Khai thác tư liệu lịch sử toán trong dạy học giải tích theo hướng tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh trung học phổ thông luận văn thạc sĩ toán học

bộ giáo dục và đào tạo
trờng đại học vinh

TH THANH THẢO

KHAI THÁC TƯ LIỆU LỊCH SỬ TOÁN
TRONG DẠY HỌC GIẢI TÍCH THEO HƯỚNG
TÍCH CỰC HĨA HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP CỦA
HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGHỆ AN, 2012


bộ giáo dục và đào tạo
trờng đại học vinh

TH THANH THẢO

KHAI THÁC TƯ LIỆU LỊCH SỬ TOÁN
TRONG DẠY HỌC GIẢI TÍCH THEO HƯỚNG
TÍCH CỰC HĨA HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP CỦA
HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ mơn Tốn
Mã số: 60.14.10

ngêi híng dÉn khoa häc

TS. TrÇn Trung

NGHỆ AN, 2012


LỜI CẢM ƠN
Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS. Trần Trung, người thầy đã
tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi trong suốt q trình học tập, nghiên cứu và
hồn thành luận văn.
Tơi xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cơ giáo khoa Tốn, phịng Đào
tạo Sau đại học Trường Đại học Vinh đã giúp đỡ tơi trong q trình nghiên
cứu, hồn thành luận văn.
Tơi xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Sài Gòn đã tạo mọi điều
kiện giúp đỡ tơi trong suốt q trình học tập, nghiên cứu và hồn thành luận
văn.
Tơi xin chân thành cảm ơn các Trường THPT trên địa bàn tỉnh Long
An, các đồng chí, đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tơi hồn thành luận
văn này.
Do bản thân cịn nhiều hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những
thiếu sót, tơi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cơ giáo
và các bạn.
Nghệ An, tháng 10 năm 2012
Học viên

Đỗ Thị Thanh Thảo


DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN
Viết tắt
GV

HS
PPDH
SGK
TTGK
TTKH
THPT

Viết đầy đủ
Giáo viên
Học sinh
Phương pháp dạy học
Sách giáo khoa
Tri thức giáo khoa
Tri thức khoa học
Trung học phổ thông


MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU
Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Vấn đề đổi mới phương pháp dạy học
1.2. Tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh
1.3. Những cơ sở của khai thác tri thức lịch sử toán trong dạy học
1.4. Vai trò của tri thức lịch sử toán đối với giáo viên và học sinh
1.5. Thực trạng khai thác tri thức lịch sử toán trong dạy học Giải
tích ở trường Trung học phổ thơng
1.6. Kết luận chương 1
Chương 2. KHAI THÁC TƯ LIỆU LỊCH SỬ TOÁN TRONG DẠY
HỌC GIẢI TÍCH Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG

2.1. Nội dung Giải tích ở trường Trung học phổ thơng
2.2. Xác định một số tri thức lịch sử toán liên quan đến nội dung
Giải tích ở trường Trung học phổ thơng
2.3. Định hướng khai thác tư liệu lịch sử toán trong dạy học Giải
tích ở trường Trung học phổ thơng
2.4. Một số phương thức khai thác tư liệu lịch sử toán trong dạy
học Giải tích cho học sinh Trung học phổ thông
2.5. Kết luận chương 2
Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
3.1. Mục đích, nhiệm vụ, nguyên tắc thực nghiệm
3.2. Nội dung thực nghiệm
3.3. Tổ chức thực nghiệm
3.4. Kết quả thực nghiệm
3.5. Kết luận chương 3
KẾT LUẬN
DANH MỤC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA TÁC GIẢ
CÓ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI LUẬN VĂN
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC

1
5
5
7
10
31
38
42

43

43
56
70
72
98
99
99
99
100
104
108
109
110
111
114


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Đào tạo những người lao động phát triển tồn diện, có tư duy sáng tạo,
có năng lực thực hành giỏi, có khả năng đáp ứng đòi hỏi ngày càng cao trước
yêu cầu đẩy mạnh cơng nghiệp hóa - hiện đại hóa gắn với phát triển nền kinh
tế trí thức và xu hướng tồn cầu hóa là nhiệm vụ cấp bách đối với ngành giáo
dục nước ta hiện nay. Để thực hiện được nhiệm vụ đó sự nghiệp giáo dục cần
được đổi mới. Cùng với những thay đổi về nội dung, cần có những đổi mới
căn bản về PPDH. Một trong những nhiệm vụ và giải pháp lớn về giáo dục
được đề ra trong Đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ X của Đảng là: "Nâng cao
chất lượng giáo dục toàn diện. Đổi mới cơ cấu, tổ chức, nội dung, phương

pháp dạy và học theo hướng ‘‘chuẩn hóa, hiện đại hóa, xã hội hóa”. Phát huy
trí sáng tạo, khả năng vận dụng, thực hành của người học. Đề cao trách nhiệm
của gia đình, nhà trường và xã hội".
Tốn học là mơn học có vai trị rất quan trọng trong chương trình
THPT, nó giúp cho HS phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện
cho HS óc tư duy trừu tượng, tư duy chính xác, hợp lơgic, phương pháp khoa
học trong suy luận, trong học tập. Nhưng nó cũng là một mơn học mang tính
trừu tượng cao. Nhiệm vụ của người GV đứng trên bục giảng là phải làm thế
nào để giờ giảng của mình thêm sinh động, thu hút được sự chú ý, tạo được
nhu cầu khám phá tri thức của HS. Để góp phần thực hiện được điều đó, khi
dạy học đến từng vấn đề cụ thể, GV có thể dành thời gian để giới thiệu về lịch
sử của vấn đề và các nhà tốn học có liên quan đến vấn đề đó.
Trong chương trình Tốn THPT, SGK tốn đã giới thiệu sơ lược về các
nhà toán học và một vài kiến thức về lịch sử tốn có liên quan đến những nội
dung bài học. Tuy nhiên, thực trạng dạy học toán ở trường THPT hiện nay
cho thấy các GV ít quan tâm đến vấn đề này vì các lý do: Thời gian một tiết


