Sự hội tụ theo trung bình của dãy các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian Banach

1

MỤC LỤC

Mục lục

1

Lời nói đầu

2

1 Kiến thức cơ bản
1.1. Phần tử ngẫu nhiên . . .
1.2. Các dạng hội tụ . . . . .
1.3. Kỳ vọng của phần tử ngẫu
1.4. Một số bất đẳng thức . .

. . . .
. . . .
nhiên
. . . .

.
.
.
.

.
.
.

.

.
.
.
.

.
.
.
.

2 Sự hội tụ theo trung bình của dãy các
giá trị trên không gian Banach
2.1. Một số lớp phần tử ngẫu nhiên đặc biệt .
2.2. Các bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Kết quả chính . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.

4
4
5
7
8

phần tử ngẫu nhiên nhận
11
. . . . . . . . . . . . . . . 11
. . . . . . . . . . . . . . . 12
. . . . . . . . . . . . . . . 18

Kết luận

40

Tài liệu tham khảo

41


2

LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết xác suất là một bộ phận của toán học nghiên cứu các hiện tượng
ngẫu nhiên, nhằm tìm ra những quy luật trong những hiện tượng tưởng chừng

như không có quy luật. Lý thuyết xác suất ra đời vào nửa cuối thế kỷ thứ 17.
Ngày nay, lý thuyết xác suất đã phát triển mạnh mẽ, có cơ sở lý thuyết chặt
chẽ và có nhiều ứng dụng trong đời sống của con người từ âm nhạc tới vật lý,
từ văn học tới thống kê xã hội, từ cơ học tới thị trường chứng khoán, từ dự báo
thời tiết đến kinh tế, từ nông học tới y học...
Một hướng mở rộng của lý thuyết xác suất là nghiên cứu các vấn đề cơ bản
của nó trên không gian Banach, lĩnh vực này gần đây được phát triển mạnh mẽ
và thu được nhiều kết quả sâu sắc. Trên cơ sở đọc và tìm hiểu tài liệu, chúng
tôi nghiên cứu đề tài "Sự hội tụ theo trung bình của dãy các phần tử
ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian Banach".
Luận văn gồm 2 chương:
Chương 1. Kiến thức cơ bản.
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản về phần tử
ngẫu nhiên, các dạng hội tụ của phần tử ngẫu nhiên, các đặc trưng của phần tử
ngẫu nhiên và một số bất đẳng thức như bất đẳng thức Jensen, bất đẳng thức
H¨older, bất đẳng thức Cr , bất đẳng thức Lévy...nhằm phục vụ chứng minh kết
quả chính. Các chứng minh xem [2].
Chương 2. Sự hội tụ theo trung bình của dãy các phần tử ngẫu
nhiên nhận giá trị trên không gian Banach.
Đây là nội dung chính của luận văn, bao gồm 3 tiết. Trong tiết 2.1, chúng tôi
trình bày một số lớp phần tử ngẫu nhiên đặc biệt. Tiết 2.2 trình bày các bổ đề
. Trong tiết 2.3 chúng tôi đưa ra các kết quả chính.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn trực
tiếp của thầy giáo PGS.TS Nguyễn Văn Quảng. Tác giả xin được bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc đến thầy về sự quan tâm và nhiệt tình hướng dẫn mà thầy đã
dành cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu đề tài.


3

Nhân dịp này, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới thầy giáo TS Lê Văn Thành,
thầy giáo TS Nguyễn Thanh Diệu, học viên Trình Hoài Nam, học viên Lê Đăng
Thị đã thường xuyên động viên, quan tâm, giúp đỡ tác giả trong quá trình thực
hiện luận văn. Đồng thời, tác giả xin cảm ơn Ban chủ nhệm và các thầy cô giáo
trong Khoa Toán, Khoa Sau đại học, cảm ơn gia đình, bạn bè và tập thể lớp
Cao học 19 XSTK.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những thiếu
sót. Tác giả rất mong nhận được những lời chỉ bảo, những ý kiến đóng góp của
quý thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Vinh, tháng 05 năm 2013
Tác giả


4

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ BẢN

Trong toàn bộ luận văn, chúng tôi luôn giả sử (Ω, F, P) là không gian xác
suất đầy đủ, E là không gian Banach thực khả ly, B(E) là σ- đại số Borel. Ký
hiệu C là một hằng số dương, nhưng hằng số đó không nhất thiết phải giống
nhau trong các lần xuất hiện.
1.1

Phần tử ngẫu nhiên

1.1.1 Định nghĩa. Ta nói ánh xạ X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị
trên E nếu X là F/B(E) đo được (nghĩa là với mọi B ∈ B(E) thì X −1 (B) ∈ F).
1.1.2 Định nghĩa. Phần tử ngẫu nhiên X: Ω → E được gọi là phần tử ngẫu

nhiên rời rạc nếu |X(Ω)| không quá đếm được.
Đặc biệt, nếu |X(Ω)| hữu hạn thì X được gọi là phần tử ngẫu nhiên đơn giản.
(|X(Ω)| là lực lượng của tập hợp X(Ω)).
1.1.3 Định nghĩa. Dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} gọi là hội tụ hầu chắc
chắn (h.c.c) đến ánh xạ X : Ω → E (khi n → ∞) nếu tồn tại tập N ∈ F sao
cho P (N ) = 0 và Xn (ω) → X(ω) (theo chuẩn, khi n → ∞), với mọi ω ∈ Ω \ N .
−−→ X (khi n → ∞).
Ký hiệu Xn h.c.c
1.1.4 Định lý. Nếu {Xn , n ≥ 1} là dãy phần tử ngẫu nhiên và Xn
X là phần tử ngẫu nhiên.

h.c.c
−−→

X thì

1.1.5 Định lý. Ánh xạ X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên khi và chỉ khi X là
giới hạn đều của một dãy phần tử ngẫu nhiên rời rạc (tức là tồn tại dãy phần
tử ngẫu nhiên rời rạc {Xn , n ≥ 1} sao cho
lim sup Xn (ω) − X(ω) = 0).

