vành địa phương và vành tự đồng cấu địa phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN ĐỨC VIỆT

VÀNH ĐỊA PHƯƠNG VÀ VÀNH
TỰ ĐỒNG CẤU ĐỊA PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An– 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN ĐỨC VIỆT

VÀNH ĐỊA PHƯƠNG VÀ VÀNH
TỰ ĐỒNG CẤU ĐỊA PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60. 46. 05

Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. NGÔ SỸ TÙNG

Nghệ An– 2013

1

MỤC LỤC
MỤC LỤC………………………………………………………………….....1
MỞ ĐẦU……………………………………………………………………. .2
1. VÀNH ĐỊA PHƯƠNG…………………………………………………….4
1.1 Các phần tử đặc biệt trong vành…………………………………………..4
1.2 Khái niệm vành địa phương………………………………………………5
1.3 Một số đặc trưng của vành địa phương………………………………….. 7
2. VÀNH TỰ ĐỒNG CẤU ĐỊA PHƯƠNG………………………………..11
2.1 Định nghĩa……………………………………………………………….11
2.2 Các tính chất…………………………………………………………… .11
KẾT LUẬN..………………………………………………………………...21
TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………. .22


2

MỞ ĐẦU
Việc mở rộng các lớp vành là một trong những vấn đề đang được các
nhà nghiên cứu về lý thuyết vành và môđun quan tâm trong thời gian gần
đây. Đặc biệt, lớp vành địa phương có vai trò quan trọng không những bản
thân lý thuyết vành mà còn có ứng dụng trong một số ngành toán học khác.
Năm 1938, Wolfgang Kull đưa ra khái niệm vành địa phương, cùng với
các tính chất cơ bản của chúng. Vành các tự đồng cấu của môđun nội xạ
không phân tích được có những tính chất như vành thương của nó trên căn
Jacobson là một thể. Một vành được gọi là vành địa phương nếu tập hợp
các phần tử không khả nghịch của nó đóng kín đối với phép cộng.
Dựa vào cuốn tài liệu “Modules and Rings” của F. Kasch (Xem [3]) nội
dung chính của luận văn nhằm tìm hiểu về vành địa phương và vành tự

đồng cấu địa phương, với điều kiện nào của môđun M R thì vành các tự
đồng cấu End ( M R ) là vành địa phương. Vì vậy chúng tôi chọn đề tài
nghiên cứu của luận văn là “Vành địa phương và vành tự đồng cấu địa
phương”.
Ngoài phần mở đầu, phần kết luận, luận văn được bố cục thành hai
chương:
Chương 1. Vành địa phương.
Trong chương này chúng tôi trình bày những kiến thức về vành địa
phương, một số tính chất đặc trưng của vành địa phương
Chương 2. Vành tự đồng cấu địa phương.
Trong chương này chúng tôi trình bày với điều kiện nào của môđun
M R thì vành các tự đồng cấu End ( M R ) là vành địa phương.


3

Bản luận văn đã được hoàn thành dưới sự làm việc nghiêm túc của bản
thân và sự hướng dẫn giúp đỡ tận tình của thầy giáo PGS. TS Ngô Sỹ
Tùng. Nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo PGS. TS Ngô Sỹ
Tùng, các thầy cô giáo trong bộ môn Đại số, Ban chủ nhiệm khoa Toán,
Phòng Đào tạo Sau đại học trường Đại học Vinh, cùng các thầy cô giáo
phản biện đã quan tâm dành thời gian đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý
báu, tạo mọi điều kiện để giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn tới gia đình, đồng nghiệp bạn bè
đã động viên tôi trong suốt quá trình học tập của mình.
Trong qua trình học tập, nghiên cứu và viết luận văn, mặc dù đã cố
gắng nỗ lực, song vì thời gian và kiến thức còn hạn chế nên có thể còn
nhiều thiếu sót. Kính mong sự góp ý của thầy cô và các bạn học viên để
bản luận văn được hoàn thiện hơn.
Nghệ An, tháng 8 năm 2013

Tác giả


4

CHƯƠNG I
VÀNH ĐỊA PHƯƠNG
Trong suốt toàn bộ luận văn, vành luôn giả thiết là vành có đơn vị ký hiệu
1 và các môđun là môđun phải unita.
1.1. Các phần tử đặc biệt trong vành
1.1.1. Phần tử lũy đẳng
Định nghĩa. Cho vành R, e ∈ R, e gọi là lũy đẳng nếu e 2 = e
Hệ quả
Nếu e lũy đẳng ⇒ e n = e, ∀n ≥ 1

