Tính Catenary, đẳng chiều địa phương và tích Tenxo của các đại số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

ĐOÀN THỊ HIÊN

TÍNH CATENARY, ĐẲNG CHIỀU ĐỊA PHƯƠNG
VÀ TÍCH TENXƠ CỦA CÁC ĐẠI SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An – 2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO


TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

ĐOÀN THỊ HIÊN

TÍNH CATENARY, ĐẲNG CHIỀU ĐỊA PHƯƠNG
VÀ TÍCH TENXƠ CỦA CÁC ĐẠI SỐ
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60.46.05

Người hướng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN

Nghệ An – 2013


3

MỤC LỤC
Mục lục………………………………………………………...……........
Mở đầu……………………..……………………………………………..
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị…………………………………………..
1.1 Phổ của vành………………………………………………………....
1.2 Giá của môđun……………………………………………………….
1.3 Iđêan nguyên tố liên kết……………………………………………...
1.4 Vành địa phương…………………………………………………….
1.5 Chiều Krull của vành và môđun……………………………………..
1.6 Tích ten xơ của hai môđun…………………………………………..
1.7 Đồng cấu phẳng……………………………………………………...
1.8 Định lí going-up và Định lí going-down…………………………….
1.9 Bậc siêu việt………………………………………………………….
Chương 2. Tính catenary, đẳng chiều địa phương và tích tenxơ của
các đại số
2.1 Tính catenary và đẳng chiều địa phương……………………………..
2.2 Tính catenary của tích tenxơ các đại số………………………………
Kết luận ………………………………………………………………….
Tài liệu tham khảo………………………………….……………………

MỞ ĐẦU

3
4
8
8
9
9
10

10
11
12
13
14
15
15
21
27
28


4

Trong toàn bộ luận văn các vành và đại số luôn được giả thiết là giao
hoán, có đơn vị và Noether; ký hiệu k là một trường.
Cho R là một vành. R được gọi là vành catenary nếu với mọi cặp iđêan
nguyên tố q⊂ p của R luôn tồn tại một dãy nguyên tố bão hòa giữa p và q và
mọi dãy nguyên tố bão hòa giữa p và qđều có cùng độ dài.
Tính catenary cho các vành đã được quan tâm nghiên cứu đầu tiên bởi
W. Krull từ năm 1937. Sau đó rất nhiều kết quả về tính catenary của vành
được cho bởi W. Krull, M. Nagata, I. S. Cohen, D. Ferand và M. Raynaud, L.
J. Ratliff, R. Heitmann, M.Brodmann ..., các kết quả này đã làm cho tính
catenary của vành trở thành một lí thuyết quan trọng trong Đại số giao hoán,
nó liên quan với nhiều lĩnh vực khác của Đại số giao hoán như vành định
chuẩn, môđun Cohen-Macaulay tối đại, vành Rees, vành phân bậc liên kết...
Lớp vành catenary đầu tiên được chỉ ra bởi W. Krull trong một bài báo của
ông năm 1937, ở đó ông chỉ ra rằng nếu k là một trường thì mọi k-đại số hữu
hạn sinh đều là vành catenary. Tính catenary của lớp vành đầy đủ theo tôpô
m-adic được chứng minh bởi Cohen trong một bài báo năm 1946, ở đó ông

đã chứng minh tính catenary cho vành các chuỗi luỹ thừa hình thức trên một
trường và sau đó chỉ ra rằng mỗi vành địa phương đầy đủ là thương của một
vành các chuỗi luỹ thừa hình thức. Hầu hết các vành được biết đến đều là
catenary. Cho đến tận năm 1956, M. Nagata mới chỉ ra được một lớp những
miền nguyên không catenary.
Cho R là một vành hữu hạn chiều. Vành R được gọi đẳng chiều nếu
dim R = dim R với mọi iđêan nguyên tố tối thiểu p của R. Vành R được gọi là
p

đẳng chiều địa phương nếu Rp là đẳng chiều với mọi iđêan nguyên tố p của R.
Cho R và S là các vành Noether, ϕ: R → S là một đồng cấu phẳng
(nghĩa là S là một R- môđun phẳng). Năm 2003, M. Tousi và S. Yassemi [9]


5
đã chứng minh được rằng S là chính qui (tương ứng giao đầy đủ địa phương,
Gorenstein hoặc Cohen - Macaulay) nếu vành R và các thớ Rp/pRp ⊗RS với p
∈ SpecR là chính qui (tương ứng giao đầy đủ địa phương, Gorenstein hoặc
Cohen - Macaulay). Năm 2005, M. Tousi và S. Yassemi [10] tiếp tục chứng
minh được rằng S là catenary và đẳng chiều địa phương nếu vành R và các
thớ Rp/pRp ⊗RS là catenary và đẳng chiều địa phương với mọi i đêan nguyên
tố tối thiểu p của vành R. Hơn nữa, nếu ϕ: R → S là một đồng cấu hoàn toàn
phẳng (nghĩa là S là một R-môđun hoàn toàn phẳng) thì R là catenary và đẳng
chiều địa phương nếu S là catenary và đẳng chiều địa phương. Những kết quả
này của M. Tousi và S. Yassemi đã làm sâu sắc hơn các kết quả đã biết từ lâu
về tính catenary và đẳng chiều địa phương bởi đồng cấu phẳng (xem [5;
Theorem 31.5]).
Cho A và B là các k – đại số; K là một mở rộng trường của k. Một
hướng nghiên cứu quan trọng trong Đại số giao hoán là nghiên cứu việc
chuyển từ A, B tới tích tenxơ A⊗kB, nghĩa là nghiên cứu các iđêan nguyên tố

của A và B bởi mở rộng vô hướng. Đã có rất nhiều nhà toán học nghiên cứu
về vấn đề này như Grothendick, Bouchiba, Sharp, Vamos, Wadsworth, ....
Tuy nhiên vấn đề liệu K⊗kA có catenary (phổ dụng) hay không khi K là một
mở rộng đại số của k và A là catenary (phổ dụng) vẫn đang là vấn đề mở. Vì
vậy, trong phần thứ hai của [10], M. Tousi và S. Yassemi đã đưa ra câu trả lời
khẳng định cho vấn đề này trong một số trường hợp đặc biệt. Cụ thể là họ đã
chỉ ra rằng K⊗kA là catenary phổ dụng nếu một trong những điều kiện sau
được thỏa mãn:
(i)

A là catenary phổ dụng và K là một mở rộng trường hữu hạn
sinh của k;

(ii)

A là vành Noether catenary phổ dụng và t.d.(K:k) < ∞, trong
đó t.d.(K:k) là bậc siêu việt của K trên k;


6
(iii)

A là catenary phổ dụng và K⊗kA là Noether.

