một số định lý điểm bất động

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn htt p

:// www .l r

c -tnu. e d

u. v

n
Đại học
tháI
ng
uy
ê
n
T
rờ
ng

đại học
s
p
hạm

T
r
ơn
g

t
h

ị

h
ả
i
y
ế
n
M
ột

số
đ
ịn
h

lý
điểm
b
ấ
t

đ
ộ
n
g
Chuyên ngành : Giải t
íc
h
Mã số : 60.4

6.
01
L
u
ậ
n

v
ă
n

t
h
ạc

sỹ
toán học
N
g
ời

h
ớ
ng

dẫn khoa
họ
c:
PGS.TS TRNG XUN C H
Thái

Nguyên - 2008
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên htt p

:// www .l r

c -tnu. e d

u. v

n
MỤC
LỤC
Lời nói đầu………………………………………………………………… 2
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị…………………………………… 4
1.1.Tính compact và tính đầy đủ…………………………………………… 4
1.2. Tính bị chặn và tính liên tục của hàm số…………………………………5
1.3. Tập sắp thứ tự…………………………………………………………….5
1.4. Không gian điểm bất động……………………………………………….6
1.5. Tạo không gian điểm bất động mới từ không gian cũ……………………9
Chương 2: Một số định lí tồn tại điểm bất động trong không gian đầy đủ
và ứng dụng của định lí Banach………………………………………… 12
2.1. Nguyên lý ánh xạ co Banach……………………………………………12
2.2. Miền bất biến cơ sở…………………………………………………… 15
2.3. Phương pháp liên tục cho ánh xạ co…………………………………….17
2.4. Luân phiên phi tuyến cho ánh xạ co…………………………………….20
2.5. Mở rộng nguyên lí ánh xạ co Banach………………………………… 23
2.6. Ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert………………………… 28
2.7. Ứng dụng nguyên lí Banach cho phương trình tích phân……………….36
Chương 3: M ột số định lí tồn tại điểm bất động trong không gian có thứ
tự. .39

3.1. Định lí Knaster - Tarski……………………………………………… 39
3.2. Tính thứ tự và tính đầy đủ. Định lí Bishop - Phelps…………………….42
3.3. Điểm bất động của ánh xạ co đa trị…………………………………… 45
3.4. Ứng dụng vào nghiên cứu hình học của không gian Banach………… 47
3.5. Ứng dụng vào nghiên cứu điểm tới hạn……………………………… 48
Chương 4: Một số định lí tồn tại điểm bất động dựa trên tính lồi………51
4.1. Nguyên lí ánh xạ KKM ………………….…………………………… 51
4.2. Định lí của von Newmann và hệ bất đẳng thức……………………… 56
4.3. Điểm bất động của ánh xạ Affine. Định lí Markoff – Kakutani……… 60
Kết luận…………………………………………………………………… 63
Tài liệu tham khảo………………………………………………………….64
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên htt p

:// www .l r

c -tnu. e d

u. v

n
LỜI NÓI ĐẦU
Cho C là một tập con của không gian X , F là một ánh xạ từ C vào
X . Phải đặt những điều kiện nào trên C , X và F để có thể khẳng định sự
tồn tại của một điểm x
0
trong C sao cho
Fx
0
=
x

