ta đã biết : Ánh xạ f : M  N , (M,N là các đa tạp Riemann) được gọi
là phép biến đổi đẳng cự trên M nếu và chỉ nếu g ( X,Y) = g  f X , fY  ;  X,Y 
B( M ). (Như vậy phép đẳng cự bảo tồn tích vô hướng)
Bây giờ ta xét định lý sau :
1.3.5 - Định lý :
Giả sử M, N là hai đa tạp Rimann với các liên thông Lêvi-Civita tương ứng
,  và f : M  N là vi phôi đẳng cự. Khi đó, f * ( X Y )   f* X f*Y .

Như vậy, một vi phôi đẳng cự bảo tồn liên thông Lêvi-Civita.
Chứng minh. Để chứng minh định lý này ta sử dụng bộ đề sau :
Bổ đề : Nếu ánh xạ  : N  R khả vi thì f* p ( p )     p   f  ;  p  Tp M .

9


Chứng minh : Giả sử  (t ) là đường cong trên M với  p là tiếp tuyến của nó tại

p   (t0 ) với  : J  U

t   (t )
Khi đó f* p ( p )    f  '(t0 )

 f* p ( p )( )    f  '(t0 )( )



d   f   

dt
t t

(a)
0

d (  f   )
dt
t t

0

Mà

 p   f   '(t0   f 


d   f   
dt

t  t0

(b)

d (  f   )

dt
t  t0

Từ (a) và (b), ta suy ra bộ đề được chứng minh.

Bây giờ ta chứng minh định lý.

  ( )

Từ bộ đề trên ta có :  f* X  ( f ( p ))    f * X

p

    f  ;p  M

 X

p

  f* X ( )   f  X   f



  f* X ( )   X   f   f 1
Mặt

 X Y .Z 

khác

ta

1
1
X Y .Z   Y  Z . X   Z  X .Y     Z . X , Y   Y . Z , X   X .Y , Z 


2
2

Vì f là vi phôi đẳng cự nên ta có :

 X Y .Z   f*   X Y     f*Z   f

  f* X    f*Y    f* Z   X Y .Z   f 1
  f* X , f*Y    f* Z    X ,Y   Z  f 1; X ,Y , Z  B( M )

10

có






Tiếp theo ta phải chứng minh :  f*   X Y     f*Z    f X f*Y   f*Z 
*

Thật vậy, ta có :



f* X



f*Y   f *Z  

1
 ( f* X )  f*Y . f*Z   ( f*Y )  f*Z . f* X   ( f*Z )  f* X . f*Y  
2

1
 f* X , f*Y  ( f*Z )   f*Z , f* X  ( f*Y )   f*Y , f*Z  ( f* X ) 
2
1
  X Y .Z   f 1  Y  Z . X   f 1  Z  X .Y   f 1  
2
1
  Z . X , Y   f 1  Y . Z , X   f 1  X .Y , Z   f 1 
2
   X Y  Z  f 1


 f*   X Y  . f* Z   Z    f 1
 ( f*   X Y )   f* Z 
 ( f*   X Y )   f* Z    f X f*Y   f* Z 
*

 ( f*   X Y    f X f *Y
*

Giả sử M là một đa tạp Riemann trong Rn với cấu trúc Riemann g trên M
được cảm sinh bởi tích vô hướng thông thường trong Rn.
Giả sử  X,Y B(M), ta luôn có sự biểu diễn DX Y = (DX Y)T + (DX Y)N. Ở

đó (DX Y)T , (DX Y)N tương ứng là thành phần tiếp xúc và thành phần pháp dạng
của DXY. Ta đặtX Y = (DX Y) T . Khi đó, ta có định lý sau:
1.3.6 – Định lý: Giả sử X Y = (DX Y) T. Khi đó  là liên thông Lêvi – Civita.
Chứng minh:
+) Ta kiểm tra  là liên thông tuyến tính.
T

T1)  DX  X 'Y   DX  X 'Y   DX  X 'Y 

N

 DX Y  DX 'Y   DX Y  DX 'Y 
N

N

 DX Y   DX Y   DX 'Y   DX 'Y 
T

N

T

  DX Y    DX 'Y 
T

T2)  DX (Y  Y ')   DX (Y  Y ')   DX (Y  Y ') 

