Toán cao cấp hệ phương trình tuyến tính

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Xét hệ phương trình

ẩn

:

ma trận hệ số

ma trận bổ sung

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Các dạng toán về hệ phương trình tuyến tính

 Hệ phương trình tuyến tính

 Định lý Cronecker- Capelli
 r(A) < r(Hệ vô nghiệm
 r(A) = r( < n: Hệ có VSN
 r(A) = r( = n: Hệ có nghiệm duy nhất
 Thuật toán Cramer ( số pt = số ẩn )
Tính D= detA và các
- D 0 : Hệ có 1 nghiệm
- D 0 và = 0 : Hệ VN
- D = = 0 : Hệ có VSN hoặc VN
 Thuật toán Gauss
- Đưa về C có dạng bậc thang
- Từ C lập hpt tương đương vớiheệdđã cho
- Dựa vào hệ mới đểu xử lý hệ cũ

*Đối với hệ thuần nhất:
Hệ thuần nhất luôn có nghiệm

, gọi là nghiệm tầm thường

Hệ thuần nhất có nghiệm duy nhất
Hệ thuần nhất có nghiệm không tầm thường
Hệ thuần nhất vuông (
Hệ phương trình tuyến tính là phần rất dễ, chúng ta chú ý hơn vào phần ứng dụng
trong kinh tế.
Mô hình Input – Output:
Đây là dạng bài rất hay ra trong đề thi. Thường cho một ma trận hệ số kĩ thuật
(thường là
ma trận vuông bậc 2 hoặc bậc 3), và cho giá trị cầu cuối cùng, yêu cầu xác định tổng cầu mỗi
ngành.

Ma trận hệ số kĩ thuật

Lưu ý ý nghĩa của số

; ma trận tổng cầu cuối:

: Để sản xuất ra 1 đồng giá trị sản phẩm, ngành

đồng để mua sản phẩn của ngành

phục vụ cho sản xuất.

Ta cần xác định tổng cầu mỗi ngành:

Công thức:

, trong đó

hay ma trận
là ma trận đơn vị cấp

đã phải mua


Mô hình cân bằng thị trường

hàng hóa có liên quan:

Hiểu đơn giản là cung và cầu của một hàng hóa được viết dưới dạng hàm của giá nhiều mặt
hàng khác, các mặt hàng không độc lập với nhau.

Một cách tổng quát, ta có

Cân bằng

hàng hóa và

hàng hóa:

(thực ra là giải hệ phương trình)

Mô hình cân bằng thu nhập quốc dân:
tổng thu nhập quốc dân;

chi tiêu chính phủ;

đầu tư;

tiêu dùng

Có:
(nhớ cái trước là hệ phương trình, cái sau là công thức để áp dụng trực tiếp)
Nếu có thêm yếu tố thuế

, sau đó giải hệ bình thường

Nếu có thêm yếu tố xuất khẩu

và nhập khẩu

Mô hình IS-LM:
Chi tiêu chính phủ
suất)

, tiêu dùng

Cầu tiền:
Trong mô hình IS-LM:

Giải ra ta được

, đầu tư

, cung tiền

và

( là thuế,

là lãi


DNG 1 : BIN LUN S NGHIM CA HPT TUYN TNH
o PP : Dựng Gauss v Cronecker- Capelli
r(A) < r(
H vụ nghim
r(A) = r( < n
H cú VSN
r(A) = r( = n
H cú 1 nghim
Vớ d: BL theo m s nghim PT
Ta cú:

d2- 2d1

Bin lun:
m= 6 r(A) < r(
:VN
m= 0 r(A) = r( = 2 < 3 : VSN
m v m
r(A) = r( = 3 : 1 No
Baứi 1:
Giaỷi vaứ bieọn luaọn:

Giaỷi:

d3-3d1


•
DẠNG 2: GIẢI HPT TUYẾN TÍNH
o PP1: Dùng thuật toán Cramer
o PP2: Dùng thuật toán Gauss
 Ví dụ 1 : Giải hpt bằng 2 cách


Cách 1 : ( Dùng Cramer )


D =-4
- 81 No
-4
-4

 Cách 2 : ( Dùng Gauss)

d2 -2d1 , d2 +d1

Giải hệ phương trình bằng phương pháp Kramer:

1)
Ta có:

*

D=

= 8 + 5 – 20 = -7

d3-d2


Vì D

*

Dx1 =

= - 4 + 35 – 20 + 10 = 21

*

Dx2 =

= 14 + 5 – 20 +1 = 0

*

Dx3 =

= 40 – 5 -70 = -35

0 nên hệ có nghiệm duy nhất:

 Ví dụ 2: Tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình sau:

d2 -2d1
No tổng quát:

Hệ No cơ bản