Đa tạp Grassmann với một số tính chất hình học và tính chất hình học đại số của nó

1

MỤC LỤC
MỤC LỤC ......................................................................................................... 1
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 2
CHƯƠNG 1.CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ................................................ 4
1.1. Đa tạp khả vi ..................................................................................... 4
1.2. Tác động của một nhóm trên một tập hợp và không gian quỹ
đạo .......................................................................................................... 10
CHƯƠNG 2. ĐA TẠP GRASSMANN VỚI MỘT SỐ TÍNH CHẤT
HÌNH HỌC VÀ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC ĐẠI SỐ CỦA NÓ ................. 20
2.1 Định nghĩa đa tạp Stiefel................................................................ 20
2.2 Mệnh đề. .......................................................................................... 20
2.3 Định nghĩa đa tạp Grassman......................................................... 21
2.4. Một số cách xây dựng của đa tạp Grassmann ............................. 21
2.5. Dạng chính tắc và ngăn Schubert của không gian xạ ảnh ......... 25
2.6. Dạng chính tắc và ngăn Schubert của đa tạp Grassmann ......... 30
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 36
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................. 37


2

MỞ ĐẦU

Ta đã được biết nhiều về hình học xạ ảnh. Về mặt tập hợp, không gian xạ
ảnh là tập tất cả các đường thẳng của không gian affine cùng đi qua một điểm
và một tập hợp như vậy được gọi là bó đường thẳng. Vậy không gian tất cả
các mặt phẳng cùng đi qua một điểm; hay tổng quát hơn là tập tất cả các
p-phẳng (p  2) của không gian affine cùng đi qua một điểm là không gian gì?
Không gian tổng quát này chính là không gian Grassmann hay đa tạp

Grassmann. Đa tạp Grassmann này có các tính chất gì liên quan đến hình học
nói chung, hình học đại số nói riêng?
Với mong muốn hiểu biết tốt hơn vấn đề vừa nêu nên dưới sự hướng dẫn
của PGS.TS Nguyễn Huỳnh Phán, tôi chọn đề tài:
“ĐA TẠP GRASSMANN VỚI MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC VÀ
TÍNH CHẤT HÌNH HỌC ĐẠI SỐ CỦA NÓ”
Nội dung của luận văn trình bày và sắp xếp theo một hệ thống định nghĩa,
khái niệm kèm với chứng minh chi tiết mệnh đề, định lý về tính chất hình học
và tính chất hình học đại số của đa tạp Grassmann cùng với một số cách xây
dựng đa tạp Grassmann.
Luận văn gồm 2 chương.
Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Đa tạp Grassmann với một số tính chất hình học và tính chất
hình học đại số của nó.
Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Đồng Tháp dưới sự hướng
dẫn của thầy, PSG.TS Nguyễn Huỳnh Phán. Tác giả xin bài tỏ lòng biết ơn
sâu sắc của mình đến thầy. Nhân dịp này, tác giả xin cảm ơn các thầy trong bộ
môn Hình học, Khoa Toán Trường Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy và


3

giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập. Cuối cùng, xin cám ơn gia đình
và bạn bè trong lớp Cao học 19 Hình học đã cộng tác giúp đỡ tác giả trong
suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Đồng Tháp, ngày 31 tháng 08 năm 2013
Tác giả

Huỳnh Đình Bảo Huy

4

CHƯƠNG 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này trình bày một số các khái niệm, định nghĩa, tính chất liên
quan chuẩn bị cho nội dung chính của luận văn như đa tạp khả vi,tác động của
một nhóm trên một tập hợp và không gian quỹ đạo và một số kiến thức liên
quan.
1.1. ĐA TẠP KHẢ VI
Trong mục này trình bày lý thuyết về đa tạp khả vi như là định nghĩa, ví
dụ minh họa, một số tính chất của đa tạp khả vi và có chứng minh chi tiết.
1.1.1. Định nghĩa


Giả sử M là T2 không gian. Nếu U mở trong M và U * là tập mở trong

R n và  :U  U * đồng phôi thì


(U ,  ) được gọi là một bản đồ của M .

Với p U thì  ( p)  Rn , nên  ( p)   x1 , x2 ,..., xn  . Khi đó  x1 , x2 ,..., xn 

được gọi là tọa độ của p đối với (U ,  ) và (U ,  ) được gọi là hệ tọa độ địa
phương.


Giả sử (U1 , 1 ) và (U 2 , 2 ) là 2 bản đồ của M sao cho W  U1 U 2   .

Khi đó (U1 , 1 ) và (U 2 , 2 ) được gọi là phù hợp nếu ánh xạ:
2 11 : 1 (U1 U 2 )  2 (U1  U 2 ) là vi phôi ( song ánh và khả vi hai chiều)

Chú ý: Ta thấy U1 U 2   và 2 11 : W1  1 (W)  W2  2 (W) ,
(2 11 )1  1 21 và 2 11 được gọi là công thức đổi tọa độ từ (U1 , 1 ) sang

(U 2 , 2 ) đối với các điểm p  W . Ta quy ước là nếu U1  U 2   thì (U1 , 1 ) và
(U 2 , 2 ) là phù hợp.