Nội dung chính của luận văn là trình bày lại các kết quả trong bài báo
[10] của M. Tousi và S. Yassemi.
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn được chia
thành hai chương.
Chương 1.

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm của Đại số giao
hoán nhằm mục đích làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của Luận
văn ở Chương 2. Ngoài ra chúng tôi còn trích dẫn một số kết quả đã có dưới
dạng những mệnh đề nhằm phục vụ cho các chứng minh ở phần sau.
Chương 2. TÍNH CATENARY, ĐẲNG CHIỀU ĐỊA PHƯƠNG VÀ TÍCH
TENXƠ CỦA CÁC ĐẠI SỐ
Trong chương này chúng tôi trình bày lại các kết quả trong bài báo [10] của
M. Tousi và S. Yassemi. Cụ thể là chúng tôi sẽ trình bày những vấn đề sau.
2.1. Tính catenary và đẳng chiều địa phương
2.2. Tính catenary của tích tenxơ các đại số.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, giúp đỡ, chỉ bảo tận tình
của cô giáo TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng
và biết ơn sâu sắc đến cô hướng dẫn, người đã dành cho tác giả sự hướng dẫn
tận tình, chu đáo và nghiêm túc trong quá trình học tập, nghiên cứu và thực
hiện luận văn.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo thuộc chuyên ngành Đại
số và Lý thuyết số, khoa Toán – Trường Đại học Vinh – đã tận tình giảng dạy
và hướng dẫn khoa học.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến các cán bộ Phòng Đào tạo Sau Đại học –
Trường Đại học Vinh đã quan tâm giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và
nghiên cứu.


7
Mặc dù đã hết sức cố gắng, luận văn không tránh khỏi những thiếu sót.
Tác giả mong được sự chỉ bảo của quý thầy, cô và các bạn bè học viên.

Tác giả

Đoàn Thị Hiên


8

CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Phổ của vành
1.1.1. Định nghĩa. Cho I là iđêan thực sự của R . Khi đó:
(i) Iđêan I được gọi là nguyên tố nếu với mọi x, y ∈ R mà xy ∈ I kéo
theo x ∈ I hoặc y ∈ I .
(ii) Iđêan I được gọi là cực đại nếu không tồn tại iđêan J ≠ R mà
I ≠ J và I ⊂ J .
Từ định nghĩa trên ta suy ra I là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi vành
thương R/I là miền nguyên; I là iđêan cực đại khi và chỉ khi vành thương R/I
là một trường.
Tập tất cả các iđêan nguyên tố của vành R được ký hiệu là Spec(R). Với

{

}

mỗi iđêan I của R, ký hiệu V (I ) = p∈ Spec(R) p ⊇ I .
1.1.2. Mệnh đề. Cho vành R. Các phát biểu sau là đúng.
(i) Cho I, J là các iđêan của R. Khi đó V ( I .J ) = V ( I ∩ J ) = V ( I ) ∪ V ( J )
và điều này đúng cho họ hữu hạn các iđêan.
I j) =
(ii) V (∑
j ∈S

I

V (I j ) , với S là tập chỉ số tuỳ ý.

j ∈S

(iii) V (I ) = V (J ) khi và chỉ khi

I = J .

(iv) V(0) = Spec(R), V(R) = ∅ .
Như vậy các tập hợp dạng V (I ) với I là iđêan của R thoả mãn các tiên
đề về họ tập đóng trong không gian tôpô. Do đó Spec(R) trở thành một không
gian tôpô với họ tập đóng là V(I) trong đó I là iđêan của R. Tôpô này được
gọi là tôpô Zariski. Không gian tôpô Spec(R) được gọi là phổ của vành R.
Mỗi tập hợp V(I) được gọi là tập đại số xác định bởi I.


9
Trong luận văn này, tập các iđêan cực đại của R được kí hiệu là Max(R),
tập các iđêan nguyên tố tối thiểu của R được kí hiệu là Min(R).
1.2. Giá của môđun

{

}

Tập con Supp R ( M ) = p∈ SpecR | M p ≠ 0

của Spec(R) được gọi là

giá của môđun M.
Với mỗi x ∈ M ta kí hiệu Ann R ( x) = { a ∈ R | ax = 0} .
Ann R ( M ) = { a ∈ R | aM = 0} = { a ∈ R | ax = 0, ∀x ∈ M } .
Ta có Ann R ( x) và Ann R ( M ) (hoặc viết gọn là Ann( x) và Ann( M ) )
là những iđêan của vành R, Ann R ( M ) được gọi là linh hóa tử của môđun M.
Hơn nữa, nếu M là R-môđun hữu hạn sinh thì
Supp R ( M ) = V(Ann R M ) = { p∈ Spec( R) | Ann R M ⊆ p} .
1.3. Iđêan nguyên tố liên kết
1.3.1. Định nghĩa. Cho M là một R-môđun. Ta gọi iđêan nguyên tố p của R
là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại phần tử x ∈ M, x ≠ 0 sao cho
p = (0 :R x) = Ann R ( x) .
Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu là AssR (M) (hoặc
Ass(M)).
Ass(M) = { p∈ Spec(R)| p = Ann(x) với x ∈ M, x ≠ 0}.
1.3.2. Tính chất. (i) p là iđêan nguyên tố liên kết của M khi và chỉ khi tồn tại
một môđun con Q của M sao cho Q ≅ R / p.
(ii) Gọi ∑ = { Ann( x) | x ∈ M } . Khi đó nếu p là phần tử tối đại của ∑
thì p là iđêan nguyên tố liên kết của M.
(iii) R là vành Noether và M là R-môđun. Khi đó, AssM ≠ 0 khi và chỉ
khi M ≠ 0 . Hơn nữa, nếu M là R-môđun Noether thì tập AssM là tập hữu hạn.


