Vận dụng một số quy luật triết học duy vật biện chứng vào dạy học toán 8 góp phần bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh Trung học cơ sở

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC VINH

TRỊNH QUANG TRUNG

VẬN DỤNG MỘT SỐ QUY LUẬT TRIẾT HỌC
DUY VẬT BIỆN CHỨNG VÀO DẠY HỌC TOÁN 8
GÓP PHẦN BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC
GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC


2
MỤC LỤC
Trang
1.1. Một số quy luật triết học duy vật biện chứng............................................9
1.2. Năng lực và năng lực giải toán................................................................25


3
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phương pháp luận của duy vật biện chứng đóng vai trò hết sức quan
trọng và cần thiết trong dạy học Toán, đặc biệt là trong điều kiện hiện nay.
Phải kết hợp tư duy lôgic và tư duy biện chứng, cả tư duy hình tượng cũng
như tư duy khác và nhiều phẩm chất khác của con người, để đáp ứng nhu cầu
phát triển của xã hội. Nắm được phương pháp luận của phép duy vật biện
chứng, giúp cho học sinh hiểu sâu được cội nguồn của Toán học, từ đó vận

dụng tri thức khoa học rèn luyện ý chí, năng lực sáng tạo, độc lập và phát hiện
vấn đề trong cuộc sống.
Trong thời đại hiện nay khoa học phát triển như vũ bão, người giáo
viên cần phải ngày càng đổi mới trong cách dạy, học sinh cần đổi mới trong
cách học mới đáp ứng được xu thế đó. Phải biết vận dụng được những quy
luật cũng như các cặp phạm trù của phép duy vật biện chứng vào giảng dạy
mới có thể đáp ứng những nhu cầu cho học sinh trong thời đại ngày nay.
1.1. Nghị quyết Trung ương 2 khóa VIII khẳng định: “... Phải đổi mới
phương pháp Giáo dục − Đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn
luyện thành nếp tư duy sáng tạo cho người học, từng bước áp dụng các
phương pháp tiên tiến, hiện đại vào quá trình dạy học ...”.
Đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ IX của Đảng khẳng định lại: “... Tiếp
tục nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, đổi mới nội dung, phương pháp
dạy và học...”.
Luật Giáo dục nước Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam (năm 1998)
quy định: “... Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự
giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp
học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng
kiến thức vào thực tiễn ...”.


4
Như vậy, đổi mới phương pháp dạy học nói chung, phương pháp dạy
học Toán nói riêng, đặc biệt trong điều kiện hiện nay là hoàn toàn cần thiết,
đó là vấn đề mà Đảng, Nhà nước và ngành Giáo dục đặc biệt quan tâm, nhằm
phát huy cao độ tư duy tích cực và sáng tạo, năng lực hoạt động nhận thức
độc lập, năng lực suy luận biện chứng cho học sinh để tạo nên những con
người mới năng động, sáng tạo, tự chủ, kỉ luật nghiêm, ...
1.2. Vận dụng phương pháp luận duy vật biện chứng trong dạy học
Toán là một vấn đề được rất nhiều nhà khoa học quan tâm. Khi bàn về vấn đề

này GS-TS. Nguyễn Cảnh Toàn có các tác phẩm “Tập cho học sinh giỏi làm
quen dần với toán”, “Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc học, dạy,
nghiên cứu toán học” được dùng tham khảo cho giáo viên, học viên cao học,
nghiên cứu sinh. Tác giả GS-TS. Đào Tam quan tâm với khía cạnh “Một số
cơ sở phương pháp luận của toán và việc vận dụng chúng trong dạy học
Toán ở trường phổ thông ” trong Nghiên cứu giáo dục số 09/1998. TS. Phạm
Đình Khương cũng quan tâm đến vấn đề này qua bài báo “Vận dụng cặp
phạm trù nội dung hình thức để hướng dẫn học sinh tìm lời giải trong hoạt
động giải toán”, tạp chí thông tin khoa học giáo dục số 106/2004...
1.3. Trong thực tế, cách dạy học phổ biến hiện nay là giáo viên với tư
cách là người điều khiển đưa ra kiến thức (khái niệm, định lí ) rồi giải thích,
chứng minh, sau đó đưa ra một số bài tập áp dụng, làm cho học sinh cố gắng
tiếp thu nội dung khái niệm, định lí, hiểu chứng minh định lí và cố gắng vận
dụng công thức để tính toán... Rõ ràng với cách dạy và cách học như vậy thì
bản thân giáo viên cũng chưa thấy thoả mãn bài dạy của mình, học sinh cũng
thấy chưa hiểu được cội nguồn của vấn đề mà chỉ học một cách máy móc,
theo kiểu “thầy đọc trò ghi” làm cho các em ít có cơ hội phát triển tư duy
sáng tạo, ít có cơ hội khai thác tìm tòi ra được cái mới.


5
1.4. Hiện nay việc đổi mới phương pháp dạy học ở trường phổ thông
trung học là phải tạo cho học sinh làm chủ được khả năng tiếp thu, chủ động
trong học tập. Vì vậy để rèn luyện tư duy toán học, khả năng tìm tòi ra cái
mới thì việc vận dụng một số quy luật triết học duy vật biện chứng của tư duy
toán học, đóng vai trò hết sức quan trọng trong dạy học Toán. Việc vận dụng
một số quy luật triết học duy vật biện chứng trong quá trình dạy học cho học
sinh là một quá trình lâu dài, kéo dài suốt cả quá trình học tập, với nhiều hình
thức phong phú và mức độ từ thấp đến cao, từ đơn giản đến phức tạp bằng
việc vận dụng các quy luật và các cặp phạm trù. Nâng cao được chất lượng dạy

học là vấn đề cấp bách trong giai đoạn hiện nay. Vì vậy, tôi chọn đề tài của
mình là: “Vận dụng một số quy luật triết học duy vật biện chứng vào dạy
học Toán 8 góp phần bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh trung học
cơ sở”
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận văn là xác định cơ sở lí luận và thực tiễn
làm căn cứ vận dụng quan một số quy luật triết học duy vật biện chứng góp
phần bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh trung học cơ sở thông qua
dạy học Toán 8.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là học sinh lớp 8 trường trung học cơ sở Kim
Đồng, Quận 5, Thành phố Hồ Chí Minh.
4. Giả thuyết khoa học
Trong dạy học giải bài tập toán 8 ở trường trung học cơ sở nếu giáo
viên quan tâm đến việc vận dụng một số quy luật triết học duy vật biện chứng
nhằm khai thác các dạng bài toán và thiết kế, tổ chức các hoạt động theo các
định hướng thích hợp thì sẽ bồi dưỡng được năng lực giải toán cho học sinh,
thông qua đó góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán.


