ôn luyện đạo hàm thi thpt quốc gia môn toán

VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717

Thầy Chinh - Phù thủy dạy học

PHẦN ÔN TẬP
I – CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM
 x   '  .x 1  u   '  .u 1.u '

1
2 x
1
 2
x

x

u'
2 u
u'
 2
u

  x ' 

  u ' 

 1 '
  
x 

 1 '

  
u 

x

u

u

u

u

 

 u.v '  u '.v  v '.u

 v   u '.v v v ' u

 u

 sin x  '  cos x
 (cos x )'   sin x

 sin u  '  u '. cos u
 (cos x )'  u '. sin u
1
u'
  tan x  ' 
 tan u  ' 

2
cos x
cos2 u
1
u'
 cot x  '  
 cot u  '   2
2
sin x
sin u

Chuyên Đề

 e  '  u '.e
 
 a  '  a . ln a  a  '  u '.a . ln a
 ex '  ex

'

1
x
1
 ln x  ' 
x

2

 ln x  ' 



loga x  ' 

u'
u
u'
 ln u  ' 
u

 ln u  ' 

1
u'
 loga u  ' 
x ln a
u ln a

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Bài 1: Sự đồng biến – Nghịch biến của hàm số
  

Bài Toán: Tìm m để hàm số đơn điệu trên [a,b] hoặc (a,b)

 Lý thuyết giáo khoa: Cho hàm số y  f x , m  với m là tham số, có tập xác định D.

 Hàm số y  f x, m  đồng biến trên D  y '  0 x  D
 Tham số
 Hàm số y  f x, m  nghịch biến trên D  y '  0 , x  D

 Hàm số y  f x, m  đồng biến trên   y '  f '(x , m )  0, x    min y '  0
x 

 Hàm số y  f x, m  nghịch biến trên   y '  f '(x, m )  0, x    max y '  0
x 

 Hàm số đồng biến trên  thì nó phải xác định trên  .
 Phương pháp giải
 Loại 1: Nếu y '  f '(x , m )  ax 2  bx  c thì:

Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia

1


VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717

Thầy Chinh - Phù thủy dạy học

 Để hàm số y  f x, m  đồng biến (tăng) trên
 a  0
  y '  f '(x , m )  0; x    

  0
 Để hàm số y  f x, m  nghịch biến (giảm) trên
 a  0
  y '  f '(x , m )  0; x    

  0

 Đối với hàm phân số hữu tỉ thì dấu “=” không xảy ra.


Loại 2: Nếu y '  ax  b ; x  ;   thì:

y '()  0

 Để hàm số y  f x, m  đồng biến trên ;    y '  0 ; x  ;    

y '( )  0

y '()  0
 Để hàm số y  f x, m  nghịch biến trên ;    y '  0 ; x  ;    
y '( )  0

2
 Loại 3: Nếu y '  f '(x )  ax  bx  c hoặc y '  f '(x ) là một hàm bất kỳ nào khác, mà ta cần
y '  f '(x )  0 hay y '  f '(x )  0 trên khoảng a,b hoặc đoạn a,b  (hoặc trên nửa đoạn
hay nửa khoảng nào đó). Thì ta làm theo các bước sau:

 Bước 1: Tìm miền xác định của y '  f '(x ) .
 Bước 2: Độc lập (tách) m (hay biểu thức chứa m ) ra khỏi biến x và chuyển m về
một vế. Đặt vế còn lại là g(x ) . Lưu ý khi chuyển vế thành phân thức thì phải
để ý điều kiện xác định của biểu thức để khi xét dấu g '(x ) ta đưa vào bảng
xét dấu g '(x ) .
 Bước 3: Tính g '(x ) . Cho g '(x )  0 và tìm nghiệm.
 Bước 4: Lập bảng biến thiên của g '(x ) .
 Bước 5: Kết luận: “Lớn hơn số lớn – Bé hơn số bé”. Nghĩa là: khi ta đặt
m  g(x ) 1 hoặc m  g (x ) 2 thì dựa vào bảng biến thiên ta sẽ lấy giá trị
m  số lớn nhất trong bảng biến thiên ứng với 1 hoặc m  số nhỏ nhất

trong bảng ứng với 2 .
3

2

 Loại 4: Tìm m để hàm số y  ax  bx  cx  d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến)  e .
Ta giải như sau:

 Bước 1: Tính y '  f '(x ) .
 Bước 2: Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến:
 a  0

1 .


  0
2

 Bước 3: Biến đổi x1  x 2  e thành x1  x 2   4x 1.x 2  e 2 2 .
 Bước 4: Sử dụng định lý Viét đưa (2) thành phương trình theo m .
 Bước 5: Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.
 Một số lưu ý khi giải toán

Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia

2


VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717

Thầy Chinh - Phù thủy dạy học

☼ Lưu ý 1: Cần sử dụng thành thạo định lí Viét và so sánh nghiệm của phương trình
bậc hai với số .
☼ Lưu ý 2: Ta có thể dùng dạng toán loại 3 để giải bài toán tìm tham số m của một bất
phương trình hoặc tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, vô nghiệm hoặc 1, 2, …n
nghiệm
ỨNG DỤNG SỰ ĐƠN ĐIỆU - GIẢI PT - BPT
 Cơ sở lý thuyết:

Giả sử hàm số y  f x  tăng hoặc giảm trên khoảng a,b  ta có: f (u )  f (v )  u  v .
Giả sử hàm số y  f x  tăng trên khoảng a,b ta có: f (u )  f (v )  u  v .
Giả sử hàm số y  f x  giảm trên khoảng a,b  ta có: f (u )  f (v )  u  v .
Nếu y  f x  tăng trên a,b  và y  g x  là hàm hằng hoặc hàm số giảm trên a,b thì
phương trình f x   g x  có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng a,b  . Nói cách khác,
nếu có xo  a,b  sao cho f xo   g xo  thì phương trình f x   g x  có nghiệm duy nhất
trên a, b  .
 Phương pháp giải:

Giải phương trình: f x   g x 



Bước 1: Chọn được nghiệm xo của phương trình (thông thường chọn nghiệm lân cận
0).
Bước 2: Xét các hàm số y  f (x ) C1  và y  g(x ) C 2  . Ta cần chứng minh một hàm
đồng biến và một hàm nghịch biến. Khi đó C1  và C2  giao nhau tại một điểm
duy nhất có hoành độ x o . Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình () .
Giải bất phương trình: f x   g x 

Bước 1: Xét tính đơn điệu của hàm số h x   f x   g x  .
h x 1   h x 2   x( 1h(
biến)
x )xđồng
2

Bước 2: Chứng minh h(x ) là hàm đơn điệu  

h x 1   h x 2   x( 1h(
biến)
x )xnghịch
2

Bài 2: Cực trị của hàm số

Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia

3


VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717

Thầy Chinh - Phù thủy dạy học

VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717

Thầy Chinh - Phù thủy dạy học

  
 Tập hợp các tâm đường tròn (quỹ tích tâm I của đường tròn)

y

Để tìm tập hợp các tâm I của đường tròn C, ta có thể làm theo các bước sau

y=

 Bước 1. Tìm giá trị của m để tồn tại tâm I.

f(xo)

a

xo

b

x  f m

 Bước 2. Tìm toạ độ tâm I. Giả sử: I 
.
y  g m


Điểm
cực
tiểu

Điểm Điểm
cực tiểu cực đại

Điểm cực
đại

 Bước 3. Khử m giữa x và y ta được phương trình F x; y  0 .

x

 Bước 4. Dựa vào điều kiện của m ở bước 1 để giới hạn miền của x hoặc y.
 Bước 5. Phương trình tập hợp điểm là F  x; y  0 cùng với phần giới hạn ở bước 4.

 Lý thuyết giáo khoa

 Lưu ý: Để tìm tập hợp điểm là đường tròn, ta cũng thực hiện tương tự như các
bước trên.

 Khái niệm cực trị của hàm số: Giả sử hàm số y  f (x ) xác định trên
tập D D    và xo  D


 Vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn (C)

x o là điểm cực đại của hàm số y  f (x ) nếu  a,b   D và xo  a,b  sao cho

Để biện luận số giao điểm của đường thẳng  : Ax  By  C  0 và đường tròn

C : x2  y2  2ax  2by  c  0, ta có thể thực hiện như sau

f (x )  f xo , x  a;b  \ xo  . Khi đó: f xo  được gọi là giá trị cực đại của y  f (x )




x o là điểm cực tiểu của hàm số y  f (x ) nếu  a,b   D và xo  a,b  sao cho

f x   f xo , x  a;b \ xo  . Khi đó: f xo  được gọi là giá trị cực tiểu của y  f (x )

 Phương pháp 1. So sánh khoảng cách từ tâm I đến  với bánI kính R.
R

Nếu xo là điểm cực trị của hàm số y  f (x ) thì điểm xo ; f (xo ) được gọi là điểm cực
trị của đồ thị hàm số y  f (x ) .

 Tính khoảng cách từ I đến 

 Xác định tâm I và bán kính R của C .

 Điều kiện cần để hàm số có cực trị (Định lý Ferman).
Nếu hàm số y  f (x ) có đạo hàm tại xo và đạt cực trị tại điểm đó thì f ' xo   0 . Nghĩa
là hàm số y  f (x ) chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0
hoặc không có đạo hàm.
 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
 Định lý 1: Giả sử hs y  f (x ) liên tục trên khoảng a;b   x o và có đạo hàm a, b  \  xo 
◊ Nếu f '(x ) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua xo thì y  f (x ) đạt cực tiểu tại
xo .
◊ Nếu f '(x ) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua xo thì y  f (x ) đạt cực đại tại xo .
x

a
b

f '(x )

xo
–

0

f(a)
y  f (x )

x

+ d  I;   R   tiếp xúc với C .
+ d I;   R   và C không có điểm chung.



 Phương pháp 2. Toạ độ giao điểm (nếu có) của  và C là nghiệm
I
R của hệ
phương trình:
Ax  By  C  0

 2
x  y2  2ax  2by  c  0






+ Hệ  có 2 nghiệm   cắt C tại hai điểm phân biệt.
+ Hệ  có 1 nghiệm   tiếp xúc với C .
+ Hệ  vô nghiệm   và C không có điểm chung.

+
f(b)

 Vị trí tương đối của hai đường tròn C1  và C2 
 I1 I2  R1  R 2  C1  tiếp xúc ngoài với C2  .

cực tiểu
f(xo)
a
b

+ d I;   R   cắt C tại hai điểm phân biệt.

 I1 I2  R 1  R 2  C1  tiếp xúc trong với C2  .
 I1 I2  R 1  R 2  C1  và C2  ở ngoài nhau.

xo

Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia

 I1 I2  R 1  R 2  C1  và C2  ở trong nhau.

4

Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia

45


VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717

Thầy Chinh - Phù thủy dạy học

f/ Dạng 6. C đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng  tại điểm B B
 Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB.





'

 Bán kính I  d .

g/ Dạng 7. C đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng 1 và 2

1

I

 y '(xo )  0

y ''(x o )  0


 y '(xo )  0
 Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại xo  
y ''(x o )  0

 y '(x )  0
o
 Hàm số đạt cực trị tại xo  
y ''(x o )  0

 Nếu y ' không đổi dấu khi đi qua nghiệm (nghiệm kép) thì hàm số không có cực trị.

và 2 hay xét dấu khoảng cách đại số từ A đến 1 và 2.
1
d 1, 2  , và 2 được thay thế bới I  d .
2
1

h/ Dạng 8. C tiếp xúc với hai đường thẳng 1, 2 và có tâm nằm trên đường
2
thẳng d
I
d  I,    d  I,  
1
2
 Tâm I của C thoả mãn: 
.
I  d

 Bán kính R  d I, 1   d  I, 2  .

