Về một số mở rộng định lý điểm bất động caristi cho ánh xạ đa trị

▼ô❝ ▲ô❝
❚r❛♥❣
▼ô❝ ❧ô❝

✶

▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉

✷

❈❤➢➡♥❣ ✶✿

▼ét sè ♠ë ré♥❣ ➤Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❈❛r✐st✐ ❝❤♦ ➳♥❤

①➵ ➤❛ trÞ

✹

✶✳✶

▼ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹

✶✳✷

❇➭✐ t♦➳♥ ❑✐r❦ ✈➭ ♠ë ré♥❣ ➤Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❈❛r✐st✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵

✶✳✸

▼ë ré♥❣ ➤Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❈❛r✐st✐ ❝❤♦ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❣✐➳
trÞ ✈Ð❝t➡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻

❈❤➢➡♥❣ ✷✿

▼ét sè ø♥❣ ❞ô♥❣ ❝ñ❛ ❝➳❝ ♠ë ré♥❣ ➤Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣

❈❛r✐st✐

✷✸

✷✳✶

➜✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸

✷✳✷

▼ét sè ø♥❣ ❞ô♥❣ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý ❈❛r✐st✐ ♠ë ré♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾

❑Õt ❧✉❐♥

✸✼

❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦

✸✽

✶

❧ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉
▲ý t❤✉②Õt ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❧➭ ♠ét tr♦♥❣ ♥❤÷♥❣ ❤➢í♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ q✉❛♥
trä♥❣✱ ❜ë✐ ♥ã ❝ã ♥❤✐Ò✉ ø♥❣ ❞ô♥❣ tr♦♥❣ ❝➳❝ ♥❣➭♥❤ t♦➳♥ ❤ä❝ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉✱
✈í✐ r✃t ♥❤✐Ò✉ ❦Õt q✉➯ ♥æ✐ t✐Õ♥❣ ♥❤➢✿ ◆❣✉②➟♥ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❇r♦✉✇❡r
✭✶✾✶✷✮✱ ♥❣✉②➟♥ ❧ý ➳♥❤ ①➵ ❝♦ ❇❛♥❛❝❤ ✭✶✾✷✷✮✱ ♥❣✉②➟♥ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣
❙❝❤❛✉❞❡r ✭✶✾✸✵✮ ✈➭ ❝➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝ñ❛ ❈❛r✐st✐ ✭✶✾✼✻✮✱ ❑✐r❦
✭✶✾✼✼✮✱ ✳✳✳✳ ▼ë ré♥❣ ❧ý t❤✉②Õt ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝❤♦ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ✱ ❝❤♦
➤Õ♥ ♥❛② ❝➳❝ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ ➤➲ t❤✉ ➤➢î❝ r✃t ♥❤✐Ò✉ ❦Õt q✉➯ ❝ã ❣✐➳ trÞ✳ ❚✉②
♥❤✐➟♥ ➤➞② ✈➱♥ ❧➭ ❤➢í♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ➤❛♥❣ ➤➢î❝ ❝➳❝ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ q✉❛♥
t➞♠ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈➭ ❤ø❛ ❤Ñ♥ ➤➵t ➤➢î❝ ♥❤÷♥❣ ❦Õt q✉➯ t❤ó ✈Þ ✈Ò ❧ý t❤✉②Õt
❝ò♥❣ ♥❤➢ ø♥❣ ❞ô♥❣✳ ❚r➟♥ ❝➡ së ❝➳❝ ❜➭✐ ❜➳♦
♣♦✐♥t t❤❡♦r❡♠

❝ñ❛ ▼✳ ❆✳ ❑❤❛♠s✐ ✭✷✵✵✾✮✱

❘❡♠❛r❦s ♦♥ ❈❛r✐st✐✬s ❢✐①❡❞

❊①t❡♥s✐♦♥ ♦❢ ❈❛r✐st✐✬s ❢✐①❡❞

♣♦✐♥t t❤❡♦r❡♠ t♦ ✈❡❝t♦r ✈❛❧✉❡❞ ♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s

❝ñ❛ ❘✳ P✳ ❆❣❛r✇❛❧✱ ▼✳ ❆✳

❑❤❛♠s✐ ✭✷✵✶✶✮✱ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ♦❢ ❈❛r✐st✐✬s ❢✐①❡❞ ♣♦✐♥t r❡s✉❧ts ❝ñ❛ ❆✳ ▲❛t✐❢✱
◆✳ ❍✉ss❛✐♥✱ ▼✳ ❆✳ ❑✉t❜✐ ✭✷✵✶✷✮✱ ❝ï♥❣ ❝➳❝ t➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ❦❤➳❝✱ ❞➢í✐
sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ❝ñ❛ ◆●➛❚✳ P●❙✳ ❚❙✳ ❚r➬♥ ❱➝♥ ➣♥✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ➤➲ t✐Õ♣ ❝❐♥
❤➢í♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♥➭② ✈➭ t❤ù❝ ❤✐Ö♥ ➤Ò t➭✐✿

❱Ò ♠ét sè ♠ë ré♥❣ ➤Þ♥❤ ❧ý

➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❈❛r✐st✐ ❝❤♦ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ✳

▼ô❝ t✐➟✉ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❧➭ ❣✐í✐ t❤✐Ö✉ ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ✈Ò ♠ë ré♥❣ ➤Þ♥❤
❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❈❛r✐st✐ ❝❤♦ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ✳ ❈ô t❤Ó q✉❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②
❝❤ó♥❣ t➠✐ ♠➠ t➯ ➤➷❝ tr➢♥❣ ❝ñ❛ ❝➳❝ ②Õ✉ tè ❝ù❝ t✐Ó✉✱ tr×♥❤ ❜➭② ❜➭✐ t♦➳♥
❑✐r❦ ✈Ò ♠ë ré♥❣ ➤Þ♥❤ ❧ý ❈❛r✐st✐✱ ♠ë ré♥❣ ➤Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❈❛r✐st✐
❝❤♦ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❣✐➳ trÞ ✈Ð❝t➡✱ ♠ét sè ♠ë ré♥❣ ➤Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣
❈❛r✐st✐ ❝❤♦ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ✱ ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ✱ ♠ét sè
ø♥❣ ❞ô♥❣ ❝ñ❛ ❝➳❝ ♠ë ré♥❣ ➤Þ♥❤ ❧ý ❈❛r✐st✐✳ ❱í✐ ♠ô❝ ➤Ý❝❤ tr➟♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥
➤➢î❝ tr×♥❤ ❜➭② t❤➭♥❤ ❤❛✐ ❝❤➢➡♥❣✳
❈❤➢➡♥❣ ✶ ✈í✐ ♥❤❛♥ ➤Ò ▼ét sè ♠ë ré♥❣ ❝ñ❛ ➤Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣
❈❛r✐st✐ ❝❤♦ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ✳ ❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✱ ♠ô❝ ✶ t➳❝ ❣✐➯ ❣✐í✐ t❤✐Ö✉

♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❧➭♠ ❝➡ së tr×♥❤ ❜➭② ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ▼ô❝ ✷ tr×♥❤ ❜➭② ❜➭✐
t♦➳♥ ❑✐r❦ ✈➭ ♠ë ré♥❣ ➤Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❈❛r✐st✐✳ ▼ô❝ ✸ tr×♥❤ ❜➭②
♠ë ré♥❣ ➤Þ♥❤ ❧ý ❈❛r✐st✐ ❝❤♦ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❣✐➳ trÞ ✈Ð❝t➡✳
✷


❈❤➢➡♥❣ ✷ ✈í✐ t✐➟✉ ➤Ò ▼ét sè ø♥❣ ❞ô♥❣ ❝ñ❛ ❝➳❝ ♠ë ré♥❣ ➤Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ó♠
❜✃t ➤é♥❣ ❈❛r✐st✐✳ ❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✱ ♠ô❝ ✶ ❞➭♥❤ ❝❤♦ tr×♥❤ ❜➭② ➤✐Ó♠ ❜✃t