Nếu e lũy đẳng ⇔ 1 − e cũng lũy đẳng

1.1.2. Phần tử lũy linh
Định nghĩa . Cho vành R, x ∈ R được gọi là lũy linh nếu tồn tại n ≥ 1 để
xn = 0 .

1.1.3. Phần tử nghịch đảo
Định nghĩa. Cho vành R (có đơn vị 1), r ∈ R
r gọi là nghịch đảo phải nếu tồn tại r ' ∈ R : rr ' = 1
r gọi là nghịch đảo trái nếu tồn tại r ' ∈ R : r ' r = 1
r gọi là nghịch đảo nếu vừa nghịch đảo trái, vừa nghịch đảo phải

Hệ quả
(i)

Nếu u có phần tử khả nghịch phải là v và phần tử khả nghịch
trái là v ' thì v = v ' và u là khả nghịch (hai phía) với u ' = v = v '
để uu ' = u ' u = 1

(ii)

Nếu x lũy linh, suy ra 1 − x khả nghịch.


5

1.2. Khái niệm vành địa phương
1.2.1. Định nghĩa. Cho vành R , đặt:
A = {Phần tử không khả nghịch của R }
R được gọi là vành địa phương : a1 , a2 ∈ A ⇒ a1 + a2 ∈ A

1.2.2 Ví dụ.
Ví dụ 1. Mỗi thể là một vành địa phương
Ví dụ 2. Giả sử R là một vành giao hoán, ℘ là một iđêan nguyên tố của

R , S = R \℘. Xét tập : F = R × S
Trên F xác định quan hệ hai ngôi “ ∼ ” như sau:
( a, r ) ∼ (b, s ) khi và chỉ khi tồn tại một t ∈ S sao cho tsa = trb .
Dễ thấy ∼ là một quan hệ tương đương.Tập thương F / ∼ được ký hiệu
bởi R℘ hay S −1R .Mỗi phần tử của R℘ được ký hiệu bởi

a
.Như vậy
r

a

R℘ = S −1R =  a ∈ R, r ∈ S  .Trên R℘ xác định phép cộng và phép nhân
r

như sau:

a b as + br
+ =
r s
as

và

a b ab
. =
Có thể kiểm tra để thấy rằng
r s as

với hai phép toán này R℘ là một vành địa phương. Tập hợp

x

A =  ∈ S −1R x ∈℘ gồm các phần tử không khả nghịch. A đóng kín đối
r

với phép cộng. Thật vậy, với
sx + ry ∈℘ ; nghĩa là

x y

+ ∈ A.
r s

Vậy R℘ là một vành địa phương.

x y
x y sx + ry
, ∈ A , ta có: + =
với
r s
r s
rs


6

Ví dụ 3.
Vành chuỗi: Cho R là vành đơn vị 1 , giao hoán
∞

R[[x]]={α = ∑ ai x i ai ∈ R , x 0 = 1}
i =0

∞

∞

i =0

0

Phép cộng : Với α = ∑ ai x i và β = ∑ bi x i ,

∞

α + β = ∑ (ai + bi ) xi
0

∞

Phép nhân: α .β = γ , với γ = ∑ ci x i . Trong đó:
0

ck =

∑ a b , k = 0,1,2,..., ∞
i

j

i + j =k

Khi đó R[[x ]] là một vành đơn vị là 1.
e = 1x 0 + 0 x + .... = 1
Phần tử không: 0 = 0 x 0 + 0 x + ....
Mỗi phần tử α = a0 x 0 + a1 x + ... + an x n + ... gọi là một chuỗi
∞

Tính chất. Phần tử α = ∑ ai x i là khả nghịch trong R[[x]] khi và chỉ khi
i =0

hệ tử đầu tiên a0 khả nghịch trong R .
Mệnh đề. R[[x]] là vành địa phương khi và chỉ khi R là địa phương.