6
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu vận dụng một số quy luật triết học duy vật biện chứng
trong dạy học môn Toán.
5.2. Xác định các yếu tố bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh
trung học cơ sở.
5.3. Đề xuất các định hướng thiết kế, xây dựng một hệ thống bài tập
của chương trình toán 8, nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh
trung học cơ sở.
5.4. Thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng các đề xuất.

6. Phương pháp nghiên cứu
6.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu
về các vấn đề có liên quan đến đề tài luận văn.
6.2. Phương pháp điều tra, khảo sát thực tiễn.
6.3. Tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm của đồng nghiệp và
bản thân trong quá trình dạy học Toán, đặc biệt là các kinh nghiệm của những
giáo viên am hiểu vấn đề nghiên cứu của đề tài.
6.4. Phương pháp thực nghiệm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem
xét tính khả thi và hiệu quả của các quan điểm chủ đạo đã đề xuất.
7. Dự kiến đóng góp của luận văn
7.1. Luận văn góp phần vào việc chỉ ra cơ sở lý luận và thực tiễn của
việc vận dụng một số quy luật triết học duy vật biện chứng nhằm bồi dưỡng
một số năng lực giải toán cho học sinh trung học cơ sở vào dạy học Toán 8.
7.2. Luận văn đề xuất một số biện pháp bồi dưỡng năng lực giải toán cho
học sinh trung học cơ sở vào dạy học Toán lớp 8.
8. Dự kiến cấu trúc của luận văn


7
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn
có 3 chương.
Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Một số quy luật triết học duy vật biện chứng
1.1.1. Quy luật chuyển hóa từ những thay đổi về lượng thành những
thay đổi về chất và ngược lại
1.1.2. Quy luật thống nhất và đấu tranh của các mặt đối lập
1.1.3. Quy luật phủ định của phủ định
1.2. Năng lực và năng lực giải toán
1.2.1. Năng lực
1.2.2. Năng lực giải toán và cấu trúc năng lực toán học

1.2.3. Biểu hiện năng lực giải toán của học sinh Trung học cơ sở
1.3. Thực trạng của việc bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh
Trung học cơ sở.
1.4. Kết luận chương 1
Chương 2: VẬN DỤNG MỘT SỐ QUY LUẬT TRIẾT HỌC DUY VẬT
BIỆN CHỨNG VÀO DẠY HỌC TOÁN 8 GÓP PHẦN BỒI DƯỠNG
NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ
2.1. Hệ thống bài tập trong sách giáo khoa Toán 8
2.2. Một số biện pháp bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh
trung học cơ sở.
2.2.1. Định hướng xây dựng các biện pháp
2.2.2. Một số biện pháp bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh
trung học cơ sở thông qua dạy học Toán 8
2.2.2.1. Biện pháp 1: Rèn luyện cho học sinh kỹ năng sử dụng các thao
tác trí tuệ chung như : phân tích, tổng hợp, đặc biêt hóa, khái quát hóa, tương
tự hóa…


8
2.2.2.2. Biện pháp 2: Tập luyện cho học sinh xem xét đối tượng toán
học một cách khách quan để nhận thức rõ điều kiện tồn tại và bản chất của
đối tượng
2.2.2.3. Biện pháp 3: Tập luyện cho học sinh xem xét đối tượng toán
học trong mối liên hệ với các đối tượng toán học khác có liên quan.
2.2.2.4. Biện pháp 4: Tập luyện cho học sinh xem xét đối tượng toán
học dưới nhiều góc độ khác nhau từ đó tìm ra các cách giải khác nhau của
một bài toán
2.2.2.5. Biện pháp 5: Tập luyện cho học sinh xem xét đối tượng toán
học trong quá trình phát triển, từ đó có khả năng khai thác và phát triển bài
toán tạo ra các bài toán mới và giải chúng

2.2.2.6. Biện pháp 6: Tập luyện cho học sinh phát hiện và sửa chữa các
sai lầm trong lời giải bài toán
2.2.2.7. Biện pháp 7: Bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh theo các
mô hình
2.3. Kết luận chương 3
Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
3.1. Mục đích thực nghiệm
3.2. Quá trình thực nghiệm
3.2.1. Tổ chức thực nghiệm
3.2.2.Nội dung thực nghiệm
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm
3.3.1. Nội dung đề kiểm tra
3.3.2. Phân tích sơ bộ về đề kiểm tra
3.3.3. Phân tích kết quả thực nghiệm sư phạm
3.4. Kết luận chung về thực nghiệm
KẾT LUẬN


9

Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Một số quy luật triết học duy vật biện chứng
1.1.1. Quy luật chuyển hóa từ những thay đổi về lượng thành
những thay đổi về chất và ngược lại
1.1.1.1. Trên cơ sở khái quát sự phát triển của mọi sự vật, hiện
tượng tồn tại trong hiện thực, quan điểm duy vật biện chứng khẳng định,
phát triển là một phạm trù triết học dùng để chỉ quá trình vận động tiến
lên từ thấp đến cao, từ đơn giản đến phức tạp, từ kém hoàn thiện đến hoàn
thiện hơn của sự vật.

