SỰ HỘI TỤ CỦA MARTINGALE NHẬN GIÁ TRỊ TRÊN KHÔNG GIAN BANACH CÓ TÍNH CHẤT RADON-NIKODYM LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU 1
CHƯƠNG I: GIỚI THIỆU CÁC KẾT QUẢ CHUẨN BỊ 3
1.1. Thời điểm Markov và thời điểm dừng 3
1.1.1. Định nghĩa 3
1.1.2. Tính chất 3
1.2. Martingale 5
1.2.1. Định nghĩa 5
1.2.2. Các tính chất 6
1.2.3. Định lý Doob (Định lý hội tụ cup martingale) 6
1.3. Bổ đề Fatou 7
1.4. Định lý Caratheodory 8
CHƯƠNG II: ĐỊNH LÝ HỘI TỤ CỦA MARTINGALE NHẬN GIÁ TRỊ
TRÊN KHÔNG GIAN BANACH CÓ TÍNH CHẤT RADON- NIKODYM 9
2.1. Tính chất Radon-Nikodym 10
2.1.1. Định nghĩa 10
2.1.2. Tính chất 14
2.2. Sơ bộ về Định lý hội tụ hầu khắp nơi 16
2.3. Định lý khai triển cho các hàm tập nhận giá trị trong X. 20
2.4. Mối liên hệ giữa sự hội tụ của các martingale và Định lý Radon-
Nikodym trong không gian Banach 22
2.4.1. Định lý chính 22
2.4.2. Ứng dụng 29
2.5. Phản ví dụ. 33
2.6. Một số ứng dụng của Định lý Radon-Nykodym đối với martingale
tiệm cận 35
2.6.1. Định nghĩa Martingale tiệm cận 35
2.6.2. Martingale tiệm cận nhận giá trị thực 35
2.6.3. Martingale tiệm cận nhận giá trị vector 38
2.6.4. Điều kiện Martingale tiệm cận nhận giá trị trong không gian
Banach hội tụ mạnh 41

KẾT LUẬN 46
TÀI LIỆU THAM KHẢO 47




1

LỜI NÓI ĐẦU
Lý thuyết martingale đóng vai trò quan trọng trong toán học và đặc biệt quan
trọng trong lý thuyết xác suất và Thống kê toán học. Nghiên cứu sự hội tụ của
quá trình martingale (và các quá trình mở rộng của nó) là một hướng nghiên
cứu thú vị. Trong bản luận văn này chúng tôi muốn nêu lại một cột mốc đánh
giá sự đột phá của hướng nghiên cứu này. Đó là liệu việc mở rộng tự nhiên
Định lý Doob (Định lý về sự hội tụ cup các quá trình martingale) đối với quá
trình martingale thực lên các không gian Banach còn đúng hay không?
Trong những năm 60 của thế kỷ trước, một số nhà nghiên cứu đã chú ý đến sự
mở rộng theo nhiều hướng khác nhau của định lý hội tụ Martingale của Doob
[9] trong trường hợp các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian
Banach (B-space), như Chatterji [5] [6], Scalora [19], A.I. - C.I.Tulcea [20],
và Metivier [14]. Metivier thậm chí còn xem xét trường hợp tổng quát của
không gian vector tôpô lồi địa phương. Trong khi các trường hợp chắc chắn
của định lý hội tụ đã được chỉ ra là đúng đắn [5] [6] đối với không gian
Banach tùy ý, phản ví dụ trong Chatterji [5] lại chỉ ra rằng một số định lý hội
tụ quan trọng của trường hợp giá trị vô hướng là không đúng nếu bỏ đi một
vài điều kiện liên quan trong không gian Banach.
Luận văn với đề tài “Sự hội tụ của martingale nhận giá trị trên không gian
Banach có tính chất Radon – Nikodym” nghiên cứu làm sáng tỏ các vấn đề
gần đây, bằng việc chứng minh rằng tính đúng đắn của hầu hết các Định lý
tổng quát đối với các Martingale nhận giá trị trong không gian Banach là

tương đương với tính đúng đắn của Định lý Radon-Nikodym cho các hàm
tập hợp mang giá trị trong các không gian cùng loại. Đồng thời bài viết này
còn đưa ra các chứng minh độc lập cho hầu hết các Định lý hội tụ đối với các
Martingale nhận giá trị trong không gian Banach, các Định lý tổng quát hơn

2

thì được nêu trong [19] [20], và đưa ra một số ứng dụng của Định lý Radon-
Nikodym trong việc xét tính hội tụ của Martigale tiệm cận.
Nội dung luận văn gồm hai chương:
Chương I: Giới thiệu các kết quả chuẩn bị.
Chương II: Định lý hội tụ của martingale nhận giá trị trên các không gian
Banach có tính chất Radon – Nikodym.
Với sự nỗ lực cố gắng hết mình của bản thân, cùng với sự động viên giúp đỡ,
hướng dẫn tận tình của các thầy giáo, bản luận văn đã được hoàn thành.
Song do thời gian có hạn cũng như năng lực bản thân còn hạn chế nên luận
văn không tránh khỏi còn những thiếu sót, chúng tôi rất mong nhận được
thêm những ý kiến đóng góp cho luận văn này của các thầy cô và các độc
giả.
Với tấm lòng biết ơn sâu sắc chúng tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo
thuộc tổ bộ môn Toán ứng dụng - Khoa toán tin - Trường đại học sư phạm
Hà Nội đã tận tình giúp đỡ chúng tôi trong suốt quá trình học tập và góp ý
cho luận văn. Xin cảm ơn TS. Nguyễn Hồng Hải, TS. Trần Quang Vinh đã
đọc và góp ý sâu sắc cho luận văn. Đặc biệt chúng tôi muốn tỏ lòng biết ơn
sâu sắc tới thầy TS. Nguyễn Văn Hùng, cán bộ thuộc Viện CNTT- Viện KH
& CN Việt Nam người đã tận tình hướng dẫn về khoa học và giúp đỡ chúng
tôi trong suốt quá trình làm luận văn này.
Cũng nhân dịp này, chúng tôi xin cảm ơn cơ quan, những người thân trong gia
đình cũng như các bạn đồng nghiệp đã tạo điều kiện về thời gian, khích lệ về
tinh thần và hỗ trợ về vật chất trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

