Tổng quan về vài phương pháp nghiên cứu tính ổn định ngẫu nhiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

TĂNG THỊ NGA

TỔNG QUAN VỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN
CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH NGẪU NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Ngành: Toán học

Hà Nội - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

TĂNG THỊ NGA

TỔNG QUAN VỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN
CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH NGẪU NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SỸ

Ngành: Toán học

Cán bộ hướng dẫn: GS. TS. Nguyễn Hữu Dư

Hà Nội- 2015


LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới GS. TS. Nguyễn Hữu Dư người Thầy đáng kính đã
luôn tận tình chỉ bảo giúp đỡ em trong suốt thời gian qua.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia
đình, bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt
quá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp.
Mặc dù có nhiều cố gắng, song trong quá trình thực hiện khóa luận
em không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận được ý
kiến đóng góp của Thầy Cô và bạn bè đồng nghiệp, để khóa luận được
hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 06 tháng 06 năm 2015.
Sinh viên
Tăng Thị Nga

1


Mục lục
1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Các khái niệm cơ bản về xác suất . . . . . . . . . . . . .
1.2 Các khái niệm cơ bản về ổn định . . . . . . . . . . . . .
2 Các phương pháp nghiên cứu tính ổn định của hệ sai
phân ngẫu nhiên
2.1 Phương pháp sử dụng hàm Lyapunov . . . . . . . . . . .

2.2 Phương pháp so sánh nghiên cứu tính ổn định theo moment của phương trình tựa tuyến tính . . . . . . . . . .
2.3 Phương pháp sử dụng Martingale và các bất đẳng thức .
2.3.1 Dáng điệu đuôi của phân phối xác suất. . . . . .
2.3.2 Ổn định tiệm cận hầu chắc chắn. . . . . . . . . .
2.3.3 Không ổn định hầu chắc chắn. . . . . . . . . . . .

5
5
12

14
14
19
36
36
40
43

Kết luận

45

Tài liệu tham khảo

46

2


Mở đầu

Nghiên cứu tính ổn định của một hệ động lực là một bài toán hết sức
quan trọng trong cả lý thuyết lẫn thực hành. Năm 1892, nhà toán học
nổi tiếng A.M. Lyapunov, trong bản luận án tiến sỹ của mình, đã đưa ra
hai phương pháp nghiên cứu tính ổn định của nghiệm của phương trình
vi phân. Đó là phương pháp số mũ và phương pháp hàm Lyapunov [12].
Từ đó đến nay, bài toán này đã thu hút được sự quan tâm nghiên cứu
của nhiều nhà toán học và có nhiều kết quả sâu sắc về cả lý thuyết lẫn
ứng dụng. Chúng ta có thể kể đến các nhà toán học có nhiều đóng góp
trong lĩnh vực này như là Hahn (1967) và Lakshmikantham et al. (1989)
[10, 11] và nhiều nhà toán học khác như X. Mao [18]; L. Arnol [2]....
Trong các hệ động lực, hệ được mô tả bởi các phương trình sai phân
đóng vai trò hết sức quan trọng. Chúng ta có thể thấy sự xuất hiện nó
trong nhiều bài toán thực tế như là mô hình tăng trưởng của quần thể
kiểu Leslie, mô hình động học kinh tế đa lĩnh vực Leontief hoặc là khi
ta rời rạc hóa để tính toán nghiệm của một phương trình vi phân, trong
phân tích hệ thống dữ liệu mẫu của thống kê... Việc phân tích dữ liệu
trong cơ khí, điện, kĩ thuật điều khiển và các vấn đề thực tế khác cũng
phải cần đến các nghiên cứu của phương trình sai phân ngẫu nhiên.
Chính vì vậy, vấn đề nghiên cứu tính ổn định đối với nghiệm của
phương trình sai phân là bài toán được rất nhiều người quan tâm và
phát triển nhiều phương pháp để nghiên cứu bài toán này. Cũng như
hệ động lực khả vi, các phương pháp Lyapunov cũng được sử dụng để
nghiên cứu tính ổn định. Với phương pháp hàm Lyapunov, người ta xây
dựng một phiếm hàm (gọi là hàm Lyapunov). Phiếm hàm này đóng vai
trò như là một "chuẩn" hay như "phiếm hàm năng lượng" và các quỹ
3


đạo dọc theo hàm này sẽ giảm hoặc tăng. Điều đó cho phép chúng ta biết
được hệ sẽ ổn định hoặc không ổn định. Nhược điểm chính của phương

pháp này là các điều kiện đưa ra phụ thuộc vào hàm được chọn nên nói
chung chỉ là điều kiện đủ.
Phương pháp thứ hai được sử dụng là phương pháp so sánh. Ở đây
ta so sánh các quỹ đạo của hệ với các quỹ đạo của hệ một chiều. Ưu
điểm của phương pháp này chúng ta có thể dễ dàng biết hệ 1 chiều có
ổn định hay không thông qua các tiêu chuẩn đơn giản. Tuy nhiên việc
so sách này không phải lúc nào cũng thực hiện được vì các quỹ đạo của
hệ nhiều chiều nói chung là rất phức tạp.
Phương pháp tiếp theo là sử dụng các định lý giới hạn đã có trong lý
thuyết hội tụ của các quá trình ngẫu nhiên (chủ yếu là các định lý giới
hạn trong lý thuyết martingale). Với phương pháp này người ta phân
tích quá trình thành tổng của một quá trình tăng (hoặc giảm) với một
martingale. Từ đó ta có thể đưa ra kết luận hệ hội tụ hay không.
Nội dung chính của luận văn bao gồm 2 chương. Trong chương 1 chúng
tôi đưa vào các kiến thức tối thiểu để sử dụng về sau. Chương 2 là nội
dung chính của bản Luận văn. Phần 2.1 của chương này đề cập đến sử
dụng hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định. Trong đó chúng tôi
trình bày các điều kiện đáp ứng trạng thái để xích Markov là ổn định.
Trong mục 2.2 chúng tôi sử dụng phương pháp so sánh với hệ 1 chiều.
Đây là một tổng quát hóa của định lý so sánh của Ma và Caughey’s [14]
và sử dụng định lý này để nghiên cứu các định lý ổn định chung của
phương trình sai phân ngẫu nhiên phi tuyến. Mục 2.3 chúng tôi tái lập
lại các ý tưởng cơ bản từ các lý thuyết của martingale cùng với các kết
quả về tập hội tụ. Nội dung chính của phần này là hai kết quả về ổn
định tiệm cận hầu chắc chắn.
Mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng do thời gian thực hiện khóa luận
không nhiều nên trong khóa luận không tránh khỏi những hạn chế và
sai sót. Em rất mong nhận được những góp ý và sự chỉ bảo của các thầy
cô. Em xin chân thành cảm ơn!