11

N


 DX Y  DX Y '  DX Y  DX Y '

N

N

 DX Y   DX Y   DX Y '  DX Y ' 
T

N

T

  DX Y    DX Y ' 
T

T3)  D X Y   D X Y   D X Y 

N

  DX Y   DX Y 



  DX Y   DX Y 

N

N



T

   DX Y 
T

T4)  DX Y    DX Y    DX Y  

N

N

  DX Y  X  .Y   DX Y  X  .Y  ,  F ( M )



N

  DX Y  X  .Y   DX Y    X  .Y 
N

  DX Y  X  .Y    DX Y   X   Y 



  DX Y   DX Y 

N

N



N

  X  .Y

T

   DX Y   X  .Y
+) Bây giờ ta kiểm tra hai điều kiện của liên thông Lêvi – Civita:
T5) T(X,Y) = XY - YX - X,Y = (DXY)T - (DYX)T - X,Y
= (DXY – DYX – [X,Y]T
= 0.
T6) XY.Z = (DXY)T.Y + (DXZ)T.Z
= (DXY)T.Z + (DXZ)T.Y
= XY.Z + XZ.Y.
Vậy  là liên thông Levi – Civita.
Nhận xét : Bây giờ, ta kí hiệu : D M = { f | f vi phôi đẳng cự: M  M }.
Khi đó: D M hợp thành một nhóm đối với phép toán lập thành các ánh xạ .
Thật vậy:
- Như ta đã biết phép toán hợp thành các ánh xạ có tính chất kết hợp .
- Phần tử đơn vị của D là e = id : M  M ; p  p.

12

- Giả sử f : M  M, f vi phôi đẳng cự . Vì f vi phôi đẳng, ta suy ra f 1 cũng
là một vi phôi .
Mặt khác f  f 1  id   f  f 1   id
 f   f 1   id
1

  f 1    f  .
Vậy, nếu: f : X  X  ;Y  Y  thì  f 1  : X  X, Y   Y.
Ta có:

X '  Y '  f   X  . f  Y 
= X.Y
=  f 1   X '  . f 1  Y '  ; X ' , Y '  B( M ).

Điều đó chứng tỏ rằng f 1 là vi phôi đẳng cự .
II. DẠNG LIÊN THÔNG TRÊN ĐA TẠP RIEMANN.
Như ta đã biết ( xem [ 2 ] ) một đa tạp khả vi n - chiều M được gọi là đa tạp
khả song nếu tồn tại trên M một hệ trường mục tiêu



X 1 ,..., X n  ; X i  B( M ) ,

(nghĩa là  X 1  p ,..., X n  p   là một cơ sở của T p M ; p  M ).
Trong suốt luận văn này, ta luôn giả thiết rằng M là một đa tạp khả song 2 chiều.
Giả sử M là đa tạp khả song 2 – chiều với U1 ,U 2  là trường mục tiêu trực
chuẩn trên M có hệ bản đồ U ,  , 1 , 2  là trường đối mục tiêu của U1 ,U 2  ,

 là liên thông Lêvi – Civita trên đa tạp M. Khi đó tồn tại các 1 – dạng vi phân

i j trên M sao cho X  B ( M ) , ta có sự biểu thị  X U i theo U1 ,U 2  như sau :
 X U1  11 ( X )U1  21 ( X )U 2 ;
 X U 2  12 ( X )U1  22 ( X )U 2
1.4 - Định nghĩa.

i j được gọi là dạng liên thông của  đối với trường mục tiêu U i  trên M.

13


  i j  được gọi là ma trận của dạng liên thông của  đối với trường mục
tiêu U i  trên M.
1.5 - Nhận xét.

i ) 11  22  0
Thật vậy, với X  B ( M ) ta có : X  U1 ,U 2   0  U1 ,  XU 1   X U1 ,U 1  0

 11 ( X ) U1 ,U 1  0
 11 ( X )  0
Vậy 11  0
Chứng minh tương tự ta cũng có 22  0

ii) i j (i  1,2; j  1,2) là các 1 – dạng vi phân.
Thật vậy, với X , Y  B( M );  ,  F ( M ) , ta có :

 ( X  Y )U i    X U i   Y U i
 

X

U

2

i

   YU

i

2

   i j ( X ).U j    i j (Y ).U j
j 1

j 1

2

  (i j ( X )U j  i j (Y )U j )
i 1

 i j  X   Y   i j ( X )  i j (Y ).
Vậy i j là ánh xạ tuyến tính.
Ta chứng minh i j ( X ) là các ánh xạ khả vi :
Từ định nghĩa ánh xạ  : B ( M )  B( M )  B( M )

 X ,Y    X Y
Ta có :  X U i  B ( M ) nên  X U i khả vi.