Hà Nội, năm 2012.
Tác giả
Nguyễn Thị Hảo

3

CHƯƠNG I: GIỚI THIỆU CÁC KẾT QUẢ CHUẨN BỊ
1.1. Thời điểm Markov và thời điểm dừng
Ta luôn giữ giả thiết sau:
 (Ω,,) là không gian xác suất với  chứa tất cả các tập có xác suất
0 (tập  được gọi là có xác suất 0 nếu tồn tại ∈ sao cho 
(

)
= 0 và
⊂). Trong trường hợp này, ta nói
(
Ω,,
)
là không gian xác suất đầy
đủ.
 ℕ=
{
0,1,2,…
}
, ℕ

= ℕ∪
{
∞

}
.
 ℝ

= ℝ∪
{
−∞
}
∪{+∞}.
 {ℱ

,n ∈ℕ} là dãy các - trường không giảm. Kí hiệu
ℱ

= ℱ




là -trường bé nhất chứa tất cả ℱ

,n ∈ℕ.
1.1.1. Định nghĩa
Giả sử :Ω→ℕ∪{∞} là biến ngẫu nhiên (có thể lấy giá trị ∞). Ta nói rằng
 là thời điểm Markor đối với {ℱ

,n ∈ℕ}, nếu
{
:
(


)
= 
}
∈ℱ

, ∀∈ℕ.
Nếu thêm vào đó 
(
< ∞
)
= 1, thì  được gọi là thời điểm dừng.
Chú ý:  là thời điểm Markov khi và chỉ khi
{
:
(

)
≤
}
∈ℱ

, ∀∈ℕ.
1.1.2. Tính chất
Tính chất 1: Giả sử  là thời điểm Markov đối với {ℱ

,∈ℕ}. Khi đó,
{
< 
}

∈ℱ


Tính chất 2: Nếu 

,

là các thời điểm Markov đối với {ℱ

,∈ℕ} thì

4



∧

= min
(


,

)
; 

∨ 

= max
(



,

)
;

+ 


là các thời điểm Markov đối với {ℱ

,∈ℕ}.
Tính chất 3: Nếu 

,

,… là dãy các thời điểm Markov đối với {ℱ

,∈ℕ},
thì



= sup



; 



= inf




cũng là thời điểm Markov đối với {ℱ

,∈ℕ}.
Tính chất 4: Nếu  là thời điểm Markov đối với {ℱ

,∈ℕ}, thì ∈ℱ

.
Nếu  và  là các thời điểm Markov đối với {ℱ

,∈ℕ} sao cho 
(
≤

)
= 1, thì ℱ

⊂ℱ


Tính chất 5: Nếu 

,


,… là dãy các thời điểm Markov đối với {ℱ

,∈ℕ},
và = inf



, thì
ℱ

= ℱ



.
Tính chất 6: Nếu  và  là các thời điểm Markov đối với {ℱ

,∈ℕ}, thì
các biến cố
{
< 
}
,
{
= 
}
,
{
≤
}

thuộc vào ℱ

∩ℱ


Tính chất 7: Giả sử
{


,ℱ

,∈ℕ
}
là dãy tương thích và  là thời điểm
Markov đối với
{
ℱ

,∈ℕ
}
, thì


:Ω→ℝ, 

(

)
= 


()
(

)
nếu ∈{
(

)
< ∞}
0 nếu ∈{
(

)
= ∞}

là đo được đối với ℱ

, tức là, 

∈ℱ

.
Tính chất 8: Giả sử:Ω→ℝ

là biến ngẫu nhiên ℱ

-đo được va  là thời
điểm Markov đối với
{
ℱ


,∈ℕ
}
. Khi đó,  là ℱ

-đo được nếu và chỉ nếu

5

với mọi ∈ℕ, hạn chế của  trên {= } là ℱ

-đo được, tức là, 
{

}
∈
ℱ

.
Nếu  là biến ngẫu nhiên không âm hoặc có kỳ vọng hữu hạn thì ta có

(

|
ℱ

)
= 
(


|
ℱ

)
trên tập
{
:= 
}
, ∀∈ℕ

.
1.2. Martingale
Các định nghĩa dưới đây có hiệu lực khi thay tập số nguyên không âm
ℕ=
{
0,1,…
}
bằng tập hữu hạn
{
0,1,…,
}
,∈ℕ.
1.2.1. Định nghĩa
Giả sử(Ω,,) là không gian xác suất. Dãy =
{


,ℱ

,∈ℕ

}
được gọi
là:
Martingale trên (đối với
{
ℱ

,∈ℕ
}
), nếu:
(i)
{


,ℱ

,∈ℕ
}
là dãy tương thích;
(ii) 
|


|
< ∞,∀∈ℕ;
(iii) Với ≤,,∈ℕ

(



|
ℱ

)
≤

, −hầu chắc chắn.
Martingale dưới (đối với
{
ℱ

,∈ℕ
}
), nếu các điều kiện (i), (ii) được thực
hiện và
(iii’) Với ≤,,∈ℕ

(


|
ℱ

)
≥

, −hầu chắc chắn.
Martingale (đối với
{
ℱ


,∈ℕ
}
), nếu các điều kiện (i), (ii) được thực hiện
và
(iii’’) Với ≤,,∈ℕ

(


|
ℱ

)
= 

, −hầu chắc chắn.