➤é♥❣ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ✳ ▼ô❝ ✷ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ø♥❣ ❞ô♥❣ ❝ñ❛ ❝➳❝
➤Þ♥❤ ❧ý ❈❛r✐st✐ ♠ë ré♥❣✳
▲✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢î❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ t➵✐ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❱✐♥❤ ❞➢í✐ sù ❤➢í♥❣
❞➱♥ t❐♥ t×♥❤ ❝ñ❛ t❤➬② ❣✐➳♦ P●❙✳ ❚❙✳ ❚r➬♥ ❱➝♥ ➣♥✳ ❚➳❝ ❣✐➯ ①✐♥ ❜➭② tá
❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ s➞✉ s➽❝ ♥❤✃t ➤Õ♥ t❤➬②✱ ♥❤➞♥ ❞Þ♣ ♥➭② t➳❝ ❣✐➯ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤
❝➯♠ ➡♥ ❇❛♥ ❝❤ñ ♥❤✐Ö♠ ❦❤♦❛ ❚♦➳♥✱ P❤ß♥❣ ➤➭♦ t➵♦ ❙❛✉ ➤➵✐ ❤ä❝✱ q✉Ý t❤➬②✱
❝➠ tr♦♥❣ tæ ●✐➯✐ tÝ❝❤ ❑❤♦❛ ❚♦➳♥ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❱✐♥❤ ➤➲ ❣✐ó♣ ➤ì tr♦♥❣

s✉èt q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣ ✈➭ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ❚➳❝ ❣✐➯ ❝ò♥❣ ①✐♥ ❝➯♠
➡♥ ❝➳❝ ❜➵♥ ❤ä❝ ✈✐➟♥ ❝❛♦ ❤ä❝ ❦❤ã❛ ✶✾ ❚♦➳♥ ✲ ●✐➯✐ tÝ❝❤ t➵✐ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝
❱✐♥❤ ➤➲ t➵♦ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ t❤✉❐♥ ❧î✐ ❣✐ó♣ t➳❝ ❣✐➯ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ♥❤✐Ö♠ ✈ô tr♦♥❣
s✉èt q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣✳
▼➷❝ ❞ï ❝ã ♥❤✐Ò✉ ❝è ❣➽♥❣✱ s♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❦❤➠♥❣ tr➳♥❤ ❦❤á✐ ♥❤÷♥❣ s❛✐
①ãt✳ ❘✃t ♠♦♥❣ ♥❤❐♥ ➤➢î❝ ♥❤÷♥❣ ý ❦✐Õ♥ ➤ã♥❣ ❣ã♣ ❝ñ❛ q✉Ý t❤➬②✱ ❝➠ ✈➭
❜➵♥ ➤ä❝ ➤Ó ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢î❝ ❤♦➭♥ t❤✐Ö♥✳

◆❣❤Ö ❆♥✱ ♥❣➭② ✷✽ t❤➳♥❣ ✵✽ ♥➝♠ ✷✵✶✸

❚➳❝ ❣✐➯

❍å ▼✐♥❤ ❍ï♥❣

✸




ột số ở rộ ị ý ể t ộ
rst trị
ột số ế tứ ị





ị ĩ t ợ

ọ ột

t

tr

X

X

ọ



t ủ

X

ợ

ế tỏ ề ệ s

X

ế

U1 , U2 tì U1 U2

ế

Ui i I tì

Ui
iI

ợ
t

X

ý ệ

ợ ọ
ở

ù ớ ột t

ể

tr



tr ó ợ ọ ột



U

tử ủ



ọ ột

X

t

X P ù ủ t ở t ó

sr

tồ t ột

X

ủ ỗ tử ủ

ị ĩ t





(X, )

ủ

X

ợ ọ

T2

ế ể t ỳ

x V

ủ s

x, y X

U V =

X ột tr tr X

ị ĩ t ợ



ột

d : X ì X R tỏ ề ệ

d(x, y) 0 ớ ọ x, y X



d (x, y) = d (y, x) ớ ọ x, y X



d (x, z) d (x, y) + d (y, z) ớ ọ x, y, z X

ợ
tr

ợ ọ

X

ù ớ ột tr

ý ệ

ể

ữ ể



d

d (x, y) = 0 ỉ x = y

tr ó ợ ọ ột



(X, d) X ỗ tử ủ X

ủ

X số d(x, y) ợ ọ

x y



ệ ề sử (X, d) ột tr



xi (X, d)

i = 1, 2, . . . , n ó t ó
d(x1 , xn ) d(x1 , x2 ) + d(x2 , x3 ) + ã ã ã + d(xn1 , xn ).
ị ĩ



ọ

ộ tụ

{xn } tr tr (X, d) ợ

xX

tớ ể

í ệ

xn x lim xn = x ế
n

d (x, xn ) 0 n
ét r tr

(X, d) ột ộ tụ ỉ ộ tụ

ề ột ể t
ế

ị ĩ X ột tr {xn } tr



X

ọ

ọ

xn x, yn y tì d (xn , yn ) d (x, y)



ế ớ ọ

>0

tồ t số

n0 N

s ớ

n, m n0 t ó d (xn , xm ) <

tr
tr

X

ế



ợ ọ

ủ

ế ọ

ề ộ tụ

ét ế



(X, d)

{xn }

{xn } ộ tụ tì ó
tr tr

{xnk } ộ tụ ề ể x X

ị ĩ

X

tì

X

ó

{xn } ũ ộ tụ ề x

ột ét tr trờ

K

tự ứ
ó r t

X



t ét



tr

tr

X



t tí ớ ớ trú số

X ế é t số tr X

tr

ề

tụ t t ó ĩ

ớ ọ

x1 , x2 X

t
ớ ọ
t số

ớ ọ

V

ủ ể

x1 + x2 tồ

V1 ủ x1 V2 ủ x2 s V1 + V2 V

x X ớ ọ K ớ ọ V

r > 0 W

ủ ể

K t | | < r


ủ

x tồ

x s W V ớ ọ


ét X tr trờ K ợ ọ ét t
ế tr ó ột t



t tí ớ trú số tr

ị ĩ sử



X

X

ét t tr trờ

K tự ứ


X

ợ ọ

ồ ị

B ủ ể 0 X

ế ó ó ột sở

s ọ tử ủ

B t

ồ


X

ợ ọ



U

ủ

ị ị

0 t ị

ị ĩ

ế ó ó ột

tự ứ

X

ột ét tr trờ

. : X R ợ ọ ột tr X

K

ế

ó tỏ ề ệ s


x 0 ớ ọ x X





x = ||. x

xX

x+y x + y

ợ

X

ét sử

ý ệ



K

x, y X
.

tr ó ợ ọ ột



(X, . ) X

X ột ị ớ t ỳ x, y X t

d(x, y) = x y

s ở

ớ ọ

ù ớ ột

ị

t

ớ ọ

x = 0 ỉ x = 0

tr

ó

d ột tr tr X ọ d tr

X

ì ị trờ ợ ệt ủ
tr tt ết q ề tr ũ ú
ị



ị ĩ ị



ế tr

ủ


X

ợ ọ



(X, d) ớ tr s ở


ị ĩ



X

tr

=AX



f : A R
f

ợ ọ

ị ớ

ị

tr

tr

A

ế tồ t

h R s f (x) h t ứ f (x) h ớ ọ x A
ị ĩ



f : A R x0 A. f
> 0

ế ớ ọ

tồ t

X

tr

ợ ọ

> 0

= A X

ử tụ ớ

s

t

f (x0 ) f (x) <

x0 A

ớ ọ

x B(x0 , ) tứ lim inf f (x) f (x0 )
xx0

f

ế

ử tụ ớ t ọ ể
tr

tụ ớ

f

ử tụ tr

f

ợ ọ

ử

tr

A ế f

ử

A

ị ĩ



tì

A

ợ ọ

tụ ớ tr

xA

X

ù ớ q ệ

< tỏ ề

ệ


x < x ớ ọ x X



x < y, y < x é t x = y

tí ố ứ



x < y, y < z

tí

ợ ọ

tứ tự


tí

é t

x
t s tứ tự ộ

X

ị ĩ sử

ớ q ệ tứ tự

ột t s tứ tự ớ q ệ

< A ột t rỗ ủ X A X

t s tứ tự tế tí



í

ế ớ

ợ ọ

x, y A t ỳ tì

x < y y < x.