n→∞ ω∈Ω


5

1.1.6 Định lý. Ánh xạ X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên khi và chỉ khi X là
giới hạn (theo chuẩn) của một dãy phần tử ngẫu nhiên đơn giản {Xn , n ≥ 1} sao
cho Xn (ω) ≤ 2 X(ω) với mọi n ≥ 1 và mọi ω ∈ Ω (tức là tồn tại dãy phần
tử ngẫu nhiên đơn giản {Xn , n ≥ 1} thoả mãn limn→∞ Xn (ω) − X(ω) = 0 và

Xn (ω) ≤ 2 X(ω) với mọi n ≥ 1 và mọi ω ∈ Ω).
1.1.7 Định lý. Giả sử E1 , E2 là các không gian Banach thực khả ly, T : E1 → E2
là ánh xạ B(E1 )/B(E2 ) đo được và X : Ω → E1 phần tử ngẫu nhiên. Khi đó ánh
xạ T ◦ X : Ω → E2 là phần tử ngẫu nhiên.
1.1.8 Hệ quả. Giả sử ánh xạ X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên. Khi đó, ánh
xạ X : Ω → R là biến ngẫu nhiên.
1.1.9 Định lý. Ánh xạ X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên khi và chỉ khi với mọi
f ∈ E∗ thì f(X) là biến ngẫu nhiên.
1.1.10 Hệ quả. Giả sử X, Y là các phần tử ngẫu nhiên, a, b ∈ R và ξ : Ω → R
là biến ngẫu nhiên. Khi đó aX + bY, ξX là các phần tử ngẫu nhiên.
1.1.11 Định nghĩa. Một tập hữu hạn các phần tử ngẫu nhiên X1 , X2 , ..., Xn
nhận giá trị trong E được gọi là độc lập nếu với mỗi B1 , B2 , ..., Bn ∈ B(E) ta có
P (X1 ∈ B1 , X2 ∈ B2 , ..., Xn ∈ Bn ) = P (X1 ∈ B1 )P (X2 ∈ B2 )...P (Xn ∈ Bn )
Một dãy các phần tử ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} trong E được gọi là độc lập nếu
mọi tập con hữu hạn của nó đều độc lập.
1.1.12 Định nghĩa. Một phần tử ngẫu nhiên X nhận giá trị trên E được gọi
là đối xứng nếu X và -X có cùng phân phối.
1.1.13 Định nghĩa. Phần tử ngẫu nhiên Borel X nhận giá trị trên E được gọi
là phần tử ngẫu nhiên Randon nếu với mỗi ε > 0, tồn tại một tập con compact
K của E sao cho
P {X ∈ K} ≥ 1 − ε.
1.2

Các dạng hội tụ

1.2.1 Định nghĩa. Giả sử {Xn , n ≥ 1} là dãy phần tử ngẫu nhiên cùng xác
định trên Ω và nhận giá trị trên E.
Ta nói dãy {Xn , n ≥ 1} hội tụ đến X (khi n → ∞)

6

• hầu chắc chắn nếu : P (limn→∞ Xn − X = 0) = 1.
Ký hiệu Xn

h.c.c
−−→

X.

• đầy đủ nếu với mọi ε > 0 thì
Ký hiệu Xn

c
−
→

∞
n=1 P (

Xn − X > ε) < ∞.

X.

• theo xác suất nếu với mọi ε > 0 thì limn→∞ P ( Xn − X > ε) = 0.
Ký hiệu Xn

P
−
→

X.

• theo trung bình cấp p nếu limn→∞ E Xn − X
Ký hiệu Xn

Lp
−
→

p

= 0.

X.

• theo phân phối nếu PXn

w
→
−

PX trong đó

PX : B(E) → R
B → P (X −1 (B)).
1.2.2 Định lý. Xn → X h.c.c (khi n → ∞) khi và chỉ khi với mọi ε > 0,
lim P (sup Xm − X > ε) = 0.

n→∞

m≥n
Lp

P
→ X (khi n → ∞).
−−→ X hoặc Xn −
→ X thì Xn −
1.2.3 Định lý. 1. Nếu Xn h.c.c
c
h.c.c
→ X thì Xn −−→ X (khi n → ∞).
2. Nếu Xn −
−−→ C ∈ E
3. Nếu {Xn , n ≥ 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên độc lập và Xn h.c.c
c
→ C (khi n → ∞).
thì Xn −

1.2.4 Định nghĩa. Ta nói dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} là dãy cơ bản
• hầu chắc chắn (h.c.c) nếu P (limm,n→∞ Xm − Xn = 0) = 1;
• theo xác suất nếu limm,n→∞ P ( Xm − Xn > ε) = 0 với mọi ε > 0;
• theo trung bình cấp p>0 nếu limm,n→∞ E Xm − Xn

p

= 0.

1.2.5 Định lý. Dãy {Xn , n ≥ 1} cơ bản h.c.c khi và chỉ khi dãy {Xn , n ≥ 1}
hội tụ h.c.c.

7

1.2.6 Định lý. Dãy {Xn , n ≥ 1} là dãy cơ bản h.c.c khi và chỉ khi một trong
hai điều kiện sau đây được thoả mãn:
(i) limn→∞ P (supk,l≥n Xk − Xl > ε) = 0 với mọi ε > 0;
(ii) limn→∞ P (supk≥n Xk − Xn > ε) = 0 với mọi ε > 0.
1.2.7 Định lý. Nếu dãy {Xn , n ≥ 1} cơ bản theo xác suất thì tồn tại dãy con
{Xnk , k ≥ 1} ⊂ {Xn , n ≥ 1} sao cho {Xnk , k ≥ 1} hội tụ h.c.c.
1.2.8 Định lý. Dãy {Xn , n ≥ 1} hội tụ theo xác suất khi và chỉ khi nó là dãy
cơ bản theo xác suất.
1.2.9 Định lý. Dãy {Xn , n ≥ 1} hội tụ theo trung bình cấp p (p ≥ 1) khi và
chỉ khi nó là dãy cơ bản theo trung bình cấp p.
1.3