Theo quan điểm này, phát triển không bao quát toàn bộ sự vận động nói
chung. Nó chỉ khái quát xu hướng chung của sự vận động - xu hướng vận động
đi lên của sự vật, sự vật mới ra đời thay thế cho sự vật cũ. Sự phát triển chỉ là
một trường hợp đặc biệt của sự vận động. Trong quá trình phát triển của mình
trong sự vật sẽ hình thành dần dần những quy định mới cao hơn về chất, sẽ làm
thay đổi mối liên hệ, cơ cấu, phương thức tồn tại và vận động, chức năng vốn
có theo chiều hướng ngày càng hoàn thiện hơn.
Chẳng hạn, nếu ta nhìn vào quá trình phát triển của toán học có thể chia
lịch sử của nó làm ba thời kỳ lớn: Thời kỳ cổ đại hay toán học sơ cấp, toán
học về các đại lượng bất biến (từ thế kỷ thứ V trước công nguyên đến thế kỷ
XVII). Thời kỳ cổ điển hay toán học về các đại lượng biến đổi (từ thế kỷ
XVIII đến cuối thế kỷ XIX). Thời kỳ hiện đại hay toán học về các vấn đề cấu
trúc (từ cuối thế kỷ XIX đến nay). Sự kế tiếp của mỗi thời kỳ tuân theo một
logic nhất định phản ánh tiến trình phát triển nội tại của toán học và của
những nhân tố bên ngoài, trong đó có các quan điểm thế giới quan khác nhau,
tác động vào nó. Cũng như các tri thức khác, sự phát triển của tri thức toán


10
học mang tính biện chứng sâu sắc. Nó là quá trình vừa kế thừa vừa đổi mới về
chất giữa các thời kỳ. Vì vậy các tri thức toán học ở thời kỳ sau chung hơn,
sâu sắc hơn, đa dạng hơn thời kỳ trước và bao quát nó như trường hợp riêng.
1.1.1.2. Theo quan điểm của chủ nghĩa duy vật biện chứng, phát triển
cũng có ba tính chất cơ bản: Tính khách quan, tính phổ biến và tính đa dạng,
phong phú.
- Sự phát triển bao giờ cũng mang tính khách quan. Bởi vì, nguồn gốc
của sự phát triển nằm ngay trong bản thân sự vật. Đó là quá trình giải quyết
liên tục những mâu thuẫn nảy sinh trong sự tồn tại và vận động của sự vật.
- Sự phát triển mang tính phổ biến. Tính phổ biến của sự phát triển
được hiểu là nó diễn ra ở mọi lĩnh vực: tự nhiên, xã hội và tư duy; ở bất cứ

sự vật, hiện tượng nào của thế giới khách quan. Ngay cả các khái niệm, các
phạm trù phản ánh hiện thực cũng nằm trong quá trình vận động và phát
triển; chỉ trên cơ sở của sự phát triển, mọi hình thức của tư duy, nhất là các
khái niệm và các phạm trù, mới có thể phản ánh đúng đắn hiện thực luôn
vận động và phát triển.
- Sự phát triển còn có tính đa dạng, phong phú. Phát triển là khuynh
hướng chung của mọi sự vật, mọi hiện tượng, song mỗi sự vật, mỗi hiện
tượng lại có quá trình phát triển không giống nhau. Tồn tại ở không gian
khác nhau, ở thời gian khác nhau, sự vật phát triển sẽ khác nhau. Đồng thời
trong quá trình phát triển của mình, sự vật còn chịu sự tác động của các sự
vật, hiện tượng khác, của rất nhiều yếu tố, điều kiện. Sự tác động đó có thể
thúc đẩy hoặc kìm hãm sự phát triển của sự vật, đôi khi có thể làm thay đổi
chiều hướng phát triển của sự vật, thậm chí làm cho sự vật thụt lùi.
Chẳng hạn, nói chung, ngày nay trẻ em phát triển nhanh hơn cả về thể chất
lẫn trí tuệ so với trẻ em ở các thế hệ trước do chúng được thừa hưởng những
thành quả, những điều kiện thuận lợi mà xã hội mang lại.


11
1.1.1.3. Nguyên lý về sự phát triển cho thấy trong hoạt động nhận thức
và hoạt động thực tiễn con người phải tôn trọng quan điểm phát triển.
Quan điểm phát triển đòi hỏi khi nhận thức, khi giải quyết một vấn đề
nào đó con người phải đặt chúng ở trạng thái động, nằm trong khuynh hướng
chung là phát triển.
Quan điểm phát triển đòi hỏi không chỉ nắm bắt những cái hiện đang tồn
tại ở sự vật, mà còn phải thấy rõ khuynh hướng phát triển trong tương lai của
chúng, phải thấy được những biến đổi đi lên cũng như những biến đổi có tính
chất thụt lùi. Song điều cơ bản là phải khái quát thành quy luật vạch ra khuynh
hướng biến đổi chính của sự vật.
Xem xét sự vật theo quan điểm phát triển còn phải biết phân chia quá

trình phát triển của sự vật ấy thành những giai đoạn. Trên cơ sở ấy để tìm ra
phương pháp nhận thức và cách tác động phù hợp nhằm thúc đẩy sự vật tiến
triển nhanh hơn hoặc kìm hãm sự phát triển của nó, tùy theo sự phát triển đó
có lợi hay có hại đối với đời sống của con người. Quan điểm phát triển góp
phần khắc phục tư tưởng bảo thủ, trì trệ, định kiến trong hoạt động nhận thức
và hoạt động thực tiễn.
Ví dụ 1: Trong quá trình dạy học chủ đề hàm số ở trường trung học, cho dù
giáo viên dạy toán ở cấp nào lớp nào cũng phải nắm vững quá trình lịch sử
phát triển của phạm trù này. Đồng thời giáo viên nắm vững quá trình phát
triển của dạy học chủ đề này ở trường trung học thì mới dạy có hiệu quả khái
niệm hàm số. Chẳng hạn, về tổng quan có thể coi sự phát triển của chủ đề
hàm số theo hai giai đoạn: : “Giai đoạn ngầm ẩn”(trước lớp 7) và “giai đoạn
tường minh”(từ lớp 7 đến lớp 12). Tại sao lại lấy lớp 7 trung học cơ sở làm
mốc? Vì ở lớp 7 mới định nghĩa hàm số một cách tường minh. Sách giáo khoa
toán 7 trình bày định nghĩa về khái niệm hàm số bằng con đường quy nạp,
xuất phát từ những ví dụ cụ thể về hàm số, rút ra những thuộc tính bản chất