5

Ví dụ 1: Trong

2

ta lấy M  S1   x; y  / x 2  y 2  1

Đặt U1   x; y   S1 / x  0 
Và 1 :U1

 U* ;



 1 y ; y  y   1;1, U  1;1
2

1 y2 ; y



*

y

Khi đó (U1 , 1 ) là một bản đồ của S 1 .
Chứng minh
* 1 là song ánh:









Giả sử A 1  a 2 ; a và B 1  b2 ; b U1 sao cho 1 ( A)  1 ( B) . Khi đó a  b
và do đó A  B . Vậy 1 là đơn ánh.
Với bất kỳ y   1;1 , lấy X



1 y2 ; y

 thì

X U1 và 1  X   y . Vậy 1 là

toàn ánh.
* 1 là liên tục: điều này hiển nhiên vì 1 là phép chiếu.
1
* 1 là liên tục:

Ta có

11 :U *  U1
x



1  x2 ; x

1
Vì các hàm tọa độ 11 : x


1  x 2 , 121 : x

Do đó 1 là đồng phôi.
Vậy (U1 , 1 ) là một bản đồ của S 1 .

x liên tục nên

11 liên tục.


6

Ví dụ 2: Trong

2

ta lấy M  S 1   x; y  / x 2  y 2  1 .







1
2
*
Đặt U 2   x; y   S / y  0  x; 1  x / x   1;1 ,U 2   1;1

và

 x;

2 :U 2  U 2*
1  x2



x

Khi đó U 2 ;2  là một bản đồ của M  S 1 và U1 ; 1  với U 2 ; 2  là
phù hợp.

Chứng minh
+ Chứng minh tương tự ví dụ 1 thì ta có U 2 ;2  là bản đồ của S 1 .
+ Ta chứng minh U1;1  và U 2 ;2  là phù hợp.
1
Thật vậy: W  U1 U 2   x; y   S / x  0, y  0

W1  1 (W)   0;1 , W2  2 (W)   0;1 .
1
Do đó f : 2 1 :  0;1   0;1

t  1 t2

Khi đó: f là song ánh.
'
f là hàm số khả vi vì f (t ) 

f 1 là hàm số khả vi vì f

1

t
1 t2

, t   0;1 .

: (0;1)   0;1

x

1  x2

7

Vậy U1;1  và U 2 ;2  là phù hợp.
1.1.2. Định nghĩa


Giả sử Giả sử M là T2 không gian.

A  { Ui ;i iI là họ các bản đồ trên

M } nếu A thỏa mãn:

Ui  M .
i/ i
I

ii/ U i ;i  và U j ; j  là phù hợp, với mọi i  j thì ta nói A là một Atlat
của M .




Hai Atlat A  U i ;i iI  , B  V j ; j  jJ

Ui ;i 

 được gọi là phù hợp nếu

và V j ; j  phù hợp với i, j .

Nhận xét: Nếu A và B là hai Atlat phù hợp thì A  B cũng là một Atlat.
1.1.3. Định nghĩa


Nếu A là một Atlat cực đại trên M ( tức là A không nằm trong bất kỳ

Atlat nào) thì A được gọi là một cấu trúc khả vi trên M .


Một T2 - không gian M có cấu trúc khả vi được gọi là đa tạp khả vi

n- chiều.
Nhận xét:


1
Atlat cực đại A gọi là cấu trúc khả vi thì i  j là vi phôi với mọi i, j.



Khi nói M là đa tạp khả vi thì ta chỉ cần chỉ ra một Atlat với số bản đồ

ít nhất có thể để tính toán các phép tính khả vi trên nó.
1
2
2
Ví dụ 1: Lấy M  S   x; y  / x  y  1 . Ta đã chứng minh được U1;1 

và U 2 ;2  là hai bản đồ của M.


8







1
2
*
Đặt U 3   x; y   S / x  0   1  y ; y / y   1;1 ,U 3   1;1

3 :U 3  U3*

và



1 y2 ; y



y

U 4   x; y   S 1 / y  0 

 x;  1 x  / x   1;1,U
2

*
4

  1;1

4 :U 4  U 4*

và

 x;  1  x 
2

x.

Tương tự, ta cũng chứng minh được U 3 ;3  và U 4 ;4  là hai bản đồ của M.
Do đó

U ; 

4

i

i

i 1

là một Atlat của M.