10
(iv) Cho M là R-môđun. N là môđun con của M thì AssN ⊆ AssM .
(v) Cho M là R-môđun. Khi đó, AssM ⊆ SuppM . Nếu p∈ SuppM và
p tối tiểu trong SuppM theo quan hệ bao hàm thì p∈ AssM .
1.4. Vành địa phương
Vành R được gọi là vành địa phương nếu R chỉ có duy nhất một iđêan

tối đại.
1.5. Chiều Krull của vành và môđun
Cho R là vành giao hoán. Một dãy các iđêan nguyên tố của R:
p0 ⊃ p1 ⊃ p2 ⊃ ... ⊃ pn được gọi là một xích nguyên tố có độ dài n.
(i) Cho p∈ SpecR . Cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên
tố với p0 = p được gọi là độ cao của p, kí hiệu là ht(p) . Nghĩa là,
ht(p) = sup {độ cao xích nguyên tố với p0 = p}.
Cho I là một iđêan của R khi đó ta định nghĩa
ht( I ) = inf{ht(p) | p∈ SpecR, p ⊇ I } .
(ii) Cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố trong R được
gọi là chiều Krull của vành R, kí hiệu là dimR. Ta có
dim R = sup { ht( p) | p∈ SpecR} .
(iii) Cho M là một R-môđun. Khi đó dim( R / Ann R M ) được gọi là
chiều Krull của môđun M, kí hiệu là dim R M (hoặc dim M nếu ta không để ý
đến vành R).
Như vậy, dim R có thể vô hạn do ht(p) có thể vô hạn và
¶ .
dim M ≤ dim R . Chú ý rằng dim M = dim M


11
1.6. Tích tenxơ của hai môđun
Khái niệm tích tenxơ có nguồn gốc từ Hình học, xuất phát từ định
nghĩa tích tenxơ của hai vectơ. Ngày nay, nó đã được định nghĩa một cách
rộng nhất.
1.6.1. Định nghĩa. Giả sử M và N là những R-môđun đã cho. Từ hai môđun
này, chúng ta xây dựng một R- môđun mà sẽ gọi là tích tenxơ của chúng. Lấy
S = M x N là tích Descartes của các tập M và N. Gọi C là R-môđun tự do có
cơ sở là S. Chú ý rằng các phần tử của C là tổng hình thức có dạng

∑

( x , y )∈S

a xy ( x, y ) , trong đó axy ∈ R bằng 0 hầu hết, ( x, y ) ∈ S . Gọi D là

môđun con của C sinh bởi tất cả các phần tử có dạng
( x + x ', y ) − ( x, y ) − ( x ', y ) ,
( x, y + y ') − ( x, y ) − ( x, y ') ,
(ax, y ) − a( x, y ) ,
( x, ay ) − a ( x, y ) ,
với a ∈ R , x, x ' ∈ M , y, y ' ∈ N . Khi đó môđun thương T = C D được gọi là
tích tenxơ của M với N và được kí hiệu là M ⊗ R N hoặc gọn hơn là M ⊗ N
khi vành R đã rõ. Ảnh của phần tử ( x, y ) ∈ S trong M ⊗ N được kí hiệu là
x ⊗ y . Do
( x + x ', y ) − ( x, y ) − ( x ', y ) ∈ D ,
( x, y + y ') − ( x, y ) − ( x, y ') ∈ D ,
(ax, y ) − a( x, y ) ∈ D ,
( x, ay ) − a ( x, y ) ∈ D ,
với a ∈ R , x, x ' ∈ M , y, y ' ∈ N nên từ định nghĩa của tích tenxơ của M với N
ta suy ra
( x + x ') ⊗ y − x ⊗ y − x '⊗ y = 0 ,
x ⊗ ( y + y ') − x ⊗ y − x ⊗ y ' = 0 ,


12
(ax) ⊗ y − a ( x ⊗ y ) = 0 ,
x ⊗ (ay ) − a( x ⊗ y ) = 0 ,
với a ∈ R , x, x ' ∈ M , y, y ' ∈ N . Vì thế ta nhận được
( x + x ') ⊗ y = x ⊗ y + x '⊗ y ,

x ⊗ ( y + y ') = x ⊗ y + x ⊗ y ' ,
(ax) ⊗ y = a( x ⊗ y ) ,
x ⊗ (ay ) = a ( x ⊗ y ) ,
với a ∈ R , x, x ' ∈ M , y, y ' ∈ N .
Sau đây là một số tính chất cơ bản của tích tenxơ.
1.6.2. Định lí. Cho M là một R-môđun. Khi đó R ⊗ R M ≅ M ≅ M ⊗ R R.
1.6.3. Mệnh đề. Cho M và N là những R-môđun và S là một tập nhân đóng
của R. Khi đó
S −1M ⊗S −1R S −1 N ≅ S −1 ( M ⊗ R N ).
1.7. Đồng cấu phẳng
Giả sử f : R → S là một đồng cấu vành. Khi đó mỗi S-môđun L đều có
cấu trúc là R-môđun, trong đó phép cộng đã có sẵn trong L và tích vô hướng
của phần tử r ∈ R với mỗi phần tử x ∈ L được cho bởi tích f ( r ) x . Cấu trúc
R-môđun L xác định như thế được gọi là cấu trúc R-môđun xác định bởi f.
Một đồng cấu f : R → S được gọi là đồng cấu phẳng nếu S xét như Rmôđun xác định bởi f là R-môđun phẳng, tức là với mỗi dãy khớp
0 → L ' → L → L '' → 0
các R-môđun, dãy cảm sinh 0 → L '⊗ S → L ⊗ S → L ''⊗ S → 0 là khớp.
Một đồng cấu f : R → S được gọi là đồng cấu hoàn toàn phẳng nếu S
xét như R-môđun xác định bởi f là R-môđun hoàn toàn phẳng, tức là với mỗi
dãy
0 → L ' → L → L '' → 0 (*)


13
các R-môđun thì (*) là khớp nếu và chỉ nếu dãy cảm sinh
0 → L '⊗ S → L ⊗ S → L ''⊗ S → 0
là khớp.
Giả sử S là một tập nhân đóng của vành R. Khi đó S −1R là phẳng trên
R.
1.8. Định lý going-up và Định lý going-down

