Về các nửa nhóm thừa nhận cấu trúc vành

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ TRƯỜNG AN

VỀ CÁC NỬA NHÓM
THỪA NHẬN CẤU TRÚC VÀNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ TRƯỜNG AN

VỀ CÁC NỬA NHÓM
THỪA NHẬN CẤU TRÚC VÀNH
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60. 46. 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS. LÊ QUỐC HÁN

NGHỆ AN - 2013

MỤC LỤC
Trang
Mục lục .................................................................................................... 1
Mở đầu

................................................................................................. 2

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị ........................................................... 4
1.1. Nửa nhóm các quan hệ trên một tập .............................................. 4
1.2. Băng và nửa dàn .............................................................................. 7
1.3. Một số tính chất của trường hữu hạn ...........................................13
Chương 2. Nửa nhóm thừa nhận cấu trúc vành ...........................19
2.1. Nửa nhóm chuỗi phải thừa nhận cấu trúc vành ..........................19
2.2. Nửa nhóm vành với các nửa nhóm con tạo thành một chuỗi ....23
2.3. Nửa nhóm khoảng bị chặn trên

thừa nhận cấu trúc vành .....27

Kết luận .................................................................................................32
Tài liệu tham khảo ................................................................................33


-2-

MỞ ĐẦU
Giả sử S là nửa nhóm nhân ( ) với phần tử không. Nửa nhóm S được
gọi là nửa nhóm thừa nhận cấu trúc vành nếu trên S có thể xác định một
phép cộng sao cho (S , , ) là một vành. Một nửa nhóm S thừa nhận một cấu
trúc vành cũng được gọi là một nửa nhóm vành.

Không phải nửa nhóm nào cũng thừa nhận cấu trúc vành. Bài toán đặc
trưng các nửa nhóm thừa nhận cấu trúc vành đã được R.E. Peinado nghiên
cứu từ những năm bảy mươi của thế kỷ trước. Tuy nhiên, ngay từ năm 1961,
S.R. Kogalovski đã chứng minh rằng không thể đặc trưng được lớp tất cả các
nửa nhóm thừa nhận cấu trúc vành, và do đó để đạt được kết quả và có ý
nghĩa, bài toán trên thường được thu hẹp trên một số nửa nhóm đặc biệt nào
đó. Thỉnh thoảng nó cũng trở thành bài toán dễ, chẳng hạn đối với các nửa
nhóm null (nghĩa là nửa nhóm S thỏa mãn điều kiện xy  0 với mọi x , y  S )
thừa nhận cấu trúc vành.
Bản luận văn của chúng tôi dựa trên bài báo On semigroups admitting
ring structure của tác giả Ryszard Mazurek đăng trên tạp chí Semigroup
Forum năm 2011 để tìm hiểu một số lớp nửa nhóm thừa nhận cấu trúc vành.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai
chương:

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tôi hệ thống các khái niệm nửa nhóm các
quan hệ trên một tập, băng và nửa dàn, trường hữu hạn và các tính chất của
chúng để làm cơ sở cho việc trình bày chương sau.


-3-

Chương 2. Nửa nhóm thừa nhận cấu trúc vành
Đây là nội dung chính của luận văn.
Trước hết, chúng tôi trình bày khái niệm nửa nhóm thừa nhận cấu trúc
vành, nửa nhóm null, nửa nhóm chuỗi phải và điều kiện để nửa nhóm chuỗi
phải thừa nhận cấu trúc vành. Tiếp đến, chúng tôi trình bày cấu trúc của các
nửa nhóm thừa nhận cấu trúc vành cho lớp các nửa nhóm với các nửa nhóm
con tạo thành chuỗi. Phần cuối luận văn xét các nửa nhóm khoảng bị chặn

trên

thừa nhận cấu trúc vành.
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng

dẫn của Thầy PGS.TS. Lê Quốc Hán. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc đến thầy, Người đã giúp đỡ tận tình, chu đáo, luôn động viên và tạo
mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu
để hoàn thành luận văn.
Qua đây, tác giả xin gửi lời chân thành cảm ơn đến các quý thầy giáo,
cô giáo trong Bộ môn Đại số & Lý thuyết số, Khoa Toán học, Phòng Đào tạo
sau đại học trường Đại học Vinh đã quan tâm giúp đỡ trong quá trình giảng
dạy. Tác giả xin cảm ơn các bạn học viên trong lớp Cao học khóa 19 chuyên
ngành Đại số và Lý thuyết số đã hỗ trợ tác giả trong quá trình học tập.
Do trình độ và thời gian có hạn nên luận văn khó tránh khỏi những
thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được ý kiến đóng góp của quý thầy, cô và
các bạn đọc để luận văn được hoàn thiện tốt hơn.
Nghệ An, tháng 8 năm 2013
Tác giả


-4-

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Nửa nhóm các quan hệ trên một tập
1.1.1. Định nghĩa. Giả sử X là một tập hợp tùy ý khác rỗng. Khi đó một
tập con  của tích Đềcác X x X được gọi là một quan hệ trên X .
Nếu (a, b)   , trong đó a, b là các phần tử của tập X , thì ta sẽ viết
ab và nói rằng “ a nằm trong quan hệ  với b ”.