1
Vậy M  S là một đa tạp khả vi 1 – chiều.

Nhận xét. Cho M là đa tạp n – chiều . Ta thấy nếu N là tập mở trong M thì N
cũng là một đa tạp n – chiều.
Chứng minh
Thật vậy, ta thường lấy Atlat của N là thu hẹp của Atlat của M trên N.
Giả sử M là đa tạp m – chiều với tập bản đồ bảo hòa là A  U i ;i iI và
N là đa tạp n – chiều với tập bản đồ bảo hòa là B  V j ;  j  jJ .
Ký hiệu fi j : U i V j  i (U i )   j (V j ) 

(a; b)

 a1;....; am ; b1;....; bn 

nm


9

Khi đó U i  V j , fi j i j là một Atlat của tập tích Đềcác M  N.
Vậy M  N là một đa tạp (m + n ) – chiều.
n
Ví dụ 2: Xét GL(n, R) ={các tự đẳng cấu tuyến tính của R }. Khi đó

GL(n, R) là đa tạp khả vi n 2 - chiều.
Chứng minh: Ta đồng nhất Mat(n  n, R)  R n .
2

Xét ánh xạ det : Mat(n  n, R)  R

A =  x ij 

 detA =



S

(-1) sign x1i x 2i .....x ni
1

2

n

n

Ở đây phần tử (hay là biến) X ti , t = 1, 2, …, n là phần tử nằm ở hàng t,
t
cột it của ma trận A. Do đó, rõ ràng det A là một đa thức bậc n, thuần nhất của
n2 biến từ biến x11, x12,…, x1n,

…. cho tới các biến xn1 , xn2,.., xnn.

Sn là nhóm tất cả các song ánh (còn gọi là phép thế) trên tập n số 1, 2, …, n
(có n! song ánh như vậy), sgn  là dấu của phép thế  .
Cho nên khi đó:

 det là ánh xạ (chính xác là hàm số) khả vi
1
1
 det (,0)  det (0, )  GL(n,R)

suy ra GL(n,R) là mở trong

Rn

2

.

Do đó GL(n,R) , đa tạp khả vi n2 - chiều.


10

1.2.

TÁC ĐỘNG CỦA MỘT NHÓM TRÊN MỘT TẬP HỢP VÀ
KHÔNG GIAN QUỸ ĐẠO

1.2.1. Định nghĩa tác động của một nhóm trên một tập hợp
Cho G là nhóm và E là tập hợp. Ta nói một phép toán trái của G trên E
hoặc nói nhóm G tác động trái trên tập hợp E nếu có ánh xạ từ G  E vào E;
(s, x )

s. x thỏa mãn 2 điều kiện sau:

i) e . x = x với mọi x trong E.
ii) (s.t). x = s.(t. x ) với mọi t,s trong G và mọi x trong E.
Từ định nghĩa ta suy ra s-1. (s). x = x với mọi x và mọi s, do đó với mọi s 
G, ánh xạ x

s. x là song ánh từ E vào E với ánh xạ ngược là x

s-1. x .

1.2.2. Định nghĩa không gian quỹ đạo
Mỗi x  E, tập G. x = {s. x ; s  G} gọi là G - quỹ đạo hoặc là quỹ
đạo của x ( đối với phép toán của G trong E).
Tập S x = {s  G; s. x = x } là một nhóm con của G, gọi là ổn định tử của
x . Ánh xạ s

s. x từ G lên G. x phân tích được thành
P

G 
 G / S x 
 G.x

Ở đây G / Sx là lớp ghép trái s.S x theo nhóm con S x ; p là phép chiếu
chính tắc ( p : s

s. S x ) và  là song ánh (  : s. S x

G tác động trung thành trong E nếu

xE

s. x ).

S x  e . Ta nói rằng G tác động

tự do trong E nếu với mọi x trong E thì S x  e . Nói cách khác, x  E sao
cho s.x = t.x  s = t .
Do tác động của G, ta có một quan hệ tương đương cảm sinh trên E cho
bởi x ~ y  s  G sao cho x  s. y .


11

Nói cách khác, x tương đương với y khi và chỉ khi chúng cùng một quỹ
đạo. Ký hiệu không gian thương của quan hệ tương đương này là E/G và nó
được gọi là không gian quỹ đạo. Nếu tập hợp này gồm chỉ một điểm, ta nói, G
tác động bắc cầu trên E. Vậy G tác động bắc cầu khi và chỉ khi

x, y  E  s  G sao cho x  s. y .
Cho A  E , tập G.A  G.a ; a  A  s.a ; s  G va a  A gọi là cái bảo hòa
của A đối với G. Ký hiệu  : E  E / G là phép chiếu chính tắc, thì
G. A   1 ( ( A)) và G. A  A khi và chỉ khi G. A  A .

Tập hợp thương E/G gọi là không gian các quỹ đạo.
Bây giờ giả sử G là nhóm topo và E là không gian topo. Ta nói G tác động
liên tục trên E nếu ánh xạ (s, x)

s.x liên tục.

1.2.3. Ví dụ không gian quỹ đạo

Nếu H là nhóm con của nhóm G, thế thì với các phép toán ( s, x )
và (s, x )

s. x

s. x .s-1 thì H tác động trên G.

Với phép toán đầu , ổn định tử của mọi s trong G là nhóm đơn vị {e} và
quỹ đạo là các lớp ghép phải H.s .
Với phép toán sau, ổn định tử là nhóm H  T( x ) , T( x ) là tâm của x , còn
quỹ đạo là tập các phần tử h x h-1 với h chạy khắp H.