Chứng minh.
[ ⇒ . Cho R[[x]] địa phương, chứng minh R địa phương.
Lấy r ∈ R , nếu r không khả nghịch suy ra α = rx 0 + 1x + 2 x 2 + ....
không khả nghịch trong R[[x]]


7

Do R[[x]] địa phương nên 1 − α khả nghịch mà
1 − α = (1 − r ) x 0 + 1x + 2 x 2 + ...
Suy ra 1 − r khả nghịch trong R . Suy ra R địa phương (do điều kiện 6
của Định lý 1.3.1).
⇐ ]. Cho R địa phương, chứng minh R[[x]] địa phương.
∞

Lấy α = ∑ ai x i ∈ R[[x]].
i =0

Nếu α không khả nghịch trong R[[x]] suy ra a0 không khả nghịch
trong R
Do R địa phương suy ra 1 − a0 khả nghịch trong R
Mà 1 − α = (1 − a0 ) x 0 + a1 x + a2 x 2 + ... ⇒ 1 − α khả nghịch. Suy ra R[[x]]
địa phương.

□

Ví dụ 4. Giả sử K là một trường, K [[x]] là tập hợp các chuỗi lũy thừa
∞

hình thức f ( x) = ∑ ai xi , ai ∈ K . f ( x) ∈ K [[x ]] , f ( x) không khả nghịch khi
i =0

và chỉ khi a0 = 0 . Do đó tập các phần tử không khả nghịch đóng kín đối
với phép cộng. Vậy theo Định nghĩa 1.2.1 thì K [[x]] là vành địa phương.

1.3. Một số đặc trưng của vành địa phương
1.3.1. Định lý. Cho A là tập hợp các phần tử không khả nghịch của vành
R khi đó, các mệnh đề sau tương đương:

(1)

R là vành địa phương

(2)

A ⊲ R RR ( iđêan hai phía)

(3)

A iđêan phải thực sự lớn nhất

(3’) A iđêan trái thực sự lớn nhất


8

(4)

Trong R tồn tại iđêan phải thực sự lớn nhất

(4’) Trong R tồn tại iđêan trái thực sự, lớn nhất
(5)

∀r ∈ R thì hoặc r hoặc 1 − r khả nghịch phải

(5’) ∀r ∈ R thì hoặc r hoặc 1 − r khả nghịch trái
(6)

∀r ∈ R thì hoặc r hoặc 1 − r khả nghịch

Chứng minh. Ta chứng minh định lý cho trường hợp “bên phải”. Trường
hợp “bên trái” tương tự. (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (5) ⇒ (6) ⇒ (1)

Xét bổ đề : Với giả thiết (1) khi đó phần tử khả nghịch một phía suy ra khả
nghịch hai phía.
Chứng minh bổ đề: Lấy b khả nghịch phải suy ra bb ' = 1 . Ta chứng minh
b khả nghịch trái. Tức là chứng minh b ' b = 1

Trường hợp 1: b ' b ∉ A Suy ra b ' b khả nghịch.
Suy ra ∃s : sb ' b = 1 ⇒ sb ' bb ' = b ' ⇒ sb = b ' ⇒ bb ' = 1.
Trường hợp 2: bb ' ∈ A ⇒ 1 − bb ' ∉ A .
Vì nếu 1 − bb ' ∈ A ⇒ b ' b + (1 − b ' b) = 1∈ A (vô lý)
⇒ 1 − bb ' khả nghịch ⇒ s (1 − b ' b) = 1 ⇒ s (1 − b ' b)b ' = b ' ⇒ sb '− sb ' bb ' = b '
⇒ sb '− sb ' = b ' ⇒ b ' = 0 (vô lý do b ' b = 1 ). Suy ra trường hợp 2 không xảy

ra.

Vậy bổ đề được chứng minh.
(1) ⇒ (2) : Để chứng minh A ⊲ R ta chỉ cần chứng minh ∀a ∈ A, ∀r ∈ R
ar ∈ A
thì 
ra ∈ A

Ta chứng minh ar ∈ A


9

Nếu ar ∉ A, ∃s : ars = 1 ⇒ a ( rs ) = 1 ⇒ a khả nghịch phải, theo bổ đề suy ra

a khả nghịch. Suy ra a ∉ A vô lý
Vậy ar ∈ A
(2) ⇒ (3) :
+ A thực sự, vì 1 ∉ A
+ A lớn nhất
Lấy B ⊲ R (thực sự hai phía). b ∈ B ⇒ bR ⊆ B