2

học hạn chế. Kiến thức của GV về vấn đề này cịn hạn chế, chưa có cơ hội để
tiếp cận và nghiên cứu hay tìm hiểu về vấn đề này mặc dù nó rất quan trọng
đối với những người học tốn, dạy tốn và nghiên cứu tốn.
Như vậy, việc tìm hiểu những kiến thức về lịch sử tốn nói chung, về
kiến thức lịch sử toán liên quan trực tiếp đến chương trình tốn THPT nói
riêng là rất cần thiết. Hơn nữa, việc tìm tịi phương thức để khai thác những
kiến thức lịch sử toán trong dạy học cũng là một vấn đề rất thú vị và quan
trọng đối với mỗi người GV. Mặt khác, hiện nay tài liệu về lịch sử tốn cịn ít
và cũng chưa có nhiều cơng trình nghiên cứu đi sâu tìm hiểu vấn đề này.
Xuất phát từ những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu "Khai

thác tư liệu lịch sử toán trong dạy học Giải tích theo hướng tích cực hóa
hoạt động học tập của học sinh Trung học phổ thơng".
2. Mục đích nghiên cứu
Xác định vai trò và nội dung của tri thức lịch sử tốn trong dạy học
mơn Tốn ở trường THPT, từ đó đề xuất một số phương thức khai thác tư liệu
lịch sử tốn trong dạy học Giải tích nhằm nâng cao hiệu quả dạy học mơn
Tốn ở trường THPT.
3. Khách thể, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
3.1. Khách thể nghiên cứu: Q trình dạy học mơn Tốn ở trường
THPT.
3.2. Đối tượng nghiên cứu: Nội dung và phương thức khai thác tri thức
lịch sử toán trong dạy học Giải tích ở trường THPT theo hướng tích cực hóa
hoạt động học tập của HS.
3.3. Phạm vi nghiên cứu: Tư liệu lịch sử toán liên quan một số nội dung
Giải tích ở trường THPT.
4. Giả thuyết khoa học
Trên cơ sở nội dung chương trình hiện hành, nếu GV quan tâm đến
việc xác định những tri thức lịch sử tốn có liên quan và tìm được phương


3

thức khai thác phù hợp trong dạy học thì sẽ phát huy tính tích cực học tập của
HS, góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn ở trường THPT.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu cơ sở lý luận về vai trị của tri thức lịch sử tốn trong
dạy học mơn Tốn ở trường THPT. Điều tra, đánh giá thực trạng về việc khai
thác tư liệu lịch sử tốn trong dạy học Giải tích ở trường THPT hiện nay.
5.2. Xác định những nội dung tư liệu lịch sử toán cần được trang bị cho
HS trong dạy học Giải tích, đề xuất các phương thức khai thác tư liệu lịch sử

tốn nhằm phát huy tính tích cực học tập của học sinh THPT.
5.3. Thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính cần thiết và khả thi của các
phương thức khai thác tư liệu lịch sử toán được đề xuất.
6. Phương pháp nghiên cứu
6.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận: Làm rõ vai trị của tri thức lịch sử
tốn trong dạy học. Nghiên cứu nội dung, chương trình SGK Giải tích ở
trường THPT để tìm hiểu lịch sử các vấn đề và các nhà tốn học có liên quan.
6.2. Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Điều tra, tìm hiểu tình hình
giảng dạy các yếu tố của lịch sử tốn trong chương trình Giải tích ở trường
THPT hiện nay. Tham khảo ý kiến GV, HS về vai trò của lịch sử toán trong
việc nâng cao hiệu quả dạy học toán ở trường THPT.
6.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm
để đánh giá tính hiệu quả và khả thi của các nội dung được đề xuất. Phân tích
kết quả thực nghiệm bằng phương pháp thống kê tốn học trong khoa học
giáo dục.
7. Đóng góp của luận văn
7.1. Góp phần làm sáng tỏ vai trị của tri thức lịch sử tốn trong dạy học
mơn Tốn ở trường THPT. Xác định được những tri thức lịch sử toán cần
được trang bị cho HS trong dạy học Giải tích ở trường THPT.


4

7.2. Đề xuất được một số phương thức phù hợp để khai thác tư liệu lịch
sử toán trong dạy học Giải tích nhằm nâng cao tính tích cực học tập của học
sinh THPT.
7.3. Nội dung tư liệu lịch sử toán là tài liệu tham khảo bổ ích cho GV
trong dạy học Giải tích ở trường THPT.
8. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, nội dung luận văn gồm 3 chương:

Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chương 2. Khai thác tư liệu lịch sử toán trong dạy học Giải tích theo
hướng tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh THPT.
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm.
Luận văn có sử dụng 37 tài liệu tham khảo và kèm theo 2 Phụ lục.


5

Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Vấn đề đổi mới phương pháp dạy học
1.1.1. Nhu cầu đổi mới phương pháp dạy học
Nghị quyết Trung ương 2 khoá VIII đã khẳng định: "Phải đổi mới
phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện
thành nếp tư duy sáng tạo của HS. Từng bước áp dụng các phương pháp tiên
tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời
gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh...". [1]
Tại điều 5, chương I, Luật Giáo dục đã ghi: "Phương pháp giáo dục
phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh;
bồi dưỡng năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê và ý chí vươn
lên”. [18]
Sự phát triển xã hội và đổi mới đất nước trong thời kỳ hội nhập đang
đòi hỏi cấp bách nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo. Mục tiêu giáo dục
trong thời đại mới là không chỉ dừng lại ở việc truyền thụ những kiến thức, kỹ
năng có sẵn cho HS mà điều đặc biệt quan trọng là phải bồi dưỡng cho HS
năng lực sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề. Trong quá trình dạy học, cùng
với những thay đổi về mục tiêu, nội dung, cần có những thay đổi căn bản về
PPDH (hiểu theo nghĩa rộng gồm cả hình thức, phương tiện và kiểm tra, đánh
giá). Tồn tại của PPDH hiện nay là việc GV thường cung cấp cho HS những

tri thức dưới dạng có sẵn, thiếu yếu tố tìm tịi, phát hiện; việc GV dạy chay,
áp đặt kiến thức khiến HS thụ động trong quá trình chiếm lĩnh tri thức. Đây là
những lý do dẫn tới nhu cầu đổi mới PPDH nhằm đáp ứng yêu cầu đào tạo
con người lao động sáng tạo phục vụ sự nghiệp cơng nghiệp hóa - hiện đại
hóa đất nước.
1.1.2. Định hướng đổi mới phương pháp dạy học
Từ nhu cầu đổi mới PPDH, các nhà khoa học giáo dục nước ta như
Nguyễn Bá Kim [15], Nguyễn Hữu Châu [5], Thái Duy Tuyên [35], Trần


