Đa diện lồi trong Rn Luận văn thạc sĩ toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

VŨ THÚY NGA

ĐA DIỆN LỒI TRONG R n

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN, 2013

-1-


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

VŨ THÚY NGA

ĐA DIỆN LỒI TRONG R n
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Hình học – Tôpô
Mã số: 60.46.10
Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS.PHẠM NGỌC BỘI
NGHỆ AN, 2013

-2-

LỜI MỞ ĐẦU
Hình học lồi có nguồn gốc từ giữa thế kỷ thứ 19. Nhưng trong vài thập niên gần
đây thì hình học lồi trở thành một trong những nhánh của hình học đương đại sống
động nhất. Trong suốt chiều dài phát triển mạnh mẽ của hình học làm cho hình học
lồi trở thành một lĩnh vực độc lập, như một ngành trung tâm của hình học tô pô. Sau
các kết quả đầu tiên của H.Minkowski (1910) về tập lồi và hàm lồi thì đã thu hút
được sự quan tâm của nhiều nhà toán học như : C.Caratheodory, W..Fench,
J.J.Moreau, W.V.Jensen, ……
“Hình học Euclide” được biết đến từ xa xưa trong các tác phẩm “Nguyên lý”
của Euclide (330 – 275 tr.CN). Trải qua nhiều thế kỷ, loài người đã hoàn thiện môn
khoa học này và nó đã được gọi với cái tên mới: “Hình học sơ cấp”.
Một trong các khái niệm quan trọng, làm nền tảng để xây dựng lên các hình
hình học cũng như làm nền tảng để xây dựng độ đo, tính toán là đa diện lồi. Trên
cơ sở tìm hiểu một số tài liệu tham khảo có thể có được trong điều kiện hiện nay,
chúng tôi tìm hiểu, hệ thống một số vấn đề về các đa diện lồi trong R n .
Nội dung luận văn gồm 2 chương.
Chương I. Kiến thức cơ bản. Trong chương này, tôi trình bày các vấn đề tổng
quan về không gian Euclide và các tập con của nó.
Chương II. Đa diện lồi trong Rn. Trong chương này, trước tiên tôi trình bày các
khái niệm cơ bản liên quan đến đa diện lồi trong không gian R n và một số tính chất
của đa diện lồi trong không gian Rn
Luận văn được hoàn thành tại Khoa Sau đại học Trường Đại học Vinh, dưới sự
hướng dẫn khoa học, tận tình, chu đáo của thầy giáo PGS.TS.NGƯT. Phạm Ngọc
Bội. Nhân dịp hoàn thành luận văn, chúng tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới
các thầy giáo trong tổ Hình học đã giảng dạy và chỉ dẫn tận tình trong quá trình học

-3-


tập và nghiên cứu. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong Khoa

Toán, Phòng Sau đại học, Trường Đại học Vinh, các bạn bè và gia đình đã tạo điều
kiện cho tác giả hoàn thành luận văn này.
Mặc dù đã có cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót.
Tôi mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn
thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Vinh, tháng 9 năm 2013
Tác giả

Vũ Thúy Nga

-4-


BẢNG KÝ HIỆU
ñ( x,A) : khoảng cách giữa điểm x và tập A
clA : clA : bao đóng của tập A.
( A)ε : ε − bao của A.
bd(A): biên của tập A.
diam A: đường kính của tập hợp A.
aff(A): bao affine của tập A.

relbd(A) : biên tương đối của tập A.
conv(A): bao lồi của tập A
ext(A): tập tất cả các điểm cực biên của tập A.
int(A): phần trong của tập A

[ a, b] : đoạn thẳng có các mút là a, b
ñH ( A,B ) : khoảng cách Hausdorff giữa hai tập A, B.

C( X ) : Họ tập con khác rỗng, đóng bị chặn của không gian metric ( X , ñ) .
C n : Họ tất cả các tập con khác rỗng, compact của Rn
( xk ) k Î N Î Pk¥=1Ek : dãy ( xk ) k Î N được chọn sao cho xk Î E k .
Ð(v,u ) : Góc giữa hai vectơ v và u.
H+ , H- : Các nửa không gian xác định bởi siêu phẳng H.

-5-


CHƯƠNG I. Kiến thức cơ bản
Cho X là tập khác rỗng. Hàm ñ : X

x

X ® R+ , được gọi là một metric nếu

thỏa các điều kiện sau :
(*)

ñ( x, y ) ³ 0;ñ( x, y ) = 0 nếu và chỉ nếu x = y,

(**)

ñ( x, y ) = ñ( y,x),

(***)

ñ( x, y ) + ñ( y,z ) ³ ñ( x,z ).

Khi đó ( X,ñ) được gọi là một không gian metric.

1.1 Khoảng cách giữa điểm và tập hợp
1.1.1. ĐỊNH NGHĨA
Với mọi tập con A khác rỗng của X và x ∈ X
Đặt ñ( x, A) := inf{ñ( x,a ) | a Î A}.
Khi đó ñ(x, A) được gọi là khoảng cách giữa điểm x và tập A.
1.1.2. MỆNH ĐỀ
Hàm số ñ( ·, A) : X ® R + là liên tục.
Chứng minh:
Cho x = limxk . Theo tính chất bất đẳng thức tam giác (điều kiện (***) ở
trên ) và theo tính chất cận trên :

- ñ( xk ,x) + ñ( x, A) ££ñ( xk , A)
Do vậy ñ( x, A) = limñ( xk , A).
1.1.3. MỆNH ĐỀ

ñ( x, A) = ñ( x,clA).
Chứng minh:
Từ A ⊂ clA , ta suy ra ñ( x, A) ³ ñ( x,clA).

