Buồng cộng hưởng quang học và ảnh hưởng của các thông số trong buồng cộng hưởng đến phổ phát xạ của laser màu

Lời cảm ơn
Trải qua một khoảng thời gian dài tìm đọc và nghiên cứu. Bản luận
văn đà hoàn thành, đây là thành quả, là tâm huyết của tác giả cùng bao
ngời.
Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo hớng dẫn Đoàn Hoài Sơn,
thầy đà giúp đỡ em rất nhiều. Sự chỉ bảo tận tình và nguồn động viên quý
báu ở thầy dành cho em là niềm tin, là động lực soi sáng trong suốt quá
trình học tập và thực hiện khoá luận.
Để có đợc nh ngày hôm nay, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến
các thầy cô trực tiếp giảng dạy, cung cấp nguồn tri thức cho em. Đặc biệt
trong đó có thầy: Nguyễn Văn Phú (giáo viên giảng dạy). Những điều
thầy giảng dạy, những lời thầy chỉ bảo rất bổ ích và thật ý nghĩa. Em đÃ
học hỏi ở thầy rất nhiều điều góp phần không nhỏ trong sự thành công của
bản khoá luận này.
Với tình cảm chân thành, em xin gửi tới gia đình và những ngời
thân yêu nhất cùng bạn bè đà giúp đỡ, động viên, tạo mọi điều kiện thuận
lợi để em học tập và hoàn thiện khoá luận.
Em xin chân thành cảm ơn!

Vinh, tháng 5 năm 2005.

Tác giả


Mở đầu
Vào cuối những năm 40 và đầu những năm 60 cđa thÕ kû XX, ®· cã hai
®ãng gãp to lớn cho công nghệ - Đó là Tranzito và Laser. Trarito đà kích thích
sự phát triển của vi điện tử, còn Laser mở đờng vào một lĩnh vực mới (đôi khi
còn gọi là photon học) có liên quan đến sự tơng tác giữa các photon và khối
chất.
Laser là một trong những phát minh quan trọng và đợc ứng dụng rộng rÃi

nhất trong hầu hết các ngành khoa học, công nghệ và y tế, đặc biệt là thông tin
quang. Đó chính là nhờ những tính chất nổi bật nh:
+ Độ đơn sắc cao: Laser có thể có các bớc sóng trong vùng phổ thấy đợc
với độ chính xác cở 1 phần 1015
+ Độ kết hợp cao: ánh sáng Laser có thể chiếu dài tới vài trăm km
+ ánh sáng Laser có thể làm hội tụ với độ tụ cao: Mật độ năng thông đối
với chùm tia Laser cở 1016w/cm2
Laser có nhiều loại: Laser rắn, Laser lỏng, Laser khí, Laser bán dẫn,
Laser màu. Trong đợc ứng dụng nhiều nhất phải kể đến Laser màu (ra đời năm
1960 với môi trờng hoạt chất là những dung dịch màu hữu cơ). Ngoài những
tính chất nỗi bật của một Laser, nó còn có tính chất u việt trội hơn hẳn đó là:
+ Khả năng điều chỉnh liên tục đợc bức sóng trong giới hạn hàng trăm
A0 .
+ Hệ số khuyếch đại lớn, cũng nh dễ chế tạo và thay đổi thành phần hoạt
chất của nó nên rất thuận lợi cho việc nghiên cứu.
+ Giá thành rẻ.
Máy phát Laser gồm có các bộ phận chính: Môi trờng hoạt chất, nguồn
bơm, buồng cộng hởng (BCH). Trong đó buồng cộng hởng là thành phần quan
trọng. Việc nghiên cứu cấu trúc trờng của các mode trên các gơng giúp ta hiÓu

=2=


rõ thêm về chức năng, nhiệm vụ, tầm quan trọng của nó cũng nh cách thức
truyền sóng điện từ trong BCH.
Ngoài ra các thông số trong BCH (nồng độ, nguồn bơm, độ phản xạ của
các gơng, chiều dài của BCH) có ảnh hởng rất lớn đến phổ phát xạ của Laser,
đặc biệt là Laser màu. Qua đó có thể điều chỉnh đợc bớc sóng của Laser màu
trong những điều kiện vật lý khác nhau. Nó giúp tối u hoá hoạt động và công
nghệ Laser cũng nh tạo điều kiện để thực hiện các ứng dụng khác.

Bản khoá luận: Buồng cộng hởng quang học và ảnh hởng của các thông
số trong buồng cộng hởng đến phổ phát xạ của Laser màu.
Đợc trình bày thành hai chơng:
Chơng I: BCH quang học .Trong ®ã nãi vỊ kh¸i niƯm cđa mét BCH
quang häc, c¸c loại BCH với cấu trúc trờng của các mode trong BCH.
Chơng II: Nghiên cứu, khảo sát ảnh hởng của các thông số trong BCH
đến phổ phát xạ của Laser màu .Trong đó có trình bày khái quát về BCH Laser
màu, một số ảnh hởng của các thông số trong BCH đến phổ phát xạ Laser màu,
trong đó có mô phỏng bằng lý thuyết đồng thời kết quả thí nghiệm cho ta chứng
thực sự đúng đắn trong quá trình khảo sát.

=3=


ChƯƠng I:

Buồng cộng hởng quang học
I. Khái niệm về buồng céng hëng

* Laser:(Light Amplification by Stimulaled Emission of Radiation).
Tøc lµ khuyếch đại ánh sáng bằng bức xạ cỡng bức. Nó không phải là
nguồn sáng tự nhiên, hay là một nguồn nhân tạo thông thờng mà là sản phẩm
của quá trình khuyếch đại (KĐ) các phát xạ cỡng bức. Phát xạ cỡng bức là hiện
tợng trong đó bức xạ đợc phát ra do quá trình chuyển dời của các hạt (nguyên
tử, phân tử, điện tử) từ mức năng lợng cao xuống mức năng lơng thấp hơn dới
tác dụng của trờng ngoài. Bức xạ này sẽ đợc KĐ lên nh thế nào trong môi trờng
hoạt chất? Và bằng cách nào?
Một đại lợng đặc trng cho khả năng bức xạ ra sóng điện từ đó là cờng độ
bức xạ. Nó chính là số photon truyền trong một trong một đơn vị diện tích trên
một đơn vị thời gian và có tần số nằm trong khoảng

ữ d .

Ta xét sóng điện từ đơn sắc có cờng độ I lan truyền theo phơng OZ ở
trong môi trờng hoạt. Sự thay đổi cờng độ bức xạ sau khi sóng lan truyền đợc
một đoạn ở trong môi trờng hoạt là:
dI = GIdz
G: là hệ số KĐ của môi trờng (nó đặc trng cho tính chất của môi trờng
đó).
Khi sóng điện từ lan truyền trong môi trờng thì một phần năng lợng bị
hao phí (hấp thụ, tán xạ hoặc truyền qua). Để đặc trng cho tính chất mất mát
này ta đa vào hệ số mất mát Gm.
dI = ( G − Gm) Idz ⇒

dI
= (G − Gm )dz .
I

I

dI z
LÊy tÝch ph©n ∫ I =∫ (G − Gm )dz ⇒ I = I 0 exp{( G − Gm)z}
I0
0

Để tăng cờng độ sáng I ta có hai cách:

=4=

(1).

+ Tăng G Gm. Điều này rất phức tạp vì cần phải tăng G và giảm Gm
(tức là thay đổi tạp chất).
+ Vì vậy chỉ còn cách tăng z (tăng quảng đờng truyền) tức là ta cho bức
xạ đi lại nhiều lần trong môi trờng hoạt.
Điều này có thể làm đợc nếu ta đặt các gơng phản xạ ở hai bên của môi trờng hoạt. Bộ phận đó gọi là BCH quang học. Nh vậy để có nguồn sáng Laser thì
điều tất yếu là phải cho bức xạ đi lại nhiều lần trong BCH, và BCH đà trở thành
một trong những bộ phận quan trọng nhất của máy phát Laser.
* Buồng cộng hởng quang học:
Bao gồm hai gơng phản xạ (một gơng có hệ số phản xạ cao R 1; gơng
kia có hệ số phản xạ thấp để cho ánh sáng Laser đi ra). Giữa hai gơng là môi trờng hoạt chất (môi trờng hoạt). Do BCH chỉ đợc giới hạn bởi hai mặt phản xạ ở
hai đầu, còn cá mặt khác đều hở vì vậy ngời ta gọi là BCH mở. Ngời ta phân
biệt các loại BCH tuỳ theo cấu hình của các gơng phản xạ tạo nên nó. Chẳng
hạn: BCH là phẳng thì hai gơng phản xạ là hai gơng phẳng; BCH là cầu đồng
tiêu thì hai gơng phản xạ là hai gơng cầu lõm và chúng trùng tiêu điểm

0
Z=0
R1

Z=L
MT hoạt

Z
R2

Hình: 1
* Nguyên tắc hoạt động
Để thu đợc sóng kết hợp có độ đơn sắc cao thì BCH chỉ dao động trong

một mode. Nghĩa là chỉ có một tần số ở dao động và phát trong giải KĐ của
hoạt chất đợc dao động và phát ra. Tuy nhiên theo thuyết sóng điện từ, BCH loại

=5=


này chỉ tồn tại khi kích thớc của nó xấp xỉ . Kích thớc này là quá nhỏ để tạo
và quá nhỏ để có khả năng bức xạ ra sãng ®iƯn tõ.
Cơ thĨ: bíc sãng λ ~ (10-4 – 10-6)m
⇒ V=(10-12-10-15)cm3 thĨ tÝch
Trong thùc tÕ c¸c BCH thêng cã kích thớc L>>
L: chiều dài BCH
Nh vậy dao động ở trong hoạt chất sẽ đa mode và BCH sẽ phát đa mode.
Tất nhiên để thu đợc bức xạ đơn mode thì cần phải sử dụng các điều kiện phụ
khác.
* Cơ chế:
KĐ Laser đợc tăng lên khi trong hoạt chất đặt giữa hai gơng Laser
xuất hiện trạng thái nghịch đảo độ tích luỹ và dịch chuyển tự nhiên sinh ra
photon đi lại dọc theo trục BCH. Các phonton do quá trình dịch chuyển tự nhiên
sinh ra tơng tác với hệ nguyên tử ở trạng thái kích thích dẫn đến quá trình phát
xạ cỡng bức. Sóng điện từ đợc KĐ về biên độ đi qua hoạt chất truyền ra ngoài từ
một gơng.
Laser hoạt động không có BCH thì gọi là máy phát KĐ, còn Laser có
BCH gọi là máy phát dao động: Đó là một thiết bị đảm bảo phần tín hiệu sau
quay trở lại hệ thành sóng vào (tín hiệu vào) sao cho sóng vào cùng pha với
sóng sơ cấp.
II. Chức năng của Buồng cộng hởng

BCH thực hiện hai chức năng.
1. Thực hiện hồi tiếp dơng

Nh phần trớc ta đà biết, cờng độ của sóng điện từ phát ra từ BCH đợc xác
định theo công thức (1).
I = I 0 exp{ (G − Gm )z}

=6=


G: Hệ số KĐ lợng tử của môi trờng nó đặc trng cho tính chất của môi
trờng đó.
Gm: Hệ sè mÊt m¸t.
G = δmn ( γ).( N m − N n ) ;

(2)

δmn ( γ) : TiÕt diÖn ngang của bức xạ.

z: QuÃng đờng lan truyền.
Môi trờng hoạt chất đặt trong BCH tuy có khả năng KĐ tín hiệu đi qua
nó theo hàm mũ Buerger. Nhng độ KĐ này không lớn lắm vì chiều dài của hoạt
chất có hạn. Để có KĐ lớn phải tăng kích thớc của hoạt chất lên rất nhiều lần.
Chẳng hạn: Laser có hoạt chất là khí CO2, có G và Gm xác định. Để công
suất ra Pr=1w thì cần một ống nghiệm chứa khí dài 104m.
Vì vậy ngời ta tăng I bằng cách tăng quÃng đờng đi z. Chính nhờ BCH
quang học mà việc tăng chiều dài của hoạt chất đợc giải quyết một cách đơn
giản. Trong BCH tia sáng đợc phản xạ rất nhiều lần và đây chính là biện pháp
làm tăng quÃng đờng đi của tia. Cụ thể quá trình nh sau:
Giả sử: một quá trình dịch chuyển tự phát nào đó làm xuất hiện trong
hoạt chất một sóng điện từ. Sóng này đợc KĐ lên do nó dịch chuyển cỡng bức
khi đi qua hoạt chất. Khi tới mặt phản xạ thì một phần sóng bị mất mát do quá
trình truyền qua hay hấp thụ. Một phần lớn đợc phản xạ trở lại và đợc KĐ trên

đờng đi tới mặt phản xạ bên kia. Tại đây hiện tợng xảy ra tơng tự. Nh vậy sau
các quá trình phản xạ cờng độ của sóng đợc KĐ lên.
KĐ ở đây không thể lớn lên đến vô cùng bởi vì nó bị giới hạn bởi công
suất của nguồn bơm (tức là công suất của nguồn bơm phải có một giá trị nào đó
để dịch chuyển bức xạ Laser xảy ra).
Cờng độ bức xạ ra tăng lên đến khi thiết lập đợc điều kiện cân bằng năng
lợng. Tức là cho đến khi trạng thái cân bằng đợc thiết lập ở trên các mức năng lợng.

=7=


Hình 2: Sự hình thành hồi tiếp trong BCH
2. Tạo ra bức xạ định hớng, đơn sắc, kết hợp
- Do BCH là hở nên chỉ những sóng điện từ truyền dọc theo trục của BCH
mới đi qua hoạt chất nhiều lần và đợc KĐ lên. Các sóng điện từ này xác định
công suất ra của Laser. Các sóng điện từ làn truyền dới những góc lệch tơng đối
lớn so với trục của BCH sau một vài lần phản xạ trên các gơng thì nó sẽ bị phát
ra ngoài. Nh vậy các bức xạ ra có độ định hớng cao.
- Trong quá trình phản xạ ở trên các gơng, pha của các sóng nói chung là
không đổi vì vậy tính kết hợp là cao.
- Nhờ có BCH, nên ta có thể thực hiện đợc các phơng pháp chọn lọc dao
động khác nhau để thu đợc bức xạ trong một dÃi phổ rất hẹp, gần nh đơn sắc.
Do đó bức xạ phát ra có độ đơn sắc là cao.
BCH quang học đóng vai trò quyết định trong việc hình thành các tính
chất cơ bản của bức xạ Laser.
III. Hệ số phẩm chất của buồng cộng hởng

Để đánh giá chất lợng BCH quang học theo quan điểm năng lợng ngời ta
sử dụng khái niệm hệ số phẩm chất. Nó chính là đại lợng đặc trng cho BCH, và
đợc định nghĩa bởi (ký hiệu là Q).

Q= ì (năng lợng dự trữ trong BCH/năng lợng mất mát trong một đơn vị thời
gian)
E

d
Ta có công thức: Q = 2 πγ P
0

=8=


Ed: Năng lợng dự trữ trong BCH
P0: Là năng lợng trung bình tiêu hao trong một giây (hay còn gọi là công
suất trung bình của các tổn hao đối với một dạng dao động)
Nh vậy theo công thức trên hệ số phẩm chất của BCH càng cao khi độ
tổn hao trong BCH càng nhỏ và ngợc lại. Tổn hao trong BCH có hai dạng chính:
+ Tổn hao do các gơng không phải là phản xạ toàn phần.
+ Tổn hao do nhiễu xạ, sự không song song, độ nhám của các gơng, do hấp
thụ và tán xạ trong BCH hay là mất mát phụ thuộc vào cấu hình của BCH.
Trớc hết ta nói về chất lợng phản xạ của các gơng. Nếu coi các gơng là
hoàn toàn giống nhau và có cùng hệ số phản xạ R thì phần năng lợng của BCH
bị giảm đi trong khoảng thời gian dt do hiện tợng truyền qua và hấp thụ đợc xác
định nh sau:
Giả sử sóng mang năng lợng E/2 đi từ gơng G1 đến gơng G2. Tại gơng G2
E
2

sóng này phản xạ trở lại một phần còn phần tổn hao bằng (1 R) . Khoảng
thời gian cần thiết để sóng đi hết quÃng đờng từ hai gơng là:

t =

L L .n
=
.
v
c

Vậy tính trung bình trong một đơn vị thời gian sóng bị mất một phần
năng lợng là:


E.(1 R)
E.(1 R).c
=
2..t
2.L.n

Vì mỗi một dao động trong BCH đợc tạo bởi hai sóng phẳng lan truyền
theo hớng ngợc chiều nhau phần năng lợng mà một mode mất đi trong một
đơn vị thời gian là:

E.(1 R).c
L.n

Nên tổn hao đợc tính theo cả khoảng thời gian t là:
dE = E(1 R)

c
dt

L.n

Mặt khác, nếu coi các mode của BCH nh một dao động điện từ độc lập
thì mỗi một dao động điện từ này đặc trng bằng một tần số cộng hởng và tốc độ
=9=


tán xạ năng lợng (tốc độ tắt dần dao động) cã thĨ biĨu diƠn qua hƯ sè phÈm
chÊt:
.
 − ωt 
E = E 0 exp 

Q 


LÊy vi ph©n suy ra:

dE = E

E0 : là năng lợng dự trữ trong BCH


dt
Q

So sánh hai công thức trên ta rút ra đợc:
Với =

1R

2.L

Q=

L. n
.
2 .L.n
=
c(1 R) (1 R)

(3).

(là độ mất mát)

Với hiện tợng nhiễu xạ: Giả sử có kích thớc của gơng là D, khi đó photon
đi ra khỏi BCH sẽ bị nhiễu xạ và góc nhiễu xạ =


.
D

Xác suất của phôton đi ra

khỏi BCH (không tham gia vào quá trình hình thành bức xạ Laser), tức là tỉ số
giữa độ lệch theo hớng vuông góc với hớng chuyển động và kích thớc của gơng
là:

1 L
. .
2 D D

Đây chính là đại lợng xác định các tổn hao do nhiễu xạ.
Nh vậy khi tính tới ảnh hởng của nhiễu xạ hệ số phẩm chất của BCH sẽ
đợc xác định:
Q=

2 .L.n
.L

1 R +

2D 2


(4).

Nếu =1àm, D=1cm, L=10cm thì

L
1
= .10 3 , tức là các tiêu hao
2
2
2D

nhiễu xạ nó làm giảm hệ số phẩm chất của BCH quang học. Tuy nhiên còn có
các tổn hao khác nh: nhiễu xạ, tiêu hao do tán xạ ánh sáng tại các tâm không
đồng chất của hoạt chất, tổn hao qua các mặt bên của BCH.

= 10 =

IV. Các loại buồng cộng hởng

BCH quang học có nhiều dạng khác nhau, tuỳ thuộc vào cấu hình của các
gơng phản xạ tạo nên nó, chẳng hạn nh:
+ Loại đơn giản nhất và thông dụng nhất là hệ gồm hai mặt phẳng đặt
song song vào nhau. Trong quang học ngời ta gäi hƯ céng hëng nµy lµ giao thoa
kÕ Fabri Perot.
BCH gồm hai gơng phẳng đòi hỏi rất khắt khe
về độ song song của các gơng (tới vài giây góc)
và vì thế rất khó chỉnh nhng nó lại cho bức xạ

Hình. 3a

có độ định hớng cao.
Loại này thờng đợc sử dụng trong các loại Laser rắn và Laser bán dẫn.
+ Hệ gồm hai gơng phản xạ là dạng cầu hoặc Parabol. Đặc biệt thông
dụng là loại BCH gồm hai gơng cầu có bán kính cong bằng nhau, đợc đặt cách
nhau sao cho hai tiêu điểm bằng nhau gọi là BCH đồng tiêu
Ưu điểm cơ bản là dễ chỉnh và các tổn
hao do nhiễu xạ ở trong BCH có thể xem nh là
không đáng kể.Loại này thờng đợc dùng trong
Hình. 3b

Laser khí.

+ Ngoài ra còn có những BCH gồm có hai gơng: một gơng cầu, một gơng
phẳng hoặc có BCH gồm một lăng kích hoặc cả hai lăng kích. Sự thay đổi các
mặt phản xạ của BCH không ngoài nhằm nâng cao hiệu lực của các BCH dùng

trong các mục đích khác nhau

Hình. 3c

Hình. 3d

= 11 =


- Với những BCH khác nhau sẽ cho ta sự khác nhau về cấu trúc trờng của
mode, các tần số céng hëng cđa chóng vµ sù tỉn hao cđa BCH. Để hiểu sâu về
vấn đề đó ta xét từng loại BCH.
1. BCH với gơng lớn vô hạn
- Hệ gồm hai gơng phẳng có kích thớc rất lớn so với khoảng cách giữa hai gơng, trục của BCH trùng với trụ OZ, và O là tâm của gơng G1.
- Do BCH có gơng lớn vô hạn nên ta dùng
kiến thức về giao thoa để nghiên cứu.

G1

Nếu trong BCH xuất hiện một sóng có

O

bớc sóng lan truyền theo phơng làm với

G2



quang trục 1 góc nhỏ. Sóng này đến các gơng

L

sẽ bị phản xạ nên trong BCH xuất hiện sự giao

Hình. 4

thoa của sóng tới và sóng phản xạ.
Điều kiện để cho cực đại giao thoa sẽ là:

2 L cos = q

(1.1)

q: là một số nguyên; q=1, 2, 3
Với nằm trong miền quang học thì giá trị của q ứng víi cì 106
Khi sãng lan trun theo trơc cđa BCH

⇒ 2 L = q

(1.2)

Theo các công thức trên thì giá trị của q tuỳ thuộc vào và nó đặc trng
cho một loại dao động cộng hởng trong buồng.
Mỗi một bớc sóng thoả mÃn (1.1) hay (1.2) đợc gọi là 1 mode của
buồng và nếu nh thoả mÃn điều kiện (1.2) thì gọi là mode trục dọc hay mode
dọc.
- Trờng trong BCH là tổng của trờng đối với các mode còn năng lợng
trong buồng chính là tổng đơn giản các cực đại sóng dừng đối với mỗi mode nói
trên.

- Trong trờng hợp BCH có nhiều mode thì khoảng cách giữa 2 mode liên
tiếp tỷ lệ nghịch với độ dài của BCH và hiệu pha giữa hai mode liên tiếp bằng
2.
= 12 =


+ Ta xét mode trục dọc thoả mÃn điều kiện (1.2) ta sÏ cã:
1
q
∆λ ∆q
=
⇒ 2 =
λ 2L
2L
λ

§èi víi 2 mode liên tiếp thì

q = 1 ~

1
L

Giả sử pha của sóng truyền theo phơng của trục oz là:
z

= t 2

Vì phơng trình truyền sãng cã d¹ng:

2π 

E = E. cosωt −
L
λ 


NÕu mode thứ q thoả mÃn đk (1.2) thì ta có: z= 2L
Ta suy ra:

q=

z
⇒ ϕ q = ( ωt − 2 q )


Đối với mode q+1thì pha sẽ: q +1 = ( t 2(q + 1))
Độ lệch pha giữa 2 mode liên tiếp sẽ là:
= + - =2

q 1
q

Ngời ta ký hiệu các mode là TEMmnq
TEM: chỉ sóng điện từ ngang
m,n,q: Các số nguyên dơng gọi là các chỉ số của mode. Trong BCH
các sóng tới và sóng phản xạ lan truyền ngợc chiều nhau do đó các mode dọc đợc hình thành bởi các sóng phẳng lan truyền ngợc chiều. Do đó mỗi sóng là một
sóng đứng hay là sóng dừng.

- Từ các biểu thức (1.1) và (1.2) ta có thể xác định tần số riêng của các
mode dọc
fq =

c c.q
=
2L

(1.3).

Khoảng cách về tần số giữa 2 mode dọc liền nhau là: fq = fq − fq −1 =

c
2.L.n

NÕu sãng ®iƯn tõ lan truyền hợp với trục BCH 1 góc nhỏ thì ta thu đợc mode
xiên có tần số

fq =

c.q
2.n.L. cos

= 13 =


Vì có thể nhận các giá trị không liên tục bất kỳ, nên khi khoảng cách L
không đổi, một tần số fq có thể ứng với vô số các dao động mà chỉ khác nhau
bởi góc . Tức là chỉ khác nhau bởi hớng của véctơ sóng của các sóng phẳng tạo
nên mode. Nói cách khác ở đây có sự suy biến của mode xiên theo hớng của

véctơ sóng. Ta hÃy tính giá trị của góc tơng ứng với các mode suy biến này
Ta có điều kiện: f q ( θ = 0 ) = fq −1 (θ = θ1 )
Tõ biÓu thøc:
Ta suy ra:

fq =

c.q
2.L. cos θ

cos θ1 =

q −1
.
q

Do gãc θ nhá nªn sinθ ≈ θ ta cã

θ ≈ sin θ = 1 − cos 2 θ =

2.q − 1
≈
q2

2
q

; (v× q>>1)

λ

øng víi

θ = 0 ⇒ L = q. 2

từ đó ta có:

1 =


L

Tơng từ đối với mode xiên thứ m, góc m đợc xác định tõ ®iỊu kiƯn:
f q (θ = 0) = f q −m (θ − θm ) ;

⇒ θm = m

λ
L

víi m= 2, 3, 4….
; víi m<
T¬ng tù, nÕu xÐt sù lan truyền của các sóng phẳng dới góc n trong mặt
phẳng Yz ta cịng sÏ cã
⇒ θn = n

λ
L

; víi n<
Kho¶ng cách giữa 2 mode ngang cạnh nhau dợc xác định b»ng biÓu thøc:
∆θ m = m
∆θ n = n

λ
L

λ
L

(1.4).

= 14 =


Nh vậy trong trờng hợp tổng quát ở trong BCH, ngoài các mode dọc
thuần tuý còn có các mode xiên hình thành bởi các sóng phẳng lan truyền dới
một góc đó là so với trục của BCH. Tuy nhiên ở trong BCH chỉ tồn tại các
mode xiên với m,n là nhỏ. Các tổn hao trong BCH do nhiễu xạ làm giảm 1 số lợng lớn các mode xiên và chỉ giữ lại những mode xiên nào ứng với các tia sáng
lan truyền gần nh song song với trục BCH Điều này quy định tính định hớng
cao cho bức xạ Laser.
2. BCH có gơng kích thớc hữu hạn,
- Trong thực tế kích thớc của các gơng phản xạ là hữu hạn và nó thờng
nhỏ hơn khoảng cách giữa hai gơng. Việc sử dụng các hệ thức giao thoa để
khảo sát đặc trng của phân bố mode nh bài trớc là không thể đợc. Lúc này ta
phải chú ý tới ảnh hởng của sự nhiễu xạ trên các khẩu độ của gơng (góc mở của
gơng).
- Để tránh đợc điều đó ta dùng thuyết điện từ Maxwell để xác định trờng trong

BCH.
Cụ thể ta xét BCH đợc tạo bởi các gơng hình chữ nhật nh hình vẽ
y
b/2
a/2

x

0
z
L
Hình 5: BCH có gơng kích thớc hữu hạn

Từ hệ phơng trình Maxweel thì cờng độ điện trờng E đợc biểu diễn dới
dạng phơng trình sãng lalampe (chó ý tõ trêng H cịng t¬ng tù).

= 15 =


∇2 E −

l ∂2 E
= 0 ; E =E( x, y, z, t )
c 2 t 2

Bằng phơng pháp tách biến:
Đặt

E =U ( x, y, z ).A( t ) .


 ∆ U + k 2U = 0
 2
∂ A
2
 2 + (c.k ) A = 0
 ∂t

Khi ®ã ta đa nó về dạng:

(2.1).

+ Phơng trình phụ thuộc vào thời gian cã nghiƯm lµ
A=Ao. Sin (ωt + ϕ)
nghiƯm nµy biĨu diễn 1 dao động riêng và gọi là một mode của sóng điện
từ.
+ Còn thành phần toạ độ. Khi này phơng trình sóng tổng quát sẽ là:
U + k2 U = 0
k là véc tơ sóng; k = 2/.
Ta chọn hệ toạ độ đề các oxy z vào với giả thiết về điều kiện liên trên các
gơng của BCHlà:
Ez=0 = Ez=L = E x = ± a/2 = E y =b/2

(2.2)..

Ta giải phơng trình sóng(2.1):

2 U + k 2 U = 0

Bằng phơng pháp tách biến U (x,y,z) = U (x). U (y). U(z).

Thay vào ta đợc:
U(y) U(z).
=>

2 U ( x )
∂2 U( x )
∂2 U( x ) 2
+U(x).U(z)
+ U(y).U(z)
+k =0
∂ 2
y
∂x 2
∂z 2
U '' ( x ) U '' ( y ) U '' ( z )
+
+
+ k2 = 0
U (x)
U (y )
U (z)

Do các đại lợng

U '' ( x )
;
U(x)

U '' ( y )
;

U(y)

U '' (z )
U (z )

độc lập với nhau nên để thoả mÃn phơng trình thì ta đặt.

= 16 =


U '' ( x )
U '' ( y )
U '' ( z )
= −α2 ;
= −β2 ;
= −γ2
U( x)
U (y)
U(z)

Víi điều kiện k2 =2+ 2 + 2

(2.3).

Ta lần lợt giải phơng trình:
+ U(z) + 2 U (z) = 0 => Nghiệm là U(z)= C1cos(z) + c2sin(.z).
Với điều kiện biên Uz=0 = Uz=L
=> U (z) = C2.sin(

πq

.
.z );
L

(q=0,1,2...)

(2.4) .

πq
.

Trong ®ã: γ = L

+ U(x) + 2 U (x) = 0
Phơng trình có nghiệm là: U(x)=C3 cos(x) + C4 sin(x).
Với điều kiện biên Ux = a/2 = Ux=-a/2 = 0.
Ta tìm đợc nghiƯm U(x) = C4 Sin (
Víi α =

2.πm
.
.x ) ; (m=0,1,2...)
a

2..m
a

Tơng tự ta cũng đợc U(y) = C6.Sin (
Với =

(2.5).

2.πn
.
.y )
b

; (n=0,1,2...)

(2.6).

2.π n
.
b

Tõ(2.4);(2,5);(2.6) ta cã nghiƯm tỉng qu¸t
U=Uo. Sin (

πq
.
2.πm
.
.z ).Sin (
.x ) .
L
a

Sin (

2.πn

.
.y )
b

(2.7).

NghiƯm nµy biĨu diƠn sự phân bố trờng trên các gơng theo các trục toạ
độ và sự phân bố này có tính tuần hoàn.
Trong đó: q, m, n là các số nguyên thoả mÃn ®iỊu kiƯn.
k2 = α2 + β2 + γ2.
<=>

k 2 α 2 2 2
=
+
+
2 2 2 2

Thay vào ta đợc:

= 17 =


q2
m2
n2
k2
2
+
+

= 2 = ( )2
2
2
2
L
(a / 2)
( b / 2)
π
λ

+ Nh vậy bớc sóng của các dao động riêng trong hệ đợc xác định.
q2
m2
n2
2
+
+
= ( )2
2
2
2
L
( a / 2)
( b / 2)


Khi kích thớc gơng lớn vô hạn tức a, b →∞ ⇒

(2.7)
q2

2
= ( )2
2
L
λ

<=> 2L = qz trë l¹i công thức(1.2) của gơng lớn vô hạn nên điều kiện
(2.7) là điều kiện cộng hởng của dao động trong buồng.
q đặc trng cho loại mode trục dọc.
m,n đặc trng cho loại mode ngang hay với m,n,q là các số nguyên xác định số
nửa bớc sóng đợc sắp xếp dọc theo các cạnh x,y,z của gơng. Các mode ngang đợc ký hiƯu TEMmnq.
Khi m=n = 0 => ta cã mode trơc dọc TEMo1q hay TEM1oq
+ Đối với BCH gơng hữu hạn nên ta có kể đến thành phần nhiều xạ trên
các gơng nên hệ số phẩm chất của BCH sẽ đợc xác định theo biểu thức(4).
Q = 2L/(1-R+L/2D2)
3. BCH Frabry - Ferot hai gơng phẳng tròn song song.
Đây là BCH gặp nhiỊu trong thùc tÕ. Nã cã cÊu t¹o gièng nh mẫu Frabryperot nên mang tên là BCH Frabry-perót. Để tìm đặc trng và cấu trúc mode
trong loại buồng này. Ta sẽ xuất phát từ nguyên lý Huyges-Fresnel. Để tìm sự
phân bố trờng ở hai mặt gơng xạ, chúng ta sẽ dựa vào lý thuyết Fox và Li.
* Cơ sở lý thuyết:
- Theo nguyên lý Huyghen Fresnel: Nếu biết hàm biên độ sóng A tại
một điểm nào đó trên gơng thứ nhất thì có thể tìm đợc hàm biên độ sóng Q tại
một điểm Q ở trên gơng thứ hai, khi sãng trun theo ph¬ng lËp mét gãc θ so
víi pháp truyền của gơng, theo biểu thức sau.

= 18 =


ΨQ =

i.k
e −i . k . R
. ∫ ψA .
(1 + cos ).ds
4 S A
R

(3.1).

R: Khoảng cách từ hai điểm A và Q
: Góc hợp bởi R và pháp truyền với bề mặt gơng thứ nhất.
k= 2/: số sóng - h»ng sè lan trun sãng trong m«i trêng cđa BCH.
Sau khi biết đợc hàm liên độ sóng Q trên gơng thứ 2, ta cũng có thể biết
đợc hàm biên độ sóng sau khi phản xạ trên phơng thứ nhất. Nếu các tính toán
này đợc lặp đi lặp lại (p+1) lần thì sự phân bố trờng trên bề mặt gơng G2 sÏ lµ:
Ψp +1 (x 2 , y 2 ) =

i.k a b
e −i . k . R
. ∫ ∫ Ψp (x 1 , y 1 ).
(1 + cos θ).dx 1 .dy 1 (3.2)
4 ab
R

Các mode của BCH sẽ tơng ứng với các nghiệm dừng khác nhau của phơng trình tích phân, tức là tơng ứng với các phân bố trờng không đổi sau một
khoảng thời gian nào đó. Điều này chỉ có thể xảy ra (phân bố trở thành dừng)
sau khoảng 200-300 lần phản xạ.
Giả sử sau nhiều lần phản xạ, phân bố trờng trên các gơng trở thành phân
bố dừng. Khi đó ta có thể viết.
1

( x, y ) = ( ) p .V( x, y )
P
γ

Víi là hằng số phức.
V(x,y) là hàm phân bố dừng
Khi đó ta có thể viết lại phơng trình tích phân(3.2):
Vp +1 ( x 2 , y 2 ) = γ

i.k
e −i. k .R
.∫∫ Vp ( x 1 , y 1 ).
(1 + cos ).dx 1 .dy 1
4
R

Vì sau p lần phản xạ Vp+1 = Vp do đó các chỉ số cã thÓ bá qua.
V( x 2 , y 2 ) = γ

i.k
e −i .k .R
.∫∫ V ( x 1 , y 1 ).
(1 + cos ).dx 1 .dy 1
4
R

(3.3)

Các hàm riêng Vmn (x,y) là nghiệm của phơng trình ứng với các giá trị mn
tơng ứng (gọi là trị riêng) sẽ đặc trng cho cấu trúc của trờng trên bề mặt gơng

đối với các mode xiên TEMmn khác nhau.

= 19 =


Nh vậy nếu biết đợc hàm phân bố V(x1,y1) chúng ta có thể xác định đợc
hàm phân bố V(x2, y2) thông qua tích phân (3.3).
+ Nh trên là hằng số phức.
Giá trị riêng mn là đại lợng phức tạp nên có thể biểu diễn dạng:
mn = exp {mn + i (αmn + kL) }
ln γmn = βmn + i (mn + kL)

=>

mn: xác định mức độ tắc dần của sóng sau 1 lần phản xạ
amn: là dịch pha bổ sung sau 1 lần đi qua.
kL = (2/).L dịch pha hình học.
- Hàm Vmn(x,y) là hàm phức và chỉ đợc xác định tại bề mặt của các gơng.
- Ta có thĨ biĨu diƠn hƯ sè phÈm chÊt cđa BCH qua tham sè βmn.
Q mn =

π.L
βmn .λ

(3.4).

- Khi ®ã ®iỊu kiƯn cộng hởng đối với các mode TEMmnq sẽ là:
2..L
+ mn = .q
mnq

Tần số riêng fmnq là: fmnq =

cmn
c
q
2.L
2 .L

Nh vậy, việc giải phơng trình tích phân với mọi cấu hình của BCH quang
học cho phép xác định cấu trúc trờng của mode, các tần số cộng hởng của
chúng và các tổn hao của BCH.
Cụ thể: Đối với gơng phẳng hình tròn bán kính a (nh hình 6).
x1

x2

A'

A
r1

O1

2

R

1

L

Q

y1

y2

= 20 =

r2

O2

z


Hình 6: BCH với gơng phẳng tròn song song
Bằng phơng pháp tịnh tiến ta sẽ tìm đợc khoảng cách.
(3.6).

2
R = L2 + r12 + r2 − 2r1 .r2 . cos(ϕ1 − ϕ2 )

a2
L
<< ( ) 2 .
L.λ
a

Khi gãc θ rÊt nhỏ và điều kiện
RL +

r12 + r22 r1 .r2

. cos( 1 2 )
2.L
L

Suy ra
(3.7)

Và cos 1
Phơng trình vi phân (3.3) bây giờ có dạng (ta sử dụng toạ độ cực)
V(r2 , 2 ) = .e

ikL

a 2


0 0

im

V(v,y) = Rn(r) e

R n (r2 ) r2 = γ n e

−ikL

2

2

ik[ r1 + r2 − 2 r1 r2 cos( ϕ1 2 )]
i
exp
.V(r1 , 1 )r1 dr1 .d1 đặt
.L
2L

và lấy tÝch ph©n theo ϕ

−ik
r1r2
i n +1k
∫ L J n (k L ) r1r2 .e
0
a

ta đợc kết quả.

2
2
r1 +r2

L

.R n (r1 ). r1 .dr1

(3.8)

Jn là hàm Becssel loại 1 bậc n.

r1r2
rr
1
J n (k
) = ∑ (−1) k
(k 1 2 ) 2 k + n
k =0
L
k!(n + k )! 2

(3.9)

Các phơng trình tích phân trên có thể giải đợc dễ dàng trên máy tính đện
tử,bằng phơng pháp gần đúng liên tục sẽ cho ta phân bố trờng trên mặt gơng.
Hình ảnh trờng phân bố trên mặt gơng ở một số mode đơn gi¶n.
TEM00

TEM10

= 21 =

TEM20


Hình .7

Các giá trị n, m khác nhau sẽ cho các giá trị trờng ở các mode ngang
khác nhau. Số chỉ m đặc trng theo phơng vị , còn chỉ số n đặc trng phơng bán
kính.
Để tìm công thức khoảng cách tần số (bớc sóng) giữa các mode thật cụ
thể và đơn giản ta dựa vào công thức cộng hởng của BCH có kích thớc gơng hữu
hạn và khi đó áp dụng trong trờng hợp này a/2=b/2=D bán kính của gơng.
=>

q 2 r 2 + s2
2
+
= ( )2
2
2

L
D

1


Lấy vi phân hai vÒ ta cã: ∆( ) =

q.λ.∆q r.∆r + s.∆s
+
λ
4 L2
4D 2

(3.10)

Do đối với các mode trục dọc, điều kiện céng hëng cho q.λ=2L
1
λ

Cho nªn ∆( ) =

1 
1 Lλ

∆q + 2 ( D 2 )(r.∆r + s∆s)
2L 


Khi kÝch thớc gơng lớn => D ta lại trở về công thức ban đầu:
1
q
( ) =

2L

ta đặt:

N=

D2
gọi
L.

là hệ số Fresnel.

Khi kích thớc gơng lớn vô hạn => N lớn vô hạn => tính chất của các
mode trục dọc không khác gì ở trờng hợp khi kích thớc gơng vô hạn.
Do số Fresnel N là một tham số đặc trng, ảnh hởng đến sự phân bố biên
độ và pha của trờng trong BCH Fabry-peret nªn ngêi ta cã thĨ tÝnh tríc giá trị
này khi chế tạo BCH thực tế.
Ta có hình vẽ biểu diễn sự thay đổi N ảnh hởng đến sự phân bố biên độ
và pha của sóng.

= 22 =


r=a
Hình 8a: Sự phân bố biên độ

r=a
Hình 8b: Sự phân bố pha

+ Biên độ trờng đối với các mode trục dọc TEM0o0 có giá trị lớn nhất tại tâm của
gơng (r=o) và giá trị nhỏ nhất ở mép gơng (r=a).
+ Khi tăng số Fresnel N thì đờng cong biên độ mấp mô nhiều hơn.
+ Pha của sóng cũng biến đổi và hơi giảm tại mép gơng so với tâm.
+ Khi tăng số Fresnel, ngợc lại với trờng hợp thay đổi biên độ, đờng cong
pha biến đổi rất ít khi đi từ tâm ra mép gơng. Đó là những mặt phẳng pha xuất
hiện lúc N lớn.
Điều này có nghĩa: Khi N →∞ sù biÕn ®ỉi pha cđa sãng l xem nh không
có và các mặt gơng sẽ cũng là các mặt đẳng pha khi sóng đạt tới.
4. BCH cầu đồng tiêu:
- BCH đợc gọi là BCH cầu đồng tiêu khi hai gơng leser có cùng bán kính
cong và có cùng tiêu ®iĨm.

- BCH hiƯn nay ®ỵc sư dơng rÊt réng r·i và rất phổ biến vì.
+ Dễ điều chỉnh để thu đợc các mode trục dọc.
+ Sự mất mát năng lợng ở trong BCH này ít.
+ Khối lợng hoạt chất sử dụng là ít hơn các cấu hình khác.
Để tìm sự phân bố trờng trong BCH ta có thể theo phơng pháp Fox-Li, tuy
nhiên khi ta chú ý rằng trờng phân bố trên các gơng trùng đúng với trờng phân

= 23 =


bố của mode thì có thể xác định sự phân bố này trực tiếp từ giải phơng trình
truyền sóng trong không gian tự do. Nghiệm của phơng trình sóng trong không
gian tự do tồn tại khi nó biểu diễn các chùm hẹp, nghĩa là các chùm giới hạn bởi
các mặt tụ quang, loại chùm này có thể lấy thí dụ là chùm gauss. Chính hàm
gauss là nghiệm gần đúng nhất và thờng đợc gọi là các sóng chuẩn phẳng vì
chúng có độ phân kỳ thấp. Đối với các mode trong BCH, độ phân kỳ thấp tơng
ứng với đòi hỏi mode có mất nát thấp.
Các tác giả Fox và Wainlein cũng nh Kogeluik và T.Li... đà tìm thấy
chùm sáng Gauss bậc n và m truyền theo phơng dơng của trục Oz trong trục toạ
độ decarles có dạng sau:

x
y 1
mn (x, y, z) = H n ( 2 )H m ( 2 ) w 0 exp( − iφ ) ×
w
w w
 x 2 + y2 
 ik 2

2

× exp −
 exp  ( x + y ) + ikz 
2
w
 2R




(4.1)

ë đây Hn, Hm là các đa thức Hermít hạng n vµ m
Wo lµ mét tham sè cđa chïm
W = W(z) ; R = R (z) ; ϕ = ϕ (z) là các hàm chỉ phụ thuộc z và xác định
theo các công thức sau:

z 2 1 / 2
W(z ) = W(−z ) = W0 1 + (
) 
2
∏ W0 


(4.2)

2

∏ W0 2 
R(z ) = R(−z ) = z 1 + (
) 

λ.z



(4.3)



λ.z
φ(z ) = −φ(−z ) = (m + n + 1)arctg(
) 
2
∏ W0 


(4.4)

W02 =

λL L
=
2∏ K

(4.5)

C¸c hµm nµy mang tÝnh chÊt sau:
= 24 =


+ Hàm R (z) đặc trng cho các giá trị bán kính cong của mặt sóng của

chùm cắt trục tại điểm z, nó đợc tính là dơng khi theo phơng của hệ trục tạo độ.
+ Hàm W(z) đặc trng khoảng cách từ trục (trong mặt phằng z không đổi)
1
e

đến điểm mà giá trị tại trục giảm đi

lần. Nó cũng đặc trng cho độ rộng của

chùm trên mặt phẳng hằng số (hay trên mặt sóng qua z).
Với các mode trục dọc m=n=0 ta cã Hn = Hm = 1, W (z) thờng đợc gọi là
kích thớc vết của chùm mode cơ bản.
Các mode bậc cao hơn sẽ có kích thớc vết ít nhiều rộng hơn ở mode cơ
bản, do thừa số Hn ( 2

x
y
) và Hm ( 2 )
w
w

khác đơn vị hay

Hm ≠ Hn≠1.
Tõ hµm sãng cđa chïm gauss (4.1) ta thấy tại z= 0, mặt sóng là mặt phẳng
vì R (z) và mặt phẳng z = 0 này cũng là mặt phẳng đối xứng với mọi n và
m. Và hàm W (z) cũng có giá trị cực tiểu W (z) = W 0 (vì 4.2). Nói cách khác
càng ®i ra xa hai phÝa cđa mỈt z = 0, mặt sóng của chùm nở dần ra. Các kết quả
có thể thấy ở hình trên.
Giả sử BCH có độ dài là L, và tại tâm của BCH W(z) = W0 thì khi đó ở mặt gơng z =

L
2

ta có:


L
2 .L2 
W(z) = W (± ) = W0 1 + 2 4 
2
 4 π W0 

V×: W0 =

1/ 2

= W0 2

L
k

Nghĩa là kích thớc của vết ở
tâm BCH nhỏ hơn kích thớc vết chùm
láng ở mặt gơng

2

lần.

z=0

Hình. 9
Nh vậy nếu ta đặt hai gơng phản xạ ở vị trí hai mặt sóng tơng ứng có bán

kính cong R(z1) và R(z2) ta sẽ tạo đợc BCH cầu đồng tiêu.

= 25 =