4


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
1.1

Các khái niệm cơ bản về xác suất

Giả sử Ω là một tập tuỳ ý khác rỗng, F là một σ-đại số các tập con
của Ω. Khi đó, cặp (Ω, F) được gọi là một không gian đo.
Giả sử (Ω, F) là một không gian đo. Một ánh xạ P : F → R được gọi
là độ đo xác suất trên F nếu
(i) P(A) 0 với ∀A ∈ F (tính không âm);
(ii) P(Ω) = 1 (tính chuẩn hoá);
(iii) Nếu An ∈ F (n = 1, 2, 3, . . . ), Ai ∩ Aj = Ai Aj = ∅ (i = j) thì
∞
P(∪∞
n=1 An ) =
n=1 P(An ) (tính cộng tính đếm được).
Các điều kiện (i)-(iii) được gọi là hệ tiên đề Kolmogorov về xác suất. Bộ
ba (Ω, F, P) được gọi là không gian xác suất.
Định nghĩa 1.1. Giả sử (Ω1 , F1 ) và (Ω2 , F2 ) là hai không gian đo. Ánh
xạ X : Ω1 −→ Ω2 gọi là ánh xạ F1 /F2 đo được nếu với mọi B ∈ F2 thì
X −1 (B) ∈ F1 .
Mệnh đề 1.1. 1. Giả sử F1 , G1 là hai σ-đại số các tập con của Ω1 , F2 , G2
là hai σ-đại số các tập con của Ω2 . Khi đó, nếu F1 ⊂ G1 , G2 ⊂ F2 và
X : Ω1 → Ω2 là ánh xạ F1 /F2 đo được thì X là ánh xạ G1 /G2 đo được.
2. Giả sử X : Ω1 → Ω2 là ánh xạ F1 /F2 đo được, Y : Ω2 → Ω3 là ánh

xạ F2 /F3 đo được. Khi đó Y ◦ X : Ω1 → Ω3 là ánh xạ F1 /F3 đo được.
3. Giả sử F2 = σ(C). Khi đó ánh xạ X : Ω1 → Ω2 là F1 /F2 đo được
khi và chỉ khi X −1 (C) ∈ F1 với mọi C ∈ C.

5


Định nghĩa 1.2. Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất, G là σ- đại
số con của σ- đại số F. Khi đó ánh xạ X : Ω → R được gọi là biến
ngẫu nhiên G- đo được nếu nó là ánh xạ G/B(R) đo được (tức là với mọi
B ∈ B(R) thì X −1 (B) ∈ G).
Trong trường hợp đặc biệt, khi X là biến ngẫu nhiên F- đo được, thì
X được gọi một cách đơn giản là biến ngẫu nhiên.
Định nghĩa 1.3. Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất, X : Ω → R là
biến ngẫu nhiên và G là σ−trường con của F. Khi đó, kỳ vọng có điều
kiện của X đối với σ−trường G là biến ngẫu nhiên Y thỏa mãn:
(i) Y là biến ngẫu nhiên G−đo được;
(ii) Với mỗi A ∈ G, ta có
Y dP =
A

XdP.
A

Ký hiệu Y = E(X|G).
Trong toàn bộ luận văn này, chúng ta xét một không gian xác suất
đầy đủ có lọc (Ω, F, (Fn )n∈N , P).
Định nghĩa 1.4. Dãy các biến ngẫu nhiên X = (Xn )n∈N được gọi là
(Fn )−martingale nếu
(i) X = (Xn ) ∈ N là quá trình (Fn )−phù hợp;

(ii) E|Xn | < ∞ với mọi n ∈ N;
(iii) Với mọi m < n, m, n ∈ N, E(Xn |Fm ) = Xm h.c.c.
Martingale X = (Xn ) ∈ N được gọi là martingale bình phương khả
tích nếu E(|xn |2 ) < ∞; ∀ n ∈ N. Ký hiệu tập tất cả các martingale bình
phương khả tích là M2 .
Định nghĩa 1.5. Dãy các biến ngẫu nhiên X = (Xn ) ∈ N được gọi là
(Fn )−martingale dưới nếu các điều kiện (i) và (ii) được thỏa mãn và
(iii’) Với m < n, m, n ∈ N, E(Xn |Fm ) ≤ Xm h.c.c.
Định nghĩa 1.6. Dãy các biến ngẫu nhiên X = (Xn )n∈N được gọi là
(Fn )−martingale trên nếu các điều kiện (i) và (ii) được thỏa mãn và
(iii”) Với m < n, m, n ∈ N, E(Xn |Fm ) ≥ Xm h.c.c.
6