2

Mà  X U i   i j ( X ).U j ; X ,U j  B( M ) nên suy ra i j ( X ) khả vi.
j 1

Vậy, các i j là các 1- dạng vi phân trên M.

14


iii) 21  12
Thật vậy, do U1 ,U 2  0 nên X  U1 ,U 2   0  U1 ,  X U 2   X U1 ,U 2  0

 12 ( X )  21 ( X )  0; X  B( M )
 12  21  0
Hay 21  12 .
Giả sử U 1 ,U 2  là trường mục tiêu trực chuẩn trên U  . Một cơ sở 1 , 2  các
1- dạng vi phân của 1 U   được gọi là trường đối mục tiêu của U 1 ,U 2  nếu và
chỉ nếu  j U i    ij .
1.6 - Định nghĩa: 1- dạng vi phân  12 được gọi là một dạng liên kết của đa tạp
Rieman 2 - chiều đối với trường mục tiêu trực chuẩn U 1 ,U 2 .
1.7 - Mệnh đề: Giả sử 1 , 2  là trường đối mục tiêu của U 1 ,U 2 . Khi đó tồn
tại duy nhất 1 - dạng  12  1 U   , thoả mãn :
d1   12   2 ;

d 2   21  1 .

Chứng minh. Giả sử 1 - dạng vi phân cần tìm  12 = 1 1   2 2
Khi đó

 12 U 1   11 U 1    2 2 U 1 

= 1
và  12 U 2    2
Để tìm  12 , ta cần tìm các hàm số 1 ,  2
Giả sử

 d1   . 1   2

d 2   .1   2

 d1 U 1 , U 2   

d 2 U 1 , U 2   

Ta lấy 1   ;  2   .
Khi đó:  12 =   1   2
Bây giờ ta kiểm tra hai điều kiện của  12 .Ta xét :
  21   2  1   2    2

= 1   2
= d1 .

15


 12  1   1   2    1

=  2   1
= 1   2

= d 2 .
n

1.8 - Định lý: Giả sử U i i 1 là trường mục tiêu trực chuẩn trong bản đồ U , 
n

n

của đa tạp M và  j j 1 là trường đối mục tiêu của U i i 1 . Khi đó
n

d j   i j   i
i 1

  là trường mục tiêu trực chuẩn trong bản đồ U , 

Chứng minh: Giả sử U j

của đa tạp M,  j là trường đối mục tiêu của U i  ; c  cij  là ma trận chuyển
n

 

từ U i  sang U j . Khi đó, U i   cij U J . Ta có
J 1

n
k
i

k

k

   (U i )   ( cij U J )
J 1

n

  cij k (U j ) nên  k (U j )   c 1 
i 1

n

k
j

n

k

k

Mà dx k (U j )   kj , suy ra  k    c 1  dx j . Từ đó, d k   d  c 1   dx j còn
j

j 1

n

n

k
j

j

   
j 1

n

Nhưng từ

1 k

 c 
1 k

c 

i

i 1

n

Do đó

i

i , j ,l 1

j 1

j

dcij   c 1  dxl .
l

n

i
j

k
j

c   suy ra

 d c

1 k



i 1

n

k

j

i

n

       c 1 i dcij   c1 l dxl
k
j

j 1

j

i , j ,l 1

16

k

c   d  c 1  dc ij  0.
i
j

i 1

i

j


n

k

   c 1   li  dxl
i

i ,l 1

n

k

   d  c 1  j  dx j   d k .
i ,l 1

U  yE1
1.9 - Ví dụ: Giả sử M là nửa phẳng Poincaré H. Với  1
là trường mục
U

yE
 2
2
tiêu trực chuẩn trên H; E1 , E2  là trường mục tiêu trực chuẩn trong R 2 . Ta tính
được   i j  của H là
dx 


