Điều khiển vận tốc nhóm ánh sáng trong môi trường khí nguyên tử Rb dựa trên hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
------------

LÊ NGUYỄN MAI ANH

ĐIỀU KHIỂN VẬN TỐC NHÓM ÁNH SÁNG
TRONG MÔI TRƯỜNG
KHÍ NGUYÊN TỬ Rb DỰA TRÊN
HIỆU ỨNG TRONG SUỐT CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ

VINH 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
------ ------

LÊ NGUYỄN MAI ANH

ĐIỀU KHIỂN VẬN TỐC NHÓM ÁNH SÁNG
TRONG MÔI TRƯỜNG
KHÍ NGUYÊN TỬ Rb DỰA TRÊN
HIỆU ỨNG TRONG SUỐT CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ

CHUYÊN NGÀNH: QUANG HỌC
MÃ SỐ: 60.44.01.09

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ

Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. Đinh Xuân Khoa

VINH 2013


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm Khoa Vật lí,
Phòng Đào tạo Sau Đại học Trường Đại Học Vinh đã tạo điều kiện giúp đỡ
tốt nhất để tôi có môi trường nghiên cứu khoa học trong suốt khoá học.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS. TS. Đinh Xuân
Khoa, người đã định hướng và tận tình hướng dẫn để tôi hoàn thành luận văn.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo chủ nhiệm chuyên
ngành Quang học TS. Nguyễn Huy Bằng, cùng các thầy cô giáo Trường Đại
học Vinh đã giúp đỡ, giảng dạy và nghiên cứu sinh Lê Văn Đoài có nhiều ý
kiến đóng góp quý báu cho tôi trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận
văn.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình ba mẹ, chồng, con gái và bạn
bè đã luôn ủng hộ, giúp đỡ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong quá
trình học tập.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đối với Ban giám hiệu, Ban chủ
nhiệm Khoa Khoa Học trường Đại học Nông Lâm TPHCM cùng đồng nghiệp
đã đồng hành và tạo điều kiện giúp đỡ để tôi hoàn thành khóa cao học.
TP. Hồ Chí Minh, ngày 15 tháng 6 năm
2013
Tác giả


Chương 1......................................................................................................................6

LÝ THUYẾT LAN TRUYỀN ÁNH SÁNG TRONG MÔI TRƯỜNG.....................6

1.1. Sự dao động của nguyên tử theo mô hình cổ điển..............................6
1.2. Các phương trình Maxwell và các tính chất của môi trường............7
1.3. Mô hình Lorentz đối với độ cảm tuyến tính........................................8
1.4. Phương trình sóng và chiết suất phức.................................................9
1.5. Vận tốc pha và vận tốc nhóm.............................................................11
1.5.1. Vận tốc pha....................................................................................11
1.5.2. Vận tốc nhóm................................................................................11
1.6. Xung quang học lan truyền trong môi trường cộng hưởng.............12
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1...........................................................................................14
Chương 2....................................................................................................................15
ĐIỀU KHIỂN VẬN TỐC NHÓM ÁNH SÁNG TRONG MÔI TRƯỜNG KHI
NGUYÊN TỬ Rb DỰA TRÊN HIỆU ỨNG TRONG SUỐT CẢM ỨNG ĐIỆN TƯ
.....................................................................................................................................15

2.1. Phương trình ma trận mật độ của hệ nguyên tử ba mức.................15
2.1.1. Cấu hình Lamda............................................................................15
2.1.1.1. Phương trình ma trận mật độ cho hệ nguyên tử ba mức............15
2.1.1.2. Giải phương trình ma trận mật độ trong gần đúng cấp một :.....19
2.1.1.3. Độ cảm phức của môi trường.....................................................20
2.1.1.4. Hệ số hấp thụ và hệ số tán sắc....................................................22
2.1.1.5. Chiết suất nhóm và vận tốc nhóm..............................................22
2.1.2. Cấu hình bậc thang........................................................................23
2.1.2.1. Phương trình ma trận mật độ cho hệ nguyên tử ba mức............23
2.1.2.2. Giải phương trình ma trận mật độ trong gần đúng cấp một :....25
2.1.2.3. Độ cảm phức của môi trường.....................................................25
2.1.2.4. Hệ số hấp thụ và hệ số tán sắc....................................................26
1

2.1.2.5. Chiết suất nhóm và vận tốc nhóm..............................................26
2.1.3. Cấu hình chữ V..............................................................................27
2.1.3.1. Phương trình ma trận mật độ cho hệ nguyên tử ba mức............27
2.1.3.2. Giải phương trình ma trận mật độ trong gần đúng cấp một :.....28
2.1.3.3. Độ cảm phức của môi trường.....................................................29
2.1.3.4. Hệ số hấp thụ và hệ số tán sắc....................................................29
2.1.3.5. Chiết suất nhóm và vận tốc nhóm..............................................30
2.2. Điều khiển vận tốc nhóm.....................................................................31
2.2.1. Hiệu suất biến đổi độ trong suốt....................................................31
2.2.2. Điều khiển theo cường độ trường điều khiển................................33
2.2.3. Điều khiển theo độ lệch tần...........................................................40
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2...........................................................................................46
KẾT LUẬN CHUNG.................................................................................................47
PHỤ LỤC A...............................................................................................................48
CẤU TRÚC PHỔ NGUYÊN TỬ 87Rb VÀ CÁC HẰNG SỐ VẬT LÝ.................48
BẢNG SỐ LIỆU ĐƯỢC SỬ DỤNG [19].................................................................50
TÀI LIỆU THAM KHẢO..........................................................................................51
[18] Robert W. Boyd, "Slow" and "fast" light , Progress in Optics, vol 43, page 497530 (2002)...................................................................................................................52

MỞ ĐẦU
Trong một môi trường tán sắc, các sóng đơn sắc sẽ lan truyền với các
vận tốc khác nhau. Mỗi sóng đơn sắc lan truyền với vận tốc pha vp của nó,
còn xung thì lan truyền với một vận tốc gọi là vận tốc nhóm vg. Nghĩa là, vận
tốc nhóm là vận tốc truyền năng lượng (mang thông tin), được liên hệ với
r

r

vectơ Poynting S , còn vận tốc pha được liên hệ với vectơ sóng k . Như vậy

nói về ánh sáng "nhanh" hay "chậm" tùy thuộc vào giá trị của vận tốc nhóm "
vg " so với vận tốc ánh sáng " c ".