12

1.2.4. Một số tính chất của không gian quỹ đạo
1.2.4.1. Định nghĩa
Nếu E là không gian topo (đa tạp khả vi), G là nhóm topo, (nhóm Lie) G
tác động lên E và ánh xạ tác động là liên tục (khả vi) thì ta nói G tác động liên
tục trên E (nhóm Lie G tác động khả vi trên E).
1.2.4.2. Mệnh đề
Cho G là nhóm khả metric tác động liên tục trên không gian metric E; A là
tập compac trong G và B là tập đóng (tương ứng,compact) trong E. Thế thì
tập A.B là đóng (tương ứng, compact trong E).
Chứng minh. Ta có A.B là đóng (tương ứng, compact trong E) là do A.B là
ảnh của tập G qua ánh xạ liên tục (s, x)

sn , xn  trong A.B hội tụ về z  E (sn  A,
dãy con

snk  A hội tụ về a  A. Vì

s.x. Ta xét các dãy điểm
xn  B). Theo giả thiết, tồn tại

X nk  Snk1 ( Snk . X nk )  B . Suy

ra dãy X nk hội tụ về a-1.z. Nhưng B đóng trong E nên a-1.z thuộc B, nên
z = a.(a-1.z)  A.B, nghĩa là A.B đóng trong E.
1.2.4.3. Mệnh đề
i) Phép chiếu chính tắc  : E  E / G liên tục.
ii)  là ánh xạ mở, nghĩa là ảnh của mọi tập mở qua  là tập mở trong
E/G.

iii) Để ánh xạ f : E / G  E’ là liên tục, cần và đủ là hợp thành f . : E  E '
liên tục.
Chứng minh
i) Là do định nghĩa topo trên E/G.


13

ii) Giả sử V mở trong E, ta cần chứng minh cái bảo hòa của V trong E là
G.V =

 1 ( ( A)) là mở trong E vì G.V =

 s.V, mà V mở trong E nên s.V
sG

mở trong E, do đó G.V mở trong E.
iii) Kết luận (iii) là tính chất của topo thương.
Với x  E, nếu V chạy khắp hệ cơ sở lân cận của x thì  (V ) lập nên hệ cơ sở
lân cận của điểm  (x)  E/G.
1.2.4.4. Mệnh đề (xem [4], 3.7)
1
Cho A  E; A ' : G. A   ( ( A)) . Khi đó ánh xạ chính tắc


E / G   ( A) 
 A '/ G đặt quỹ đạo trong E của mỗi điểm trong A với chính

quỹ đạo đó xem như quỹ đạo của một điểm thuộc không gian A’, là một phép
đồng phôi.
1.2.4.5. Mệnh đề (xem [4], 3.11)
Nếu G và G’ tác động liên tục trên E và E’ tương ứng, thì G  G’ tác động
liên tục trên E  E’ một cách tự nhiên và E  E'/G  G'  E / G  E '/ G ' .
1.2.4.6. Mệnh đề
Cho nhóm topo liên thông G tác động liên tục trên E. Nếu E/G liên thông
thì E liên thông.
Chứng minh: Vì ánh xạ s  s. x liên tục nên mỗi quỹ đạo G. x liên thông.
Giả sử tồn tại 2 tập vừa mở vừa đóng rời nhau không rỗng U, V sao cho
E=U

V. Thế thì với mọi x  E, tập U G.x và V G.x là hai tập mở rời

nhau có hợp bằng G. x , do đó một trong hai tập là rỗng, nghĩa là U và V là các
tập bảo hòa. Nhưng khi đó  (U ) và  (V) là những tập mở rời nhau có hợp
bằng E/G, điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy E liên thông.

14

1.2.5. Định nghĩa phân thớ chính
Giả sử nhóm G tác động tự do ( hay không có điểm bất động) trên tập
E. Thế thì x  E ánh xạ chính tắc s

s.x từ G  G.x là song ánh.

1.2.5.1. Định lý
Cho nhóm Lie G tác động tự do, khả vi trên đa tạp X (nghĩa là ánh
xạ tác động là ánh xạ khả vi). Giả sử đa tạp quỹ đạo X/G tồn tại, nghĩa là tồn
tại trên không gian thương X/G một cấu trúc khả vi sao cho phép chiếu chính
tắc  : X  X / G là ánh xạ khả vi và đồng thời là phép ngập, nghĩa là đạo
hàm của  là ánh xạ tuyến tính toàn ánh, thế thì:


( X , X / G,  ) là một phân thớ. Một cách chính xác hơn, mỗi lớp

 x  X / G , có lân cận mở U của  x  sao cho tồn tại ánh xạ
C  mà  ( (u))  u với mọi

 :U  X lớp

u U và ánh xạ  : (u, s)  s. (u) là một vi phôi

của U  G lên  1 (U) .


