chuyên đề hình học xạ ảnh

LỜI NÓI ĐẦU
Hình học xạ ảnh là một trong những môn học chuyên ngành dành cho sinh
viên ngành Toán tại các trường Đại học Sư Phạm trong cả nước. Mục đích của
môn học cung cấp cho sinh viên cái nhìn tổng quan về các hình học và mối quan
hệ giữa chúng, đồng thời hình học xạ ảnh còn giúp chúng ta có một phương pháp
suy luận, phương pháp sáng tạo một số bài toán thuộc chương trình phổ thông.
Việc ứng dụng hình học xạ ảnh vào giải và sáng tạo những bài toán hình
học afin là một vấn đề cơ bản và cũng là một trong những mục đích yêu cầu
quan trọng trong công tác giảng dạy sau này.
Trong chương trình đã học, chúng ta đã được làm quen với môn hình học
xạ ảnh và thấy được mối liên hệ mật thiết giữa hình học sơ cấp và hình học xạ
ảnh. Trong hình học sơ cấp có những tính chất xạ ảnh nhiều khi ẩn náu đằng sau
những tính chất không xạ ảnh. Nếu ta có thể phân biệt rõ ràng những tính chất xạ
ảnh với những tính chất không xạ ảnh thì ta có thể áp dụng hình học xạ ảnh vào
hình học sơ cấp một cách hiệu quả. Ví dụ: Trong khái niệm hình tròn, hình elip,
hình parapol hay hybebol mà ta đã gặp ở phổ thông hay trong giải tích thì tính chất
“ là tròn ”, “ là elip”, “ là parabol”, “ là hypebol” không phải là những tính chất xạ
ảnh nhưng tính chất “ là đường bậc hai” là một tính chất xạ ảnh. Hay trong khái
niệm “ đường thẳng ở vô tận” thì tính chất “ở vô tận” không phải là tính chất xạ
ảnh nhưng khái niệm “đường thẳng” thì là một khái niệm xạ ảnh và đường thẳng
này đóng vai trò bình đẳng so với các đường thẳng khác. Hay trong khái niệm tọa
độ Đêcac thì những khái niệm không xạ ảnh nhưng khái niệm tỉ số kép mà ta có
thể dùng biểu diễn theo tọa độ Đêcac thì cũng là một khái niệm xạ ảnh.
Trong chuyên đề này, chúng tôi trình bày một cách hệ thống về mô hình
xạ ảnh của mặt phẳng afin và đưa một số ví dụ trong mặt phẳng xạ ảnh, chuyên
đề gồm 2 phần:
Phần A: Một số kiến thức cần nhớ về hình học xạ ảnh và hình học afin
Phần B: Ứng dụng và ví dụ liên quan.
1

A. Một số kiến thức cần nhớ về hình học xạ ảnh và hình học afin
I.Siêu mặt bậc hai trong
1.Siêu mặt bậc hai
1.1 Định nghĩa: Cho phương trình bậc hai thuần nhất của n+1 biến x0, x1, …xn
trên trường K có dạng:
∑
trong đó, aij

= 0 (1)

K, aij = aji và có ít nhất một aij khác không.

Trong không gian xạ ảnh

, với mục tiêu {Si ; E} (I), tập hợp gồm những

điểm X có tọa độ (x0 : x1 : …. : xn) trong mục tiêu (I) thỏa mãn phương trình (1)
được gọi là một siêu mặt bậc hai được xác định bởi phương trình (1), kí hiệu là
(S). Nếu (S) một siêu mặt bậc hai được xác định bởi phương trình (1) thì phương
trình (1) được gọi là phương trình của siêu mặt bậc hai (S) trong mục tiêu (I).
Kí hiệu ma trận A = (ai,j), i, j = 0,1,2,…, n, thì A=

và hạng A 1.

Ma trận A được gọi là ma trận của siêu mặt bậc hai (S) đối với mục tiêu đã
cho.
Nếu det A

0, tức ma trận A không suy biến, thì siêu mặt bậc hai (S) được gọi

là không suy biến, ngược lại nếu det A= 0 thì siêu mặt bậc hai (S) được gọi là
suy biến.
Kí hiệu

(X)=(

)

thì phương trình (1) có thể viết dưới dạng là :
AX = 0. (2)
Siêu mặt bậc hai trong

được gọi là đường bậc hai. Siêu mặt bậc hai trong

được gọi là mặt bậc hai.

2


Hai siêu mặt bậc hai (S) và (S‟) với các ma trận A và A‟ tương ứng được xem
K\{0} sao cho A = kA‟

là trùng nhau khi và chỉ khi có số k

1.2 Dạng chuẩn tắc trong không gian xạ ảnh thực
Trong không gian xạ ảnh thực

(R) đối với mục tiêu đã chọn, cho siêu mặt

(S) có phương trình:

A(X) = 0.
A(X) = ∑

là một dạng toàn phương trong không gian vecto

, ta có thể tìm được phép biến đổi tuyến tính (X‟) = B(X) sao cho dạng toàn
phương ấy trở thành dạng chính tắc. Lại xem phép biến đổi tuyến tính đó như là
một phép biến đổi mục tiêu xạ ảnh của

, ta đi đến định lí sau :

Định lý: Với mỗi siêu mặt bậc hai (S) trong khôn gian xạ ảnh thực

(R),

luôn tìm được một mục tiêu xạ ảnh sao cho trong mục tiêu đó, phương trình của
(S) có dạng chuẩn tắc :
-

-…-

-

+…+

+

= 0,

( có p dấu „„ – ”và q dấu „„ + ‟‟ trong đó 1

q)

Mỗi siêu mặt bậc hai có đúng một dạng toàn phương chuẩn tắc.
Siêu mặt bậc hai (S) trong trường hợp đó gọi là siêu mặt bậc hai có chỉ số
(p,q)
2.Phân loại siêu mặt bậc hai trong
Trong

(R),

(R) và tên gọi của chúng

(R) ta có 5 loại đường bậc hai sau đây :
1)

+

+

= 0.

Nó được gọi là đường ôvan ảo vì nó không chứa điểm thực nào. Trong mặt
phẳng phức mở rộng của

(R) thì phương trình trên xác định một đường bậc hai

không rỗng.
2) -

+

+

= 0.

Nó được gọi là đường ôvan, hay đường conic.
3)

+

= 0.
3


Nó được gọi là cặp đường thẳng ảo liên hợp. Nó chỉ gồm một điểm thực duy
nhất là điểm (0 : 0 : 1).
4) -

+

= 0.

Đây là cặp đường thẳng có phương trình : x0 + x1 = 0 và – x0 + x1 = 0.
5)

= 0.

Đây là cặp đường thẳng trùng nhau.
Trong

1)

(R) ta có 8 loại mặt bậc hai sau đây :
+

+

= 0, được gọi là mặt trái xoan ảo.

+

2) -

+

+

+

= 0, được gọi là mặt trái xoan.

3) -

-

+

+

= 0, được gọi là mặt kẻ bậc hai.

+

= 0, được gọi là mặt nón ảo. Nó chỉ gồm một điểm thực duy

4)

+

nhất (0 : 0 : 0 : 1).
5) 6)

+

+

= 0, được gọi là mặt nón.

= 0, được gọi là mặt phẳng ảo liên hợp.

+

Nó gồm một đường thẳng thực với phương trình là {
7) -

.

= 0. Đây là cặp mặt phẳng có phương trình x0 + x1 = 0 và - x0 +

+

x1 = 0.
8)

=0. Đây là cặp mặt phẳng trùng nhau.

3) Liên hệ giữa hình học xạ ảnh và hình học afin
a) Liên hệ giữa siêu mặt bậc hai xạ ảnh và siêu mặt bậc hai afin
Ta xét không gian xạ ảnh
không gian afin

=

với mục tiêu xạ ảnh {S0, S1, … , Sn ; E} (I) và

\W, trong đó W là siêu phẳng vô tận, tức W có phương

trình trong mục tiêu (I) là x0 = 0.
Giả sử (S) là một siêu mặt bậc hai trong
là :
∑

=0

(*)
4

có phương trình trong mục tiêu (I)

Gọi (S‟) = (S)\W thì các điểm của (S‟) có tọa độ afin ( đối với mục tiêu afin
sinh bởi mục tiêu xạ ảnh đã chọn) thỏa mãn phương trình :
∑

+ ∑

+

= 0. (**)

Nếu các aij (i, j = 1, 2, …, n) không đồng thời bằng không thì (S‟)là một siêu
mặt bậc hai afin trong khôn gian

. Khi đó, ta nói rằng siêu mặt bậc hai xạ ảnh

(S) sinh ra siêu mặt bậc hai afin (S‟).
Ngược lại, mỗi siêu mặt bậc hai afin (S‟) trong
mặt bậc hai xạ ảnh (S) duy nhất trong

đều được sinh ra bởi siêu

.

Thật vậy, nếu (S‟) có phương trình (**) trong mục tiêu afin của
cách thay Xi bằng

thì bằng

ta được phương trình (*) xác định cho ta một siêu mặt bậc

hai xạ ảnh (S) đối với mục tiêu xạ ảnh sinh ra mục tiêu afin đã cho.
Ta hãy lấy một điểm C nằm trên giao S
C( 0 : c1 : … : cn) mà ∑

W khi đó C có tọa độ xạ ảnh

= 0. Bởi vậy điểm vô tận C xác định

⃗ = (c1, c2, …, cn) chính là phương tiệm cận của siêu mặt afin (S‟) = (S)\ W.
b) Một số liên hệ khác :
1. Giữa tỉ số đơn và tỉ số kép ta có công thức:
(ABCD) =
Nếu D là một điểm thuộc đường thẳng vô tân P1 ta có
(ABC

)= (CAB)

Đặc biệt nếu D là điểm vô tận và (ABCD)= -1 thì khi đó trong mặt
phẳng afin C là trung điểm của đoạn thẳng AB.
(ABC

)= (CAB)= -1

2. Một đường conic trong P2 sẽ thể hiện thành elip, parabol, hypebol trong mặt
phẳng afin A2 tùy theo đường thẳng vô tận không cắt conic, tiếp xúc với
conic hoặc cắt conic tại hai điểm thực

5

3. Trong trường hợp conic thể hiện thành hypebol, khi đó hai tiếp tuyến với
conic là hai đường tiệm cận của hypebol. Các đường tiệm cận này cắt nhau
tại tâm của hypebol.
4. Trong trường hợp conic thể hiện thành hypebol hoặc elip (là những đường
bậc hai có tâm) thì đường thẳng vô tận là đường đối cực của tâm đường bậc
hai và dây cung đi qua tâm gọi là đường kính của đường bậc hai đó.
5. Hình bình hành trong mặt phẳng afin là một hình bốn cạnh toàn phần trong
mặt phẳng xạ ảnh có hai đỉnh đối diện thuộc đường thẳng vô tận
II. Mô hình xạ ảnh của không gian afin
1. Định nghĩa mô hình xạ ảnh của An
Cho không gian xạ ảnh Pn (
Pn. Đặt

) trên trường số K và một siêu phẳng

của

. Lấy một mục tiêu xạ ảnh (S0, …, Sn; E) của Pn mà
. Điểm M(x0: … : xn) thuộc

khi và chỉ khi x0

0, tức là khi và

). Bộ số (X1, … , Xn) mà

chỉ khi M(1:

gọi là tọa

độ không thuần nhất của M đối với mục tiêu xạ ảnh đã cho, kí hiệu M(X1,…,Xn).
Xét không gian vectơ n chiều Kn (trên trường K). Có thể lập ánh xạ
theo quy tắc: Cho M(X1,…,Xn), N(Y1, …,Yn)
không thuần nhất thì

theo tọa độ

. Ánh xạ

thỏa

mãn hai tính chất:
⃗⃗

(i)

Cho

(ii)

Cho M, N, L

Vậy

thì có duy nhất N

để

⃗⃗.

thì

là một không gian afin lien kết với Kn bởi

. Ta gọi không gian afin

này là mô hình xạ ảnh của không gian afin n-chiều tổng quát trên trường K và kí
hiệu là

.

Siêu phẳng
hình

gọi là cái tuyệt đối hay siêu phẳng vô tận đối với (hay của) mô

. Mỗi điểm của

gọi là một điểm vô tận đối với (hay của)

6

.


là một hình (tập điểm) của

Nếu

hình (tập điểm) của

là một

được sinh ra bởi hình

. Ta nói hình

là một điểm vô tận đối với

của

mà

mà mỗi điểm

.

2. Một số kết quả cơ bản.
a) Mỗi m – phẳng

của

mà

không nằm trong
của

được sinh ra bởi một và chỉ

b) Hai đường thẳng song song phân biệt của

được sinh ra bởi hai đường

của

. Ngược lại, mỗi m – phẳng

sinh ra một m – phẳng

một m – phẳng

của

thẳng phân biệt của

.

cắt nhau trên .

c) Tọa độ không thuần nhất (X1, …, Xn) của điểm

là tọa độ afin của

điểm M đối với mục tiêu afin có gốc là S0, các vectơ cơ sở là ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , trong đó Ei
có tọa độ không thuần nhất (0, …, 1, …, 0) (Ei là giao của đường thẳng xạ ảnh
S0Ei với siêu phẳng xạ ảnh đi qua E và các điểm Sj với

).

có vectơ chỉ phương ⃗⃗

d) Phương một chiều của

được xác định

bởi điểm vô tận V(0 : v1: … : vn).
e) Nếu A, B, C là ba điểm thẳng hàng của

mà A

B

C thì tỉ số đơn

[A, B, C] là tỉ số kép [A, B, C, D], trong đó D là điểm vô tận của đường thẳng xạ
ảnh AB. Nói riêng, C là trung điểm của AB (tức [A, B, C]= -1) khi và chỉ khi
A, B chia điều hòa C, D.
g) Mỗi siêu mặt bậc hai xạ ảnh
bậc hai afin

và

không chứa

không suy biến khi và chỉ khi

Ngược lại, mỗi siêu phẳng bậc hai afin
một siêu mặt bậc hai xạ ảnh
h) Điểm C là tâm của
. Nói riêng, nếu

của

đối với

sinh ra một siêu mặt

của

không suy biến.

được sinh ra bởi một và chỉ

.

khi và chỉ khi C liên hợp với mọi điểm của

không suy biến thì C là tâm của

.

7

đối với

khi và chỉ khi C là cực


i) Phương một chiều (d) của

là phương tiệm cận của

xác định bởi một điểm vô tận D của

, tức là

k) Nếu phương một chiều (q) của
được xác định bởi điểm vô tận Q

.

không là phương tiệm cận của

và

thì siêu phằng kính liện hợp của

của

đối với phương (q) được sinh ra bởi siêu phẳng đối cực
l) Siêu phằng afin
khi

m) Điểm U
n) Trong
STT

là điểm kì dị của

tại điểm M

của Q đối với

tại điểm M

là siêu phẳng tiếp xúc của

là siêu phẳng tiếp xúc của

khi và chỉ khi (d)

.

khi và chỉ

.

khi và chỉ khi nó là điểm kì dị của

.

(R) ta có:
GA

Gp

1

Hypebol

Đường ôvan

Cặp điểm phân biệt

2

Parabol

Đường ôvan

Một điểm

3

Elip

Đường ôvan

Tập rỗng

4

Elip ảo

Đường trống không

Tập rỗng

8

Gp

p) Mỗi biến đổi xạ ảnh f :
(

\

mỗi biến đổi afin F của
f:

mà

có thu hẹp

là một biến đổi afin của

(ta nói f sinh ra F). Ngược lại,

đều là thu hẹp của một biến đổi xạ ảnh duy nhất

thỏa mãn

.

Nói riêng:
+) Phép thấu xạ f tâm I, nền , tỉ sô k (k

) của

thu hẹp trên

thành

phép vị tự tâm I, tỉ số . Với k = -1 thì thu hẹp này là phép đối xứng afin qua I.
+) Phép thấu xạ g tâm S, nền , tỉ số k
giữ bất động

và thu hẹp trên

của

mà S

)

thành phép thấu xạ afin qua siêu phẳng afin

, có phương thấu xạ afin là phương l chiều (
tận S, tỉ số thấu xạ afin bằng k. Nếu k = -1 thì thu hẹp
qua

(như vậy

xác định bởi điểm vô
là phép đối xứng xiên

, theo phương (

+) Phép thấu xạ đặc biệt t :

, nền , tâm J

thu hẹp trên

thành

phép tịnh tiến theo phương xác định bởi J.
III. Đường ôvan trong mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin thực
Gọi W là một đường thẳng trong mặt phẳng xạ ảnh thực P2 và A2 = P2\ W là
mặt phẳng afin thực. Ta hãy xem một đường conic của A2 sẽ được sinh ra bởi
đường bậc hai xạ ảnh nào trong P2.
Giả sử (E) là đường elip của A2. Khi đó, ta có thể chọn một mục tiêu afin của
A2 sao cho phương trình của (E) có dạng:

. Đường elip (E)

được sinh ra bởi đường bậc hai xạ ảnh của P2, mà phương trình của nó đối với
mục tiêu xạ ảnh tương ứng sẽ là:

. Đây là một đường ôvan

không cắt đường thẳng vô tận W.
Giả sử (H) là một đường hypepol. Khi đó ta có thể chọn một mục tiêu afin của
A2 sao cho phương trình của (H) có dạng:

. Đ, đường elip (H)

được sinh ra bởi đường bậc hai xạ ảnh của P2, mà phương trình của nó đối với
mục tiêu xạ ảnh tương ứng sẽ là:

. Đây là một đường ôvan
9


không cắt đường thẳng vô tận W tại hai điểm phân biệt (đó là điểm (0: 1: 1) và
(0 : 1: -1)).
Cuối cùng, ta giả sử (P) là một đường parabol của A2. Ta chọn mục tiêu afin
để nó có phương trình :

. Khi đó nó được sinh ra bởi đường bậc hai

xạ ảnh có phương trình:

. Đây là một đường ôvan, vì chỉ cần dùng

phép biến đổi mục tiêu xạ ảnh:
Ta đưa nó về phương trình chính tắc:
Ngoài ra ta nhận thấy đường ôvan ấy cắt đường vô tận W tại một điểm kép (đó
là điểm (0 : 0 :1), ta còn nói rằng nó tiếp với đường vô tận W).
Tóm lại ta đi đến kết quả sau đây:
Nếu (S) là đường ôvan trong mặt phẳng xạ ảnh P2 thì trong mặt phẳng afin A2 tập
hợp (S)\W sẽ là:
- Đường elip, nếu (S) không cắt W.
- Đường hypebol, nếu (S) cắt W tại 2 điểm phân biệt.
- Đường parabol, nếu (S) tiếp W.
IV.Định lý Steiner trong mặt phẳng xạ ảnh thực P2( )
Định lý thuận. Cho hai điểm cố định S1 và S2 nằm trên một đường ôvan và một
điểm M thay đổi trên ôvan. Khi đó ánh xạ f: {S1}→{S2} biến đường thẳng S1M
thành đường thẳng S2M là một ánh xạ xạ ảnh, khác với phép chiếu xuyên trục
(Chú ý rằng, khi M trùng với S1, ta xem S1M là tiếp tuyến của ôvan tại S1, đối

với S2 cũng thế).
Định lý đảo. Cho ánh xạ xạ ảnh f:{S1}→{S2} giữa hai chùm phân biệt {S1}và
{S2}. Nếu f không phải là phép chiếu xuyên trục thì tập hợp giao điểm của các
đường thẳng tương ứng là một đường ôvan.

10


Chứng minh định lý thuận
Gọi d0 là đường thẳng đi qua S1 và S2, d1 và d2 lần lượt là tiếp tuyến của ôvan
(S) tại S2 và S1, S0= d1 d2. Lấy một điểm E cố định trên ôvan (S) và khác với S1
và S2. Chọn mục tiêu xạ ảnh {S0, S1, S2; E} (I). Giả sử phương trình của (S)
trong mục tiêu (I) là
. (1)
Vì (S) đi qua S1= (0: 1: 0), thay vào (1), suy ra a11=0. Tương tự, vì (S) đi qua S2
nên a22=0. Vì (S) đi qua E= (1: 1: 1), thay vào (1), suy ra
.
Trong (2), chọn a01=a02=0, a12=

(2)

,thay vào (1), ta được phương trình của (S)

trong mục tiêu (I) là:
(3)

Lấy điểm M nằm trên đường ôvan, khác với S1, khác với S1 và S2 thì tọa độ
(m0: m1: m2) của nó thỏa mãn phương trình đó và m0 0 và do đó, m1

. Bởi

vậy, từ (3) suy ra
(4)
Gọi a=S1E, m=S1M, ta tính [ d0, d2, a, m]= , [
11

]=


Phương trình của d0 trong mục tiêu (I) là x0=0, tọa độ xạ ảnh của d0=(1: 0: 0).
Phương trình của d2 trong mục tiêu (I) là x2=0, tọa độ xạ ảnh của d0=(0: 0: 1).
Phương trình của a trong mục tiêu (I) là x0 – x2=0, tọa độ xạ ảnh của a=(1: 0: -1).
Phương trình của m trong mục tiêu (I) là m2x0 – m0x2=0, vậy tọa độ xạ ảnh của
m=(m2: 0: -m0). Từ các kết quả trên ta có

Từ đó suy ra
[ d0, d2, a, m]=
Gọi

(5)

. Ta có
f(d0)=d1, f(d2)=d0, f(a)= , f(m)=

Tương tự như trên, ta tính được
[

]=

(6)

Từ (5) và (6), kết hợp với (4), suy ra:
[ d0, d2, a, m] = [

].

Ta thấy f bảo tồn tỉ số kép của chùm bốn đường thẳng bất kỳ của chùm tâm S1,
theo định nghĩa về ánh xạ xạ ảnh giữa hai chùm đường thẳng thì f là ánh xạ xạ
ảnh. Vì f(d0)=d1 d0 nên d0 không tự ứng, do đó f không phải là phép chiếu
xuyên trục.
Chứng minh định lý đảo
Gọi d0 là đường thẳng đi qua S1 và S2, f(d0)=d1, f-1(d0)=d2. Vì f không phải là
phép chiếu xuyên trục nên d0 không tự ứng, do đó d0, d1, d2 đôi một phân biệt. Vì
vậy ba điểm S0=d1 d2, S1, S2 độc lập. Gọi a là đường thẳng của chùm {S1} khác
với d0 và d2,

=f(a), và E= a

Với mỗi đường thẳng m

. Ta chọn{ S0, S1, S2; E} làm mục tiêu xạ ảnh.

{S1} và

= f(m)

{S2}, ta đặt m

x2). Khi đó ta tính được tọa độ xạ ảnh của các đường thẳng nhưu sau:
d0= (1: 0: 0), d1= (0:1: 0), d2= (0: 0: 1), a = (1: 0: -1),

12

=X=(x0: x1:


= (-1: 1: 0), m=(x2: 0:-x0),

= (-x1: x0: 0).

Từ đó suy ra: [ d0, d2, a, m]= , [

]=

Nhưng vì f là ánh xạ xạ ảnh nên:
[ d0, d2, a, m]= [
Vậy

]

, hay

Đó là phương trình của đường ôvan tiếp với d1 và d2 lần lượt tại S2 và S1.
V. Một số kiến thức trong hình học afin
1.Vectơ ⃗=(c1,….cn) gọi là phương tiệm cận của siêu mặt bậc hai (S) được xác
định bởi phương trình
nếu ⃗

⃗⃗ và

∑

2.Cho hai điểm M1, M2 thay đổi của một siêu mặt bậc hai (S) sao cho đường
thẳng M1, M2 có phương cố định ⃑

( mà không phải là phương tiệm cận). Khi

đó tập hợp trung điểm của đoạn thẳng M1M2 nằm trên một siêu phẳng đi qua
tâm(nếu có) của (S)
Siêu phẳng đó gọi là siêu phẳng kính của (S), liên hợp với phương ⃑ ,hoặc ⃑ là
phương liên hợp với siêu phẳng kính đó.
13


B. Ứng dụng và ví dụ liên quan
Ví dụ 1: Xét mô hình xạ ảnh của không gian afin An = Pn\ W. Cho siêu mặt bậc
hai xạ ảnh f, sinh ra siêu mặt bậc hai afin ( )= S\W. Chứng minh rằng: Nếu C là
điểm nằm trên W à

là siêu phẳng đối cực của C đối với (S) thì \W là siêu

phẳng kính của ( ) liên hợp với phương ⃗⃗⃗ xác định bởi điểm vô tận C. Từ đó
suy ra các kết quả đã biết đối với đường ellip, hypebol, parabol đã học ở phổ
thông.
Chứng minh:
+)Trong Pn chọn mục tiêu xạ ảnh {

} (I)

An= Pn\ W, khi đó W là siêu phẳng vô tận có phương trình trong mục tiêu(I) là:
Giả sử (S) là siêu mặt bậc hai trong Pn, có phương trình trong mục tiêu(I) là:

∑
Gọi ( ) =S\W. Khi đó các điểm của ( ) có tọa độ afin thỏa mãn phương trình:
∑

∑

Trong đó
C W suy ra C=( 0: y1: ….: yn)
trình: ∑

là siêu phẳng đối cực của C nên

=0 (1) trong đó uj= ∑

(

Thay tọa của điểm C=( 0: y1: ….: yn) vào (2) ta được:

{
Suy ra

, j=0,…,n

vào (1) ta được ∑

Thay
Gọi

∑

=

∑
Hay ∑

khi đó
∑

∑
∑

∑

=0

có phương trình:
=0 với
(*)
14

) (2)

có phương


trên trường số thực chọn mục tiêu afin

+) Trong không gian afin

{O; ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗, …, ⃗⃗⃗⃗⃗}, siêu mặt bặc hai (S) có phương trình:

Ax + 2 x +

= 0.

(S) và I = (b1, b2, …, bn) là trung điểm của đoạn thẳng M1, M2.

Giả sử M1, M2

Phương trình đường thẳng M1M2 có dạng :
Xi = bi + ciλ, i =1, 2, …, n
Trong đó (y1, y2, …, yn) là tọa độ của vecto ⃗.
Tọa độ của M1, M2 là nghiệm của phương trình :
+ 2Pλ + Q = 0. (1)

(
Với P =
Q=

Ac +

c=∑

∑

Ab + 2 b + a0

Giả sử λ1, λ2 là nghiệm của phương trình (1) ứng với các giao điểm của M1, M2. I
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗

là trung điểm của M1, M2 nên ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

 λ1 ⃗ + λ2 ⃗ = ⃗⃗ (λ1 + λ2) ⃗ = ⃗⃗  λ1 + λ2 = 0 ( vì ⃗
Vậy P = 0 hay

Ac +

c = 0 hay

⃗⃗ ).

(Ab + a) = 0.

Như vậy tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng M1, M2 thỏa mãn phương trình:
(Ax + a) = 0 (2)
Trong (2),

A ≠ 0 vì nếu

A = 0 =>

=0

⃗ là phương tiệm cận => (2) là phương trình của một siêu phẳng:
)( )

(y1, y2, …, yn)[(

( )]

)

 (y1, y2, …, yn)[(
∑
 (y1, y2, …, yn)(
∑
∑

)=0
∑

∑
15

=0

( )] = 0


hay ∑

∑

(**)

Từ (*) và (**) ta thấy phương trình của

là thỏa mãn phương trình của

=

siêu phẳng kính.
Vậy nếu C là điểm nằm trên W và

là siêu phẳng đối cực của C đối với (S) thì

\W là siêu phẳng kính của ( ) liên hợp với phương ⃗⃗⃗ xác định bởi điểm vô tận
C.
Từ bài toán trên ta thấy sự thể hiện của afin của các đường conic đã học ở
THPT.
1. Trong P2 cho đường bậc hai S và đường thẳng
trong mô hình afin A2=P2\

có phương trình: x3= 0, thì ta có S

Với điểm X(x1: x2 : x3) S và X

thì x3

nên ta chia hai vế (1) cho

( )2 + ( )2 – 1 = 0
(1‟)

thì phương trình (1‟) là phương trình của Elip (E)

16

(1) và đường

= .

thu được phương trình:

hay

= . Khi đó

ta sẽ thu được một elip(E).

Thật vậy, giả sử đường conic S1 có phương trình
thẳng

sao cho S

sẽ


2. Trong P2 cho đường bậc hai S và đường thẳng
hình afin A2 = P2\

Khi đó S

= I thì trong mô

ta sẽ thu được một Parabol (P).

Thật vậy, giả sử conic S2 có phương trình:
Và đường thẳng

sao cho S

(2)

có phương trình: x3= 0

= { I=(0,1,0)}

Chia hai vế (2) cho

ta thu được phương trình:
( )2 -

=0
(2‟)

hay

Kho đó (2‟) chính là phương trình của Parabol (P) trong A2 = P2\

Trong P2 cho đường bậc hai S và đường thẳng
trong mô hình afin A2 = P2\

sao cho S

= {I, J}. Khi đó

ta sẽ thu được một Hypebol (H)

Thật vậy, giả sử conic S3 có phương trình là:

(3)

Và đường thẳng

= {I(1,1,0), J(1,-

có phương trình là : x3= 0, thì ta có S

1,0)}
Chia hai vế (3) cho

ta thu được phương trình:

( )2 – (
Hay

)2 = 0

(3‟)

Thì từ (3‟) chính là phương trình Hypebol (H) trong mô hình A2= P2\
17


Mặt khắc, các đường tiệm cận của (H) là các tiếp tuyến với conic S tại I và J nên
ta tìm được phương trình các đường tiêm cận là:
y1- y2= 0
và y1+ y2= 0

Ví dụ 2: Cho đường ôvan (S) và hai điểm A, B cố định trên nó, một đường thẳng

d cố định không đi qua A và B. Với mỗi điểm M thay đổi trên (S), các đưng
thẳng AM và BM lần lượt cắt d tại

. Tìm quỹ tích giao điểm của

.
Phát biểu bài toán đối ngẫu.
Cho đường thẳng AB là đường thẳng vô tận, hãy suy từ bài toán trên thành bài
toán trong mặt phẳng afin.
Giải:
* Tìm quỹ tích các điểm

18


+) Xét ánh xạ f: { }
Với mỗi điểm

{ } được xác định như sau:
, xác định duy nhất đường thẳng

{ }, đường thẳng

{ }. Khi đó sẽ xác định duy nhất điểm
đó xác định đường thẳng

, do

. Như vậy, với mỗi đường thẳng

{ }

{ }.

cho tương ứng đường thẳng
Do đó f là song ánh.

+) Ta chứng minh f là ánh xạ xạ ảnh. Thật vậy:
Xét chùm bốn đường thẳng tâm M, giả sử là

cắt d lần lượt tại M1, M2,

M3, M4. Khi đó:
[

]

[

]

Mặt khác, [

]

[

]

[

]

[

]

Do đó, f bảo tồn tỉ số kép của bốn đường thẳng bất kì thuộc chùm A và bốn
đường thẳng bất kì thuộc chùm B.
Vậy, f là ánh xạ xạ ảnh.
+) Tuy nhiên, f không là phép chiếu xuyên trục.
Gọi A0 là giao điểm của d với tiếp tuyến của (S) tại A.
19


Theo luật ánh xạ ở trên,

không là đường thẳng tự ứng

nên f không là phép chiếu xuyên trục.
Theo định lý Steiner đảo, quỹ tích các điểm

nằm trên một đường

ôvan. Hai điểm A và B cũng thuộc quỹ tích. Vì:
Nếu

thì

và

là tiếp tuyến của ôvan tại A. Gọi

, khi đó

.
. Vậy B cũng thuộc quỹ tích.

Suy ra
Tương tự, nếu

thì N

. Vậy A cũng thuộc quỹ tích.

* Đối ngẫu:
Cho đường ôvan (S) và hai đường thẳng a, b tiếp xúc với (S). Điểm D cố định
không thuộc a và b. Với mỗi đường thẳng m thay đổi tiếp xúc với (S),
đường nối
và

với D,

là đường nối

là

với D. Gọi n là đường nối

. Khi đó, các đường thẳng a, b, n sẽ tiếp xúc với một đường ôvan nào

đó.

* Cho AB là đường vô tận, suy ra bài toán trong afin:
Trong

thực, cho Hypebol (H), hai tiệm cận a và b, một đường thẳng d cố định

cắt (H) và không đi qua hai tiếp điểm của a và b đối với (H). Với mỗi điểm M
thay đổi thuộc (H), gọi d1 là đường thẳng đi qua M và song song với a, d2 là
20


đường thẳng đi qua M và song song với b,
quỹ tích các điểm N thỏa mãn

,

. Khi đó

là hình bình hành nằm trên một hypebol

nào đó cũng nhận a, b làm tiệm cận.

21