2


Trong những năm gần đây, điều khiển vận tốc nhóm ánh sáng đã thu
hút nhiều sự chú ý của các nhà khoa học trên thế giới. Một số kỹ thuật mới
đây được phát triển và điều khiển vận tốc nhóm ánh sáng có thể đạt đến ánh
sáng siêu chậm (vg<<c) [9-11], ánh sáng nhanh (vg>c hoặc vg< 0) [12], thậm
chí "lưu giữ" hay "làm dừng" ánh sáng [13,14]. Các kỹ thuật này đã dẫn đến
một hiện tượng luận vật lý mới và các ứng dụng đặc biệt của chúng chẳng hạn
như: lưu trữ dữ liệu quang học, xử lý thông tin lượng tử, phổ phân giải cao, bộ
nhớ quang, chuyển mạch quang học và các thiết bị thông tin quang...
Trong vật liệu quang học, sự thay đổi nhanh trong chiết suất gần miền
cộng hưởng sẽ dẫn đến vận tốc nhóm nhỏ. Tuy nhiên, sự hấp thụ mạnh cũng
khiến cho việc quan sát các hiệu ứng này trở nên khó khăn. Một số kĩ thuật đã
được đề xuất để kiểm nghiệm các hiện ứng ánh sáng chậm và nhanh gần đây
như: sự kích thích tán xạ Brillouin-SBS (Stimulated Brillouin Scattering) [22],
sự dao động mật độ cư trú kết hợp-CPO (Coherent Population Osillations)
[21], hoặc bằng sự trong suốt cảm ứng điện từ - EIT (Electromagnetically
Induced Transparency) [15] để điều khiển vận tốc nhóm ánh sáng. Đây là hiệu
ứng được đề xuất vào năm 1989 [15] và kiểm chứng thực nghiệm vào năm
1991 bởi nhóm nghiên cứu ở Stanford. Hiệu ứng này là kết quả của sự giao
thoa giữa các biên độ xác suất của các kênh dịch chuyển trong nguyên tử dưới
sự kích thích kết hợp của một hoặc nhiều trường điện từ dẫn đến sự trong suốt
của môi trường đối với một chùm quang học nào đó (gọi là “cửa sổ EIT”).
Ưu điểm của phương pháp dùng hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ là
có thể tạo ra môi trường có tính trong suốt cao và độ tán sắc lớn với chùm ánh
sáng có cường độ nhỏ cỡ vài trăm micro W/cm 2. Sử dụng kĩ thuật EIT, các thí

nghiệm gần đây đã làm chậm các xung ánh sáng tới một phần nhỏ của c.
Chẳng hạn, L. Hau và cộng sự đã quan sát ánh sáng được làm chậm tới 17 m/s
trong môi trường khí nguyên tử Cs dưới điều kiện ngưng tụ Bose-Einstien [9].
3


Sau đó, Kash và đồng nghiệp đã làm chậm ánh sáng tới 90 m/s trong hơi
nguyên tử Rb [10]. Các thí nghiệm này, sau đó được tinh chinh bởi Budker và
ánh sáng đã được làm chậm tới 8 m/s [12]. Và gần đây nhất, một số nhóm như
C. Liu [13] và đã làm dừng lại hoàn toàn một xung ánh sáng. Trong các thí
nghiệm của họ, thông tin được mang bởi ánh sáng đã được lưu trữ tạm thời
trong môi trường tán sắc, cho phép các nhà nghiên cứu tạo ra sau đó các xung
ánh sáng mang thông tin giống nhau với các mất mát rất nhỏ.
Gần đây sự ra đời của kỹ thuật làm lạnh nguyên tử bằng laser [17] đã
tạo ra môi trường các nguyên tử có độ kết hợp cao. Điều này tạo thuận lợi cho
quan sát các hiệu ứng giao thoa lượng tử đặc biệt là hiệu ứng trong suốt cảm
ứng điện từ trên các hệ nguyên tử lạnh theo các cấu hình kích thích khác nhau.
Cấu hình cơ bản để nghiên cứu hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ là
dựa trên hệ ba mức năng lượng được kích thích kết hợp bởi một chùm laser có
cường độ mạnh (được gọi là chùm liên kết) và một chùm có cường độ rất yếu
(gọi là chùm dò). Tùy theo sự sắp xếp của các kênh dịch chuyển giữa các
trạng thái nguyên tử người ta chia thành ba loại cấu hình kích thích: Λ, chữ V
+193 MHz

và hình thang như hình 1.
(a)

(b)

F” = 3

-72.9MHz

(c)

F” = 2

-229 MHz

2

ωc

3

2

3
2
ωp

ωp ω
c

52D5/2

F” = 1
-302 MHz

F” = 0

ωc

52P3/2

F’=2
22222
814.5 MHz
22
F’=1
0

1:
ωp V, (c) hình thang.
3 Hình
i. Các cấu hình kích thích trong hệ ba mức: (a) Λ, (b)
ii. Sơ đồ cấu trúc mức năng lượng siêu tinh tế của Rb trong dịch chuyển D1
1
1
1
87

(i)

52S1/2

F=2

6.834 GHz

F=1

(ii)

4


Điều khiển vận tốc nhóm ánh sáng bằng hiệu ứng EIT và tiềm năng ứng
dụng của ánh sáng chậm hay ánh sáng được làm "dừng lại" hiện đang được
nhiều nhóm tác giả trên thế giới quan tâm nghiên cứu cho các hệ nguyên tử ba
mức, bốn mức hay năm mức. Ở Việt Nam, trong những năm gần đây nhóm
nghiên cứu của trường Đại học Vinh đã tiến hành nghiên cứu hiệu ứng trong
suốt cảm ứng điện từ trong cấu hình 3 mức chữ V, Lamda, bậc thang [2] và
làm chậm vận tốc nhóm trong cấu hình nguyên tử lạnh Rb 87 cấu hình ba mức
[1]. Trên cơ sở những điều kiện thuận lợi ở trong và ngoài nước, chúng tôi
chọn "Điều khiển vận tốc nhóm ánh sáng trong môi trường khí nguyên tử
Rb dựa trên hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ" làm đề tài luận văn tốt
nghiệp của mình.
Mục đích của đề tài là nghiên cứu khả năng điều khiển vận tốc nhóm
ánh sáng trong môi trường nguyên tử 87Rb ba mức cấu hình bậc thang, lamda
và chữ V để nghiên cứu sự thay đổi công tua hấp thụ và công tua khúc xạ theo
độ lệch tần và cường độ của chùm laser liên kết. Chúng tôi giả thiết các
nguyên tử Rb trong mẫu được làm lạnh bằng laser và bẫy quang từ đến nhiệt
độ khoảng 100µK. Sự giả thiết này nhằm loại bỏ hiệu ứng Doppler và hiệu
ứng mở rộng vạch phổ do các quá trình va chạm dẫn đến tích thoát pha trong
nguyên tử.
Luận văn được trình bày trong hai chương có cấu trúc như sau:
Chương 1: Lý thuyết lan truyền ánh sáng trong môi trường
Chương này đề cập đến các tính chất của môi trường khi có sự lan
truyền của ánh sáng theo quan điểm cổ điển trên cơ sở các phương trình