Giả sử   ( x, y)  X  X.  s  G; x  s.y , tức R là đồ thị của tác động và

mọi ( x, y)  R , T(x,y) là phần tử duy nhất của G sao cho y = T(x,y).x . Khi đó T
là phép ngập từ  và G.
Chứng minh


Vì  là một phép ngập nên suy ra mọi điểm trong X/G tồn tại lân cận U


và C - ánh xạ  :U  X thỏa mãn  ( (u))  u với mọi u U và tại

mỗi u U , T (u ) (u ) là phần bù của T (u ) ( 1 (u )) trong T (u ) ( X ) . Hơn
nữa  : U  G   1 (U ) cho bởi (u, s)  s. (u) là song ánh nên chỉ cần chứng
minh  là phép ngập. Điều này được suy ra từ kết quả sau:


15

Bổ đề: Cho nhóm Lie tác động khả vi trên đa tạp khả vi X sao cho đa

tạp X/G tồn tại. Ký hiệu  : X  X / G . Nếu tồn tại  : X / G  X lớp C sao

cho   1X / G thì 

là phép dìm và ánh xạ  : X / G  X  X

bởi

 (u, s)  s. (u) là một phép ngập tràn ứng.
Chứng minh: Vì T (u ) ( ).Tu ( )  1Tu ( X / G ) nên  là một phép dìm

( T ( ) đơn ánh). Bây giờ chứng tỏ  là phép ngập tại điểm có dạng  u0 , e  .
Đặt x0   (u0 ) , vậy  1 (u0 ) là quỹ đạo G.x0 . Khi đó ánh xạ chính tắc
G  G.x 0 là một phép ngập của G lên đa tạp con  1 (u0 ) của X nên  là ngập

tại  u0 , e  . Bây giờ giả sử  u0 , x0   X / G  G . Thế thì  phân tích được:
( X / G  G)

X



(u, s)

s. (u)

(3)

(1)
(u, s01.s)

(u, t )

(2)

s01.s. (u)

s0.x
x

t. (u )

Ở đây (3) là một vi phôi và (2) là một phép ngập tại  u0 , e  . Vậy  là phép
ngập tại  u0 ,s0  . Kết luận (a) của định lý được chứng minh.




Ta giả thiết tồn tại nhát cắt lớp C ,

 : (b, s)

sao cho

s. (b) là một vi phôi của X / G  G lên X ( vì bài toán có tính địa

phương). Khi đó x
của  x, y 

 : X /G  X

 ( x)  pr2 ( 1 ( x)) là ánh xạ lớp C  . Vậy T là thu hẹp

 (y)  (x)1 lên

 , cũng là C  ánh xạ ; hơn nữa mọi

x  X , thu


16

hẹp của T lên x  (G.x)   là một vi phôi đa tạp con này lên G. Vậy T là
phép ngập từ  vào G.
1.2.5.2. Định nghĩa
Nếu các điều kiện ở Định lý 1.2.5.1 thỏa mãn, ta nói rằng bộ ba
( X , X / G,  ) là một phân thớ chính với nhóm cấu trúc G. Các thớ là các quỹ

đạo, chúng vi phôi với G. Trong trường hợp này để ký hiệu G – phân thớ
chính, ta dùng sơ đồ:
G

X


X/G
Ví dụ: cho H là nhóm Lie con của nhóm Lie G, H tác động tự nhiên trên G
bởi H / G  G , H.G = H/G, giả sử đa tạp quỹ đạo H/G là tồn tại, khi đó ta có
phân thớ chính :

G

H


H/G
1.2.5.3. Định nghĩa:
Ta gọi một cấu xạ từ G – phân thớ chính ( X , B,  ) vào G’ – phân thớ


chính ( X ', B ',  ') là cặp ánh xạ C (u, p) với u : X  X ' và  : G  G ' là

đồng cấu nhóm Lie sao cho sơ đồ sau giao hoán G



X

u



B=X/G

G’
X’
'

v

X’/G’=B’ ;


17

u( x.s)  u(x). (s) . Do đó tồn tại C



ánh xạ v : B  B ' để sơ đồ trên giao

hoán. Ta thấy nếu  là đẳng cấu nhóm Lie và v là vi phôi thì (u,v) là đẳng

cấu phân thớ, khi đó cặp  u,   gọi là đẳng cấu phân thớ chính.
1.2.5.4. Phân thớ chính tầm thường
Cho G tác động trên đa tạp B  G bởi

b, t  , s 

(b, ts) các quỹ đạo

1
sẽ là pr1 (b), b  B và pr1 là ngập trên đa tạp quỹ đạo tồn tại. Nó được đồng

nhất với B. Bộ ba ( B  G, B, pr1 ) được gọi là G – phân thớ tầm thường và mọi
G’ – phân thớ chính đẳng cấu với nó gọi là khả tầm thường.
1.2.6. Một số tính chất của phân thớ chính
1.2.6.1. Mệnh đề
Cho G - phân thớ chính ( X , B,  ) và G còn tác động khả vi bên trái trên
đa tạp F. Khi đó G tác động tự do trên X  F bởi ( x, y).s

(x.s,s1y) . Với tác

động này:
i) Đa tạp quỹ đạo tồn tại, ký hiệu là X G F .
ii) Mỗi quỹ đạo Z  X G F , ký hiệu  F (Z) là phần tử của B bằng  (X) với
mọi ( x, y)  Z . Hơn nữa ( B G F , B,  F ) là một phân thớ có thớ vi phôi với F.
1
Nói cách khác, nếu U mở trong B sao cho  U khả tầm thường với nhát cắt

C  dạng  :U   1 U  , thì (b, y)

 (b).y là U – đẳng cấu của U  F lên

 F1 (U ) và do đó  F1 (U ) khả tầm thường.