Định nghĩa 1.7. Dãy các biến ngẫu nhiên X = (Xn )n∈N được gọi là
(Fn )−hiệu martingale nếu các điều kiện (i) và (ii) được thỏa mãn và
(iii”) Với m < n, m, n ∈ N, E(Xn |Fm ) = 0 h.c.c.
Bổ đề 1.1. Giả sử {Xn }n∈N là một Fn -martingale, và xác định ξn =
Xn − Xn−1 . Khi đó {ξn }n∈N là một Fn -hiệu-martingale.
Bổ đề 1.2. Giả sử {ξn }n∈N , n ∈ N là môt dãy các biến ngẫu nhiên độc
lập sao cho Eξn = 0 và E |ξn | < ∞, với mỗi n ∈ N. Định nghĩa
Zn = ni=1 ξi . Khi đó {Zn }n∈N là một Fn -martingale và {ξn }n∈N , n ∈ N
là một Fn -hiệu-martingale.
Bổ đề 1.3. Giả sử {ξn }n∈N là môt dãy các biến ngẫu nhiên độc lập sao
cho Eξn = 0 và E |ξn | < ∞, với mỗi n ∈ N và (Fn )n∈N là bộ lọc được
sinh ra bởi {ξn }n∈N . Giả sử {yn }n∈N là một dãy các biến ngẫu nhiên Fn đo được. Đặt Zn+1 = ni=0 yi ξi+1 . Khi đó {Zn }n∈N là một Fn -martingale
Bổ đề 1.4. Giả sử {Xn }n∈N là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập
Fn -đo được. Nếu EXn = 1 và Zn = ni=1 Xi , với mỗi n ∈ N. Khi đó
{Zn }n∈N là một Fn -martingale.
Bổ đề 1.5. Giả sử {ξn }n∈N là một hiệu-martingale, bình phương khả

tích. Khi đó tồn tại một dãy {µn }n∈N của Fn -hiệu-martingale và một
dãy ngẫu nhiên dương Fn−1 -đo được {ηn }n∈N sao cho với mỗi n = 1, 2, ...
hầu chắc chắn.
ξn2 = µn + ηn ,

trong đó ηn = E ξn2 /Fn−1 ,

µn = ξn2 − E ξn2 /Fn−1 .

Bổ đề 1.6. Nếu {Xn }n∈N là một dãy ngẫu nhiên tăng với E |Xn | < ∞
với ∀n ∈ N thì {Xn }n∈N là một martingale dưới.
Bổ đề 1.7. Nếu {Xn }n∈N là một Fn -martingale không âm, thì limn→∞ Xn
tồn tại, h.c.c.
Định lý 1.1. Giả sử rằng {Xn }n∈N là một Fn -martingale dưới. Khi đó
tồn tại một Fn -martingale {Mn }n∈N và một dãy ngẫu nhiên tăng Fn−1 -đo
được {An }n∈N sao cho với ∀n = 1, 2, ...
Xn = Mn + An ,

hầu chắc chắn.
7

(1.1)


Định lý 1.2. Giả sử {Xn }n∈N là một Fn -martingale dưới không âm
với khai triển Doob’s (1.1). Khi đó, {A∞ < ∞} ⊆ {Xn →} . Trong đó
{Xn →} là tập tất cả các ω ∈ Ω mà lim Xn (ω) tồn tại và hữu hạn.
n→∞

Bổ đề 1.8. Giả sử {Zn }n∈N là một quá trình Fn -đo được không âm, với

E |Zn | < ∞ với mỗi n ∈ N và
Zn+1 ≤ Zn + un − υn + ςn+1 ,

n = 0, 1, 2, ...,

trong đó {ςn }n∈N là một Fn -hiệu-martingale, {un }n∈N , {υn }n∈N là các quá
trình Fn -đo được không âm và E |un | , E |υn | < ∞ với mỗi n ∈ N. Khi đó
∞

∞

un < ∞

ω:

⊆

υn < ∞

ω:

n=1

∩ {Zn →} .

n=1

Ở đây {Zn →} là tập các ω ∈ Ω trong đó limn→∞ Zn tồn tại và hữu hạn.
Chứng minh. Ta có
Zn+1 = Zn + un − υn + ςn+1 − (Zn − Zn+1 + un − vn + ςn+1 )

= Zn + un − υn + ςn+1 − wn+1 ,

(1.2)

trong đó wn+1 = Zn − Zn+1 + un − υn + ςn+1 là một quá trình Fn+1 -đo
n
được. Vì dãy Zn =
i=1 wi là dãy tăng và Fn -đo được với E |Zn | ≤
n
i=1 E |wi | < ∞ với mọi n ∈ N, nên theo bổ đề 1.6 {Zn }n∈N là một
Fn -martingale dưới. Do đó, theo Định lý 1.1 chúng ta có biểu diễn
(1)

Zn+1 = Cn + Mn+1 ,
trong đó

(1)

Mn+1

n∈N

là một Fn -martingale và {Cn }n∈N quá trình tăng

Fn -đo được. Kết hợp với (1.2) ta thu được
(1)

Zn+1 = Z0 + Un − (Vn + Cn ) + (Mn+1 − Mn+1 ),

(1.3)

trong đó Un = ni=1 ui , Vn = ni=1 υi , Mn = ni=1 ςi . Chúng ta định nghĩa
(1)
M n = Mn − Mn , U n = Z0 + Un . Khi đó đó theo phương trình (1.3) với
mọi n ∈ N thì
Zn+1 + (Vn + Cn ) = U n + M n+1 = Yn+1 .
8

(1.4)


Dãy ngẫu nhiên {Yn }n∈N được định nghĩa bởi (1.4) là một Fn -martingale
dưới không âm, và nó có thể được phân tích duy nhất thành tổng của
Fn -martingale dưới {Mn }n∈N và một dãy tăng Fn -đo được U n n∈N , đó
là Yn+1 = U n + M n+1 . Theo định lý (1.2) chúng ta kết luận rằng
Ω1 = U ∞ < ∞ ⊆ {Yn →} .

(1.5)

Điều này có nghĩa là limn→∞ Yn tồn tại hầu chắc chắn trên Ω1 và dó đó
Yn+1 bị chặn trên Ω1 hầu chắc chắn. Theo vế trái của (1.4) chúng ta có
khai triển khác của Yn+1 , cụ thể là
Yn+1 = Zn+1 + (Vn + Cn ).

(1.6)

Vì Yn+1 bị chặn hầu chắc chắn trên Ω1 và quá trình Zn+1 là không âm,
quá trình Vn + Cn cũng bị chặn trên Ω1 hầu chắc chắn. Vì Vn và Cn tăng,
có giới hạn hữu hạn hầu chắc chắn limn→∞ Vn và limn→∞ Cn trên Ω1 . Do
đó giới hạn limn→∞ Zn cũng tồn tại trên Ω1 .