R ⇒ bR ≠ R . Suy ra b

khả nghịch. Suy ra b ∈ A .
(3) ⇒ (4) : Hiển nhiên
(4) ⇒ (5) : Gọi C là iđêan thực sự lớn nhất. Lấy r ∈ R . Giả sử r và 1 − r
rR ⊲ RR
rR ⊆ C ⇒ r ∈ C
.
không khả nghịch phải. Suy ra 
⇒

(1 − r ) R ⊆ C ⇒ 1 − r ∈ C
(1 − r ) ⊲ RR

Do C ⊲ R đóng kín cộng, suy ra r + (1 − r ) = 1∈ C ⇒ C = R (vô lý). Suy ra

r hoặc 1 − r khả nghịch phải.
(5) ⇒ (6) : Ta chỉ cần chứng minh nếu r khả nghịch bên phải thì r cũng
khả nghịch bên trái. Giả sử tồn tại s ∈ R sao cho rs = 1 (*)
Xét phần tử sr .
Nếu sr không khả nghịch bên phải thì, theo (5), 1 − sr khả nghịch bên
phải. Do đó tồn tại một t ∈ R sao cho 1 = (1 − sr )t (**). Nhân hai vế của
(**) với r và kết hợp với (*), ta
được: r = r (1 − sr )t = (r − rsr )t = ( r − r )t = 0. Trái với giả thiết rs = 1 . Vì
thế sr khả nghịch bên phải, tức là tồn tại một u ∈ R sao cho sru = 1. Nhân
hai vế đẳng thức này với sr và kết hợp với (*), ta được:


10

sr = sr ( sru ) = s ( rs )ru = sru = 1 .Nghĩa là, r khả nghịch bên trái. Vậy r khả
nghịch.
(6) ⇒ (1) : Trước hết chứng minh nếu a ∈ A, r ∈ R thì suy ra ar ∈ A .
Nếu ar ∉ A suy ra ar khả nghịch. Do đó ars = 1 ⇒ a (rs ) = 1 suy ra a
khả nghịch phải.
Tương tự chứng minh được a khả nghịch trái. Suy ra a khả nghịch. Suy
ra a ∉ A (vô lý)
Nếu a1 , a2 ∈ A . Giả sử a1 + a2 ∉ A ⇒ (a1 + a2 ) s = 1 ⇒ a1s = 1 − a2 s .
a s ∈ A
Theo trên ta có  1
⇒ a1s không khả nghịch.

a
s
∈
A
 2

Theo (6) suy ra 1 − a1s = a2 s khả nghịch. Suy ra a2 s ∉ A (vô lý). Suy ra
a1 + a2 ∈ A .

1.3.2. Hệ quả. Cho R là vành địa phương và A là iđêan gồm tất cả các
phần tử không khả nghịch của R . Khi đó :
a) R

A

là thể

b) Mọi phần tử không khả nghịch trái (phải) trong R là khả nghịch
c) Mọi vành khác không là ảnh của vành địa phương qua toàn cấu là
vành địa phương.
Đặc biệt : Ảnh đẳng cấu của vành địa phương là địa phương.

1.3.3. Địnhlý. Môđun xạ ảnh hữu hạn sinh trên vành địa phương là môđun
tự do.


11

CHƯƠNG II

VÀNH TỰ ĐỒNG CẤU ĐỊA PHƯƠNG
2.1. Định nghĩa
2.1.1. Định nghĩa. Cho môđun M , ký hiệu:
End ( M ) = { f : M → M là tự đồng cấu môđun} khi đó với:
Phép cộng: ( f + g )( x ) = f ( x) + g ( x )
Phép nhân: ( fg )( x) = f ( g ( x))
Thì End ( M ) có vành đơn vị là đồng cấu đồng nhất, ta gọi End ( M ) là
vành các tự đồng cấu của môđun M.