Maxwell và mô hình Lorentz. Từ đó, dẫn ra các hệ thức cho chiết suất, chiết
suất nhóm, vận tốc pha và vận tốc nhóm.
Chương 2: Điều khiển vận tốc nhóm ánh sáng trong môi trường khí
nguyên tử Rb dựa hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ
5


Trong chương này, chúng tôi khảo sát sự tương tác giữa nguyên tử ba
mức cho ba cấu hình lambda, bậc thang, chữ V với hai trường laser: một
trường có cường độ mạnh (gọi là trường điều khiển) và một trường có cường
độ rất yếu (gọi là trường dò). Sự tương tác giữa nguyên tử với các trường laser
được mô tả theo phương trình Liouville cho các phần tử ma trận mật độ trong
gần đúng sóng quay và gần đúng lưỡng cực điện. Chúng tôi giải các phương
trình ma trận mật độ trong điều kiện dừng và tìm được các biểu thức: hệ số
hấp thụ, hệ số tán sắc và biểu thức vận tốc nhóm của trường dò theo các tham
số của hệ nguyên tử và của trường điều khiển. Từ đó, chúng tôi khảo sát khả
năng điều khiển vận tốc nhóm của chùm dò dựa vào các thông số của mỗi cấu
hình ba mức và so sánh hiệu quả làm giảm vận tốc nhóm trong các cấu hình
trên.
Chương 1
LÝ THUYẾT LAN TRUYỀN ÁNH SÁNG TRONG MÔI TRƯỜNG
1.1. Sự dao động của nguyên tử theo mô hình cổ điển
Chúng ta khảo sát chuyển động của điện tích được liên kết với hạt nhân
nặng, có thể được mô tả như một dao động tử điều hòa tắt dần. Trường điện từ
ngoài của ánh sáng tới có tác dụng như một lực cưỡng bức đối với các điện
tích và tuân theo các định luật của điện từ. Giả sử, biểu thức của điện trường
ánh sáng tới có dạng: E = E0exp(iωt) và lan truyền dọc theo trục z. Chuyển
động của điện tích có thể được biểu diễn bởi phương trình:
m

dx
d 2x
+ b + kx = qE0eiωt .
2
dt
dt

(1.1)

trong đó, m là khối lượng và q là điện tích của electron, b là hệ số tắt dần, k là
hệ số mô tả sự hồi phục của điện tử khi nó bị lệch khỏi vị trí cân bằng.
Nghiệm của phương trình (1.1), có dạng:
qE 0
eiωt
x(t ) =
.
.
m (ω0 2 − ω 2 + iγω )

(1.2)
6


trong đó γ =b/m và ω02 = k/m.
Nếu ta tính toán môđun của x(t) thì ta thu được một đường cong dạng
chuông và có giá trị cực đại tại tần số cộng hưởng ωr 2 = ω0 2 − (γ / 2) .

Hình 1.1. Li độ dao động x(t) của điện tử trong nguyên tử.

Theo cơ học cổ điển, lân cận tần số cộng hưởng thì có rất nhiều dao

động xảy ra. Trong vùng lân cận này, trường ánh sáng cộng hưởng với các
điện tích dao động và điện trường sẽ bị mất năng lượng do chúng bị hấp thụ.
1.2. Các phương trình Maxwell và các tính chất của môi trường
Sự lan truyền của ánh sáng trong môi trường được đặc trưng bởi các
phương trình Maxwell. Giả sử môi trường vật chất là đẳng hướng và tuân theo
định luật Ohm đối với sự dẫn điện. Các phương trình Maxwell là:

ur
ρ
,
∇. B = 0,
ε
ur
ur
ur
ur
ur
∂B
∂E
∇ ×E = − ,
∇× B = µσ E + µε .
(1.3)
∂t
∂t
ur
ur
Trong đó, E là véc tơ cường độ điện trường, B là véc tơ cảm ứng từ, ρ là mật
ur

∇. E =

độ điện tích, µ là độ từ thẩm, σ và ε là độ dẫn điện và độ điện thẩm của môi
trường. Độ từ thẩm, độ dẫn điện và độ điện thẩm của môi trường là các thông
số gắn liền với các tính chất của môi trường, các hằng số này thường phụ
thuộc vào các điều kiện nhiệt động của môi trường.
Rõ ràng có mối liên hệ giữa các tính chất quang và điện của môi
trường, vì tất cả các chất dẫn điện thì không trong suốt trong khi đó các vật
chất trong suốt thì đều là chất cách điện. Tuy vậy, sự trong suốt của các vật
liệu cách điện cũng bị ảnh hưởng bởi cấu trúc hạt trong vật chất, mà có thể
7


sinh ra một phần hoặc hoàn toàn không trong suốt. Với giả thiết này thì các
phương trình
Maxwell có dạng rút gọn
là:
ur
ur
∇. E = 0, ur
∇. B = 0,

ur
ur
∂E
∇× B = µε .
(1.4)
∂t ur
ur
Ở đây, các hệ thức tuyến tính giữa cảm ứng điện D và điện trường E và giữa
ur

uu
r
cảm ứng
từ
và
từ
trường
, được
mô tả như sau:
B
H
ur
ur
ur
uu
r
và
(1.5)
D = εE,
B = µH .
ur
∂B
∇× E = − ,
∂t

Trong trường hợp chất điện môi thì µ (độ từ thẩm) được lấy bằng giá trị

trong chân không µ0. Với quang học tuyến tính thì sự phân cực vi mô của hệ
ur

nguyên tử dưới tác
dụng của điện trường ngoài E được xác định bởi:
ur
r
(1.6)
P = ε0 χ E ,
ở đây, χ là độ cảm điện tuyến tính (mô tả các tính chất của vật chất), ε0 là độ
điện thẩm trong chân không.
Hằng số điện môi εr là tỷ số độ điện thẩm của môi trường ε và độ điện
thẩm chân không ε0. Độ từ thẩm tương đối µr là tỷ số của độ cảm từ µ và độ từ
thẩm trong chân không µo liên hệ với nhau theo công thức:
εr = ε/ε0 = (1 + χ),
µr = µ/µo = (1 + χm).