Kỳ vọng của phần tử ngẫu nhiên

1.3.1 Định nghĩa. Giả sử X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên. Phần tử m ∈ E
được gọi là kỳ vọng của X nếu với mọi f ∈ E∗ ta có
f (m) = E(f (X)).
Ký hiệu m = EX.
1.3.2 Định lý. Giả sử X, Y là các phần tử ngẫu nhiên, ξ là biến ngẫu nhiên
cùng xác định trên không gian xác suất (Ω, F, P), a ∈ R, α ∈ E. Khi đó, nếu
tồn tại EX, EY, Eξ thì
1. Tồn tại E(X+Y) và E(X+Y)=EX+EY;
2. Tồn tại E(aX) và E(aX)=aEX;
3. Tồn tại E(αξ) và E(αξ) = αEξ;
4. Nếu P (X = α) = 1 thì EX = α;
5. Nếu ξ và f (X) độc lập với mọi f ∈ E∗ thì tồn tại E(ξX) và E(ξX) = EξEX;

6. Với mọi ánh xạ tuyến tính liên tục T : E → E ( E là không gian Banach
thực khả ly) thì tồn tại E(T(X)) và E(T(X))=T(E(X)).
1.3.3 Định lý. Nếu E X < ∞ thì tồn tại EX và
EX ≤ E X .


8

1.4

Một số bất đẳng thức

1.4.1 Định lý. (Bất đẳng thức H¨
older) Giả sử p,q ∈ (1; +∞) sao cho p1 + 1q = 1
và X, Y là các phần tử ngẫu nhiên. Khi đó,
E XY ≤ X

p

Y

q

.

1.4.2 Định lý. (Bất đẳng thức Jensen) Giả sử X là phần tử ngẫu nhiên, ánh
xạ ϕ : E → R là hàm lồi liên tục, X và ϕ(X) khả tích thì
ϕ(EX) ≤ E(ϕ(X)) .
1.4.3 Định lý. (Bất đẳng thức Cr ) Giả sử X, Y là các phần tử ngẫu nhiên,
r>0. Khi đó,

E X + Y r ≤ Cr (E X r + E Y r )
trong đó Cr = max(1, 2r−1 ) chỉ phụ thuộc vào r.
1.4.4 Định lý. (Xem [4])(Bất đẳng thức Lévy) Cho (Xi ) là dãy phần tử ngẫu
nhiên đối xứng. Với mỗi k, đặt Sk = ki=1 Xi . Khi đó với mọi số nguyên N và
với mọi t>0 ta có
P {max Sk > t} ≤ 2P { SN > t}
k≤N

và
P {max Xi > t} ≤ 2P { SN > t}.
i≤N

1.4.5 Định lý. (Xem [5])Với mỗi p ≥ 1 tồn tại một hằng số dương Cp sao cho
bất kỳ không gian Banach khả ly E và dãy hữu hạn {Xi : 1 ≤ i ≤ n} các phần
tử ngẫu nhiên độc lập, với Xi ∈ Lp (i = 1, n) ta có:
(i) Với 1 ≤ p ≤ 2,
n
p

E Xi p .

E| Sn − E Sn | ≤ Cp
i=1

Nếu p = 2 thì C2 = 4.
(ii) Với p > 2,
n
p

n

2 p/2

E| Sn − E Sn | ≤ Cp ((

E Xi )
i=1

E Xi p ).

+
i=1


9

1.4.6 Định lý. (Xem [4]) Cho (Xi )i≤N là dãy phần ngẫu nhiên độc lập nhận
giá trị trên E. Khi đó với mọi t>0,
N

N

P {max Xi > t} ≥
i≤N

P { Xi > t}/(1 +
i

P { Xi > t}).
i

Nếu P {maxi≤N Xi > t} ≤ 1/2 thì
N

P { Xi > t} ≤ 2P {max Xi > t}.
i≤N

i

Chứng minh. Với x ≥ 0 ta có 1 − x ≤ exp(−x) và 1 − exp(−x) ≥ x/(1 + x). Do
đó,
N

(1 − P { Xi > t})

P {max Xi > t} = 1 −
i≤N

i=1
N

P { Xi > t})

≥ 1 − exp(−
i
N

≥

N

P { Xi > t}/(1 +
i

P { Xi > t}).

(1.1)

i

Nếu P {maxi≤N Xi > t} ≤ 1/2 thì
N

N

P { Xi > t}/(1 +
i

P { Xi > t}) ≤ 1/2.
i

Suy ra N
i P { Xi > t} ≤ 1.
N
Dẫn đến N
i P { Xi > t}/(1 +
i P { Xi > t}) ≥
N
Do đó P {maxi≤N Xi > t} ≥ i P { Xi > t}/2
hay N
i P { Xi > t} ≤ 2P {maxi≤N Xi > t}.

N
i

P { Xi > t}/2.

1.4.7 Định lý. (Xem [4]) Giả sử {Xn , n ≥ 1} là một dãy phần tử ngẫu nhiên
nhận giá trị trên E và {Xn , n ≥ 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên độc lập, cùng
phân phối với {Xn , n ≥ 1}. Khi đó với bất kỳ t,a>0
P { Xn ≤ a}P { Xn > t + a} ≤ P { Xn − Xn > t}.
Trường hợp đặc biệt, nếu P { Xn ≤ a} ≥ 1/2 thì
P { Xn > t + a} ≤ 2P { Xn − Xn > t}.


10

1.4.8 Định lý. (Xem [4])Cho 0 < p < ∞ và (Xi )i≤N là dãy phần ngẫu nhiên
độc lập, đối xứng trong Lp (E). Đặt Sk = ki=1 Xi , k ≤ N . Khi đó,
E SN

p

≤ 2.3p E max Xi
i≤N

p

+ 2(3t0 )p

trong đó t0 = inf{t > 0 : P { SN > t} ≤ (8.3p )−1 }.