Cho f: A → B là một đồng cấu vành. Với mỗi iđêan nguyên tố q của B,
đặt p = f -1(q) := q ∩ A. Khi đó p là một iđêan nguyên tố của A và iđêan q
được gọi là nằm trên (lying over) iđêan p. Ta nói Định lý going – up đúng
đối với f nếu với hai iđêan nguyên tố bất kỳ p và p' của A sao cho p ⊂ p' và
với iđêan nguyên tố bất kỳ q của B nằm trên p, tồn tại một iđêan nguyên tố q'
của B nằm trên p' sao cho q ⊂ q'. Tương tự, ta nói Định lý going – down
đúng đối với f nếu với hai iđêan nguyên tố bất kỳ p và p' của A sao cho p ⊂
p' và với iđêan nguyên tố bất kỳ q' của B nằm trên p', tồn tại một iđêan
nguyên tố q của B nằm trên p sao cho q ⊂ q'.
Định lý going – up và Định lý going – down đúng trong một số trường
hợp như B nguyên trên A hoặc f là một đồng cấu phẳng. Cho A là một vành
con của vành giao hoán B và x∈ B. Ta nói rằng phần tử x là nguyên trên A
nếu tồn tại n ∈ ¥ và a1 , a2 ,..., an ∈ A sao cho:
x n + a1 x n−1 + .... + an−1 x + an = 0 ,
có nghĩa là x là nghiệm của một đa thức đơn hệ với hệ tử trên A. Vành B được
gọi là nguyên trên A nếu mọi phần tử của B đều nguyên trên A. Trong trường
hợp B nguyên trên A, Định lý going – up được phát biểu dưới dạng: Giả sử
A ⊆ B là các vành, B nguyên trên A. Cho p1 ⊆ ... ⊆ pn là một dãy các iđêan
nguyên tố trong A và q1 ⊆ ... ⊆ qm (m < n) là một dãy các iđêan nguyên tố trong


14
B sao cho qi ∩ A = pi (1 ≤ i ≤ m). Khi đó dãy q1 ⊆ ... ⊆ qm có thể mở rộng
thành dãy q1 ⊆ ... ⊆ qn sao cho qi ∩ A = pi với (1 ≤ i ≤ n). Định lý going –
down được phát biểu dưới dạng: Giả sử A ⊆ B là các miền nguyên, A đóng
nguyên, B nguyên trên A. Cho p1 ⊇ ... ⊇ pn là một dãy các iđêan nguyên tố
trong A và q1 ⊇ ... ⊇ qm (m < n) là một dãy các iđêan nguyên tố trong B sao cho
qi ∩ A = pi (1 ≤ i ≤ m). Khi đó dãy q1 ⊇ ... ⊇ qm có thể mở rộng thành dãy
q1 ⊇ ... ⊇ qn sao cho qi ∩ A = pi với (1 ≤ i ≤ n).

1.9. Bậc siêu việt
Ta gọi vành A là đại số trên vành C nếu C là vành con của vành A. Cho
A là đại số trên vành C. Ta gọi phần tử z ∈ A là siêu việt trên C nếu z không
là nghiệm của mọi đa thức g ≠ 0 với hệ số trong C. Ta gọi một hệ phần tử
z1,..., zm ∈ A là độc lập đại số trên C nếu z1,..., zm không là nghiệm của mọi
đa thức m biến g ≠ 0 với hệ số trong C. Dễ thấy rằng z1,..., zm là hệ độc lập
đại số trên C khi và chỉ khi C [z1, ..., zm ] đẳng cấu với vành đa thức m biến
trên C. Từ đây suy ra z1,..., zm là hệ độc lập đại số trên C khi và chỉ khi zi là
phần tử siêu việt trên C [z1, ..., zi −1] với mọi i = 1, ..., m. Số phần tử lớn nhất
của các hệ độc lập đại số trên C trong A được gọi là bậc siêu việt của A trên C,
ký hiệu t.d.(A:C).
Cho A là một k-đại số, trong luận văn này ký hiệu bậc siêu việt của A
trên k là t.d.(A:k) và nếu A không phải là miền nguyên thì
t.d.(A:k) = sup {t.d.(A/p:k) : p ∈ Spec A}.


15

CHƯƠNG 2
TÍNH CATENARY, ĐẲNG CHIỀU ĐỊA PHƯƠNG
VÀ TÍCH TEN XƠ CỦA CÁC ĐẠI SỐ
Trong chương này các vành và đại số luôn được giả thiết là giao hoán,
có đơn vị; ký hiệu k là một trường và K là một trường mở rộng của k. Nội
dung của chương này là trình bày lại một cách chi tiết các kết quả trong bài
báo [10] của M. Tousi và S. Yassemi.
2.1 Tính catenary và đẳng chiều địa phương
Tính catenary cho các vành đã được quan tâm nghiên cứu đầu tiên bởi
W. Krull từ năm 1937. Sau đó rất nhiều kết quả về tính catenary của vành
được cho bởi W. Krull, M. Nagata, I. S. Cohen, D. Ferand và M. Raynaud, L.
J. Ratliff, R. Heitmann, M.Brodmann ..., các kết quả này đã làm cho tính

catenary của vành trở thành một lí thuyết quan trọng trong Đại số giao hoán,
nó liên quan với nhiều lĩnh vực khác của Đại số giao hoán như vành định
chuẩn, môđun Cohen-Macaulay tối đại, vành Rees, vành phân bậc liên kết...
Lớp vành catenary đầu tiên được chỉ ra bởi W. Krull trong một bài báo của
ông năm 1937, ở đó ông chỉ ra rằng nếu k là một trường thì mọi k-đại số hữu
hạn sinh đều là vành catenary. Tính catenary của lớp vành đầy đủ theo tôpô
m-adic được chứng minh bởi Cohen trong một bài báo năm 1946, ở đó ông
đã chứng minh tính catenary cho vành các chuỗi luỹ thừa hình thức trên một
trường và sau đó chỉ ra rằng mỗi vành địa phương đầy đủ là thương của một
vành các chuỗi luỹ thừa hình thức. Hầu hết các vành được biết đến đều là
catenary. Cho đến tận năm 1956, M. Nagata mới chỉ ra được một lớp những
miền nguyên không catenary.
2.1.1. Định nghĩa. Cho q⊂ p là các iđêan nguyên tố của vành R. Một dãy các
iđêan nguyên tố q= p0 ⊂ p1 ⊂ ... ⊂ pn = p sao cho pi ≠ pi+1 , i = 0, …, n – 1,