(1.7)

1.3. Mô hình Lorentz đối với độ cảm tuyến tính
Chúng ta suy ra công thức tán sắc cho độ cảm tuyến tính bằng cách
khảo sát mômen lưỡng cực cảm ứng mà electron sinh ra dưới tác dụng của
điện trường của trường ánh sáng tới. Mômen lưỡng cực vi mô p có dạng:
q2E0
eiωt
.
p = q.x(t) =
,
m (ω0 2 − ω 2 + iγω )

(1.8)

ở đây, ta đã thay nghiệm phức của x(t) trong phương trình (1.2). Trong mẫu

có N dao động tử trên một đơn vị thể tích thì sự phân cực vĩ mô P sẽ bằng
tổng của tất cả các mômen lưỡng cực vi mô của mỗi dao động tử trong mẫu:
P = Np = Nq.x(t) = ε0χE,
(1.9)
iωt
trong đó: E = E0e . Khi thay kết quả của (1.6) vào (1.9), thì ta được độ cảm
điện môi tuyến tính có dạng Lorentz:
8


Nq 2
1
χ = mε . (ω 2 − ω 2 + iγω ) .
0
0

(1.10)

Nếu tách phần thực và phần ảo của χ = χ' + iχ" ta được:
ω0 2 − ω 2
Nq 2
.
Re[χ] ≡ χ' = mε (ω 2 − ω 2 )2 + γ 2ω 2 ,
0
0

(1.11)

Nq 2
γω

Im[χ] ≡ χ" = mε . (ω 2 − ω 2 )2 + γ 2ω 2 .
0
0

(1.12)

Trong vùng lân cận tần số dịch chuyển nguyên tử ω0, tức là ω0 − ω
<<ω0,

khi

đó

ta

sử

dụng

phép

tính

gần

đúng:

ω0 2 − ω 2 = (ω0 − ω )(ω0 + ω ) ; 2ω0 (ω0 − ω ) và ω 2 ; ω0ω , ta có độ cảm tuyến tính

được lấy gần đúng:

ω0 2 − ω 2
ω0 − ω
Nq 2
Nq 2
.
χ' = mε (ω 2 − ω 2 )2 + γ 2ω 2 ≈ 2mε ω . (ω − ω )2 + (γ / 2)2 ,
0
0
0 0
0

(1.11')

Nq 2
γω
Nq 2
γ
.
χ" = mε (ω 2 − ω 2 )2 + γ 2ω 2 ≈ 4mε ω . (ω − ω ) 2 + (γ / 2) 2 .
0
0
0 0
0

(1.12')

1.4. Phương trình sóng và chiết suất phức
Sử dụng các phương trình Maxwell ta tìm được phương trình sóng cho
cả điện trường và từ trường lan truyền trong môi trường điện môi (độ dẫn điện
không được kể đến) có dạng:

ur
∂ 2 ur
∇ 2 E = µε 2 E ,
∂t

và

ur
∂ 2 ur
∇ 2 B = µε 2 B .
∂t

(1.13)

Tiếp theo, ta xác định chiết suất phức n dựa vào công thức (1.7), ta có:
c=

c0
1
1
=
=
,
εµ
ε r ε 0 µr µ0
ε r µr

(1.14)

1

với c0 = ε µ , suy ra n = ε r µr .
0 0
Đối với vật liệu không có từ tính thì µr rất gần 1 nên n ≈ ε r
Từ các phương trình (1.7) và (1.15), ta có:
n = 1+ χ ≈ 1 +

1
χ .
2

(1.15)
(1.16)

Vì độ cảm điện tuyến tính χ có dạng phức nên chiết suất n cũng có
dạng phức, bây giờ để làm rõ ý nghĩa vật lý của chiết suất phức, ta tách phần
9


thực và phần ảo của chiết suất: n = n' + in" (với n' và n" là các phần thực và
phần ảo của n: đặc trưng cho sự tán sắc và hấp thụ của môi trường) và thay q
= e, ta suy ra:
ω0 − ω
Ne 2
1
.
n' = 1 + χ' = 1 +
,
4mε 0ω0 (ω0 − ω )2 + (γ / 2) 2
2

(1.17)

Ne 2
γ /2
1
.
n'' = χ" =
.
4mε 0ω0 (ω0 − ω ) 2 + (γ / 2) 2
2

(1.18)

Ở đây, ta đã xét trong vùng lân cận của tần số dịch chuyển nguyên tử.
Tiếp theo, chúng ta tìm nghiệm của phương trình(1.13), có dạng:
i(

n'x
−ωt )
c

−

n "ω x
c

,
(1.19)
E ( x, t ) = E0e

.e
trong đó, c là vận tốc của ánh sáng trong chân không. Phương trình (1.19),
cho biết rằng, phần ảo n'' của chiết suất mô tả sự hấp thụ sóng điện từ của môi
trường. Sự hấp thụ sóng điện từ của môi trường tuân theo định luật Beer :
I = I 0 e −α z ,
(1.20)
trong đó I0 là cường độ của ánh sáng tới, z là khoảng cách mà sóng đi vào môi
trường, còn α là hệ số hấp thụ được tính bởi công thức:
2ω n ''
Ne 2
γ /2
α=
=
.
.
c
2mcε 0 (ω0 − ω ) 2 + (γ / 2) 2

(1.21)

Tại tần số cộng hưởng, tức là ω = ω0 thì độ hấp thụ lớn nhất và bằng:
α = α0 =

Ne 2
.
2cmε 0γ / 2

(1.22)

Khi đó, ta viết lại các hệ số tán sắc và hấp thụ:

n ' = 1+

cα 0 (ω0 − ω )(γ / 2)
,
2 (ω0 − ω ) 2 + (γ / 2) 2

(1.17')

α = α0.

(γ / 2) 2
.
(ω0 − ω ) 2 + (γ / 2) 2

(1.21')

Đồ thị liên hệ giữa các hệ số tán sắc và hấp thụ được mô tả trên hình sau:

10


Hình 1.2. Hệ số hấp thụ và tán sắc trong vùng lân cận tần số dịch chuyển ω0.

1.5. Vận tốc pha và vận tốc nhóm
1.5.1. Vận tốc pha
Khảo sát một sóng phẳng đơn sắc có tần số góc ω lan truyền trong một
môi trường có chiết suất n. Sóng này có thể được mô tả bởi phương trình [18]:
E ( z , t ) = Aei ( kz −ωt ) + c.c ,
(1.22)
trong đó k =

nω
.
c

(1.23)

Người ta định nghĩa vận tốc pha v p là vận tốc tại các điểm của hằng số
pha chuyển động qua môi trường. Theo phương trình (1.22), pha của sóng này
là:
φ = kz - ωt.
(1.24)
Khi các điểm của hằng số pha chuyển động được khoảng cách ∆z trong thời
gian ∆t thì pha cũng không thay đổi, nên từ phương trình(1.24), ta có:
k∆z = ω∆t .
(1.25)
∆z
,
∆t
ω c
vp = = .
k n

Như vậy, vận tốc pha: vp =

(1.26)

hoặc

(1.27)