11

CHƯƠNG 2

SỰ HỘI TỤ THEO TRUNG BÌNH CỦA DÃY CÁC PHẦN TỬ
NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRÊN KHÔNG GIAN BANACH

2.1

Một số lớp phần tử ngẫu nhiên đặc biệt

Trong mục này, chúng tôi sẽ giới thiệu một số lớp phần tử ngẫu nhiên đặc biệt
mà chúng tôi sẽ đi sâu nghiên cứu trong các mục sau.
2.1.1 Định nghĩa. Một dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} được gọi là chặt
đều nếu với mọi ε > 0, tồn tại một tập con compact K của E sao cho
sup P {Xn ∈
/ K} < ε.
n≥1

Định nghĩa sau đây mở rộng định nghĩa trên.
2.1.2 Định nghĩa. Một dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} được gọi là chặt
đều theo nghĩa Cesàro nếu với mọi ε > 0, tồn tại một tập con compact K của
E sao cho
n
sup n−1
n≥1

P {Xi ∈

/ K} < ε.
i=1

2.1.3 Định nghĩa. Một dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} được gọi là
compact khả tích đều cấp r nếu với mọi ε > 0, tồn tại một tập con compact K
của E sao cho
sup E Xn r I(Xn ∈
/ K) < ε.
n≥1

2.1.4 Định nghĩa. Một dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} được gọi là
compact khả tích đều cấp r theo nghĩa Cesàro nếu với mọi ε > 0, tồn tại một
tập con compact K của E sao cho
n

sup n
n≥1

−1

E Xi r I(Xi ∈
/ K) < ε.
i=1


12

Rõ ràng, nếu dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} là compact khả tích đều
cấp r thì nó compact khả tích đều cấp r theo nghĩa Cesàro.
2.1.5 Định nghĩa. Một dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} được gọi là khả

tích đều cấp r nếu
lim sup E Xn r I( Xn > x) = 0.
x→∞ n≥1

2.1.6 Định nghĩa. Một dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} được gọi là khả
tích đều cấp r theo nghĩa Cesàro nếu
n

lim sup n

−1

x→∞ n≥1

2.2

E Xi r I( Xi > x) = 0.
i=1

Các bổ đề

Chúng ta nhớ lại rằng một dãy {Xn , n ≥ 1} được gọi là bị chặn theo xác
suất nếu với mọi ε > 0, tồn tại A > 0 sao cho
P { Xn > A} < ε.
2.2.1 Định nghĩa. Không gian Banach E gọi là không gian Rademacher dạng
p nếu tồn tại hằng số Cp > 0 sao cho bất kỳ dãy {εi , i ≥ 1} độc lập và
P {εi = ±1} = 1/2 với mọi i ≥ 1,
n

n

p

≤ Cp

x i εi

E
i=1

p

xi

với mọi n ≥ 1.

i=1

2.2.2 Định nghĩa. Cho 1 ≤ p ≤ 2. Không gian Banach E gọi là ổn định dạng
p nếu tồn tại một hằng số Cp > 0 sao cho bất kỳ tập hữu hạn các điểm xi ∈ B
và bất kỳ dãy biến ngẫu nhiên thực {εi , i ≥ 1} độc lập, cùng phân phối, đối
xứng thoã mãn
n
p

sup t P
t>0

n

≤ Cp

x i εi > t
i=1

xi

p

với mọi n ≥ 1.

i=1

Nhiều tác giả đã nêu ra các đặc trưng của không gian Rademacher dạng p
theo những cách khác nhau. Một trong số đó là kết quả sau.
2.2.3 Bổ đề. Cho 1 ≤ p ≤ 2. Không gian Banach E là không gian Rademacher
dạng p khi và chỉ khi tồn tại một hằng số Cp > 0 chỉ phụ thuộc vào p sao cho
n

E

Xi
i=1

n

p

E Xi p .

≤ Cp
i=1

(2.1)


13

Với mọi bộ hữu hạn {X1 , X2 , ..., Xn } các phần tử ngẫu nhiên độc lập, có kỳ vọng
bằng 0.
Azlarov và Volodin đã chứng minh được bổ đề dưới đây.
2.2.4 Bổ đề. (Xem [9]) Cho 1 ≤ p < 2, {Xn , n ≥ 1} là một dãy phần tử ngẫu
nhiên độc lập cùng phân phối và E là không gian Rademacher dạng p. Khi đó
các điều kiện sau là tương đương:
(i)
EX = 0, E X

p

< ∞,

(2.2)

p

(2.3)

(ii)
n

lim E n

−1/p

n→∞

Xi

= 0.

i=1

Đặc trưng của không gian Rademacher dạng p bởi luật mạnh số lớn Marcinkiewicz
được thể hiện qua bổ đề sau.
2.2.5 Bổ đề. (Xem [5]) Cho 1 ≤ p < 2 và E là không gian Banach khả ly. Khi
đó các khẳng định sau là tương đương:
(i) E là không gian Rademacher dạng p;
(ii) Mọi dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối {Xn , n ≥ 1}, với
E X1 p < ∞, EX1 = 0 ta có Sn /n1/p → 0 h.c.c.
Mối quan hệ giữa luật mạnh số lớn Marcinkiewicz và không gian ổn định
dạng p được thể hiện bởi bổ đề sau đây.
2.2.6 Bổ đề. (Xem [4]) Cho 1 ≤ p < 2 và E là không gian Banach. Khi đó các
khẳng định sau là tương đương:
(i) E ổn định dạng p;
(ii) Mọi phần tử ngẫu nhiên đối xứng Randon X, Sn /n−1/p → 0 theo xác suất
khi và chỉ khi limn→∞ tp P { X > t} = 0. (Sn = ni=1 Xi )
2.2.7 Bổ đề. (Xem [4]) Cho dãy số (an ), 0 < (an ) ↑ ∞ và {Xn , n ≥ 1} là một
dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập, đối xứng nhận giá trị trên không gian Banach.
P
→ 0 (bị chặn theo xác suất) thì với bất kỳ p>0 và bất kỳ dãy số

Nếu (Sn /an ) −
dương bị chặn (cn ), dãy
1
( pE
an

n

Xi I( Xi ≤ cn an ) p ) → 0 (tương ứng bị chặn).
i=1


14

Chứng minh. Ta chỉ chứng minh trường hợp (Sn /an ) → 0 theo xác suất vì
trường hợp (Sn /an ) bị chặn theo xác suất chứng minh tương tự.
Vì dãy (Sn /an ) → 0 theo xác suất nên với mọi t>0 thì
lim P { Sn /an > t} = 0.

n→∞

Sử dụng Định lý 1.4.8 ta có với mỗi n
n

Xi I( Xi ≤ cn an )

E

p

≤ 2.3p E max Xi p I( Xi ≤ cn an ) + 2(3t0 (n))p
i≤n

i=1

trong đó t0 = inf{t > 0 : P {
Theo bất đẳng thức Lévy

n
i=1 Xi I(

Xi ≤ cn an ) > t} ≤ (8.3p )−1 }.
cn an

p

E(max Xi I( Xi ≤ cn an )) ≤
i≤n

P {max Xi > t}dtp
i≤n

0

cn an

≤2
0

≤

cn

2apn

P { Sn > t}dtp (đổi biến)
P { Sn > tan }dtp .