0
? Điểm x
0
như vậy gọi là
điểm bất động của ánh xạ F .
Lý thuyết điểm bất động là một nhánh của Toán học, có nhiều ứng
dụng trong lí thuyết tối ưu, lí thuyết trò chơi, các bao hàm thức vi phân và
trong nhiều nghiên cứu của Vật lí. Một số kết quả về tồn tại điểm bất động nổi
tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỉ XX, trong đó phải kể đến nguyên lí điểm bất
động Brouwer (1912) và nguyên lí ánh xạ co Banach (1922). Các kết quả kinh
điển này đã được mở rộng ra các lớp ánh xạ và không gian khác nhau.
Mục đích của luận văn này là trình bày một cách chi tiết hơn một số
định lí điểm bất động trong tài liệu A.Granas, J.Dugundji. Fixed point
Theory. Springer – Verlag. NewYork, 2003. Chúng tôi chỉ hạn chế ở việc giới
thiệu những kết quả dựa trên tính đầy đủ, tính sắp thứ tự của không gian và
tính lồi.
Bố cục của luận văn gồm 4 chương với những nội dung chính sau đây:
Chương 1. Nhắc lại một số kiến thức chuẩn bị làm cơ sở để theo dõi
luận văn.
Chương 2. Nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động dựa trên tính đầy đủ
của không gian như Nguyên lí ánh xạ co Banach, các mở rộng và ứng dụng
của nó.
Chương 3. Trình bày sự tồn tại điểm bất động trong không gian có thứ
tự như Định lí Knaster - Tarski, Định lí Tarski - Kantorovitch. Xét mối liên hệ
giữa khái niệm thứ tự và tính đầy đủ ta thu được Định lí Bishop – Phelps,
Định lí điểm bất động Carsti, Định lí Ekeland. Trong chương này còn trình
bày điểm bất động của ánh xạ co đa trị, đồng thời xét một vài ứng dụng vào
nghiên cứu hình học của không gian Banach, vào nghiên cứu điểm tới hạn.
Chương 4. Nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động dựa trên tính lồi cụ thể
là dựa trên Nguyên lí ánh xạ KKM.

Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS
Trương Xuân Đức Hà , tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và sự biết ơn sâu
sắc đến cô. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo phản biện đã đọc
và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn của tác giả; các thầy cô giáo
Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên; các thầy cô giáo ở Viện
Toán học cùng toàn thể bạn bè đã đóng góp ý kiến, giúp đỡ, động viên tác giả
trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Cuối cùng, tác giả
xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, những người đã tạo điều
kiện thuận lợi và động viên tác giả hoàn thành luận văn này.
Do thời gian và kinh nghiệm còn nhiều hạn chế nên luận văn không
tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý từ thầy cô
và các bạn. Tác giả xin chân trọng cảm ơn!
Thái Nguyên, ngày 22 tháng 9 năm 2008.
Học viên
Trương Thị Hải Yến
n
n
Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này ta nhắc lại một số khái niệm và một số định lí quan trọng
được dùng trong luận văn
(
[
1
]
,
[
2
]
,

[
4
]
,
[
5
]
)

.
1.1. Tính compact và tính đầy đủ
Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một không gian mêtric với mêtric d. Một dãy
{
x
n

}
trong X được gọi là dãy Cauchy nếu
lim
n,
m→∞
d

(
x
n
,
x
m
) =

0
, tức là với
mọi
∑

>

0

, tồn tại
n
0
sao cho với mọi
n,
m
>
n
0
ta có
d ( x
n
, x
m
)
<
∑

.
Định nghĩa 1.1.2. Không gian mêtric X gọi là đầy đủ (hay đầy) nếu mọi dãy
Cauchy trong nó đều hội tụ.

Ví dụ: 
là không gian mêtric đầy đủ với khoảng cách Euclid.
Định nghĩa 1.1.3. Tập con A của không gian mêtric X được gọi là tập
compact nếu với mọi dãy
{
x
n

}
trong
A
, tồn tại dãy con {x
k
} hội tụ đến một
phần tử của
A
. Tập A gọi là compact tương đối nếu bao đóng A của A trong
X là compact.
Ví dụ: Mọi tập đóng và bị chặn trong


n
là tập compact.
Định nghĩa 1.1.4. Cho X và Y là hai không gian Banach. Toáửn t
T :
D(T
) ⊆ X
→

Y

được gọi là toán tử compact nếu T là liên tục và T biến
một tập bị chặn thành một tập compact tương đối.
Định lí 1.1.5 (Nguyên lí Cantor). Trong không gian mêtric đầy đủ mọi dãy
hình cầu đóng thắt dần đều có một điểm chung duy nhất. Ta nhắc lại, dãy hình
cầu
{
B
n

}
(với dãy bán kính tương ứng
{
r
n

}
)
được gọi là thắt dần nếu
B
n
+
1
⊆ B
n
, với mọi
n
≥
1 và lim r
n
= 0 .