 Đối với hàm bậc 3 thì y '  0 có 2 nghiệm phân biệt là điều kiện cần và đủ để hàm có
cực trị.
 Không cần xét hàm số y  f (x ) có hay không có đạo hàm tại điểm x  x o nhưng không
thể bỏ qua điều kiện “hàm số liên tục tại điểm xo ”.
 Nếu x o là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị bằng cách thay x o vào
y  f (x )  yo  f (x o ) hoặc có thể thay x o vào phương trình đường thẳng nối hai điểm
cực trị:
3
2
 Hàm bậc ba: y  f x   ax  bx  cx  d

d

i/ Dạng 9. C đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C (đường tròn ngoại tiếp
tam giác)

o Chia f (x ) cho f '(x ) ta được: f (x )  Q(x ).f '(x )  Ax  B

Cách 1
 Phương trình của C có dạng: x  y  2ax  2by  c  0
2

y1  f x 1   Ax 1  B

o Khi đó, giả sử x1, y1  , x 2 , y2  là các điểm cực trị thì: 
y2  f x 2   Ax 2  B

 Các điểm x1, y1  , x 2, y2  nằm trên đường thẳng y  Ax  B là đường thẳng nối

 .

B
 Lần lượt thay toạ độ của A, B, C vào  ta được hệ 3 phương trình 3 ẩn a, b, c .
 Giải hệ phương trình này ta tìm được a, b, c  phương trình của IC .
Cách 2
IA2  IB2
IA  IB

 Tâm I của C thoả mãn: 
.
 2
IA  IC
IA  IC2


 Bán kính R  IA  IB  IC .

A

hai điểm cực trị của hàm số bậc ba y  f x   ax 3  bx 2  cx  d .
B



Q(x ) ax 2  bx  c

P (x )
dx  e
Q ' xo 
.

P ' xo 

o Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy là:
Q ' x  2ax  b 2a
b
y

 .x  .


P' x
d
d
d

F

(Lấy đạo hàm tử chia đạo hàm mẫu  Phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị)

I
E

Hàm số phân thức y  f (x ) 

o Giả sử xo , yo  là điểm cực trị thì yo 

j/ Dạng 10. C nội tiếp tam giác ABCA

B

Định lý 2: Giả sử hàm số y  f (x ) có đạo hàm trên a; b   xo ; f ' xo   0 và f ''xo 0
◊ Nếu f '' xo   0 thì y  f (x ) đạt cực đại tại xo .
◊ Nếu f '' xo   0 thì y  f (x ) đạt cực tiểu tại xo .

 Tìm m để hàm số đạt cực đại tại xo  


o Muốn bỏ dấu giá trị tuyệt đối trong 1 , ta xét dấu miền mặt phẳng định bởi 1

2

f(b)

 Một số lưu ý khi giải toán

A

Lưu ý

o Nếu 1 // 2, ta tính R 

–

d

 Xác định tâm I  d   ' .

2

0

f(a)

A

1 .
2

Thầy Chinh - Phù thủy dạy học

f(x o)
cực đại

y  f (x )

I

 Viết phương trình đường thẳng  đi qua B và  .

d I,    d I,  
1
2
 Tâm I của C thoả mãn: 
d I, 1   IA

 Bán kính I  d .

VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717
f '(x )
+

 Phương pháp giải
 Hàm số y  f (x ) có n cực trị  y’ = 0 có n nghiệm phân biệt.

C

 Đối với hàm bậc bốn trùng phương dạng: y  ax 4  bx 2  c a  0

Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia

44

Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia

5


VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717

Thầy Chinh - Phù thủy dạy học

x  0
 Ta có: y '  4ax 3  2bx  x 4ax 2  2b   y '  0  
2
 4ax  2b 1
b  0
 Hàm số có 3 cực trị  (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0  

a.b  0


Khi đó: Hàm số có 2 cực tiểu, 1 cực đại khi a  0 .
Hàm số có 2 cực đại, 1 cực tiểu khi a  0 .

VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717

ĐƯỜNG TRÒN

 Xác định tâm và bán kính đường tròn
 Nếu phương trình đường tròn có dạng C :  x  a   y  b  R 2 thì C có tâm là
2

 Hàm số có 1 cực trị khi và chỉ khi (1) có nghiệm kép hoặc vô nghiệm hoặc có 1 nghiệm x  0

2

I a;b và bán kính bằng R.

   0
a.b  0
 
 
y 0  0
b  0


Khi đó: Hàm số chỉ có cực tiểu khi a  0 (nghĩa là có cực tiểu mà không có cực đại).
Hàm số chỉ có cực đại khi a  0 (nghĩa là có cực đại mà không có cực tiểu).
 Đối với hàm bậc bốn dạng: y  ax 4  bx 3  cx 2  d
x0
 Ta có: y '  4ax 3  3bx 2  2cx  y '  0  

2
 4ax  3bx  2c  0 2
9b 2  32ac  0
 Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0  

c  0

Khi đó: Hàm số có 2 cực tiểu, 1 cực đại khi a  0 .
Hàm số có 2 cực đại, 1 cực tiểu khi a  0 .
 Hàm số có 1 cực trị khi và chỉ khi (2) có nghiệm kép hoặc vô nghiệm hoặc có 1 nghiệm
0
9b 2  32ac  0


x 0

y 0  0
 c  0


Khi đó: Hàm chỉ có cực tiểu khi a  0 (nghĩa là có cực tiểu mà không có cực đại).
Hàm số chỉ có cực đại khi a  0 (nghĩa là có cực đại mà không có cực tiểu).

 Nếu phương trình đường tròn có dạng C : x2  y2  2ax  2by  c  0 thì tâm I được xác
2a  ......
a  ...
định 
 
 I a; b và bán kính R  a 2  b2  c  0 .
2b  ......

b  ...



 Lưu ý
 Nếu Cm  : x 2  y2  2ax  2by  c  0 là phương trình đường tròn nếu thỏa mãn điều
kiện: a 2  b2  c  0 .
 Điều kiện đường thẳng tiếp xúc với đường thẳng Δ là d  I,   R .

 Lập phương trình đường tròn
Để lập phương trình đường tròn C ta thường cần phải xác định tâm I a; b và bán
kính R của C . Khi đó phương trình đường tròn C là C :  x  a  y  b  R 2 .
2

2

a/ Dạng 1. C có tâm I a;b và đi qua điểm A x A ; yA  .
I R A

 Tâm I a;b .

 Một số lưu ý khi giải toán

 Bán kính R  IA .

b/ Dạng 2. C có tâm I a;b và tiếp xúc với đường thẳng Δ

 Lưu ý 1: Hoành độ cực trị thường là nghiệm của phương trình bậc 2. Do đó, ta cần phải nắm vững kiến

thức về phương trình bậc 2 như: Định lý Viét, so sánh nghiệm phương trình bậc 2 với 1 số  bất

kỳ, các điều kiện có nghiệm của phương trình, … đồng thời, nó liên quan đến một số tính chất
của hình học phẳng (xem phần ôn tập hình học phẳng trang 5).
ax 2  bx  c
 Lưu ý 2: Hàm số bậc ba y  ax 3  bx 2  cx  d và hàm hữu tỉ y 
có cực đại và
a 'x b '
a  0
cực tiểu (2 cực trị)  y '  0 có hai nghiệm phân biệt  


  0
ax  b
ax 2  bx  c
 Lưu ý 3: Để A và B thuộc hai nhánh của đồ thị dạng y 
hoặc y 
thì 2 điểm
cx  d
ex  d
A và B phải nằm về hai phía so với đường tiệm cận đứng tương ứng của đồ thị.

Δ
R

 Tâm I a;b .

I

 Bán kính R  d I,  .

c/ Dạng 3.

C có đường kính AB

I
 Tâm I là trung điểm AB.
A
B
R
AB
 Bán kính R 
.
2
Δ
d/ Dạng 4. C đi qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên đường thẳngAΔ
 Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB.
 Xác định tâm I  d   .
 Bán kính R  IA .

d

I

 Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB

Trong mặt phẳng Decac Oxy cho:
6

I  d

 Tâm I của C thoả mãn: 

.
d  I,   IA
Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt
 Quốc Gia
 Bán kính R  IA .

R

B

e/ Dạng 5. C đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng
 

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia

Thầy Chinh - Phù thủy dạy học

A
d

R I

43
B


VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717

Thầy Chinh - Phù thủy dạy học

 Các bài toán dựng tam giác
Đó là các bài toán xác định toạ độ các đỉnh hoặc phương trình các cạnh của một tam
giác khi biết một số yếu tố của tam giác đó. Để giải loại bài toán này ta thường sử
dụng đến các cách dựng tam giác. Ta thường gặp một số loại cơ bản sau đây

o



C'

 Dựng AB qua B và vuông góc với CC.

B

 Dựng AC qua C và vuông góc với BB.

Đường tròn C m  : (x  a)  y  b   R hay C m  : x  y  2ax  2by  c  0 có tâm là
2

2

2

(khoảng cách giữa hai điểm A, B)
x  xA
x  xA
Để ba điểm A x A, yA  ; B x B , yB  và C xC , yC  thẳng hàng  B

.
 C
yB  yA



yC  yA



 Khoảng cách từ điểm M xo , yo đến đường thẳng  : ax  by  c  0 là: d M ,  

C

ax o  bx o  c
a 2  b2

 Để A và B đối xứng nhau qua đường thẳng    là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

 Xác định tọa độ A  AB  AC .

  2
1
1
AB.AC . sin A 
AB 2 .AC 2  AB.AC
2
2
1
1

1
abc
 p p  a p  b  p  c   a.ha  b.hb  c.hc 
 pr
2
2
2
4R

 Dựng AB qua A và vuông góc với CC.

A

 Dựng AC qua A và vuông góc với BB.
 Xác định B  AB  BB ', C  AC  CC ' .

N



M

c/ Loại 3. Dựng ΔABC, khi biết đỉnh A, 2 đường thẳng chứa 2
đường trung tuyến BM, CN.
B



G

Để A và B nằm về hai phía khác nhau đối với đường tròn (1 điểm phía trong, một điểm phía
ngoài)

A

 PA /(Cm ).PB /(Cm )  0  x A2  yA2  2ax A  2byA  c x B2  yB2  2ax B  2byB  c   0

d1

A

d2

Trong đó: R, r , p lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, bán kính đường tròn nội
tiếp và nửa chu vi.
Để A và B nằm về 2 phía (khác phía) so với đường thẳng   ax A  byA  c . ax B  byB  c   0 .
Để A và B nằm về cùng phía so với đường thẳng   ax A  byA  c . ax B  byB  c   0 .
 PA /(Cm ).PB /(Cm )  0  x A2  yA2  2ax A  2byA  c x B2  yB2  2ax B  2byB  c   0 .

 Dựng dB qua A và song song với CN.
 Dựng dC qua A và song song với BM .