(2.4)

0

Chú ý rằng, với mỗi ε > 0, t0 (n) < εan khi n đủ lớn, kéo theo (t0 (n))p < εp apn .
Do đó
n

1
E
apn

Xi I( Xi ≤ cn an )

p

i=1

≤ 2.3p

1
p

p 1
p
p E max Xi I( Xi ≤ cn an ) + 2.3 p (t0 (n))
i≤n
an
an
cn

p

≤ 4.3

0

P { Sn > tan }dtp + 2.3p εp
cn

p

≤ 4.3 an

P { Sn /an > t}dtp + 2.3p εp

0

→ 0 khi n → ∞.

(2.5)

2.2.8 Bổ đề. (Xem [5]) Cho {Xi , i ≥ 1} là một dãy phần tử ngẫu nhiên độc

lập, đối xứng nhận giá trị trên không gian Banach. Khi đó, với r>0
Sn h.c.c
S2n+1 − S2n h.c.c
−−→ 0 khi và chỉ khi
−−→ 0.
nr
2nr
Bổ đề sau đây là một phiên bản của luật mạnh số lớn Marcinkiewicz đối với
phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian Banach khả ly tuỳ ý.


15

2.2.9 Bổ đề. Cho 1 ≤ p < 2, E là không gian Banach khả ly và {Xn , n ≥ 1}
là một dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối nhận giá trị trên không
gian Banach với E X1 p < ∞. Khi đó
Sn /n1/p

0 khi và chỉ khi Sn /n1/p

P
−
→

h.c.c
−−→

0.

Chứng minh. Điều kiện đủ là rõ ràng.

P
→ 0. Không mất tính tổng quát ta giả sử dãy
Điều kiện cần: Giả sử Sn /n1/p −
{Xn , n ≥ 1} đối xứng. Đặt Yi = Xi I( Xi ≤ i1/p ), Tn = ni=1 Yi .
Từ E X1 p < ∞ ta có i P { Xi > i1/p } < ∞. Theo bổ đề Borel-Cantelli ta
−−→ 0.
suy ra P {lim supi (Xi = Yi )} = 0. Do đó, chỉ cần chứng minh Tn /n1/p h.c.c
P
P
→ 0 suy ra Tn /n1/p −
→ 0.
Ta có Sn /n1/p −
Do đó theo bổ đề 2.2.7 ta có
E Tn /n1/p → 0.

(2.6)

2 2/p
Chú ý rằng ∞
< ∞.
i=1 E Yi /i
Đặt Vn = T2n+1 − T2n − E T2n+1 − T2n .
Khi đó với mọi ε > 0,

P {|Vn |/2n/p > ε} ≤

1
ε2 22n/p

EVn2

2n+1

1
E Yi
≤ 2 2n/p .4
ε2
i=2n

2

2n+1

4.22/p
≤
E Yi 2 /i2/p .
2
ε i=2n
Do đó,

∞

∞
n/p

P {|Vn |/2

E Yi 2 /i2/p < ∞.

> ε} ≤ c

n=1

i=1

c
h.c.c
→ 0 dẫn đến Vn /2n/p −−→ 0.
Điều đó chứng tỏ Vn /2n/p −
Từ (2.6) và bổ đề 2.2.8 ta suy ra điều phải chứng minh.

Xem xét luật mạnh số lớn dưới điều kiện
n

∞

sup n
0

đưa đến kết quả sau đây.

n≥1

−1

P { Xi
i=1

p

≥ x}dx < ∞

(2.7)


16

2.2.10 Bổ đề. (Xem [7]) Cho 1 ≤ p < 2, {Xn , n ≥ 1} là một dãy phần tử
ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối nhận giá trị trên không gian Banach và
∞
n
−1
p
≥ x}dx < ∞ . Khi đó
i=1 P { Xi
0 supn≥1 n
Sn /n1/p

0 khi và chỉ khi Sn /n1/p

P
−
→

h.c.c
−−→

0.

Bổ đề 2.2.11 và 2.2.12 sẽ cho ta thấy những tính chất tương đồng của dãy
{Xn } và dãy {Xn − Xn } với {Xn , n ≥ 1} là dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập,

cùng phân phối với {Xn , n ≥ 1}.
2.2.11 Bổ đề. Cho r>0, {Xn , n ≥ 1} là một dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá
trị trên không gian Banach và {Xn , n ≥ 1} là dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập,
cùng phân phối với {Xn , n ≥ 1}. Khi đó ta có các kết quả sau:
(i) Nếu Xn → 0 theo xác suất thì E Xn r → 0 khi và chi khi E Xn −Xn r → 0;
(ii) Nếu Xn bị chặn theo xác suất thì supn≥1 E Xn r < ∞ khi và chi khi
supn≥1 E Xn − Xn r < ∞.
Chứng minh. Ta chỉ chứng minh trường hợp Xn → 0 theo xác suất vì trường
hợp Xn bị chặn theo xác suất chứng minh tương tự. Thật vậy,
Điều kiện cần: Sử dụng bất đẳng thức Cr ta được
E Xn − Xn

r

Điều kiện đủ: Giả sử E Xn − Xn
Với mọi ε > 0 tuỳ ý

≤ c(E Xn r + E Xn r )
≤ cE Xn r → 0.
r

→ 0.

∞

E Xn

r

∞

P { Xn

=
0

r

P { Xn > t1/r }dt

> t}dt =
0

ε
1/r

P { Xn > t

=

(2.8)

0

∞

P { Xn > t1/r }dt

}dt +
ε

∞

P { Xn > t1/r }dt.