aX

ị ĩ sử

ọ

é t
ọ

tử ự

x = a

xX

P tử

q ệ

X

ủ

aX

X

t s tứ tự ộ P tử
ế ớ ọ

ọ

tử ự tể

a > x é t x = a


xX

q ệ
ủ

X

a
ế ớ


✶✳✶✳✶✻

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ✭❬✶✷❪✮ ●✐➯ sö

t❤ø tù ❜é ♣❤❐♥✳

a, b ∈ V

V

V

❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈Ð❝t➡ ➤➢î❝ s➽♣

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét

❞➭♥

♥Õ✉ ✈í✐ ❤❛✐ ♣❤➬♥ tö ❜✃t ❦ú

❜❛♦ ❣✐ê ❝ò♥❣ tå♥ ❝❐♥ tr➟♥ ❜Ð ♥❤✃t ✈➭ ❝❐♥ ❞➢í✐ ❧í♥ ♥❤✃t ❝ñ❛ t❐♣

{a, b}✳
✶✳✶✳✶✼

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ✭❬✶✷❪✮ ❉➭♥

tö ❜✃t ❦ú

a, b ∈ V

❜❛♦ ❣✐ê ❝ò♥❣ tå♥ ❝❐♥ tr➟♥ ❜Ð ♥❤✃t ✈➭ ❝❐♥ ❞➢í✐ ❧í♥

❇æ ➤Ò ✭❩♦r♥✮✳

X

●✐➯ sö

➤Ò✉ ❝ã ❝❐♥ tr➟♥ t❤×

C

X

❧➭ t❐♣ ❝♦♥ ❝ñ❛ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥♥❛❝❤

T : C → E t❤á❛ ♠➲♥ T x − T y ≤ r x − y

0 ≤ r < 1 t❤× ➳♥❤ ①➵ T : C → E

◆Õ✉

r = 1 t❤× ➳♥❤ ①➵ T : C → E
❈❤♦

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳

X → X. ➜✐Ó♠ a ∈ X

sù ➤Þ♥❤ ❤➢í♥❣

tr➟♥

m, n, p

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

✈í✐ ♠ä✐

E

x, y ∈ C.

➳♥❤ ①➵ ❝♦✳

➳♥❤ ①➵ ❦❤➠♥❣ ❣✐➲♥✳

(X, d) ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ ✈➭ ➳♥❤ ①➵ f :

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ✭❬✶❪✮ ❈❤♦

✶✮ ◆Õ✉

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

❝ã ♣❤➬♥ tö ❝ù❝ ➤➵✐✳

◆Õ✉

✶✳✶✳✷✷

V

X = φ ❧➭ ♠ét t❐♣ s➽♣ t❤ø tù ❜é ♣❤❐♥✳ ◆Õ✉

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ✭❬✶✷❪✮ ❈❤♦

✈➭ ➳♥❤ ①➵

✶✳✶✳✷✶

♥Õ✉ ✈í✐ ❤❛✐ ♣❤➬♥

♥Õ✉ ♥ã ❧➭ ♠ét ❞➭♥ ✈➭ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳

♠ä✐ ①Ý❝❤ ❝ñ❛

✶✳✶✳✷✵

❧✐➟♥ tô❝

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ✭❬✶✷❪✮ ❚❐♣ ➤➢î❝ s➽♣ t❤ø tù ❜é ♣❤❐♥

❞➭♥ ❇❛♥❛❝❤

✶✳✶✳✶✾

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

{a, b}✳

♥❤✃t ❝ñ❛ t❐♣

✶✳✶✳✶✽

V

➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣

❝ñ❛

f

♥Õ✉

f a = a.

D = ∅✳ ◗✉❛♥ ❤Ö ≥ tr➟♥ D ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét

D ♥Õ✉ t❤á❛ ♠➲♥ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥
❧➭ ❝➳❝ ♣❤➬♥ tö t❤✉é❝

D

s❛♦ ❝❤♦

m ≥ n, n ≥ p

t❤×

m ≥ p.
✷✮

m ≥ m ✈í✐ ♠ä✐ m ∈ D.

✸✮ ◆Õ✉
❚❐♣ ❤î♣

m, n ∈ D t❤× tå♥ t➵✐ p ∈ D s❛♦ ❝❤♦ p ≥ m ✈➭ p ≥ n.
D

t❐♣ ❝ã ❤➢í♥❣

❝ï♥❣ ✈í✐ ♠ét sù ➤Þ♥❤ ❤➢í♥❣

✈➭ ❦ý ❤✐Ö✉ ❧➭

(D, ≥).
✽

≥ tr➟♥ D

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét


✶✳✶✳✷✸

❤➭♠

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ✭❬✶❪✮ ●✐➯ sö

S:D→X

s✉② ré♥❣✮

✶✳✶✳✷✹

❧➭ ♠ét

✈➭ ❦ý ❤✐Ö✉ ❧➭

❧➢í✐

Y✳

tõ

X

➜✐Ó♠

x∗

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

✈➭♦

X

✭ ❤❛② ➤➡♥ ❣✐➯♥ ❧➭

❧➢í✐

❤♦➷❝ ❧➭

❞➲②

{Sn , n ∈ D, ≥} ✭❤❛② {Sn }n∈D ✮✳

①➵ ➤❛ trÞ

♥Õ✉

tr♦♥❣

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ✭❬✶✵❪✮ ❈❤♦

t✃t ❝➯ ❝➳❝ t❐♣ ❝♦♥ ❝ñ❛

(D, ≥) ❧➭ ♠ét t❐♣ ❝ã ❤➢í♥❣✳ ❚❛ ❣ä✐ ♠ét

X, Y

❧➭ ❤❛✐ t❐♣ ❜✃t ❦ú✱ t❛ ❦ý ❤✐Ö✉

▼ét ➳♥❤ ①➵

F : X → 2Y

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

2Y

❧➭ ❤ä

♠ét ➳♥❤

Y✳
➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣

x∗ ∈ F (x∗ ).

✾

❝ñ❛ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ

F : X → 2Y







t r ở rộ ị ý ể t ộ
rst
ị ý rst

(X, d) tr ủ

: X R ử tụ ớ ị ớ F : X

X t tết tụ tỏ d(x, F x) (x)(F x)
ớ ọ



x X ó F

ó ột ể t ộ

(A, <) ột t ợ ợ s tứ tự ộ

ị ý sử

ó t ể s t



A ứ ột tử ự tể

ột trị t ỳ
ỳ

x A

tồ t

ứ

tồ t

ị tr

ớ

y < x

A

s ớ t

ó ể t ộ ĩ

a A s a T (a)

(1) (2)

ể t ộ ủ
r

y Tx

T

T

ễ t r ột tử ự tể t ỳ

ể t ứ t sẽ ứ

(2) (1) sử ợ r A ó tử ự tể

ó t ị trị

T

tr

A

ở

T (x) = {y A : y <

x ớ y = x} ớ t ỳ x A ừ tết ễ t r T (x) =
ớ ọ

x A ó ờ t s r T

ó ột ể t ộ

ề t ớ ự



a A

T

ét r s ứ

r ổ ề r t ớ ề ệ s
sử

F

ột ọ tự ị tr ột t ợ

ợ s tứ tự ộ

f (x) x
tr

A

ớ ọ

x A

A

s

x f (x)

t ứ

f F

ế ỗ í

ớ ọ

ó tr t ứ ớ tì ọ

F

ó ột

ể t ộ
ó ị ý ớ ết q ó ì tr t ể
tr ú t ét sự tồ t ủ tử ự tể ó ó



s r ợ ột t ợ ợ s tứ tự tế tí t
ỳ ó ột ớ
ờ sử

(M, d) ột tr : M [0, )
< tr M

ột ị q ệ tứ tự

x < y ế ỉ ế d(x, y) (y) (x),
ễ tử t r

ở

ớ t ỳ

x, y M.