-6-

ñ( xk ,x) + ñ( x, A).


Vì thế, chỉ cần chứng minh rằng

a Î clA , ñ( x, A) £ ñ( x,a ).

(1.1)

Nếu a Î clA , thì a = lim ak với dãy (ak ) k Î N trong A
do đó ñ( x, A) £ ñ( x,ak ), " k
Cho qua giới hạn khi k ® ¥ , theo 1.1.2 ta có được (1.1).

,

1.1.4. MỆNH ĐỀ

ñ( x, A) = 0 ÛÎ x

clA.

1.1.5. ĐỊNH NGHĨA
Với mỗi A ⊂ X và ε > 0 , đặt ( A) ε := {x ΣX | ñ( x, Aε)

}

Tập ( A) ε được gọi là ε-bao của A hay hình cầu suy rộng của A.
1.1.6. MỆNH ĐỀ
Với mọi tập con khác rỗng A,B Ì X và δ, ε > 0 , nếu A Ì B thì

( A) ε Ì ( B ) ε và (( A)δ ) ε Ì ( A) δ+ε .
1.1.7. MỆNH ĐỀ

{a}ε .
Nếu A là tập compact thì ( A) ε = aU
Î A
Bao hàm ⊂ đúng do tính compact của A, trong khi bao hàm ⊃ là hiển
nhiên đúng với mọi A.

Tập {a}ε là mặt cầu tâm a bán kính ε; kí hiệu B (a, ε) ( hoặc B X (a, ε) ).
1.1.8. ĐỊNH NGHĨA
Tập con A của X được gọi là bị chặn nếu tồn tại cận trên của tập

{ñ( x, y ) | x, y Î A} .
Cận trên đúng của tập này được gọi là đường kính của A ; kí hiệu : diamA.
1.1.9. MỆNH ĐỀ
Với mọi A ⊂ X các tính chất sau là tương đương :
(i)

A bị chặn

-7-


(ii) $ε > 0, $x Î X, A Ì B X ( x, ε ).
1.1.10. ĐỊNH NGHĨA
Với bất kì hai không gian metric ( X , ñ) và ( X' , ñ') , ánh xạ f : X ® X ¢
là một phép nhúng đẳng cự ( đối với ñ và ñ ' ) nếu " x, y Î X :

ñ¢( f(x), f(y)) = ñ(x, y)

(1.2)

Phép nhúng đẳng cự toàn ánh được gọi là phép đẳng cự. Khái quát hơn, f
toàn ánh là đồng dạng với tỷ số l > 0 , nếu

" x, y Î X : ñ¢( f(x), f(y)) = l ñ(x, y).
Không gian ( X , ñ) và ( X' , ñ') là đẳng cự (đồng dạng) nếu tồn tại phép
đẳng cự (đồng dạng) f : X → X′.

Chẳng hạn, R n là không gian đẳng cự với bất kì tập con thực sự của nó.
1.1.11. ĐỊNH LÝ
Mỗi ánh xạ đẳng cự f : R n ® R n là một phép đẳng cự.
Chứng minh:
Đặt X = f (R n ) . Dĩ nhiên f : R n → X là một phép đẳng cự, nó bảo toàn
tính đầy đủ và tính liên thông, do đó X là tập con đóng liên thông của R n .
Hiển nhiên, X không compact vì f là phép đồng phôi của R n lên X.
Với n = 1. Giả sử X ¹ R . Thì X là nửa đường thẳng đóng với điểm cuối a.
Tập X \{a} liên thông. Trong khi đó R\ f - 1 ( a) không liên thông R. Điều
này không thể vì f là phép đồng phôi. Vậy X = R.
Bây giờ, giả sử n ≥ 2. Từ trường hợp n = 1, chúng ta thấy rằng ảnh f (L)
của của bất kì đường L Ì R n cũng là một đường thẳng. Thật vậy, giả sử

f : R ® L là phép đẳng cự từ R vào L thì hàm ψ : R ® f ( L) được xác định
bởi ψ ( x) := f f ( x ) là phép đẳng cự từ R vào f(L).

-8-


Với p ∈ X , đặt R n là hợp tất cả họ L các đường thẳng đi qua p :

R n = UL .

(1.3)

Với mỗi L Î L ,

f - 1 ( X Ç L) = f - 1 ( X ) Ç f - 1 ( L) = R n Ç f - 1 ( L) = f - 1 ( L),
Suy ra X ∩ L = L nên L ⊂ X . Do vậy R n ⊂ X , bởi (1.3).
Như vậy X = R n

1.2. Metric Hausdorff
Gọi C( X ) là họ các tập con khác rỗng, đóng bị chặn của không gian metric

( X , ñ) . Với bât kỳ A,B ∈ C( X )
A >B
0|
Đặt ñH ( A,Bε) := inf{

ÌÌ B( ) ε và
A

( ) ε }.