≤ε+

(2.9)

ε
P
→
Xn −

Chú ý rằng
0 suy ra với mọi ε > 0 thì limn→∞ P { Xn > ε} = 0
dẫn đến supt≥ε P { Xn > t1/r /2} ≤ P { Xn > ε1/r /2} → 0. Suy ra
P { Xn > t1/r /2} → 0 với t ≥ ε. Vì vậy P { Xn ≤ t1/r /2} ≥ 1/2 với t ≥ ε.
Lúc đó theo Định lý 1.4.7 thì khi n đủ lớn
P { Xn > t1/r } ≤ 2P { Xn − Xn > t1/r /2} với t ≥ ε.
Do đó
∞

E Xn

r

P { Xn > t1/r }dt

≤ε+

ε


17

∞

P { Xn − Xn > t1/r /2}dt

≤ε+2
ε

∞

=ε+2
ε

P { Xn − Xn

r

> t/2r }dt (đổi biến)

P { Xn − Xn

r

> t}2r dt

∞

=ε+2
ε/2r

∞
r+1

≤ε+2

P { Xn − Xn

r

> t}dt

0
r+1

=ε+2

E Xn − Xn

r

→ 0.

(2.10)

2.2.12 Bổ đề. Cho p > 0, {Xn , n ≥ 1} là một dãy phần tử ngẫu nhiên nhận
giá trị trên không gian Banach và {Xn , n ≥ 1} là dãy phần tử ngẫu nhiên độc

lập, cùng phân phối với {Xn , n ≥ 1}. Giả sử {Xn , n ≥ 1} khả tích đều cấp p.
Khi đó {Xn − Xn , n ≥ 1} khả tích đều cấp p.
Chứng minh. Sử dụng bất đẳng thức Cr ta có
E Xn − Xn p I( Xn − Xn > x)
≤ Cp (E Xn p I( Xn − Xn > x) + E Xn p I( Xn − Xn > x))
≤ 2Cp E Xn p I( Xn − Xn > x)
= 2Cp E{ Xn p I( Xn − Xn > x, Xn > x)
+ Xn p I( Xn − Xn > x, Xn ≤ x)}
≤ 2Cp E{ Xn p I( Xn − Xn > x, Xn > x) + xp I( Xn − Xn > x)}
≤ 2Cp E{ Xn p I(2 Xn > x, Xn > x) + xp I( Xn − Xn > x)}
≤ 2Cp {E Xn p I( Xn > x) + xp EI( Xn − Xn > x)}
= 2Cp {E Xn p I( Xn > x) + xp P { Xn − Xn > x}}
≤ 2Cp {E Xn p I( Xn > x) + xp P {2 Xn > x}}
≤ 2Cp E Xn p I( Xn > x) + 4Cp xp P { Xn > x/2}.
(2.11)
Vì {Xn , n ≥ 1} khả tích đều cấp p nên
lim sup E Xn p I( Xn > x) = 0.

x→∞ n≥1

Dẫn đến
xp sup P { Xn > x} ≤ sup E Xn p I( Xn > x) → 0.
n≥1

Suy ra

n≥1

lim xp sup P { Xn > x} = 0.

x→∞

n≥1


18

Do đó limx→∞ supn≥1 E Xn − Xn p I( Xn − Xn > x) = 0
hay {Xn − Xn , n ≥ 1} khả tích đều cấp p.
2.2.13 Bổ đề. Cho D là tập con Borel hoàn toàn bị chặn của E, {Xn , n ≥ 1}
là một dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên D. Khi đó với mọi ε > 0, tồn
tại {xi , 1 ≤ i ≤ m} ⊂ E và tập con Borel {Ai , 1 ≤ i ≤ m} của E sao cho với
mọi n ≥ 1
Xn − Yn < ε
ở đây Yn =

m
i=1 xi I(Xn

∈ Ai ) ∈ σ(Xn ).

Chứng minh. Vì D là tập con Borel hoàn toàn bị chặn của E nên với mọi ε > 0
tồn tại {xi , 1 ≤ i ≤ m} ⊂ E sao cho D ⊂ m
i=1 B(xi , ε), ở đây B(xi , ε) = {x :
x − xi < ε}, 1 ≤ i ≤ m. Đặt
i−1

A1 = D ∩ B(x1 , ε), Ai = D ∩ B(xi , ε) \

B(xj , ε) , 2 ≤ i ≤ m.

j=1

Do đó
Xn − Yn < ε và Yn ∈ σ(Xn ).

2.3

Kết quả chính

Hai định lý sau đây chỉ ra một số đặc trưng của không gian Rademacher dạng
p, liên quan đến các luật số lớn đối với dãy phần tử ngẫu nhiên compact khả
tích đều cấp p hoặc compact khả tích đều cấp p theo nghĩa Cesàro.
2.3.1 Định lý. Cho 1(i) E là không gian Rademacher dạng p;
(ii) Với mọi dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trên không gian
Banach {Xn , n ≥ 1} thoả mãn EXn = 0 với mọi n ≥ 1, compact khả tích đều
cấp p theo nghĩa Cesàro thì
n

lim E n

n→∞

−1/p

Xi

p

= 0;

(2.12)

i=1

(iii) Với mọi dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trên không gian
Banach {Xn , n ≥ 1}, EXn = 0 với mọi n ≥ 1, compact khả tích đều cấp p theo


19

nghĩa Cesàro và thoả mãn
n

∞

sup n

−1

n≥1

0

P { Xi

p

> x} dx < ∞,

i=1

lúc đó ta có luật mạnh số lớn Marcinkiewicz-Zygmund
n

n

−1/p

Xi → 0 h.c.c.

(2.13)

i=1

Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Vì dãy {Xn , n ≥ 1} compact khả tích đều cấp p theo
nghĩa Cesàro nên với mọi ε > 0, tồn tại một tập con compact K của E sao cho
n

sup n
n≥1

−1

E Xi p I(Xi ∈
/ K) < ε.