(M, < ) ột t ợ ợ s tứ tự ộ

t ết ợ ớ tết tr
ó tử ự tể r trờ ợ ệt ế
ử ớ tụ tì ột í t ỳ tr

M

M



tì M

ủ



(M, < ) ó ột

ớ
t

sử

(x ) ột í ó ((x )) ột ớ

số sử
tộ



s

ì

M

lim (xn ) = inf{(x ); }
ó tể ễ ỉ r r

ủ ó ộ tụ ề ột

ể tr trự tế ể t r
tỏ

x

ột t tử

x < xn

ột ớ ố ớ t

ột ớ

sử ụ

n

<

ị ĩ ủ

(n )

(x )

ó ú t ó

t sử

x M

ớ ọ

(xn )n1


(x ) (xn )

(xn )

ố ù ễ

n 1 ề ứ
x

ũ

ớ ọ

n 1

ể ứ tỏ r



x < xn
n 1

ớ ọ

ề é t

(x ) = inf{(x ); } ì d(x , xn ) (xn ) (x ) t ợ
lim xn
k
xn
ủ

= x r x = x ì tế ớ t ỳ tồ t n 1 s
< x

ề é t

x < x

ĩ

x

ột ớ

(x )

ở ờ ổ ề r s r r

(M, < )

ó tử ự tể

ờ ó t ó ệ q s



ệ q (M, d) ột tr

ột
sử r

a M

T :M M

ét t ợ ợ s tứ tự ộ

: M [0, )
(M, < )



ột tử ự tể ó ột t ỳ

s ớ ọ

xM


t ó

d(x, T x) (x) (T x)


ĩ



T x < x sẽ a ể t ộ ĩ T a = a

ét ệ q ó tể ợ ột sự

ở rộ ết q ủ rst ở ì tết ợ t r tr ị

ý rst sẽ é t ột t ợ ợ s tứ tự tế tí t ỳ
ố ớ

< ó ột ớ ó ò tết ó ột

tử ự tể
ự tế ệ q ứ ột ết ề sự tồ t ủ
ột ể t ộ ủ



t t r ở r

r ỗ ự tổ qt ó ị

ý ể t ộ ủ rst r t r t ệ ột
T

:M M

s ớ ọ x

ớ ột số

M

t ó (d(x, T x))

(x) (T x)

ó ó ột ể t ộ ự tế ỏ

ủ r ợ t ể

(t) = tp ớ p > 1

rớ ết t r ột í ụ ể tr ờ t r t r
t ú
í ụ sử

ợ ở

xn = 1 + 21 + 31 + ... +

t ợ ó ủ

T :M M

M = {xn : n 1} [0, )}

ở

[0, )

n 1

ó

(xn ) =
i=n+1

ột

ì tế ó ủ ị

1
= (x) (T x),
(n + 1)p

1
ip ớ ọ

n 1

ễ t r

ử tụ ớ ữ t ũ ó tể ứ tỏ r
ở ĩ

M

xn

T xn = xn + 1 ớ ọ n 1 ó t ó

d(x, T x)p =
tr ó

1
n ớ ọ

tr ó

T







d(T x, T y) d(x, y) ớ ọ x, y M rõ r T

ó ể t ộ



ét ù í ụ tr t ột tr ờ ủ ị

ố ớ t ủ r ột số tr ờ ộ t




ũ ợ tì t ý r tế ế ết q trề
tố ủ rst ò ó tể t ế ú t ị
tr tr

M

ột q ệ

x


(d(x, y)) (y)

(x) ó q ệ < ó tí t ứ ó
ó tỏ tí t ĩ ế ó tí t
ộ tí ớ ĩ
ệ

(a + b) (a) + (b) ớ a, b [0, tì q

< ờ t t r tí t ộ tí ớ ủ r

ộ ì ó tể tự ỏ tế ể tế trờ ợ tổ qt
q ệ

< ó (M, <) ột

t s tứ tự ộ t
ứ ố ó ớ ể ế ự sự t ọ ề
ế ột trú ể tr tỏ t tứ t

r s ú t sử r

: [0, ) [0, ) ột

tụ s tồ t số

t [0, 0 ] ú t ó (t) ct


ì



c > 0 0 > 0 ớ ọ

tụ ó tồ t

0 > 0 s

1 ([0, 0 ]) [0, 0 ]

ớ tết ú t ó ết q s



ị ý sử

ị ột q ệ

M

ột tr ủ

< tr M ở x < y ỉ (d(x, y))

(y) (x) tr ó tỏ tt tết tr ó
(M, <)
ó

ó ột tử ự tể

x

ĩ ế

tì ú t

x = x

ứ

t

0 = inf{(x) : x M}

M = {x M : (x) 0 + }

t

x < x

M

ế

x, y M

ì



> 0

t

ử tụ ớ

ột t ợ ó rỗ ủ


ớ t ỳ

M

ũ ý r

x < y tì (d(x, y)) (y) (x) ề é t

0 (x) (y) 0 +
ì tế (d(x, y)

ử ụ , 0 0 ết ớ ị ĩ




ë tr➟♥✮✱ ❦❤✐ ➤ã t❛ ♥❤❐♥ ➤➢î❝

cd(x, y) ≤ η(d(x, y)) ≤ φ(y) − φ(x)
x, y ∈ Mε0

✈í✐ ♠ä✐

✈í✐

x < y✳

➜è✐ ✈í✐

Mε0

t❛ ①➳❝ ➤Þ♥❤ q✉❛♥ ❤Ö ♠í✐

<∗

❜➺♥❣ ❝➳❝❤

1
x <∗ y ⇔ d(x, y) ≤ (φ(y) − φ(x)).
c

❘â r➭♥❣

(Mε0 , <∗ ) ❧➭ ♠ét t❐♣ ❤î♣ ➤➢î❝ s➽♣ t❤ø tù ❜é ♣❤❐♥ ✈í✐ t✃t ❝➯ ❝➳❝

❣✐➯ t❤✐Õt ❝➬♥ t❤✐Õt ➤Ó ➤➯♠ ❜➯♦ ❝❤♦ sù tå♥ t➵✐ ❝ñ❛ ♠ét ♣❤➬♥ tö ❝ù❝ t✐Ó✉
➤è✐ ✈í✐ q✉❛♥ ❤Ö

<∗ ✳ ❇➞② ❣✐ê t❛ sÏ t❤✃② r➺♥❣ x∗ ∈ M

t✐Ó✉ ➤è✐ ✈í✐ q✉❛♥ ❤Ö t❤ø tù

x < x∗ ✳
φ(x∗ )✱

❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã

➤✐Ò✉ ♥➭② ❦Ð♦ t❤❡♦

➤➞②✱ t❛ ❝ã

η(d(x, y) ≤ ε0 ✱

φ(x∗ ) − φ(x) ✈í✐ x <∗ x∗ ✳
➤➢î❝

❝ò♥❣ ❧➭ ♣❤➬♥ tö ❝ù❝

< tr♦♥❣ M ✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ ❣✐➯ sö x ∈ M

η(d(x, x∗ )) ≤ φ(x∗ ) − φ(x)✳

φ(x) ≤ φ0 + ε✱

➤✐Ò✉ ♥➭② ❦Ð♦ t❤❡♦
❱×

x∗

➜➷❝ ❜✐Öt✱ t❛ ❝ã

♥❣❤Ü❛ ❧➭

x∗

x ∈ Mε0 ✳

s❛♦ ❝❤♦

φ(x) ≤

◆❤➢ tr➢í❝

cd(x, x∗ ) ≤ η(d(x, x∗ )) ≤

❧➭ ❝ù❝ t✐Ó✉ tr♦♥❣

(Mε0 , <∗ ) ♥➟♥ t❛ ♥❤❐♥

x = x∗ ✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ➤➢î❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

❑Õt q✉➯ t✐Õ♣ t❤❡♦ ❧➭ ♠ét ❝➞✉ tr➯ ❧ê✐ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ ❜é ♣❤❐♥ ❝❤♦ ❜➭✐ t♦➳♥

❝ñ❛ ❑✐r❦✳

✶✳✷✳✾

➜Þ♥❤ ❧ý✳ ✭❬✶✷❪✮ ●✐➯ sö

T :M →M

❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ ➤➬② ➤ñ ✈➭

❧➭ ♠ét ➳♥❤ ①➵ s❛♦ ❝❤♦ ✈í✐ ♠ä✐

φ(x) − φ(T x)✱

tr♦♥❣ ➤ã ❝➳❝ ❤➭♠

♥➟✉ tr➟♥✳ ❑❤✐ ➤ã
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

♥❤✐➟♥✱ t❛ ❝ã

M

T

η

✈➭

❝ã

η(d(x, T x)) ≤

t❤á❛ ♠➲♥ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ❣✐➯ t❤✐Õt

❝ã ♠ét ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣✳

❳➳❝ ➤Þ♥❤ ♠è✐ q✉❛♥ ❤Ö

T (x) < x ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ M ✳

❝ù❝ t✐Ó✉✱ t❤× t❛ ❝ã

φ

x∈M

< ♥❤➢ tr♦♥❣ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✷✳✽✳ ❍✐Ó♥

➜➷❝ ❜✐Öt✱ ♥Õ✉

x∗

❧➭ ♠ét ♣❤➬♥ tö

T (x∗ ) = x∗ ✳

➜➞② ❧➭ ♠ét ❦Õt q✉➯ t❤ó ✈Þ ❜ë✐ ✈× q✉❛♥ ❤Ö

< ❦❤➠♥❣ ❧➭ q✉❛♥ ❤Ö t❤ø tù

❜é ♣❤❐♥✳ ❉♦ ➤ã ♣❤➬♥ tö ❝ù❝ t✐Ó✉ ❧➭ ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ q✉❛ ♠ét ➳♥❤ ①➵ ❜✃t
❦ú