2.1.2. Định nghĩa. Ta nói M R là môđun không phân tích được thành tổng
nếu nó không biểu diễn được thành tổng của hai môđun con thực sự (tức
môđun con khác 0 và khác M R )

2.2. Các tính chất
2.2.1. Hệ quả. Cho phần tử r thuộc vành R khi đó:
1) Nếu r lũy linh thì r không khả nghịch, 1 − r khả nghịch
2) Nếu r lũy đẳng suy ra 1 − r lũy đẳng
3) Nếu r lũy đẳng và khả nghịch thì r = 1

2.2.2. Hệ quả. Cho vành R các điều kiện sau đây là tương đương:
i. R không phân tích được bên trái
ii. R không phân tích được bên phải
iii. R chỉ có hai lũy đẳng là 0 và 1


12

(Vành R gọi là không phân tích được bên trái (phải) nếu R = A ⊕ B với

A, B là các iđêan trái (phải) của R thì hoặc A = 0 hoặc B = 0 )

Chứng minh.
Chỉ cần chứng minh (i ) ⇔ (iii ) hoặc (ii ) ⇔ (iii )
(i ) ⇒ (iii ) : Giả sử e là lũy đẳng của R . Suy ra 1 − e cũng lũy đẳng và có

eR = 0
e = 0
⇒
RR = eR ⊕ (1 − e) R . Do (i) suy ra 
(1 − e) R = 0 eR = R ⇒ e = 1
Vậy có (iii)
(iii ) ⇒ (i ) : Nếu RR = A ⊕ B ( A, B là iđêan phải của R ). Theo Định lý
phân tích vành tổng quát (2.2.3) suy ra A = Re; B = Rf , với e 2 = e, f 2 = f
và ef = fe = 0, e + f = 1 ⇒ f = 1 − e . Do (iii) thì
e = 0 ⇒ A = 0
e = 1 ⇒ f = 0 suy ra B = 0 . Vậy R không phân tích được bên trái. □


2.2.3. Định lý. (Định lý phân tích vành tổng quát)
a). Cho vành R thỏa mãn R = ⊕ Ai với Ai ⊲ R R , thì:
i∈I

(i).Tập I hữu hạn ( I = I 0 = {1,2,..., n} )
(ii). Ai = Rei , ∀i ∈ I 0 . Trong đó các ei thỏa mãn
ei 2 = ei , ∀i ∈ I 0
ei e j = 0, ∀i, j ∈ I 0 , i ≠ j (*)
e1 + e2 + ... + en = 1


13

b). Ngược lại: Nếu vành R có họ lũy đẳng {e1 , e2 ,..., en } thỏa mãn điều
kiện (*) thì R = Re1 ⊕ Re2 ⊕ ... ⊕ Ren .Hơn nữa nếu các ei lũy đẳng tâm
( ∀i = 1, n ) thì các Rei là iđêan hai phía.
Chứng minh.
a). Do 1∈ R nên từ giả thiết R = ⊕ Ai ta có
i∈I

1 = e1 + e2 + ...en , ei ∈ Ai (**)
Với ∀r ∈ R ⇒ r = re1 + re2 + ... + ren ∈ Re1 + Re2 + ... + Ren ; Rei ∈ Ai

⇒ R ⊆ Re1 + Re2 + ... + Ren
⇒ R = Re1 + Re2 + ... + Ren
Với ∀ai ∈ Ai (i = 1, n) ta có
ai = ai e1 + ai e2 + ... + ai en

Do R = ⊕ Ai là tổng trực tiếp (trong) nên biểu diễn là duy nhất
i∈I

⇒ ai e j = 0,(∀j = 1, n, j ≠ 1)
⇒ ai = ai ei ∈ Rei
⇒ Ai ⊆ Rei
⇒ Ai = Rei
Vậy R = A1 ⊕ A2 ⊕ ... ⊕ An suy ra ( i) được chứng minh.
Từ (**) ta có:
ei = ei e1 + ei e2 + ... + ei ei + ... + ei en

Lý luận tương tự như trên suy ra
ei = ei ei = ei 2
Nên ei là lũy đẳng và ei e j = 0, ∀i ≠ j = 1, n.
b). Với ∀r ∈ R , do

14

1 = e1 + e2 + ... + en

⇒ r = re1 + re2 + ... + ren
⇒ R = Re1 + Re2 + ... + Ren
n

Với ∀k ∈1, n ta chứng minh Rek ∩ ∑ Rei = 0
i =1
i ≠k

Thật vậy:
n

Giả sử a ∈ Rek ∩ ∑ Rei
i =1
i≠k

⇒ a = rk ek (1)
n

⇒ a = ∑ re
i i (2)
i =1
i≠k

(1) ⇒ aek = rk ek ek = rek = a

n

(2) ⇒ a = aek = ∑ re
i i ek = 0
i =1
i ≠k

⇒a=0
Do đó R = Re1 + Re2 + ... + Ren .Nếu ei thuộc tâm: ei x = xei , ∀x ∈ R, i = 1, n
⇒ rei x = rxei ∈ Rei , ∀r , x ∈ R; ⇒ Rei ⊲ RR ⇒ Rei ⊲ R.