n
→∞
Định lí 1.1.6 (Định lí điểm bất động Schauder). Cho M là một tập không
rỗng, lồi, đóng, bị chặn của không gian Banach X , và giả sử
toán tử compact. Khi đó, T có một điểm bất động.
T : M → M là
1.2. Tính bị chặn và tính liên tục của hàm số
Cho X là không gian mêtric. Giả sử ∅ ≠ A ⊂ X ,
f
: A →  và
x
0
∈ A .
Định nghĩa 1.2.1. Hàm f bị chặn dưới trên A nếu tồn tại
h
∈

 : f ( x) ≥ h
với mọi x ∈ A . Hàm f bị chặn trên trên A nếu tồn
tại
mọi x ∈ A .
h ∈  : f ( x) ≤
h
với
Định nghĩa 1.2.2. Hàm f là nửa liên tục dưới tại
x
0
∈
A
nếu với mọi

∑ > 0 ,
tồn tại
 >
0
sao cho
f
(
x
0
)
−
f
(
x) <
∑
với mọi
x

∈

B(

x
0
,


)

, tức

là
lim inf
x
→

x
0
f ( x)
≥
f ( x
0
) . Trong
đó,
lim
inf
x
→

x
0
f
(
x)
=
inf
{
u
:

∃

(
x
n
)
→

x
0
, f
(
x
n
)
→

u
}

.
Nếu f là nửa liên tục dưới tại mọi điểm x ∈ A thì f được gọi là nửa liên tục
dưới trên
A
. Hàm f được gọi là nửa liên tục trên trên A nếu hàm − f là
nửa liên tục dưới trên
A
.
1.3. Tập sắp thứ tự
Định nghĩa 1.3.1. Tập X cùng với quan hệ ° thoả mãn
i) x °
x với mọi x ∈ X

(tính phản xạ).
ii) x °
y
, y °
x kéo theo x = y
(tính phản đối xứng).
iii) x °
y
, y ° z kéo theo x ° z (tính bắc cầu).
được gọi là tập sắp thứ tự bộ phận với quan hệ thứ tự “° ”.
Định nghĩa 1.3.2. Tập con A
⊂

X
được gọi là tập sắp thứ tự tuyến tính (hay
xích) nếu với
x,
y

∈

A
bất kì thì hoặc
x
°
y hoặc y °
x
.
Giả sử X là một tập sắp thứ tự với quan hệ thứ tự ° và A là một tập
con khác rỗng của X .

Định nghĩa 1.3.3. Một phần tử a
∈
X
gọi là phần tử cực đại của X nếu quan
hệ a °
x kéo theo x = a , với mọi x ∈ X . Một phần tử a ∈
X
gọi là phần tử
cực tiểu của X nếu quan hệ x °
a kéo theo x
=
a , với mọi x
∈
X .
Định nghĩa 1.3.4. Phần tử a ∈ X
gọi là cận trên của tập A nếu x ° a với mọi
x
∈
A .Nếu a
∈

A
và a là một cận trên của A thì a gọi là phần tử lớn nhất
của A và kí hiệu là max A . Phần tử a ∈
X
gọi là cận dưới của tập A nếu
a ° x
với mọi x ∈ A . Nếu a ∈
A
và a là một cận dưới của A thì a gọi là

phần tử nhỏ nhất của A và kí hiệu là min
A
.
Định nghĩa 1.3.5. Phần tử a ∈ X
gọi là supremum của A (hay cận trên đúng
của
A
) nếu nó là phần tử nhỏ nhất (nếu có) của tập hợp các cận trên của
A
,
và kí hiệu là
supA
. Phần tử a ∈
X
gọi là infimum của A (hay cận dưới đúng
của
A
) nếu nó là phần tử lớn nhất (nếu có) của tập hợp các cận dưới của
A
,
và kí hiệu là inf
A
.
Định nghĩa 1.3.6. Tập hợp A được gọi là bị chặn trên nếu nó có một cận
trên. Tập hợp A được gọi là bị chặn dưới nếu nó có một cận dưới. Tập hợp A
được gọi là bị chặn nếu nó bị chặn trên và bị chặn dưới.
Bổ đề 1.3.7 (Bổ đề Zorn). Giả sử X ≠ ∅ là tập sắp thứ tự bộ phận. Nếu
mọi
xích của X đều có cận trên thì X có phần tử cực đại.
1.4. Không gian điểm bất động