Giả thiết 1.1. {ξn }n∈N là một dãy các biến ngẫu nhiên Fn -đo được,
trong đó
E [ξn /Fn−1 ] = 0,

Eξn2 = 1,

và E|ξn |3

bị chặn đều,

(1.7)

và mỗi ξn có hàm phân phối pn thỏa mãn
lim x3 pn (x) = 0.

(1.8)

|x|→∞

Định lý 1.3. Xét φ : E → E sao cho tồn tại δ > 0, và φ : E → E thỏa
mãn
(i) φ ≡ φ trên Uδ = [1 − δ, 1 + δ] ,
(ii) φ ∈ C 3 (E), φ (x) ≤ M với M bất kỳ và với mọi x ∈ E,
φ − φ dx < ∞.

(iii)
E

Giả sử fn và gn là các biến ngẫu nhiên bị chặn đều Fn -đo được. Và
{ξn }n∈N là một dãy các biến ngẫu nhiên thỏa mãn giả thiết 1.1. Khi đó

√
E φ(1 + fn h + gn hξn+1 )/Fn
(1.9)
= φ(1) + φ (1)f h + φ (1) g 2 h + hf O(h)
n

2

+hgn2 O(h),
9

n

n


trong đó O(h) → 0 hội tụ đều theo n khi h → 0.
Chứng minh. Để cho ngắn gọn, chúng ta sẽ giả sử fn và gn là hằng số
tương ứng và sử dụng kỳ vọng không có điều kiện, chứng minh trong
trường hợp tổng quát được thực hiện tương tự. Chứng minh bao gồm
hai phần chính, đầu tiên chúng tôi đưa ra công thức (1.9) đối với E φ .
Sau đó, chúng tôi sẽ chứng minh rằng φ là một xấp xỉ tốt của φ. Chính
xác hơn, chúng ta chứng minh ước lượng sau đây cho sai số E[φ − φ] =
hg 2 O(h).
Theo công thức Taylo mở rộng
φ 2 φ (θ) 3
x +
x,
2
6

√
với θ nằm giữa 0 và x. Thay x = f h + g hξ và lấy kỳ vọng. Sử dụng
tính chất của {ξn }n∈N ta thu được E(x) = fn h, Ex2 = f 2 h2 + g 2 h và do
đó
φ(1 + x) = φ(1) + φ (1)x +

Eφ(1 + x) = φ(1) + φ (1)f g +

φ 2
φ
E[φ (θ)x3 ]
g h + f 2 h2 +
.
2
2
6

Vì φ (θ) bị chặn đều chúng ta có thể ước lượng,
√
√
M E x3
E[φ (θ)x3 ]
≤ f h2 O(f h) + g 2 hO(g h) + g 2 hO(f h).
≤
6
6
√
Tiếp theo chúng ta kí hiệu c1 = 1 + hf , c2 = hg và tìm một ước lượng
cho sai số ∆ = E φ(c1 + c2 ξ) − φ(c1 + c2 ξ) , ta có
φ(c1 + c2 ξ) − φ(c1 + c2 ξ) p(ξ)dξ

∆=
E

(φ(r) − φ(r))p(

=

r − c1 dr
)
c2 |c2 |

E

(φ(r) − φ(r))p(

=
E/Uδ

10

r − c1 dr
)
,
c2 |c2 |


trong đó, biến r = c1 + c2 ξ và bỏ đi Uδ trên cận lấy tích phân bởi vì
φ(r) − φ(r) = 0 trên Uδ . Bây giờ chúng ta ước lượng
r − c1

c2

|∆| ≤ sup p
r∈U
/ δ

1
|c2 |

φ(r) − φ(r) dr
E

≤ |c2 |2 C sup p
r∈U
/ δ

= hg 2 C sup
r∈U
/ δ

r − c1
c2

1
|c2 |3

p(y)y 3
(r − 1 − hf )3

,

√
trong đó y = (r − 1 − hf )/ hg. Nếu hoặc h bị chặn, và f, g → 0 hoặc
|f | , |g| bị chặn và h → 0, dễ thấy y → ∞ đều trên r ∈ E/Uδ . Do đó theo
điều kiện (r − 1 − hf )3 bị chặn bởi 0, giả thiết p(y)y 3 → 0 suy ra
sup p(y)y 3 /(r − 1 − hf )3 = O(h),
r∈U
/ δ

do đó, |∆| ≤ hg 2 O(h).
Định nghĩa 1.8. Giả sử {X, Xn , n 1} là họ biến ngẫu nhiên cùng xác
định trên không gian xác suất (Ω, F, P). Ta nói:
• Dãy {Xn , n 1} hội tụ hầu chắc chắn đến X khi n → ∞ nếu tồn
tại tập N ∈ F sao cho P(N ) = 0 và Xn (ω) → X(ω) khi n → ∞ với mọi
ω ∈ Ω\N .
h. c. c.
Ký hiệu Xn → X h. c. c. hoặc Xn −−−→ X khi n → ∞.
• Dãy {Xn , n
1} hội tụ đầy đủ đến X khi n → ∞ nếu với mọi
ε > 0 thì
∞
P(|Xn − X| > ε) < ∞.
n=1
c

− X khi n → ∞.
Ký hiệu Xn →
• Dãy {Xn , n 1} hội tụ theo xác suất đến X khi n → ∞ nếu với
mọi ε > 0 thì
lim P(|Xn − X| > ε) = 0.

n→∞

P

Ký hiệu Xn −→ X khi n → ∞.
11


• Dãy {Xn , n
1} hội tụ theo trung bình cấp p > 0 đến X khi
n → ∞ nếu X, Xn (n 1) khả tích bậc p và lim E|Xn − X|p = 0.
n→∞

Lp

Ký hiệu Xn −→ X khi n → ∞.
• Dãy {Xn , n
1} hội tụ theo phân phối (hội tụ yếu) đến X khi
n → ∞ nếu
với mọi x ∈ C(F ).

lim Fn (x) = F (x)

n→∞

Trong đó Fn (x) và F (x) tương ứng là hàm phân phối của các biến ngẫu
nhiên Xn và X, C(F ) là tập hợp các điểm mà tại đó F (x) liên tục.
d
Ký hiệu Xn →
− X.