6

Kiều [14], Trần Bá Hoành [11], ... đã khẳng định hướng đổi mới PPDH trong
giai đoạn hiện nay là: "Phương pháp dạy học cần hướng vào việc tổ chức cho
học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực và sáng
tạo, được thực hiện độc lập hoặc trong hoạt động" [15, tr. 112].
Theo Nguyễn Bá Kim [15], định hướng trên có những hàm ý sau đây:
Xác lập vị trí chủ thể của HS, đảm bảo tính tự giác, tích cực và sáng tạo của
HS; Quá trình dạy học là xây dựng những tình huống có dụng ý sư phạm cho
HS học tập trong hoạt động và bằng hoạt động, được thực hiện độc lập hoặc
trong hoạt động; Dạy việc học, dạy tự học thông qua tồn bộ q trình dạy
học; Chế tạo và khai thác những phương tiện phục vụ quá trình dạy học; Tạo
niềm lạc quan học tập dựa trên lao động và thành quả của HS; Xác định vai
trò mới của GV với tư cách người thiết kế, ủy thác, điều khiển và thể chế hóa.
Định hướng đổi mới PPDH liên quan đến một tư tưởng trong quá trình
thực hiện đổi mới PPDH ở nước ta đó là "Dạy học lấy học sinh làm trung
tâm". Theo Trần Kiều [14], những đặc trưng chủ yếu của tư tưởng này bao
gồm: Thừa nhận, tôn trọng, hiểu, đồng cảm với nhu cầu, lợi ích, mục đích cá
nhân của HS. Đạt được độ tin cậy, tạo sức thu hút, thuyết phục, kích thích
động cơ bên trong của HS. Dựa vào kinh nghiệm của HS, khai thác kinh

nghiệm đó, dồn thành sức mạnh trong q trình tự khám phá. Chống gị ép,
ban phát, giáo điều, ni dưỡng tính sẵn sàng, tính tích cực ý chí của HS để
đạt được mục đích học tập và phát triển cá nhân. Phương thức hoạt động chủ
đạo là tự nhận thức, tự phát triển, tự thực hiện, tự kiểm tra, đánh giá, tự hồn
thiện trong mơi trường được đảm bảo quyền lựa chọn tối đa của HS. Tối đa
hóa sự tham gia của HS, tối thiểu hóa sự áp đặt, can thiệp của GV. Tạo cho
HS tính năng động cải biến hành động học tập, chủ động, tự tin. Phát triển tư
duy độc lập, sáng tạo, khả năng suy ngẫm, óc phê phán và tính độc đáo của
nhân cách. Nội dung học tập, môi trường học tập, … về nguyên tắc phải được
kiểm sốt bởi chính HS. Đảm bảo tính mềm dẻo, tính thích ứng cao của giáo
dục. Hết sức coi trọng vai trò to lớn của kỹ năng.


7

Chúng tôi nhận thấy việc đổi mới PPDH hiện nay cần tiếp cận theo
những định hướng này.
1.1.3. Đặc trưng của phương pháp dạy học tích cực
Một PPDH nếu biết sử dụng đúng lúc, đúng cách đều có thể phát huy
tính tích cực học tập của HS. Theo Trần Bá Hồnh [11], PPDH tích cực là
thuật ngữ chỉ các PPDH có thế mạnh trong phát huy tính tích cực, chủ động,
sáng tạo của HS. PPDH tích cực hướng tới việc hoạt động hóa, tích cực hóa
HS. Có thể nêu bốn dấu hiệu đặc trưng cơ bản của PPDH tích cực đó là [11]:
- Dạy và học thông qua tổ chức các hoạt động học tập của HS.
- Dạy và học chú trọng rèn luyện phương pháp tự học.
- Tăng cường học tập cá thể, phối hợp với học tập hợp tác.
- Kết hợp đánh giá của GV với tự đánh giá của HS.
1.2. Tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh
1.2.1. Tính tích cực học tập của học sinh
Tiền đề của tính tích cực học tập là tính tích cực sinh học. Hứng thú và

ý chí cá nhân là hạt nhân của tính tích cực. Tính tích cực cá nhân là cơ sở, là
nền tảng của tính tích cực học tập. Có thể nói tính tích cực học tập là dạng
phân hóa của tính tích cực cá nhân, nó có vai trị chun biệt như một con
đường cơ bản để người học đạt được các mục tiêu trong lĩnh vực học tập. Khi
nói đến tính tích cực học tập, trước tiên cần hiểu tính tích cực cá nhân gồm có
tính tích cực bên ngồi và tính tích cực bên trong gồm các thành tố cơ bản
như: Tính tích cực nhận thức; tính tích cực giao tiếp, hành động và giao lưu.
- Tính tích cực nhận thức:
Cấu trúc của hoạt động nhận thức bao gồm năng lực nhận thức và động
cơ nhận thức (thái độ, tình cảm, ý chí,...). Tính tích cực nhận thức địi hỏi chủ
thể nhận thức phải năng động linh hoạt thay đổi liên tục mơ hình cấu trúc tâm
lý của hoạt động nhận thức.
Biểu hiện của tính tích cực nhận thức là: Khả năng định hướng đối với
nhiệm vụ của hoạt động nhận thức và định hướng khi nghiên cứu tài liệu;


8

hứng thú sâu sắc đối với việc học tập, với đối tượng nghiên cứu; sự tập trung
chú ý cao, sự căng thẳng trí tuệ; sự say sưa nhiệt tình đối với nhiệm vụ nhận
thức; có ý chí kiên trì, khắc phục khó khăn để hồn thành nhiệm vụ nhận
thức; khả năng linh hoạt trong quá trình nhận thức như đặt vấn đề, giải quyết
vấn đề, kiểm tra kết quả giải quyết vấn đề. Đây là biểu hiện đặc trưng nhất
của tính tích cực nhận thức.
Trong hoạt động học tập, tính tích cực nhận thức là cơ sở của tính độc
lập. Tính độc lập lại là cơ sở của tính sáng tạo. Tính sáng tạo gồm cả tính độc
lập và tính tích cực nhận thức.
- Tính tích cực giao tiếp, hành động và giao lưu:
Là sự hợp thành của hai yếu tố năng lực giao tiếp, năng lực hành động
và động cơ, ý chí của cá nhân.