Định nghĩa 1.4.1. Cho X là một không gian tôpô (Hausdorff ) và f là một
ánh xạ liên tục của X, hoặc của một tập con của X , vào X . Một
điểm
x ∈ X
được gọi là một điểm
bất động đối với f nếu
x = f ( x) . Tập tất cả các
điểm bất động của f ký hiệu là
Fix( f ) .
Người ta có thể thấy được trong định nghĩa này, dạng điển hình của các
định lí về tồn tại trong giải tích. Ví dụ: tìm một nghiệm của phương trình
P(
z) =
0
, trong đó P là một đa thức phức, tương đương với việc tìm một
n
điểm bất động của ánh xạ
z

z
−

P(z)
. Tổng quát hơn, nếu D là toán tử bất
kỳ trên một tập con của một không gian tuyến tính, việc chỉ ra phương trình
Du = 0
(tương ứng u 

Du = 0 ) có nghiệm tương đương với việc chỉ ra ánh
xạ u  u

−

Du
(tương ứng u 

Du ) có một điểm bất động. Như vậy, những
điều kiện lên một toán tử hay miền xác định ở định nghĩa để đảm bảo tồn tại
một điểm bất động diễn giải như các định lí về tồn tại trong giải tích.
Cho một không gian X và ánh xạ liên tục
f : X → X
. Sự tồn tại một
điểm bất động đối với f có thể phụ thuộc hoàn toàn vào tính chất của không
gian X , hơn là vào tính chất của ánh xạ f .
Định nghĩa 1.4.2. Một không gian tôpô (Hausdorff ) X được gọi là không
gian điểm bất động nếu mọi ánh xạ liên tục
động.
Ví dụ 1.4.3.
f : X → X
đều có một điểm bất
(i) Một khoảng đóng bị chặn
J
=



a, b



⊂


bất kỳ là một không gian
điểm
bất động. Thật vậy, cho
f : J
→
J
ta có
a
−
f (a)
≤

0
và
b

−
f (b)
≥

0
,
theo
định lý giá trị trung bình phương trình
do đó f có một điểm bất động.
x
− f (x) =
0

có một nghiệm trong J,
(ii) Tập số thực  không là không gian điểm bất động, vì ánh xạ
x  x +1 không có điểm bất động.
Trong trường hợp tổng quát, rất khó để kiểm định là một không gian có
là không gian điểm bất động hay không, những kết quả thuộc loại đó thường
có rất nhiều hệ quả tôpô quan trọng. Một ví dụ là định lí điểm bất động
Brouwer chỉ ra rằng: Mọi tập compact lồi trong
bất động.
 đều là không gian điểm
Tính chất là không gian điểm bất động là một bất biến tôpô: nếu X là
không gian điểm bất động và
h : X → Y là đồng phôi thì với bất kì ánh xạ liên


 
0
tục
g : Y → Y , ánh
ạx
h
−
1

g


h
: X
→

X
có một điểm bất động x
0
nên
g

h(x
0
)
=
h(x
0
)
và
h(
x
0
) là một điểm bất động đối với g.
Ví dụ 1.4.4. Đồ thị của hàm liên tục
f
:



a,
b



→


, cho bởi
f (x)
=


x

sin



1

x
khi
0
<
x
≤
1

 


khi x = 0
là đồng phôi vào
[
a,

b
]
, vì thế nó là một không gian điểm bất động.
Nếu X không là một không gian điểm bất động, vẫn có thể đúng rằng
một số ánh xạ với các tính chất tốt sẽ có điểm bất động. Để hợp thức hoá khái
niệm này, chúng ta mở rộng phát biểu của Định nghĩa 1.4.2:
Định nghĩa 1.4.5. Cho X là một không gian tôpô (Hausdorff ) và M là một
lớp các ánh xạ liên tục
f : X → X . Nếu mọi f
∈
M có điểm bất động thì X
được gọi là không gian điểm bất động tương ứng với M .
Chẳng hạn, nguyên lý ánh xạ co Banach khẳng định rằng: Mọi
không gian mêtric đầy đủ đều là không gian điểm bất động đối với các ánh xạ
co.
Khái niệm trên là đặc biệt quan trọng khi M là lớp các ánh xạ
compact, nghĩa là những ánh xạ liên tục
f : X → X
với bao đóng f ( X ) của
f ( X )
là compact, các ánh xạ thuộc loại này xuất hiện một cách tự nhiên
trong các vấn đề của giải tích phi tuyến.
Ví dụ 1.4.6.
(i) Ta đã biết  không là không gian điểm bất động. Trong thực tế,