Bài 3: Giá trị lớn nhất (GTLN – max) và Giá trị nhỏ nhất (GTNN – min) của hàm số
  

I AC và
d/ Loại 4. Dựng ΔABC, khi biết hai đường thẳng chứa hai cạnh AB,
J
trung điểm M của cạnh BC
 Xác định A  AB  AC .

B



 Để A và B cùng nằm trong đường tròn hay cùng nằm ngoài đường tròn

C

 Xác định trọng tâm G  BM  CN .
 Xác định A đối xứng với A qua G (  BA // CN, CA // BM).



 Diện tích ΔABC: S ABC 

b/ Loại 2. Dựng ΔABC, khi biết đỉnh A và hai đường thẳng chứa hai đường
cao BB, CC.

 Xác định B  BM  d B , C  CN  dC .

2

Thầy Chinh - Phù thủy dạy học

I a,b  và bán kính là R  a 2  b 2  c .

2
2
 Véctơ AB  x B  x A; yB  yA   Độ dài đoạn thẳng AB  x B  x A   y B  yA 

a/ Loại 1. Dựng ΔABC, khi biết các đường thẳng chứa cạnh BC và hai đường
A
cao BB, CC.
B'
 Xác định tọa độ các điểm B  BC  BB ', C  BC  CC ' .

VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717
o Bốn điểm: A x A, yA  , B x B , yB  , C xC , yC  và M xo , yo 
o Đường thẳng  : ax  by  c  0 .

max f x   M , f x   M

C

M

 Dựng d1 qua M và song song với AB.
 Dựng d2 qua M và song song với AC.
 Xác định trung điểm I của AC : I  AC  d1 .
 Xác định trung điểm J của AB : J  AB  d2 .

d1
d3

 Vị trí tương đối – Khoảng cách – Góc
 Xem lại lí thuyết.

min f x   n, f x   m

d2

 Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui, ta có thể thực hiện như sau
+ Tìm giao điểm của hai trong ba đường thẳng.

– Dạng toá: Tìm GTLN và GTNN dựa vào định nghĩa và tính chất

+ Chứng tỏ đường thẳng thứ ba đi qua giao điểm đó.

 Phương pháp giải

Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia

42

 Cách 1: Dùng bảng biến thiên để tìm max – min. Phương pháp này thường dùng cho
bài toán tìm GTLN và GTNN trên một khoảng.
7
Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia


VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717

Thầy Chinh - Phù thủy dạy học

 Bước 1: Tính f ' x  .

VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717

Thầy Chinh - Phù thủy dạy học

Dạng toán 1. Lập phương trình đường thẳng và một số bài toán liên quan

 Bước 2: Xét dấu f ' x  và lập bảng biến thiên.
 Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
 Cách 2: Thường dùng khi tìm max – min của hàm số liên tục trên một đoạn a, b  .

 Lập phương trình đường thẳng

 Bước 1: Tính f ' x  .



 Qua M x ; y 

o o
 PTTQ d : A  x  x o   B  y  y o   0

 VTPT n  A; B
d




 Bước 2: Giải f ' x   0 tìm được các nghiệm x i i  1, n trên đoạn a, b  (nếu có).
 Bước 3: Tính f a , f b , f x1 , f x 2 ,..., f x n  .
Lập phương
trình đường
thẳng d

 Bước 4: So sánh các giá trị vừa tính được và kết luận









max f x  max f a , f b , f x , f x ,..., f x

     1  2  n 

 [a,b ]
.

min f x   min f a , f b , f x , f x ,..., f x 
1
2
n

 [a,b ]

A x ; y 
x  xA
x  xA
A
A
Qua 

d:
 B
,  yB  y A 
B x B ; yC 
y  yA
yB  yA
 Một số lưu ý:

x y
 Đường thẳng  qua điểm A a; 0 , B 0; b a, b  0   :   1 .
a b
 Đường thẳng  qua M o x o ; yo  và có hệ số góc k   : y  k x  x o   yo .

 Một số lưu ý khi giải toán



 Lưu ý 1: Phương trình f ' x  0 có thể là phương trình mũ, logarit, đại số, lượng giác, … Do đó đó, cần
nắm vững kiến thức về cách giải phương trình các loại.
 Lưu ý 2: Đối với hàm lượng giác dạng: y 

a1 sin x  b1 cos x  c1
a2 sin x  b2 cos x  c2

 .

 Đường thẳng  // d : Ax  By  C  0 có phương trình:  : Ax  By  D  0 .

x 
2t

1 t2
 Đặt t  tan    sin x 
.
;
cos
x

 2 
1  t2
1  t2





 Thay vào  , ta được hàm hữu tỉ đại số dạng: f t 


x  x  u t


o
1

PTTS
d
:


t   

• Qua M x ; y 

y

y

u
t


o
o
o
2





• VTPT u  u ; u 

d
1
2

 PTCT d : x  x o  y  yo

u1
u2


 Đường thẳng   d : Ax  By  C  0 có phương trình:  : Bx  Ay  D  0 .

at 2  bt  c
 Bậc hai
2
a ' t  b 't  c '
Bậc hai

 Trong nhiều trường hợp đặc thù, để xác định phương trình đường thẳng chúng ta còn sử dụng:
+ Phương trình chùm đường thẳng.
+ Phương trình quỹ tích.

 Lưu ý 3: Khi bài toán yêu cầu tìm max – min nhưng không nói trên tập nào thì ta hiểu tìm max – min trên tập
xác định D của hàm số.

 Ta có thể chuyển đổi giữa các phương trình tham số, chính tắc, tổng quát của 1 đường thẳng.

 Lưu ý 4: Để tìm tham số m, n của hàm số f (x , m, n ) với x là biến số sao cho f (x , m, n ) có

 Để  : Bx  Ay  D  0 là một phương trình đường thẳng thì A2  B2  0 .

max f (x , m, n )  a và min f (x , m, n )  b . Ta làm như sau:

 Một số bài toán thường gặp khác

 Bước 1: Hàm số đã cho xác định và liên tục trên D mà đề cho hoặc ta tìm.

a/ Tìm điểm cố định của họ đường cong (thẳng) Cm  : y  f x; m .

Hàm số có giá trị lớn nhất bằng a khi và chỉ khi
 f (x , m, n )  a

x 0  D : f (xo , m, n )  a có nghiêm
. xo


 Bước 1. Gọi M  x o ; y o   C m   y o  f x o ; m 

Giải tìm điều kiện và kết hợp đánh giá hai vế của một đẳng thức:

 Bước 2. Biến đổi  về một trong các dạng
 Bước 3. Tọa độ điểm cố định:

A  B
 A  B (1).

A  B


 .

 Am  B  0
1 (biến số là m).


2
 Am  Bm  C  0 2

A  0

+ Nếu  được biến đổi về 1 thì tọa độ thỏa  
.
B  0


 Bước 2: Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng b khi và chỉ khi
 f (x , m, n )  b
.
. Tương tự ta được phương trình (2).


A  0

+ Nếu  được biến đổi về 2 thì tọa độ thỏa B  0 .

C  0


x 0  D : f (xo , m, n )  b có nghiêm x o

1
 Bước 3: Giải hệ phương trình   m, n cần tìm.
2


 Lưu ý 5: Ta có thể tìm GTLN và GTNN của hàm số bằng cách dùng miền giá trị (đk có nghiệm)

Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia

8

Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia

41


VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717

Thầy Chinh - Phù thủy dạy học

VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717

Thầy Chinh - Phù thủy dạy học

Đặt vấn đề: Tìm max – min của hàm số y  f (x ) trên một miền D cho trước ?
 Bước 1: Gọi yo là một giá trị tùy ý của f (x ) trên D, thì hệ phương trình (ẩn x)

 Góc giữa hai đường thẳng

 f x   yo


sau có nghiệm: 


 Cho hai đường thẳng 1 : a1x  b1y  c1  0 có VTPT n1  a1; b1  và đường thẳng

2 : a2 x  b2 y  c2  0 có VTPT n 2  a 2 ; b2  .



n1
n2

 
 
 n1, n2
khi n
, n2  900
1


Lúc đó: 1, 2  
và



0
1800  n
,
n
khi
n
,
n

90
1
2
1
2


 
n1.n2
a1b1  a2b2



cos 1, 2  cos n1, n2    
.
n1 . n2
a12  b12 . a 22  b22

















 

x  D


 Bước 2: Tùy theo điều kiện của hệ trên mà ta có các điều kiện tương ứng.
Thông thường điều kiện ấy (sau khi biến đổi) có dạng: m  yo  M 3 . Vì yo là






min f (x )  m
một giá trị bất kỳ của f (x ) nên từ 3 ta suy ra được:  D

max f (x )  M
 D

Δ1



Δ2

 Lưu ý

 
 
+ Nếu 1  2  n1  n2  n1.n2  0  a1a 2  b1b2  0 .

Bài toán 2. Giao điểm của hai đồ thị

 : y  k x  m
 //   k  k
k  k2

1
1
2
1
2
+ Nếu  1
thì  1
và tan 1, 2   1


1  k1k2
 2 : y  k2 x  m2
 1  2  k1.k2  1




 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
Cho đường thẳng  : ax  by  c  0 và M x o ; yo   d Mo ,  

ax o  by o  c
a 2  b2

.

 Lưu ý 2: Định lí Viét đối với phương trình bậc ba: ax 3  bx 2  cx  d  0, a  0
Nếu phương trình bậc ba dạng ax 3  bx 2  cx  d  0, a  0 có ba nghiệm phân biệt x1, x 2, x 3

Cho đường thẳng  : ax  by  c  0 và hai điểm M x M ; yM , N x N ; y N    .


x 1  x 2  x 3   b

a

c
thì x1x 2  x 2x 3  x 3x1 

a

 x 1x 2x 3   d

a

+ M, N nằm cùng phía đối với   ax M  by M  cax N  by N  c  0 .
+ M, N nằm khác phía đối với   ax M  byM  cax N  byN  c  0 .
 Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng:
Cho hai đường thẳng 1 : a1x  b1y  c1  0 và 2 : a2 x  b2 y  c2  0 cắt nhau.

a 12  b12



a 2 x  b2 y  c 2

a 22  b22

.



t1  t2

t1  t2



t1  t2

t1  t2

Trong đó: t1 

a 1x  b1y  c1
2
1

2
1

a b

; t2 

a 2 x  b2 y  c2

a 22  b22

Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia

2

 x 12  x 22  x 32  x1  x 2  x 3   2 x1x 2  x 2x 3  x 3x1 

 Lưu ý 4: Tìm tham số để đồ thị hàm số bậc ba dạng y  f x   ax 3  bx 2  cx  d C  cắt
trục hoành Ox tại n điểm phân biệt. (Phương pháp cực trị).
Lúc đó, phương trình hoành độ giao điểm: ax 3  bx 2  cx  d  0 

Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng 1 và 2 là:
a 1x  b1y  c1

Để C 1  cắt C 2  tại n điểm phân biệt  phương trình hoành độ giao điểm [phương trình () ] có n nghiệm
phân biệt.

 Lưu ý 1: Nếu một trong hai đồ thị trên có dạng hữu tỉ và có TXĐ D   \  . Khi đó,
để C1  cắt C2  tại n điểm phân biệt  phương trình hoành độ giao điểm [phương trình () ]
có n nghiệm phân biệt   .

 Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng:

d:

Cho C1  : y  f (x ), C 2  : y  g(x )
Phương trình hoành độ giao điểm của C 1  và C 2  là f (x )  g (x ) ()

y  f x 


yCÐ .yCT  0

y  f x 

 Để C  cắt Ox tại 2 điểm phân biệt   có 2 nghiệm phân biệt  
yCÐ .yCT  0

(lúc này đồ thị C  tiếp xúc với trục hoành Ox )
 Để C  cắt Ox tại 3 điểm phân biệt   có 3 nghiệm phân biệt  


.

40

Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia

9


VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717

Thầy Chinh - Phù thủy dạy học

 y  f x 


 Để C  cắt Ox tại 1 điểm duy nhất   chỉ có 1 nghiệm  
y  f x 


yCÐ .yCT  0

 Để C  cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương   có 3 nghiệm dương phân biệt

VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717
 Nhận xét

VTPT n  a; b




+ Nếu  có phương trình: ax  by  c  0 thì  có  VTCP u  b; a .


 VTCP u  b; a


y  f x 

y .y  0
  CÐ CT
xCÐ  0, xCT  0

a.f 0  0 hay a.d  0
 Để C  cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm   có 3 nghiệm âm phân biệt


+ Nếu  đi qua M o x o ; y o  và có VTPT n   a; b thì phương trình của  là

 : a x  x o   b  y  y o   0 .
+ Đường thẳng  đi qua hai điểm A a; 0, B 0; b a, b  0 . Phương trình của  :

x y
  1.
a b

Được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn.

y  f x 

y .y  0
  CÐ CT
xCÐ  0, xCT  0

a.f 0  0 hay a.d  0

+ Đường thẳng  đi qua điểm M o x o ; y o  và có hệ số góc k. Phương trình của
 : y  k x  x o   y o . Được gọi là phương trình đường thẳng theo hệ số góc k.

+ Một số trường hợp đặt biệt:

Học sinh tự vẽ hình.
 Lưu ý 5: Tìm tham số để đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương y  ax 4  bx 2  c C  cắt
trục hoành Ox tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng (cách đều nhau) ?
Phương trình hoành độ giao điểm: ax 4  bx 2  c  0 1
Đặt t  x 2  0 . Lúc đó: 1  at 2  bt  c  0 2
Để C  cắt trục hoành Ox tại 4 điểm phân biệt  1 có 4 nghiệm phân biệt
  0


 2 có hai nghiệm phân biệt dương  0  t1  t2  
 S  0  tham số 3

P  0

Gọi t1, t2 là hai nghiệm phân biệt của 2 . Lúc đó, 4 nghiệm phân biệt của 1 là:

Phương trình đường
thẳng 

Tính chất đường thẳng


c0

ax  by  0

 đi qua gốc toạ độ O

a0

by  c  0

 // Ox hoặc   Ox

b0

ax  c  0

 // Oy hoặc   Oy

 Cho hai đường thẳng 1 : a1x  b1y  c1  0 và 2 : a2 x  b2 y  c2  0 .
a x  b y  c  0
1
1
 Toạ độ giao điểm của 1 và 2 là nghiệm của hệ phương trình  1
a 2 x  b2y  c2  0


Do 4 nghiệm này lập thành cấp số cộng (hay cách
đều)   t1  t2  2 t1  9t1  t2 . Kết hợp định lí Viét, ta tìm được tham số. So
với 3  giá trị tham số thỏa yêu cầu bài toán.

Đặt D 

a1

b1

a2

b2

 a 1 b2  a 2 b1 , D x 

b1

c1

b2

c2

 b1c2  b2 c1, Dy 

+ 1 cắt 2  hệ  I có một nghiệm  D  0 

+

TIẾP TUYẾN

 
 
y  k . x  x   y  với k

Các hệ
số

 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

 t2 ,  t1 , t1 , t2 (nên sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn).



Thầy Chinh - Phù thủy dạy học

1 // 2 



a1
a2





b1
b2

c1

a1

c2

a2

 I

 c1a 2  c2a1

.



hệ I vô nghiệm  D  0 và Dx  0 hay Dy  0 

a1

a2



b1
b2



c1
c2

.

Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong C tại điểm M xo , yo :
 Phương trình tiếp tuyến có dạng Pttt :



tt

o

o

tt

 f ' x o  .

 

 Tính y '  f ' x  ktt  f ' x o .
 Thay xo , yo , ktt vào   Phương trình tiếp tuyến cần tìm.

Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia

10

Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia

39


VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717

Thầy Chinh - Phù thủy dạy học

VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717
Thầy Chinh - Phù thủy dạy học
 Lưu ý: Viết Pttt là tìm ba thành phần xo , yo , ktt . Một số cách tìm hệ số góc ktt thường gặp:

 

 Vectơ chỉ phương của đường thẳng

o Nếu Pttt //  : y  ax  b  ktt  k  a  f ' x o  x o  yo .

 
 Vectơ u  0 được gọi là véctơ chỉ phương  VTCP của đường thẳng  nếu giá của nó



u
song song hoặc trùng với Δ. Kí hiệu VTCP u  .
Δ

u
 Nhận xét


+ Nếu u là một VTCP của  thì ku k  0 cũng là một VTCP của .

o Nếu Pttt   : y  ax  b  ktt  

   
Nếu M x , y   C   Ox  y

1
1
   f ' x o   x o  yo .
k
a

 
 0  x  f ' x  .
Nếu Pttt tạo với chiều dương Ox một góc  thì k  f ' x   tan   x

o Nếu M xo , yo  C  Oy  x o  0  yo  f ' x o .
o
o

o

o

o

o

o

tt

+ Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTCP.
o Nếu Pttt tạo với  : y  ax  b một góc  thì

 Vectơ pháp tuyến của đường thẳng


 
n
 Vectơ n  0 được gọi là véctơ pháp tuyến  VTPT của đường thẳng  nếu giá của
nó

vuông góc với . Kí hiệu VTPT n .
Δ





o

o

o

o

o

o



 Bước 1: Gọi Pttt có dạng Pttt : y  ax  m 1

 y

 C 
 Bước 2: Áp dụng điều kiện tiếp xúc: 


 ytt

a
y 'C   y 'tt

 Bước 3: Do Pttt đi qua M nên ta thay tọa độ M vào 1  m

 Nhận xét

x  x  tu y
y
o
1
+ M  x; y    t   : 
hay M  x o  tu1; y o  tuv2    .

y  y o  tu2
v

α
O A α
x
+ Gọi k là hệ số góc của  thì
O

Chuyên Đề
HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

x

A

:

o

o

x  x  tu
o
1
( t là tham số) và t   .
 : 
y  yo  tu2


u

 


Bước 2: Tính y '  f ' x  . Tìm y , f ' x  theo x và thay y , f ' x  vào phương trình  ta
được phương trình   .
Bước 3: Do Pttt đi qua điểm M nên thay tọa độ M vào phương trình   . Giải phương trình này
ta tìm được x  y  f ' x  .

Cách 2:


 Cho đường thẳng  đi qua M o x o ; yo  và có VTCP u  u1; u2  . Phương trình tham số của

● k

ktt  a
 tan   xo  yo .
1  ktt .a

Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong C  , biết tiếp tuyến đi qua điểm M cho trước:



 Phương trình tham số của đường thẳng

u2

 yo

 Bước 1: Pttt cần tìm có dạng: y  f ' xo . x  xo  yo

+ Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTPT.




+ Nếu u là một VTCP và n là một VTPT của  thì u  n .

Δ

o

Cách 1:

 Nhận xét


+ Nếu n là một VTPT của  thì kn k  0 cũng là một VTPT của .




  xAv
● k  tan  với 
.
  90o


o

Bài 1: LŨY THỪA – CÁC PHÉP TÍNH VỀ LŨY THỪA VỚI HÀM SỐ THỰC

Δ

  
1. Kiến thức cơ bản
Gọi a và b là những số thực dương, x và y là những số thực tùy ý

với u1  0 .

x  xo
y  yo

u1
u2



u1  0, u2  0 .

n số a

 Trong trường hợp u1  0 hoặc u2  0 thì đường thẳng không có phương
trình chính tắc.

 Phương trình tổng quát của đường thẳng
 Phương trình: ax  by  c  0 với a 2  b2  0 (a, b không đồn thời  0 ) được gọi là phương
trình tổng quát của đường thẳng.

Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia

a n  a
.a.a.....a

38



a x .a y  a x y



x



x
a 
   a
 b 
bx

x
y

y



a  ax

ax
1
 a x y  a n  n
y
a
a




0
u x   1  x 0  1 , u x 


x  0




a 





a.b 

x

y

x

 

 ay

x

 a x .b x

 a x .y



n

a .n b  n ab

 
n

Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia

a

m

 n am

11


VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717
Bài 2: LOGARIT

Thầy Chinh - Phù thủy dạy học

  

VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717
Thầy Chinh - Phù thủy dạy học
Nếu P  0  Hai điểm A, B nằm cùng bên so với đường thẳng d.

Nếu P  0  Hai điểm A, B nằm hai bên so với đường thẳng d.

1. Kiến thức cơ bản

 Tìm điểm M x, y  d : Ax  By  C  0 để MA  MB

a/ Định nghĩa

a  0, a  1
 Với a  0, a  1, b  0 ta có: loga b    a   b . Chú ý: loga b có nghĩa khi 


max

.

+ Trường hợp 1. Hai điểm A, B nằm cùng bên so với đường thẳng d

b  0


MA  MB  AB  MA  MB

 Logarit thập phân: lg b  log b  log10 b

max

 Logarit tự nhiên (logarit Nepe): ln b  loge b

 M  M  d  AB
o
 AB  
M,
A,
B


+ Trường hợp 2. Hai điểm A, B nằm hai bên so với đường thẳng d

b/ Tính chất

Dựng A' là điểm đối xứng của điểm A qua d, khi đó:

Cho a  0, a  1 và b, c  0 . Khi đó:
Nếu 0  a  1 thì
Nếu a  1 thì loga b  loga c  b  c

MA  MB  AB  MA'  MB  AB .
 MA  MB

loga b  loga c  b  c

 loga 1  0

 loga a  1

 loga a b  b

 a log b  b

max

 AB  M  M o  d  A ' B .

Gọi H x H ; y H  là hình chiếu của A lên đường thẳng BC.
  
 



AH.BC  0
AH  BC
Tọa độ điểm H thỏa hệ phương trình: 
   
B, H, C
BH, BC


Để tìm tọa độ điểm A' đối xứng với A qua BC  H là trung điểm AA'.