(1.4)

(Cận dưới tồn tại vì A, B bị chặn)
1.2.1. MỆNH ĐỀ
Hàm số ñH : C( X ) ´ C( X ) ® R là một metric.
Chứng minh.
Hiển nhiên, ñH ³ 0 . Với A,B ∈ C( X ) . Vì A, B đóng trong X, theo 1.1.4 ta
suy ra eI> 0( A) ε = A và eI> 0( B ) ε = B .
Do vậy ñH ( A,B ) = 0 Û " ε > 0 ( A Ì ( B ) ε và B Ì ( A) ε }

Û A Ì B và B Ì A
Û A= B
Vậy ñH thỏa điều kiện (*). Rõ ràng ñH cũng thỏa điều kiện (**).
Ta kiểm tra điều kiện (***).
Gọi A,B,C ∈ C( X ) ; theo điều kiện (*), chúng ta có thể coi rằng A,B,C đôi
một khác nhau. Đặt ε0 := ñH ( A,B ) và δ0 := ñH ( B,C ).

-9-


Chúng ta dễ thấy tập { {ε > 0 | A ÌÌ ( B) ε và B

( A) ε } là đóng, do vậy cận

dưới εH ( A,B ) của nó thuộc về nó, nghĩa là A Ì ( B ) εo và B Ì ( A) εo .
Tương tự, B Ì (C )δo và C Ì ( B)δo .
Do đó theo 1.1.6, A Ì (C ) εoδ+
Vì vậy , ñH ( A,Cε) £+ δo

o

o

và C Ì ( A)oε

Þ ñ
A,C
H(

δ+ o

)£ ñ
A,B
H(

.

) + B,C
ñH (

).

,

Metric ñH được gọi là metric Hausdorff; giới hạn trong không gian

(C( X ), ñH ) được gọi là giới hạn Hausdorff.
A = lim H An Ûr lim

H

( A,An ) = 0

1.2.2. ĐỊNH LÝ

ñ(a,B ), sup ñ(b, A)}.
Với A,B Î C( X ), ñH ( A,B) = max{sup
aÎ A
bÎ B

(1.5)

(Công thức (1.5) thường được dùng như là định nghĩa thứ hai của metric
Hausdorff).
Chứng minh.
Với mỗi tập liên thông S1 ,S 2 Ì R + với giao khác rỗng thì:

inf ( S1 Ç S2 ) = max{inf S1 ,inf S 2 }
Do tính đối xứng của điều kiện (1.5) đối với A và B chỉ cần chứng minh

ñ(a,Bε) = inf{A > 0B|
rằng: sup
aÎ A

Ì ( ) ε }.

ñ(a,B ) và β := inf{ε > 0 | A Ì ( B) ε }.
Đặt α := sup
aÎ A
) £ a, " AÎ
Thì ñ(a,Bα

và do đó A Ì ( B )α nên α ³ β.

Giả sử α > β ; thì $ε Î (0; α ) A Ì ( B) ε

ñ(a,Bε) £ α<
Vì thế sup
aÎ A

, trái với giả thiết.Vậy α= β

1.2.3. ĐỊNH NGHĨA

- 10 -

,


Một không gian ( X , ñ) được gọi là hữu hạn compact nếu mỗi tập con
đóng, bị chặn của ( X , ñ) là compact.
1.2.4. MỆNH ĐỀ
Cho không gian metric ( X , ñ) , các điều kiện sau là tương đương
(i)

( X , ñ) là compact hữu hạn

(ii) mỗi hình cầu trong ( X , ñ) là compact
(iii) mỗi dãy bị chặn trong ( X , ñ) là dãy con hội tụ.
Hiển nhiên, mọi không gian compact là không gian compact hữu hạn.
Không gian R n là không gian compact hữu hạn nhưng không compact. Ví dụ
này cho thấy tính đầy đủ bao hàm tính compac hữu hạn. Nhưng ý nghĩa này

% được xác định
không đúng, chẳng hạn, mặt phẳng R 2 với “đường metric” ñ
ìï x - y
ñ%( x, y) = ïí
ïï x + y
î

bởi:

khi 0 Î aff ( x, y )
khi 0 Ï aff ( x, y )

là đầy đủ nhưng không compact hữu hạn, vì hình cầu tâm (0,0) là không

compact.
Tương tự, không gian l2, tức là, không gian của dãy thực với chuỗi hội tụ
của hình vuông, với metric ñ được định nghĩa bằng công thức
1
2 2

¥

ñ(( xi )iÎ N , ( yi )iÎ N ) = å ( xi - yi ) )
i =1

là đầy đủ nhưng không compact hữu hạn.
Do đó hình cầu trong không gian metric là đóng và bị chặn, suy ra tất cả
không gian compact hữu hạn là compact địa phương.
1.2.5. BỔ ĐỀ

- 11 -


Nếu một không gian ( X , ñ) là compact hữu hạn thì mọi dãy giảm ( An ) nÎ N
¥

I

trong C( X ) :

An = lim H An .

n =1

Chứng minh.
¥

Đặt A = I An . Theo tính compact hữu hạn của ( X , ñ) , từ định lý Cantor
n =1

ta suy ra tập A khác rỗng. Từ A Ì An , " n , hơn nữa, " ε > 0, " n, A Ì ( Anε) .
Vậy " ε > 0, $no , " n > no , Anε Ì ( A) .
¥

Ta còn phải chứng minh

I

An = lim H An . Giả sử ngược lại hệ thức này

n =1

sai, khi đó: $ ε > 0 và dãy tăng (kn ) nÎ N sao cho Akεn Ë ( A) .