Hội tụ hầu chắc chắn còn được gọi là hội tụ với xác suất 1, hội tụ
theo trung bình cấp p còn được gọi là hội tụ trong Lp .
1.2

Các khái niệm cơ bản về ổn định

Lấy (Ω, F, Fn , P) là không gian xác suất đầy đủ với bộ lọc {Fn }. Xét
phương trình sai phân ngẫu nhiên
xk+1 = F (k, xk ) + G(k, xk )ξk , k ∈ Z
x 0 = ϕ0 .
trong đó F : N × Rd → Rd ,
0, G(i, 0) = 0.

(1.10)

G : N × Rd → Rd thỏa mãn F (i, 0) =

Định nghĩa 1.9. (i) Nghiệm tầm thường của phương trình (1.10) được
gọi là ổn định ngẫu nhiên hay ổn định theo xác suất nếu với mỗi
cặp ∈ (0; 1) và r > 0 tồn tại δ = δ( , r, n0 ) > 0 sao cho
P{|xn | < r với mọi n ≥ n0 } ≥ 1 −

khi |x0 | < δ. Ngược lại, nghiệm của phương trình được gọi là không
ổn định.
(ii) Nghiệm tầm thường của phương trình (1.10) được gọi là ổn định tiệm
cận ngẫu nhiên nếu nó ổn định ngẫu nhiên và với mọi ∈ (0; 1) tồn
12


tại δ = δ( , n0 ) > 0 sao cho

P{ lim xn = 0} ≥ 1 −
n→∞

khi |x0 | < δ.
(iii) Nghiệm tầm thường của phương trình (1.10) được gọi là ổn định
hầu chắc chắn nếu nó ổn định ngẫu nhiên và với mọi x0 ∈ Rd thì
P{ lim xn = 0} = 1.
n→∞

Định nghĩa 1.10. Nghiệm tầm thường của phương trình (1.10) được
gọi là ổn định mũ hầu chắc chắn nếu
lim sup

n→∞

1
log |xn | < 0 h.c.c
n

Định nghĩa 1.11. (i) Nghiệm tầm thường của phương trình (1.10) được
gọi là ổn định moment cấp p với p > 0 nếu với ε ∈ (0; 1) tồn tại
δ = δ(ε) > 0 sao cho
E|xk |p < ε, ∀k ∈ N.
khi E|xk |p < δ.
(ii) Nghiệm tầm thường của phương trình (1.10) được gọi là ổn định tựa
tiệm cận moment cấp p với p > 0 nếu tồn tại δ0 > 0 sao cho
E|xk |p → 0 khi k → ∞.
khi E|xk |p < δ0 ;
(iii) Nghiệm tầm thường của phương trình (1.10) được gọi là ổn định
tiệm cận moment cấp p với p > 0 nếu nó ổn định moment cấp p và

ổn định tựa tiệm cận moment cấp p.

13


Chương 2

Các phương pháp nghiên cứu tính
ổn định của hệ sai phân ngẫu nhiên
2.1

Phương pháp sử dụng hàm Lyapunov

Cho {Xn } là một xích Markov thuần nhất trong một không gian
Balan X , và V : X → R+ là một hàm đo được được hiểu như là một
"chuẩn", một “hàm Lyapunov” hoặc "hàm năng lượng". Trong các định
lý ở mục này, chúng ta giả thiết rằng supx V (x) = ∞. Chúng tôi sử
dụng các kí hiệu chuẩn tắc Px (A) = P (A/X0 = x) và Ex Y để chỉ xác
suất có điều kiện của biến cố A hay kỳ vọng của biến ngẫu nhiên Y
theo độ đo xác suất Px . Độ dịch chuyển (drift) của hàm V trên xích
Markov X sau n đơn vị thời gian là hàm x → Ex [V (Xn ) − V (X0 )]. Dễ
dàng thấy rằng nếu P (n, x, ·) là xác suất chuyển của quá trình Markov
Xn thì Ex [V (Xn ) − V (X0 )] = X V (y)P (n, x, dy) − V (x). Giả sử rằng
g : X → N là một hàm đo được khác. Ta hiểu g(x) như là hàm thời gian
phụ thuộc trạng thái x. Độ dịch chuyển của V sau g(x) bước là hàm
x → Ex V (Xg(x) ) − V (X0 ) .
Cho h : X → R là hàm đo được thứ ba sao cho −h được xem như ước
lượng độ lớn của hàm độ dời sau thời gian g(x) bước. Giả sử rằng:
• (L1) h bị chặn dưới: infx∈X h(x) > −∞.
• (L2) h đến cuối cùng dương: limV (x)→∞ h(x) > 0.

• (L3) g bị chặn trên địa phương: supv(x)≤N g(x)/h(x) < ∞,∀N > 0
14


• (L4) g đến cuối cùng bị chặn bởi h: limv(x)→∞ g(x)/h(x) < ∞.
Đối với một tập đo được B ⊂ X bất kỳ ta định nghĩa:
τB = inf {n > 0 : Xn ∈ B} .
τB được hiểu là lần trở lại đầu tiên đến B của quá trình Xn . Tập B được
gọi là tập hồi quy nếu Px (τB < ∞) = 1 với ∀x ∈ B. Nó được gọi là hồi
quy dương nếu supx∈B Ex τB < ∞.
Định lý 2.1. Giả sử rằng độ dịch chuyển của V sau g(x) bước thỏa mãn
"điều kiện dịch chuyển"
Ex V (Xg(x) ) − V (X0 ) ≤ −h(x).