Cho a  0, a  1 và b, c  0 . Ta có:

 loga b   . loga b

 MA ' MB

c/ Dạng toán 3. Tìm hình chiếu vuông góc của A x A ; y A  lên BC với B x B ; y B ,C x C ; y C  .

a

c/ Các qui tắc tính logarit

 loga b.c   loga b  loga c

max

b 

 loga    loga b  loga c

c 
 loga b 2  2 loga b



d/ Các công thức đổi cơ số
Cho a, b, c  0 và a, b  1 . Ta có:

loga c
 loga b. logb c  loga c
loga b

logb c 

 loga b 


 logab c 

1
. loga b ,   0


 loga b 

ln b
1
, loga b 
logb a
ln a

 log 1 b   loga b
a

1
1
1

loga c logb c

 a

log c
log a
b c b

1.3/ Đạo hàm
Đạo hàm hàm số sơ cấp



x   .x , x  0
a   a . ln a


x

'

'

 1

x

Đạo hàm hàm số hợp

 
 a   a . ln u.u '
'

 u   .u 1.u '
u

'

Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia

u

12

Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia

37


VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717
Thầy Chinh - Phù thủy dạy học
 Để xác định tâm I và bán kính đường tròn R ngoại tiếp ΔABC

VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717

AI2  BI2

+ Tâm I thỏa  2
. Giải hệ tìm I x I ; y I  .
AI  CI2

+ Bán kính R  AI 

x

 x A   y I  y A  .
2

I

2



e   e



log x   x ln1 a



ln x   x , x  0

x

+ Để D là chân đường phân giác trong của ΔABC

AB 
 BD  
.CD .
AC



'

 loga u

1

'

 
n

x

'



1
n.n x n 1

  u uln' a
'

 ln u  
'

u'
u

Với x  0 nếu n chẳn.
Với x  0 nếu n lẻ.



 
n

u'

'

u 

n.n u n 1

 Đưa về cùng cơ số:


MA  MB
min
b/ Dạng toán 2. Véctơ cùng phương (thẳng hàng) – Tìm điểm M  d để 
.
 MA  MB max
 
 Để A x A ; yA , B  x B ; y B , C x C ; y C  thẳng hàng  AB, AC cùng phương


x  xA
y  yA
.
 AB  k.AC  B
 B
xC  xA
yC  y A

Dùng các công thức mũ và lũy thừa đưa về dạng a
Với a  0, a  1 thì a



f x 

a

g x 

f x 

a

g x 

 f x   g x  .







a  1

Trường hợp cơ số a có chứa ẩn thì: a M  a N  a  1 M  N  0  
.
M  N



Logarit hóa: a f x   b gx   loga a f x   loga b gx   f x   loga b  g x  .
ĐẶT ẨN PHỤ

 Tìm điểm M x, y  d : Ax  By  C  0 để tổng MA  MB đạt giá trị nhỏ nhất.
Đây là bài toán bất đẳng thức tam giác, cần phân biệt hai trường hợp:



 Dạng 1: P a

+ Trường hợp 1. Hai điểm A, B nằm khác bên so với đường thẳng d.

f (x )



t  a f (x ), t  0

0
P t   0


 

 Cách 1. Sử dụng véctơ cùng phương

 Dạng 2: .a 2 f (x )   ab


A
C
 Gọi M  x o ;  x o    d : Ax  By  C  0 .

B
B 
min

'

 e u  eu .u '

PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

+ Để E là chân đường phân giác ngoài của ΔABC

AB 
 EB 
.EC .
AC

 Để tổng MA  MB

 

x

a

Lưu ý:

 Tọa độ chân đường phân giác

'

Thầy Chinh - Phù thủy dạy học

f (x )

 .b 2 f (x )  0

f (x )

a 

 Chia hai vế cho b 2 f (x ) , rồi đặt ẩn phụ t   
 b 

 M  M o  M, A, B thẳng hàng  M .

 0 (chia cơ số lớn nhất).

1
t

Dạng 3: a f (x )  b f (x )  m với a.b  1 . Đặt t  a f (x )  b f (x )  .

+ Trường hợp 2. Hai điểm A, B nằm cùng bên so với đường thẳng d
 Dựng A' đối xứng với A qua d  A ' .

ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ

 Trong ΔAMB, ta có:
MA  MB  AB  MA ' MB  AB .

 Do đó, MA  MB

min

Xét phương trình: f x   g x 

 AB

 M  Mo  d  A ' B  MA ' MB

min

 Đoán nhận x o là một nghiệm của phương trình 1 (thông thường là những số lân cận số 0).

 AB .





 Dựa vào tính đồng biến và nghịch biến của f x và g x để kết luận x o là nghiệm duy nhất:

 Lưu ý



o f x  đơn điệu và g x   c (hằng số).
Nếu f x  đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D và u, v  D thì f u   f v   u  v .
o f x đồng biến và g x nghịch biến (hoặc đồng biến nhưng nghiêm ngặt).

Để xét xem hai điểm A x A ; y A , B x B ; y B  nằm cùng bên hay nằm hai bên so với
đường thẳng d : Ax  By  C  0 thì ta cần tính:
P  Ax A  By A  CAx B  By B  C .
Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia

1



 Lưu ý:

36

Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia

13


VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717



Hàm số bậc nhất: y  ax  b , a  0



Thầy Chinh - Phù thủy dạy học
Hàm số mũ: y  a

 Đồng biến khi: a  0 .
 Nghịch biến khi : a  0 .

x

PT - BPT MŨ VÀ LOGARIT CÁCH GIẢI GIỐNG NHAU NHÉ

KHỐI ĐA DIỆN

 Gọi G x G ; yG  là trọng tâm ΔABC, lúc này: xG 

1/ Các hệ thức lượng trong tam giác vuông
Cho ABC vuông tại A, AH là đường cao, AM là đường trung tuyến. Ta có:
 BC 2  AB 2  AC 2 Pitago 
 AH .BC  AB.AC
 AB 2  BH .BC , AC 2  CH .CB
1
1
1



, AH 2  HB.HC
2
2
2
AH
AB
AC
BC
 AM 
2

C

H M

c

b2  c2  a 2
2bc
2
a

c2  b2
 b 2  a 2  c 2  2ac cos B  cos B 
2ac
2
a  b2  c2
 c 2  a 2  b 2  2ab cosC  cos C 
2ab
 a 2  b 2  c 2  2bc cos A  cos A 

b
a

B

C

R a

3

; yI 

2

.

yA  y B  yC
3

.

 

 Cho điểm M x M ; y M  thì tọa độ của điểm
 M1 đối xứng với M qua trục hoành Ox  M1  x M ; yM  .
 M 2 đối xứng với M qua trục tung Oy  M2 x M ; y M  .
 M  Ox  M x M ; 0 và M  Oy  M 0; y M  .

a
b
c


 2R
sin A sin B
sin C

b

B

2
x A  x B  xC

yA  y B

 M 3 đối xứng với M qua gốc tọa độ O  M3 x M ; y M  .

b) Định lí hàm số sin
A
c

; yI 



a  b
1
1
 Điều kiện để a  a1 ; a 2 , b  b1; b2  bằng nhau  
(hoành  hoành, tung  tung)

a 2  b2



x  x
x  xA
y  yA
A
 Để ba điểm A, B, C thẳng hàng thì AB  k.AC  B
với  C
.

 B
yC  y A
xC  x A
yC  y A


 
 
a1b1  a 2b2
a.b
 Góc giữa hai véctơ a, b : cos φ  cos a, b    
.
a12  a22 . b12  b22
a.b

2/ Các hệ thức lượng trong tam giác thường
a) Định lí hàm số cosin
A

x A  xB

x  kx B
y  kyB
 Gọi M x M ; yM  chia đoạn AB theo tỉ số k, k  1 . Khi đó: x M  A
.
; yM  A
1k
1k
 
 a  b  a 1  b1;a 2  b2 

(hoành  hoành ; tung  tung)  một véctơ.

 k.a  k.a1 ; ka 2  với k   .

 a.b  a1b1  a2b2 .
(hoành nhân hoành  tung nhân tung)  một số.




a
a
 Để a  a1;a 2 , b  b1;b2  cùng phương  a  kb  1  2  a 1b2  a 2 b1  0 .
b1
b2



 Điều kiện để a  a1;a 2 , b  b1;b2  vuông góc nhau  a.b  0  a1b1  a 2 b2  0 .

HÌNH HỌC PHẲNG

B

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A x A ; yA , B x B ; yB , C xC ; yC  và hai véctơ

 Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Lúc đó: x I 

ÔN TẬP

A

Thầy Chinh - Phù thủy dạy học



a  a1; a 2 , b  b1; b2  . Khi đó:

 Véctơ AB  x B  x A ; y B  y A  .

2
2
 Độ dài đoạn AB  AB  x B  x A   y B  y A  .

 Đồng biến khi: a  1 .
 Nghịch biến khi: 0  a  1 .

Chuyên Đề

VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717

 Một số dạng toán cơ bản

(R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC)

C

M  d : y  ax  b  yM  ax M  b

a/ Dạng toán 1. Xác định điểm thỏa mãn một đẳng thức véctơ hay độ dài

 Bước 1. Giả sử M x; y .
 Bước 2. Tọa độ hóa các véctơ có trong đẳng thức hoặc sử dụng công thức về khoảng cách giữa
hai điểm, để chuyển đẳng thức về biểu thức đại số.

c) Công thức tính diện tích của tam giác
1
1
1
S ABC  a.ha  b.hb  c.hc
2
2
2
1
1
1
c
b
 S ABC  ab sin C  bc sin A  ac sin B
2
2
2
abc
 - Sthpt

, Gia
S ABC  p.r
CẩmBNang ôna thi 9 điểm
C Toán
ABC Quốc
4R

p – nửa chu vi

a  b  c 


A

 Bước 3. Giải phương trình hoặc hệ trên, ta nhận được tọa độ điểm M.



 Lưu ý

 
 Để D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCD  AD  BC .

14

Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia

35


VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717



● x 4  y 4  x 2 y 2  x 2  xy  y2

x

2



Thầy Chinh - Phù thủy dạy học

VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717

Thầy Chinh - Phù thủy dạy học

 xy  y 2 .

…………………………………………………………

3/

f  x; y  0

1
2

Hệ phương trình đối xứng loại II:  I 


f  y; x  0

d) Công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác
A
AB 2  AC 2 BC 2

BA2  BC 2 AC 2
 AM 2 

.  BN 2 

.
2
4
2
4
K
N
CA2  CB 2 AB 2
.
 CK 2 

2
4
M
B
C

Nhận dạng: Đổi chỗ 2 ẩn thì hệ phương trình không thay đổi và trật tự các phương
trình thay đổi.
 Phương pháp giải: Lấy vế trừ vế và phân tích thành nhân tử, lúc nào ta cũng
thu được một nhân tử  x  y tức có x  y . Cụ thể các bước

như sau:
f x; y  f  y; x  0


f x; y  0


3
1

 Trừ 1 và 2 vế theo vế ta được: I  




3/ Định lí Talet
x  y

 Biến đổi 3 về phương trình tích: 3  x  y .g x, y  0  
.
g x, y  0

 

  



 

M

f x, y  0
f  x, y  0



 Lúc đó:  I  
.
 
x  y
g x, y  0



AM
AN
MN


k
AB
AC
BC
2
 AM 
  k 2
 
 AB 

 MN / /BC 

A



N

B

S AMN
S ABC

(Tỉ diện tích bằng tỉ bình phương đồng

C

 Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ  I .

4/

Hệ phương trình đẳng cấp:  I

4/ Diện tích của đa giác

a x2  b xy  c y 2  d
 1
1
1
1
.
 2
2
a 2 x  b2 xy  c2 y  d2


B

a/ Diện tích tam giác vuông

 Giải hệ khi x  0 (hoặc y  0 ).

 S ABC 

 Diện tích tam giác vuông bằng ½ tích 2 cạnh góc
vuông.

C

A



 Khi x  0, đặt y  tx . Thế vào hệ I ta được hệ theo t và x. Khử x ta tìm được phương trình bậc hai theo
t. Giải phương trình này ta tìm được t, từ đó tìm được  x; y  .

b/ Diện tích tam giác đều
Lưu ý:

. 3
S  đều  (cạnh)
2
4

 Chiều cao tam giác đều:

. 3
h đều  (cạnh)
2

A

c/ Diện tích hình vuông và hình chữ
nhật

A

Ở trên là hệ đẳng cấp bậc hai, nếu hệ đẳng cấp bậc ba hoặc bốn,… ta cũng giải tương tự.