16
được gọi là một dãy iđêan bão hòa giữa q và p nếu với mọi i, không tồn tại
một iđêan nguyên tố chèn giữa pi và pi+1 . Cho R là vành giao hoán, Noether.
R được gọi là vành catenary nếu với mọi cặp iđêan nguyên tố q⊂ p của R
luôn tồn tại một dãy nguyên tố bão hòa giữa p và q và mọi dãy nguyên tố
bão hòa giữa p và q đều có cùng độ dài.
2.1.2. Chú ý. (i) Khi R là vành Noether địa phương thì dim R < ∞ . Vì thế
luôn tồn tại một dãy nguyên tố bão hòa giữa p và q với mọi cặp iđêan
nguyên tố pÌ⊂ q của R . Trong trường hợp này, R là vành catenary nếu và
chỉ nếu mọi dãy nguyên tố bão hòa giữa hai iđêan nguyên tố pÌ⊂ q đều có
cùng độ dài. Rõ ràng nếu dim R ≤ 2 thì R là catenary. Thật vậy, cho pÌ⊂ q là
các iđêan nguyên tố của R. Khi đó chỉ có một trong 2 khả năng xảy ra: hoặc
chèn được thêm 1 iđêan nguyên tố giữa p và q để được dãy bão hoà, hoặc

pÌ⊂ qđã là bão hoà. Vì thế R là catenary.
(ii ) Vành thương của vành catenary cũng là vành catenary. Thật vậy,

giả sử R vành catenary và I là iđêan của R . Khi đó, mỗi dãy iđêan nguyên tố
bão hòa giữa hai iđêan nguyên tố p ⊂ q của R I tương ứng với một dãy
iđêan nguyên tố bão hòa giữa hai iđêan nguyên tố pÌ⊂ q của R chứa I , trong
đó p và q là ảnh của p và q trong R I . Vì thế R I là catenary.
Từ định nghĩa vành catenary, ta dễ thấy rằng nếu R là miền nguyên địa
phương catenary thì nó thoả mãn công thức chiều
ht p + dim R/p = dim R
với mọi iđêan nguyên tố p của R. Vì thế I. S. Cohen 1954 đã hỏi rằng liệu
một miền nguyên địa phương R thoả mãn công thức chiều ht p + dim R/p =
dim R
với mọi iđêan nguyên tố p của R luôn là miền catenary? Câu trả lời khẳng
định được R. J. Ratliff đưa ra vào năm 1972.


17
2.1.3. Mệnh đề. Một miền nguyên Noether địa phương R là catenary nếu và
chỉ nếu với mỗi iđêan nguyên tố p của R ta có
ht p + dim R/p = dim R.
Nhắc lại rằng Min (R) là tập tất cả các iđêan nguyên tố tối thiểu của R.
2.1.4. Định nghĩa. Cho R là một vành hữu hạn chiều. Vành R được gọi
đẳng chiều nếu dim R p = dim R với mọi p∈ Min ( R ) . Vành R được gọi là
đẳng chiều địa phương nếu Rp là đẳng chiều với mọi p∈ Spec R .
Từ định nghĩa vành catenary, dễ thấy rằng nếu R là vành catenary thì
htp + dim R/p = dim R với mọi iđêan nguyên tố p của R. McAdam và R. J.
Ratliff năm 1974 đã chứng minh chiều ngược lại, kết quả này mở rộng Mệnh
đề 2.1.3 cho tất cả các vành địa phương đẳng chiều.
2.1.5. Mệnh đề. Giả sử R là vành địa phương Noether đẳng chiều. Khi đó R

là catenary nếu và chỉ nếu với mỗi iđêan nguyên tố p của R ta có
ht p + dim R/p = dim R.
Kết quả sau đây là các đặc trưng của vành catenary và đẳng chiều địa
phương.
2.1.6. Bổ đề. Cho R là một vành. Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
(i)

R là catenary và đẳng chiều địa phương;

(ii)

R là vành hữu hạn chiều địa phương và ht q = ht p+ ht (q p)
với mọi p, q∈ Spec R , p⊂ q;

(iii)

R là vành hữu hạn chiều địa phương và với bất kì chuỗi bão
hòa các iđêan nguyên tố p⊂ q, ht q = ht p+ 1 .

Chứng minh. (i) ⇒ (ii ) . Giả sử p⊂ q là chuỗi bão hòa iđêan các nguyên tố
trong Spec R và ht p = t , ht (q p) = s . Khi đó, tồn tại một chuỗi bão hòa các
iđêan nguyên tố p0 ⊂ p2 ⊂ ... ⊂ pt = q⊂ pt +1 ⊂ ... ⊂ pt + s . Vì R catenary và đẳng
chiều địa phương nên ta có: ht (q p0 ) = t + s và ht (q p0 ) = ht q.


18
(ii ) ⇒ (i ) . Cho p∈ Spec R và p0 Rp ∈ Min ( Rp) . Khi đó, ht ( p p0 ) = ht p.

Do đó dim ( Rp p0 Rp) = dim R p .
(ii ) ⇒ (iii ) . Giả sử p, q∈ Spec R , p⊂ q ta có ht q = ht p+ ht (q p) với mọi

p, q∈ Spec R nên

với p, q∈ Spec R , p⊂ q là chuỗi bão hòa thì ta có

ht(q p) = 1 . Do đó ta có ht q = ht p+ 1 .
(iii ) ⇒ (ii ). Giả sử với bất kì chuỗi bão hòa các iđêan nguyên tố 1, ta đều

có ht q = ht p+ 1 . Khi đó dễ thấy rằng với mọi p', q'∈ Spec R , p' ⊂ q' ta có
ht q' = ht p' + ht (q'/ p'). 
2.1.7. Bổ đề. Nếu vành ( R, m) là catenary và đẳng chiều địa phương thì
ht p2 = ht p1 + ht (p2 p1 ) với mọi p1 , p2 ∈ Spec R thỏa mãn p1 ⊂ p2 .
Chứng minh. Nếu p là một iđêan nguyên tố tối thiểu p⊂ p1 thì
ht ( p1 p) = ht ( m p) − ht ( m p1 ) = dim R − ht ( m p1 )
và điều này là không phụ thuộc vào sự lựa chọn của p vì thế ht p1 = ht (p1 p).
Tương tự ht p2 = ht ( p2 p). Từ đó suy ra ht p2 = ht p1 + ht ( p2 p1 ). 
Từ hai bổ đề trên ta có ngay hệ quả sau.
2.1.8. Hệ quả. Cho ( R, m) là vành địa phương. Khi đó các điều kiện sau là
tương đương:
(i)

R catenary và đẳng chiều địa phương;

(ii)

R catenary và đẳng chiều.