Chứng minh


Giả sử

'

là đồ thị của tác động nói trong mệnh đề;

 '   X  X  F  F   X 2  F 2 thì  ' đồng nhất với tập (r, y, T ( y), y) trong


18

 F  F , tức là đồ thị của ánh xạ (r, y)

T (r ) . y từ  F vào F , nên nó là đa

tạp con đóng của  F  F vậy cũng là đa tạp con đóng của X 2  F 2 . Từ đây ta
nhận được (i).


Để chứng minh kết luận này, ta giả thiết X tầm thường; B = U. Thế thì

 F là tràn ánh lớp C  . Mặt khác với

x  X , đặt s( x)  T  x,  ( ( x))   G . Ta

có  ( ( x))  x.s( x) . Nếu f : X  F  B  F cho bởi ( x, y)

(  x  , s  x  . y) .
1


Ngoài ra f là C  ánh xạ nên tồn tại g : X G F  B  F lớp C sao cho

( x, y)  g ( x, y) . Ta kiểm được g là ánh xạ ngược của (b, y)

 (b). y . Từ đây ta

nhận được (ii).
1.2.6.2. Định nghĩa

X G F gọi là không gian phân thớ với thớ loại F ứng với X và tác
động của G lên F.
1.2.6.3. Định lý
Cho G – phân thớ chính ( X , B,  ) và H là nhóm con ( đóng) của G tác
động trên X bởi thu hẹp của G. Thì đa tạp quỹ đạo X/H tồn tại và
( X , X / H ,  ) là H – phân thớ chính. Hơn nữa nếu mỗi H – quỹ đạo được chứa

trong một G – quỹ đạo duy nhất thì tương ứng

 đặt H – quỹ đạo với G –

quỹ đạo là một phân thớ có thớ vi phôi với không gian thuần nhất G/H.
Chứng minh
Ký hiệu  ( tương ứng  ' ) là G – đồ thị ( tương ứng, H – đồ thị) và mỗi

(x, y)  . T ( x, y) là phần tử duy nhất trong G sao cho x  T ( x, y).y ; T :   G

là ngập, ta có  '  T1 () nên  ' là đa tạp con đóng vì T ngập. Từ đây ta
được ( X , X / H ,  ) là H – phân thớ .


19

Tiếp theo, để ý là G tác động khả vi bên trái trên G/H, nên định nghĩa
được phân thớ

X G (G / H ) tương ứng, với nền X/G. Ký hiệu:

 0 : X G (G / H )  X / G là phép chiếu . Ta xây dựng vi phôi
 : X G (G / H )  X / H sao cho sơ đồ sau giao hoán:

X G (G / H )

u

X/H


0

X/G


20

CHƯƠNG II
ĐA TẠP GRASSMANN
VỚI MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC VÀ
TÍNH CHẤT HÌNH HỌC ĐẠI SỐ CỦA NÓ
Trong chương này trình bày một số định nghĩa về đa tạp Stiefel, đa
tạp Grassmann ; trình bày và chứng minh một số tính chất hình học và tính
chất hình học đại số của nó. Đây là một trong những nội dung chính của đề
tài, nó bao gồm nhiều kết quả đã được đề cập trong các tài liệu tham khảo,
nhưng hầu hết các chứng minh là do chúng tôi trình bày, sắp xếp theo cách
hiểu của bản thân. Ngoài ra, có một số kết quả, đặc biệt là những kết quả về
tính chất hình học đại số của đa tạp Grassmann, đều do chúng tôi phát biểu và
tự chứng minh, chứ chưa có trong các tài liệu tham khảo.
2.1

Định nghĩa đa tạp Stiefel
Ký hiệu R pn là tập hợp các ma trận cấp p  n lấy phần tử trên trường

số thực R. Ký hiệu Vp,n là tập tất cả các bộ phận gồm p vectơ độc lập tuyến
tính trong không gian vectơ n chiều Rn . Mỗi bộ thế này còn gọi là một
p - mục tiêu. V được gọi là đa tạp Stiefel các p – mục tiêu trong Rn . Ta
p,n

sẽ đồng nhất mỗi p-mục tiêu như vậy với một ma trận X cấp p  n có hạng
bằng p (rankX = p).
2.2 Mệnh đề: Vp, n = { X  R pn , rank X= p } là tập mở Zariski trong R

pxn
.