Trong đó V , g, h thỏa mãn (L1)-(L4). Đặt
τ ≡ τN = inf {n > 0 : V (Xn ) ≤ N } .
Khi đó tồn tại N0 > 0, ∀N > N0 và x ∈ X bất kì, chúng ta có Ex τ < ∞.
Ngoài ra supV (x)≤N Ex τ < ∞.
Chứng minh. Hiển nhiên từ điều kiện dịch chuyển ta suy ra V (x) −
h(x) ≥ 0 với mọi x. Chúng ta chọn N0 sao cho inf h(x) > 0 và
V (x)>N

sup g(x)/h(x) < ∞ với mọi N ≥ N0 . Với mỗi N > N0 đặt
V (x)>N

d = sup g(x)/h(x).
V (x)>N

Từ điều kiện (L2) và (L4) ta suy ra 0 < d < ∞. Đặt
−H = infx∈X h(x).

Khi đó từ giả thiết (L1) ta có H < ∞. Chúng ta định nghĩa một dãy
tăng tn các thời điểm dừng xây dựng bằng phương pháp đệ quy như sau
t0 = 0,

tn = tn−1 + g(Xtn−1 ),

n ≥ 1.

Do Xn là xích Markov mạnh nên các biến ngẫu nhiên
Yn = Xtn ,
15


cũng tạo thành một xích Markov (có thể không thuần nhất). Bằng quy
nạp theo n dễ dàng chứng minh được rằng Ex V (Yn+1 ) ≤ Ex V (Yn ) + H
và Ex V (Yn ) < ∞ với mọi n và x. Ta định nghĩa thời điểm dừng
γ = inf {n ≥ 1 : V (Yn ) ≤ N } ≤ ∞.
Rõ ràng
γ ≤ tγ ,

h.c.c.

Giả sử Fn là σ đại số sinh bởi Y0 , ..., Yn . Lưu ý rằng γ là thời điểm dừng
dự báo được, tức là 1{γ≥i} ∈ Fi−1 với mọi i. Chúng ta định nghĩa "năng
lượng tích lũy" giữa 0 và γ ∧ n bởi
γ∧n

En =

n

V (Yi ) =
i=0

V (Yi )1{γi=0

và ước lượng thay đổi Ex (En − E0 ) theo một "kiểu mactingale":
n

Ex (En − E0 ) = Ex

Ex (V (Yi )1{γ≥i} /Fi−1 )
i=1
n

1{γ≥i} Ex (V (Yi )/Fi−1 )

= Ex
i=1
n

1{γ≥i} Ex (V (Yi−1 ) − h(Yi−1 )/Fi−1 )

≤ Ex
i=1
n+1

1{γ≥i−1} Ex (V (Yi−1 ) − h(Yi−1 )/Fi−1 )

≤ Ex
i=1

n

= E x En − E x

h(Yi )1{γ≥i} .
i=0

Trong ước lượng này chúng ta đã sử dụng V (x) − h(x) ≥ 0 và trong bất
đẳng thức cuối, chúng ta cũng dùng 1{γ≥i} ≤ 1{γ≥i−1} và lấy tổng từ 0
tới n + 1. Từ đây chúng ta thu được
n

h(Yi )1{γ≥i} ≤ Ex V (X0 ) = V (x).

Ex
i=1

16

(2.1)


Giả sử V (x) > N . Nếu i < γ thì theo định nghĩa của γ ta có V (Yi ) > N .
Như vây từ định nghĩa của d ta nhận được
h(Yi ) ≥ d−1 g(Yi ) > 0,

i < γ.

(2.2)

Cũng theo định nghĩa của H ta có
h(Yi ) ≥ −H,

∀i.

(2.3)

Sử dụng các ước lượng (2.2) và (2.3) vào (2.1) chúng ta có:
n

V (x) ≥Ex

n

h(Yi )1{γ≥i} + Ex
i=0

h(Yi )1{γ=i}
i=0

(γ−1)∧n
−1

≥d Ex

g(Yi ) − HPx (γ ≤ n).
i=0

Lưu ý rằng g(Y0 ) + ... + g(Yk ) = tk+1 , suy ra:
V (x) ≥ d−1 Ex tγ∧(n+1) − HPx (γ ≤ n).
Lấy giới hạn khi n → ∞ (cả hai dãy tương ứng đang tăng theo n) và
thu được
Ex tγ ≤ d(V (x) + H).
Do τ ≤ tγ nên ta suy ra Ex τ < ∞.
Ta xét trường hợp V (x) ≤ N . Lấy kỳ vọng có điều kiện theo biến Y1
chúng ta có
Ex τ ≤ g(x) + Ex (Ex Y1 τ 1(V (Y1 > N ))

≤ g(x) + Ex (d(V (Y1 ) + H)1(V (Y1 ) > N ))
≤ g(x) + dH + d(V (x) + H).
Do đó,
sup Ex τ ≤ sup g(x) + d(2H + N ).
V (x)≤N

v(x)≤N

Theo giả thiết (L3), vế phải là một hằng số hữu hạn. Do vậy
sup Ex τ < ∞.
V (x)
17


Định lý 2.1 chỉ cho chúng ta thấy tập BN = {x ∈ X : V (x) <
N } = V −1 (0, N ) là một tập quay trở lại dương. Đây là định lý tổng quát
hóa nhiều kết quả đã biết trước đó. Thật vậy, nếu ta chọn g(x) ≡ 1 và
h(x) = −C1 1{V (x)≤C2 } ta nhận được tiêu chuẩn Foster-Lyapunov cổ điển

[7] (nếu X = Z được gọi là Bổ đề Pakes [19]). Một cách tương đương,
tiêu chuẩn Foster-Lyapunov muốn tìm kiếm hàm V sao cho Ex V (X1 ) −
V (x) < − < 0 khi V (x) > C2 và supV (x)≤C2 Ex V (X1 ) < ∞.
Trong trường hợp g(x) = [V (x)] (ký hiệu [y] là phần nguyên của y)
và h(x) = V (x) − C1 1{V (x)≤C2 } ta nhận được tiêu chuẩn Meyn-Tweedie
[17]. Chúng ta cũng có thể tham khảo các kết quả này trong tài liệu
tham khảo của Fayolle, Malyshev và Menshikovnov.
Chúng ta chú ý rằng ở đây chúng ta không đòi hỏi rằng tập hợp
phải "nhỏ" theo nghĩa nó hữu hạn hay có tính compact. Tất nhiên nếu
ta quan tâm đến tính ổn định, chúng ta cần chứng minh rằng các tập
compact là hồi quy dương. Định lý trên đảm bảo cho chúng ta ngay cả
tập không compact cũng hồi quy dương.
Ta cũng chú ý rằng điều kiện (L4) không chỉ có tính chất kỹ thuật
mà còn đóng vai trò quan trọng. Chúng ta xét thí dụ
Ví dụ 2.1. Cho X = N và xét quá trình Markov (Xn ), nhận giá trị trên
X , có xác suất chuyển
p1,1 = 1,

pk,k+1 ≡ pk ,

pk,1 = 1 − pk ≡ qk ,

k = 2, 3, ...,
trong đó 0 < pk < 1, ∀k ≥ 2 và pk → 1, khi k → ∞. Như vậy bước nhảy
của quá trình có kích thước +1 ; hoặc có bước nhảy −k nếu từ trạng thái
k ngay lập tức chuyển đến trạng thái 1. Ta giả sử qk = 1/k, k ≥ 2. Khi
đó, bắt đầu với X0 = 2, chúng ta có P (τ = n) = 1/(n + 1)n, n = 1, 2, ...
Vì vậy
∞
n

Ex τ =
= ∞.
n(n
+
1)
n=1
Do đó chuỗi Markov không thể hồi quy dương. Đặt
V (k) = log(1 ∨ log k),
18

g(k) = k 2 .


Chúng ta có thể ước lượng độ dịch chuyển và thấy rằng
Ex k V (Xg(k) ) − V (k) ≤ −h(k),

(2.4)

trong đó h(k) = c1 Vk − c2 , với c1 , c2 là hằng số dương. Dễ thấy rằng
(L1)-(L3) được thỏa mãn, nhưng (L4) thì không. Điều này giải thích tại
sao định lý 2.1 không áp dụng được mặc dù độ lệch âm.
Chúng ta xét trường hợp đặc biệt khi xích Markov (Xn ) được cho
bởi phương trình sai phân. Cho X và Y là hai không gian Balan, f :
X × Y → X là hàm đo được. Xét phương trình
Xn+1 = f (Xn , ξn+1 ),

n = 0, 1, 2, ...,

(2.5)

trong đó (Xn ) là dãy biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối, nhận giá
trị trên Y , có phân phối xác suất chung là µ(·). Ta chứng minh (Xn )
là quá trình Markov thuần nhất. Thật vậy, gọi Fn là σ−đại số sinh bởi
X0 , X1 , ..., Xn . Dễ thấy Fn độc lập với ξn+1 . Vì thế, với mỗi hàm u đo
được giới nội ta có
E[u(Xn+1 )/Fn ] = E[u(f (Xn , ξn+1 )/Fn ] = E[u(f (Xn , ξn+1 )/Xn ].
Hơn nữa
P (Xn+1 ∈ A/Xn = x) = P (f (Xn , ξn+1 ) ∈ A/Xn = x)
= P (f (x, ξn+1 ) ∈ A) =

1A (f (x, y)µ(dy).
Y

Cho các hàm V, g, h thỏa mãn các điều kiện L(1)...L(4) thì ta thấy Xn
sẽ quay trở lại dương.
2.2

Phương pháp so sánh nghiên cứu tính ổn định theo moment của phương trình tựa tuyến tính

Giả sử Ak (ω), ω ∈ Ω (k = 0, 1, 2, ...) là ma trận ngẫu nhiên độc lập
cỡ n × n tương ứng. Ta ký hiệu N0 là tập các số nguyên không âm, R+
là tập các số thực không âm.
19


Xét phương trình sai phân ngẫu nhiên tuyến tính và phương trình sai
phân ngẫu nhiên có nhiễu dưới đây
k ∈ N0 .

xk+1 = Ak (ω)xk ,

(2.6)

và
xk+1 = Ak (ω)xk + f (k, xk ),

k ∈ N0 .

(2.7)

trong đó, xk ∈ Rd và f là hàm liên tục xác định trên N0 × Rd , nhận giá
trị trên Rd với f (k, 0) = 0 với mọi k ∈ N0 . Giả sử rằng điều kiện ban
đầu là biến ngẫu nhiên x0 nhận giá trị trong Rn , độc lập với {Ak (ω)}.
Trước hết, chúng ta đưa ra các định nghĩa liên quan tới các khái niệm
bị chặn, tiệm cận và tiếp cận cấp p của nghiệm tầm thường xk ≡ 0 của
phương trình thuần nhất (2.6).
Định nghĩa 2.1. Nghiệm của phương trình (2.6) được gọi là
(i) Ổn định mạnh trung bình cấp p với bậc C nếu tồn tại hằng số C ≥ 1
sao cho
E( Am−1 ...An p ) ≤ C

với mọi ∀m > n ≥ 0.

ii) Ổn định mạnh tựa-tiệm cận trung bình cấp p nếu:
lim E( Am−1 ...An p ) = 0

x→∞

với ∀m > n ≥ 0.

Định nghĩa 2.2. Các nghiệm của (2.6) được gọi là tiếp cận đến 0 với
tốc độ nhanh cấp (C, δ) nếu tồn tại một hằng số C ≥ 1 và 0 < δ < 1 sao
cho
E( Am−1 ...An ) ≤ Cδ n−m+1 với ∀m > n ≥ 0.
Định nghĩa 2.3. Các nghiệm của (2.6) được gọi là tiếp cận đến 0 với
p
tốc độ nhanh cấp (K, p, α) nếu tồn tại một hằng số K ≥ 12 sao cho
E( Am−1 ...An ) ≤ K(n + 1)p /mp

20

với ∀m > n ≥ 0.


Định nghĩa 2.4. Các nghiệm của (2.6) được gọi là tiếp cận đến 0 với tốc
p
độ nhanh cấp (K, p, δ) nếu tồn tại một hằng số K ≥ 21 và 0 < δ < 1
sao cho
E( Am−1 ...An ) ≤ K(1/m)p δ m−n+1

với ∀m > n ≥ 0.

Định nghĩa 2.5. Các nghiệm của (2.6) được gọi là tiếp cận đến 0 với
tốc độ nhanh cấp (β, t, p) nếu tồn tại các dãy dương {βn } và {tn } sao
cho (n + 1)p βn → 0 khi n → ∞ và
E( Am−1 ...An ) ≤ βm tn .

Phần tiếp theo chúng ta đưa ra các định nghĩa liên quan đến tính ổn
định ngẫu nhiên đối với nghiệm tầm thường của phương trình(2.7).
Định nghĩa 2.6. Nghiệm tầm thường của (2.7) được gọi là

(S1 ) Ổn định trung bình cấp p với p > 0 nếu với mọi ε > 0, tồn tại một
δ(ε) > 0 sao cho
E( xk p ) < ε

với mọi k ∈ N0

với điều kiện là E( x0 p ) < δ0 ,
(S2 ) Ổn định tựa-tiệm cận trung bình cấp p với p > 0 nếu tồn tại một
δ0 > 0 sao cho
E( xk p ) → 0 khi k −→ ∞
với điều kiện là E( x0 p ) < δ0 ,
(S3 ) Ổn định tiệm cận trung bình cấp p với p > 0 nếu nó là ổn định
trung bình cấp p và ổn định tựa-tiệm cận trung bình cấp p.
Chúng tôi đưa ra một số bổ đề cần thiết để sử dụng trong việc chứng
minh các định lý liên quan đến tính ổn định.
Bổ đề 2.1. Nếu ai ≥ 0 với mọi số nguyên không âm i, thì tích vô hạn
∞

(1 + ai )
i=0
∞

ai hội tụ.

hội tụ khi và chỉ khi chuỗi
i=0

21

Ký hiệu [y] là phần nguyên của y. Khi đó,
Bổ đề 2.2. Nếu một dãy aj hội tụ đến 1 và 0 < α < 1, thì
n

[(aj )p α] = 0.

lim

n→∞

j=0

Chứng minh. Lấy β > 0 sao cho 1 < β < 1/(α)p . Do an → 1 khi n → ∞
nên tồn tại một số nguyên dương N sao cho nếu n ≥ N ta có 0 < an < β.
p
n
N
n
p
Như vậy,
j=1 [(aj )α] <
j=1 [(aj ) α]
j=N +1 [β α] với mọi n > N .
p

n−N

Do (β α)

n

→ 0 khi n → ∞ nên lim

n→∞ j=0

[(aj )p α] = 0. Bổ đề được

chứng minh.
Tiếp theo chúng tôi sẽ trình bày bổ đề mà đóng vai trò cơ sở cho phần
này.
Bổ đề 2.3. Giả sử F (n, s, u) : N0 × N0 × R+ → R+ là một hàm liên tục,
đơn điệu không giảm theo u và giả sử {υn } và {xn } là hai dãy dương
thỏa mãn các điều kiện tương ứng sau:
n−1

υn ≥

F (n, s, vs ) + pn ,

pn ≥ 0

s=0

và

n−1

xn ≤ ρ(n)

F (n, s, vs ) + pn ,

pn ≥ 0

s=0

Hơn nữa, giả sử rằng các điều kiện sau đây thỏa mãn với mọi n > s
(a) 0 < ρ(n) ≤ 1 và F (n, s, u) ≤ F (n, s, αu), α ≥ 1, ,
(b) ρ(n) ≥ 1 và αF (n, s, u) ≤ F (n, s, βu), 0 ≤ α ≤ β ≤ 1.
Khi đó,
Nếu (a) thỏa mãn, thì xn ≤ ρ(n)υn với mỗi n ∈ N0 với điều kiện
x0 ≤ ρ(0)υ0 .
Nếu (b) thỏa mãn, thì xn ≤ ni=0 ρ(i)υn với mỗi n ∈ N0 với điều kiện
x0 ≤ ρ(0)υ0 .
22


Chứng minh. Nếu (a) thỏa mãn, thì với mỗi n ∈ N0 ta có
n−1

xn /ρ(n) −

n−1

F (n, s, xs /ρ(s)) ≤ υn −
s=0

F (n, s, υs ).
s=0

Từ đó bằng quy nạp ta suy ra xn ≤ ρn υn với mọi n ∈ N0 nếu như

x0 ≤ ρ(0)v0 .
Giả sử (b) được thỏa mãn. Đặt a(s) = si=0 ρ(i) chúng ta nhận được:
n−1

xn /a(n) −

n−1

F (n, s, xs /a(s)) ≤ υn −
s=0

F (n, s, υs ),
s=0

với mọi n ∈ N0 .
Từ đó suy ra xn ≤ an υn với mọi n ∈ N0 với điều kiện x0 ≤ ρ(0)v0 .
Định lí được chứng minh.
Định nghĩa 2.7. Hàm F (n, u) : N0 × R+ → R+ được gọi là có
điều kiện (α) nếu αF (n, u) ≤ F (n, αu) với α ≥ 1
và
điều kiện (β) nếu αF (n, u) ≤ F (n, βu) với 0 ≤ α ≤ β ≤ 1.
Trong phần này chúng ta chứng minh các định lý ổn định của các
phương trình sai phân ngẫu nhiên phi tuyến.
Ký hiêu ∆ là toán tử sai phân trên các dãy được định nghĩa bởi
∆wn = wn+1 − wn ,
với mọi dãy (wn ).
Nói chung, định nghĩa ổn định của nghiệm tầm thường của phương
trình sai phân ∆υn = F (n, υn ) được đưa ra cho hàm F khi miền xác
định của F là N0 × R1 và miền ảnh của F là R1 .
Tuy nhiên trong các bài toán liên quan đến kinh tế, vật lí và các hệ

điều khiển, người ta đòi hỏi tính không âm của các biến và các giá trị
của F . Vì thế, chúng ta có các định nghĩa sau về ổn định của nghiệm
tầm thường của phương trình sai phân cho hàm F với miền xác định

23