Biểu hiện của tính tích cực giao tiếp và năng lực giao lưu hành động
của cá nhân là: Khả năng định hướng đối với các nhiệm vụ giao tiếp (giao tiếp
với GV, với bạn học, với máy vi tính, với tài liệu học tập,...); hứng thú sâu sắc
đối với các đối tượng giao tiếp; sự tập trung cao độ để thực hiện các mục tiêu
giao tiếp; phải có ý chí kiên trì khắc phục khó khăn để đạt được các mục tiêu
giao tiếp,...
Trong quá trình dạy học, tính tích cực học tập của HS là yếu tố quyết
định kết quả cuối cùng của quá trình dạy học, là yếu tố quyết định sự trưởng
thành của nhân tố người học.
1.2.2. Tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh
Trước tiên chúng tơi hiểu tích cực hóa là tác động để làm cho ai đó, sự
vật nào đó trở nên năng động hơn, linh hoạt hơn, thể hiện hoạt tính của chúng
nhiều hơn, cao hơn so với trước đây. Tác giả Đặng Thành Hưng: Tích cực hóa
hoạt động của HS có nghĩa là làm cho HS sống và hoạt động, làm việc tới
mức tối đa so với tiềm năng và bản chất của mỗi người, so với vốn tri thức,
vốn kinh nghiệm và điều kiện thực tế của HS [12]. Như vậy, với quan niệm


9

này thì tích cực hóa hoạt động của HS là q trình phát huy những năng lực
sẵn có của HS.
Khi quan niệm về tính tích cực hóa hoạt động học tập của HS, tác giả
Nguyễn Như An: Tích cực hóa hoạt động học tập của HS là hoạt động có mục
đích của người GV nhằm hồn thiện nội dung, phương pháp, hình thức tổ
chức dạy học, các phương tiện kỹ thuật dạy học để kích thích hứng thú học
tập, nâng cao tính tích cực độc lập, sáng tạo của HS trong việc nắm tri thức,
rèn kỹ năng, kỹ xảo, vận dụng tri thức, kỹ năng, kỹ xảo vào thực tế, là quá
trình người GV hiểu sâu sắc bản chất quá trình tích cực độc lập sáng tạo của
HS để đề ra các biện pháp lãnh đạo quá trình học tập của HS đạt kết quả tối

ưu [12]. Theo tác giả Nguyễn Như An thì bản chất của tích cực hóa hoạt động
học tập của HS chính là q trình GV sử dụng các biện pháp tổ chức dạy học
nhằm phát huy được tính tích cực, tính chủ động, tính độc lập sáng tạo của HS
trong quá trình học tập.
Theo chúng tơi, tích cực hóa hoạt động học tập của HS là quá trình
người GV sử dụng các PPDH, các hình thức tổ chức dạy học, các biện pháp
dạy học, các phương tiện kỹ thuật dạy học nhằm chuyển biến vị thế của người
học từ chỗ là chủ thể tiếp nhận học vấn một cách thụ động, một chiều, bảo sao
nghe vậy trở thành một chủ thể năng động, tích cực, sáng tạo, tự giác, tự lực
tiến hành các hành động học tập của mình ở cấp độ hoạt động cá nhân.
Một số biện pháp tích cực hóa hoạt động học tập của HS trong dạy học
mơn Tốn ở trường THPT như:
- Cá nhân hóa việc học: Sử dụng các biện pháp kỹ thuật cụ thể, chuyên
biệt để tạo ra hoạt động học tập của cá nhân trong mơi trường nhóm, lớp cùng
hướng vào mục tiêu chung.
- Phân hóa dạy học: Nội dung và phương thức hoạt động trong môn học
được thực hiện theo nhiều hướng khác nhau: chia nhóm năng lực, chia nhóm
theo hứng thú, chia nhóm theo nhu cầu, nhóm hợp tác... Xây dựng và thực
hiện các phương án chương trình và tổ chức các HS khác nhau về trình độ, về


10

tính chất, về tiến độ, cấu trúc... Xây dựng hệ thống các bài tập khác nhau với
những đối tượng khác nhau, trong đó có bài tập bắt buộc và bài tập tự chọn.
- Tích hợp trong dạy học: Tích hợp bộ mơn Tốn với các bộ mơn khác
như Vật lý, Tin học.... nhằm phát huy tính tích cực học tập của HS.
- Sử dụng kỹ thuật tương tác đa phương tiện để kích thích q trình học
tập ở HS: Sử dụng các phương tiện dạy học nhằm cung cấp thông tin cho HS.
Công nghệ thông tin trong dạy học vừa là công cụ tổ chức học tập, vừa là

công cụ học tập của người học, vừa là phương tiện hỗ trợ người GV trong quá
trình giảng dạy đồng thời lại là đối tượng giao tiếp của người HS. Tổ chức các
tình huống dạy học trên máy tính, sử dụng trị chơi trên máy tính
- Sử dụng PPDH thích hợp. Tập luyện cho HS thực hiện các hoạt động
toán học. Huy động vốn tri thức, vốn kinh nghiệm sẵn có của HS trong học
tập. Chú trọng khai thác tri thức lịch sử toán trong dạy học; tăng cường mối
liên hệ giữa kiến thức toán học với thực tiễn,...
1.3. Những cơ sở của khai thác tri thức lịch sử toán trong dạy học
1.3.1. Các giai đoạn phát triển tri thức toán học
Theo tư liệu nghiên cứu lịch sử toán, di chỉ khảo cổ có niên đại 30.000
năm trước lồi người đã có những hiểu biết về tốn, đó là đếm và tạo ra dụng
cụ để đếm. Tuy nhiên kiến thức toán của nhân loại mỗi thời có những đặc
điểm khác nhau, nội dung tri thức toán mỗi thời cũng khác nhau. Căn cứ vào
sự khác nhau đó các nhà nghiên cứu lịch sử tốn đã có sự thống nhất với nhau
ở một mức nhất định về sự phân chia lịch sử phát triển của tri thức toán học
thành các giai đoạn:
- Giai đoạn phát sinh toán học. Đây là giai đoạn đầu tiên của sự phát
triển hệ thống tri thức toán của nhân loại. Tri thức toán của nhân loại trong
giai đoạn này chỉ là những hiểu biết sơ đẳng, riêng lẻ, mang tính thực nghiệm,
tính kinh nghiệm của chung cộng đồng dân cư và thường nằm trong khối tri
thức tổng hợp của nhân loại. Đó là những hiểu biết được tích lũy từ hoạt động
thực tiễn, từ nhu cầu của cuộc sống, chẳng hạn như nhu cầu đếm, nhu cầu nhớ