Nếu  và  là các quan hệ trên X , thì cái hợp thành   của chúng
được định nghĩa như sau: (a, b)    nếu tồn tại phần tử x  X sao cho
(a, x)   và ( x, b)   . Phép toán hai ngôi ( ) là kết hợp. Thật vậy, nếu

 , , là các quan hệ trên X , thì mỗi một trong các khẳng định
(a, b)  (   )  và (a, b)   (  ) tương đương với điều kiện khẳng định

rằng tồn tại các phần tử x, y  X sao cho (a, x)   , ( x, y )   và ( y, b)   .
Do đó, tập

Bx

tất cả các quan hệ hai ngôi trên X là một nửa nhóm với phép

toán ( ) . Nửa nhóm Bx được gọi là nửa nhóm các quan hệ trên tập X .

1.1.2. Một số quan hệ hai ngôi đặc biệt. Giả sử X là một tập hợp tùy ý.
Quan hệ iX được gọi là quan hệ bằng nhau ( hay quan hệ đồng nhất hoặc
quan hệ đường chéo ) nếu (a, b)  iX khi và chỉ khi a  b . Rõ ràng iX là
đơn vị của nửa nhóm Bx.
Quan hệ X được gọi là quan hệ phổ dụng nếu (a, b)  X với mọi
a, b  X .


-5-

Giả sử   Bx. Khi đó quan hệ ngược  1 của  được định nghĩa
bởi:

(a, b)   1

khi và chỉ

khi

(b, a)  . Dễ thấy: (  1 )1   ,

(   )-1 =  -1  -1 ,   , Bx .

Giả sử  ,  Bx. Khi đó    nếu  là tập con của  , nghĩa là
ab kéo theo a  b . Vì

thực hiện trong

Bx

Bx

gồm tất cả các tập con của X x X nên ta có thể

các phép toán Bun (Boole): hợp, giao và phần bù.

Giả sử  là một quan hệ trên X . Khi đó  được gọi là quan hệ đối
xứng nếu  1   (và do đó  1   ); quan hệ  được gọi là phản xạ nếu

iX   và được gọi là bắc cầu nếu     .
1.1.3. Quan hệ tương đương. Một quan hệ  trên X được gọi là tương
đương nếu  phản xạ, đối xứng và bắc cầu. Khi đó  là một lũy đẳng nửa
nhóm Bx ( nghĩa là  2   ).

Giả sử  là một quan hệ tùy ý trên X và a  X . Khi đó ta sẽ ký hiệu

 a : x  X x a ;

a : x  X a x  .

Nếu  là một quan hệ tương đương trên S thì hai điều kiện sau đây
được thỏa mãn:
(i)

a  a với mọi a  X ;

(ii)

a   b  

kéo theo a  b .

Như vậy, họ các tập con a , trong đó a  X là một phân hoạch của
tập X , tức là các tập con đó không giao nhau và hợp của chúng bằng X ; ta
ký hiệu họ đó là X  . Ta gọi a là lớp tương đương của tập X theo mod 


-6-

chứa a . Đảo lại, mọi phân hoạch P của tập X xác định một quan hệ tương
đương  và P = X  . Cụ thể ab khi và chỉ khi a và b thuộc cùng một
tập của phân hoạch

P.

Ta gọi ánh xạ a

a là ánh xạ tự nhiên hay ánh

xạ chính tắc từ tập X lên tập X  . Rõ ràng ánh xạ đó là toàn ánh.

1.1.4. Tương đẳng. Giả sử S là một nửa nhóm và  là một quan hệ
trên S . Khi đó  được gọi là ổn định phải (trái) nếu ab ( a, b  S ) kéo
theo acbc ( tương ứng ca cb ) với mọi c  S .
Quan hệ  được gọi là tương đẳng phải (trái) nếu  là quan hệ tương
đương và ổn định phải (trái). Quan hệ tương đương  được gọi là một tương
đẳng trên S nếu  vừa ổn định trái vừa ổn định phải.

1.1.5. Nửa nhóm thương. Giả sử  là một tương đẳng trên nửa nhóm S
và S    a a  S  . Khi đó tương ứng (a , b )

ab là một phép toán

trên S  . Với phép toán này, S  trở thành một nửa nhóm và được gọi là
nửa nhóm thương của S theo mod  .

1.1.6. Đồng cấu. Giả sử  : S  T là một ánh xạ từ nửa nhóm S vào nửa
nhóm T . Khi đó  được gọi là đồng cấu nửa nhóm nếu  (ab)   (a)  (b)
với mọi a,b S .
Đồng cấu  được gọi là đơn cấu, toàn cấu hay đẳng cấu nếu  là
đơn ánh, toàn ánh hay song ánh.
Nếu  là đẳng cấu thì ta nói rằng nửa nhóm S và nửa nhóm T đẳng
cấu với nhau, ký hiệu bởi S  T .