6

1.2.2. Các tính chất
 Tính chất 1: Nếu =
{


,ℱ

,∈ℕ
}

là Martingale, thì hàm trung
bình (

) không phụ thuộc ∈ℕ.
 Tính chất 2: Nếu =
{


,ℱ

,∈ℕ
}
là Martingale dưới, thì hàm
trung bình (

) không giảm theo ∈ℕ.
 Tính chất 3: Nếu =
{


,ℱ

,∈ℕ
}
là Martingale, thì hàm ,1 ≤
< ∞ không giảm theo ∈ℕ.
1.2.3. Định lý Doob (Định lý hội tụ cup martingale)
Nếu
{



,ℱ

,∈ℕ
}
là martingale dưới và 

- bị chặn, tức là



|


|
< ∞,
thì dãy (

) hội tụ hầu chắc chắn tới biến ngẫu nhiên 

nào đó với

|


|
< ∞.
Chứng minh:
Ký hiệu 


là số lần cắt ngang từ dưới lên trên đoạn [,] của dãy
{


,=
0,1,…,
}
, và đặt


= lim
→


.
Từ bất đẳng thức cắt ngang ta có
(
−
)


≤sup


|


|
+
|


|
< ∞,
Suy ra 

< ∞ hầu chắc chắn, Suy ra, với mọi ,

{
lim inf

< < < lim sup

}
= 0
Mà
{
lim inf

< lim sup

}
= 
{
lim inf

< < < lim sup

}

7

Trong đó hợp lấy theo tất cả các số hữu tỷ ,. Do đó

{
lim inf

< lim sup

}
= 0
Từ đó rút ra (

) hội tụ hầu chắc chắn tới biến ngẫu nhiên 

nào đó. Theo
Bổ đề Fatou ta có

|


|
= lim
→
|


|
≤sup



|


|
< ∞
Hệ quả 1: Nếu
{


,ℱ

,∈ℕ
}
là martingale dưới không dương (hoặc
martingale không âm), thì dãy (

) hội tụ hầu chắc chắn tới biến ngẫu nhiên


.
Hệ quả 2: Giả sử
{


,ℱ

,∈ℕ
}
là martingale dưới không dương (hoặc

martingale trên không âm). Khi đó, dãy 

=
{


,ℱ

,∈ℕ

}
, với


= lim
→


,ℱ

= ℱ




lập thành martingale dưới không dương (hoặc martingale trên không âm)
Hệ quả 3: Giả sử (

) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, và (


) là dãy
các tổng riêng của nó:


= 

, 

= 

+ 

+ ⋯+

.
Khi đó, các điều khẳng định sau là tương đương:
(i) (

) hội tụ hầu chắc chắn;
(ii) (

) hội tụ theo xác suất;
(iii) (

) hội tụ theo phân phối.
1.3. Bổ đề Fatou
Giả sử ,

,


,… là dãy biến ngẫu nhiên.
 Nếu 

≥,≥1 và > −∞ thì

8

 

≤ 

.
 Nếu 

≤,≥1 và < ∞ thì
 

≤ 

.
 Nếu |

| ≤,≥1 và < ∞ thì
 

≤ 

≤ 

≤ 


.
1.4. Định lý Caratheodory
Giả sử  là một tập hợp nào đó,  là đại số các tập con của . Giả sử 

là
một độ đo xác định trên  (nghĩa là 

là một hàm tập hợp, không âm, -
cộng tính trên ) và -hữu hạn (nghĩa là tồn tại dãy
(


)
⊂ sao cho
⋃




=  và 

(


)
< ∞,= 1,2,…). Khi đó tồn tại duy nhất một độ
đo  xác định trên () sao cho

(


)
= 

(

)
,∈.

9

CHƯƠNG II: ĐỊNH LÝ HỘI TỤ CỦA MARTINGALE NHẬN GIÁ TRỊ
TRÊN KHÔNG GIAN BANACH CÓ TÍNH CHẤT RADON-
NIKODYM
Kí hiệu và những chú thích sơ bộ
Để trình bầy rõ ràng hơn, chúng tôi sẽ chỉ xét trường hợp không gian độ đo cơ
sở là không gian xác suất S, với một  đại số Σ của các tập con đo được và
một  độ đo dương cộng tính  trên Σ với 
(

)
= 1. Người đọc quan tâm thì
có thể nhận thấy rất rõ ràng cho trường hợp không gian đo tùy ý.
  là kí hiệu một không gian Banach với chuẩn |.| và tất cả các biến
ngẫu nhiên  với giá trị trong  được giả thuyết là hàm độ đo mạnh
(hay Bochner) trên  với giá trị trong .
 Tích phân của hàm này được kí hiệu là () hay
∫

(


)
() hay đơn
giản hơn là
∫
, sẽ luôn được xét theo ý nghĩa Bochner.
 Cho Σ

là một  đại số con của Σ, tồn tại một toán tử tuyến tính tốt của
một chuẩn, kì vọng điều kiện 

, hàm ánh xạ 

(
Σ,
)
→

(Σ

,) và
thỏa mãn


= 

, ∈Σ



Với 

(
Σ,
)
= {|làΣ−đo được,∥∥

=
∫
|

|
< +∞}
Nếu =
∑





(

)
,




∈,


∈Σ

(

)
= 
1 nếu ∈
0 nếu ∉

thì 

=
∑


(


)




với 

đại diện cho xác suất điều kiện trên Σ

. Bằng
một đối số xấp xỉ tiêu chuẩn, cho một hàm số tổng quát , có thể chỉ ra 



tồn tại.

10
Cho  là một hàm tập -cộng tính nhận giá trị trên  sao cho 
(

)
= 0 khi

(

)
= 0,  không nhất thiết phải là một tích phân bất định của một hàm đối
với , thậm chí biến phân toàn phần


(

)
= sup |(

)|
|


∈Σ


,


⊂,

rời rạc
mà luôn là một độ đo không âm trên Σ, cũng hoàn toàn hữu hạn. Vì thế đối số
tiêu chuẩn cho sự tồn tại của toán tử kì vọng điều kiện 

là không thích hợp.
Để thuận tiện ta giới thiệu định nghĩa sau đây.
2.1. Tính chất Radon-Nikodym
2.1.1. Định nghĩa
Định nghĩa 2.1.1
Không gian Banach X gọi là có tính chất Radon-Nikodym (RN) đối
(
,,
)

nếu mọi hàm tập  -cộng tính nhận giá trị trong  của biến phân bị chặn
(tức là 

(

)
< ∞) mà liên tục tuyệt đối đối với  (tức là 
(

)
= 0 ⇒

(


)
= 0 hay tương đương, ≪) có một phép biểu diễn tích phân, đó là
∃∈

(
,
)
sao cho 
(

)
= 
(

)

(

)

∀∈
Không gian  được gọi là có tính chất (D) nếu có tính chất RN đối với độ đo
Lebesgue trên các tập Borel của các khoảng đơn vị.
Bochner và Taylor [3] đã định nghĩa tính chất (D) đối với không gian Banach
X là tính chất mà một hàm của biến phân bị chặn mạnh trên khoảng đơn vị là
khả vi (mạnh) hầu khắp nơi. Có thể nhận ra từ các phương pháp trong luận
văn này mà định nghĩa về tính chất (D) là tương đương với định nghĩa tính
chất Radon-Nikodym.

11
Điều này sẽ tiếp tục được xem xét ở mục tiếp theo, nếu  là nguyên tử không
thuần túy thì  có tính chất RN đối với (,Σ,) khi và chỉ khi  có tính chất
(D). Vì vậy để phục vụ mục đích thực tế, tiếp theo của tính chất (D) là những
định nghĩa thực sự quan trọng. Nếu  là nguyên tử thuần túy thì bất cứ không
gian Banach  nào cũng có tính chất RN đối với (,Σ,), điều này có thể
được kiểm chứng một cách trực tiếp.
Định nghĩa 2.1.2.
Cho một tập có hướng
(
,≤
)
và một họ -đại số 

⊂,∈,
hệ thống {

,

,∈} là một Martingale nhận giá trị trong  nếu


∈

(
Σ

,
)
,≤⇒Σ


⊂Σ

, và 



= 

.
Dưới đây sẽ là hai ví dụ đặc biệt của Martingale nhận giá trị trong .
Ví dụ (i): Cho 

, như trên và cho ∈

(Σ,).
Nếu 

= 

 thì {

,

,∈} là một Martingale nhận giá trị trong .
Ví dụ (ii): Cho  là một hàm tập -cộng tính nhận giá trị trong X và  là một
tập có hướng của phân hoạch =
{



,

,

,…,

}
của  với ≥1, 

∈
Σ,
(


)
> 0,⋃




= ,

rời rạc.
Chúng ta viết 

≤

nếu mọi tập trong phân hoạch 

đều được chứa trong

một tập nào đó của phân hoạch 

.
Ta định nghĩa: 

(

)
= (

)/(

) nếu ∈

.
Khi đó {

,Σ

,∈} là một Martingale nhận giá trị trong  với Σ

là -đại
số được sinh bởi các tập hợp của phân hoạch . Tất cả những điều đó là cần
thiết để  có tính cộng tính. Các Martingale 

này thường được sử dụng
trong lý thuyết độ đo; có thể tham khảo thêm trong Dunford và Schwarz [11,
trang 297].

12

Để minh họa cho quan hệ giữa sự hội tụ của các Martingale và tính chất RN,
chúng tôi sẽ phát biểu kết quả cơ sở sau.
Định lý 2.1.1.
(a) Cho ∈

(,) tức là  là -đo được và ∥∥


=
∫
|

|

< ∞,1 ≤
< ∞.Thì với bất kì tập có hướng  và -đại số 

, martingale {

,

,∈}
của Ví dụ (i) có tính chất


∥

−

∥


= 0,
Với 

= 

 là kì vọng điều kiện của  được cho bởi -đại số 

sinh bởi
∪
∈


.
(b) Trong Ví dụ (ii), nếu 
(

)
=
∫

(

)

(

)
,∈


(,)

thì


∥

−∥

= 0.
(c) Trong Ví dụ (ii), nếu 


,

∥


−


∥

= 0 (tức là nếu 

là một
chuỗi Cauchy trong 

) thì 
(


)
=
∫

(

)