0  y 

 
 dx

0
 y




 ,  với 
1

2

1



dx 2 dy
là trường mục tiêu U1 ,U 2  .
; 
y
y

Bây giờ ta giả sử  và  lần lượt là ma trận dạng liên kết trên M đối với hai





trường mục tiêu U1 ,U 2  và U1 ,U 2 trên M; C là ma trận chuyển từ U i  sang

U  , khi đó ta có định lý sau:
j

1.10 - Định lý: (công thức đổi mục tiêu)

  c  1 d c  c 1 c
n

n

n

Chứng minh: Với i  1,2,3,...  X U i   i j ( X )U j   i j ( X ) cijU k
j 1

j 1

n



k
j

 c .

i

j

( X ).U k

(1)

j , k 1

Mặt khác ta có:

 n k
 n
 X U i   X   c j .U j     X  cijU j 
 j 1
 j 1

17

k 1


n

n
j

  X ci  .U j   cij  X U j

j 1

j 1

n

n

  X cik  .U k 
k 1



k
j

( X )cijU k

(2)

j , k 1

Từ (1) và (2) ta có
n
j

n

j
i

 ci  ( X )  X cik   ik ( X ).cij
j 1

j 1

j

Hay cij . i ( X )  X cik   i j ( X ).cij

 c.  dc   c
   c 1dc  c 1 c
1.11 - Định nghĩa: Giả sử M là đa tạp khả song với trường mục tiêu U i  . Ta có
sự biểu diễn
n

UiU j    ijkU k , khi đó ijk  được gọi là thành phần liên thông của  đối với
k 1

trường mục tiêu U i  trên M.
1.12 - Mệnh đề.

i ) ijk  i j (U k )
ii ) ikj   k (UiU j )
Chứng minh.
n

i) Thật vậy, từ UiU j    ijkU k , ta suy ra
k 1

với mỗi l  1,2,..., n

 n

(UiU j )U l     ijkU k U l   iJl
 k 1


Mặt khác, với mỗi i  1,2,..., n ta có

 n k

(UiU j )U l     j (U i ).U k U l
 k 1


  ij (U i )

(2)

18

(1)


Từ (1) và (2), ta có ijk  i j (U k )
n

ii) Thật vậy từ sự biểu diễn UiU j    lijU l ta có
l 1

 n l  n l k
 (UiU j )      iJU l     iJ (U l )  iJk
 l 1
 l 1
k

k

19


CHƯƠNG II
ĐẠO HÀM CỦA TRƯỜNG VECTƠ DỌC ĐƯỜNG
CONG TRÊN ĐA TẠP RIEMANN 2 - CHIỀU

Trong suốt chương này, ta luôn kí hiệu  là một đường cong trên đa tạp
Riemann 2 – chiều M với bản đồ U  ,   và liên thông Lêvi – Civita  , được
xác định bởi tham số hoá  : J  M , t   t  ; trong đó  là ánh xạ khả vi và J
là một khoảng mở  a, b  trong R.
Một trường véc tơ X dọc  là việc đặt tương ứng với mỗi t  J với một véc
tơ tiếp xúc X  t   T ( t ) M . Ta nói X khả vi nếu và chỉ nếu X  ( t )   khả vi theo t,
với mọi  là hàm số khả vi dọc ; t  J .
Giả sử U 1 ,U 2  là trường mục tiêu trực chuẩn trên M, khi đó, rõ ràng trường
vectơ X (t) có sự biểu diễn X t   X 1 t .U 1 t   X 2 t .U 2 t  . Trường vectơ X (t) khả
vi nếu và chỉ nếu X 1 t  và X 2 t  là các hàm số khả vi. Từ đây, chúng ta chỉ xét
các trường vectơ X khả vi dọc đường cong  .
I. ĐẠO HÀM CỦA TRƯỜNG VÉC TƠ DỌC CUNG THAM SỐ.
2.1 - Định nghĩa : Đạo hàm của trường vectơ X tại điểm p    t0  dọc  là
một véctơ tại p , được kí hiệu


X
X (hay
) và được xác định bởi công
dt t
dt p
0

thức sau:

X
  X 1  t   X 2  t  .21     t    .U1  t    X 2  t   X 1  t  .12     t    .U 2  t 



dt t 
Trong đó  12 là dạng liên kết của M
0

2.2 - Ví dụ: M  R 2 và U1  E1 , U 2  E2 . Khi đó  ij  0,   D
Ta có đạo hàm dọc đường cong  của trường X (1 (t ), 2 (t )) là :