Năm 2003, M. Tousi và S. Yassemi [9] đã chứng minh được rằng S là
chính qui (tương ứng giao đầy đủ địa phương, Gorenstein hoặc Cohen Macaulay) nếu vành R và các thớ Rp/pRp ⊗RS với p ∈ SpecR là chính qui
(tương ứng giao đầy đủ địa phương, Gorenstein hoặc Cohen - Macaulay).

Tiếp theo, năm 2005, M. Tousi và S. Yassemi [10] tiếp tục chứng minh được
rằng S là catenary và đẳng chiều địa phương nếu vành R và các thớ Rp/pRp
⊗RS với p ∈ Min R là catenary và đẳng chiều địa phương. Hơn nữa, nếu ϕ: R


19
→ S là một đồng cấu hoàn toàn phẳng (nghĩa là S là một R-môđun hoàn toàn
phẳng) thì R là catenary và đẳng chiều địa phương nếu S là catenary và đẳng
chiều địa phương. Những kết quả này của M. Tousi và S. Yassemi đã làm sâu
sắc hơn các kết quả đã biết từ lâu về tính catenary và đẳng chiều địa phương
bởi đồng cấu phẳng (xem [5; Theorem 31.5]).
2.1.9. Định lí. Cho ϕ : R → S là một đồng cấu phẳng của các vành
Noether. Nếu R là đẳng chiều địa phương và vành R p⊗ R S , p∈ Min ( R ) là
catenary và đẳng chiều địa phương thì S là catenary và đẳng chiều địa
phương.
Chứng minh. Xét chuỗi các iđêan nguyên tố trong S , q1 ⊂ q2 . Theo Bổ đề
2.1.7 ta có ht q2 = ht q1 + ht (q2 q1 ) . Cho q∈ MinS sao cho q⊂ q1 ⊂ q2 . Đặt
pi = qi ∩ R với i = 1,2 và p = q∩ R . Do đó p∈ Min R . Với iđêan J bất kì của
S , đặt J%= J pS . Khi đó ta có:
%
%
ht (q2 q1 ) = ht (q
2 q1 )
%
%
%
%
Vì S pS là catenary và đẳng chiều địa phương nên ht (q
2 q1 ) = ht q2 − ht q1
Theo [5; Theorem 15.1] ta có

%
%
ht q
2 − ht q1

= ht (p2 p) + dim ( S%
( p2 p)( S%
)) − ht ( p1 p) − dim ( S%
( p1 p)( S%
))
%
%
%
%
q
q
q
q
2
2
1
1
= ht p2 − ht p1 + dim ( Sq2 p2 S q2 ) − dim ( S q1 p1S q1 )
= ht q2 − ht q1
Theo Bổ đề 2.1.7 suy ra S là catenary và đẳng chiều địa phương. 
Cho ϕ : ( R, m) → ( S , n) là một đồng cấu địa phương phẳng của các
vành Noether địa phương. Nếu S đẳng chiều và catenary thì R đẳng chiều và
catenary, và S pS là đẳng chiều với mọi iđêan nguyên tố p của R (xem
[5;Theorem 31.5]).

2.1.10. Định lí. Cho ϕ : ( R, m) → ( S , n) là một đồng cấu địa phương phẳng
của các vành địa phương Noether. Khi đó các điều kiện sau là tương đương:


20
(i)

S là đẳng chiều và catenary

(ii)

R và S pS là đẳng chiều và catenary với mọi p∈ Spec R

(iii)

R và S pS là đẳng chiều và catenary với mọi p∈ Min R

Chứng minh. (i) ⇒ (ii ) . Giả sử p0 là một iđêan tối tiểu bất kì của R . Khi đó
tồn tại một iđêan tối tiểu q0 của S nằm trên p0 . Khi đó dim S q0 = dim S sao
cho dim S p0 S = dim S . Theo [5; Theorem 15.1] ta có:
ht ( m p0 ) = ht (n p0 S ) − ht (n mS ) = dim S − ht ( n mS )
Điều này độc lập với sự lựa chọn của p0 , do đó R là đẳng chiều. Nếu q là
iđêan nguyên tố tối tiểu của pS thì theo Định lí going- down ta thấy rằng
q∩ R = p, do đó theo [5; Theorem 15.1],

ht q = ht p và do đó

ht ( n q) = ht n − ht q = ht n − ht p được xác định theo p duy nhất. Nghĩa là
S pS là đẳng chiều. Nếu p'∈ Spec R sao cho p' ⊂ p và ht ( p p') = 1 . Ta cho
q' là một iđêan nguyên tố của p'S chứa trong q thì S p' S là đẳng chiều và

phẳng trên R p' , do đó ht (q q') = ht (q p'S) = ht ( p p') = 1 . Tuy nhiên S là
đẳng chiều và catenary

nên ht (q q') = ht q− ht q' = ht p− ht p' và do đó

ht p = ht p'+ 1 . Theo Bổ đề 2.1.7 suy ra R là catenary.
(ii ) ⇒ (iii ) . Hiển nhiên vì Min R ⊂ Spec R .
(iii ) ⇒ (i ) . Vì

ϕ là một đồng cấu địa phương phẳng nên S pS ≅ R p⊗ R S với

mọi p∈ Min R . Theo Định lí 2.1.9 thì S là đẳng chiều và catenary.



2.1.11. Định lí. Cho ϕ : R → S là một đồng cấu hoàn toàn phẳng của các
vành Noether. Nếu S là catenary và đẳng chiều địa phương thì R cũng là
catenary và đẳng chiều địa phương.
Chứng minh. Cho p∈ Spec R . Vì ϕ hoàn toàn phẳng nên tồn tại q∈ Spec R
sao cho p = q∩ R . Xét đồng cấu địa phương phẳng ϕ%: Rp → Sq xác định bởi


21

ϕ%
(r s ) = ϕ ( r ) ϕ ( s ) . Theo Định lí 2.1.10 suy ra R catenary và đẳng chiều địa
phương. 
2.2. Tính catenary của tích tenxơ các đại số
2.2.1. Định nghĩa. Một vành R được gọi là catenary phổ dụng nếu mọi R-đại
số hữu hạn sinh là catenary.