1.5.2. Vận tốc nhóm
Chúng ta khảo sát sự lan truyền của một xung là sự chồng chất của
nhiều sóng qua một môi trường vật chất với tần số góc ω (xung là một bó
sóng bao gồm nhiều tần số rất sát nhau và rất gần với tần số ω). Chúng ta viết
lại pha của sóng này là [18],
11


φ=

nω
z − ωt .
c

(1.28)

Vì φ không thay đổi bậc nhất đối với ω, tức là: dφ/dω = 0.
Do đó:

ω z dn nz
+ −t = 0,
c dω c

(1.29)

mà z = vg.t vì vậy vận tốc nhóm vg được cho bởi :
c

dω

dn =
,
n +ω
dk
dω
c
hoặc vg = n ,
g
dn
trong đó: ng = n + ω
.
dω
vg =

(1.30)
(1.31)
(1.32)

gọi là chiết suất nhóm của môi trường đối với sóng điện từ có tần số ω.
Như vậy, rõ ràng nếu hệ số góc của miền tán sắc thường trên công tua
tán sắc càng lớn thì độ tán sắc dn/dω lại càng lớn. Do đó, chiết suất nhóm lớn
hay vận tốc nhóm có giá trị rất nhỏ so với vận tốc ánh sáng trong chân không.
Để xuất hiện miền tán sắc thường thì chúng ta phải làm giảm sự hấp thụ chùm
ánh sáng.
1.6. Xung quang học lan truyền trong môi trường cộng hưởng
Xét sự tán sắc của chiết suất xung quanh tần tần số cộng hưởng, khi đó
hệ số tán sắc có biểu thức: n' = 1 +

ω0 − ω
Ne 2

.
.
4mε 0ω0 (ω0 − ω ) 2 + (γ / 2) 2

(1.33)

Do đó chiết suất nhóm có dạng:
ω0 − ω
Ne 2
Ne 2 (ω0 − ω ) 2 − (γ / 2) 2
dn '
.
ng = n' + ω
= 1 + 4mε ω (ω − ω ) 2 + (γ / 2) 2 + 4mε . [(ω − ω )2 + (γ / 2)2 ]2
dω
0 0
0
0
0
Ne 2 (ω0 − ω ) 2 − (γ / 2) 2
≅ 4mε . [(ω − ω )2 + (γ / 2)2 ]2 .
0
0

(1.34)

Bây giờ, chúng ta xét các cực trị của hệ số tán sắc bằng cách lấy đạo hàm của
hệ số tán sắc theo tần số ω:

(ω0 − ω ) 2 − (γ / 2) 2

dn '
Ne2
=
.
,
dω 4mε 0ω0 [(ω0 − ω ) 2 + (γ / 2) 2 ]2

12

(1.35)


cho

dn '
= 0 , suy ra: (ω0 − ω ) = ± γ/2.
dω

Tức là hệ số tán sắc n' có cực đại và cực tiểu:
Ne2 1
'
nmax = 1 +
. = 1 + δ n max ,
2mε 0ω0 γ
'
nmin
=1−

trong đó δn

max

Ne2 1
. = 1 − δ n min ,
2mε 0ω0 γ

(1.36)
(1.37)

Ne 2 1
= 2mε ω . γ .
0 0

Khi đó, chúng ta có thể viết lại các hệ số tán sắc và hệ số hấp thụ:
n' = 1 +

(ω0 − ω )(γ / 2)
(ω0 − ω )(γ / 2)
Ne 2
δ n max .
.
,(1.38)
2
2 = 1 +
(ω0 − ω ) 2 + (γ / 2) 2
2mε 0ω0γ (ω0 − ω ) + (γ / 2)

2 Ne 2
(γ / 2) 2
2δ n max

(γ / 2) 2
.
α = 2mcε γ (ω − ω ) 2 + (γ / 2) 2 = c (ω − ω )2 + (γ / 2)2 .
0
0
0

(1.39)

Tương tự, đối với chiết suất nhóm, lấy đạo hàm hai vế của chiết suất
nhóm rồi cho bằng không, ta có hai nghiệm là: (ω0 − ω ) = 0 và (ω0 − ω ) =
3(γ / 2) . Tức là, chiết suất nhóm cũng có các giá trị cực đại và cực tiểu:

ωoδ n max
ng(min) = và
γ /2

ωoδ n max
ng(max) =
.
8(γ / 2)

(1.40)

Vận tốc nhóm ánh sáng lan truyền trong môi trường có dạng:
c

vg = n + ω dn ≈
dω

4cmε 0 [(ω0 − ω ) 2 + (γ / 2) 2 ]2
.
.
Ne 2
(ω0 − ω ) 2 − (γ / 2) 2

(1.41)

Khi độ lệch tần bằng không, (ω0 − ω ) = 0 thì vận tốc nhóm có biểu thức:
4cmε 0
(γ / 2) 2 .
2
Ne
Khi độ lệch tần, (ω0 − ω ) =

vg = -

vg =

(1.42)
3(γ / 2) thì vận tốc nhóm có biểu thức:

32cmε 0
(γ / 2) 2 .
Ne2

(1.43)

Thay số, ω0 = 5.1014Hz và γ = 109Hz [18] ta thấy chiết suất nhóm biến thiên
trong khoảng: -5.104 đến 5.104. Nghĩa là, vận tốc nhóm của xung ánh sáng có

thể nhỏ hơn rất nhiều lần vận tốc ánh sáng trong chân không (c), gọi là ánh
sáng chậm và có thể lớn hơn c hoặc thậm chí âm, gọi là ánh sáng nhanh.
13


Đồ thị hệ số hấp thụ, hệ số tán sắc và chiết suất nhóm có dạng như hình 1.3.
Ánh sáng chậm

Ánh
sáng
nhanh

Hình 1.3. Các công tua hệ số hấp thụ (hình a), hệ số tán sác (hình b) và chiết suất
nhóm (hình c) tại lân cận tần số cộng hưởng nguyên tử.