-7-

Giả sử  : S  T là một đồng cấu nửa nhóm. Khi đó quan hệ  cho
bởi (a, b)   nếu và chỉ nếu  (a)   (b) là một tương đẳng trên S , được gọi
là tương đẳng hạt nhân liên kết với đồng cấu  , ký hiệu bởi ker ( ) . Ta có
S

, trong đó Im ( ) :  (S )    ( x) x  S .
ker ( )  Im ( )

1.2. Băng và nửa dàn
1.2.1. Định nghĩa. Một quan hệ hai ngôi trên X được gọi là một thứ tự bộ
phận nếu nó phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu. Ta thường dùng ký hiệu ≤ để
chỉ quan hệ thứ tự bộ phận trên X. Nếu a  b và a  b thì ta sẽ viết a  b .
Quan hệ thứ tự bộ phận ≤ trên X được gọi là quan hệ thứ tự toàn
phần nếu với mọi a,b  X , có a  b hoặc b  a . Tập hợp X được gọi là
chuỗi nếu trên X đã xác định được một quan hệ thứ tự toàn phần.

1.2.2. Định nghĩa. Giả sử ≤ là một quan hệ thứ tự trên X và Y là một tập
con của X .
i) Phần tử b  X được gọi là cận trên của Y nếu y  b với mọi y  Y .
ii) Cận trên b của Y được gọi là cận trên bé nhất hay hợp của Y , nếu với
mọi cận trên c của Y đều có b  c .
Nếu Y có một hợp trong X thì rõ ràng hợp ấy là duy nhất.
iii) Phần tử a  X được gọi là cận dưới của Y nếu a  y với mọi y  Y .
iv) Cận dưới a của Y được gọi là cận dưới lớn nhất hay giao của Y ,
nếu d  a với mọi cận dưới d của Y .
Nếu Y có một giao trong X thì rõ ràng giao đó cũng là duy nhất.

-8-

1.2.3. Định nghĩa. (i) Tập sắp thứ tự bộ phận ( X ,  ) được gọi là nửa dàn
trên (hay nửa dàn dưới) nếu mỗi tập con gồm hai phần tử a, b của X có
hợp (tương ứng giao) trong X ; trong trường hợp đó mỗi tập con hữu hạn
của X có hợp (tương ứng giao) trong X .
(ii) Một dàn là một tập hợp sắp thứ tự bộ phận, đồng thời là nửa dàn
trên và nửa dàn dưới.
(iii) Dàn X được gọi là dàn đầy đủ, nếu mỗi tập con của X có một hợp
và một giao.

1.2.4. Ví dụ. 1) Giả sử X là tập hợp tất cả các nửa nhóm con của nửa nhóm
S bổ sung thêm tập rỗng. Thế thì X được sắp thứ tự bộ phận theo quan hệ

bao hàm theo lý thuyết tập hợp. Vì giao của một họ tùy ý các nửa nhóm con
của S hoặc là rỗng, hoặc là nửa nhóm con của S nên X là một dàn đầy đủ.
Giao của một tập con Y của X trùng với giao theo lý thuyết tập hợp của các
nửa nhóm con thuộc Y , trong lúc đó hợp của Y là nửa nhóm sinh bởi hợp
theo lý thuyết tập hợp của các nửa nhóm con thuộc Y . Tất cả các lý luận trên
vẫn có hiệu lực nếu ta thay thế cụm từ “ nửa nhóm con hay tập rỗng của S ”
bởi cụm từ “ tương đẳng trên nửa nhóm S ”.
2) Giả sử S là một nửa nhóm và A là một tập con khác rỗng của S .
Khi đó A được gọi là iđêan trái (phải) của S nếu SA  A ( tương ứng,
AS  A). A được gọi là iđêan của S nếu A vừa là iđêan trái vừa là iđêan

phải của S .
Tập hợp tất cả các iđêan trái ( phải, hai phía) của nửa nhóm S bổ
sung thêm tập rỗng, đóng đối với phép hợp cũng như phép giao nên là một
dàn con đầy đủ của đại số Bun (Boole) tất cả các tập con của S .

-9-

1.2.5. Định nghĩa và ký hiệu. Giả sử S là một nửa nhóm. Phần tử e  S
được gọi là một lũy đẳng nếu e2  e .
Tập hợp tất cả các lũy đẳng của S được ký hiệu bởi E (S ) , ES hay
đơn giản E .

1.2.6. Mệnh đề : Giả sử E là tập hợp tất cả các lũy đẳng của nửa nhóm S.
Khi đó quan hệ ≤ xác định trên E bởi: e ≤ f ( e, f  E ) nếu ef = fe = e
là một thứ tự trên E.
Chứng minh. Vì e  E nên e2  e , do đó e  e nên ≤ phản xạ. Hơn nữa,
nếu e  f , f  e thì ef  fe  e và fe  ef  f nên e  f , do đó ≤ phản
đối xứng. Ta lại có: nếu e  f và f  g thì ef  fe  e và fg  gf  f
nên eg   ef  g  e  fg   ef  e,
nên ≤ bắc cầu.

ge  g  fe    gf  e  fe  e. Do đó e  g

□

Quan hệ ≤ xác định trong Mệnh đề 1.2.6 gọi là thứ tự bộ phận tự
nhiên trên E.
1.2.7. Định nghĩa. Nửa nhóm S được gọi là một băng (band) nếu mọi phần
tử của S đều lũy đẳng.
Giả sử S là một băng. Khi đó S  E và S được sắp thứ tự bộ phận tự
nhiên ( a  b (a, b  S ) nếu và chỉ nếu ab  ba  a ).

1.2.8. Mệnh đề . Một băng giao hoán là một nửa dàn dưới đối với thứ tự bộ

phận tự nhiên trên S. Giao a  b của hai phần tử a và b của S trùng với
tích ab của chúng. Đảo lại, một nửa dàn dưới là một băng giao hoán đối với
phép giao.