(

)
,ớ ∈

(,)

.
Chú thích: Định lý 2.1.1.(a) là trường hợp tổng quát cho các tập có hướng
trong Định lý tương ứng ở [6] với  là tập tất cả các tích phân dương. Do đó
phương pháp chứng minh cũng tương tự như trường hợp đơn giản. Phần (b)
và (c) đã được chứng minh một cách cụ thể bởi Ronnow [18] trong trường
hợp = 1. Ở đây (b) là hệ qủa trực tiếp của (a) bởi 

= 

 và Σ

= Σ. Còn
ở (c), khi 1 < < ∞ và  là tập các số phức thì điều kiện yếu hơn sup


∥


∥

< +∞ cũng là điều kiện đủ (và hiển nhiên luôn là điều kiện cần) cho
kết luận. Đây thực ra chính là Định lý cổ điển của F.Riesz với điều kiện là
sup


|

(


)
|

[

(


)]



< ∞.

13
Chứng minh :
(a) Trước tiên ta xét  là Σ

-đo được. Nếu  là đo được đối với ∪
∈
Σ

thì


=  với ≥

. Do đó, với trường hợp này thì (a) đúng.
Xét hàm tổng quát  là Σ

-đo được, có thể được xấp xỉ trong chuẩn 

bởi
các hàm đo được ∪
∈
Σ

. Vì thế (a) đúng cho hàm  trên.
Cuối cùng với  bất kì thuộc 

(Σ,), thì 

= 


= 



= 



.
(b) Được suy ra trực tiếp từ (a).
(c) Do tính đầy đủ của 

(Σ,) nên ∃∈

(Σ,) sao cho
lim

∥

−∥

= 0
Bây giờ chúng tôi sẽ chỉ ra 

= 

. Khẳng định (a) sẽ lý giải cho kết luận
(c). Cho > 0, ∃ 

sao cho ∥


−∥

<  với 

≥

.
Với  bất kì, do tập  là tập các phân hoạch có hướng, nên có một phân hoạch


tốt hơn cả  và 

, tức là 

≥,

≥

. Chú ý rằng {


,Σ


,

∈} là
một martingale và vì thế với bất kì tập ∈ thì




= 



.
Ta có



−

= 



−

≤


−

≤


−

< .

Vì  bất kì và 

là Σ

- đo được, 

= 

(điều phải chứng minh).
Một Hệ quả thú vị, được nhận thấy bởi Ronnow [18] với = 1, sẽ được phát
biểu ở đây để phục vụ cho ứng dụng sau này.



14
Hệ quả 2.1. 1.
Để  (một hàm tập hợp cộng tính nhận giá trị trong ) là tích phân của hàm
∈

(,), thì một trong hai điều kiện sau là điều kiện cần và đủ:
(1) Với mọi chuỗi phân hoạch đơn điệu 

(tức là 

≤

), thì các
hàm 



,≥1 (định nghĩa như ở Ví dụ (ii) trên) là dãy Cauchy hội tụ
trong 

.
(2) Khi hạn chế  trên bất kì -đại số con tách được của  (tức là, nó
được sinh bởi một số đếm được các tập hợp) có một phép biểu diễn
tích phân bởi trung bình của một hàm trong 

(,).
2.1.2. Tính chất
Định nghĩa 2.1.3 (nguyên tử thuần túy)
Nếu tồn tại một dãy rời rạc các tập 

∈,
(


)
> 0, 
(
∪




)
= 1 thì


là nguyên tử thuần túy (-nguyên tử) trong  (∈,⊂


⇒
(

)
= 0
hoặc (

))
Định lý 2.1.2.
(a) Nếu (,,) là nguyên tử thuần túy thì mọi không gian Banach có tính
chất RN đối với (,,).
(b) Nếu  không là nguyên tử thuần túy thì một không gian Banach có tính
chất (D) nếu và chỉ nếu nó có tính chất RN đối với (,,).
Trước khi chứng minh Định lý này ta cần đưa ra Bổ đề sau:
Bổ đề 2.1.1.
Nếu
(
,,
)
là không gian xác suất và  là một hàm -liên tục tuyệt đối,
nhận giá trị trong , -cộng tính, có biến phân bị chặn trên một -đại số con


, thì  có thể mở rộng ra thành  trên , với  cũng -liên tục tuyệt đối, -
cộng tính, có biến phân bị chặn.

15
Thật vậy, mở rộng  được định nghĩa bởi công thức


(
A
)
= P
(
A
|
Σ

)
dμ
với P
(
A
|
Σ

)
là xác suất điều kiện của  trên Σ


Chứng minh Định lý 2.1.2:
(a) Nếu  là nguyên tử thuần túy thì mọi không gian Banach  có tính chất
RN đối với (,Σ,). Thật vậy, với bất kì -cộng tính, -liên tục tuyệt đối,
hàm tập  nhận giá trị trong  của biến phân bị chặn, hàm

(

)
= 





()


ớ 

= (

)/(

)
là hàm tích phân mà

(

)
= 

với mọi ∈Σ.
Bây giờ một độ đo xác suất bất kì có thể được viết dưới dạng duy nhất như
một tổ hợp lồi: 

+
(
1 −
)



,0 ≤≤1,của hai độ đo xác suất 

,

với


là nguyên tử thuần túy và 

không là nguyên tử thuần túy. Vì thế  sẽ có
tính chất RN đối với (,Σ,) nếu và chỉ nếu nó có tính chất RN đối với
(,Σ,