•

Dựa vào hình 1.3a, chúng ta thấy rằng công tua hấp thụ của chùm ánh

sáng khi đi qua môi trường nguyên tử có dạng Lorenzt và độ hấp thụ đạt cực
đại tại tần số cộng hưởng ω0. Phía ngoài tần số cộng hưởng có độ hấp thụ
giảm dần.
•
Dựa vào hình 1.3b, chúng ta cũng thấy rằng tại lân cận tần số cộng
hưởng có độ tán sắc dn/dω âm, đây được gọi là miền tán sắc dị thường còn
phía ngoài vùng cộng hưởng có độ tán sắc dương, gọi là miền tán sắc thường.
•
Dựa vào hình 1.3c, tương ứng với miền tán sắc dị thường trên công tua
tán sắc thì trên công tua chiết suất nhóm đó là miền có chiết suất nhóm âm, có
cực trị tại tần số cộng hưởng và là miền ánh sáng nhanh. Tương ứng với miền

tán sắc thường là miền có chiết suất nhóm dương và là miền ánh sáng chậm.
Như vậy, đối với một hệ nguyên tử nhất định với một chùm ánh sáng
thì chúng ta rất khó điều khiển độ tán sắc của môi trường. Để khắc phục khó
khăn này thì chúng ta sẽ khảo sát hệ nguyên tử ba mức được kích thích bởi hai
chùm laser, một chùm có cường độ yếu và một chùm có cường độ mạnh.
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

14


Trên cơ sở lý thuyết cổ điển lan truyền ánh sáng trong môi trường điện
môi, chúng tôi đã rút ra được các hệ thức hấp thụ, tán sắc của môi trường và
các hệ thức chiết suất nhóm và vận tốc nhóm. Chúng tôi thấy rằng, tại lân cận
tần số cộng hưởng nguyên tử thì sự hấp thụ của môi trường đối với xung ánh
sáng là lớn nhất, đồng thời tại lân cận này là miền tán sắc dị thường có độ tán
sắc dn/dω lớn và âm, và do đó đây là miền ánh sáng nhanh. Phía ngoài tần số
cộng hưởng có độ hấp thụ giảm dần, là miền tán sắc thường, có độ tán sắc
dn/dω lớn và dương, đây là miền ánh sáng chậm.
Chương 2
ĐIỀU KHIỂN VẬN TỐC NHÓM ÁNH SÁNG TRONG MÔI TRƯỜNG
KHÍ NGUYÊN TỬ Rb DỰA TRÊN HIỆU ỨNG TRONG SUỐT
CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ
2.1. Phương trình ma trận mật độ của hệ nguyên tử ba mức
2.1.1. Cấu hình Lamda
2.1.1.1. Phương trình ma trận mật độ cho hệ nguyên tử ba mức
Xét một hệ nguyên tử 87Rb ba năng lượng cấu hình lambda như hình:
5P3/2 F’=2

ωc

2
ωp

Hình 2.1. Sơ đồ ba mức năng lượng cấu hình Lambda của nguyên tử 87Rb.

3

5S F=2

1/2
Trong đó, một chùm laser
mạnh điều hưởng dịch chuyển
1 giữa các mức

5S1/2 F=1

3 ↔ 2 , 5S1/2 , F = 2 → 5 P3/2 , F ' = 2 ; một chùm laser dò yếu điều hưởng dịch

chuyển 1 ↔ 2 , 5S1/2 , F = 1 → 5P3/ 2 , F ' = 2 .
15


Đặt

∆ p = ω p − ω21 là độ lệch tần của chùm dò,

∆ c = ωc − ω32 là độ lệch tần chùm điều khiển.

Sự tiến triển theo thời gian của các trạng thái lượng tử dưới sự kích
thích kết hợp của chùm laser dò và laser liên kết có thể được mô tả thông qua

ma trận mật độ bởi phương trình Liouville [4]:
d ρˆij

i
= − [ Hˆ , ρˆ ]ij + (Λρˆ )ij .
dt
h

Hay

i
i
ρ&(jjn ) = − [H 0 , ρ ( n ) ] − [H1 , ρ ( n −1) ]+ ∑ γ ji ρii( n ) − ∑ γ ij ρ (jjn )
h
h
Ei > E j
Ei < E j
i
i
ρ&ij( n ) = − [H 0 , ρ ( n ) ] − [H1 , ρ ( n −1) ] − γ ij ρij( n )
h
h

(2.1)

Trong đó:
là ma trận mật độ cho hệ nguyên tử ba mức năng lượng [4] và được
ρˆ
•
biểu diễn dưới dạng ma trận 3 × 3 :

 ρ11
ρ =  ρ 21
 ρ31

ρ12
ρ 22
ρ32

ρ13 
ρ23 
ρ33 

(2.2)

Các phần tử nằm trên đường chéo ρii (i = 1, 2,3) cho ta xác suất tìm thấy
hạt ở trạng thái i , do đó

3

∑ρ
i =1

ii

= 1 . Các phần tử nằm ngoài đường chéo ρij (

i ≠ j ) cho ta xác suất dịch chuyển từ trạng thái i đến trạng thái j và phải

thỏa mãn điều kiện tự liên hợp ρij = ρ ji ,
Hˆ là Haminton toàn phần của hệ ba mức và được xác định bằng: Hˆ = Hˆ 0 + Hˆ I ,

*

Hˆ 0 là Haminton của nguyên tử tự do được xác định theo công thức :
Hˆ = hω 1 1 + hω 2 2 + hω 3 3
0

1

2

3

0
0 
 hω1


và dạng ma trận của nó là: Hˆ 0 =  0 hω2 0  .
 0
0
hω3 
Trong gần đúng lưỡng cực điện, Hˆ I được xác định: Hˆ I = − µˆ .E%,

16

(2.3)
(2.4)
(2.5)

các thế năng tương tác có dạng:
Vc = - µ .Ec.cos(ωct) ,
(2.6)
µ
Vp = - .Ep.cos(ωpt) .
(2.7)
Hˆ I là Hamiltonian tương tác giữa hệ nguyên tử ba mức và hai trường laser
trong gần đúng sóng quay. Đối với dịch chuyển giữa các trạng thái i và j
thì mômen lưỡng cực được cho bởi:
µ = µ mn( j i + i j ) .
(2.8)
Trong đó: i j là toán tử nâng (sinh) tác dụng vào trạng thái i nâng nguyên
tử lên trạng thái j ;
j i là toán tử hạ (hủy) tác dụng vào trạng thái j đưa nguyên tử
trở về trạng thái i .
3

H I = − ∑ µij Eij ( i

j + i

i ≠ j =1

Hay H I = −

hΩ p

(1

2e

− iω p t

j ) = −d 21E p ( 1 2 + 2 1 ) − d 32 Ec ( 2 3 + 3 2 ) ,

+ 2 1e

iω p t

) − hΩ2 ( 3
c

)

2 e − iωc t + 2 3 eiωct .