T ✱ ❞♦ ➤ã ♥ã ❦❤➠♥❣ ♣❤ô t❤✉é❝ ✈➭♦ ➳♥❤ ①➵✳

✶✳✷✳✶✵

◆❤❐♥ ①Ðt✳ ✭❬✶✷❪✮ ▲➢✉ ý r➺♥❣ ♥Õ✉

η ❧➭ ❝é♥❣ tÝ♥❤ ❞➢í✐ t❤×

η(x)
η(h)
= sup{
; x > 0}.
h→0 h
x
lim

✶✹

(❙❆)


➜Ó ❤♦➭♥ ❝❤Ø♥❤ ❝❤ó♥❣ t❛ ➤➢❛ r❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ✭❙❆✮✳ ❱×
tÝ♥❤ ❞➢í✐✱ t❛ ❝ã
s❛♦ ❝❤♦

η(nx) ≤ n.η(x)✱ ✈í✐ ♠ä✐ x ≥ 0 ✈➭ n ≥ 1✳

0 < h < x✳

x ≤ (n(h) + 1)h✳

❑❤✐ ➤ã tå♥ t➵✐ ❞✉② ♥❤✃t

η ❧➭ ❝é♥❣

●✐➯ sö

h ✈➭ x

n(h) ≥ 1 s❛♦ ❝❤♦ n(h)h <

η(x) ≤ η((n(h) + 1)h) ≤ (n(h) + 1)η(h)✳

❱× t❤Õ t❛ ❝ã

➜✐Ò✉ ♥➭② ❦Ð♦ t❤❡♦

η(x) (n(h) + 1)η(h) (n(h) + 1)η(h)
≤
≤
.
x
x
n(h)h
❱×

lim n(h) = ∞✱ t❛ ➤➢î❝

h→0

η(x)
x

h→0

lim sup
x→0

≤ lim inf η(h)
h ✳ ❘â r➭♥❣ tõ ➤➞② t❛ s✉② r❛

η(x)
η(h)
≤ lim inf
.
h→0
n
h

❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭② ❦Ð♦ t❤❡♦ sù tå♥ t➵✐ ❝ñ❛ ❣✐í✐ ❤➵♥

lim η(h)
h ✳

h→0

❚õ ➤ã ➤➻♥❣

t❤ø❝ ✭❙❆✮ ❞Ô ❞➭♥❣ s✉② tõ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝

η(x)
η(h)
≤ lim
.
h→0 h
x
❘â r➭♥❣ tõ ➤å♥❣ ♥❤✃t t❤ø❝ ♥➭② t❛ s✉② r❛

η(h)
> 0.
h→0 h
lim

❱× t❤Õ tå♥ t➵✐ ❤➺♥❣ sè

c>0

✈➭

δ0 > 0

s❛♦ ❝❤♦ ✈í✐ ♠ä✐

t ∈ [0, δ0 ]

t❛ ❝ã

η(t) ≥ ct.
❚❛ t❤✉ ➤➢î❝ ♠ét ❦Õt q✉➯ ❝❤♦ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ t➢➡♥❣ tù ✈í✐ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✷✳✾
♥❤➢ s❛✉✿

✶✳✷✳✶✶

➜Þ♥❤ ❧ý✳ ✭❬✶✷❪✮ ●✐➯ sö

M

❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ ➤➬② ➤ñ ✈➭

T : M → P(M) ❧➭ ♠ét ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ s❛♦ ❝❤♦ T (x) = φ ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ M ✱
tå♥ t➵✐

y ∈ T (x) ➤Ó η(d(x, y)) ≤ φ(x) − φ(y)✱

t❤á❛ ♠➲♥ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ❣✐➯ t❤✐Õt tr➟♥✳ ❑❤✐ ➤ã
♥❣❤Ü❛ ❧➭ tå♥ t➵✐

x∈M

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

s❛♦ ❝❤♦

tr♦♥❣ ➤ã ❝➳❝ ❤➭♠

T

η

✈➭

φ

❝ã ♠ét ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣✱

x ∈ T (x)✳

❇➺♥❣ ❝➳❝❤ ①➳❝ ➤Þ♥❤ q✉❛♥ ❤Ö < ♥❤➢ tr♦♥❣ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✷✳✽✳

❘â r➭♥❣ t❛ ❝ã ✈í✐ ♠ä✐

x ∈ M ✱ tå♥ t➵✐ y ∈ T (x) s❛♦ ❝❤♦ y < x✳
✶✺

➜➷❝ ❜✐Öt✱


ế

x

tử ự tể ủ t

(M, <)

tì t sẽ ó

x = y

ớ ọ

y T (x ) s y = x ó t ó x T (x )

ở rộ ị ý ể t ộ rst
trị ét



(V, ) ột ợ s tứ tự ó V+ = {v



V : v } tr ó ét ủ V t ỏ tí t


V+ (V+ ) = {},



V+ + V+ V+ ,



V+ V+ ớ ọ 0.

ệ ề tr trị ét ự t ị ĩ

s



ị ĩ

ị ột






M

ột t ợ

ế

d(x, y) = 0 ỉ x = y
d(x, y) = d(y, x) ớ ọ x, y M
d(x, y) d(x, z) + d(z, y) ớ ọ x, y, z M

(M, d) ợ ọ tr ét ết tt s





ị ý sử

tr ó

V = RN

ớ

(M, d)

ột tr ét

N = {n N : n 1}. T : M M.

tết tồ t ột t tử

RN
+

d : M ì M V

tỏ

(A) < 1

tr ó

A : RN RN , ĩ A(RN
+)
(A)

í ổ ủ

d(T (x), T (y)) Ad(x, y), ớ ọ x, y M ó



A




ồ t
tụ ế

M

s ớ ọ

x0 M qỹ {T (x0 )} ộ

ữ t ó


n

n

1

Ak

d(T (x0 ), ) A (IA) d(x0 , T (x0 )) =

d(x0 , T (x0 )),

k=n
ớ ọ

ể



n 1
ể t ộ ủ

T

tr

M

rst ố ớ trờ ợ ý
ổ ể ú t ề ý tở ủ ì
tr ét ớ tết ủ ị ý tr ó V ò
ữ ề
ớ ọ

RN ú t ó d(T (x), T 2 (x)) d(x, T (x))

x M ó é t

d(x, T (x)) + d(T (x), T 2 (x)) d(x, T (x)) + Ad(x, T (x)).

ó

d(x, T (x)) Ad(x, T (x)) d(x, T (x)) d(T (x), T 2 (x))


(I A)d(x, T (x)) d(x, T (x)) d(T (x), T 2 (x)).
t

dA (x, y) = (I A)d(x, y)

tr r ế

IA

ớ ọ

x, y M.

ó ễ ể

ột t tử t ứ tì

trị ét ị tr

M

dA

ột

ì ế ú t t

F (x) = d(x, T (x)), tì t ó dA (x, T (x)) F (x) F (T (x)).
rst ờ t ó tể tự ỏ ớ ữ tết ì tr
tr ét t ỳ (M, d) F
ỳ

T :M M

tỏ

: M V+ t

d(x, T (x)) F (x) F (T (x)) ớ ọ x M

ó ột ể t ộ ú t sẽ tế ỏ t q tứ
tự rst




(M, d) ột tr ét

ị ý sử



ủ tr ột tứ tự ủ

F : M V+



t ỳ

V

ột tụ ủ

ột ử tụ ớ ó ột

T :M M

s

d(x, T (x)) F (x) F (T (x)) ớ ọ x M

ó ột ể t ộ
ứ

ờ

F

t ị ột tứ tự tr

M

s

x y d(x, y) F (y) F (x) ớ ọ x, y M.
: M M tỏ d(x, T (x))

ử ụ tứ tự ột t ỳ T

F (x) F (T (x)) ớ ọ x M

sẽ ố ị ột ể ự tể ó

ì tế t ể t ộ ể s t ề sự tồ t ể
ự tể ủ tứ tự

M

ó



tr

{F (x ); }

M

0
V

0

ớ ọ

s



tồ t
tr

n

s

V+

ì

ột í tr

V

ột

v = inf{F (x ); } tồ t tr V+
F (x0 ) = v.

sử ó

tụ ó t ó

{x ; }

ột í tr

ủ tụ ó
sử tồ t

sử

ó ễ t r

F (x ) = v

inf F (x ) v

F (xn ) v

<

1
n . ì

ớ ọ

= 0.