).
(b) Ta giả sử rằng  không là nguyên tử thuần túy trên Σ. Do Hệ quả 2.1. 1, 
sẽ có tính chất RN đối với (,Σ,) nếu và chỉ nếu  cũng có tính chất RN đối
với (,Σ

,) với Σ

là -đại số con tách được. Rõ ràng Σ

có thể được chọn
để khi hạn chế trên Σ

,  cũng vẫn không là nguyên tử thuần túy. Ví dụ như,
Σ

có thể được định nghĩa là -đại số sinh bởi dãy các phân hoạch liên tiếp



= {

,

,…,

} và 
(


)
= 2

với ≥1. Điều này là hợp lý vì

16
 là phi nguyên tử. Bây giờ nếu  là tập bất kì thuộc Σ

với 
(

)
> 0 thì tồn
tại , sao cho 0 < 
(


)

< (), điều này chứng minh cho sự không
tồn tại của các nguyên tử trong Σ

. Theo một Định lý của Halmos và von
Neumann [12, p.173] đại số độ đo Σ


, là đẳng cấu với đại số độ đo (

,)
của khoảng đơn vị với độ đo Lebesgue  trên các tập Borel. Ta thấy phép
đẳng cấu  giữa Σ


và 

có thể được mở rộng thành phép đẳng cự giữa


(Σ

,) và 

(,) (được xem như lớp tương đương giữa các hàm) mà khi
đó
∫


=
∫

()

.
Chú ý rằng  được xét trên các lớp tương đương của các hàm nhận giá trị
trong  và không có giả thiết nào liên quan khả năng cảm sinh phép đẳng cấu
đại số  tương ứng 1-1 giữa  và khoảng đơn vị. Vì bất kì hàm tập  -liên
tục tuyệt đối -cộng tính nhận giá trị trong  (m-liên tục tuyệt đối) có thể
nâng thành các đại số độ đo Σ


(

), nên rõ ràng là  có tính chất (D) nếu và
chỉ nếu  có tính chất RN đối với (,Σ

,). (điều phải chứng minh)
Vì vậy chúng ta thấy rằng tính chất RN thực sự độc lập với không gian xác
suất cơ sở và có thể được xem xét trọn vẹn trong mối liên hệ với các khoảng
đơn vị.
2.2. Sơ bộ về Định lý hội tụ hầu khắp nơi
Mục đích của phần này là chứng minh một Định lý hội tụ mà đảm bảo tính
hội tụ hầu khắp nơi của các martingale trong Định lý 2.1.2 (a) đối với trường
hợp tập có hướng = {1,2,3,…} sắp thứ tự tự nhiên. Trong trường hợp tổng
quát, Định lý đã được chứng minh, sử dụng một Định lý mạnh của Banach,
trong Chatterji [6], A. I. và C. I Tulcea [20]. Chứng minh ở đây là tổng hợp
của các kiến thức cơ sở và phụ thuộc vào Bổ đề sau để sử dụng cho cả các
phần tiếp theo.

17
Bổ để 2.2.1

Cho {

,

,≥1} là một Martingale nhận giá trị trong  và cho ∈

.
Khi đó với mọi > 0,
∈,

|


(

)
|
≥ ≤ 




|


|

.
Có được Bổ đề này vì |


| là martingale dưới; xem Doob [10, trang 314].
Định lý 2.2.1.
Cho ∈

(
,
)
và cho 

= 

 là kì vọng điều kiện đối với 

. Cho


⊂

,= 1,2,… Khi đó 
→


= 

tồn tại (mạnh) hầu khắp nơi
và 

= 

 là kì vọng điều kiện của  trên 


(là -đại số được sinh ra bởi
đại số ∪




.
Chứng minh :
Vì chứng minh này và chứng minh trong trường hợp nhận giá trị vô hướng là
như nhau (xem Billingsley [2] hoặc Dunford và Schwartz [11, trang 208])
nên ở đây chúng tôi đưa ra chứng minh sau:
Nếu  đo được đối với ∪


Σ

thì 

= . Vì thế suy ngay được kết luận như
trên.
Nếu  đo được đối với Σ

thì cho > 0,> 0, tồn tại một hàm  đo được
trên ∪


Σ

sao cho

‖
−
‖

<


.
Do tính chất tuyến tính của toán tử 

nên
|


−

|
=
|


−


|
=
|


−


+ 

(
−
)
−

(
−
)
|

≤
|


−


|
+
|


(
−
)
−


(
−
)
|

≤
|


−


|
+ 2sup



|
−
|
.

18
⇒ lim sup
,→
|

−

| ≤ℎ= 2sup




|
−
|
.
Do đó
lim sup
,→
|


−

|
≥≤
{
ℎ≥
}
≤2

‖
−
‖
< 
do áp dụng Bổ đề 2.1.1 trong trường hợp martingale nhận giá trị thực


|

−
|
.
Với  tùy ý
lim sup
,→
|


−

|
≥= 0
Do đó, với  tùy ý, tồn tại lim
→


. Với một hàm tổng quát ∈

(Σ,), vì


= 

= 



và 


là Σ

-đo được nên tồn tại lim 

. Việc đồng nhất
giới hạn với 

được suy trực tiếp từ Định lý 2.1.2.(a) ở trên.
Để tổng quát hơn, chúng tôi sẽ phát biểu trường hợp = {0,−1,−2,…} mà
đã được chứng minh ở [6], do Định lý đã đề cập đến trước kia của Banach, và
có thể được chứng minh bởi phương pháp trình bày như trên, không cần sử
dụng Định lý martingale nhận giá trị vô hướng.
Định lý 2.2.2.
Cho {

,

,≤0} là một Martingale nhận giá trị trong  thì

→


= 


tồn tại mạnh hầu khắp nơi kể cả trong 

(
,
)

.