2
Ω
Trong đó, p = d 21 E p / h là tần số Rabi của chùm dò,
Ω c = d32 Ec / h là tần số Rabi của chùm điều khiển.
h


− iω t
0
− Ω pe p
0


2



h
h
iω p t
iωc t 

ˆ
0
− Ωc e
Và dạng ma trận: H I =  − Ω p e
.
2
2


h


0
− Ωc e − iωct
0


2

(2.9)

(2.10)

Do đó, Haminton toàn phần có dạng ma trận:

 hω1

h
iω t
ˆ
H = − Ω pe p
 2


0


h
− iω t
− Ω pe p
2
hω2
h
− Ωc e − iωct
2




h
iωc t 
− Ωce
 ,

2

hω3 

0

17

(2.11)


Λρˆ được đưa vào một cách hiện tượng luận để đặc trưng cho cho các quá

trình tích thoát (do phân rã tự phát, do va chạm…) của nguyên tử. Nó được
xác định như sau:

( Λρˆ ) ij = γ ij ρij ( i ≠ j ) ,
( Λρˆ ) ii = ∑ Γij ρ jj − ∑ Γ ji ρii .
E j > Ei

(2.12)

E j < Ei

Các số hạng phân rã:

Λρ = Γ 32 L32 ρ + Γ 21 L21 ρ

(2.13)

Trong đó:
Γ ji là tốc độ phân rã tự phát của mức j về mức i .

γ nm là tốc độ tắt dần của độ kết hợp ρ nm và có mối liên hệ với tốc độ

phát xạ tự phát như sau :
 1
1
γ ij =  ∑ Γik + ∑ Γ jl ÷ = ( Γi + Γ j ) .
(2.14)
÷ 2
2  Ek < Ei
El < E j

Trong đó: Γ i là tốc độ phân rã tự phát xuống các mức thấp hơn và Γ1 = 0 vì 1

là trạng thái cơ bản
Lij ρ =

1
(2.15)
(2σ ji ρσ ij − σ ijσ ji ρ − ρσ ijσ ji ),
2
j là toán tử mật độ nếu i = j và là toán tử lưỡng cực nếu i ≠ j .

với σ ij = i
Các số hạng phân rã viết dưới dạng ma trận:
 −Γ 21 ρ 22 − Γ 31 ρ33

Λρˆ = 

−γ 21 ρ 21

−γ 31 ρ31


−γ 21 ρ12
−Γ 21ρ 22 − Γ 32 ρ 22
−γ 32 ρ32



−γ 32 ρ 23
.
−Γ 31 ρ33 + Γ 23 ρ 22 
−γ 31 ρ13

(2.16)

Thay (2.2), (2.11) và (2.16), vào phương trình (2.1), ta thu được một hệ 3 × 3 .
Tuy nhiên, do toán tử mật độ là toán tử hermite và tính đủ của các hàm riêng
nên ta có thể rút về thành hệ phương trình cho phần tử ma trận như sau:
ρ&21 = i ρ 21 (ω1 − ω2 ) +

iΩ p

2
iΩ p

e

iω p t

( ρ11 − ρ 22 ) +

iΩc
ρ31eiωc t − γ 21 ρ 21 ,
2

iΩc iωct
e ρ 21 − γ 31 ρ31 ,
2
2
iΩ − iω t
iΩ
ρ&32 = i ρ32 (ω2 − ω3 ) − p e p ρ31 + c eiωct ( ρ 22 − ρ33 ) − γ 32 ρ32 .
2
2

ρ&31 = i ρ31 (ω1 − ω3 ) −

e

− iω p t

ρ32 +

Vì các phần tử ma trận biến thiên chậm nên chúng ta có thể đặt:
18

(2.17.1)

(2.17.2)
(2.17.3)


ρ21 = ρ%
21e

iω p t

(2.18.1)
ρ31 = ρ%
,
(2.18.2)
31e
iω t
ρ32 = ρ%
.
(2.18.3)
32 e
Sử dụng các độ lệch tần, trong đó ∆c=ωc - ω32 và ∆p=ωp - ω21 là độ lệch tần của
,

i (ω p −ωc ) t
c

*
trường liên kết và trường dò. Ta đã sử dụng các tính chất ρij = ρ ji và viết lại

các phương trình ma trận mật độ:

iΩ p
iΩ
%
%
%
ρ&
( ρ11 − ρ 22 ) + c ρ%
21 = i ρ 21∆ p +
31 − γ 21 ρ 21 ,
2
2
& = i ρ% (∆ − ∆ ) − iΩ p ρ% + iΩc ρ − γ ρ% ,
ρ%
31
31
p
c
32
21
31 31
2
2
iΩ p
iΩ c
%
%
ρ&
=
i
ρ

∆
−
ρ%
( ρ 22 − ρ 33 ) − γ 32 ρ%
32
32 c
31 +
32 .
2
2

(2.19.1)
(2.19.2)
(2.19.3)

(1)
2.1.1.2. Giải phương trình ma trận mật độ trong gần đúng cấp một ρ% :
21

Ban đầu khi chưa có trường ngoài, giả sử tất cả các nguyên tử khảo sát
đều ở trạng thái 1 , tức là độ cư trú của nguyên tử ở các trạng thái kích thích
(0)
(0)
(0)
sẽ nhỏ hơn rất nhiều so với trạng thái cơ bản, nghĩa là ρ , ρ << ρ hay
33

22

11

(0)
(0)
(0)
(0)
ρ11(0) = 1 , ρ22
= ρ33
= 0 và ρ31
= ρ 21
=0.

Từ các phương trình (2.19.1), (2.19.2), (2.19.3), ta có các phần tử ma
trận của độ liên kết giữa các mức:
(1)
0 = i ρ%
∆p +
21
(1)
0 = i ρ%
∆c −
32

0=−

iΩ p
2

iΩ p

2

iΩ p

2

(1)
ρ%
32 +

iΩ c (1)
(1)
ρ%
− γ 21 ρ%
,
31
21
2

(2.20.1)

iΩc (0)
(0)
(1)
( ρ%
− ρ%
) − γ 32 ρ%
,
22
33
32
2

(2.20.2)

( ρ 11(0) − ρ 22(0) ) +

ρ%(1) +
31

iΩc (1)
(1)
(1)
ρ 21 + i ρ%
( ∆ p − ∆ c ) − γ 31 ρ%
31 .
31
2

(2.20.3)

Áp dụng gần đúng trường yếu, cường độ trường dò (cỡ µW) được giả
thiết là rất bé so với trường điều khiển (có cỡ mW). Nghĩa là, biên độ của
trường dò Ep rất bé so với biên độ trường điều khiển Ec. Do đó, chúng ta có

19


thể bỏ qua các số hạng

iΩ p
2

(1)
ρ%
[trong phương trình (2.20.2)] và
31

phương trình (2.20.3)].

iΩ p

Từ phương trình (2.20.1), suy ra: ρ (1) = 2

( ρ 11(0) − ρ 22(0) ) +

21

Từ phương trình (2.20.2), suy ra:

ρ 31(1)

iΩc (1)
ρ
2 21
=
.
γ 31 − i (∆ p − ∆ c )

Thế (2.20.2) vào (2.20.1), ta được :
iΩ p
2

ρ 21(1) =

( ρ 11(0) − ρ 22(0) )

γ 21 − i∆ p +

4
γ 31 − i (∆ p − ∆ c )

2

(1)
ρ%
[trong
32

(2.21)
(2.22)

iΩ p
2

=

Ω 2c

γ 21 − i∆ p

iΩ c (1)

ρ%
2 31 .

iΩ p

γ 21 − i∆ p +

Ω 2c

.