(1.6)

¥

Đặt X n := Akεn \ int( A) , " n và X 0 := I X n .
n =1

Rõ ràng, ( X n ) là dãy giảm các tập compact; theo (1.6), chúng khác rỗng.
Do đó, theo định lý Cantor, X 0 ¹ Æ .

(1.7)

A) =k Æ và X Ì
Mặt khác, X 0ε Ç A = A \ int(
0

¥

I

n =1

A n = A (đẳng thức cuối

cùng có được vì dãy (kn ) nÎ N tăng).
Từ đó X 0 = X 0 Ç A = Æ, mâu thuẫn với (1.7).
1.2.6. ĐỊNH LÝ
Nếu ( X , ñ) là compact hữu hạn thì (C( X ), ñH ) đầy đủ.
Chứng minh.
Giả sử (Cn ) nÎ N là một dãy Cauchy trong (C( X ), ñH ) thì

" ε > 0 $n0 " n1 ,n2 ³Ì n0 Cn

1

(Cnε )
2

- 12 -

2

,

,


đặc biệt,

Cn Ì (Cnε ) vàn C
o

Ì n(Cε ) ," n >o n .

(1.8)

2
n

¥

Do đó tập

2

o

I

n =1

o

Cn bị chặn nên nó là tập con của (Cnε ) U I nC .
o
n =1

Với mỗi m ∈ N , đặt
¥
æ¥
ö
÷
ç
Am := cl çU Cn ÷
và A := I Am .
ç
èn=m ÷
ø
m=1

(1.9)

Tập Am đóng và bị chặn nên nó compact, vì ( X , ñ) compact hữu hạn
Rõ ràng, Am+1 Ì Am , " m Î N . Từ Bổ đề 1.2.5, A = lim H Am và (1.9) tồn

æ¥
ö
÷Ì ( A) ," n > n .
C
tại n1 sao cho Cn Ì cl ç

ç
U
iε÷
1
÷
ç
èi=n ø
¥

Kết hợp (1.8) và (1.9), ta có: A Ì clUCi Ì (Cnε)

, " n > 0n .

i=n

Vậy A = lim H Cn nên (Cn ) nÎ N hội tụ.

,

Sau đây chúng ta nghiên cứu các tập con của R n (n ≥ 1), hay chính xác hơn
của không gian metric (R n , ñ) , với ñ là metric Euclide, tức làmetric cảm sinh
từ metric chuẩn tắc sau. Giả sử x = ( x1 , . . . , xn ) và y = ( y1 , . . . , yn ) ,

ñ( x, y ) := x - y =

n

å (x i

yi ) 2

i =1

Chúng ta sử dụng ký hiệu Cn := C(R n ).

1.3. Phép toán Minkowski
1.3.1.ĐỊNH NGHĨA
(i) Cho A,B Ì R n , tập hợp A + B := {a + b | a ÎÎ A, b
Minkowski của A và B.
- 13 -

B} được gọi là tổng


(ii) Cho A Ì R n và t ∈ R , tập tA := {ta | a Î A} được gọi là tích của A và t.
Phép toán này được gọi là phép nhân A với một số.
Rõ ràng tA là ảnh của A qua phép vị tự tâm 0 tỉ số t .
Ta gọi chung hai phép toán này là các phép toán Minkowski.
Như hệ quả trực tiếp của 2.1.1, chúng ta có hai mệnh đề đơn giản sau.
1.3.2. MỆNH ĐỀ
(i) Tập đơn {0} là phần tử trung hòa của phép cộng Minkowski;
(ii) Phép cộng có tính kết hợp và giao hoán;
(iii) Với A,B Î R n và t,k Î R , ta có

(t + k)A = tA+ kA ,
t(A+ B)= tA+ tB .
1.3.3. MỆNH ĐỀ
Các phép toán Minkowski bảo toàn tính bao hàm:

Ai Ì Bi , i = 1, 2 Þ A1 + A2 Ì B1 + B2 , A Ì B Þ tA Ì tB.

1.3.4. MỆNH ĐỀ
Các phép toán Minkowski bảo toàn tính compact.
Chứng minh
Giả sử A, B là các tập compact của R n và l Î R , ta sẽ chứng minh

A+ B và l A là các tập compact.
Dễ thấy tA là tập compact. Ta chỉ cần chứng minh A+ B là tập compact.
Thật vậy, vì A, B compact nên A x B = { ( a,b) | a Î A, b Î B } cũng là tập
compact trong R n x R n .

f : Rnx Rn
Xét ánh xạ
( x, y)

® Rn
a
x+ y

Rõ ràng f là ánh xạ liên tục và qua ánh xạ f thì A x B biến thành A + B
Suy ra A + B là tập compact.

- 14 -


1.3.5. MỆNH ĐỀ
n

+
Với A Î Cn và e > 0 , ( A) ε = AεB

.

Nhận xét: Ý nghĩa của Mệnh đề là cộng vào một tập compact hình cầu bán
kính ε, chúng ta có được ε – bao của tập đó.
Chứng minh.
Cố định x Î R n . Từ metric và ñ | {x}´ A , là liên tục bởi tính compact của
n
A. Suy ra: x Î ( Aε) Û $a Î A x - a £ε Û x Î A +εB .