ớ ọ

{x ; }

ì

n 1

ột í

M tồ t n s xn = min{xi , i = 1, 2, ..., n} ớ ọ n 1.

õ r

{F (xn )}

ột ó ộ tụ t ế

v

ì

d(xn+1 , xn ) F (xn+1 ) F (xn ), n = 1, 2, ..., ó t ó
h1

d(xn+h , xn )

h1

d(xn+k , xn+k+1 )
k=1

F (xn+k ) F (xn+k+1 )
k=1



d(xn+h , xn ) F (xn ) F (xn+h )
h1

ớ ọ

n, h 1

d(xn+1 , xn )

ì tế ỗ t

ị

k=1
h1

ì

V

tụ ó ỗ

ề é t

(M, V )

{xn }

ủ tì

d(xn+1 , xn )

ộ tụ t

k=1
ở ế t tết

{xn }

ộ tụ ế ột ể ó


x M


x ❧➭ ❝❐♥ ❞➢í✐ ❝ñ❛ {xα : α ∈ Γ}✳

❚✐Õ♣ t❤❡♦ t❛ ❝❤ø♥❣ tá r➺♥❣

➳♥❤ ①➵ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ ❞➢í✐ ✈➭ ❞➲②

α ∈ Γ✳

F

❧➭ ♠ét

{xβn } ❤é✐ tô ➤Õ♥ ➤✐Ó♠ x ∈ M ✱ ♥➟♥ t❛ ❝ã

F (x) ≤ lim inf F (xβn ) ✈➭ ➤➷❝ ❜✐Öt t❛ ❝ã x ≤ xβn
n→∞
t❛ ❝è ➤Þ♥❤ ♠ét

❱×

◆Õ✉ tå♥ t➵✐

✈í✐ ♠ä✐

n ≥ 1✳❚✐Õ♣ t❤❡♦

n0 ≥ 1 s❛♦ ❝❤♦ xn0 ≤ x✱

t❤× t❛ sÏ ❝ã

x ≤ xα ✳ ●✐➯ sö ♥❣➢î❝ ❧➵✐ r➺♥❣ ✈í✐ ❜✃t ❦ú n ≥ 1 t❛ ❝ã xα ≤ xβn ✱ ➤✐Ò✉ ♥➭②
❦Ð♦ t❤❡♦

F (xα ) ≤ F (xβn ) ✈í✐ ❜✃t ❦ú n ≥ 1✳

❞➭♥❣ s✉② r❛ r➺♥❣
❱× t❤Õ ①Ý❝

F (xα ) = v ✳

◆❤ê ❝➳❝❤ ①➳❝ ➤Þ♥❤

v ✱ t❛ ❞Ô

➜✐Ò✉ ♥➭② ♠➞✉ t❤✉➱♥ ✈í✐ ❧❐♣ ❧✉❐♥ ë tr➟♥✳

{xα ; α ∈ Γ} ❝ã ❝❐♥ ❞➢í✐✳ ❉♦ ➤ã ➳♣ ❞ô♥❣ ❇æ ➤Ò ❩♦r♥ t❛ s✉② r❛

tå♥ t➵✐ ♣❤➬♥ tö ❝ù❝ t✐Ó✉ ➤è✐ ✈í✐ t❤ø tù

≤

tr➟♥

M✳

➜Þ♥❤ ❧ý ➤➢î❝ ❝❤ø♥❣

♠✐♥❤✳
▲➢✉ ý r➺♥❣ ♥Õ✉

(M, d)

❦❤♦➯♥❣ ❝➳❝❤ ❣✐➳ trÞ ✈Ð❝t➡

❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ ✈Ð❝t➡ ➤➬② ➤ñ✱ t❤×

dA (x, y) = (I − A)d(x, y),

tr♦♥❣ ➤ã

I−A

❧➭

♠ét t♦➳♥ tö ✶✲✶ ❞➢➡♥❣✱ ❝ò♥❣ ❧➭ ➤➬② ➤ñ✳ ❚õ ➤ã t❛ ❝ã ❤Ö q✉➯ s❛✉

✶✳✸✳✹

❍Ö q✉➯✳ ✭❬✹❪✮ ●✐➯ sö

(M, d) ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ ✈Ð❝t➡ ➤➬②

➤ñ tr➟♥ ♠ét ❞➭♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ø tù ➤➬② ➤ñ ✈➭ ❧✐➟♥ tô❝
❧➭ ♠ét ➳♥❤ ①➵ ❧✐➟♥ tô❝ s❛♦ ❝❤♦

x ∈ M✱

tr♦♥❣ ➤ã

I −A

V ✳ ❈❤♦ T : M → M

d(T (x), T 2 (x)) ≤ Ad(x, T (x))

❧➭ ♠ét t♦➳♥ tö ✶✲✶ ❞➢➡♥❣✱ t❤×

T

✈í✐ ♠ä✐

❝ã ♠ét ➤✐Ó♠

❜✃t ➤é♥❣✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

❚❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣

dA (x, T (x)) = (I − A)d(x, T (x)) ≤ d(x, T (x)) − d(T (x), T 2 (x))
➤ó♥❣ ✈í✐ ♠ä✐

x ∈ M. ❱× (M, dA ) ➤➬② ➤ñ ✈➭ F (x) = d(x, T (x)) ❧✐➟♥ tô❝✱

♥➟♥ tõ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✸✳✸ s✉② r❛ sù tå♥ t➵✐ ♠ét ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝ñ❛

T✳

❍Ö q✉➯ tr➟♥ ❝ã t❤Ó ➤➢î❝ ①❡♠ ♥❤➢ ❧➭ ♠ét sù ❝➯✐ t✐Õ♥ ❦Õt q✉➯ ❝❤Ý♥❤
❝ñ❛ ❘✳ P✳❆❣❛r✇❛❧ ✐♥ ❬✸❪✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ ♥Õ✉ t❛ ❝ã
✈➭

A : V → V

s❛♦ ❝❤♦

V = l2 ✱ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✱

A(xn ) = ((1 − εn )xn )✱

tr♦♥❣ ➤ã

εn ∈ (0, 1)

✈➭

lim εn = 0, t❤× (I − A) ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tö ❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥ s❛♦ ❝❤♦ ❜➳♥ ❦Ý♥❤

n→∞

♣❤æ

ρ(A) = 1.

❚✐Õ♣ t❤❡♦ ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét ❦Õt q✉➯ t➢➡♥❣ tù ♥❤➢ ➤Þ♥❤ ❧ý ❝➡
❜➯♥ ❝ñ❛ ❙✉③✉❦✐ tr♦♥❣ ❬✶✹❪✱ ♠➭ ♥ã ❧➭ tæ♥❣ q✉➳t ❤ã❛ ❝➳❝ ♠ë ré♥❣ ➤➲ ❜✐Õt
✶✾


❝ñ❛ ➤Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❈❛r✐st✐✳

➜Þ♥❤ ❧ý✳ ✭❬✹❪✮ ●✐➯ sö

✶✳✸✳✺

(M, d) ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ ✈Ð❝t➡ ➤➬②

➤ñ tr➟♥ ♠ét ❞➭♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧✐➟♥ tô❝✱ t❤ø tù ➤➬② ➤ñ

V ✱ F : M → V+

♠ét ➳♥❤ ①➵ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ ❞➢í✐ ✭✈✐Õt t➽t ❧➭ ❧s❝✮✳ ❈❤♦

T :M →M

①➵ s❛♦ ❝❤♦

φ(x)

❧➭ ♠ét t♦➳♥ tö t❤á❛ ♠➲♥

V

❧➭ ➳♥❤

d(x, T (x)) ≤ φ(x)(F (x) − F (T (x))) ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ M ✱ tr♦♥❣ ➤ã
0 ≤ φ(x)(v)

♥÷❛ ❝❤ó♥❣ t❛ ❣✐➯ t❤✐Õt r➺♥❣ tå♥ t➵✐
❝ñ❛

❧➭

s❛♦ ❝❤♦

φ(x) ≤ A✱

t➵✐ ♥❤÷♥❣

❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐

x0 ∈ M
x

♠➭

0 ≤ v✳

❍➡♥

✈➭ ♠ét t♦➳♥ tö ❞➢➡♥❣

F (x) ≤ F (x0 )✳

❑❤✐ ➤ã

T

A
❝ã

♠ét ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

➜➷t

M0 = {x ∈ M ; F (x) ≤ F (xo )}.