(2.23)

4
γ 31 − i(∆ p − ∆ c )

2.1.1.3. Độ cảm phức của môi trường
r

Sự phân cực toàn phần P của môi trường có N nguyên tử trên một đơn
r

vị thể tích đối với trường laser dò và có mômen lưỡng cực d liên kết hai mức
r
r
i và j , được cho bởi: P = N d .

(2.24)

1

− iω t
iω t
ε0E( χ e p + χ * e p ),
2
r
iω t
− iω t
mà
< d > = dij(ρij + ρji ) = dij( ρ ji e p + ρije p ).
1
iω t
− iω t
− iω t
iω t
Do đó: Nd 2 ij( ρ ji e p + ρije p ) = - ε0ħΩp( χ e p + χ * e p ).
2

Trong đó, giả sử :

P=

(2.25)
(2.26)
(2.27)

Cân bằng các hệ số của e −iω t ta được độ cảm của môi trường đối với chùm dò:
p

χ =2

Nd 2ij

ε 0 hΩ p

ρij .

(2.28)

Phân tích χ thành các phần thực và phần ảo:
χ = χ' + iχ",
(2.29)
với ε 0 là hằng số điện của chân không, χ là độ cảm điện môi có phần thực là χ '
liên hệ với hệ số khúc xạ n của môi trường và phần ảo χ " liên hệ với hệ số
hấp thụ α .

20


Trong đó, phần thực χ’ liên quan đến sự tán sắc (chiết suất tuyến tính)
còn phần ảo χ” liên quan đến sự hấp thụ của môi trường đối với chùm dò. Sự
tán sắc liên quan đến vận tốc nhóm ánh sáng và sự hấp thụ liên quan đến hiệu
ứng trong suốt cảm ứng điện từ. Chúng ta thấy rằng, các phần thực và phần ảo
phụ thuộc vào độ lệch tần và cường độ (hay tần số Rabi) của chùm điều khiển,
đây là cơ sở để chúng tôi nghiên cứu điều khiển vận tốc nhóm ánh sáng theo
các thông số của trường điều khiển, tức là chúng tôi có thể tìm được các thông
số mà tại đó vận tốc nhóm ánh sáng, vg << c hay vg < 0.
Ở đây “Re( ρij )”và “Im( ρij )” tương ứng chi là phần thực và phần ảo của
phần tử ma trận mật độ ρij . Bằng một số phép biến đổi giải tích ta tìm phần
thực và phần ảo của ρ21 từ phương trình (2.23). Ta suy ra:
ρ 21(1)

 Ωp 

Ω 2c
Ω p  Ω 2c
2
2
2
( ∆ p − ∆ c ) − ∆ p (∆ p − ∆ c ) − γ 31∆ p  + i
γ 31 + γ 21 (∆ p − ∆ c ) 2 

γ 21γ 31 +
2  4
2 
4

 ,
=
2 2

Ω 
2
γ 21γ 31 − ∆ p (∆ p − ∆ c ) + c  + γ 21 (∆ p − ∆ c ) + γ 31∆ p 
4 


Ω p Ω 2c
[ (∆ p − ∆ c ) − ∆ p (∆ p − ∆ c ) 2 − γ 312 ∆ p ]
2 4
Re( ρ 21(1) ) =

,
Ω 2c 2
2
[γ 21γ 31 − ∆ p (∆ p − ∆ c ) + ] + [γ 21 (∆ p − ∆ c ) + γ 31∆ p ]
4
2
Ω
Ωp
[γ 21γ 312 + c γ 31 + γ 21 (∆ p − ∆ c )2 ]
2
4
Im( ρ 21(1) ) =
.
Ω 2c 2
[γ 21γ 31 − ∆ p (∆ p − ∆ c ) + ] + [γ 21 ( ∆ p − ∆ c ) + γ 31∆ p ]2
4

(2.30)

(2.31)

Phân tích χ thành các phần thực và phần ảo:
Nd 2 21
′
χ
=
Phần thực
ε 0h

Ω 2c

4

(∆ p − ∆ c ) − ∆ p (∆ p − ∆ c ) 2 − γ 312 ∆ p

[γ 21γ 31 − ∆ p (∆ p − ∆c ) +

21

Ω2c
4

,

] + [γ 21 (∆ p − ∆ c ) + γ 31∆ p ]
2

2

(2.32)


Nd 2 21
′′
χ
=
Phần ảo
ε 0h

γ 21γ 31 +
2

Ω2c
4

[γ 21γ 31 − ∆ p (∆ p − ∆ c ) +

γ 31 + γ 21 (∆ p − ∆ c ) 2
Ω 2c

] + [γ 21 (∆ p − ∆ c ) + γ 31∆ p ]
2

4

.

(2.33)

.

(2.34)

.

(2.35)

2

2.1.1.4. Hệ số hấp thụ và hệ số tán sắc
Hệ số hấp thụ được cho bởi biểu thức [20]:

•
2
ω p χ '' ω p Nd 21
=
α=
cε 0 h
c

γ 21γ 31 +
2

Ω 2c
4

[γ 21γ 31 − ∆ p (∆ p − ∆ c ) +

γ 31 + γ 21 (∆ p − ∆ c ) 2
Ω2c
4

] + [γ 21 (∆ p − ∆ c ) + γ 31∆ p ]
2

2

Hệ số tán sắc được cho bởi biểu thức [20]:
•
2
ω p χ ' ω p Nd 21
=

β=
2cε 0 h
2c

Ω2c
4

(∆ p − ∆ c ) − ∆ p (∆ p − ∆ c ) 2 − γ 312 ∆ p

[γ 21γ 31 − ∆ p (∆ p − ∆ c ) +

Ω 2c
4

] + [γ 21 (∆ p − ∆ c ) + γ 31∆ p ]
2

2

Trong đó, c là vận tốc ánh sáng trong chân không.
2.1.1.5. Chiết suất nhóm và vận tốc nhóm


Vận tốc nhóm của xung ánh sáng truyền qua môi trường nguyên tử ba
c

c

c

mức [4]: vg = n + ω dn = n + ω dn = n ,
p
p
g
dω p

d∆p

1
χ': là chiết suất của môi trường và
2
dn
dn
ng = n + ω p d ω ≈ ω p d ω : là chiết suất nhóm.
p
p

(2.36)

trong đó n = 1 +

(2.37)

Trong cấu hình lambda ba mức, các biểu thức tường minh của chiết
suất nhóm và vận tốc nhóm có dạng:
Chiết suất nhóm:
•

22