= 



là kí hiệu kì vọng điều kiện của 

với 

=∩



.
Phản ví dụ của Chow
Có thể thấy rằng sự tổng quát hóa của Định lý 2.2.1 và Định lý 2.2.2 với tập
chỉ số  tùy ý là không hợp lý, ngay cả với trường hợp nhận giá trị vô hướng,
không đi kèm với những giả thiết xa hơn trong cấu trúc của -đại số Σ

. Đầu

19
tiên là trong phản ví dụ được cho bởi Dieudonné [9]. Và phản ví dụ đơn giản
hơn được cho bởi Chow [7]. Chúng tôi muốn chỉ ra ở đây là điều hiển nhiên
trong ví dụ của Chow.
Cho {

,≥1} là một dãy hàm biến ngẫu nhiên độc lập với 

(


)
= 0,
nhận giá trị trong không gian Banach .
Cho = Σ

tồn tại hầu khắp nơi, nhưng giả sử rằng chuỗi này là không hội
tụ tuyệt đối hầu chắc chắn. Hơn nữa cho ∈

(Σ,).
Định nghĩa 

= Σ
∈


với  là tập hữu hạn các tích phân dương. Cho 
được sắp xếp theo quan hệ bao hàm.
Nếu Σ

là -đại số nhỏ nhất đối với
{


,∈
}
đo được, thì rõ ràng 


=


. Hơn nữa, lim



không tồn tại hầu chắc chắn vì điều này tương đương
với sự hội tụ tuyệt đối của Σ

hầu chắc chắn. Chú ý, dù thế nào thì Định lý
2.1.2(a) vẫn suy ra rằng
‖


−
‖

→0 trong tất cả các trường hợp. Để tiện
lợi ta chọn 

sao cho 

= 

/ với 0 ≠∈ và biến ngẫu nhiên 


bằng ±1 với xác suất



và là độc lập. Trong trường hợp này, ∈

(Σ,) vì

|

|

=
|

|
Σ 1/

< ∞ và do đó, vì Định lý 2.1.2(a), nên 

hội tụ đến 
trong 

(Σ,). Cách chọn này được Chow trình bày trong [6, trang 1490],
nhưng chú ý ở đây là sự tính toán để chỉ ra rằng lim 

không tồn tại là không
cần thiết vì chuỗi Σ

hiển nhiên không hội tụ tuyệt đối.
Phản ví dụ của Định lý 2.2.2 (tức là trường hợp chỉ số giảm) cũng có thể được
đưa ra. Xét “tổng Riemann”



(

)
=
1

(+


)


, với ∈

(0,1)

20
đối với độ đo Lebesgue. Khi đó chứng minh được 

= 

 là kì vọng điều
kiện của , với Σ

là -đại số của các tập Borel của khoảng đơn vị với chu kì
1/. Nếu 

|


thì Σ


⊃Σ


. Định nghĩa 

≪

nếu 

|

. Khi đó
{

,Σ

} là một martingale không cần hội tụ hầu khắp nơi như chỉ ra trong
phản ví dụ của Rudin [17], dù là ∈

(0,1). Tương tự Định lý 2.1.2(a), tuy
nhiên, chỉ ra rằng với tất cả các trường hợp


→ trong 

(
0,1

)
, khi đó = 


.
2.3. Định lý khai triển cho các hàm tập nhận giá trị trong .
Để tránh phá vỡ sự liên tục trong chứng minh của Định lý chính ở phần tiếp
theo, chúng tôi sẽ đưa ra ở đây một Định lý liên quan đến các hàm tập cộng
tính hữu hạn nhận giá trị trong . Vì nguyên nhân dẫn đến Định lý này, trong
trường hợp nhận giá trị vô hướng, chúng ta có thể quan tâm đến một Định lý
của Hewitt và Yosida, đã phát biểu rằng mọi hàm tập (vô hướng) cộng tính
hữu hạn trên một đại số có thể được khai triển duy nhất dưới dạng tổng của
một -cộng tính và một hàm tập cộng tính hữu hạn thuần túy. Tham khảo
thêm trong [11, trang 163-64]. Định lý được chúng tôi đưa ra sau đây tuy
không sâu sắc như Định lý trên nhưng cũng đủ để thực hiện mục đích của
luận văn này.
Định lý 2.3.1.
Cho  là độ đo xác suất trên (,) với  chỉ giả thiết là một đại số của các
tập hợp, và cho  là một hàm tập cộng tính hữu hạn nhận giá trị trong  của
, của biến phân toàn phần bị chặn. Khi đó = +  với  là một hàm tập
-cộng tính của biến phân toàn phần 

là hữu hạn và -liên tục tuyệt đối

21
trong khi  là một hàm tập cộng tính hữu hạn của biến phân toàn phần 

là
hữu hạn và -kì dị; tức là, cho ,> 0 tồn tại ∈ sao cho


(

)
<  à 

(


)
< ,
′ kí hiệu cho phần bù của .
Chứng minh:
Cho không gian (,Σ), có 

là một không gian Hausdorff compact với tính
chất sau:
(1) 

rời rạc, tức là, đại số Σ

của các tập hợp vừa đóng vừa mở hình thành
từ cơ sở đại diện cho tôpo của 

;
(2) Có một phép đẳng cự  giữa (,Σ)-không gian của các hàm Σ-đo được
cộng tính vô hướng bị chặn trên  và (