Chuyên Đề

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG & ỨNG DỤNG


 Diện tích hình vuông bằng cạnh bình phương.

A – TỌA ĐỘ VÉCTƠ – TỌA ĐỘ ĐIỂM

 Đường chéo hình vuông bằng cạnh nhân 2 .
 Diện tích hình chữ nhật bằng dài nhân rộng.

 Tọa độ Oxy

B

 Diện tích tam giác đều:

h

Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia

34

B
O

D

C

A

Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia
B

a
C

a

d/ Diện tích hình thang

1
AB.AC
2

H

2

S ABC  a 3

4
 

a 3
h 
2


S HV  a 2
 
AC  BD  a 2


D

S 
C

AD  BC  .AH
2

15

VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717

Thầy Chinh - Phù thủy dạy học

 Diện tích hình thang:
SHình Thang 

1 .(đáy lớn + đáy bé) x chiều cao
2

e/ Diện tích tứ giác có hai đường chéo
vuông góc

VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717
f  x; y  a

c/ Hệ dạng  m

fn x; y  fk x; y


 

C  S H .Thoi

A







Trong đó: với fm x; y , fn x; y , fk x; y là các biểu thức đẳng cấp bậc m, n, k thỏa mãn

B

 Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc
nhau bằng ½ tích hai đường chéo.
 Hình thoi có hai đường chéo vuông góc nhau tại
trung điểm của mỗi đường.



Thầy Chinh - Phù thủy dạy học

m n  k.

1
 AC .BD
2

 Phương pháp giải:

D

f x; y  a
f x; y   a
1 .

m
  m
a.fn x; y  a.fk  x; y
fm x; y .fn  x; y   a.fk x; y  2



Sử dụng kỹ thuật đồng bậc:   




Lưu ý: Trong tính toán diện tích, ta có thể chia đa giác thành những hình đơn giản
dễ tính diện tích, sau đó cộng các diện tích được chia này, ta được diện tích
đa giác.

Nói một cách khác: kỹ thuật đồng bậc là sự kết hợp giữa hai phương trình (bằng phương pháp thế) để được
một phương trình thuần nhất dạng: a.x k  bx n .y m  c.x m .y n  d.y k  0 . Sau đó, đưa phương trình này
thành phương trình bậc hai hay phương trình tích số hoặc tìm ra mối liên hệ giữa x và y trực tiếp. Kết hợp với
phương trình còn lại.

 4
4
4x4  y4  4x  y 4x  y  1 4x  y 4x4  y4  x3  y3  xy2 4x  y


Thí dụ như:  3
.
 


 3
x  y3  xy2  1

x  y3  xy2  1

3
3
2


x  y  xy  1






f  x, y  0
2/ Hệ phương trình đối xứng loại I: 
I với f x, y  f y, x và
g  x, y  0

g  x, y   g y, x  .

Nhận dạng: Đổi chỗ hai ẩn thì hệ phương trình không thay đổi và trật tự các phương
trình cũng không thay đổi.
 Phương pháp giải:

S  x  y
 Biến đổi về tổng – tích và đặt 

đưa về hệ mới II với ẩn S, P .


 

P  xy


 





2
 Giải hệ II tìm được S, P và điều kiện có nghiệm x; y là S  4P .

 Tìm nghiệm  x; y  bằng cách giải phương trình X 2  SX  P  0 hoặc nhẩm nghiệm với S, P đơn giản.
 Một số biến đổi hằng đẳng thức hay dùng trong dạng này để đưa về tổng – tích:





 2xy  S2  2P .





 3xy x  y   S3  3SP .

● x 2  y2  x  y
● x3  y3  x  y

 x  y

2

●

2

3

 x  y  4xy  S2  4P .
2



● x 4  y 4  x2  y2

Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia

16



2

 2x2 y2  S4  4S2P  2P2 .

Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia

33


VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717

Thầy Chinh - Phù thủy dạy học

Không có một công cụ vạn năng nào trong việc xử lý các hệ phương trình. Ta phải căn cứ
vào đặc điểm của hệ phương trình để phân tích và tìm tòi ra lời giải. Một số ý tưởng để
giải hệ là
 Phương pháp thế, phương pháp cộng.

VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717

Thầy Chinh - Phù thủy dạy học

CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC
1/ Chứng minh đường thẳng d // mp() với d  ()
 Chứng minh: d // d ' và d '  ()

 

 Chứng minh: d  ( ) và  // ()

 Phương pháp đặt ẩn phụ.

 Chứng minh d và () cùng vuông góc với một đường thẳng hoặc cùng vuông góc với một mặt phẳng.

 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.

2/ Chứng minh mp() // mp  

 

 Chứng minh mp() chứa hai đường thẳng cắt nhau song song với mp  .

 Sử dụng bất đẳng thức.

 

 Chứng minh mp() và mp  cùng song song với 1 mặt phẳng hoặc cùng vuông góc với 1 đường thẳng.

 Sử dụng số phức và lượng giác.

3/ Chứng minh hai đường thẳng song song: Áp dụng một trong các định lí sau

 

a // mp()

 



1/






a/ Hệ có chứa một phương trình bậc nhất

 Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong mp() .

còn lại.
a x2  b y2  c xy  d x  e y  0
1
1
1
1
b/ Hệ phương trình bậc hai có dạng:  1 2
a 2 x  b2 y2  c2 xy  d2 x  e2 y  0


d // d '

 Chứng minh: 


 d  mp  
d '  mp  

d  mp  

 d  mp  

 Chứng minh: 
mp   // mp  




 Phương pháp giải:

 Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ 3 thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng

 Kiểm tra xem y  0  x  .... có phải là nghiệm không, nếu là nghiệm thì nhận nghiệm này.

   P 

thứ 3: 
   P 

      d


 Với y  0, đặt x  ty (hoặc x  0, đặt y  tx ). Lúc đó:

a y2 t2  b y2  c y2 t  d ty  e y  0
  a1 y2 t2  b1 y2  c1 y2 t  d1 ty  e1 y  0
 2
2
2
2
2

5/ Chứng minh đường thẳng d  d '

   




 Chứng minh d   và   d ' .
 Sử dụng định lý ba đường vuông góc.
 Chứng tỏ góc giữa d và d ' bằng 900 .
 Sử dụng hình học phẳng.


 d1t  e1 

y 
 d1t  e1 
 d1t  e1 
a 1t2  b1  c1t

 


 t  y  x.

 d1t  e1 
a 1t2  b1  c1t
a 2 t2  b2  c2 t
y 


a 2 t2  b2  c2 t








 d  P 

 Có hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến, cũng
vuông góc với mặt phẳng kia.

y2 a t2  b  c t  y d t  e  0
 1 1

1
1
  2 1 2
y a t  b  c t  y d t  e   0
2
2
2
1
1




Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó.
Một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song theo giao tuyến song song.
Hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
Sử dụng phương pháp hình học phẳng: Đường trung bình, định lí Talét đảo, …

4/ Chứng minh đường thẳng d  mp  

 Phương pháp giải: Rút ẩn bậc nhất theo ẩn thứ hai, rồi thế vào phương trình



 ()     b // a .

a  mp  


Giải hệ bằng phương pháp thế, phương pháp cộng




 

 Hai mp(),  có điểm chung S và lần lượt chứa 2 đường thẳng song song a,b thì ()    Sx // a // b .

HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN

 

Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia

6/ Chứng minh mp    mp  

   d

 Chứng minh 
 mp    mp   (chứng minh mp chứa 1 đường thẳng vuông góc với mp kia)
d   

 Chứng tỏ góc giữa hai mặt phẳng bằng 900 .



32

Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia

17


VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717

Thầy Chinh - Phù thủy dạy học

GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH
1/ Góc giữa hai đường thẳng

a'

a

 Là góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau lần lượt vẽ cùng phương

với hai đường thẳng đó:

b'



a // a '

 (a
, b )  (a
', b ')  

b // b '

2/ Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng mp  

VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717
B  0

 A  B  A  B .

 A  B


b

 


d,    (d, d ')  


(với d ' là hình chiếu vuông góc của d lên mp() ).



d'



3/ Góc giữa hai mp  và mp  



 Là góc có đỉnh nằm trên giao tuyến u ,
2 cạnh của hai góc lần lượt nằm trên
2 mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.


u

);    (a
, b)  
(

a



4/ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

5/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song:



B  0

Acó


A  B  B  0 .

  A  B
 

AB
 



Lưu ý

b

M



3



B  0

A  B  A  B .

A  B




● Thay

 Là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng (mặt phẳng)
này đến đường thẳng (mặt phẳng) kia.

d'

Dạng 2.

M

3

1

A3B 3C

● Ta có: 1 

M

6/ Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song

A  B
.
A  B  
 A  B

Một số phương trình – Bất phương trình cơ bản thường gặp khác
Dạng 1.

H

d



Đối với những phương trình, bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối không có dạng chuẩn như trên, ta
thường sử dụng định nghĩa hoặc phương pháp chia khoảng để giải.

3/

d M ,   MH

A  B  A  BA  B  0 .

d

 Là góc tạo bởi đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.

 Là độ dài đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng



Thầy Chinh - Phù thủy dạy học



3

A3B



3

 C  A  B  3 3 AB



3



A3B C

2

A  3 B  3 C vào 2 ta được: A  B  3 3 ABC  C .
 f  x   h x   g x   k x 
.
f x   g x   h  x  k x  với 
 f  x .h  x  g x .k x 

● Biến đổi về dạng:

f x   h x   g  x   k x  .

 Là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng đến mặt phẳng.
● Bình phương, giải phương trình hệ quả.

7/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

 Lưu ý

 Là độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng đó.

 

Phương pháp biến đổi trong cả hai dạng là đưa về phương trình hệ quả. Do đó, để đảm bảo rằng không
xuất hiện nghiệm ngoại lai của phương trình, ta nên thay thế kết quả vào phương trình đầu đề bài nhằm
nhận, loại nghiệm chính xác.

 Là khoảng cách MH từ một điểm M trên d đến mp 
chứa d ' và song song với d .

M

d

  

 Là khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song  , 

PHẦN 2 – HỆ PHƯƠNG TRÌNH

lần lượt chứa d và d ' .

Một số ý tưởng giải hệ phương trình:

d'

Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia

18

Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia

31


VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717

Thầy Chinh - Phù thủy dạy học

1  cos 2X
1  cos 2X

sin 2X
và sin X cos X 
vào 1 và
; cos2 X 
2
2
2
rút gọn lại, ta được: b sin 2X  c  a  cos 2X  2d  a  c 

VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717

 Bước 1: Thế sin2 X 

HÌNH CHÓP ĐỀU

1/ Định nghĩa.

 Bước 2: Giải phương trình  , tìm nghiệm. Đây là phương trình bậc nhất đối với sin 2X và

Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu có đáy là một đa giác đều và có chân
đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.

cos 2X (phương trình cổ điển) mà đã biết cách giải.
a.sin 3 X  b.sin2 X cos X  c.sin X cos2 X  d.cos3 X  0
 Dạng 2. 
4
3
2
2
3

4
a.sin X  b.sin X cos X  c.sin X cos X  d.sin X cos X  e.cos X

2
3

Nhận xét:
Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Các mặt bên tạo với
đáy các góc bằng nhau.
Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.