21

Chứng minh. Từ định nghĩa ta thấy, X

 Vp,n khi và chỉ khi mọi định thức

p
con cấp p của X đều triệt tiêu. Mỗi ma trận X, có tất cả Cn định thức con cấp

p như vậy, mà mỗi chúng, như đã nói ở Ví dụ 2, mục 1.1.3, Chương I, là một

đa thức thuần nhất bậc p gồm p2 biến. Như vậy, phần bù của Vp,n trong không
gian ma trận R

p n

p
là nghiệm của một họ Cn các đa thức. Do đó nó là một

tập đóng đại số Zariski, cho nên Vp, n là một tập mở Zariski với cấu trúc tôpô
tự nhiên.
2.3

Định nghĩa đa tạp Grassman
Đa tạp Grassmann Gp, n là họ tất cả các p - phẳng cùng đi qua 1 điểm

trong không gian afin Rn . Khi p = 1, như ta đã biết, đó là không gian xạ ảnh
Pn-1. Như vậy, khái niệm đa tạp Grassmann là sự tổng quát hóa khái niệm
không gian xạ ảnh.
2.4. Một số cách xây dựng của đa tạp Grassmann

Trong mục này ta sẽ trình bày một số cách xây dựng đa tạp Grassmann.
2.4.1 Ta xét một tác động của nhóm tuyến tính tổng quát GL(p,R) tất cả các
ma trận thực, cấp p  p không suy biến trên Vp,

n

cho bởi : (T , X )

TX ,

T  GL( p, R) , X  Vp, n (nhân ma trận T với bên trái ma trận X). Tác động

này là giải tích và tự do, nghĩa là ánh xạ  : GL( p, R) Vp ,n  Vp ,n xác định
bởi (T , X )

TX là ánh xạ giải tích và TX  X  T  I p ( ma trận đơn vị

cấp p  p ). Thật vậy, phép nhân hai ma trân T và x cho ta một họ pn ánh xạ
tọa độ tương ứng với các phần tử thứ (i,j) của ma trân tích TX. Phần tử thứ
(i, j) xác định bởi hàng i (i = 1, 2, …, p) của ma trận T nhân với cột j (j = 1,
2, …, n) của ma trận X, nên nó có dạng


22

ti1xj1 + ti2xj2 + …..+ tipxjp.
Đây là một đa thức thuần nhật bậc 2, 2p biến (là các biến ti1, ti2,.., tip , xj1 ,
xj2…., xjp). Nên phép nhân hai ma trận là ánh xạ giải tích, nghĩa là tác động
trên là giải tích.
Không gian quỹ đạo của tác động này, ký hiệu bởi Gp ,n  Vp ,n / GL( p, R) .

2.4.2 Mệnh đề. Mỗi quỹ đạo của tác động này được đồng nhất với một
p-phẳng

trong

không

gian

afin

Rn ,

nên

không

gian

quỹ

đạo

Gp,n  Vp ,n / GL( p, R) cũng sẽ được gọi là đa tạp Grassmann.
Chứng minh. Gọi O là điểm mà tất cả các p -phẳng trong Rn đi qua. Mỗi
p - phẳng được xác định duy nhất bởi một không gian vectơ con p - chiều

của không gian vecto Rn và điểm O. Nhưng mỗi không gian vectơ lại sinh
bởi một p -mục tiêu và hai p -mục tiêu cùng sinh ra một không gian vecto khi
và chỉ khi chúng cùng một quỹ đạo bởi tác động nói trên. Do đó, mỗi quỹ đạo

của tác động này được đồng nhất với một p - phẳng qua điểm O và ngược lại.
2.4.3 Ký hiệu NVp, n là tập hợp tất cả các bộ p vectơ trực chuẩn trong không
gian vecto Ơclit Rn; nghiã là

NVp, n




 X=




 X1 
 2
 X   R p×n ; Xi = 1 và
 
 p
X 

Xi , X j

Ở đây, mỗi Xi là một vecto hàng thứ I, gồm n tọa độ của ma trận X.




= i, j 






23

2.4.4 Mệnh đề. NVp, n là tập đóng đại số Zariski trong không gian vectơ

Rp x n gồm tất cả các ma trận chữ nhật cấp p  n .
Chứng minh. Vì

 X1 
 2
 Xi = 1
X
X =    NVp, n   i j
 
 X , X
 p
X 

(1)
=  i , j (2)

Nhưng mỗi điều kiện (1) và (2) đều cho bởi các đa thức nhiều biến, nên NV p, n
là tập đóng đại số Zariski.
2.4.5 Mệnh đề. NVp, n là tập compact trong R pn .
Chứng minh. Điều kiện (1) trong Mệnh đề 2.4.4 trên nói lên rằng mỗi X là
một phần tử của tích Đềcác p mặt cầu đơn vị trong không gian Rn – 1. Cho
nên NVp, n là tập bị chặn và do đó theo Mệnh đề trên, NVp, n đóng nên nó

compact.
Xét tác động của nhóm trực giao O(p,R) trên NVp, n cho bởi:
(T , X )

TX , T  O( p, R) ,

Nghĩa là ta có thể xem giống như thu hẹp tác động của GL(p, R) trên Vp, n .
Từ đây ta có không gian quỹ đạo NVp, n / O(p, R).
2.4.6 Mệnh đề. Tác động của O(p, R) trên NVp, n là giải tích, tự do.
Chứng minh. Như phép chứng minh cho tác động của GL(p, R) trên Vp, n.
Ví dụ: Khi p = 1, NV1, n chính là mặt cầu n-1 chiều trong Rn.