là một không gian điểm bất động tương ứng với lớp ánh xạ compact. Nếu ánh
xạ f :  →  là compact thì f ( ) chứa trong đoạn hữu hạn



a,

b



nào
đó;
khi đó tự ánh xạ
f
:



a,
b

 →


a,
b

có một điểm bất động.
x
 
(ii) Định lí điểm bất động Schauder có nhiều ứng dụng trong giải tích
đã khẳng định rằng: Mọi tập lồi trong không gian tuyến tính định chuẩn là
không gian điểm bất động đối với các ánh xạ compact.
Do ảnh liên tục của một tập compact là một tập compact, có thể sử

dụng các kỹ thuật tương tự để chỉ ra rằng tính chất là không gian điểm bất
động là một bất biến tôpô. Chẳng hạn, một tập mở bất kì
(

a,

b

)

⊂  , cũng
như
đồ thị của
sin


1


, 0
<
x
<
1, là một không gian điểm bất động đối với
các
 
ánh xạ compact.
1.5. Tạo không gian điểm bất động mới từ không gian cũ
Nói chung, một không gian con của một không gian điểm bất động
không nhất thiết là một không gian điểm bất động: chẳng hạn

{
a, b
}

⊂ 

a,
b


không có tính chất điểm bất động. Tuy nhiên, một số không gian con
có thể
thừa kế tính chất điểm bất động.
Định nghĩa 1.5.1. Một tập con
A

⊂

X
được gọi là tập co rút của X nếu có
một ánh xạ liên tục
r : X → A
sao cho
r (a) =
a
với mỗi a ∈ A ; ánh xạ r được
gọi là ánh xạ co rút của X đến A.
Ta lưu ý rằng một tập co rút của một không gian Hausdorff nhất thiết là
một tập đóng, vì
A =

{
x : r (
x) = id ( x)
}

, trong đó id
(
.
)
là ánh xạ đồng nhất.
Chẳng hạn, nếu E là
ộmt không gian định chuẩn và
K
ñ
=

{
x

∈
E :
x
≤

ñ
}
là một hình cầu đóng trong E có tâm O và bán kính ñ ,
ñ
y


thì
r : E → K
ñ
được cho bởi

y khi y
≤
ñ

r(
y)
=


y
khi y

>
ñ
(1.1)
là ánh xạ co rút chuẩn tắc từ E đến K
ñ
.
Tầm quan trọng của khái niệm này trong lý thuyết điểm bất động bắt
nguồn từ kết quả sau:
Định lí 1.5.2. Nếu X là một không gian điểm bất động (tương ứng ,
một không gian điểm bất động đối với các ánh xạ compact) thì X cũng là
không
gian điểm bất động với mọi tập co rút của X .
Chứng minh. Giả sử r : X

→
A
là ánh xạ co rút và
i
:
A

→
X
là ánh xạ
nhúng, ta có
r  i = id
A
. Xét ánhạ
x
liên tục bất kì
f :
A
→ A
khi đó
i

f

r : X
→

X
suy ra
có một điểm bất động, giả sử đó là

x
0
. Từ
i  f  r(x
0
) = x
0
do đó
r(x
0
)
r(x
0
)
=
r

i

f

r(x
0
)
=
id
A

f


r(x
0
) =
là một điểm bất động của f .
f


r(x
0
)



,
Tương t ự ta cũng chứng minh được không gian điểm bất động đối với
các
ánh x ạ compact cũng là không gian điểm bất động với mọi tập co rút của X .
□
Mặt khác, nếu X có một tập co rút là một không gian điểm bất động thì
chắc chắn rằng
X
là không gian điểm bất động. Thật vậy, mọi tập con
{
a
}

là
không gian điểm bất động và là tập co rút của không gian bất kì.
Ta minh hoạ thêm kỹ thuật co rút bằng cách suy ra từ định lí điểm bất
động Schauder kết quả cơ bản dưới đây:

Định lí 1.5.3 (Thay phiên phi tuyến ). Cho E là một không gian tuyến
tính
định chuẩn và K
ñ
là hình cầu đóng trong E có tâm O và bán kính ñ . Khi đó
mỗi ánh xạ compact
mãn:
F : K
ñ
→ E
có ít nhất một trong các tính chất sau thoả
(a) F có điểm bất động,
(b) Tồn tại x ∈ ∂K
ñ

và

∈
(
0,1
)
sao cho x =

F ( x) .
Chứng minh. Cho
r : E
→
K
ñ
là ánh xạ co rút chuẩn tắc. Theo định lí

Schauder, ánh xạ hợp compact
r  F : K
ñ
→ K
ñ
có một điểm bất
động
x = rF (x) .
Theo công thức (1.1), nếu
F ( x)
∈
K
ñ

thì
F (
x)
≤ ñ , ta có
x
=
rF ( x)
=
F ( x)
,
vì thế F có điểm bất động. Nếu
F ( x)
∉
K
ñ

thì
F (
x)
> ñ , ta tìm thấy
x =
rF

(
x) =
ñ
F ( x)
F ( x)
suy ra
x = ñ
F (
x)
F (
x)
= ñ , do đó x ∈
∂K
ñ
và ta có thể lấy


=
ñ
F

(

x)
<

1
.
Chương 2
MỘT SỐ ĐỊNH LÍ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG
TRONG KHÔNG GIAN ĐẦY ĐỦ VÀ ỨNG DỤNG
CỦA ĐỊNH LÍ BANACH
Chương này nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động dựa trên tính chất đầy
đủ. Chúng ta trình bày Nguyên lí ánh xạ co Banach, và các mở rộng của nó,
một số định lí điểm bất động cho ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert
và một số ứng dụng của Định lí Banach
(
[
4
]
)
2.1. Nguyên lí ánh xạ co Banach
Định lí điểm bất động đơn giản nhất và được sử dụng rộng rãi nhất là
nguyên lí ánh xạ co Banach. Dựa trên quá trình lặp, nó có thể được thực hiện
trên máy tính để tìm điểm bất động của một ánh xạ co với mức độ chính xác
tuỳ ý.
Cho ( X , d ) ,
(Y
,ñ)
là hai không gian mêtric và ánh xạ
F : X → Y
của
những không gian mêtric. Nếu F thoả mãn

ñ(Fx, Fz) ≤ Md ( x,
z)
với M là hằng số cố định và mọi
x,
z

∈

X
thì F được gọi là ánh xạ Lipschitz.
Giá trị M nhỏ nhất được gọi là hằng số Lipschitz
L(F
) của F. Nếu
L(F
)
<
1,
ánh xạ F được gọi là ánh xạ co với hằng số co
được gọi là ánh xạ không giãn.
L(F

)
. Nếu
L(F
)
≤
1, ánh xạ
F
Lưu ý rằng ánh xạ Lipschitz là ánh xạ liên tục. Thật vậy, lấy
x

0
∈
X
bất
kì, cho ∑ >
0
, với mọi x ∈ X , theo định nghĩa ánh xạ Lipschitz ta có
ñ(Fx, Fx
0
)
≤
Md ( x,
x
0

)
nên
d ( x, x )
<

∑
0
M
=  . Như vậy, F liên tục
tại
x
0
.
Ánh xạ co là trường hợp riêng của ánh xạ Lipschitz khi
ánh xạ co cũng là ánh xạ liên tục.

L(F
)
<

1
nên
Cho Y là một tập bất kì và cho ánh xạ
F : Y → Y . Lấy y
∈
Y
bất kì, ta
định nghĩa
F
n
( y)
bằng quy nạp như sau: đặt
y
=
F
0
( y)
ta có
Fy
=
F (F
0
y) ,
F
2
y = F (Fy) ,…. Cứ tiếp tục quá trình đó ta được F

n
+
1
y = F (F
n
y) . Ta
gọi
F
n
y là bước lặp thứ n của
Fy
, và tập
{
F

n
y : n
=

0,1,
}
bởi F.
Định lí 2.1.1 (Nguyên lí ánh xạ co Banach). Cho (Y , d
)
là quỹ đạo của y
là một không gian
mêtric đầy đủ và
F : Y
→
Y

là ánh xạ co. Khi đó F có duy nhất một đ iểm bất
động u và
F
n
y
→
u với mỗi y
∈
Y .
Chứng minh. Cho
〈