)-không gian của các hàm liên tục
nhận giá trị vô hướng trên 


, cả hai không gian này đều được xét theo chuẩn
đều.
Cho tương ứng 

(

)
= 


(

) (bất biến đối với hàm đặc trưng) cảm
sinh ra phép đẳng cấu đại số tập hợp  giữa Σ và Σ

, tức là 
(

)
= 

. Tương
ứng này là 
(
Σ
)
= Σ

. Bây giờ cho một hàm cộng tính hoặc -cộng tính 
(nhận giá trị vô hướng hoặc nhận giá trị trong ) trên Σ, công thức



(


)
= (

(


)
)

luôn luôn định nghĩa một hàm tập -cộng tính trên Σ

, dù  có là σ-cộng tính
hay không, vì 

(
∪




)
=
∑



(

)


. Nếu 

∈Σ

, 

rời rạc và
∪




∈Σ

vì tính compact của 

nên không tồn tại dãy vô hạn các tập 


không rỗng rời rạc thuộc Σ

mà ∪





∈Σ

. Rõ ràng nếu  là biến phân toàn
phần hữu hạn trên Σ

thì 

cũng vậy. Nếu  nhận giá trị vô hướng thì điều
này là do Định lý Caratheodory cổ điển. Nếu 

nhận giá trị trong  thì điều

22
này đã được đề cập đến từ lâu rồi, có thể tham khảo thêm trong [20, trang
119, ghi chú (6)]. Bây giờ cho 

,

là chuyển đổi của , trong Định lý này
trên không gian (

,Σ

). Cho 

,

đại diện cho các hàm tập được mở rộng
trên (


,Σ

). Thì hàm tập 

là biến phân toàn phần bị chặn trên Σ

.
Theo Định lý của Rickart [16] về mở rộng Định lý phân tích Lebesgue cổ điển
đối với hàm tập nhận giá trị vô hướng, 

sẽ có dạng 

+ 

trên -đại số
Σ

với 

, 

là biến phân bị chặn, nếu 

là 

-liên tục tuyệt đối, và 

là 


-
kì dị. Cho , là nghịch đảo của hạn chế của 

,

trên Σ

. Khi đó trên không
gian (,Σ), = +  với 

là -liên tục tuyệt đối và 

là -kì dị. Vì 


liên tục tuyệt đối đối với hàm -cộng tính  nên tính -cộng tính của  là
hiển nhiên. Do đó Định lý phân tích này đã được chứng minh xong.
Dường như  có thể phân tích thành tổng của hai hàm tập, một hàm là -cộng
tính và -kì dị và một hàm là cộng tính hữu hạn thuần túy bởi vì biến phân
toàn phần là kì dị đối với tất cả các hàm tập -cộng tính trên Σ. Chúng tôi vẫn
chưa thể chứng minh được điều này.
2.4. Mối liên hệ giữa sự hội tụ của các martingale và Định lý Radon-
Nikodym trong không gian Banach
2.4.1. Định lý chính
Định lý 2.4.1.
Cho không gian Banach  và không gian xác suất (,,), các phát biểu
sau là tương đương khi cho các Martingale
{



,

}
,≥1 nhận giá trị trong
:
(1) Nếu 

‖


‖

< +∞ thì 

= 
→


tồn tại mạnh hầu khắp
nơi.

23
(2) Nếu 

‖


‖

< +∞ thì 


= 
→


tồn tại yếu hầu khắp
nơi, theo nghĩa là ∃ 

đo được mạnh sao cho với mọi 
∗
∈
∗
,
lim
→
〈


(

)
,
∗
〉
=
〈


(


)
,
∗
〉
với ∉

∗
,(

∗
)= 0.
Điều này đủ để chỉ ra rằng 

có giá trị tách được hầu khắp nơi, từ đó
rút ra nó là đo được mạnh.
(3) Nếu 

|


()
|
< hầu khắp nơi với > 0, thì 

= 
→



tồn tại mạnh hầu khắp nơi.

(4) Nếu với > 0, 

|


()
|
<  hầu khắp nơi, thì 

= 
→



tồn tại yếu hầu khắp nơi theo nghĩa của phát biểu (2).
(5) Nếu 

là khả tích đều (tức là 
→
∫
|


|

{
|


|


}
= 0 đều với
≥1), thì ∃ 

∈

(,) với 
→
‖


−

‖

= 0.
(6) Nếu 

‖


‖

< ∞,1 < < ∞ thì ∃ 

∈

(,) với


→
‖


−

‖

= 0
(7) Không gian  có tính chất RN đối với (,,).
Chú ý: Bạn đọc lưu ý trong phần nói về tính chất RN ở trên, tính chất hội tụ
của các Martingale nhận giá trị trong  là độc lập với không gian xác suất cơ
sở. Nếu  không là nguyên tử thuần túy và  có một trong bảy tính chất thì 
cũng có tất cả các tính chất còn lại đối với không gian xác suất khác và đặc
biệt  cũng có tính chất (D).
Chứng minh :
Phần chính của chứng minh này là chứng minh (7)⇒(1). Tất cả các phép kéo
theo khác thì lý luận hoàn toàn thông thường.