Vì mọi R-đại số hữu hạn sinh sinh bởi n phần tử đều là thương của
vành đa thức R[x1, ..., xn ] và thương của một vành catenary là một vành
catenary nên điều kiện cần và đủ để vành Noether R là catenary phổ dụng là
R[x1, ..., xn ] catenary với mọi n ≥ 0. Tổng quát hơn điều này, ta có kết quả
sau đây (xem [5; Corollary 1- trang 255]).
2.2.2. Mệnh đề. Vành Noether R là catenary phổ dụng nếu và chỉ nếu R[ X ]
là catenary.
Cho A và B là các k – đại số; K là một mở rộng trường của k. Một
hướng nghiên cứu quan trọng trong Đại số giao hoán là nghiên cứu việc
chuyển từ A, B tới tích tenxơ A⊗kB, nghĩa là nghiên cứu các iđêan nguyên tố
của A và B bởi mở rộng vô hướng. Đã có rất nhiều nhà toán học nghiên cứu
về vấn đề này như Grothendick, Bouchiba, Sharp, Vamos, Wadsworth, ....
Tuy nhiên vấn đề liệu K⊗kA có catenary (phổ dụng) hay không khi K là một
mở rộng đại số của k và A là catenary (phổ dụng) vẫn đang là vấn đề mở. Vì
vậy, trong phần thứ hai của [10], M. Tousi và S. Yassemi đã đưa ra câu trả lời
khẳng định cho vấn đề này trong một số trường hợp đặc biệt. Cụ thể là họ đã
chỉ ra rằng K⊗kA là catenary phổ dụng nếu một trong những điều kiện sau
được thỏa mãn:
(i) A là catenary phổ dụng và K là một mở rộng trường hữu hạn sinh của
k;
(ii) A là vành Noether catenary phổ dụng và t.d.(K:k) < ∞ ;
(iii) A là catenary phổ dụng và K⊗kA là Noether.


22
2.2.3. Mệnh đề. Cho A là một vành catenary phổ dụng và là một k -đại số
và K là một trường mở rộng hữu hạn sinh của k . Khi đó, K ⊗k A là
catenary phổ dụng.
Chứng minh. Ta có:
A ⊗k K ≅ S −1 A[X 1 , X 2 ,..., X n ] ( f1 , f 2 ,..., f m )

trong đó S là tập nhân đóng của A[X 1 , X 2 ,.. X n ] và f1 , f 2 ,... f m là một
S −1 A[X 1 , X 2 ,..., X n ] -dãy. Mặt khác, tính catenary phổ dụng là ổn định qua địa
phương hóa và phép lấy thương nên S −1 A[X 1 , X 2 ,..., X n ] ( f1 , f 2 ,..., f m ) là
catenary phổ dụng. Suy ra K ⊗k A là catenary phổ dụng. 
2.2.4. Bổ đề. Cho A là vành con của B sao cho B nguyên trên A và B là
một A -môđun phẳng. Khi đó, nếu B là đẳng chiều địa phương thì A là đẳng
chiều địa phương.
Chứng minh. Cho p∈ Spec A và p0 Rp ∈ Min Ap . Khi đó tồn tại q∈ Spec B sao
cho p=q∩ A . Theo Định lý going-down thì tồn tại q0 ∈ Spec B với q0 ⊂ q và
q0 ∩ A = p0 . Chúng ta khẳng định rằng q0 ∈ Min B . Thật vậy, nếu tồn tại
q' ⊂ q0 thì p' = q' ∩ A ⊆ q0 ∩ A = p0 , suy ra p' = p0 . Do đó q' = q0 vì B nguyên
trên A. Khi đó ht q = dim ( Bq) = dim ( Bq (q0 ) Bq) = ht (q q0 ) . Vì S q0 nguyên
trên R p0 nên ht (q q0 ) ≤ ht ( p p0 ) và khi đó ht q = ht (q q0 ) ≤ ht ( p p0 ) ≤ ht p.
Mặt khác do p=q∩ A nên ht p ≤ ht q. Vì vậy ht p= ht q. Từ đó ta có điều
phải chứng minh.
Cho A là một k- đại số và trường K là một mở rộng đại số của k. Các
kết quả sau đây cho thấy tính catenay (phổ dụng) và đẳng chiều địa phương
được chuyển từ K ⊗k A tới A .
2.2.5. Mệnh đề. Cho A là một k- đại số và trường K là một mở rộng đại số
của k. Khi đó ta có:


23
(i)

Nếu K ⊗k A là đẳng chiều địa phương thì A cũng là đẳng
chiều địa phương.

(ii)

Nếu K ⊗k A là catenary và đẳng chiều địa phương thì A
cũng là catenary và đẳng chiều địa phương.

(iii)

Nếu K ⊗k A là catenary phổ dụng và đẳng chiều địa phương
thì A cũng là catenary phổ dụng và đẳng chiều địa phương.

Chứng minh. (i) Xét đồng cấu tự nhiên ϕ : A → K ⊗k A . Ta có K ⊗k A là một
mở rộng nguyên của A . Hơn nữa, K ⊗k A là A -môđun phẳng. Theo Bổ đề
2.2.4 thì A là đẳng chiều địa phương.
(ii) Ta có A là vành địa phương hữu hạn chiều. Áp dụng Bổ đề 2.1.7, ta chỉ
cần chứng minh rằng với bất kì chuỗi bão hòa của các iđêan nguyên tố của A :
p1 ⊂ p2 thì ht p2 = 1 + ht p1 . Vì K ⊗k A là mở rộng nguyên của A nên tồn tại
một chuỗi bão hòa của các iđêan nguyên tố q1 ⊂ q2 của K ⊗k A sao cho
qi ∩ A = pi với i = 1,2 . Do đó ht q2 = 1 + ht q1 . Như vậy ht qi = ht pi với i = 1,2 .
Từ đó suy ra điều cần chứng minh.
(iii) Xét đẳng cấu
( K ⊗k A)[X 1 , X 2 ,..., X n ] ≅ K ⊗ k A[X 1 , X 2 ,..., X n ]
trong đó X 1 , X 2 ,..., X n là các biến. Vì K ⊗k A là catenary phổ dụng và đẳng
chiều địa phương nên ( K ⊗k A)[X 1 , X 2 ,..., X n ] là catenary và đẳng chiều địa
phương suy ra K ⊗k A[X 1 , X 2 ,..., X n ] là catenary và đẳng chiều địa phương.
Theo (ii) ta có A[X 1 , X 2 ,..., X n ] là catenary và đẳng chiều địa phương. Vậy A
là catenary phổ dụng và đẳng chiều địa phương. 
2.2.6. Bổ đề. Cho A là một vành Noether đẳng chiều địa phương. Khi đó,
A[ X ] cũng là một vành Noether đẳng chiều địa phương.
Chứng minh. Theo Định lý cơ sở Hilbert, A là vành Noether nên A[ X ] cũng
là vành Noether. Giả sử p là một iđêan nguyên tố của vành A thì

24
ht p[X ] = ht p và nếu q là một iđêan trong A[ X ] với q∩ A = p nhưng
q ≠ p[X ] thì ht q = ht p+ 1. 
Cho A là một miền nguyên Noether và là một k-đại số; K là một trường
mở rộng của k với t.d.(K:k) < ∞. Năm 2002, S. Bouchiba, D. E. Dobbs, S. E.
Kabbaj sử dụng khái niệm MPC (minimal prime comaximality) đã chứng
minh được rằng nếu K⊗kA thỏa mãn (MPC) và A[X] là catenary thì K⊗kA
catenary phổ dụng. Định lý sau đây trong [10] là một sự tổng quát hóa kết quả
này.
2.2.7. Định lí. Cho A là một vành Noether và là một k- đại số, K là trường
mở rộng của k với t.d.(K:k) < ∞. Khi đó:
Nếu A là catenary phổ dụng thì K ⊗k A cũng là catenary phổ

(i)

dụng.
(ii)

Nếu A là catenary phổ dụng và đẳng chiều địa phương thì
K ⊗k A cũng là catenary phổ dụng và đẳng chiều địa phương.

−1
Chứng minh. Ta có K ⊗k A ≅ K ⊗k ( X1 , X 2 ,.., X t ) S A[ X 1 , X 2 ,..., X t ] trong đó

t = t.d.( K : k ) và S = k[ X 1 , X 2 ,..., X t ] \ {0} . Vì A là đẳng chiều địa phương
nên S −1 A là đẳng chiều địa phương và áp dụng Bổ đề 2.2.6 ta có thể giả sử K
mở rộng đại số của k.
(i)

Do

( K ⊗k A)[X 1 , X 2 ,..., X n ] ≅ K ⊗k A[X 1 , X 2 ,..., X n ]

trong

đó

X 1 , X 2 ,..., X n là biến ( n ≥ 1 ) nên ( K ⊗k A)[X 1 , X 2 ,..., X n ] là địa phương hữu
hạn chiều. Do đó K ⊗k A là catenary phổ dụng.
(ii) Cho q1 ∈ Min ( K ⊗k A) và q2 ∈ Spec( K ⊗k A) với q1 ⊂ q2 . Đặt
qi ∩ R = pi với i = 1,2 . Ta có đẳng thức:
ht (q2 q1 ) = ht (p2 p1 ) .
Vì A catenary nên
ht (q2 q1 ) = ht (p2 p1 ) = ht p2 = ht q2 . 


25
Từ định lý trên ta có hệ quả sau đây.
2.2.8. Hệ quả. Cho A là vành catenary phổ dụng và là một k- đại số; K là
trường mở rộng của k sao cho K ⊗k A là Noether. Khi đó K ⊗ k A là catenary
phổ dụng.
Chứng minh. Do K ⊗k A là Noether nên ta có A là Noether và
t.d.( K : k ) < ∞ hoặc t.d.( A : k ) < ∞ .
Nếu t.d.( K : k ) < ∞ thì theo Định lí 2.2.7 suy ra K ⊗ k A là catenary phổ
dụng.
Nếu t.d.( A : k ) < ∞ . Gọi B là cơ sở siêu việt của K trên k . Khi đó ta có
đẳng cấu K ⊗k A ≅ K ⊗k ( B ) (k ( B ) ⊗k A) , với k ( B ) ⊗k A là Noether. Vì k ( B )
là trường mở rộng hoàn toàn siêu việt của k nên theo Bouchiba et al. (2002),
ta có k ( B ) ⊗k A là catenary phổ dụng. Như vậy, ta có k ( B ) ⊗k A là Noether,
catenary phổ dụng và K là đại số trên k ( B ) . Do đó theo Định lí 2.2.7 thì

K ⊗k ( B ) (k ( B ) ⊗k A) là catenary phổ dụng và vì vậy K ⊗k A là catenary phổ
dụng. 
2.2.9. Định lí. Giả sử A là vành Noether, catenary, đẳng chiều địa phương và
là k-đại số; K là trường mở rộng đại số của k. Nếu q1 , q2 ∈ Spec( K ⊗k A)
sao cho q1 ⊂ q2 thì ht (q2 q1 ) = 1 hoặc ht (q2 q1 ) = ht q2 − ht q1 .
Chứng minh. Xét đồng cấu tự nhiên ϕ : A → K ⊗k A . Giả sử q1 ⊂ q2 là một
dãy các iđêan nguyên tố trong Spec( K ⊗k A) . Chúng ta có thể giả thiết rằng
A là địa phương với iđêan cực đại p2 = q2 ∩ A đẳng chiều địa phương và
catenary. Thật vậy, nếu S = A − p2 thì ϕ%: S −1 A → S −1 ( K ⊗k A) ≅ K ⊗k S −1 A
là một đồng cấu tự nhiên và S −1 A là địa phương, đẳng chiều và catenary. Hơn
nữa, ht ( S −1q2 S −1q1 ) = ht (q2 q1 ) và ht ( S −1qi ) = ht qi với i=1,2. Vì vậy, ta có
thể giả thiết rằng A là địa phương, catenary và đẳng chiều. Đặt p1 = q1 ∩ A .