Phương pháp: Chia hai vế của 2  cho cos 3 X (hay sin 3 X ) hoặc chia hai vế của 3 

a/ Hình chóp tam giác đều: Cho hình chóp tam giác đều S .ABC . Khi đó:

CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ

Đáy ABC là tam giác đều.
Các mặt bên là các tam giác cân tại S .
Chiều cao: SO .
  SBO
  SCO
.
Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: SAO
.
Góc giữa mặt bên và mặt đáy: SHO

I – KIẾN THỨC CƠ BẢN

2

3

Phương trình – Bất phương trình căn thức cơ bản


B  0
A  B  
.
A  B2




A  0

B  0

A  B  
.
B  0

A  B2







B  0

A  B  
.
A  B




B  0

A  B  A  0 .

A  B2


1
3

Tính chất: AO  AH , OH  AH , AH 

A

C
O

AB 3
.
2

H

B

Lưu ý: Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện đều.
+ Tứ diện đều có các mặt là các tam giác đều.
S đáy.
+ Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh
b/ Hình chóp tứ giác đều: Cho hình chóp tam giác đều S .ABCD .
Đáy ABCD là hình vuông.
A
Các mặt bên là các tam giác cân tại S .
Chiều cao: SO .
  SBO
  SCO
  SDO
.
Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: SAO
.
Góc giữa mặt bên và mặt đáy: SHO
B

B  0
A  B  
.
A  B


D
H

O

C

Lưu ý
Đối với những phương trình, bất phương trình căn thức không có dạng chuẩn như trên, ta thực hiện theo
các bước:

Bước 1. Đặt điều kiện cho căn thức có nghĩa.
Bước 2.

Chuyển vế sao cho hai vế đều không âm.

2/ Hình chóp có một mặt bên vuông góc
với mặt đáy:
Chiều cao của hình chóp là chiều cao của
tam giác chứa trong mặt bên vuông góc

Phương trình – Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia

XÁC ĐỊNH CHIỀU CAO CỦA HÌNH CHÓP

1/ Hình chóp có một cạnh bên vuông góc
với đáy:
Chiều cao của hình chóp là độ dài cạnh
bên vuông góc với đáy.

Bước 3. Bình phương cả hai vế để khử căn thức.
2/

S

2/ Hai hình chóp đều thường gặp

cho cos 4 X (hay sin 4 X ) và giải tương tự như trên.

1/

Thầy Chinh - Phù thủy dạy học

30

Ví dụ: Hình chóp S .ABC có cạnh bên
SA  ABC  thì chiều cao là SA .
Ví dụ: Hình chóp S .ABCD có mặt
bên SAB  vuông góc với mặt
đáy ABCD  thì chiều cao của hình
chóp là chiều cao của SAB .

Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia

19


VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717

Thầy Chinh - Phù thủy dạy học

với đáy.
3/ Hình chóp có hai mặt bên vuông góc

với đáy:
Chiều cao của hình chóp là giao tuyến
của hai mặt bên cùng vuông góc với đáy.
4/ Hình chóp đều:
Chiều cao của hình chóp là đoạn thẳng
nối đỉnh và tâm của đáy.

VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717

Thầy Chinh - Phù thủy dạy học

a 2  b2  0 , ta được:
a
b
c
  2 2 sin x  2 2 cos x  2 2 .
a b
a b
a b
a
b
 Đặt sin  
; cos  
,   0;2 . Phương trình trở thành:


2
2
2
2

a b
a b
c
c
sin  sin x  cos  cos x 
 cos(x   ) 
đã biết cách giải.
a 2  b2
a 2  b2
 Phương pháp 2:
 Chia 2 vế phương trình cho

Ví dụ: Hình chóp S .ABCD có hai mặt
bên SAB  và SAD  cùng vuông
góc với mặt đáy ABCD  thì chiều
cao là SA .
Ví dụ: Hình chóp tứ giác
đều S .ABCD có tâm mặt phẳng
đáy là giao điểm của hai đường
chéo hình vuông ABCD thì có
đường cao là SO .





x
x 
 0    k  x    k2 có phải là nghiệm hay không ? Nếu phải
2

2
2
thì ghi nhận nghiệm này.
x
x 
 Với cos  0    k  x    k2 , ta đặt:
2
2
2
 Kiểm tra xem cos

t  tan

x
2t
1  t2
 sin x 
,
cos
x

. Thay vào phương trình, ta được:
2
1  t2
1  t2

  (b  c)t

  .
 Vì x    k2  b  c  0 nên   có nghiệm khi:  '  a

2

 2at  c  b  0

2

 (c2  b2 )  0  a 2  b2  c2 .

 Giải phương trình   , ứng với mỗi nghiệm t ta có phương trình: tan

x
tx
2

D – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐẲNG CẤP

 Dạng 1. a.sin2 X  b.sin X cos X  c.cos2 X  d

1

a, b, c, d   .

 Phương pháp 1. Chia hai vế cho cos2 X (hay sin2 X ).

cos X  0

 k, k      2
Hay X  k có phải là nghiệm
sin x  1
2


của phương trình 1 hay không ? Nếu phải thì ghi nhận nghiệm này.

 Bước 1. Kiểm tra xem X 

cos X  0

 k, k      2
Hay X  k . Chia hai vế của 1 cho
sin x  1
2

2
2
cos X (hay sin X ), ta được:
sin2 X
sin X cos X
cos2 X
d
1  a. cos2 X  b. cos2 X  c. cos2 X  cos2 X
 a tan 2 X  b tan X  c  d 1  tan 2 X 

 Bước 2. Khi X 

 a  d tan2 X  b tan X  c  d  0 .
 Bước 3: Đặt t  tan X để đưa về phương trình bậc hai mà biết cách giải.
 Phương pháp 2: Sử dụng công thức hạ bậc và nhân đôi

Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia

20

Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia

29


VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717

Thầy Chinh - Phù thủy dạy học

a sin2 x  b sin x  c  0
a cos2 x  b cos x  c  0

t  sin x

1  t  1

t  cos x

1  t  1

a tan2 x  b tan x  c  0

t  tan x

a cot2 x  b cot x  c  0

t  cot x

VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717

Thầy Chinh - Phù thủy dạy học

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN


 k , (k  )
2
x  k , k  

x

S

2

Nếu đặt t  sin x hoặc t  sin x thì điều kiện là 0  t  1

1
3

1/ Thể tích khối chóp: V  B.h

(tương tự cho cos )

D
A

B : Diện tích mặt đáy.

h : Chiều cao của khối chóp.

Một số hằng đẳng thức lượng giác và mối liên hệ

O
B

● 1  sin 2x  sin2 x  cos2 x  2 sin x cos x  sin x  cos x 

2

C

● 1  sin 2x  sin2 x  cos2 x  2 sin x cos x  sin x  cos x 

2

A

sin 2x
2
3
3
● sin x  cos x  sin x  cos x 1  sin x cos x 

● sin x cos x 

2/ Thể tích khối lăng trụ: V  B.h
B : Diện tích mặt đáy.
h : Chiều cao của khối chóp.

● sin 3 x  cos3 x  sin x  cos x 1  sin x cos x 
●
●
●
●

sin x cos x sin 2 x  cos2 x
2
tan x  cot x 



cos x sin x
sin x cos x
sin 2x
2
2
cos x sin x
cos x  sin x 2 cos 2x
cot x  tan x 



 2 cot x
sin x cos x
sin x cos x
sin 2x
1
1 1

3  1cos 4x
sin 4 x  cos 4 x  1  sin2 2x   cos2 2x 
2
2 2
4
4
4
2
2
2
2
cos x  sin x  sin x  cos x cos x  sin x  cos 2x





Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao
cũng là cạnh bên.

V  a.b.c

3
5  3 cos 4x
● sin x  cos x  sin x  cos x  sin x cos x  1  sin2 2x 
4
8
6
6
4

4
2
2
● cos x  sin x  cos 2x sin x  cos x  sin x cos x
6

6

4

4

2

 Thể tích khối lập phương:

2



A

B

C
B

A

C

A

B

C
B

c

a

3/ Thể tích hình hộp chữ nhật:



C

a

a

b

a

V  a3



S

x
1

2
cos x




● sin x  cos x  2 sin x    2 cos x  

4 
4 


● 1  tan x tan

2

4/ Tỉ số thể tích:

2

cos x
cos x
1  sin x
1  sin x
●




(mối liên hệ giữa sinx và cosx)
1  sin x
cos x
cos x 1  sin x  cos x 1  sin x 

VS .A ' B 'C '
VS .ABC



C’

SA ' SB ' SC '
.
.
SA SB SC

A

B

C

5/ Hình chóp cụt A’B’C’.ABC

C – PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SIN VÀ COS (PT CỔ ĐIỂN)

V 


Dạng: a sin x  b cos x  c

B’

A’

 , a, b   \ 0



h
B  B ' BB '
3



Với B, B ', h là diện tích hai đáy và
chiều cao.

 Phương pháp 1:
 Điều kiện để phương trình có nghiệm: a 2  b2  c2

4 phương pháp thường dùng tính thể tích
Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia

28

Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia

21


VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717

Thầy Chinh - Phù thủy dạy học

 Tính diện tích bằng công thức.
+ Tính các yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao,….
+ Sử dụng công thức tính thể tích.
 Tính thể tích bằng cách chia nhỏ: Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ
mà có thể dễ dàng tính thể tích của chúng. Sau đó, ta cộng kết quả lại, ta sẽ có kết quả
cần tìm.
 Tính thể tích bằng cách bổ sung: Ta có thể ghép thêm vào khối đa diện một khối đa
diện khác, sao cho khối đa diện thêm vào và khối đa diện mới có thể dễ dàng tính được
thể tích.
 Tính thể tích bằng tỉ số thể tích.
Dạng 2. Tính thể tích khối đa diện bằng cách lắp ghép khối hoặc so sánh khối (tỉ số)

VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717

ab
a b
.cos
2
2
ab
ab

● sin a  sin b  2 sin
.cos
2
2
sin a  b
● tan a  tan b 
cos a.cos b

Thầy Chinh - Phù thủy dạy học

ab
ab
.sin
2
2
ab
ab
● sin a  sin b  2 cos
.sin
2
2
sin a  b
● tan a  tan b 
cos a.cos b

● cos a  cos b  2 cos

● cos a  cos b  2 sin

 Công thức biến đổi tích thành tổng

● cos a.cos b 
● sin a.sin b 

cos a  b  cos a  b

● sin a.cos b 

2
cos a  b  cos a  b

sin a  b  sin a  b
2

2

 Một số công thức thông dụng khác
Trong nhiều bài toán, việc tính trực tiếp thể tích khối đa diện như trong dạng 1 có thể gặp
khó khăn vì hai lí do:
+ Hoặc là khó xác định và tính được chiều cao.
+ Hoặc tính được diện tích đáy nhưng cũng không dễ dàng.
Khi đó, ta có thể làm theo các phương pháp sau:
+ Phân chia khối cần tính thể tích thành tổng hoặc hiệu các khối cơ bản (hình chóp hoặc
hình lăng trụ) mà các khối này dễ tính hơn.
+ Hoặc là so sánh thể tích khối cần tính với một đa diện khác đã biết trước hoặc dễ dàng
tính thể tích.
Trong dạng này, ta thường hay sử dụng kết quả của bài toán:
Cho hình chóp S.ABC. Lấy A’, B’, C’ tương ứng trên cạnh SA, SB, SC. Khi đó:
VS .A ' B 'C '
VS .ABC



3

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG





1
2

● cos4 x  sin4 x  1  sin2 2x 



4 

3  1 cos 4x
4



0.dx  C .

 dx  x  C .




x
 a .dx 

ax
C .
ln a

 u  v  k2

 Dạng: sin u  sin v  

u    v  k2

3
4

● cos6 x  sin6 x  1  sin2 2x 

Đặc biệt:

 u  v  k2
u  v  k2

 Dạng: cos u  cos v  

Đặc biệt:

tan u  tan v  u  v  k
 Dạng:


Ðk : u, v   k
2

Đặc biệt:

cot u  cot v  u  v  k
Ðk : u, v  k



4 

5  3 cos4x
8

Đặc biệt:


sin x  0  x  k



sin x  1  x   k2

2


sin x  1  x    k2
2



cos x  0  x    k

2
cos x  1  x  k2

cos x  1  x    k2


 tan x  0  x  k


tan x  1  x     k

4

cot x  0  x    k

2



 cot x  1  x    k
4


B – PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ BẬC CAO ĐỐI VỚI MỘT HÀM
LƯỢNG GIÁC

 cosx .dx  sin x  C .