2.2.4. Định lý. Cho M R và S := End ( M R ) , khi đó các điều kiện sau là
tương đương:
i.

M không phân tích được

ii.

SS không phân tích được
S không phân tích được

iii.

S

iv.

S chỉ có hai lũy đẳng là 0 và 1 .

15

Chứng minh.
Do Hệ quả 2.2.2 có (ii ) ⇔ (iii ) ⇔ (iv)
Vậy chỉ cần chứng minh (i ) ⇔ (iv )
(i ) ⇒ (iv) : Gọi e là phần tử lũy đẳng của S . Ta có:
M = e( M ) ⊕ (1 − e) M .
Thật vậy :

M = e( M ) + (1 − e) M và e( M ) ∩ (1 − e) M = 0

Do Ker (e) = (1 − e) M , ta sẽ chứng minhh điều này:
x ∈ Ker (e) ⇒ e( x) = 0 ⇒ x = e( x) = x ⇒ (1 − e) x = x ⇒ x ∈ (1 − e) M
x ∈ (1 − e) M ⇒ ∃y ∈ M : x = (1 − e) y ⇒ x = y − e( y ) ⇒ e( x) = e( y ) − e2 ( y ) = 0
Do M không phân tích được nên :
Hoặc :
e( M ) = 0 ⇒ e = 0
Hoặc:

(1 − e) M = 0 ⇒ 1 − e = 0 ⇒ e = 1.

(iv) ⇒ (i ) :
Giả sử M = A ⊕ B. Đặt
e:M → M
x = a + b ֏ a(a ∈ A)
Suy ra e ∈ End ( M ) . Ta có: e 2 = e
Bởi vì:
∀x ∈ M , x = a + b(a ∈ A), e 2 ( x) = e(e( x)) = e( a) = a = e( x)
Theo giả thiết (iv) ta có :

Hoặc e = 1 ⇒ A = M ⇒ B = 0
Hoặc e = 0 ⇒ A = 0


16

Từ đó M không phân tích được.

2.2.5. Định lý. Cho môđun M khác không. Nếu M không phân tích được
và có độ dài hữu hạn thì vành các tự đồng cấu của M là vành địa phương
và các phần tử không khả nghịch của nó là lũy linh.
Chứng minh. Để chứng minh Định lý này ta sẽ chứng minh Mệnh đề nêu
dưới đây

Mệnh đề. Cho môđun M có độ dài hữu hạn và ϕ là tự đồng cấu của M
Khi đó ta có:
∃n0 ∈ ℕ, ∀n ≥ n0 : M = Im(ϕ n ) ⊕ Ker (ϕ n )
Theo giả thiết của Định lý, M có độ dài hữu hạn nên theo Mệnh đề trên
∃n0 ∈ ℕ, ∀n ≥ n0 : M = Im(ϕ n ) ⊕ Ker (ϕ n ),(ϕ ∈ End ( M ))
Do M không phân tích được nên:
Hoặc Im(ϕ n ) = 0 ⇒ ϕ n = 0 ⇒ ϕ lũy linh, suy ra 1 − ϕ khả nghịch
Hoặc Ker (ϕ n ) = 0 ⇒ Kerϕ = 0 ⇒ ϕ là đơn cấu và M Artin (do M có
độ dài hữu hạn) suy ra ϕ là đẳng cấu, suy ra ϕ khả nghịch
Vậy End ( M ) là vành địa phương.
Nếu ϕ ∈ End ( M ) không khả nghịch suy ra Im(ϕ n ) = 0 ⇒ ϕ n = 0 ⇒ ϕ lũy
linh. □

2.2.6. Hệ quả. Nếu S := End ( M ) là vành địa phương thì suy ra M là
môđun không phân tích được.
Chứng minh. Theo Định lý 2.2.4 chỉ cần chứng minh S có hai lũy đẳng 0

và 1 .
Giả sử e ∈ S là lũy đẳng mà e ≠ 0, e ≠ 1


17

Khi đó 1 − e là lũy đẳng và 1 − e ≠ 0,1 − e ≠ 1
Do lũy đẳng và khả nghịch chỉ có là 1 , mà e ≠ 1,1 − e ≠ 1 ⇒ e và 1 − e
không khả nghịch.
Do S địa phương nên đóng kín không khả nghịch.
Suy ra 1 = e + (1 − e) không khả nghịch. Suy ra vô lý. Vậy hoặc e = 0 hoặc
e = 1.□