24

2.4.7

Mệnh đề. Có một tương ứng 1 – 1 giữa không gian quỹ đạo

Vp, n/ GL(p, R) và NVp, n / O(p, R). Do đó NVp, n / O(p, R) cũng là một đa tạp
Grassmann.
Chứng minh. Mỗi p - phẳng đi qua điểm O được xác định bởi một một p -cơ
sở trực chuẩn của không gian vectơ nền (hay cũng là p - mục tiêu trực chuẩn
trong nó). Và hai p -cơ sở trực chuẩn cùng cho một không gian vectơ nên có
chiều p khi và chỉ khi chúng cùng một quỹ đạo bởi tác động của nhóm trực
giao O(p, R) trên NVp, n. Do đó các không gian Vp, n/ GL(p, R) và
NVp, n / O(p, R) song ánh với nhau.

2.4.8 Bây giờ ta sẽ mô tả cấu trúc khả vi trên không gian quỹ đạo

Gp,n  Vp ,n / GL( p, R) . Ký hiệu Vn, p là tập các ma trận X cở n  p có hạng
là p như trên. GL(p,R) tác động trên Vn, p bởi (X, T)

XT như trên.

Mỗi bộ J = (Ii1, i2,…., ip) gồm p số nguyên trong tập I : = {1,2,3,…,n}, thỏa
mãn 1  i1  i2  .....  ip  n , ký hiệu Tj gồm các ma trận X  Vn, p mà
p hàng của nó ứng với chỉ số của J lập nên ma trận vuông p  p, ký hiệu là Xj
p( n  p )
n p
khả nghịch. Thế thì Tj mở trong R  và vi phôi với GL(p,R)  R
và

n
Vn, p là hợp của   = n! / p! (n - p)! các tập hợp Tj dạng như vậy. Ta sẽ dùng
p
 

Tj để mô tả bản đồ địa phương của Gn,p . Ký hiệu đa tạp quỹ đạo là

Vn, p / GL( p, R) . Nếu  là đồ thị của tác động thì   (TJ  Vn, p ) là đồ thị
của

C  ánh xạ: ( X , T )

( XXJ1T ) I \J từ TJ  GL( p, R) vào R p( n  p ) . Do

đó  là đa tạp con đóng trong Vn, p / GL( p, R) nên không gian quỹ đạo

25

Vn, p / GL( p, R) là đa tạp khả vi. Hơn nữa ta có song ánh chính tắc
không gian quỹ đạo này lên Gn,p sao cho ( (S. X ))  S. '( X ) ;
lượt là các phép chiếu Vn, p / GL( p, R) và lên Gn,p . Vậy





từ

 và  ' lần

là vi phôi.

Bây giờ ký hiệu VJ = {X  TJ ; XJ =IP }; IP là ma trận đơn vị cở p thì VJ
vi phôi với  (TJ ) : U J bởi

 . VJ đồng nhất với R p( n p ) , nên ta có tập bản

đồ của Gn,p là (U J ,  , p(n  p)) . Nói đúng hơn , (TJ , TJ / GL( p, R),  ) là phân thớ
tầm thường và đáy vi phôi với R

p( n  p )

.

2.5. Dạng chính tắc và ngăn Schubert của không gian xạ ảnh
Trước khi trình bày những kết quả tổng quát hơn về ngăn Schubert cho

đa tạp Grassamann, ta đề cập các kết quả tương tự trên không gian xạ ảnh.
Nhắc lại rằng, không gian xạ ảnh thực Pn được xây dựng bằng cách cho
trên tập hợp R n1 \ 0 quan hệ tương đương “ ~ ” : X ~ Y khi và chỉ khi tồn
n 1
tại số thực   R  0 sao cho X  Y và Pn là không gian thương R \ ~ .

Nói cách khác, nếu ta xét tác động giải tích của nhóm Lie ( với phép nhân)

*
các số thực khác không R  R \ 0 trên C - đa tạp R n 1 \ 0 cho bởi

( , X )   X , thì Pn chính là không gian quỹ đạo của tác động này;
Pn  Rn \ 0 / R* và phép chiếu tự nhiên Pr : R n1 \ 0  Pn cho bởi
X

*
{quỹ đạo của X} =  X ,   R* là một R - phân thớ chính (phân thớ

chính với nhóm cấu trúc là R* ). Ký hiệu quỹ đạo của X là  X  . Mỗi quỹ đạo
còn được gọi là một lớp.