,

1.3.6. MỆNH ĐỀ
(i)

βn và ,
Với A,BαÎ C

> 0 , ( A)α + ( B ) β = ( A+ B ) α + β ;

(ii) Với A Î Cn , tε> 0, và > 0, t ( A) ε = (tA)tε .
Chứng minh.
(i): Hiển nhiên, αB n + βB n = (α + β ) B n .

) + (B ) β =A+ B + (α + β )B
nên ( Aα

n

= (A+ B ) α+ β .

(ii): t ( A) ε = t ( A+εB n ) =tA+ tεB n = (tA )tε .

,

1.3.7. ĐỊNH LÝ
(i) Phép cộng Minkowski là liên tục trên Cn ´ Cn .
(ii) Phép nhân vô hướng không âm là liên tục trên Cn .
Chứng minh.
(i): Như đã biết, hội tụ trong tích Decac là tương đương hội tụ “ theo tọa độ
” nó độc lập với sự lựa chọn metric tích.
Vì thế chỉ cần chứng minh rằng

" ε > 0 $δ > 0 " A1, A2 , B1 , B2 ΣCn ñH ( Ai ,Bi )
Þ ñH ( A1 + A2 , B1 + Bε2 ) £ .
Giả sử ε > 0 và δ :=

ε
.
2
- 15 -

δ với i = 1,2.


, = 1, 2 , thì Ai Ì ( Biδ) và B
Nếu ñH ( Ai ,Bδ
i ) £i
i Ì (A
i δ) ,
Từ 1.3.3 và 1.3.6(i), A1 + A2 Ì ( B1 + B2 ) ε và B1 + B2 Ì ( A1 + A2 ) ε .

Nghĩa là , ñH ( A1 + A2 , B1 + Bε2 ) £ .
(ii): Nếu t = 0 , thì tA = {0} , " A Î Cn ; do đó tính liên tục của phép nhân tại
0 là hiển nhiên.

ε
Giả sử t > 0 . Với ε > 0 đặt δ := . Nếu ñH ( A,Bδ) £ , thì A Ì ( B )δ và
t
B Ì ( A)δ , từ 1.3.3 và 1.3.6(i) ta có tA Ì (tB) ε và tB Ì (tA) ε .
Vậy ñH (tA,tBε) £ .

,

1.3.8. CHÚ Ý.
(i) Nếu ñˆ là một tích metric tùy ý trong Cn ´ Cn với Ai ,Bi thỏa mãn điều kiện

ñH ( Ai ,Bi ) £ ñˆ(( A1 , A2 ), ( B1 ,B2 )) , i = 1, 2 , thì phép cộng Minkowski liên
tục đều với metric ñˆ và ñ..
(ii) Phép nhân với số không âm tùy ý t , A a tA liên tục đều (đối với ñH ).

1.4. Siêu phẳng và siêu phẳng tựa.
1.4.1. ĐỊNH NGHĨA
a) Một siêu phẳng trong Rn là tập tất cả các nghiệm (x1 ,..., x n ) của hệ phương
n

trình n ẩn

å

vi x i = b, trong đó vectơ v = (v1 ,..., v n ) ¹ 0.

i=1

Hai nửa không gian xác định bởi siêu phẳng H được ký hiệu là H+ , H- .
b) Cho A là tập con đóng khác rỗng của R n . Một nửa không gian đóng E được
gọi là một nửa không gian tựa của A nếu A Ì E và A Ç bdE ¹ Æ.

- 16 -


Khi đó, siêu phẳng H := bdE được gọi là siêu phẳng tựa của A, tập hợp A ∩
H được gọi là tập hợp tựa, mỗi điểm của tập hợp đó được gọi là một điểm tựa,
và vecto pháp tuyến ngoài v của nửa không gian E được gọi là vecto pháp
tuyến ngoài của H.
Ký hiệu o là tích vô hướng trong Rn xác định như sau: nếu
n

x = ( x1 , . . . , xn ) và y = ( y1 , . . . , yn ) thì x o y = å x i yi .
i=1

Gọi En là tập tất cả các siêu phẳng trong R n . Nó có thể biểu diễn tham số
n
hóa bằng hàm số f : Sn- 1 ´ R + ® E được xác định bởi công thức

f (v,t ) := {x Î R n | x o v = t}.

(1.10)

1.4.2. MỆNH ĐỀ
(a)

Nếu E = f (v,t ) thì t = r (0, E ) và tvπ=

(b)

Hàm số

f

là toàn ánh,

E

(0) .

f | ( S n- 1 ´ (0, ¥ )

là đơn ánh và

" v Î S n- 1 f (v,0) = f (- v,0).
1.4.3. ĐỊNH NGHĨA
Với bất kỳ dãy các siêu phẳng ( Ek ) k Î N , " E Î En ,

E = lim Ek
k

Û $v,(vk ) kÎ N , t ,(tk ) kÎ N v = lim vk , t = lim tk , E = f (v,t ), Ek = f (vk ,tk ).
k

k

1.4.4. MỆNH ĐỀ
Với mỗi phép đẳng cự f : R m ® R m và dãy tùy ý ( Ek ) k Î N trong Em ,

E = limEk Þ f ( E ) = lim f ( Ek ).
Sau đây ta ký hiệu ( xk ) k Î N Î Pk¥=1Ek nghĩa là dãy ( xk ) k Î N được chọn sao cho

xk Î E k .