❘â r➭♥❣ t❛ ❝ã

M0 = ∅. ❱× F

❧➭ ♠ét ➳♥❤ ①➵ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ ❞➢í✐✱ ♥➟♥

❝♦♥ ➤ã♥❣ ❝ñ❛

M ✳ ❉♦ ➤ã M0 ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ ✈Ð❝t➡ ➤➬② ➤ñ✳ ❘â

r➭♥❣ t❛ ❝ã

F (T (x)) ≤ F (x)✱ ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ M ✳

M0

❧➭ ♠ét t❐♣ ❤î♣

❉♦ ➤ã t❛ ❝ã

T (M0 ) ⊂ M0 .

◆Õ✉ ❝❤ó♥❣ t❛ ❦ý ❤✐Ö✉ T0 ❧➭ sù t❤✉ ❤Ñ♣ ❝ñ❛ T tr➟♥ M0 ✱ ❦❤✐ ➤ã T0 t❤á❛ ♠➲♥

d(x, T (x)) ≤ A(F (x) − F (T (x))), ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ Mo . ❍➭♠ ❣✐➳ trÞ ✈Ð❝t➡ ♠í✐
F ∗ : M0 → V+

①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐

F ∗ (x) = AF (x) ❧➭ ♠ét ➳♥❤ ①➵ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝

❞➢í✐✳ ❙ö ❞ô♥❣ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✸✳✸ t❛ s✉② r❛ tå♥ t➵✐ ♠ét ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝ñ❛
tr♦♥❣

T0

M0 , ❦❤✐ ➤ã ♥ã ❝ò♥❣ ❧➭ ♠ét ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝ñ❛ T ✳

❑Õt q✉➯ t✐Õ♣ t❤❡♦ ❧➭ t➢➡♥❣ tù ♥❤➢ ➤Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ ➤➢î❝ t×♠ t❤✃② tr♦♥❣
❬✶✷❪✱ ♠➭ ♥ã ❧➭ ♠ë ré♥❣ ➤Þ♥❤ ❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❈❛r✐st✐ ❝æ ➤✐Ó♥ ✈➭ ➤➢❛ r❛
❝➞✉ tr➯ ❧ê✐ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ r✐➟♥❣ ❝❤♦ ❜➭✐ t♦➳♥ ❑✐r❦✳ ❚❤ù❝ sù ❑✐r❦ ➤➲ ❤á✐ ❧➭
❧✐Ö✉ ➳♥❤ ①➵

x ∈ M✱

T :M →M

s❛♦ ❝❤♦

➤è✐ ✈í✐ ❤➭♠ ❞➢➡♥❣

η

η(d(x, T x)) ≤ φ(x) − φ(T x),

♥➭♦ ➤ã✱ ❝ã ♠ét ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣❄ ❚r♦♥❣

t❤ù❝ tÕ✱ ❝➞✉ ❤á✐ ❜❛♥ ➤➬✉ ❝ñ❛ ❑✐r❦ ➤➲ ➤➢î❝ ①Ðt ❦❤✐
sè

p > 1✳

✈í✐ ♠ä✐

η(t) = tp , ➤è✐ ✈í✐ ♠ét

➜➷❝ ❜✐Öt✱ ♠ét ❝➞✉ tr➯ ❧ê✐ ♣❤ñ ➤Þ♥❤ ❝❤♦ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➢î❝ ➤➢❛ r❛✳

◆❣♦➭✐ r❛ ♥ã ❝❤Ø r❛ r➺♥❣ ♥Õ✉
tô❝✱ s❛♦ ❝❤♦ tå♥ t➵✐

η : [0, ∞) → [0, ∞) ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐➯♠ ✈➭ ❧✐➟♥

c > 0 ✈➭ δ0 > 0 ♠➭ ✈í✐ ♠ä✐ t ∈ [0, δ0 ] t❛ ❝ã η(t) ≥ ct✱

t❤× ❜➭✐ t♦➳♥ ❑✐r❦ ❝ã ♠ét ❝➞✉ tr➯ ❧ê✐ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤✳ ▲➢✉ ý r➺♥❣ ✈í✐ ❝➳❝ ❣✐➯
➤Þ♥❤ tr➟♥✱ ✈×

η ❧✐➟♥ tô❝✱ tå♥ t➵✐ ε0 > 0 s❛♦ ❝❤♦ η −1 ([0, ε0 ]) ⊂ [0, δ0 ].

✷✵


ệ ở rộ ủ ết q tr ét ộ
tế t ủ t r sử

(M, d) ột

V

ó t s tứ tự

tr ét ủ tr ột

: V+ V+ tụ s tồ t ột t

ủ tụ sử
tử

A ủ V

v < 0 . ì
tr ó




0

> 0 s Av (v), ớ ọ v V

tụ tồ t

0 > 0 s 1 (B0 (0, 0 )) B0 (0, 0 ),

B0 (0, r) = {x v, x < r} ì ở tr

V. ó t ó ết q s

ị ý sử

M

ột tr ét ủ

tr ột tứ tự ủ tụ
ệ

<



V ị ột q

x < y (d(x, y)) (y) (x)

tt tết trì ở tr

x < x

tì t sẽ ó

ứ

V+ ì V

ì

V

tr ó

tỏ

: M V+

(M, < ) ó ột tử ự tể x ĩ

ử tụ ớ ó
ế



x = x

ủ

tụ t ó

v = inf{(x); x M } tồ t tr

inf (x) v = 0. ó tồ t x0 M

xM



(x0 ) v < 0 t M0 = {x M : (x) (x0 )}. õ r M0 ột
t ợ ó rỗ ủ

M

ó

(M0 , d)

ủ sử

x, y M0 ớ x < y ì tế v (x) (y) (x0 ) ề é t
(y) (x) (x0 ) v

ó

(y) (x) (x0 ) v < 0 . ì

(d(x, y)) (y) (x), t ó ợ (d(x, y)) < 0 . tết tr


sẽ é t

Ad(x, y) (d(x, y)) (y) (x).

ị ột q ệ ớ
õ r

ờ tr

t

< ở x < y Ad(x, y) (y) (x).

(M0 , < ) ột t ợ ợ s tứ tự ộ ớ tt

ị tết ể sự tồ t ủ tử ự tể
q ệ

< .

sẽ ỉ r r

ệ

<

ó

(d(x, x )) (x ) (x).

tr

é t
t ó

M0

M

x

t sử

x

t

ũ tử ự tể t q

x M

s

ệt t ó

x < x

(x) (x )

ó t
ề

(x) (x0 ) ĩ x M0 . ừ trớ ị ý

(d(x, x )) < 0

ề é t

Ad(x, x ) (d(x, x ))

(x ) (x) ề ó ó ĩ x < x . ì x ự tể tr (M0 , < )

t❛ ❝ã

x = x∗ . ➜Þ♥❤ ❧ý ➤➢î❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

➜➞② ❧➭ ♠ét ❦Õt q✉➯ ❤❛② ❜ë✐ ✈× q✉❛♥ ❤Ö <η ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ ♠ét q✉❛♥ ❤Ö
t❤ø tù ❜é ♣❤❐♥✳ ❚✃t ♥❤✐➟♥ ♥Õ✉ t❛ ❣✐➯ t❤✐Õt
♥❣❤Ü❛ ❧➭

η ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝é♥❣ tÝ♥❤ ❞➢í✐✱

η(v1 + v2 ) ≤ η(v1 ) + η(v2 ) ✈í✐ ♠ä✐ v1 , v2 ∈ V, t❤× <η ❧➭ ♠ét q✉❛♥

❤Ö t❤ø tù ❜é ♣❤❐♥ tr➟♥

M✳

❙ö ❞ô♥❣ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✸✳✻ ❝ã t❤Ó tr×♥❤ ❜➭② ❦Õt q✉➯ ❝❤Ý♥❤ ❝ñ❛ ❑❤❛♠s✐
tr♦♥❣ ❬✶✷❪ ❞➢í✐ ❞➵♥❣✿