<
1 là hằng số co của F . Trước tiên ta chứng minh F
có nhiều nhất một điểm bất động: giả sử
x
0
≠
y
0

vàFx
0
=

x
0
, Fy
0
=

y
0
, ta có
điều này vô lí.
d ( x
0

, y
0
)
=
d
(

Fx
0

, Fy
0
)

≤

〈

d ( x
0

, y
0

)
<
d ( x
0

, y
0
) ,
Để chứng minh tính tồn tại, ta phải chỉ ra rằng cho y ∈Y
bất kì, dãy
{
F
n
y
}

hội tụ đến điểm bất động u . Đầu tiên ta có
do quy nạp
d (Fy, F
2
y) ≤
〈
d ( y, Fy)
và
d (F
n
y, F
n
+
1

y) ≤
〈
d (F
n
−
1
y, F
n
y) ≤  ≤
〈

n

d ( y, Fy)
Như vậy, cho n bất kì và
p > 0 , ta thu được
n
+

p
−
1
d (F
n
y, F
n
+
p
y)
≤

d (F
n
y, F
n
+
1
y)
+



+
d (F
n
+
p
−
1
y, F
n
+
p
y)
=
∑
i

=n
d (F
i

y, F
i

+
1
y)
n
≤ (
〈

n
+
〈

n
+
1
+  +
〈

n
+

p
−
1

)d ( y, Fy) ≤
〈

n
(1 + 〈 +  + 〈
p
−
1

)d ( y,
Fy)
≤

〈

n
(1

+

〈

+



+

〈

p
−
1

+


)d

(

y,

Fy)

=

〈
d

(

y,
Fy) .
1

−
〈
n
n
Vì
〈

<

1
nên
〈

n
→
0
, điều này chỉ ra rằng
{
F
n
y
}
là dãy Cauchy. Do d là đầy
đủ vì thế
F
n
y → u với u ∈Y . Vì F liên tục , ta
có
F
n
+
1
y
=
F (F
n
y)
→
Fu ;

nhưng
{
F

n
+
1
y
}
là một dãy con của dãy
{
F
n
y
}
nên Fu = u , tức là F có điểm
bất động u . Ta thấy rằng với mỗi y
∈
Y , giới hạn của dãy
{
F
n
y
}

tồn tại và có
một điểm bất động mà F có nhiều nhất một điểm bất động nên mọi dãy
{
F
n

y
}

đều hội tụ đến cùng một điểm. □
Ta thấy rằng từ
d

(F

n
y,

F

n
+
p
y)
≤

〈
d

(

y,
Fy) với
mọi
p
>

0
tìm được
1

−
〈
d

(F

n
y,
u)
=

lim
d

(F

n
y,

F

n
+
p
y)
≤

〈
d

(

y,

Fy)
,
p→∞
1

−
〈
sai số của bước lặp thứ n khi xuất phát từ y ∈Y
được hoàn toàn xác định bởi
hằng số co
〈
và khoảng cách ban đầu
d

(

y,

Fy)
.
Nguyên lí Banach có một dạng địa phương hữu ích liên quan tới hình
cầu mở B trong một không gian mêtric đầy đủ Y và một ánh xạ co từ B đến Y

sao cho nó không dịch chuyển tâm của hình cầu quá xa.
Hệ quả 2.1.2. Cho (Y , d
)
là không gian mêtric đầy đủ và
B = B( y
0

, r ) =
{

y : d ( y, y
0
) < r
}

.
Cho
F : B → Y
là một ánh xạ co với hằng số
〈
<

1
. Nếu
d (Fy
0
, y
0
)
<

(1
−
〈

)
r
thì F có một điểm bất động.
Chứng minh. Nếu
d (Fy
0
, y
0
) < (1 −
〈
)r , chọn ∑
< r
d

(Fy
0
, y
0
)
≤

(1

−

〈

)∑

<

(1

−

〈

)r
.
ta có
Giả sử
K
=

{

y : d ( y, y
0
)
≤

∑

}
là hình cầu đóng. Xét
ánh xạ
F : K → K . Nếu