- 17 -


1.4.5. MỆNH ĐỀ

Ek với E,E Î En thì
Giả sử E = lim
k
k
¥
xk Þ x Î E.
(i) ( xk ) k Î N Î Pk =1 Ek , x = lim
k

(ii) " x Î$ÎE ( xk ) k Î N

Pk¥=1 Ek , x = limxk .

Chứng minh.
Đặt Ek = f (vk ,tk ), E = f (v,t ), v = limvk , t = limt k .
(i): Nếu xk Î Ek , theo (1.10), xk o vk = tk ; thật vậy x o v = t do tính liên tục
của tích vô hướng. Vậy x ∈ E.

(ii): Gỉả sử x ∈ E. thì x o v = t . Chúng ta có thể coi rằng x = 0 Î E , từ đó

t = 0 . Đặt

xπ
k :=

Ek

(0) , ∀k thì

xk = sk vk Î Ek ,

" sk ³ 0

; do đó

tk = xk o vk = sk , và do đó xk = tk vk ,∀k.
Cho qua giới hạn chúng ta được limxk = 0.

,

1.4.6. ĐỊNH LÝ
Giả sử A Î K n . Nếu Ek Î En và Ek Ç intA ¹ Æ, k = 0,1, . . . thì

Eo = limEk ÞÇE o

A = lim( Ek Ç A).
H

Chứng minh.
Đặt Eo = limEk thì
¥
(a), " ( xik ) k Î N ÎÇPk =1 ( Eik

E0 A ( xk ) k Î N
(b) " xo ÎÇ$ÎÇ

A) xo = limxk ÞÎÇxo
Pk¥=1 ( Ek

Eo

A , và

A) xo = limxk .

Thật vậy, vì A đóng nên điều kiện (a) được suy ra trực tiếp từ 1.4.5 (i)

- 18 -


Chúng ta chứng minh (b). Rõ ràng chúng ta có thể giả sử rằng E0 , E1 , . . .
đôi một khác nhau. Giả sử xo Î Eo Ç A, x1 Î E1 Ç intA \ {xo } và giả sử xk là
giao của Ek và aff{x0 , x1} thì xk Î A .
Giả sử vk ^ Ek , vo = limvk , và giả sử βk = Ð(( x1 - xo ), vk ) , k = 0,1, . . .
Dễ dàng thấy rằng β = limβk và xk - xo = dist( xo , Ek ).

1
.

sin βk

Do đó, theo 1.4.2 và 1.4.3, xo = limxk . (b) được chứng minh.

Ek Ç A).
Vậy Eo Ç A = lim(
H

,

1.4.7. ĐỊNH LÝ
Giả

sử

Ak Î K n , k Î N È {0}

Ak ÞÇAo
E Ç intAk ¹ Æ, k = 0,1, . . . , thì Ao = lim
H

E Î En .

và

Nếu

E = lim( Ak Ç E ).
H

Chứng minh.
Chỉ cần chứng minh rằng với bất kỳ Y Î K n ,

" ε > 0 $δ > 0 ( E ǹÆÞÇÌÇ
intY

(Y ) δ

E

(Y

E ) ε ).

(1.11)

Thật vậy, nếu Y thỏa (1.11), thì với X Î K n ,

X Ì (Y )δ Þ X Ç E Ì (Y )δ Ç E Þ X Ç E Ì (Y Ç E ) ε .
Do đó với X := Ak và Y := Ao , từ " δ > 0 $k0 " k > k0 Ak Ì ( A0δ) ,

E (( A0δ)
cho nên " ε > 0 $k0 " k > k0 Ak ÇÌÇ

Eε) .

Với X := A0 và Y := Ak chứng minh tương tự. Do đó (1.11) kéo theo kết
luận của Định lý.

- 19 -

Việc còn lại là chứng minh (2.8). Với x Î relbd(Y Ç E ) chúng ta chọn một
vecto pháp tuyến ngoài u x Î S n- 1 cho Y tại điểm x. Giả sử vx Î S n- 1 là vecto

(vx ,u x )
pháp tuyến của siêu phẳng E mà αx := У

π
.
2

Chú ý rằng αx không chỉ phụ thuộc vào x, mà còn phụ thuộc vào sự lựa
chọn của u x ; tuy nhiên, từ E Ç intY ¹ Æ, suy ra αx ¹ 0 độc lập với lựa chọn
của u x .

inf inf ε sinα x .
Bây giờ giả sử ε > 0 . Chúng ta lấy δ := xÎ relbd(
Y ÇE ) u x
Tập relbd(Y Ç E ) là compact; do đó nếu δ = 0 , thì αx = 0 với x nào đó
nên δ > 0 . Do cách chọn δ như trên nên Yδ Ç E Ì (Y Ç E ) ε
,

Vậy (1.11) được chứng minh.
1.4.9.ĐỊNH LÝ

Với mỗi A Î Cn và mỗi v ¹ 0 , tồn tại siêu phẳng tựa duy nhất của A với
vectơ pháp tuyến ngoài v.
Chứng minh.
Giả sử H là họ các siêu phẳng trực giao với v và L là một đường thẳng có