(2.14)

i=1

Rõ ràng {Xn I(Xn ∈ K), n ≥ 1} nhận giá trị trong K ∪{0}. Vì K là tập compact
nên K ∪ {0} là tập compact. Do đó K ∪ {0} là tập con Borel hoàn toàn bị chặn
trong E. Khi đó theo bổ đề 2.2.13 ta có với mọi ε > 0 tồn tại {xj , 1 ≤ j ≤ m} ⊂ E
và tập con Borel {Aj , 1 ≤ j ≤ m} của E sao cho
Xn I(Xn ∈ K) − Yn ≤ ε ∀n ≥ 1

(2.15)

trong đó Yn = m
j=1 xj I(Xn ∈ Aj ).
Sử dụng bất đẳng thức Cr , bất đẳng thức Jensen, (2.1) và (2.14) ta có
n
−1

(Xi I(Xi ∈
/ K) − E Xi I(Xi ∈
/ K))

n E
≤ cn

i=1
n
−1

E (Xi I(Xi ∈
/ K) − E Xi I(Xi ∈
/ K))

i=1
n

= cn−1

E (Xi − E Xi ) I(Xi ∈
/ K)

p

i=1
n

≤ cn−1

(E Xi − E Xi 2 )p/2 I(Xi ∈
/ K)
i=1
n

≤ cn−1

(4E Xi 2 )p/2 I(Xi ∈
/ K)
i=1
n

≤ cn−1

E Xi

i=1

p

p

I(Xi ∈
/ K)

p


20

≤ cε.

(2.16)

Dựa vào bất đẳng thức Cr và (2.15) ta có
n

n

(Xi I(Xi ∈ K) − E Xi I(Xi ∈ K)) −

E
i=1
n

(Yi − E Yi )

p

i=1

≤c

E (Xi I(Xi ∈ K) − E Xi I(Xi ∈ K)) − (Yi − E Yi )
i=1
p

≤ cε .

p

(2.17)

Sử dụng bất đẳng thức Cr và bất đẳng thức Jensen ta có
n
−1

(Yi − E Yi )

n E

p

i=1
n
−1

=n E

m

m

xj I(Xi ∈ Aj ) − E

(

i=1 j=1
m
n

= n−1 E
≤ cn−1

i=1
n

j=1
m

(I(Xi ∈ Aj ) − EI(Xi ∈ Aj ))
i=1

(I(Xi ∈ Aj ) − EI(Xi ∈ Aj ))

j=1

m

p

i=1
n

(I(Xi ∈ Aj ) − EI(Xi ∈ Aj )) 2 )p/2

(E
j=1
m

≤ cn−1

p

n

E

≤ cn−1

p

(I(Xi ∈ Aj ) − EI(Xi ∈ Aj ))

E xj

≤ cn−1

p

j=1

xj
j=1
m

xj I(Xi ∈ Aj ))

i=1
n

(

E I(Xi ∈ Aj ) − EI(Xi ∈ Aj ) 2 )p/2

j=1 i=1
n
n

≤ cn−1
≤ cn
≤ cn

(

4EI 2 (Xi ∈ Aj ))p/2

j=1 i=1
n
−1
p/2

n

i=1
−1+p/2

→ 0 khi n → ∞.

(2.18)


21

Do đó,
n

E n

n

−1/p

Xi

p

−1

=n E

Xi

i=1
n

= n−1 E

p

i=1

(Xi − EXi )

p

(do EXi = 0 ∀i = 1, n)

i=1
n

= n−1 E

(Xi I(Xi ∈
/ K) − EXi I(Xi ∈
/ K))
i=1

n

(Xi I(Xi ∈ K) − EXi I(Xi ∈ K))

+

p

i=1
n
−1

(Xi I(Xi ∈
/ K) − EXi I(Xi ∈
/ K))

=n E
i=1
n

n

(Xi I(Xi ∈ K) − EXi I(Xi ∈ K)) −

+[
i=1

n

(Yi − E Yi )] +
i=1

(Yi − E Yi )

p

i=1

n

≤ cp n−1 E

(Xi I(Xi ∈
/ K) − EXi I(Xi ∈
/ K))

p

i=1
n

n

(Xi I(Xi ∈ K) − EXi I(Xi ∈ K)) −

+E
i=1
n

p

i=1

(Yi − E Yi )

+E

(Yi − E Yi )

p

→ 0.

(2.19)

i=1

Suy ra limn→∞ E n−1/p ni=1 Xi p = 0.
(ii) ⇒ (iii). Từ (ii) ta có limn→∞ E n−1/p ni=1 Xi p = 0
Lp
P
→ 0. Theo bổ đề 2.2.10 ta suy
suy ra n−1/p ni=1 Xi −→ 0 dẫn đến n−1/p ni=1 Xi −
ra n−1/p ni=1 Xi → 0 h.c.c.
(iii) ⇒ (i). Theo bổ đề 2.2.5 ta có ngay điều phải chứng minh.
Định lý được chứng minh.
2.3.2 Định lý. Cho r ≥ 1, {Xn , n ≥ 1} là dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi
một nhận giá trị trên không gian Banach với EXn = 0 với mọi n ≥ 1. Giả sử
{Xn , n ≥ 1} compact khả tích đều cấp r theo nghĩa Cesàro. Khi đó

n

E n

−1

Xi
i=1

r

→ 0.

(2.20)


22

Nếu r=1 và giả sử
n

∞

sup n

−1

n≥1

0

P { Xi > x} dx < ∞
i=1

thì ta có luật mạnh số lớn Kolmogorov
n

n

−1

Xi → 0 h.c.c.

(2.21)

i=1

Chứng minh. Trước hết ta chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề. Giả sử r ≥ 1 và {ai , 1 ≤ i ≤ n} là các số thực.
Khi đó
|a1 + a2 + ... + an |r ≤ nr−1 (|a1 |r + |a2 |r + ... + |an |r ).
Chứng minh bổ đề. Với r = 1, hiển nhiên.
Trong trường hợp r > 1 xét hàm số f (x) = xr , x > 0.
Khi đó f là hàm lồi nên
n
n
f (|ai |)
i=1 |ai |
f
≤ i=1

.
n
n
Do đó

|

n
i=1 ai |

r

n
r
i=1 |ai |

≤
.
n
n
Từ đây suy ra điều phải chứng minh.
(i) ⇒ (ii). Vì dãy {Xn , n ≥ 1} compact khả tích đều cấp r theo nghĩa Cesàro
nên với mọi ε > 0, tồn tại một tập con compact K của E sao cho
n

sup n
n≥1

−1

E Xi r I(Xi ∈
/ K) < ε.