Dạng

Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia

4 

A – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

 Dạng:

1. Nguyên hàm của một số hàm thường gặp


4 



SA ' SB ' SC '
.
.
.
SA SB SC

Lưu ý: Kết quả trên vẫn đúng nếu như trong các điểm A’, B’, C’ có thể có điểm
A  A ', B  B ',C  C ' .
Thông thường, đối với loại này, đề thường cho điểm chia đoạn theo tỉ lệ, song song,
hình chiếu,…

Chương





π
π
π
π
● sinx  cos x  2 sinx    2 cosx   ● sinx  cosx  2 sin x    2 cosx  

22

Đặt ẩn phụ
Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia

Điều kiện
27


VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717
Thầy Chinh - Phù thủy dạy học
s
s
s
s

 Trường hợp 5:  R  1 ax  b ; 2 ax  b ; 3 ax  b ;...; k ax  b 



n
PP Đổi biến, đặt ax  b  t ( n là bội số chung lớn nhất của s1, s2,..., sk ).



Trường hợp 6:





R 





PP Đổi biến, đặt t  x  a   x  b  .
dx 
x  a x  b  
1

 Lưu ý: Với tích phân - phương pháp giống nguyên hàm nhưng các em chú ý sự thay
đổi của cận tích phân nhé
 Một số cách đặt ẩn phụ thông thường đối với hàm lượng giác:
o
o

 f cos x .sin x .dx  t  cos x
 f sin x .cos x .dx  t  sin x

VD :

VD :

t  sin2 x
o  f sin x ; cos x . sin 2x .dx  
2
t  cos x
1
o  f  tan x .
.dx  t  tan x
cos2 x
1
  f cot x . 2 .dx  t  cot x
sin x



2

2





 x .dx  ln x



e

VD :

 (tan

cos x
sin x

1
cos2 x



1  cos2x
2
● sin 3x  3 sin x  4 sin 3 x

● sin2 x 

tan a  tan b
1  tan a. tan b
 1  tan x
 x 
 1  tan x

● tan a  b 

π

● tan 
 4



 cos





1
. Chẳng hạn như:
a

1
2

x

1
2

sin x

.dx 

 1  tan x .dx  tan x  C .

2





.dx   1  cot2 x .dx   cot x  C .

dx

1

 ax  b  a ln ax  b  C ,

Một số công thức mở rộng

dx
2

cos x
 cos x
cos x
2 




 sin 4 x sin 3 x sin2 x .dx





2



sin x
cos x

● 1  cot2 x 

1
sin2 x



k .dx  k .x  C , k  const .

x


dx
2

 a2



x 

1
arctan    C .
 a 
a


1  x  a

ln 
2a  x  a
x 2  a2
dx


  C .



1

1
dx    C .
x

x

2





x 
 arcsin    C .
a 
a2  x 2







dx

dx
2

x a

2

 ln x  x 2  a 2  C .

1.4. Các phương pháp tính nguyên hàm thường gặp






cos2 x  sin2 x
● cos 2x  
2
2
2 cos x  1  1  2 sin x
1  cos2x
● cos2 x 
2
● cos 3x  4 cos3 x  3 cos x

Tích của đa thức hoặc lũy thừa  Khai triễn.
Tích các hàm mũ  Khai triễn theo công thức mũ.
Chứa căn  Chuyển về lũy thừa.
Tích lượng giác bậc một  Biến đổi tổng thành tích.
Bậc chẳn của sin x , cos x  Dùng công thức hạ bậc.

Bậc  tử  Bậc mẫu  Chia đa
 Hàm hữu tỉ (phân thức) 
thức.
Bậc  tử  Bậc mẫu  Đồng nhất
thức.

 Công thức cộng cung
● sin a  b  sin a.cos b  cos a.sin b

 sin x .dx   cos x  C .

1

x  tan x  1).

● tan x 



 sin ax  b dx   a cos ax  b   C ...

 Công thức cung nhân đôi – Công thức hạ bậc – Công thức cung nhân ba
● sin 2x  2 sin x.cos x

.dx  e x  C .

sin2 x  2 cos2 x
2

C .

Thầy Chinh - Phù thủy dạy học

Đặc biệt: Khi thay x bằng ax  b  , thì khi lấy nguyên hàm, ta phải nhân kết quả



● 1  tan 2 x 

x

thêm

 Công thức cơ bản

● cot x 

.dx 

1


● tan x.cot x  1



sin 2x .dx



x
C .
 1

x

3

CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC

● sin2 x  cos2 x  1

 1



 sin x .cos x .dx
 1  4 sin x . cos x.dx

VD :

VD :

VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717

 f u .du  F u   C , C  
  f x  .u ' x dx  F u x   C .

 Phương pháp đổi biến số: Nếu

● cos a  b  cos a.cos b  sin a.sin b

hàm liên tục thì:

tan a  tan b
1  tan a. tan b
π
 1  tan x
● tan   x 
 4
 1  tan x

● tan a  b 

Tách từ hàm Nhân thêm

và u  u x  có đạo

Có sẵn

 Phương pháp nguyên hàm từng phần

 Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì

 udv  uv  vdu .

phân du  ...........dx
Chọn: u  .......... Vi


 Công thức biến đổi tổng thành tích

dv  ........dx Nguyên
ham v  ........


Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia

26

Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia

23

VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717

Thầy Chinh - Phù thủy dạy học

 Nhận dạng: Tích hai hàm khác loại nhân nhau. (mũ nhân lượng giác, logarit nhân
lượng giác, đa thức nhân mũ,…).
 Cách chọn: u và dv .
+ Nếu nguyên hàm chứa ln  đặt u  ln và dv là phần còn lại.
+ Nếu nguyên hàm không chứa ln  đặt u  đa thức và dv là phần còn lại.
+ Nếu nguyên hàm có dạng “mũ nhân lượng giác”  u  lượng giác và dv là
phần còn lại.
 Lưu ý: Bậc của đa thức, của ln ứng với số lần lấy nguyên hàm.

VIOLET - 26 Trương Định - 0511.6292717

Thầy Chinh - Phù thủy dạy học

 Đặt biệt

dx

, n  N* . Ta đổi biến, đặt: x  a tan t .

 Loại: I 1 



 Loại: I 2 

 f x  1 x .1  1 x

x

2

a

2



n

2

.dx . Ta đổi biến, đặt: t  x  1x .

dx
, a  0 . Ta tiến hành xét   b 2  4ac
 bx  c
2
b
dx
1
1
+ Nếu   0 thì I 3  
là
  x  xo  .dx  

 C với xo 
2
2a
a
a x  xo 
a x  x 

 Loại: I 3 

 ax

2

o

nghiệm kép của phương trình ax  bx  c  0 .
2

DẠNG TOÁN 1. DÙNG NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
 Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì

phân
Chọn: u  .......... Vi


+ Nếu   0 thì I 3 

 udv  uv  vdu

1

 a x  x x  x .dx
1

du  ...........dx

 đồng nhất thức  kết quả, với x 1, x 2 là hai nghiệm

2

2

phân biệt của phương trình ax  bx  c  0 .







dv  ........dx Nguyên
ham v  ........


+ Nếu   0 ta biến đổi mẫu số ax 2  bx  c  a.  x  b

 Nhận dạng: Tích hai hàm khác loại nhân nhau. (mũ nhân lượng giác, logarit nhân lượng giác, đa
thức nhân mũ,…).

b


  . tan t (Loại 1)  Kết quả.
2a
4a
px  q
 Loại: I 4  
.dx
2
ax  bx  c
+ Nếu   0 ta tiến hành đồng nhất thức bình thường  Kết quả.

 Lưu ý: Bậc của đa thức, của ln ứng với số lần lấy nguyên hàm. Cách chọn u và dv lần sau
cũng theo cách chọn trên.

+ Nếu   0 ta biến đổi I 4 

2ax  b dx  q  b.p 
p
dx




2
2
2a 
2a  
ax 
 bx  c 
ax 

 bx  c
A

NGUYÊN HÀM - HÀM SỐ HỮU TỶ



HÀM SỐ VÔ TỶ

Trong đó: P x  và Q x  là các đa thức (không chứa căn).





 Nếu bậc của tử P x  bậc của mẫu Q x . Chẳng hạn như





Nếu gặp nguyên hàm chứa căn thức dạng

2

x  3x  x  2
dx . Ta sẽ tiến hành chia đa
x2

thức, rồi dùng công thức trong bảng nguyên hàm để tính.





 Nếu bậc của tử P x  bậc của mẫu Q x và Q x có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích

P x 
Q x 

A
B


x  a x  b  x  a x  b

x  m ax

2

 bx  c

1

x  a  x  b 
2

2







A
Bx  C

, với   b 2  4ac  0
2
x m
ax  bx  c





A
B
C
D



2
x  a x  a 
x  b x  b 2

Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia



Trường hợp 1:





Trường hợp 2:





Trường hợp 3:





Trường hợp 4:



thành tổng

1

1



 f  u x  .v x dx

PP 90% đặt t  u x  . Trừ


sáu trường hợp sau:

của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định).
Chẳng hạn như:

I 3 khi 0

Tìm A : Đổi biến đặt t  ax 2  bx  c
Tìm I 3 : Tính như loại 3 khi   0

P x 
.dx .
Q x 
3

2

đặt: x 

 Cách chọn: u và dv “Nhất log - Nhì đa - Tam Lượng - Tứ Mũ”

Bài toán: Tìm nguyên hàm của hàm số có dạng



    , rồi đổi biến số bằng cách
2a  
4a 

24

x  a tan t
PP Đổi biến, đặt 
; x 2  a 2 dx 
x  a cot t

x  a

2
2
sin t
f x
; x  a dx 
PP Đổi biến, đặt 
x  a

cos t

x  a sin t
f x
; a 2  x 2 dx 
PP Đổi biến, đặt 
x  a cos t

1
dx
PP Đổi biến, đặt x  a 


t
x  a  . ax 2  bx  c

f x













Cẩm Nang ôn thi 9 điểm Toán - thpt Quốc Gia

25