∧

vectơ chỉ phương là v. Ta xây dựng ánh xạ π : H → L như sau: với mỗi H∈
∧

H , ảnh của H là x ∈L được xác định như sau x = H∩L. Ánh xạ π cảm sinh
∧

ra phép chiếu trực giao πL: Rn → L. Với mỗi x∈ Rn , πL(x) = π (H), trong đó H
là siêu phẳng đi qua x, và thuộc H . Dễ thấy πL lá ánh xạ liên tục. Do A
compact và khác rỗng cho nên π L ( A ) compact, khác rỗng. Giả sử a ∈ π L ( A )

- 20 -


ˆ - 1 (a + to ·v) là siêu phẳng tựa
và t o :=sup{t Î R | a + t·vπÎ A
L ( )} thì rõ ràng p
duy nhất của A với vectơ pháp tuyến ngoài v.

,

Chúng ta kí hiệu H ( A,v ) và E ( A,v ) lần lượt là siêu phẳng tựa và nửa
không gian tựa của tập compact A với vecto pháp tuyến ngoài v, và kí hiệu

A( v) cho tập hợp tựa A Ç H ( A,v ) .
1.4.10.MỆNH ĐỀ
Với A1 , A2 Î Cn và v ¹ 0 , ta có:

H ( A1 + A2 , v) = H ( A1 , v) + H ( A2 , v) ,

( A1 + A2 ) ( v) = A1 ( v) + A2 ( v) .
1.4.11. ĐỊNH LÝ
Với A Î Cn và v ¹ 0 , các siêu phẳng ( H ( A, v), H ( A, - v)) song song với
nhau cho nên ta có thể xác định đường thẳng h bù vuông góc với mỗi một siêu
phẳng. Giả sử ( H ( A, v), H ( A, - v)) cắt h lần lượt ở h1và h 2 , khi đó khoảng
cách giữa chúng, ký hiệu là dist( H ( A, v), H ( A, - v)) được xác định bởi

dist( H ( A, v), H ( A, - v)) = r (h1,h 2 ) .
1.4.12. ĐỊNH NGHĨA
Với A Î Cn , ta gọi dist( H ( A, v), H ( A, - v)) là bề rộng của A theo hướng
của vectơ, được ký hiệu là b( A, v) .

inf b( A, v) được gọi là bề rộng cực tiếu A, được ký hiệu là d(A).
v
Ta có nhận xét sau:

A Ì B Þ " v b( A, v) £ b( B, v), với mọi A, B Î Cn .

1.4.13. ĐỊNH LÝ

b( A, v).
Với A Î Cn , diamA = sup
v
Chứng minh.

- 21 -


Nếu A là tập đơn (chỉ gồm 1 điểm) thì đẳng thức là hiển nhiên.
Giả sử cardA ≥ 2. Với x, y Î A,

x ¹ y Þ ñ( x, y ) £ dist( H ( A, y - x), H ( A,x - y )) = b( A,x - y ), nên
diamA £ sup b( A,v). Giả sử v ¹ 0 . Nếu a và b lần lượt là điểm tựa của
v
H ( A, v) và H ( A, - v) thì b( A, v) £ ñ( a,b) £ diamA.
b( A,v) £ diamA.
Vậy sup
v

,

1.5. Tập hợp lồi và tổ hợp lồi
1.5.1. ĐỊNH NGHĨA
(i) Cho hai điểm x, y, tập hợp các điểm { z = λ x + ( 1 − λ ) y ,0 ≤ λ ≤ 1 } được
gọi là đoạn thẳng có các các điểm cuối là x, y, ký hiệu là [x, y].
(ii) Tập hợp A ⊂ R n được gọi là lồi nếu với mỗi cặp điểm của nó là { a, b} ,
đoạn thẳng [x, y] chứa trong A.
Giả sử t1 , . . . ,tk Î [ 0,1] và

å

k

t = 1.

i=1 i

k

Điểm c( a1 , . . . , ak ;t1 , . . . ,tk ) := å ti ai được gọi là tổ hợp lồi của các

i =1

điểm a1 , . . . , ak với hệ số t1 , . . . , tk .
(iii) Với A Ì R n , ta ký hiệu

C ( A) := {c( a1 , . . . , ak ; t1 , . . . , tk ) | a1 , . . . , ak ÎÎÎ A, t1 , . . . , tk
Từ định nghĩa suy ra:
1.5.2.MỆNH ĐỀ
Với mỗi A ¹ Æ, tập C(A) là tập lồi.
1.5.3.MỆNH ĐỀ

- 22 -

[0,1], k

N}.


Đối với mỗi tập con khác rỗng A của R n các điều kiện sau là tương
đương
(i)

A là tập lồi

(ii) C ( A) = A
Chứng minh.
Phép kéo theo (ii) ⇒ (i) suy ra trực tiếp từ 1.5.2.
(i) ⇒ (ii): Chúng ta hãy lưu ý rằng đối với mỗi A, A Ì C ( A) . Cho A là tập
lồi. Để chứng minh rằng C(A) Ì A ta chứng minh rằng đối với bất kỳ k Î N,

al , . . . , ak Î A, t1 , . . . , tk Î [0,1] , và

åt

i

=1

Þ c(a1 , . . . , ak ; t1 , . . . , tk ) Î A.