-10-

Chứng minh. Theo Mệnh đề 1.2.6, quan hệ ≤ xác định bởi a  b nếu và
chỉ nếu ab  ba  a là một thứ tự bộ phận trên S  E . Ta chứng minh tích
của hai phần tử ab (= ba) của hai phần tử a, b  S trùng với cận dưới lớn
nhất của a, b .
Từ (ab) a  a (ba)  a (ab)  (aa)b  a2b  ab và a (ab)  (aa)b  a2b  ab
suy ra ab  a . Tương tự ab  b nên ab là cận dưới của a, b . Giả sử c  a,
c  b . Thế thì (ab)c  a (bc)  ac  c, và tương tự c(ab)  c , từ đó c  ab .

Do đó ab là cận dưới lớn nhất của a, b .
Từ đó S là nửa dàn dưới.
Mệnh đề đảo là hiển nhiên.

□

1.2.9. Chú ý. Giả sử S là một băng giao hoán. Khi đó nếu đặt a  b khi và
chỉ khi ab ( ba)  b thì ( S ,  ) là nửa dàn trên. Tuy nhiên, để cho thống
nhất, ta giữ định nghĩa như đã nêu trong Mệnh đề 1.2.8. Về sau, ta sẽ dùng từ
nửa dàn đồng nghĩa với từ băng giao hoán. Như vậy, ta thỏa thuận rằng từ nửa
dàn được dùng với nghĩa là nửa dàn dưới, nếu không nói thêm gì.
Phần cuối của tiết này trình bày một băng nói chung không giao hoán:
băng chữ nhật. Để thực hiện được mục đích này, ta cần đưa vào một số khái
niệm và kiến thức chuẩn bị.
Giả sử X và Y là hai tập hợp tùy ý, S  X X Y là tích Đềcác của

X và Y. Ta định nghĩa phép toán hai ngôi trên S bằng cách đặt

 x1,y1  x2 ,y2    x1,y2  với x1, x2  X , y1, y2  Y . Tính kết hợp và lũy đẳng
của phép toán đó là hiển nhiên.
Ta sẽ gọi S là băng chữ nhật trên tập X X Y . Lý do của tên gọi đó như
sau: Ta tưởng tượng X X Y là một bảng chữ nhật gồm các điểm, trong đó


-11-

điểm ( x, y) nằm ở dòng x cột y của bảng. Thế thì a  ( x1, y1 ) và b  ( x2 , y2 )
là hai đỉnh đối diện của hình chữ nhật, mà hai đỉnh kia là a1a2  ( x1, y2 ) và
a2a1  ( x2 , y1 ) . Các băng chữ nhật trên X X Y và X ' X Y ' đẳng cấu với nhau nếu

và chỉ nếu X = X ' , Y = Y ' .
Ta đưa ra một định nghĩa khác về băng chữ nhật. Định nghĩa này tương
đương với định nghĩa trên ( xem Định lý 1.2.12 dưới đây).

1.2.10. Định nghĩa. Nửa nhóm S được gọi là một băng chữ nhật nếu thỏa
mãn điều kiện aba  a đối với tất cả các phần tử a, b  S .
Ta nhắc lại rằng một phần tử a  S được gọi là phần tử không (zero)
nếu thỏa mãn điều kiện ax  a  xa,  x  S . Phần tử không của nửa nhóm
S- nếu có- sẽ duy nhất và thường được ký hiệu bởi 0.
Giả sử S là một nửa nhóm tùy ý. Khi đó có thể nhúng S vào nửa nhóm

S 0 chứa phần tử không trong đó S 0 được xác định bởi
nếu S chứa phần tử không

S
S 


 S 0 nếu S không chứa phần tử không
0

Trong trường hợp thứ hai, 0 là một ký hiệu không thuộc S và phép toán
trên S 0 là mở rộng phép toán trên S bằng cách đặt x.0  0.x  0, x S 0 .

1.2.11. Định nghĩa. Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm zero trái nếu thỏa
mãn điều kiện ab  a, a, b  S .
Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm zero phải nếu thỏa mãn điều
kiện ab  b, a, b  S .


-12-

1.2.12. Định lý. Giả sử S là một nửa nhóm. Thế thì các điều kiện sau đây
tương đương:
i) S là một băng chữ nhật.
ii) Mỗi phần tử của S là lũy đẳng (nghĩa là S là một băng) và abc = ac,

a, b, c  S .
iii) Tồn tại một nửa nhóm zero trái L và một nửa nhóm zero phải R
sao cho S  L X R .
iv) S đẳng cấu với nửa nhóm có dạng AX B , trong đó A và B là các tập
hợp khác rỗng và phép nhân trên S cho bởi  a1, b1  a2 , b2    a1, b2  .
Chứng minh. (i)  (ii). Giả sử a  S . Thế thì do (i) ta có a 2  a và do đó
a 4  a 2 . Lại theo (i) có a  a (a2 )a  a4 , từ đó a 2  a .

Bây giờ giả sử

a, b, c  S . Từ (i)

ta có

a  aba, c  cbc và

b  b(ac)b . Từ đó ac  (aba)(cbc)  a( bacb) c  abc.