12
của khái niệm, sau đó định nghĩa khái niệm và củng cố khái niệm.
Định nghĩa khái niệm hàm số trang 63: “Nếu đại lượng y phụ thuộc vào
đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ
một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x được gọi là
biến số”.
Cách diễn đạt của định nghĩa này tương tự với cách diễn đạt của
Dirichlet trong định nghĩa hàm số ông đưa ra năm 1837. Hàm số ở đây được
trình bày theo quan điểm: coi hàm số như một khái niệm toán học mô tả sự
phụ thuộc lẫn nhau giữa hai đại lượng biến thiên. Định nghĩa này làm ẩn đi
đặc trưng biến thiên của khái niệm hàm số, chỉ đề cập tới đặc trưng phụ thuộc
và tương ứng. Ở đây, sách giáo khoa chưa nhắc tới thuật ngữ “biến thiên” và

đặc trưng biến thiên của hàm số. Có lẽ để học sinh tiếp thu một cách tường
minh đặc trưng này ngay sau khi vừa làm quen với khái niệm hàm số là một
việc khó, nó đòi hỏi ở một mức độ cao hơn khi học sinh đã nắm được những
vấn đề cơ bản về hàm số. Vì vậy, ở đây sách giáo khoa chưa đề cập tới sự
đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Ta thấy khái niệm hàm số ở đây được định nghĩa tương tự như định
nghĩa của các nhà toán học thế kỉ XIX chứ không dùng định nghĩa chặt chẽ
nhờ lý thuyết tập hợp như trước đây. Sách giáo khoa Đại Số 7 – Nhà xuất
bản Giáo dục năm 2001 trình bày định nghĩa về khái niệm hàm số theo quan
điểm của lý thuyết tập hợp, coi hàm số là một quy tắc tương ứng giữa hai
phân tử của hai tập hợp số.
Định nghĩa: (Sách giáo khoa Đại Số 7 – Nhà xuất bản Giáo dục năm
2001, trang 73) “Giả sử X và Y là hai tập hợp số. Một hàm số f từ X đến Y là
quy tắc cho tương ứng mỗi giá trị x ∈ X một và chỉ một giá trị y ∈ Y, mà ta kí
hiệu là y = f(x). Người ta viết: f: X → Y ; x 
với f(x)).

y = f(x) (đọc là x tương ứng


13
Theo cách diễn đạt này thì định nghĩa khái niệm hàm số chỉ đề cập đến
đặc trưng tương ứng và ẩn đi đặc trưng biến thiên và đặc trưng phụ thuộc của
hàm số. Nếu định nghĩa hàm số bằng thuật ngữ “ quy tắc tương ứng” có thể
gây cho học sinh khó hiểu vì học sinh chưa biết khái niệm “quy tắc tương
ứng” là gì mà việc trình bày định nghĩa theo cách đó cũng khá phức tạp đối
với học sinh trung học cơ sở mặc dù cách định nghĩa đó là chặt chẽ và chính
xác, tương tự cách định nghĩa của các nhà toán học thế kỉ XX.
Như vậy, cách định nghĩa về khái niệm hàm số trong sách giáo khoa
Toán 7 hiện hành là đơn giản, dễ hiểu đối với học sinh trung học cơ sở. Qua

đó, học sinh dễ dàng nắm được các thuộc tính bản chất của khái niệm hàm số
đó là sự tương ứng và sự phụ thuộc.
Ở đây, sách giáo khoa chưa đưa vào các khái niệm tập xác định, tập giá
trị của hàm số, chỉ nhắc tới biến số,…Và sách giáo khoa cũng không trình bày
tường minh các cách cho hàm số mà chỉ nêu lên chú ý: Hàm số có thể được
cho bằng bảng; bằng công thức.
Với tư cách là những nguyên tắc phương pháp luận, quan điểm toàn
diện, quan điểm lịch sử - cụ thể, quan điểm phát triển góp phần định hướng,
chỉ đạo hoạt động nhận thức và hoạt động thực tiễn cải tạo hiện thực, cải tạo
chính bản thân con người. Song để thực hiện được chúng, mỗi người cần nắm
chắc cơ sở lý luận của chúng - nguyên lý về mối liên hệ phổ biến và nguyên
lý về sự phát triển, biết vận dụng chúng một cách sáng tạo trong hoạt động
của mình.
1.1.1.4. Nguyên lý về sự phát triển cho chúng ta thấy rằng sự phát triển
một lý thuyết toán học hay cả lĩnh vực toán học nói chung là một tiến trình
khách quan, không phụ thuộc ý muốn cá nhân nào. Đó là quá trình giải quyết
những mâu thuẫn nảy sinh trong bản thân nội bộ toán học và giải quyết những
nhu cầu của thực tiễn.


14
Nguyên lý về sự phát triển đòi hỏi chúng ta phải có quan điểm lịch sử
cụ thể trước các vấn đề toán học. Chẳng hạn, nhiều học sinh sau khi được đọc
nội dung và cách chứng minh định lý Pythagore, định lý về tổng ba góc trong
của một tam giác thì thấy quá đơn giản và coi thường nó. Nhưng kì thực, việc
phát minh ra chúng ở cái thời đại của ông quả thật là vĩ đại và đã được áp
dụng đến tận ngày nay.
Ví dụ 2: Sự tự vận động và phát triển đi đến sự hoàn chỉnh của giá trị lượng
giác (tỉ số lượng giác) của một góc bất kì.
- Giá trị lượng giác của góc nhọn.