(1.12)

Với k = 1 điều kiện (1.12) là hiển nhiên.
Với k ≥ 2. Giả sử rằng (1.12) là đúng với k −1;
Giả sử a1 , . . . , ak Î A, t1 , . . . , tk Î [0,1] , và

k

åt

i

=1

i =1

Nếu tk = 1 , thì c( a1 , . . . , ak ; t1 , . . . , tk ) = ak Î A .
Giả sử tk < 1 và t'i =

ti

, i = 1, . . . , k - 1.
1 - tk
k- 1

Vậy

å t ¢ = 1 và
i

i =1

c( a1 , . . . , ak ; t1 , . . . , tk ) = (1 - tk )c(a1 , . . . , ak - 1 , t ¢1 , . . . , t ¢k - 1 ) + tk ak Î A
theo giả thiết quy nạp.
,

Do đó (1.12) là đúng với k.
1.5.4. MỆNH ĐỀ
Với mọi tập khác rỗng A, B thì C ( A+ B ) = C ( A) + C ( B).

- 23 -


Chứng minh
a) C ( A+ B) Ì C ( A) + C ( B ). Giả sử x Î C ( A+ B ) ; do đó x là tổ hợp lồi của
một số điểm trong A + B.
Nghĩa là, có tồn tại t1 , . . . , tk Î [0,1], a1 , . . . , ak Î A , và b1 , . . . , bk Î B
sao cho

å

k

t = 1 và x = å ti (ai + bi ). do đó x Î C ( A) + C ( B) .
i i
i =1

b) C ( A+ B) É C ( A) + C ( B ). Bây giờ giả sử x Î C ( A) + C ( B) ,
tồn tại t1 , . . . , tk , s1 , . . . , sl Î [0,1] sao cho

åt

i

= 1 = å s j và x = å ti ai +

å

s jbj .

Tất nhiên, chúng ta có thể giả sử rằng k = l.
Đặt a := å ti ai và b := å s j b j thì

x = (å s j )a + (å ti )b = å ti s j (ai + b j ).
i, j

Vì

å ts
i

j

i, j

= å ti (å s j ) = (å ti )(å s j ) = 1, ta suy ra x Î C ( A+ B) . ,
i

j

Theo định lý Carathe´odory phát biểu rằng tập C(A) được tạo ra bởi tập con
độc lập affine của A; vì vậy C(A) là hợp các đơn hình là các đỉnh của A.
1.5.5. ĐỊNH LÝ
Giả sử A Ì R n . Với mọi x ∈ C ( A) tồn tại một tập hợp con độc lập affine

{a1 , . . . , ak } Ì A sao cho x Î C (a1 , . . . , ak ) .
Chứng minh.
Giả sử k := min{m ÎÎÎN | x

C ({x1 , . . . , xm }), xi

A, i = 1, . . . , m} .

Tồn tại a1 , . . . , ak Î A sao cho x Î C ({a1 , . . . , ak })
và tồn tại t1 , . . . , tk Î [0,1] sao cho

åt

- 24 -

k

i

= 1 và x = å ti ai .
i =1


Giả sử {a1 , . . . , ak } là tập phụ thuộc affine, nghĩa là một trong các điểm
của nó là

tổ hợp của một số điểm khác. Khi đó tồn tại

( s1 , . . . , sk ) ¹ (0, . . . ,0) , sao cho

å

k

s a = 0 và
i=1 i i

å

k

s = 0 . Điều đó

i =1 i

chứng tỏ có ít nhất một trong các số s1 , . . . , sk là dương.

ti
tm
Do đó tập { | i Î {1, . . . , k}, si > 0} khác rỗng. Gọi
là số nhỏ nhất của
si
sm
k
tm
·si , i = 1, . . . , k . Lưu ý rằng xα=aå
tập này và đặt αi := ti sm
i =1

i i

, toàn bộ

hệ số trong tổ hợp này là không âm, tổng chúng bằng 1, và αm = 0 . Vì vậy x
là tổ hợp lồi của k − 1 điểm, trái với giả thiết rằng k là nhỏ nhất.

,

1.5.6. ĐỊNH LÝ (Helly)
Giả sử X là một họ hữu hạn các tập con lồi của R n . Nếu với mọi

A1 , . . . , An+ 1 Î X tập

I

n+ 1

i =1

Ai khác rỗng, thì

I

X ¹ Æ.

Chứng minh.
Trước hết ta chứng minh Định lý Radon sau. Trong R n cho M là tập k
điểm ;k hữu hạn và k ≥ n+2, khi đó tồn tại một phân hoạch của M thành 2 tập
N và P (tức là

M = N ∪ P ,N ∩ P = ∅,

N ≠ ∅ , P ≠ ∅ ) sao cho

co ( N ) ∩ co ( P ) ≠ ∅ .
Giả sử M =

{ x1 ,..., xk } . Vì

k ≥ n + 2 cho nên hệ điểm của M phụ thuộc

affine cho nên tồn tại các số α i , i = 1,..., k không đồng thời bằng 0 sao cho

α1 x1 + α 2 x2 + ... + α k xθk =

và α1 + α 2 + ... + α k = 0 . Không mất tính tổng

quát khi giả sử α1 ,..., α j dương và α j+1 ,..., α k không dương. Đặt

- 25 -