2.2.7. Định lý. Cho M là môđun nội xạ không phân tích được. Khi đó
vành các tự đồng cấu M là địa phương.
Chứng minh. Cho ϕ ∈ End ( M ) và ϕ là đơn cấu. Do M

nội

xạ, ϕ ∈ End ( M ) ⇒ Im(ϕ ) nội xạ. Suy ra Im(ϕ ) ⊂ ⊕ M , M không phân tích
được nên Im(ϕ ) = M ⇒ ϕ là đẳng cấu ⇒ ϕ khả nghịch.
Từ đó ta có nhận xét:
Với môđun M như giả thiết ở Định lý, ϕ ∈ End ( M ) khả nghịch khi và
chỉ khi ϕ là đơn cấu hay Ker (ϕ ) = 0, suy ra ϕ ∈ End ( M ) không khả
nghịch khi và chỉ khi Ker (ϕ ) ≠ 0. Cho ϕ1 ,ϕ 2 ∈ End ( M ),ϕ1 ,ϕ 2 không khả
nghịch nên Ker (ϕ1 ), Ker (ϕ 2 ) ≠ 0 .
Mặt khác M là môđun nội xạ không phân tích được nên M bất khả
quy. Suy ra 0 ≠ Ker (ϕ1 ) ∩ Ker (ϕ2 ) ⊂ Ker (ϕ1 + ϕ2 ) ⇒ ϕ1 + ϕ 2 không khả
nghịch.
Theo 1.2.1 thì tập các phần tử không khả nghịch của End ( M ) đóng kín

đối với phép cộng nên End ( M ) địa phương.

□

2.2.8. Định lý. Giả sử PR ≠ 0 là môđun xạ ảnh. PR là môđun không phân
tích được thành tổng khi và chỉ khi S := End ( PR ) là vành địa phương.


18

Chứng minh.

[⇒ . Giả

sử PR không phân tích được thành tổng. Ta chỉ cần chứng minh

rằng nếu s ∈ S thì hoặc s hoặc 1 − s khả nghịch. Ta có
PR = Im( s ) + Im(1 − s ).
Vì PR là môđun không phân tích được thành tổng nên Im( s ) = P hoặc
Im(1 − s ) = P
Nếu Im( s ) = P thì

s : PR → PR là một toàn cấu chẻ ra, chẳng hạn bởi

t. Khi đó PR = Im(t ) ⊕ Ker (t ) .
Vì PR ≠ 0 và t là đơn cấu nên Im(t ) ≠ 0. Do PR không phân tích được
thành tổng nên Ker ( s ) = 0. Vậy s đẳng cấu, tức là s khả nghịch.
Nếu Im(1 − s ) = P thì 1 − s khả nghịch.
⇐] . Giả sử S là vành địa phương và PR = A + B , với A và B là những
môđun con thực sự của PR . Gọi p : P → P / B là phép chiếu chính tắc và

q= p

A

.Rõ ràng q cũng là một toàn cấu. Vì PR là môđun xạ ảnh nên tồn

tại đồng cấu f : PR → A sao cho qf = p . Đặt i : A → PR là phép nhúng
chính tắc và s = if ∈ S .Vì S là vành địa phương nên chẳng hạn s khả
nghịch.
Khi

đó

với

mỗi

x ∈ PR

tồn

tại

một

y ∈ PR

sao

cho

x = s ( y ) = if ( y ) = f ( y ) ∈ A

Vậy A = PR . Nếu 1 − s khả nghịch thì B = PR . Trái với giả thiết A và B là
hai môđun con thực sự của PR . Điều đó chứng minh PR là môđun không
phân tích được thành tổng.

□


19

2.2.9. Định lý. Giả sử M R ≠ 0
1) Nếu M R là môđun Artin hoặc Noether thì nó có các môđun con
n

không phân tích được M 1 , M 2 ,..., M n sao cho M R = ⊕ M i .
i =1

2) Nếu M R có độ dài hữu hạn thì nó có các môđun con M 1 , M 2 ,..., M n
n

với End ( M i ) là vành địa phương sao cho M R = ⊕ M i .
i =1

Chứng minh.