✶✳✸✳✼

➜Þ♥❤ ❧ý✳ ✭❬✹❪✮ ●✐➯ sö

M

❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ ✈Ð❝t➡ ➤➬② ➤ñ

tr➟♥ ♠ét ❞➭♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ø tù ➤➬② ➤ñ✱ ❧✐➟♥ tô❝
♠ét ➳♥❤ ①➵ s❛♦ ❝❤♦ ✈í✐ ♠ä✐
tr♦♥❣ ➤ã ❤➭♠

η

✈➭

φ

x∈M

t❛ ❝ã

V✳

❈❤♦

T :M →M

❧➭

η(d(x, T x)) ≤ φ(x) − φ(T x),

t❤á❛ ♠➲♥ ❝➳❝ ❣✐➯ t❤✐Õt ë tr➟♥✳ ❑❤✐ ➤ã

T

❝ã ♠ét

➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

r➭♥❣ t❛ ❝ã

❚❛ ①➳❝ ➤Þ♥❤ q✉❛♥ ❤Ö

<η

♥❤➢ tr♦♥❣ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✸✳✻✳ ❘â

T (x) <η x ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ M ✳ ◆❤ê ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✸✳✻ t❛ s✉② r❛ tå♥ t➵✐

♣❤➬♥ tö ❝ù❝ t✐Ó✉

x∗ t❤❡♦ q✉❛♥ ❤Ö <η ✳ ❘â r➭♥❣ t❛ ❝ã T (x∗ ) = x∗ .

✷✷




ột số ứ ụ ủ ị ý ể t
ộ rst ở rộ


ể t ộ ủ trị
E

r

ý ệ ột ét t ồ ị

sr ủ

E

t tr
ớ ỗ

K(E)



pP



P

ột ọ ử tụ s r

ọ t ợ t rỗ ủ

E

A, B K(E) ị

Dp (A, B) = max{sup dp (a, B), sup dp (b, A)},
aA

tr ó
ết

Dp

M E

bB

dp (x, A) = inf{p(x y) : y A}

ột tr tr


K(E)

ớ ọ



x E.

t

p ột ử



T : M E K(E) ột trị

ờ t ệ s


T

ợ ọ

P ế ố ớ ỗ p P

kp 0 kp < 1

s

tồ t ột số

Dp (T (x), T (y)) kp .p(x y)

ớ ọ

x, y M.
ể


T

xM

ợ ọ ể t ộ ủ

ợ ọ tỏ ề ệ

ớ ọ

y T (x)

t ó

T

ế

x T (x).

() ế ớ ọ x M

(x, y] M =

tr ó

(x, y] =

{(1 )x + y : 0 < 1}.


T

ợ ọ ớ ộ ế r ế ớ ỗ

M

t ó

T (x) IM (x)

tr ó

x

IM (x) = {z : z = x + (y

x), y M, 1} t ợ ớ ộ
ờ ú t trì ột số ở rộ ị ý ể t ộ
rst ợ tết trờ ợ ét t sr
ồ ị



ị ý



f : E E

ột ử tụ ớ

pP

t ó

tù ý sử tồ t

: E [0, +) s ớ ỗ x E

p(x f (x)) (x) (f (x)).

ó

f



ó ột ể t

ộ

ị ý



: E [0, +)

ột ử tụ

h[0, +) [0, +) ột tụ
dr
= +. sử f : E E ột
s
1 + h(r)
0

s ớ t ỳ x0 E trớ ớ ọ x E t ó
p(x f (x))
(x) (f (x)). ó f ó ột ể t ộ
1 + h(p(x0 x))
ớ ị ớ

+

ử ụ ị ý trớ ết t trì ột ết q ể t
ộ s

ị ý sử



E



M

ột t ợ ó rỗ ủ

T : M K(E) ột P tỏ ề ệ ()

ó

T

ó ột ể t ộ

ứ

tù ý

p P

ố ị ớ ỗ

x M

ọ

y T (x) s p(x y) = dp (x, T (x)). ý ệ zxp ể t từ
x tr [x, y] M ĩ p(x zxp ) = max{p(x w) : w [x, y] M }.
ó t ó

p(x y) = p(x zxp ) + p(zxp y). ì T

trị t ớ



P

kp 0 kp < 1 t ó

dp (zxp , T (zxp )) p(zxp y) + dp (y, T (zxp ))
p(zxp y) + Dp (T (x), T (zxp ))
p(zxp y) + kp p(x zxp )

= p(x y) p(x zxp ) + kp p(x zxp )
= dp (x, T (x)) (1 kp )p(x zxp ).
ó

p(x zxp ) (1 kp )1 {dp (x, T (x)) dp (zxp , T (zxp ))}.



❇➞② ❣✐ê t❛ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ➳♥❤ ①➵
✈í✐ ♠ä✐

x∈M

f : M → M

tr➟♥

M

❝❤♦ ❜ë✐

fp (x) = zxp ✱

✈➭ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ♠ét ❤➭♠ ❣✐➳ trÞ t❤ù❝ ❦❤➠♥❣ ➞♠

φp

❝❤♦ ❜ë✐

φp (x) = (1−kp )−1 dp (x, T (x))✱ ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ M. ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã p(x−fp (x)) ≤

ϕp (x)−ϕp (fp (x)). ❱× M ❧➭ ♠ét t❐♣ ❤î♣ ❝♦♥ ➤ã♥❣ ❝ñ❛ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ➤➬②
➤ñ✱ ♥➟♥ ♥ã ➤➬② ➤ñ ✈➭ ✈× t❤Õ ♥❤ê ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳✶ ♥➟♥ f ❝ã ♠ét ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣

u ∈ M.

▲➢✉ ý r➺♥❣

[u, y] ∩ M

✈➭

❱× t❤Õ t❛ ❝ã

fp (u) = u = zup .

❱×

zup

❧➭ ➤✐Ó♠ ①❛ ♥❤✃t tõ

u

tr♦♥❣

u = zup ✱ ❞♦ ➤ã t❛ s✉② r❛ r➺♥❣ dp (u, T (u)) = p(u − y) = 0✳

u ∈ T (u).

▼ét ø♥❣ ❞ô♥❣ ❦❤➳❝ ❝ñ❛ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳✶ ❧➭ ❦Õt q✉➯ ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ s❛✉

➤➞②✿

✷✳✶✳✹

➜Þ♥❤ ❧ý✳ ✭❬✶✸❪✮ ❈❤♦

M → K(E)

❧➭ ➳♥❤ ①➵

M

P ✲❝♦

❧➭ ♠ét t❐♣ ❤î♣ ❝♦♥ ➤ã♥❣ ❝ñ❛
s❛♦ ❝❤♦ ✈í✐ ♠ä✐

x∈M

p(x − z) = dp (x, T (x))} ∩ IM (x) = ∅✳ ❑❤✐ ➤ã T
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

●✐➯ sö ♥❣➢î❝ ❧➵✐

dp (x, T (x)) > 0✱ ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ M ✳
✈í✐

k ∈ (0, 1)✳ ❱× T

T

t❛ ❝ã

E

✈➭

T :

{z ∈ T (x) :

❝ã ♠ét ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣✳

❦❤➠♥❣ ❝ã ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣✳ ❑❤✐ ➤ã

❈❤ä♥

q ∈ (0, 1) s❛♦ ❝❤♦ kp = k <

❧➭ ♠ét ➳♥❤ ①➵ ❣✐➳ trÞ ❝♦♠♣❛❝t✱ ❝ã tå♥ t➵✐

1−q
1+q

z ∈ T (x) ∩

IM (x) s❛♦ ❝❤♦ dp (x, T (x)) = p(x − z) > 0. ❑❤✐ ➤ã ❝ã ♠ét sè t ∈ (0, 1] s❛♦
❝❤♦

t−1 dp ((1 − t)x + tz, M ) < qp(x − z). ➜➷t w = (1 − t)x + tz ✳ ▲ó❝ ➤ã

tå♥ t➵✐ ♣❤➬♥ tö ♥➭♦ ➤ã

y∈M

s❛♦ ❝❤♦

p(w − y) < qtp(x − z) = qp((1 − t)x + tz − x) = qp(w − x).
❱×

p(y − x) − p(w − x) ≤ p(w − y) < qp(w − x),
s✉② r❛ r➺♥❣

p(y − x) < (1 + q)p(w − x),
❞♦ ➤ã t❛ ❝ã

(a − 1)p(w − x) <

✷✺

q−1
p(x − y).
q+1