- Cho góc nhọn α . Vẽ một tam giác vuông có một góc nhọn α . Ta có
thể vẽ như sau: Vẽ góc α , từ một điểm bất kì B trên một cạnh của góc α kẻ
đường vuông góc với cạnh kia, xác định cạnh đối và cạnh kề của góc α .
Nhận xét mở đầu:
Nêu được tính chất cơ bản:
Các tỉ số lượng giác của góc nhọn không phụ thuộc vào vị trí điểm B
B’

mà phụ thuộc vào độ lớn của góc.

B

Chẳng hạn, lấy điểm bất kì B’ ≠ B trên
Cy thì ta có:
CA CA' BA B ' A' BA B ' A'
=
=
=
,
,
.
CB CB' CB CB ' CA CA'

C

Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được
Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyềnđược
gọi là côsin của góc α , kí hiệu cos α ;
Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi
là tang của góc α , kí hiệu tg α (hay tan α );

C

α

A’ x

A

Hình 1.1
cạnh huyền

∗ Định nghĩa

gọi là sin của góc α , kí hiệu sin α ;

α

y

B
cạnh đối

cạnh kề
Hình 1.2

A


15

Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc α , kí hiệu
cotg α (hay cot α ). Như vậy; sin α =

AB
AC
AB
AC
; cos α =
; tan α =
; cot α =
.
BC
BC
AC
AB

* Hạn chế: Các tỉ số lượng giác của góc nhọn được định nghĩa trong tam
giác vuông, dựa vào góc Hình học, đơn vị đo là độ, trong phạm vi góc:
00 < α < 900 và 0 < sin α < 1, 0 < cos α < 1.
- Giá trị lượng giác của một góc bất kì.
∗ Định nghĩa: Với mỗi góc α (00 ≤ α ≤ 1800), ta xác định điểm M trên
ˆ =α .
nửa đường tròn đơn vị sao cho MOx

Giả sử điểm M có tọa độ (x; y). Khi đó:
Tung độ y của điểm M gọi là sin của
góc α , kí hiệu là sin α ;
Hoành độ x của điểm M gọi là côsin
của góc α , kí hiệu là cos α ;
Tỉ số

y
(với x ≠ 0) gọi là tang của góc
x

Hình 1.3

α , kí hiệu là tan α ;
x

Tỉ số y (với y ≠ 0) gọi là côtang của góc α , kí hiệu là cot α .
Như vậy: Các số sin α , cos α , tan α , cot α gọi là các giá trị lượng giác
của góc α .
Khi đó: sin α = y; cos α = x; tan α =

x
sin α
cos α
y
= ; cot α =
= y.
x
cos α
sin α

Các tỉ số lượng giác của góc bất kì được định nghĩa trên nửa đường tròn
đơn vị, trong hệ tọa độ Oxy, dựa vào góc HH, đơn vị đo là độ, trong phạm vi góc
(00 ≤ α ≤ 1800) và −1 ≤ cos α ≤ 1, 0 ≤ sin α ≤ 1.
∗ Sự phát triển

16
- Định nghĩa trong tam giác vuông phát triển thành định nghĩa trên nửa
đường tròn đơn vị trong hệ tọa độ Oxy.
- Phạm vi góc được mở rộng từ 00 < α < 900 thành 00 ≤ α ≤ 1800.
- Giá trị của sin α và cos α được mở rộng:
0 < sin α < 1 thành 0 ≤ sin α ≤ 1; 0< cos α < 1 thành −1 ≤ cos α ≤ 1.
∗ Hạn chế

- Dựa vào góc HH chưa phù hợp với góc quay trong thực tế.
- Đơn vị đo là độ chưa thể hiện tính thống nhất với định nghĩa hàm số
mà Đại số 10 đưa ra.
- Phạm vi góc trong giới hạn 00 ≤ α ≤ 1800.
- Giá trị của sin: 0 ≤ sin α ≤ 1.
- Định nghĩa mới chỉ trên nửa đường tròn đơn vị.
- Các hàm số lượng giác.
Khái niệm các hàm số lượng giác là sự phát triển đi tới hoàn chỉnh của
khái niệm tỉ số lượng giác của một góc bất kì.
- Các giá trị lượng giác của cung α :
Với mỗi số thực α , cung lượng giác có số đo α được biểu diễn bởi
một điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho sđ AM = α .
∗ Định nghĩa: Tung độ y của điểm M gọi là sin của α và kí hiệu là sin

α : sin α = y;

Hoành độ x của điểm M gọi là côsin
M

của α và kí hiệu là cos α : cos α = x;
tan α =

sin α
(cos α ≠ 0);
cos α

cot α =

cos α
(sin α ≠ 0).
sin α

A’
-1

y
B 1
y

α

x O

B’ -1
Hình 1.4

A
1

x

17
-

Các hàm số lượng giác của biến số thực:

• Hàm số sin:

sin:

R→ R
x  y = sinx.

• Hàm số côsin:

cos: R → R
x  y = cosx.
• Hàm số tan:

Gọi D1 = {x∈ R / x ≠
tan:

π
+ kπ , k ∈ Z}. Ta có:
2

D1 → R
x  y = tanx.

• Hàm số cot:

Gọi D2 = {x∈ R / x ≠ kπ , k ∈ Z}. Ta có:
cot:

D2 → R
x  y = cotx.