1)

Trường hợp M R là môđun Artin.

Gọi Γ là tập các hạng tử trực tiếp B ≠ 0 của M R . Γ ≠ ∅ vì M R ∈ Γ . Do
M R là môđun Artin nên Γ có phần tử tối tiểu, chẳng hạn, B0 . Khi đó hiển

nhiên B0 là môđun không phân tích được. Lại gọi Λ là tập các môđun con

C của M R sao cho tồn tại những môđun con không phân tích
được B1 , B2 ,..., Bk mà M R = B1 ⊕ B2 ⊕ ... ⊕ Bk ⊕ C . Vì tồn tại hạng tử không
phân tích được B0 nên Λ ≠ ∅ . Lại có M R = M 1 ⊕ M 2 ⊕ ... ⊕ M n ⊕ C0 . Rõ
ràng C0 = 0 vì nếu C0 ≠ 0 thì do C0 cũng là môđun Artin nên C0 cũng có
hạng tử trực tiếp là môđun không phân tích

được, chẳng hạn

C0 = M n+1 ⊕ C1 , với M n +1 là môđun không phân tích được; trái với giả
n

thiết tối tiểu của C0 . Vậy M R = ⊕ M i , với M i là môđun không phân tích
i =1

được.
Trường hợp M R là môđun Noether.
Gọi Γ là tập các hạng tử trực tiếp B ≠ M R của M R ; Γ ≠ ∅ vì 0∈ Γ . Do
M R là môđun Noether nên Γ có phần tử tối đại, chẳng hạn, B0 và


20

M R = B0 ⊕ A0 . Khi đó hiển nhiên A0 là môđun không phân tích được. Lại

gọi Λ là tập các môđun con C của M R sao cho tồn tại những môđun con
không phân tích được B1 , B2 ,..., Bk mà C = B1 ⊕ B2 ⊕ ... ⊕ Bk và C là hạng
tử trực tiếp của M R . Vì tồn tại hạng tử không phân tích được A0 nên
Λ ≠ ∅ . Lại vì M R là môđun Noether nên trong Λ có phần tử tối đại,

chẳng hạn C0 và có cách phân tích C0 = M 1 ⊕ M 2 ⊕ ... ⊕ M n và
M R = C0 ⊕ D0 . Rõ ràng D0 = 0 vì nếu D0 ≠ 0 thì do D0 cũng là môđun
Noether nên D0 cũng có hạng tử trực tiếp là môđun không phân tích được,
chẳng hạn D0 = M n+1 ⊕ D1 , với M n +1 là môđun không phân tích được; trái
n

với giả thiết tối đại của C0 . Vậy M R = ⊕ M i , với M i là môđun không
i =1

phân tích được.
2)

Nếu M R là mô đun có độ dài hữu hạn thì nó là mô đun Artin.

Do đó M R có cách phân tích như trong 1). Vì M i cũng là mô đun có độ
dài hữu hạn và không phân tích được nên theo định lí 2.2.5, End ( M i ) là
vành địa phương.


21

KẾT LUẬN
Luận văn hoàn thành với những nội dung chính sau
1. Luận văn đã tìm hiểu vành địa phương, một số tính chất đặc trưng của
vành địa phương. Cụ thể đã trình bày chứng minh chi tiết Định lý 1.3.1

2. Trong chương 2: Tìm hiểu vành tự đồng cấu địa phương, điều kiện của
môđun M R để vành các tự đồng cấu End ( M R ) là vành địa phương. Cụ
thể đã trình bày chứng minh chi tiết Hệ quả 2.2.2,2.2.6, Đinh lý 2.2.3,
2.2.4, 2.2.5, 2.2.7, 2.2.8, 2.2.9


22

TÀI LIỆU THAM KHẢO
TIẾNG VIỆT
[1] Nguyễn Tiến Quang – Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết
môđun và vành, NXB Giáo dục.
[2] Dương Quốc Việt (2009), Cơ sở lý thuyết module, NXB Đại học sư
phạm.

TIẾNG ANH
[3] F. Kasch (1982), Modules and Rings, Academic Press Inc: (LonDon)
Ltd.
[4] Nataga (1960), Local Ring, Kyoto University, Kyoto, Japan.