(ii)  (iii). Chọn một phần tử cố định c  S . Giả sử L  Sc , trong
đó Sc   ac a S  ; R  cS , trong đó cS  cb b  S  . Thế thì bằng cách
sử dụng (ii), ta thấy rằng đối với tất cả x  zc và y  tc trong L,

xy  zctc  zc2  zc  x và do đó L là nửa nhóm zero trái. Tương tự, R là
nửa nhóm zero phải.
Xác định ánh xạ  : S  L X R cho bởi  ( x)  ( xc, cx), x  S . Thế
thì  là đơn ánh, vì nếu  ( x)   ( y) thì ( xc, cx)  ( yc, cy) . Do đó xc  yc ,
cx  cy . Từ đó x  x2  xcx (do(ii))  ycx  ycy  y 2  y .

Hơn nữa,  là toàn ánh vì đối với phần tử (ac, cb)  L X R tùy ý, có
thể sử dụng điều kiện (ii) để thấy rằng (ac, cb)  (abc, cab)   (ab) .


-13-

Cuối cùng,  là đồng cấu vì với mọi x, y  S ,

 ( xy)  ( xyc, cxy)  ( xc, cy)  ( xcyc, cxcy)
 ( xc, cx)( yc, cy)   ( x) ( y) .

Vậy φ là đẳng cấu và do đó S  L X R .

(iii)  (iv). Giả thiết rằng S  L X R trong đó L là nửa nhóm zero
trái và R là nửa nhóm zero phải. Thế thì  (a, b), (c, d )  S có
(a, b)(c, d )  (ac, bd )  (a, d ) . Như vậy chỉ cần lấy A  L và B  R .

(iv)  (i). Giả sử S  A B với phép nhân  a1, b1  a2 , b2    a1, b2  . Thế
X

thì đối với a  ( x, y) và b  ( z, t ) thuộc S, aba  ( x, y)( z, t)( x, y) ( x , t )(x , y )
 ( x, y)  a .

□

Thuật ngữ “ băng chữ nhật ” được giải thích từ tính chất (iv) của Định
lý 1.2.12.

1.3. Một số tính chất của trường hữu hạn.
Trường F được gọi là trường hữu hạn nếu F có hữu hạn phần tử.
Kết quả sau đây khá quen thuộc.

1.3.1. Mệnh đề . Giả sử
đó

n

n

là vành các số nguyên mod n, n  1 . Khi

là một trường nếu và chỉ nếu n là số nguyên tố.

1.3.2. Định nghĩa. Giả sử F là một trường với đơn vị là e. Nếu với mọi số
nguyên m  0 đều có me  0 thì ta nói rằng trường F có đặc số 0. Nếu tồn
tại một số nguyên khác không m sao cho me  0 thì ta nói rằng trường F có
đặc số hữu hạn. Khi đó số nguyên dương nhỏ nhất p thỏa mãn pe=0 được gọi
là đặc số của trường F.


-14-

1.3.3. Mệnh đề. (i) Đặc số của một trường F tùy ý hoặc bằng không, hoặc
là số nguyên tố.
(ii) Đặc số của trường

p

là p (trong đó p là số nguyên tố).

Chứng minh. (i) Giả sử F có đặc số khác không và p là số nguyên dương
nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện pe  0 . Vì e  0 nên p  1 .
Nếu p không phải là số nguyên tố thì p  m.n với m, n là các số
nguyên dương thỏa mãn 1  m  p, 1  n  p.
Vì e2  e nên (me)(ne)  (m.n)e2  pe  0  me  0 hoặc ne  0 (vì F
là một trường nên F không có ước của không ). Mâu thuẫn với p là số nguyên
dương nhỏ nhất thỏa mãn pe  0 .
Vậy p là số nguyên tố.
ii) Rõ ràng p là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn p.1  p  0 nên
đặc số của

p

là p.

□

1.3.4. Mệnh đề. Mọi trường đều có trường con nhỏ nhất ( theo quan hệ bao
hàm ) đẳng cấu hoặc với trường các số hữu tỷ

hoặc với trường

p

trong

đó p là số nguyên tố.
Chứng minh. Gọi e là đơn vị của trường F. Khi đó ánh xạ

:

 F ,  (m)  me ,

m 

là

một

đồng

cấu

vành

nên

ker ( )  0 nên F chứa
ker ( )  Im ( ) . Nếu F có đặc số không thì

vành con Im ( ) 

. Nhớ rằng trường các thương của

là

và trường

các thương của Im ( ) là trường con của F, nên trong trường hợp này F chứa
trường con đẳng cấu với trường

.


-15-

Nếu F có đặc số nguyên tố thì ker ( )  p
Im ( ) 

p

thứ tự bao hàm.



p.

nên F chứa trường con

Các trường con đó thật sự là trường con bé nhất theo

□

1.3.5. Chú ý. Một trường được gọi là trường nguyên tố nếu nó không chứa
trường con thật sự. Như vậy

và

p

là các trường nguyên tố. Từ Mệnh

đề 1.3.4 suy ra mọi trường F đều chứa một trường con nguyên tố hoặc đẳng
cấu với

hoặc đẳng cấu với

p

tùy theo đặc số của F bằng 0 hoặc

bằng p.