Các giá trị lượng giác của cung α được định nghĩa trên đường tròn
lượng giác trong hệ tọa độ Oxy, dựa vào góc (cung) lượng giác, đơn vị đo là
radian, phạm vi góc bất kì và: − 1 ≤ sin α ≤ 1, − 1 ≤ cos α ≤ 1.
∗ Sự phát triển: Định nghĩa trên nửa đường tròn đơn vị thành định

nghĩa trên đường tròn lượng giác.
Từ góc Hình học thành góc (cung) lượng giác.
Phạm vi góc từ 00 ≤ α ≤ 1800 thành góc α bất kì, kể cả góc âm.
Đơn vị đo từ độ sang radian.
Giá trị của sin α được mở rộng: 0 ≤ sin α ≤ 1 thành − 1 ≤ sin α ≤ 1.
∗ Nhu cầu của sự phát triển


18
- Nhu cầu thực tiễn
Từ định nghĩa góc Hình học thích hợp trong Hình học dẫn đến định
nghĩa góc lượng giác phù hợp với thực tế: Góc quay.
- Nhu cầu khoa học
• Đối số của hàm số lượng giác là số thực như các hàm số khác, thể

hiện tính thống nhất.
• Dùng số đo radian để thuận tiện cho việc nghiên cứu lý thuyết, làm

cho các công thức tính toán đơn giản hơn.
Chẳng hạn:
Đơn vị đo là độ
Đơn vị đo là radian

0
0

30
45
∏/6
∏/4
Bảng 1.1

60
∏/3

90
∏/2

∗ Sự phát triển có tính “kế thừa”

- Khi 00 ≤ α ≤ 1800 thì định nghĩa: Các giá trị lượng giác của cung α (Đại
số và Giải tích 11) trùng với định nghĩa: Giá trị lượng giác của một góc bất kì
(Hình học 10).
- Khi 00 < α < 900 thì định nghĩa: Giá trị lượng giác của một góc bất kì
(Hình học 10) trùng với định nghĩa: Giá trị lượng giác của góc nhọn (Hình
học 9).
Thật vậy, chẳng hạn:

Hình 1.5


19
sin α = y: tung độ của điểm M (Hình học10)
sin α =

y MH
=
(Hình học 9).
1 OM

Dạy học, theo đúng chức năng của nó là dạy học phát triển. Muốn vậy,
nó không được đi sau sự phát triển, phụ họa cho sự phát triển. Dạy học phải đi
trước sự phát triển, kéo theo sự phát triển. Tức là dạy học không hướng vào
trình độ phát triển hiện thời mà phải tác động vào vùng phát triển gần nhất
trong trí tuệ của học sinh
1.1.2. Quy luật thống nhất và đấu tranh của các mặt đối lập
Thực tiễn cuộc sống là vô cùng đa dạng và đặt ra vô số vấn đề cần giải
quyết mà những kiến thức toán học ở từng thời kỳ chưa cho phép giải quyết
ngay được. Mâu thuẫn giữa lý luận toán học và thực tiễn cuộc sống là động
lực thúc đẩy toán học phát triển để đáp ứng nhu cầu của cuộc sống. Vô số
mẩu chuyện lịch sử có thể chứng minh điều này. Ví dụ, nhu cầu phân chia lại
ruộng đất sau mỗi trận lũ của sông Nil (Ai Cập) đã thúc đẩy hình học phát
triển; nhu cầu so sánh các tập hợp như tập hợp người lao động với tập hợp các
công cụ lao động đã làm nảy sinh ra phép đếm; nhu cầu nghiên cứu cơ học đã
làm nảy sinh ra phép tính vi phân; nhu cầu nghiên cứu đỏ đen trong canh bạc
đã làm nảy sinh bộ môn xác suất…
Trong một số trường hợp, động lực thúc đẩy cho lý luận toán học phát
triển là mâu thuẫn trong nội bộ toán học.

Sự ra đời của hình học Lobasepxki xuất phát từ băn khoăn của
Lobasepxki về việc tại sao loài người trải qua hơn 2000 năm đeo đuổi việc
chứng minh tiên đề V của Euclide mà vẫn thất bại nên ông có nghi vấn: “Hay
là tiên đề Euclide không phải là hệ quả logic của các tiên đề khác?”. Nghiên
cứu của ông trước hết là nhằm sáng tỏ nghi vấn trên.


20
Số ảo cũng ra đời từ mối băn khoăn tại sao những phương trình bậc 3
có 3 nghiệm rõ ràng như x3 − x = 0 nhưng nếu giải bằng phương pháp
Cacdano lại dẫn đến một phương trình bậc 2 vô nghiệm thực x 2 +

1
=0.
27

Nếu cứ theo logic ấy, dựa theo quy luật mâu thuẫn, có thể dự đoán rằng
rồi sẽ có những lý thuyết nảy sinh từ mối băn khoăn rằng tại sao phương trình
Diophante x n + y n = z n lại không có nghiệm khi n > 2 ?
Như vậy là, quy luật mâu thuẫn, hạt nhân của phép biện chứng đã thể
hiện tính đúng đắn của nó ngay trong toán học. Mâu thuẫn chính là nguồn
gốc, động lực phát triển toán học.
Quy luật mâu thuẫn cũng đã góp phần thay đổi thế giới quan và định
hướng phương pháp luận cho các nhà toán học. Họ thấy rõ sự thống nhất biện
chứng giữa những khuynh hướng phát triển khoa học trái ngược nhau (chẳng
hạn đặc biệt hóa và khái quát hoá), những trường hợp khác nhau (chẳng hạn
n ≤ 4 và n > 4 )… để tìm ra con đường giải quyết mâu thuẫn, thúc đẩy sự phát

triển tiến lên của toán học.
Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn thông qua những bài báo và công trình

nghiên cứu khoa học của mình đều thừa nhận: chính tư duy biện chứng đã
giúp ông rất nhiều trong nghiên cứu toán học và ngược lại các kết quả nghiên
cứu cũng đã củng cố rất nhiều thế giới quan duy vật biện chứng ở ông.
Lịch sử toán học cũng đã chứng tỏ trước Lobasepxki có nhiều người
tìm cách chứng minh tiên đề Euclide bằng phản chứng. Họ phủ nhận tiên đề
Euclide với hi vọng sẽ tìm ra mâu thuẫn. Nhưng họ không tìm ra mâu thuẫn
logic mà chỉ phát hiện ra những sự kiện kỳ quái trái với trực giác và rút lui.
Trái lại, Lobasepxki có những nhận thức về không gian nên cho rằng những
điều kỳ quái đó không tồn tại trong cuộc sống đời thường nhưng có thể tồn tại
trong vũ trụ bao la đã chứng minh sau này. Abel chứng minh sự không giải


21
được bằng căn thức của các phương trình đại số bậc n > 4 . Galois không chịu
dừng ở đó nên cuối cùng đã đưa ra tiêu chuẩn khiến ta thấy rõ mâu thuẫn mà
thống nhất giữa 2 trường hợp n ≤ 4 và n > 4 và kết quả là lý thuyết Galois ra
đời. Có thể nói, quy luật mâu thuẫn mở ra một thế giới quan và phương pháp
luận cho các nhà toán học, tạo cho họ niềm tin vượt qua những khó khăn lớn,
kiên trì đeo đuổi sự nghiệp nghiên cứu của mình và cuối cùng đạt được những
kết quả thật là vĩ đại. Như vậy, quy luật thống nhất và đấu tranh giữa các mặt
đối lập được coi là hạt nhân của phép biện chứng. Nó vạch rõ nguồn gốc,
động lực của sự phát triển toán học.
Vận dụng quy luật này vào trong dạy học toán ở phổ thông thì người
giáo viên toán cần phải: Làm cho học sinh có khả năng xem xét các đối tượng
Toán học trong sự mâu thuẫn và thống nhất
- Ở đây tư duy biện chứng nhằm giúp học sinh cảm nhận quy luật
"Phân đôi cái thống nhất" của tư duy biện chứng, tránh được những sai lầm
của cách xem xét phiến diện.
- Trong dạy học Toán giúp hoc sinh phát hiện vấn đề học toán một
cách chủ động sáng tạo, làm cho học sinh hiểu sâu sắc hơn đối tượng toán

đang học.
Ví dụ 3: Tam giác và tam giác vuông
Xét tính chất sau của tam giác vuông:
Tính chất 1: Trong tam giác vuông, tổng các bình phương côsin các góc
bằng 1: cos2A + cos2B + cos2C = 1
Chứng minh:
Giả sử tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Pitago ta có:
a2 = b2 + c2 (1)
Theo định lí hàm số Sin trong tam giác ta có:

a
b
c
=
=
= 2R
SinA SinB SinC


22
Suy ra: a= 2RsinA, b=2RsinB, c= 2RsinC

(2)

Thế (2) vào (10 ta có: 4R 2sin2A = 4R2sin2B+ 4R2sin2C,
Suy ra: sin 2A = sin2B + sin2C, mà: sin2A= sin2900=1
suy ra: sin2A + sin2B + sin2C = 2

(3)

Mặt khác, ta có: sin 2A+cos2A+sin2B+cos2B+sin2C+cos2C = 3

(4)

Từ (3) và (4) suy ra: cos 2A + cos2B + cos2C =1
Như vậy, một tam giác không phải là tam giác vuông thì không có tính
chất này.
Thông thường với cách dạy và cách học quen thuộc thì câu nói này
hoàn toàn đúng, nên chẳng có vấn đề gì phải bàn thêm. Tuy nhiên:
* Phát hiện vấn đề: Với tư duy biện chứng, ta sẽ giúp học sinh phát
hiện vấn đề, học toán một cách chủ động và sáng tạo.
- Nếu nhìn tam giác và tam giác vuông trong sự mâu thuẫn với nhau
thì câu kêt luận trên là đúng.
- Nếu nhìn tam giác và tam giác vuông trong sự thống nhất với nhau.
Tam giác vuông là một trường hợp đặc biệt của tam giác, tam giác vuông
cũng là một tam giác. khi đó ta sẽ nghĩ rằng tam giác vuông có tính chất 1
thì trong tam giác chắc cũng có tính chất tổng quát hơn, nhận tính chất 1 là
trường hợp đặc biệt.
* Giải quyết vấn đề: Nhờ xem xét Toán học trong sự mâu thuẫn và
thống nhất mà học sinh phát hiện được vấn đề, giúp học sinh học toán một
cách chủ động và sáng tạo để tìm tính chất tổng quát hơn tính chất 1, nghĩa
là thôi thúc học sinh tìm tòi trong tam giác ABC bất kì thì: Cos 2A + Cos2B
+ Cos2C = ?
- Các góc A, B, C trong tam giác liên hệ với nhau: Tổng ba góc trong
một tam giác bằng 180 0: A + B + C = 180 0 suy ra A + B = 180 0 – C
⇒ cos(A + B) = cos(180 0 – C) hay: cosA.cosB – sinA.sinB = −cosC


23
⇒ cos2 C = cos2A cos2B + sin2A. sin2B – 2cosA.cosB.sinA.sinB (1)

- Để xuất hiện cos 2A, cos2B nhờ mối liên hệ: cos 2A + sin2A =1,
cos2B + sin2B =1. Thay sin 2A =1− cos2A , sin2B =1− cos2B vào (1) ta
được:
cos2 C = cos2A cos2B + (1− cos2A)( 1− cos2B) – 2cosA.cos B. sinA. sinB
= cos2A cos2B +1− cos2A− cos2B + cos2A cos2B– 2cosA.cos B.sinA.sinB
⇒ cos2A + cos2B + cos2C= 1 + 2cosA.cosB(cosA.cosB − sinA.sinB)
= 1+2cosA.cos B.cos(A+B) = 1 − 2cosA.cosB.cosC.
Như vậy học sinh sẽ tìm ra được:
Tính chất 2: Với mọi tam giác ABC, ta có:
cos2A + cos2B + cos2C=1− 2cosA.cosB.cosC.

(2)

Khi tam giác ABC vuông, thì đẳng thức (2) trở thành:
cos2A + cos2B + cos2C = 1 vì cosA = cos90 0=0, chứng tỏ tính chất 2
tổng quát hơn tính chất 1, tính chất 1 chỉ là trường hợp đặc biệt.
Nếu giáo viên biết cách hướng dẫn học sinh xem xét đối tượng toán học
dưới các góc độ khác nhau, trong sự mâu thuẫn và thống nhất, trong mối quan hệ
biện chứng giữa cái riêng và cái chung thì các em sẽ học toán chủ động và sáng
tạo hơn.
1.1.3. Quy luật phủ định của phủ định
Đây là quy luật phát triển vô cùng phổ biến của tự nhiên, lịch sử và tư
duy. Nó vạch ra xu hướng tất yếu đi lên của mọi sự vận động, phát triển cũng
như vạch ra xu hướng phát triển toán học.
Engen đã đánh giá tầm quan trọng của quy luật phủ định của phủ định
đối với khoa học tự nhiên: “Vậy phủ định của phủ định là cái gì? Là quy luật
phát triển của tự nhiên, của lịch sử và của tư duy vô cùng phổ biến và chính
vì vậy mà có một tầm quan trọng và một ý nghĩa vô cùng lớn, một quy luật có
giá trị đối với động vật và thực vật, đối với địa chất học, toán học, lịch sử…”

24
Engen đã mô tả quy luật phủ định của phủ định trong toán học: “Hãy
lấy một số đại số nào đó, ví dụ a chẳng hạn, phủ định nó đi thì ta có − a . Phủ
định cái phủ định này đi bằng cách nhân − a với − a thì ta sẽ có a 2 , tức là số
dương như trước nhưng ở bậc cao hơn, ở lũy thừa bậc hai. Bởi vì cái phủ định
bị phủ định đã gắn rất chặt trong a 2 khiến cho a 2 trong mọi trường hợp đều
có 2 số căn bậc hai tức là a và − a và việc không thể gạt bỏ cái phủ định bị
phủ định, không thể gạt bỏ số căn âm chứa trong bình phương ấy có một ý
nghĩa rất rõ rệt trong các phương trình bậc hai”.
Một ví dụ khác, Enggen giả sử rằng ông có 2 biến x và y và làm cho
chúng trở thành những số vi phân nghĩa là giả sử x và y là nhỏ vô hạn đến
nỗi không còn gì hết ngoài các tỉ số của chúng đối với nhau, một tỉ số không
có một cơ sở nào có thể gọi là cơ sở vật chất được cả, một tỉ số về số lượng
mà không có một số lượng nào đó; như vậy thì
sẽ là

dy
, tỉ số vi phân của x và y
dx

0
0
y
nhưng được coi như biểu thức của . Cái tỉ số ấy giữa 2 lượng đã
0
0
x

biến mất đi, cái lúc chúng mất biến đi mà ta xác định được đó chính là một

mâu thuẫn. Như vậy, ông đã phủ định x và y nhưng không phải phủ định đến
mức là không quan tâm gì đến nó nữa như lối phủ định của phép siêu hình mà
phủ định theo một lối tương ứng với trường hợp đã định. Như vậy là thay cho
x và y, ông đã có cái phủ định chúng, tức dx và dy. Lại tiếp tục làm tính coi
dx và dy là những số thực và phủ định cái phủ định nghĩa là chuyển công thức
vi phân thành tích phân và thay thế cho dx và dy ta lại có được những số thực
x và y nhưng lúc đó không phải là ông ở vào chỗ mà ông đã xuất phát: “Trái
lại tôi đã giải đáp được bài toán mà hình học và đại số học thông thường có
lẽ đã nát óc ra mà cũng không giải quyết nổi”.


25
Các nhà toán học nhiều khi đã sử dụng tư duy biện chứng và quy luật
phủ định của phủ định một cách không ý thức.
Lobasepxki khi phát minh ra hình học mang tên mình chỉ nghĩ là mình
đã phủ định hình học Euclide chứ không nghĩ là mình mở rộng hình học
Euclide. Những khái quát của ông và các tác giả cho thấy hình học
Lobasepxki phủ định hình học Euclide đồng thời là sự mở rộng hình học
Euclide. Như vậy một phát minh vĩ đại như hình học Lobasepxki cũng không
thoát khỏi quy luật phủ định của phủ định tức phủ định có tính kế thừa.
Quy luật phủ định của phủ định chỉ rõ xu hướng phát triển của toán
học. Toán học trải qua những lần phủ định liên tiếp trong đó quá trình phủ
định biện chứng xảy ra khách quan trên cơ sở kế thừa những nền toán học đã
có từ trước và những phát minh toán học ra đời không phải là sự phủ định
sạch trơn mà trên cơ sở những phát minh, những kết quả đã có từ lâu của các
nhà toán học tiền bối.
Quy luật của phủ định của phủ định cũng cho chúng ta thấy rằng trong
quá trình phủ định một kết quả toán học, chúng ta phải biết kế thừa có chọn
lọc, tiếp thu những cái tích cực của chúng để mở rộng, phát triển lên.
1.2. Năng lực và năng lực giải toán

1.2.1. Năng lực
a. Định nghĩa
Năng lực là một vấn đề khá trừu tượng của Tâm lý học. Khái niệm này
cho đến ngày nay vẫn có nhiều cách tiếp cận và cách diễn đạt khác nhau,
chẳng hạn:
Theo từ điển Tiếng Việt thì “Năng lực là khả năng, điều kiện chủ quan
hoặc tự nhiên có sẵn để thực hiện một hoạt động nào đó với chất lượng cao”.
Theo từ điển triết học: Năng lực hiểu theo nghĩa rộng là những đặc tính
tâm lý của cá thể điều tiết hành vi của cá thể và là điều kiện hoạt động sống