DX
dt

 1  t  . E1  t    2  t  . E2  t 
t0

20

Hay

DX (t )
 X '(t ); t  J .
dt

2.3 - Định lý : Đạo hàm của trường vectơ X tại t0 dọc  không phụ thuộc vào
việc chọn trường mục tiêu .
Để chứng minh định lý này ta cần sử dụng định lý 1.10 chương I:
Chứng minh:
Thật vậy, giả sử C : U  U .Trong đó U  U1 ,U 2  ; U  U 1 ,U 2 
và X  X 1 , X 2  ,  là ma trận dạng liên kết đối với cơ sở U
~
X  X , X  , ~ là ma trận dạng liên kết đối với cơ sở U
1

2

Ta xét :
    .X
  = UC   C -1X    C 1C   C 1 C  C 1 X  
U  X



= UC   C 1  X  C 1 X   C 1 C  C 1 X  C 1  X 






= U   C  C 1  X  X   C  C 1 X   X  



= U  X    X   U  C  C 1   C C 1  X



= U  X    X  U  C 1C  X

= U  X   X  .
Như vậy đạo hàm dọc  của X là đạo hàm thông thường đã biết trong R 2 .
Khi không để ý đến giá trị tại p của đạo hàm X thì ta viết


. Ta có định lý sau:
dt

2.4 - Định lý: Giả sử X, Y là các trường vectơ dọc  và  là hàm số khả vi trên
J. Khi đó ta có :
1.


X  Y  =
dt

X

dt

Y
dt

+

2.


X 
dt

=

 X

3.

d  X .Y 
dt

=

X
.Y +
dt

+ 

Y
dt

Y
X
dt

Chứng minh:
1. Giả sử X X i  ; Y Yi  đối với cơ sở trực chuẩn  U1,U 2 

21


Từ định nghĩa ta có :



 X  Y  =  X 1  Y1    X 2  Y2  .21     .U1
dt




+  X 2  Y2    X 1  Y1  .12     .U 2


  X 1  X 2.21 (  ')  .U 1   X 2  X 1.12     .U 2





 Y1  Y2 .21      .U 1 + Y2  Y1.12      .U 2






Vậy

X Y

dt
dt


X  Y 
dt

=

X
dt

Y
.
dt

+

2. Với X X i  đối với cơ sở trực chuẩn U 1 ,U 2  và  là hàm số khả vi trên J.
Ta có :


 X  =
dt
+

  X     X
1
2

  X
2




 

 .     .U
1
2



1

 X 1  .12     .U 2


=   X 1   X 1   X 2 .21      .U 1


+   X 2   X 2   X 1.12     .U 2


=  . X 1.U1  X 2 .U 2 
+   X 1  X 2 .21      .U 1


+   X 2  X 1.12      .U 2


= (   .X ) + 
Vậy :


X 
dt

=

Y
dt

 X

+ 

Y
dt

3. Giả sử X X i  ; Y Yi  đối với cơ sở trực chuẩn U 1 ,U 2 .Ta có :

22


X
Y
X
Y
.Y +
X =
.Y +
.X
dt
dt
dt
dt



=



 X   X . 1      .U   X   X . 2     .U .Y .U  Y .U 
2
2

1
1
1
1
2
2
 2
 1
 1  2

+



Y1  Y2 .21     .U1  Y2  Y1 .12      .U 2 . X 1.U1  X 2 .U 2 



=  X 1  X 2 .21      .Y1 + Y1  Y2 .21      . X 1




+  X 2  X 1.12      .Y2 + Y2  Y1.12      . X 2




= X 1.Y1 + Y1. X 1 + X 2.Y2 + Y2. X 2
+ X 2 .Y1.21     + Y2 . X 1.21    

+ X 2 .Y1.12    + Y2 . X 1.12   
=

d   X 1 , X 2  .Y1 ,Y2  
dt

 X .Y

+

1

2

 X 2 .Y1  12     +  X 1.Y2  X 2 .Y1  21   

=

d  X .Y 
+  X 1.Y2  X 2 .Y1  12       X 1.Y2  X 2 .Y1  12    
dt

=

d  X .Y 
dt
d  X .Y 
dt

Vậy

X
.Y +
dt

=

Y
X.
dt

Bây giờ ta giả sử rằng Z là một trường vectơ trong một bản đồ của M chứa
điểm p và  p là vectơ tiếp tuyến của đường cong  t  tại p  t     p . Dễ
thấy rằng  Z 
p

Z  t 
không phụ thuộc vào đường cong  t  .
dt t
0

2.5 - Định nghĩa: Với các trường vectơ Z, X trên M, trường véctơ

 X Z : p   X Z ; p  M , được gọi là đạo hàm thuận biến của Z theo X
p

2.6 - Định lý : Với   F  M  và X ,Y , Z  B  M  . Ta có :
a.

 X  Y Z   X Z  Y Z

23


b.

 X Z   X Z

c.

 X  Z  Z    X Z   X Z

d.

 X  Z   X   Z   X Z

e.

X  Z .Z     X Z  .Z  Z . X Z

Để chứng minh định lý 2.5, ta cần chứng minh bổ đề sau :
Bổ đề : Giả sử  p 1 ,  2   T p M là tiếp tuyến của  t  tại p   t   ; Z  1 , 2  là
trường vectơ dọc  . Khi đó :
 2 

 2 

Z    t 
   1 . i   2 .21  p   .U1  p     2 . i   1.12  p   .U 2  p 
 i 1 xi p


 i 1 xi p

dt
t




0

Chứng minh : Trong bản đồ U  đường cong  t  được biểu diễn

  t    x1  t  , x2  t   . Khi đó Z dọc  có tọa độ là
Z  1  x1  t  , x2  t   , 2  x1  t  , x2  t    .
Theo định nghĩa đạo hàm dọc cung của Z, ta có :
Z
=  1  t  |t  2  t  .21     t   U1  p  +  2  t  |t  1  t  .12     t   U 2  p 
dt t













0

 d  x  t  , x  t  

1
1
2
1

=
  2  t  .2     t    .U1  p 
dt


t


0

 d

+ 

2

 x  t  , x t 
1

2

dt




t0


  1  t  .12     t    .U 2  p 




  


=   1 .x1  t   1 .x2  t     2  t  .21     t   
  x1
x2

t




0



  

 2
2
2
 
.x  t  
.x2  t     1  t  .1     t   
  x1 1
x2

t


0



2

= 
 i 1



 2 

 1
. i   2 .21  p   .U1  p  +   2 . i   1.12  p   .U 2  p 


 i 1 xi p

xi p




24


Áp dụng bổ đề này, ta dễ dàng chứng minh được tính chất a, b, c của định lý.
Ta chứng minh tính chất d)
Ta có :

Z   1 ,  2  . Khi đó

 X  Z  | p   X  Z 
p



 Z    t 
dt
t

0



2

= 
 i 1

  1 

| p . X i   2 | p .21  X p   .U1  p 
xi


 2   2 

+ 
| p . X i   1 | p .12  X p   .U 2  p 
 i 1 xi



2


 
 
 1   1  | p . X i   2 | p .21  X p   .U1  p 
xi 
 i 1  xi



2



2



2

=   


 
 2 
2
2 
 | p . X i   1 | p .1  X p   .U 2  p 
xi 
 i 1  xi


+   


 
 
 1   2  | p . X i  . U i  p 
xi 
 i 1  xi


=   


 1
. X i   2 .21  X p   .U1  p 
 i 1 xi

p



+  

 2 

+    2 . X i   1.12  X p   .U 2  p 
 i 1 xi

p



= X p   Z  p  +



  p  X Z
p



; p  M

 X  Z  = X   Z +   X Z
Vậy
~
~
Cuối cùng ta kiểm tra tính chất e). Giả sử Z ~1 ,~2  . Khi đó Z .Z   1~1   2~ 2 .
Z .Z

2

Từ đó: X  Z .Z   p    X i  p 
|p

x
i 1
i
2
  11   2 2 
=  Xi  p
|p
xi

i 1

2
  1 ~
  2 ~

~1 
~2 



=  X i  p 
 1  1
 | p +  X i  p  x  2   2 x  | p (1)

x

x
i 1
i 1
i 
i 
 i
 i
2





Mặt khác :   X Z  Z | p   X Z Z p
p

25