1.3.6. Mệnh đề . i) Nếu A là một miền nguyên hữu hạn thì A là một trường.
ii) Nếu F là trường hữu hạn thì F có đặc số khác không.
iii) Giả sử F là một trường hữu hạn và p là đặc số của trường F. Khi
đó F có p n phần tử, với n là số nguyên dương.
Chứng minh. i) Giả sử A là một miền nguyên hữu hạn gồm n phần tử,
A   a1, a2 ,..., an  , trong đó chẳng hạn a1  0 và a2  e là phần tử đơn vị.

Xét tập con B   a2 ,..., an  , với mỗi j  2,3,..., n ta có  a j a2 ,..., a j an 
là n 1 phần tử khác nhau và khác không của A ( vì A là miền nguyên),
do đó B   a j a2 ,...,a j an  . Suy ra tồn tại chỉ số i, 2  i  n sao cho
a j ai  a2  e . Vậy ai là nghịch đảo của a j . Từ đó A là một trường.

ii) Giả sử đặc số của F bằng 0. Khi đó F chứa vô hạn phần tử me,
m  1,2,... mâu thuẫn với giả thiết F hữu hạn. Vậy đặc số của F là khác

không.


-16-

iii) Theo Mệnh đề 1.3.3, đặc số của F là một số nguyên tố p. Giả sử F
có q phần tử. Theo Mệnh đề 1.3.4, F chứa một trường con đẳng cấu với
Có thể xem

p

p.

là một trường con của F. Khi đó có thể xem F là không

gian vectơ trên trường

p

và dim của F hữu hạn. Giả sử di m F n . Nếu

 u1, u2 ,..., un  là một cơ sở của F trên trường

p

thì mọi phần tử của F có

dạng
a1 u1  a2 u2  ...  an un ,

ai 

p

(*)

Vì mỗi ai có thể nhận p giá trị, nên có tất cả p n phần tử dạng q  pn ,
hay F có p n phần tử.

□

Định nghĩa sau đây được gợi ý từ chứng minh trên và không chỉ có ý
nghĩa với trường hữu hạn.

1.3.7. Định nghĩa. Giả sử trường K là mở rộng của trường F ( nghĩa là F là

một trường con của trường K ). Khi đó K có thể được xem như không gian
vectơ trên trường F và số chiều của không gian vectơ đó được gọi là bậc
của mở rộng K trên F, ký hiệu bởi  K : F  .
Nếu  K : F  hữu hạn thì ta nói rằng K là mở rộng bậc hữu hạn của F.

1.3.8. Định lý. Với mọi số nguyên tố p và với mọi số nguyên dương n, tồn
tại một và chỉ một trường (sai khác đẳng cấu) có số phần tử bằng p n .
Chứng minh: a/ Tính duy nhất. Giả sử K là một trường với p n phần tử. Khi
đó K là một mở rộng bậc n của F 

p.

Nhóm nhân K *  K \ 0 có cấp

bằng p n 1 . Vì thế theo Định lý Lagrăng, t p

n1

 e với mọi t  K \ 0 , trong

đó e là đơn vị của trường K. Nói cách khác, tất cả các phần tử của K đều là


-17-

nghiệm khác nhau của đa thức f ( x)  x p  x  F  x  . Thế thì
n

x p  x  Π ( x - t) .
n

t K

Đẳng thức này được suy ra từ chỗ hai đa thức ở hai vế có cùng bậc p n ,
có cùng p n nghiệm là các phần tử của K, và có cùng hệ tử cao nhất. K chính
là trường phân rã của f ( x) , bởi vì mọi trường con thật sự của K có số phần tử
ít hơn p n và do đó không thể có đủ nghiệm của f ( x) . Ta đã biết rằng trường
phân rã của đa thức được xác định duy nhất sai khác đẳng cấu.
b/ Sự tồn tại. Gọi K là trường phân rã trên F 
f ( x)  x p  x . Bởi vì đạo hàm của đa thức
n

p

f ' ( x)  pn x p

của đa thức

n 1

1  1  0

nên f ( x) không có nghiệm bội. Như thế tập hợp K f các nghiệm của f ( x)
trong K có đúng p n phần tử.
Ta chứng minh K f là trường con của K. Thật vậy, vì K có đặc số p nên
với mọi x, y K f , có:
( x  y)  x p  y p  x  y
n

n

( xy) p  x p y p  xy
n

n

n

x  y  Kf , xy  Kf

Từ đó

Nếu 0  x  K f thì ( x1) p  ( x p ) 1  x1 nên x1  K f . Hiển nhiên
n

n

1 K f vì 1p  1 .
n

Như vậy K f là một trường con của K chứa F và chứa tất cả các nghiệm
của đa thức f ( x) . Theo định nghĩa của trường phân rã, K  K f và do đó
K  K f  pn .

□


-18-

1.3.9. Chú ý. Giả sử p là số nguyên tố và n là số nguyên dương. Khi đó,

trường duy nhất với p n phần tử được ký hiệu bởi
*
pn

1.3.10. Hệ quả. Nhóm nhân
Chứng minh. Ký hiệu K 

pn

pn

. Nói riêng,

p



p.

là một nhóm xyclic cấp p n  1.