(2.22)

i=1

Rõ ràng {Xn I(Xn ∈ K), n ≥ 1} nhận giá trị trong K ∪{0}. Vì K là tập compact
nên K ∪ {0} là tập compact. Do đó K ∪ {0} là tập con Borel hoàn toàn bị chặn
trong E. Khi đó theo bổ đề 2.2.13 ta có với mọi ε > 0 tồn tại {xj , 1 ≤ j ≤ m} ⊂ E
và tập con Borel {Aj , 1 ≤ j ≤ m} của E sao cho
Xn I(Xn ∈ K) − Yn < ε ∀n ≥ 1

(2.23)

trong đó Yn = m
j=1 xj I(Xn ∈ Aj ), n ≥ 1 là dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi
một.
Sử dụng bổ đề trên, bất đẳng thức Cr , bất đẳng thức Jensen và (2.22) ta có
n
−r

(Xi I(Xi ∈
/ K) − EXi I(Xi ∈
/ K))

n E
i=1

r

23

n
−r r−1

≤n n

Xi I(Xi ∈
/ K) − EXi I(Xi ∈
/ K)

E

r

i=1
n

= n−1 E

Xi I(Xi ∈
/ K) − EXi I(Xi ∈
/ K)

r

i=1
n

r−1 −1

≤2

E Xi I(Xi ∈
/ K) − EXi I(Xi ∈
/ K)

n

r

i=1
n

= 2r−1 n−1

E (Xi − E Xi ) I(Xi ∈
/ K)

r

i=1
n

≤ 2r−1 n−1

(E Xi − EXi 2 )r/2 I(Xi ∈
/ K)
i=1

n

≤ 2r−1 n−1

(4E Xi 2 )r/2 I(Xi ∈
/ K)
i=1
n

≤ 2r−1 n−1

E Xi r I(Xi ∈
/ K)
i=1

≤ cε.

(2.24)

Dựa vào bất đẳng thức Cr và (2.23) ta có
n
−r

n

(Xi I(Xi ∈ K) − E Xi I(Xi ∈ K)) −

n E
i=1

(Yi − E Yi )

r

i=1

n

≤c

E (Xi I(Xi ∈ K) − E Xi I(Xi ∈ K)) − (Yi − E Yi )
i=1
−r

≤ n (2nε)r = 2r εr .

(2.25)

Sử dụng bất đẳng thức Cr và bất đẳng thức Jensen ta có
n
−r

(Yi − E Yi )

n E

r

i=1
n

−r

=n E

m

(

m

xj I(Xi ∈ Aj ) − E

i=1 j=1
m
n

= n−r E

xj I(Xi ∈ Aj ))
j=1

(I(Xi ∈ Aj ) − EI(Xi ∈ Aj ))

xj
j=1

r

i=1

r

r


24

m

≤ cn

n

−1

(I(Xi ∈ Aj ) − EI(Xi ∈ Aj ))

E xj
j=1
m

i=1
n

≤ cn−1

(I(Xi ∈ Aj ) − EI(Xi ∈ Aj ))

E
j=1

m

= cn−1

i=1
n

(I(Xi ∈ Aj ) − EI(Xi ∈ Aj )) 2 )1/2

(E
j=1
m

≤ cn−1

i=1
n

E I(Xi ∈ Aj ) − EI(Xi ∈ Aj ) 2 )1/2

(
j=1 i=1
n
n

≤ cn−1
≤ cn
≤ cn

4EI 2 (Xi ∈ Aj ))1/2

(

j=1 i=1
n
−1
1/2

n

i=1
−1+1/2

= cn−1/2 → 0 khi n → ∞.

(2.26)

Do đó,
n

E n

−1

n

Xi

r

−r

=n E

i=1

Xi

r

i=1
n

= n−r E

(Xi − EXi )

r

(do EXi = 0 ∀i = 1, n)

i=1
n

= n−r E

(Xi I(Xi ∈
/ K) − EXi I(Xi ∈
/ K))
i=1

n

(Xi I(Xi ∈ K) − EXi I(Xi ∈ K))

+

r

i=1
n
−r

(Xi I(Xi ∈
/ K) − EXi I(Xi ∈
/ K))

=n E
i=1
n

n

(Xi I(Xi ∈ K) − EXi I(Xi ∈ K)) −

+[
i=1

n

(Yi − E Yi )] +
i=1

i=1

n

≤ cp n−r E

(Xi I(Xi ∈
/ K) − EXi I(Xi ∈
/ K))
i=1

(Yi − E Yi )

r

r


25

n

n

(Xi I(Xi ∈ K) − EXi I(Xi ∈ K)) −

+E

i=1
n

r

i=1
r

(Yi − E Yi )

+E

(Yi − E Yi )

→ 0.

(2.27)

i=1

Vậy E n−1 ni=1 Xi r → 0.
Vì dãy {Xn , n ≥ 1} compact khả tích đều cấp r theo nghĩa Cesàro nên
n

sup n

−1

n≥1

E Xi

< ∞,

i=1
n

∞

sup n

suy ra

r

0

−1

n≥1

P { Xi > x} dx < ∞.
i=1

Chú ý rằng {Xn I(Xn ∈
/ K), n ≥ 1} đôi một độc lập và thoã mãn
n

∞

sup n
0

−1

n≥1

P { Xi I(Xi ∈
/ K) > x} dx
i=1
n

∞

≤

sup n
0

n≥1

−1

P { Xi > x} dx < ∞,
i=1

và {Yn , n ≥ 1} bị chặn đều và đôi một độc lập.
Do đó theo định lý 2 trong [6] ta có
n

n

−1

( Xi I(Xi ∈
/ K) − E Xi I(Xi ∈
/ K)) → 0 h.c.c
i=1

và n−1 ni=1 (Yi − E Yi ) → 0 h.c.c.
Từ đó ta suy ra
n

n

−1

Xi
i=1
n

=n

−1

(Xi − EXi )

(do EXi = 0 ∀i = 1, n )

i=1

n

= n−1

(Xi I(Xi ∈
/ K) − EXi I(Xi ∈
/ K))
i=1

n

(Xi I(Xi ∈ K) − EXi I(Xi ∈ K))

+
i=1

(2.28)