11

đường đi về, ước lượng khoảng cách trong quá trình dịch chuyển hay săn bắn,
nhu cầu đo đạc ruộng đất trong canh tác, nhu cầu xây dựng, . . . Lúc này chưa
có phương pháp riêng, chưa có tính hệ thống và thường khơng có lập luận,
khơng có giải thích. Căn cứ vào các tư liệu còn lại đến ngày nay, các nhà

nghiên cứu lịch sử toán thống nhất rằng giai đoạn phát sinh toán học kéo dài
đến khoảng thế kỷ VII trước công nguyên. Để nghiên cứu nội dung kiến thức
toán của nhân loại trong giai đoạn phát sinh, người ta phân tích các nội dung
được ghi trên các tấm đất sét nung (gọi là plimpton) của người Babylon hay
các bản cỏ ép (gọi là papyrus) của người Ai cập. Có khoảng nửa triệu tấm
plimpton đã được tìm thấy có niên đại khoảng từ năm 2.400 trước cơng
ngun đến năm 1.100 trước cơng ngun, trong đó có khoảng 300 tấm có ghi
chép các nội dung về tốn. Các bản papyrus của người Ai cập có nội dung
tốn hiện cịn giữ được có niên đại từ năm 1.850 trước cơng ngun đến năm
1.350 trước cơng ngun.
- Giai đoạn tốn học sơ cấp. Tiếp theo giai đoạn phát sinh toán học là
giai đoạn toán học sơ cấp. Trong giai đoạn này lượng kiến thức đã khá phong
phú, đã có sự giải thích, chứng minh, lập luận trong việc trình bày tri thức
tốn, đã có phương pháp nghiên cứu tốn riêng. Phương pháp suy diễn đã ra
đời và trở thành phương pháp đặc trưng cho toán học. Tuy nhiên giai đoạn
này toán học mới nghiên cứu những đại lượng không đổi, rời rạc, đơn giản.
Giai đoạn toán học sơ cấp được bắt đầu bởi những đóng góp của các nhà tốn
học Hy Lạp mà người đầu tiên là Ta-lét (thế kỉ VII trước công nguyên – thế kỉ
VI trước công nguyên). Giai đoạn toán học sơ cấp kéo dài suốt hơn hai nghìn
năm, đến hết thế kỉ XVI sau cơng ngun. Hầu hết nội dung mơn tốn trong
chương trình phổ thơng hiện nay đều đã có từ giai đoạn tốn học sơ cấp. Các
quốc gia có sự phát triển tốn học cao trong giai đoạn toán học sơ cấp là Hy
Lạp, Trung Quốc, Ấn Độ, các nước ở vùng Trung cận đông. Đến thế kỷ XIV
Châu Âu khơng phải là nơi có nền toán học phát triển. Chỉ từ thời Phục hưng,


12

tốn học Châu Âu mới có sự phát triển đáng kể và dần dần chiếm ưu thế trên
trường quốc tế trong giai đoạn phát triển sau đó của tốn học.

- Giai đoạn toán học cao cấp cổ điển. Từ thế kỷ XVII đến đầu thế kỷ
XIX là một giai đoạn phát triển mạnh của toán học. Trong giai đoạn này tốn
học đã có sự thay đổi về chất: đối tượng nghiên cứu của tốn học là các q
trình liên tục, phương pháp nghiên cứu tốn học cũng có sự thay đổi, kết quả
nghiên cứu đạt được rất phong phú. Hầu hết nội dung toán được giảng dạy
trong các trường đại học khơng chun về tốn ngày nay là kiến thức tốn học
của giai đoạn này. Châu Âu chiếm vị trí phát triển toán học nhất trong giai
đoạn toán học cao cấp cổ điển. Những thành tựu nổi bật nhất của giai đoạn
Toán cao cấp cổ điển là: Sự ra đời của đại lượng biến thiên và Hình học giải
tích do Đề-các (Descartes) xây dựng cùng với sự góp cơng hồn thiện của
nhiều nhà toán học khác; Sự ra đời của phép tính vi phân và phép tính tích
phân do Niu-tơn (Newton) và Lai-bơ-nít (Leibniz) độc lập khám phá; những
kết quả về Số học của Phéc-ma (Fermat) trong đó có bài toán nổi tiếng đưa ra
từ thế kỷ XVII mà đến tận cuối thế kỷ XX mới có người giải quyết được; Sự
ra đời của Hình học xạ ảnh khởi đầu bởi cơng trình của Deusart, sự ra đời của
Hình học họa hình do Mon-giơ (Monger) đề xuất.
- Giai đoạn tốn học hiện đại. Giai đoạn toán học hiện đại bắt đầu từ
những năm đầu thế kỷ XIX và từ giữa thế kỷ XIX cho đến nay phát triển hết
sức mạnh. Trong giai đoạn này toán học phát triển trên một diện rộng lớn.
Nhiều vấn đề toán học được đề xuất nghiên cứu và có sự liên kết giữa các nhà
tốn học ở nhiều quốc gia với nhau. Khởi đầu của toán học hiện đại là việc
giải quyết ba vấn đề lớn: Nghiên cứu định đề V của Ơ-clit (Euclide) và sự ra
đời của Hình học Lobashevxky cùng với các Hình học phi Ơ-clit khác; Vấn
đề giải phương trình đa thức bậc lớn hơn 4 với các cơng trình của A-ben
(Abel) và Ga-loa (Galois); Vấn đề xây dựng một hệ thống số thực chặt chẽ để
đảm bảo sự phát triển của Giải tích tốn học. Nhu cầu thực tiễn sản xuất xã
hội và nhu cầu nội tại toán học đã thúc đẩy toán học hiện đại theo các hướng:


13

xây dựng các lý thuyết tổng quát bao trùm nhiều lĩnh vực nghiên cứu như các
cấu trúc đại số trừu tượng, cấu trúc tơ pơ, cấu trúc thứ tự, lí thuyết phạm trù;
nghiên cứu các lý thuyết toán học hữu hạn, tốn học rời rạc, các q trình
ngẫu nhiên nhằm kiểm soát các hệ thống phức tạp; nghiên cứu lý thuyết tối ưu
theo nhiều cách tiếp cận khác nhau; với sự ra đời của máy tính điện tử, lý
thuyết ngơn ngữ hình thức, lý thuyết thuật tốn ngày càng có những bước
phát triển mạnh mẽ... Thực ra thuật ngữ "toán học hiện đại" cũng cần được
hiểu một cách tương đối, có tính chất thời điểm.
Phong trào cải cách giáo dục toán học được khởi xướng từ đầu thế kỉ
XX đã đặt ra vấn đề phải làm giảm khoảng cách giữa nội dung mơn Tốn
trong nhà trường với thành tựu phát triển của toán học. Một số nhà nghiên
cứu toán học và lí luận dạy học đã đưa ra ý kiến cho rằng, cần phải đưa một
số kiến thức toán học hiện đại vào giảng dạy trong các trường phổ thông. Tuy
nhiên, thực tiễn giáo dục đã cho thấy mọi sự cố gắng cải cách một cách triệt
để nội dung dạy học mơn Tốn trong các trường phổ thơng đều khơng mang
lại hiệu quả. Từ thực tế đó, xu hướng chung được nhiều người thừa nhận là
nội dung mơn Tốn ở trường phổ thông chủ yếu vẫn phải bao gồm các tri thức
tốn học truyền thống nhưng cần được trình bày dưới sự soi sáng của toán học
hiện đại. Với quan điểm đó khơng cần đưa nhiều kiến thức tốn hiện đại vào
chương trình dạy học mà vẫn làm cho kiến thức mơn Tốn tiếp cận được với
xu thế phát triển của tốn học. Với một chương trình như vậy địi hỏi người
GV phải có những hiểu biết nhất định về tốn học hiện đại để nhìn nhận nội
dung dạy học mơn Tốn phổ thơng một cách thống nhất.
1.3.2. Sự chuyển hóa sư phạm tri thức tốn học và tri thức dạy học
Theo Nguyễn Bá Kim, Bùi Huy Ngọc [16, tr.17], trong lý luận dạy học
cần có sự chuyển hóa sư phạm giữa ba bấp độ tri thức:
- Tri thức khoa học: Ở cấp độ các nhà khoa học, người ta nói tới tri thức
khoa học (ở đây được hiểu là tri thức tốn học). Đó là đối tượng của nhận
thức. Hoạt động khoa học liên hệ với lịch sử cá nhân của nhà nghiên cứu. Để

14

thông báo một tri thức, các nhà nghiên cứu thường xóa bỏ lịch sử của tri thức
đó, khơng nêu lại tình huống cụ thể, tức là đã phi hồn cảnh hóa; đồng thời bỏ
qua những tìm tịi, dự đốn, sai lầm của cá nhân mình, tức là phi cá nhân hóa.
Nhà nghiên cứu chỉ thể hiện tri thức đúng đắn mà cuối cùng đã đạt được, dưới
một dạng tổng quát nhất có thể được, theo những quy tắc diễn đạt hiện hành
trong cộng đồng khoa học.
- Tri thức chương trình: Tri thức khoa học còn phải được sàng lọc, định
mức độ yêu cầu và cách thức diễn đạt cho phù hợp với mục tiêu và điều kiện
xã hội để đảm bảo sự tương hợp của hệ thống dạy học với mơi trường của nó
thì mới trở thành tri thức chương trình. Cơng việc này chịu sự tác động của
cộng đồng xã hội: Những nhà nghiên cứu chương trình, những nhà giáo dục,
những nhà toán học, GV và phụ huynh học sinh,... Tri thức chương trình là
đối tượng dạy học, là mục tiêu dạy của GV và mục tiêu học của HS.
- Tri thức dạy học: Ở cấp độ lớp học, ta nói tới tri thức dạy học. Để đạt
được mục tiêu dạy học, GV phải tổ chức lại tri thức quy định trong chương
trình, SGK và biến thành tri thức dạy học theo khả năng sư phạm của mình,
với những ràng buộc của lớp, phù hợp với trình độ HS và những điều kiện
học tập khác.
Sự chuyển hóa sư phạm bao gồm hai khâu: chuyển tri thức khoa học
thành tri thức chương trình và chuyển tri thức chương trình thành tri thức dạy
học. Do đó để dạy tốt mơn Tốn ở trường THPT, GV cần hiểu được sự
chuyển hóa từ tri thức khoa học (toán học hiện đại) vào tri thức chương trình
mơn Tốn mà mình giảng dạy thì mới có thể tích cực hóa hoạt động học tập
của HS. GV cần nắm vững các cơ sở Toán học hiện đại của kiến thức mơn
Tốn trong chương trình phổ thơng như: Tập hợp, ánh xạ, các phép toán đại
số, cấu trúc đại số... GV có khả năng vận dụng các kiến thức của Toán cao

cấp để soi xuống Toán sơ cấp trong chương trình phổ thơng, nhìn nhận các
mạch kiến thức Tốn ở phổ thơng trên quan điểm Tốn cao cấp để trong quá
trình dạy học tổ chức hướng dẫn HS con đường khám phá tìm kiếm những nội


15

dung kiến thức thiết thực thông qua các bước chuyển hóa sư phạm giữa các tri
thức.
Theo Nguyễn Chiến Thắng [31], chẳng hạn với khái niệm Giới hạn hàm
số ta có:
- Tri thức khoa học: Trong Toán cao cấp định nghĩa là “Cho hàm số f
xác định trên tập X ⊂ ℝ và x0 là một điểm tụ của tập X. Số thực L ∈ ℝ được
gọi là giới hạn của hàm số f khi x dần đến x 0 nếu ∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0: ∀x ∈ X
mà 0 < |x - x0| < δ ⇒ |f(x) - L| < ε”.
- Tri thức chương trình: Tuy nhiên khi đưa khái niệm này vào trong
SGK thì khái niệm này được định nghĩa như sau “Cho khoảng K chứa điểm x0

và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên K\{x0}. Ta nói hàm số y = f(x) có

giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu dãy số (xn) bất kì, xn ∈ K\{x0} và xn → x0,
ta có f(xn) → L” (SGK Đại số và Giải tích 11, NXB Giáo dục, 2007).
Về mặt Tốn học, định nghĩa giới hạn hàm số theo ngôn ngữ δ - ε tương
đương với định nghĩa theo ngôn ngữ dãy. Điều khác biệt trong hai định nghĩa
trên chính là khái niệm “điểm tụ” (hay điểm giới hạn) trong định nghĩa thứ
hai, đây là một khái niệm của Tôpô trên không gian ℝ, khái niệm này được
định nghĩa trong Toán cao cấp như sau: “x0 ∈ ℝ được gọi là điểm tụ của tập
hợp A nếu và chỉ nếu ∀ε > 0, (A\ {x0}) ∩ (x0 - ε; x0 + ε) ≠ ∅”, trong đó,
khoảng (x0 - ε; x0 + ε) gọi là ε - lân cận của x0 và được kí hiệu là Uε(x0). Ta
biết rằng điểm tụ có thể thuộc hoặc khơng thuộc tập hợp A. Như vậy, có một

sự bỏ qua tính chính xác trong định nghĩa vì khái niệm điểm tụ khơng thể
trình bày chính xác cho HS hiểu được. Do đó, khi dạy khái niệm Giới hạn
hàm số cần đưa ra các ví dụ yêu cầu HS tính giới hạn của một hàm số tại một
điểm liên quan đến đặc điểm của điểm tụ có thể thuộc hoặc không thuộc tập
xác định.


16

- Tri thức dạy học: Từ khái niệm Giới hạn của hàm số, GV có thể truyền
thụ cho HS tri thức phương pháp để vận dụng khái niệm này để giải quyết
một số dạng toán sau:
Dạng 1: Sử dụng định nghĩa chứng minh hàm số y = f(x) có giới hạn là
L khi x dần tới a.
Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x).
Bước 2: Giả sử (xn) là một dãy số bất kì, xn thuộc D, khác a và xn→ a.
Bước 3: Tính lim f ( xn ) .
lim
Bước 4: Nếu lim f ( xn ) = L thì kết luận x→a f ( x) = L .

Dạng 2: Sử dụng định nghĩa chứng minh hàm số y = f(x) khơng có giới
hạn là L khi x dần tới x0.
Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x).
Bước 2: Chọn hai dãy số khác nhau (an) và (bn) thỏa mãn an, bn thuộc D
và khác x0: an→ x0, bn→ x0.
Bước 3: Chứng minh lim f (an ) ≠ lim f (bn ) hoặc chứng minh một trong
hai giới hạn đó không tồn tại.
Để GV hiểu lịch sử phát triển của tốn học và có khả năng thẩm thấu
việc vận dụng kiến thức toán cao cấp để soi sáng toán phổ thơng và từ đó tổ
chức cho HS con đường khám phá tìm kiếm các nội dung kiến thức, GV cần

thực hiện các bước như sau:
Bước 1: Nghiên cứu mối quan hệ giữa phần kiến thức Tốn phổ thơng
với cơ sở lý thuyết trong toán học cao cấp và toán sơ cấp được trang bị ở
trường Sư phạm.
Bước 2: Sử dụng góc nhìn và ngơn ngữ của Tốn cao cấp để phân tích
kiến thức Tốn phổ thơng nhằm làm rõ bản chất sâu sắc về khoa học tốn học.
Bước 3: Thơng qua hoạt động chuyển đổi ngôn ngữ để tiến hành chuyển
hóa sư phạm tri thức khoa học - tri thức chương trình - tri thức dạy học.


17

1.3.3. Mối liên hệ giữa nguồn gốc, lịch sử toán học và thực tiễn
Theo Ăng-ghen, đối tượng của toán học là những quan hệ số lượng và
hình dạng khơng gian của thế giới hiện thực. Do đó, tốn học là khoa học về
quan hệ số lượng và hình dạng khơng gian của thế giới khách quan, được hình
thành và phát triển trên cơ sở của những hoạt động thực tiễn của xã hội lồi
người. Tốn học là khoa học rất thực tiễn. Song đối tượng của tốn học khơng
phải do thực tại đã cho một cách trực tiếp, mà là kết quả của một sự trừu
tượng hóa. Muốn nghiên cứu một đối tượng hay hiện tượng nào đó bằng
phương tiện tốn học thì phải gạt bỏ tất cả các đặc điểm về chất của đối tượng
và hiện tượng, mà chỉ giữ lại những đặc trưng về số lượng và hình dạng mà
thôi. Làm như vậy, chẳng hạn, ta được điểm là khơng có kích thước, đường là
khơng có bề dày và bề rộng, những đại lượng không đổi và những đại lượng
biến thiên. Trong q trình phát triển, tốn học khảo sát những đối tượng
thuộc về quan hệ số lượng và hình dạng khơng gian ngày càng trừu tượng.
Đối với các lý thuyết toán học hiện đại, các quan hệ và hình dạng đó thường
hết sức trừu tượng: người ta thường nói đến các tập hợp những phần tử mà
các tính chất của chúng và quy tắc tính về chúng được cho bằng một hệ tiên
đề. Những quan hệ mới xuất hiện trong quá trình phát triển của một lý thuyết

tốn học ra ngồi phạm vi của các tiên đề thì phải được định nghĩa qua các
tiên đề đó.
Đối tượng của tốn học ngày càng mang tính chất trừu tượng cao độ,
nhưng nguồn gốc phát sinh và phát triển bao giờ cũng là thực tiễn. Vì vậy,
giảng dạy tốn cho HS, người GV cần hết sức lưu ý gắn liền với đời sống, với
thực tiễn phong phú của xã hội. Tính trừu tượng của tốn học chỉ che lấp chứ
khơng hề làm mất đi tính thực tiễn của nó. Với vai trị là mơn học cơng cụ nên
các tri thức, kĩ năng và phương pháp làm việc của mơn Tốn được sử dụng
cho việc học tập các môn học khác trong nhà trường, trong nhiều ngành khoa
học khác nhau và trong đời sống thực tế. Chẳng hạn, trong Vật lí chúng ta gặp
mối liên hệ giữa quảng đường đi được s và thời gian t trong một chuyển động


18

đều biểu thị bởi: s = vt, mối liên hệ giữa hiệu điện thế U và cường độ dòng
điện I khi điện trở R không đổi biểu thị bởi: U = I.R; trong Hình học chúng ta
gặp mối liên hệ giữa chu vi C và bán kính R của đường trịn biểu thị bởi:
C = 2 π R; trong Hóa học chúng ta gặp mối liên hệ giữa phân tử gam M của
một chất khí với tỉ khối d của chất khí đó đối với khơng khí biểu thị bởi:
M = 29d; mối quan hệ giữa giá tiền p với chiều dài n của tấm vải biểu thị bởi:
p = a.n;… Bằng cách trừu tượng hóa, gạt ra một bên các đại lượng cụ thể và
chỉ chú ý tới quan hệ của các đại lượng đó, chúng ta có hàm số y = a.x.
Do vậy, có thể nói rằng, mơn Tốn có nhiều tiềm năng liên hệ với thực
tiễn trong dạy học. Theo [11, tr. 71] thì liên hệ với thực tiễn trong q trình
dạy học Tốn là một trong ba phương hướng thực hiện Ngun lí giáo dục nói
trên. Cụ thể là cần liên hệ với thực tiễn qua các mặt sau:
- Nguồn gốc thực tiễn của Toán học: số tự nhiên ra đời do nhu cầu đếm,
hình học xuất hiện do nhu cầu đo đạc lại ruộng đất sau những trận lụt bên bờ
sông Nil (Ai cập), …

- Sự phản ánh thực tiễn của Toán học: khái niệm véctơ phản ánh những
đại lượng đặc trưng không phải chỉ bởi số đo mà còn bởi hướng, chẳng hạn
vận tốc, lực,… khái niệm đồng dạng phản ánh những hình đồng dạng nhưng
khác nhau về độ lớn… trong Tốn học có chứng minh thuận, chứng minh đảo
thì trong cuộc sống ta thường khuyên nhau: "nghĩ đi rồi phải nghĩ lại", "có
qua có lại", "sống phải có trước có sau", …
- Các ứng dụng thực tiễn của Toán học: Ứng dụng lượng giác để đo
khoảng cách không tới được, đạo hàm được ứng dụng để tính vận tốc tức thời,
tích phân được ứng dụng để tính diện tích, thể tích…
Muốn vậy, GV cần quan tâm tăng cường cho HS nắm bắt tri thức lịch
sử toán để hiểu được nguồn gốc của toán học, giá trị của tri thức toán học
trong giải quyết những bài tốn có nội dung thực tiễn. Lịch sử tốn học đã
chứng tỏ rằng tốn học chỉ có thể phát triển mạnh mẽ nếu nó đi sâu nghiên


19

cứu các hiện tượng trong thực tiễn của đời sống. Ở A-ten, vào thế kỉ thứ V
trước cơng ngun, tốn học phát triển được chủ yếu là do cuộc đấu tranh
thắng lợi của quan điểm duy vật – mà đứng đầu là nhà triết học Đê-mơ-crít
chống quan điểm duy tâm. Ở “thời đại hồng kim” của tốn học, Ac-si-mét,
Ê-stơ-ten và nhiều nhà toán học khác ở A-lec-xăng-dri đã xây dựng tốn học
trên cơ sở thực tiễn, và do đó đã thúc đẩy khoa học rất nhiều. Trong thời kì
“đêm trường trung cổ” của Châu Âu, khi toàn bộ khoa học bị tập trung vào
nhà thờ, thì tốn học hồn tồn khơng phát triển được.
Mãi đến thế kỉ XVI, tốn học mới lại phát triển, do yêu cầu của sức sản
xuất của xã hội tư sản mới phôi thai. Và cùng với sự phát triển của sản xuất,
của khoa học kĩ thuật, các quan điểm duy vật trong toán học ngày càng được
chứng minh. Nhà vật lý học Ga-li-lê đã xác nhận giá trị khách quan của tốn
học trong những dịng sau đây: “Vật lý và thiên văn học viết trong những sách

dày bao giờ cũng rộng mở cho mọi người... Vật lý và thiên văn học được diễn
tả bằng ngôn ngữ của tốn học, và cách kí hiệu của nó là những hình tam giác,
hình trịn và những hình tốn học khác”.
Đối với Niu-tơn thì thời gian và khơng gian tồn tại khách quan, và
nghiên cứu cái đó là vấn đề của toán học và cơ học. Nhà toán học vĩ đại Ơ-le
đã nhấn mạnh nhiều lần rằng “cảm giác chỉ cung cấp cho chúng ta những cái
tồn tại thực tế bên ngồi”, và “con người có khả năng trừu tượng hóa từ cái
thực tế bên ngồi, và chính theo đường lối đó mà các khái niệm được hình
thành, đặc biệt là khái niệm về số và hình”.
Trên đây chỉ là một vài vấn đề rất sơ lược về triết học trong toán học,
việc hiểu biết lịch sử toán cũng như về triết học trong toán học là rất cần thiết
đối với người dạy toán và học toán. Việc hiểu biết về các quan điểm duy vật
trong toán học càng giúp cho người học hiểu rõ thêm về vai trò của thực tiễn
đối với sự phát triển của toán học.
Ta có thể nhận thấy được tác dụng trực tiếp của những vấn đề khoa học
tự nhiên đến sự phát triển của tốn học trong suốt q trình lịch sử của toán


20

học. Chẳng hạn như phép tính vi phân và tích phân ở dạng đầu tiên được xuất
hiện từ phương pháp tổng quát nhất để giải các bài toán cơ học, cơ học vũ trụ.
Lý thuyết các đa thức, sai ít nhất so với số không, đã được viện sĩ Nga
Sê-Bư-Sép nghiên cứu khi nghiên cứu vấn đề về máy hơi nước. . . Ngày nay,
do ảnh hưởng trực tiếp từ những nhu cầu trong các lĩnh vực mới về kỹ thuật,
mà nhiều ngành toán học đã phát triển rất mạnh mẽ: các phương pháp giải gần
đúng phương trình vi phân đạo hàm riêng và phương trình tích phân, các
phương pháp của lý thuyết nhóm, . . .
Ngược lại thì thực tiễn, đặc biệt là kỹ thuật, lại là một phương tiện hỗ
trợ không thể thay thế được trong việc nghiên cứu tốn học và có tác dụng

làm thay đổi nhiều bộ mặt của tốn học. Các máy tính điện tử đã mở ra một
khả năng vô hạn để mở rộng loại các bài toán, giải được bằng phương tiện của
toán học, và làm thay đổi mối quan hệ giữa các phương pháp tìm lời giải đúng
và gần đúng.
Từ những điều đó HS hiểu rõ được tính chất thực tiễn của tốn học,
cũng như các mơn khoa học khác như vật lý, hóa học, sinh học, . . . tốn học
cũng phát sinh và phát triển trên cơ sở nhu cầu thực tiễn của con người và để
thỏa mãn những nhu cầu ấy. Khi học toán, nếu các em biết được trong điều
kiện thực tế nào, những nguyên nhân khách quan nào đã làm phát sinh khái
niệm này hay khái niệm khác, hoặc đã thúc đẩy sự phát triển của một lý
thuyết tốn học nào thì sẽ bồi dưỡng được quan điểm duy vật cho HS, đã phá
luận điệu duy tâm cho rằng toán học là sự sáng tạo tùy ý của con người,
khơng liên quan gì đến thế giới hiện thực. Điều đó góp phần xây dựng tư
tưởng vơ thần, chống mê tín, dị đoan, dần dần xây dựng cơ sở thế giới quan
khoa học cho HS.
Quá trình phát triển của các toán học phản ánh các quy luật của biện
chứng. Ví dụ: Từ lớp 5 đến lớp 12, khái niệm về số liên tục được mở rộng, từ
số tự nhiên đến số nguyên dương, số hữu tỉ, số thực và cuối cùng là số phức.
Khái niệm về số đã phát triển dần dần do nhu cầu của thực tiễn và được mở