. Gọi m là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho

am  e với mọi a  K * , trong đó e là đơn vị của K. Theo Định lý Lagrăng về

nhóm hữu hạn, m tồn tại và không lớn hơn K *  p n  1 . Nếu m  K * thì đa
thức xm  1 trong K có nhiều hơn m nghiệm ( đó là tất cả các phần tử của K ).
Mâu thuẫn này chứng tỏ m  K * và do đó K * là một nhóm nhân xyclic
cấp K *  m  p n  1 .

□


-19-

Chương 2
NỬA NHÓM THỪA NHẬN CẤU TRÚC VÀNH
2.1. Nửa nhóm chuỗi phải thừa nhận cấu trúc vành
Trong chương này, các nửa nhóm và các nửa nhóm con đều được giả
thiết là có phần tử không. Phép toán của nửa nhóm được viết theo lối nhân, và
các vành có tính chất kết hợp nhưng không nhất thiết có đơn vị.

2.1.1. Định nghĩa. Giả sử (S , ) là một nửa nhóm với phần tử không. Khi
đó nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm thừa nhận cấu trúc vành nếu trên S
thiết lập được một phép cộng sao cho (S , , ) là một vành. Nửa nhóm thừa
nhận cấu trúc vành cũng được gọi là nửa nhóm vành (ring semigroup).
Giả sử S là một nửa nhóm và a  S , thế thì iđêan phải của S được ký
hiệu bởi aS 1 nghĩa là aS 1  a   ax x  S  , và nửa nhóm con của S sinh
bởi a được ký hiệu bởi 0,a , nghĩa là 0, a  0  an n 

 . Nếu S là

một nửa nhóm với đơn vị là 1 thì chúng ta luôn luôn giả thiết rằng 1  0 . Đối
với một tập hợp A, lực lượng của A được ký hiệu bởi card A.

2.1.2. Định nghĩa. Nửa nhóm S với phần tử 0 được gọi là nửa nhóm null
(null semigroup) nếu xy  0 với mọi x, y  S .

2.1.3. Định nghĩa. Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm chuỗi phải ( rightchain semigroup) nếu các iđêan phải của S được sắp thứ tự toàn phần bởi
quan hệ bao hàm.

Theo [4] nửa nhóm S là nửa nhóm chuỗi phải nếu và chỉ nếu aS 1  bS1
hoặc bS 1  aS1 với a, b tùy ý thuộc S.


-20-

Định lý sau đây nêu lên điều kiện để một lớp nửa nhóm chuỗi phải là
một nửa nhóm vành.

2.1.4. Định lý. Giả sử S là một nửa nhóm chuỗi phải thỏa mãn điều kiện
aS  S với mọi a  S . Thế thì S là một nửa nhóm vành nếu và chỉ nếu S là một

nửa nhóm null với hai phần tử.
Chứng minh. Điều kiện đủ được kiểm tra trực tiếp. Ta chứng minh điều kiện
cần. Giả sử (S , , ) là một vành với phép cộng bổ sung nào đó. Trước hết ta
chứng minh S là nửa nhóm null. Giả thiết phản chứng rằng xy  0 với x, y S
nào đó. Vì S là nửa nhóm chuỗi phải nên hoặc xS1  ( x  xy)S 1 hoặc

( x  xy)S 1  xS 1 , và do x  x  xy nên trong cả hai trường hợp đều suy ra
x  xS . Từ đó x  xs với s  S nào đó.

Đặt I : t  st
đến

t  S . Nếu s  I thì s  t  st với t  S nào đó, dẫn

x  xs  x(t  st )  xt  ( xs)t  xt  xt  0 : mâu thuẫn. Như vậy, s  I và

vì I là một iđêan phải của nửa nhóm chuỗi phải S nên I  sS . Từ đó
t  st  sS với t  S tùy ý, mà điều này kéo theo S  sS : mâu thuẫn với giả

thiết. Như vậy S là nửa nhóm null.
Để hoàn thành phép chứng minh, chúng ta chứng tỏ rằng S là một
nửa nhóm với hai phần tử . Nếu S  0 thì sS  S với s  S mâu thuẫn với
giả thiết. Như vậy S phải chứa một phần tử khác không. Giả thiết rằng S chứa
hai phần tử khác nhau và khác không a và b. Vì S là nửa nhóm null,
aS 1  0, a và bS 1  0, b là hai iđêan phải không so sánh được của S,

mâu thuẫn với giả thiết S là một nửa nhóm chuỗi phải. Từ đó S có hai
phần tử.

□


-21-

2.1.5. Định nghĩa. Nửa nhóm S với phần tử không 0 được gọi là nửa
nhóm 0- cyclic ( 0- cyclic semigroup ) nếu thỏa mãn điều kiện S  0, s với
mọi s  S .
Rõ ràng một nửa nhóm nhân của một trường hữu hạn ( F , , ) là một
nửa nhóm vành 0- cyclic, vì nhóm nhân của ( F , , ) là nhóm cyclic. Hơn
nữa, có rất nhiều ví dụ về nửa nhóm chuỗi phải là nửa nhóm 0- cyclic.
Kết quả sau đây chứng tỏ rằng trừ các trường hợp ngoại lệ là nửa nhóm
tầm thường ( chỉ có một phần tử là phần tử 0) hoặc nửa nhóm null với hai
phần tử, và nếu không kể sự sai khác đẳng cấu thì các nửa nhóm vành
0- cyclic thực chất là nửa nhóm nhân của các trường hữu hạn, nghĩa là nửa
nhóm nhân của các trường dạng

pn

, trong đó p là số nguyên tố và n là số

nguyên dương.
2.1.6. Định lý. Một nửa nhóm vành S là 0- cyclic nếu và chỉ nếu hoặc
S  0 , hoặc S  0, s với s  0, s2  0 hoặc S 

pn

với p là một số

nguyên tố nào đó và n là một số nguyên dương.
Nói riêng, mỗi nửa nhóm vành 0- cyclic là hữu hạn.
Chứng minh. Giả thiết rằng S là một nửa nhóm vành 0- cyclic khác không,
nghĩa là S  0   s n n 

 với s  S \ 0 nào đó. Theo Định lý 2.1.4, chỉ

cần xét trường hợp s k S  S với k là số tự nhiên nào đó. Khi đó s  s k x với
x  S nào đó, mà điều này kéo theo s  s m với m  2 nào đó. Như vậy S hữu

hạn, 1  s m 1 là một đơn vị của S, và mỗi phần tử khác không của S khả
nghịch. Vì S là một nửa nhóm vành giao hoán nên S đẳng cấu với một nửa
nhóm nhân của một trường hữu hạn.


-22-

Rõ ràng, các nửa nhóm 0, 0,s với s 2  0 và
vành 0- cyclic.

pn

là các nửa nhóm

□

2.1.7. Định lý. Giả sử S là một nửa nhóm sao cho eS = S với e  S nào
đó, và giả sử J   s  S sS  S . Nếu S là nửa nhóm vành, thế thì đối với
một tập con A tùy ý của S với tính chất sau: “ đối với x, y  A tùy ý tồn tại
z  J sao cho xS  zS và yS  zS ” (*), chúng ta có card A  card (S \ A)

và card S  2.card (S \ A) .
Chứng minh. Giả sử + là phép cộng sao cho (S , , ) trở thành một nửa
vành và giả sử x  A . Nếu e  x  A , thế thì đối với z  J nào đó có
(e  x) S  zS và xS  zS , mà điều này dẫn đến S  eS  ((e  x)  x)S
 (e  x)S  xS  zS  zS  zS  S : mâu thuẫn. Từ đó, đối với x  A tùy ý

ta có e  x  S \ A , và như vậy bằng cách đặt  ( x)  e  x ta nhận được đơn
ánh  từ A vào S \ A , mà điều này chứng minh rằng card A  card (S \A ) .
Do đó card S  card A  card (S \ A)  2.card (S \ A) .

□

Chú ý rằng điều kiện (*) với A  J thỏa mãn đối với nửa nhóm chuỗi
phải tùy ý ( xem [7], trang 37 ). Từ các Định lý 2.1.4 và 2.1.7 nhận được kết
quả sau.

2.1.8. Hệ quả. Giả sử S là một nửa nhóm chuỗi phải sao cho đối với
x, y  S tùy ý, xS 1  yS 1 kéo theo x  y . Nếu S là nửa nhóm vành thì

card S  2.

Chứng minh. Đặt J   s  S sS  S  . Nếu S  J thì theo Định lý 2.1.4 ta
có card S  2 . Nếu S  J và x, y  S \ J , thế thì xS 1  S  yS 1 nên từ giả


-23-

thiết suy ra x  y . Như vậy trong trường hợp thứ hai, S \ J chỉ chứa một phần
tử và từ Định lý 2.1.7, bằng cách lấy A  J ta nhận được card S  2. □

2.2. Nửa nhóm vành với các nửa nhóm con tạo thành một
chuỗi.
Năm 2009, G. Oman đã đặc trưng được các nửa nhóm vành với các nửa
nhóm con của nó tạo thành chuỗi theo quan hệ thứ tự bao hàm. Tuy nhiên,
trong phép chứng minh đó, G. Oman đã phải sử dụng một kết quả không tầm
thường khác, đó là Định lý Mihailescu về giả thuyết Catalan (xem [8]). Chú ý
rằng nửa nhóm với các nửa nhóm con của nó tạo thành chuỗi là các nửa nhóm
chuỗi phải và như vậy Định lý 2.1.4 được áp dụng cho nửa nhóm này. Sau
đây chúng tôi trình bày một chứng minh hoàn chỉnh và sơ cấp kết quả của
Oman.

2.2.1. Định nghĩa. Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm với các nửa nhóm
con tạo thành chuỗi nếu thỏa mãn điều kiện: với hai nửa nhóm con tùy
ý A và B của S đều có A  B hoặc B  A .
Giả sử S là nửa nhóm và Sub (S ) là tập hợp các nửa nhóm con của S.
Khi đó trên Sub (S ) xác định quan hệ

 cho bởi A  B nếu và chỉ nếu

A  B với A, B Sub (S ) . Thế thì Sub (S ) là một tập hợp được sắp thứ tự bộ
phận bởi quan hệ

 xác định như trên. Hơn nữa, ( Sub (S ),  ) được sắp

thứ tự toàn phần nếu và chỉ nếu S là nửa nhóm với các nửa nhóm con tạo
thành chuỗi.

2.2.2. Định lý. Một nửa nhóm S là một nửa nhóm vành với các nửa nhóm
con tạo thành chuỗi nếu và chỉ nếu một trong các điều kiện sau đây được thỏa
mãn: