Về các định lý cơ bản của giải tích hàm trên không gian bị chặn địa phương

2

MỤC LỤC

Mục lục

2

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1 Không gian bị chặn địa phương

5

1.1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2. Không gian bị chặn địa phương . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2 Về các định lý cơ bản của giải tích hàm trên không gian
bị chặn địa phương

18

2.1. Định lý Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2. Định lý ánh xạ mở

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3. Nguyên lý bị chặn đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Kết luận

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Tài liệu tham khảo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31


3

MỞ ĐẦU

Định lý Hahn-Banach, định lý ánh mở, nguyên lý bị chặn đều là các
nguyên lý cơ bản của giải tích hàm. Chúng có vai trò và ý nghĩa to lớn
trong lĩnh vực toán giải tích nói riêng và toán học hiện đại nói chung.
Dạng cổ điển của các định lý trên được phát biểu trong không gian
Banach. Vào khoảng thập niên 60 đến 80 của thế kỷ trước, chúng được
mở rộng trên nhiều lớp không gian rộng hơn không gian Banach, điển
hình là các mở rộng lên một số lớp không gian lồi địa phương bởi một số
chuyên gia nổi tiếng trong giải tích hàm như Kothe, Meise, Vogt,...(xem
[5]). Các mở rộng trên lớp không gian không lồi địa phương (nhưng bị
chặn địa phương) được thực hiện vào những năm 90 của thế kỷ trước bởi
chùm các công trình của Bayoumi (xem [2], [3], [4]). Những kết quả này
là cơ sở quan trọng để nghiên cứu giải tích phức trên không gian không
lồi địa phương.

Với mục đích tìm hiểu các định lý cơ bản của giải tích hàm trên không
gian bị chặn địa phương, chúng tôi lựa chọn đề tài sau cho luận văn của
mình là: Về các định lý cơ bản của giải tích hàm trên không gian bị chặn
địa phương.
Nội dung của luận văn được trình bày trong 2 chương. Chương 1 trình
bày những kiến thức cơ sở về không gian véctơ tôpô cần dùng về sau và
những kết quả cơ bản về không gian bị chặn địa phương, ánh xạ tuyến
tính liên tục giữa các không gian bị chặn địa phương. Chương 2 trình
bày ba định lý cơ bản của giải tích hàm đối với không gian bị chặn địa
phương là: Định lý Hahn-Banach, định lý ánh xạ mở và nguyên lý bị
chặn đều.


4

Luận văn được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
tận tình và nghiêm khắc của thầy giáo, TS. Kiều Phương Chi. Tác giả
xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến thầy. Nhân dịp này, tác giả
xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa sau đại học, Ban chủ nhiệm
khoa toán. Tác giả xin được cảm ơn các thầy, cô giáo trong bộ môn Giải
tích, Khoa toán đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt
thời gian học tập. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè,
đặc biệt là các bạn trong lớp Cao học 18 Giải tích đã cộng tác, giúp đỡ
và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi những
hạn chế, thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng
góp của các thầy, cô giáo và bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn.

Nghệ An, tháng 9 năm 2012

Bùi Quang Trung


5

CHƯƠNG 1
KHÔNG GIAN BỊ CHẶN ĐỊA PHƯƠNG

1.1. Một số kiến thức chuẩn bị
Mục này nhắc lại một số kết quả về không gian véctơ tôpô, không gian
định chuẩn, không gian Banach cần dùng về sau. Các kết quả này có thể
tìm thấy trong [1].
1.1.1 Định nghĩa. Cho E là một không gian tuyến tính trên trường K
và M là một không gian con của E. M được gọi là có đối chiều n và ký
hiệu codimM = n, nếu tồn tại không gian con N của E sao cho N có
chiều n và E là tổng trực tiếp của M và N , tức là với mọi x ∈ E tồn tại
duy nhất y ∈ M và z ∈ N sao cho x = y + z.
1.1.2 Định nghĩa. Không gian véctơ tôpô là một không gian véctơ cùng
với một tôpô trên đó sao cho các phép toán cộng và nhân vô hướng là
liên tục.
Tập con U trong không gian véctơ X được gọi là cân nếu αU ⊂ U với
mọi α ∈ K và |α| < 1; tập U được gọi là hút nếu với mọi x ∈ X tồn tại
δ > 0 sao cho αx ∈ U với mọi |α| < δ.
Trong không gian véctơ tôpô luôn tồn tại cơ sở lân cận U của 0 gồm
các tập cân, hút và với mọi U ∈ U tồn tại V ∈ U sao cho V + V ⊂ U .
1.1.3 Định nghĩa. Tập con U của không gian véctơ X được gọi là lồi
nếu với mọi x, y ∈ U , với mọi 0

λ

1, thì λx + (1 − λ)y ∈ U .

Không gian véctơ tôpô được gọi là lồi địa phương nếu nó có cơ sở lân
cận U của 0 gồm các tập lồi.


6

1.1.4 Định nghĩa. Tập con U của không gian véctơ tôpô E được gọi
là bị chặn nếu với mọi lân cận V của 0 tồn tại s > 0 tương ứng sao cho
U ⊂ tV với mọi t > s.
Không gian véctơ tôpô được gọi là bị chặn địa phương nếu nó tồn tại
một lận cận của 0 là tập bị chặn.
Mỗi không gian bị chặn địa phương luôn có cơ sở đếm được các lân
cận của 0 (xem [6]). Mặt khác, nếu không gian véctơ tôpô có cơ sở lân
cận của 0 là đếm được thì nó khả mêtric. Vì vậy, mỗi không gian bị chặn
địa phương là khả mêtric.
1.1.5 Định nghĩa. Không gian véctơ tôpô E được gọi là F -không gian
nếu tồn tại mêtric d bất biến trên E (tức là d(x, y) = d(x + z, y + z) với
mọi x, y, z ∈ E) sao cho (E, d) đầy đủ và mêtric d sinh ra tôpô của E.
Như vậy, mỗi không gian bị chặn địa phương là một F -không gian.
1.1.6 Định nghĩa. Mỗi F -không gian và lồi địa phương được gọi là
không gian Frechet.
1.1.7 Định nghĩa. Cho E là không gian tuyến tính trên trường R. Hàm
. : E → R được gọi là một chuẩn trên E nếu thoả mãn các điều kiện
sau:
1) x

0, với mọi x ∈ E và x = 0 ⇔ x = 0;

2) λx = |λ| x , với mọi λ ∈ R và với mọi x ∈ E;
3) x + y

x + y , với mọi x, y ∈ E. Khi đó (E, . ) được gọi là

một không gian định chuẩn.
Không gian định chuẩn là không gian mêtric với mêtric sinh bởi chuẩn
d(x, y) = x−y , ∀x, y ∈ E. Không gian định chuẩn E được gọi là không
gian Banach nếu E đầy đủ với mêtric sinh bởi chuẩn. Với tôpô sinh bởi
mêtric sinh bởi chuẩn các phép toán cộng và nhân vô hướng trên E là liên
tục. Rõ ràng mỗi không gian định chuẩn là một không gian lồi địa phương


7

1
}, n = 1, 2, ... là
n
cơ sở lân cận gồm các tập lồi, bị chặn của E. Hơn nữa, người ta chứng

và bị chặn địa phương. Bởi vì Bn = {x ∈ E : x <
minh được kết quả quan trọng sau:

1.1.8 Định lý. Không gian véctơ tôpô là khả định chuẩn khi và chỉ khi
nó lồi địa phương và bị chặn địa phương.
Ví dụ sau cho thấy mỗi không gian bị chặn địa phương có thể không
lồi địa phương.
1.1.9 Ví dụ. Xét không gian lp = {x = {xn } ⊂ R :

∞

p
n=1 |xn |

< +∞}

với 0 < p < 1. Khi đó, lp là không gian véctơ với các phép toán cộng và
nhân vô hướng theo số hạng tương ứng của dãy. Hơn nữa, lp là F −không
gian với mêtric bất biến xác định bởi
∞

|xn − yn |p

d(x, y) =
n=1

với mọi x, y ∈ lp . Tuy nhiên lp không phải là không gian lồi địa phương.
Thật vậy, giả sử lp lồi địa phương. Khi đó, tập V = {x ∈ lp : d(x, 0)

1}

chứa lân cận lồi, cân U của 0. Khi đó U lại chứa tập Vε = {x ∈ lp :
d(x, 0)

ε}, với ε > 0 nào đó. Xét dãy {xk } ⊂ lp xác định như sau:
1

xkn = 1 nếu k = n và xkn = 0 nếu k = n. Khi đó, ε p xk ∈ Vε ⊂ U với mọi
k. Do tính lồi của U ta có
1

y = εp

1
s

xk ∈ U
1 k s

với mọi s. Mặt khác d(y, 0) = εs1−p > 1 khi s đủ lớn. Mâu thuẫn với
U ⊂ V . Vậy lp không phải là không gian lồi địa phương.
Tuy nhiên lp là không gian bị chặn địa phương, bởi vì V là lân cận
bị chặn của 0. Thật vậy, với mọi lân cân U của 0, tồn tại ε > 0 sao cho
2
Vε = {x ∈ lp : d(x, 0) ε} ⊂ U . Nếu lấy s = thì rõ ràng V ⊂ tU với
ε
mọi t s.


8

Ví dụ sau lại chứng tỏ mỗi lồi địa phương có thể không bị chặn địa
phương.
1.1.10 Ví dụ. Giả sử R∞ = {x = {xn } : xn ∈ R} là không gian véctơ
các dãy số thực với các phép toán cộng và nhân vô hướng theo số hạng
tương ứng của dãy. Khi đó, R∞ là F −không gian với khoảng cách xác
định bởi

∞

d(x, y) =

với mọi x, y ∈ R∞ . Hơn nữa,

1 |xn − yn |
2n 1 + |xn − yn |

n=1
R∞ là

không gian lồi địa phương với tôpô

lồi địa phương xác định bởi họ đếm được các nửa chuẩn {pn } trên R∞
như sau
pn (x) = |xn |
với mọi x ∈ R∞ . Nói cách khác R∞ là không gian Frechet. Tuy nhiên,

R∞ không phải là không gian bị chặn địa phương. Thật vậy, nếu ngược
lại thì nó là không gian định chuẩn. Khi đó, tồn tại chuẩn trên R∞
sao cho tôpô sinh ra bởi chuẩn trùng với tôpô sinh ra bởi {pn }. Xét
B(0, 1) = {x ∈ R∞ : x < 1}. Khi đó, tồn tại
V = {x ∈ R∞ : pi (x) = |xi | < δ, i ∈ I}
trong đó I là tập hữu hạn sao cho V ⊂ B(0, 1). Lấy x0 = {x0n } ∈ R∞
sao cho x0n = 0 nếu n ∈ I và x0n = 0 với n ∈
/ I. Khi đó, x0 = 0 và suy ra
x0 = r > 0. Với mọi số tự nhiên k do cách xác định của x0 và V ta có
kx0 ∈ V . Do đó kx0 ∈ B(0, 1) với mọi k. Suy ra kx0 = kr < 1 với mọi
k. Ta nhận được sự mâu thuẫn. Vậy R∞ không bị chặn địa phương.
1.2. Không gian bị chặn địa phương
Mục này chúng tôi trình bày những kết quả cơ sở về các không gian bị
chặn địa phương, cụ thể hơn là các không gian tuyến tính p-định chuẩn.
Các kết quả chính của mục này cơ bản được trích ra từ [2].

9

Trong mục này, các không gian véctơ được xét trên trường K = R, C.
1.2.1 Định nghĩa. Một p−chuẩn trên không gian véctơ E là ánh xạ
. : E → R+ thoả mãn các tính chất sau:
i) x = 0 khi và chỉ khi x = 0;
ii) λx = |λ|p x , với mọi λ ∈ K, x ∈ E;
iii) x + y

x + y , với mọi x, y ∈ E.

(E, . ) gọi là không gian tuyến tính p-chuẩn, hay viết gọn là không gian
p-chuẩn, (với 0 < p

1).

1.2.2 Ví dụ. Xét tập R với cấu trúc tuyến tính thực thông thường. Với
0
1 cố định, xét công thức
x = |x|p , ∀x ∈ R.

Khi đó, công thức trên xác định một p chuẩn trên R.
1.2.3 Định nghĩa. Một tựa chuẩn trên không gian véctơ E trên trường

K là ánh xạ . : E → R+ thoả mãn các tính chất sau:
i) x = 0 khi và chỉ khi x = 0;
ii) λx = |λ| x , với mọi λ ∈ K, x ∈ E;

iii) x + y

σ( x + y ), với mọi x, y ∈ E, trong đó σ

1 là hằng

số độc lập với x, y.
Số σ nhỏ nhất để iii) đúng được gọi là hằng số tựa chuẩn của không gian
(E, . ).
1.2.4 Nhận xét. 1) Giả sử (E, . ) là không gian tựa chuẩn. Khi đó, họ
BE (0, ε) = {x ∈ E : x < ε}, ε > 0 là cơ sở lân cận tại 0. Hơn nữa, E
là không gian mêtric tuyến tính, do cơ sở lân cận tại gốc có thể chọn là
đếm được.
2)Nếu . là một p-chuẩn trên E với 0 < p
tựa chuẩn, hơn nữa dp (x, y) = x − y
trên E.

1
p

1 thì .

1
p

xác định một

là mêtric sinh ra tôpô tuyến tính

10

3) Người ta còn chứng minh được rằng: nếu E là không gian bị chặn
địa phương thì tồn tại một p-chuẩn . trên E sao cho dp (x, y) = x−y

1
p

là mêtric sinh ra tôpô tuyến tính trên E. Do đó, mỗi không gian bị chặn
địa phương xác định bởi một p chuẩn nào đó, tức là nó được xem như
một không gian p-định chuẩn.
1.2.5 Định nghĩa. Không gian p−định chuẩn E được gọi là p-Banach
nếu nó đầy đủ với mêtric sinh bởi p-chuẩn.
Như vậy mỗi không gian p-Banach là F -không gian.
1.2.6 Ví dụ. Không gian bị chặn địa phương lp , 0 < p < 1, được xác
định bởi p-chuẩn

∞

|xn |p

x =
n=1

với mọi x ∈ lp .
1.2.7 Mệnh đề. Mỗi p-chuẩn là một hàm thực liên tục.
Chứng minh. Giả sử . là một p−chuẩn trên E. Ta chứng minh bất
đẳng thức sau
| x − y |

x−y

với mọi x, y ∈ E.
Thật vậy, với mọi x, y ∈ E
x = x−y+y

x−y + y .

Suy ra
x − y

x−y .

(1.1)

Mặt khác
y = y −x +x

y −x + x = |−1|p x −y + x = x −y + x .

Suy ra
− x−y

x − y .

(1.2)


11

Từ (1.1) và (1.2) suy ra
| x − y |

x−y .

Bất đẳng thức này chứng tỏ p-chuẩn liên tục.
1.2.8 Định nghĩa. Cho E và F lần lượt các không gian p-chuẩn, không
gian q-chuẩn. ánh xạ A : E → F được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu
A(tx + y) = tA(x) + A(y) với mọi x, y ∈ E và với mọi t ∈ K.
Ví dụ sau cho thấy ánh xạ tuyến tính giữa các không gian p-chuẩn có
thể không liên tục.
1.2.9 Ví dụ. Cho E = C(I, K) là không gian p-chuẩn chứa tất cả các
hàm liên tục trên đoạn I = [0, 1] nhận giá trị trong K, xác định bởi
p-chuẩn (0 < p

1)
f = sup |f (x)|p .
x∈I

Cho F là không gian con của E chứa tất cả các hàm f ∈ E sao cho f có
đạo hàm df liên tục trên I.
Xét ánh xạ D : F → E xác định bởi D(f ) = df với mọi f ∈ F . Khi
đó, dễ thấy D là ánh xạ tuyến tính. Tuy nhiên D không liên tục. Thật
sin nx
, n = 1, 2, ... với mọi
vậy, xét dãy {fn } ∈ F xác định bởi fn (x) =
n
x ∈ I. Ta có
1
1

sin nx p p
1
p
.
fn = sup
n
n
x∈I
Suy ra fn

1
p

→ 0 khi n → ∞. Vì vậy {fn } hội tụ tới 0 trong F . Tuy

nhiên
Dfn (x) = dfn (x) = cos nx,
và do đó
Dfn

1
= sup cos nx
p
x∈I

p

1
p

=1

với mọi n. Ta nhận được Dfn không hội tụ tới 0 trong E. Vậy D không
liên tục.


12

1.2.10 Định nghĩa. Cho E và F lần lượt các không gian p-chuẩn, không
gian q-chuẩn (0 < p, q

1). ánh xạ tuyến tính A : E → F được gọi là

bị chặn trên U ⊂ E nếu tồn tại C > 0 sao cho
A(x)

1
q

C x

1
p

(1.3)

với mọi x ∈ U . Nếu U = E thì ta nói A là ánh xạ tuyến tính bị chặn
trên E.
Bất đẳng thức (1.3), có thể viết lại dưới dạng tương đương
q

A(x)

C1 x p ,

trong đó C1 = C q . Định lý sau đây nói lên sự tương đương của ánh
xạ tuyến tính liên tục và ánh xạ tuyến tính bị chặn trong không gian
p-chuẩn.
1.2.11 Định lý. Cho E và F lần lượt các không gian p-chuẩn, không
gian q-chuẩn (0 < p, q

1) và ánh xạ tuyến tính A : E → F . Khi đó,

các mệnh đề sau là tương đương:
(a) A liên tục;
(b) A liên tục tại 0;
q

M x p , với mọi x ∈ E;

(c) Tồn tại M > 0 sao cho A(x)

(d) A biến mỗi tập bị chặn trong E thành một tập bị chặn trong F .
Chứng minh. Rõ ràng (a) ⇒ (b) và (c) ⇔ (d). Ta chứng minh (b) ⇒ (c).
Nếu A liên tục tại 0. Khi đó, tồn tại r > 0 sao cho BE [0, r] có ảnh qua
1

A nằm trong BF [0, 1]. Khi đó, với x = 0 thì r p
1

A(r p

x
x

1
p

)

1.

Suy ra
q

A(x)

M x p,

x
1
x p

∈ BE [0, r] và do đó


13
p

1 q

. Rõ ràng x = 0 bất đẳng thức trên luôn đúng. Vì
trong đó M =
r
vậy (c) được chứng minh.
Cuối cùng ta chỉ cần chứng minh (c) kéo theo (a). Nếu (c) đúng thì
A(x) − A(y)

M x−y

p
q

với mọi x, y ∈ E. Bất đẳng thức này chứng tỏ A liên tục đều trên E.

1.2.12 Nhận xét. Nếu p = q thì (c) có dạng A(x)

M x tương tự

như trong không gian định chuẩn.
Cho E và F lần lượt các không gian p-chuẩn, không gian q-chuẩn
(0 < p, q

1) và L(E, F ) không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ

E vào F . Khi đó, L(E, F ) là không tuyến tính với các phép toán cộng
và nhân vô hướng theo điểm thông thường.
Với mỗi A ∈ L(E, F ), ta đặt
A = inf M : A(x)

q

p

M x

với mọi x ∈ E .

Theo Định lý 1.2.11, A hoàn toàn xác định và
A(x)

A x

q
p

với mọi x ∈ E. Bổ đề sau cho ta phương pháp xác định chuẩn của ánh
xạ.
1.2.13 Bổ đề. Cho E và F lần lượt các không gian p-chuẩn, không gian
q-chuẩn (0 < p, q
A =

1). Nếu A ∈ L(E, F ) thì

sup
x∈E\{0}

A(x)
x

q
p

=

A(x)

sup
x

x

1,x=0

q
p

Chứng minh. Từ định nghĩa của A , ta có ngay
A =

sup
x∈E\{0}

A(x)
x

q
p

.

= sup

x =1

A(x) .


14

Do tính tuyến tính của A và tính chất của q chuẩn ta có
A =

A(x)

sup

x

x∈E\{0}

x

Nếu ta đặt y =

x

= sup A

q
p

x

x

x=0

.

1
p

với x = 0 thì y = 1. Suy ra

1
p

x

A = sup A

1
p

x

x=0

= sup A(y) .
y =1

Cuối cùng, từ
A(x)

sup
x∈E\{0}

x

A(x)

sup

q
p

x

1,x=0

x

sup

q
p

A(x)

x =1

và đẳng thức trên ta nhận được
A =

sup
x∈E\{0}

A(x)
x

q
p

=

sup
x

A(x)

1,x=0

x

q
p

= sup

A(x) .

x =1

1.2.14 Định lý. L(E, F ) là không gian q-chuẩn với chuẩn được xác định
như trong Bổ đề 1.2.13. Đặc biệt, nếu F là không gian q-Banach thì
L(E, F ) cũng vậy.
Chứng minh. Với mỗi A ∈ L(E, F ) ta có
tA = sup
x =1

tA(x) = sup |t|q A(x) = |t|q sup
x =1

A(x) = |t|q A

x =1

với mọi t ∈ K. Hai điều kiện còn lại của q-chuẩn đối với công thức
A = sup

x =1

A(x) được kiểm tra dễ dàng.

Bây giờ, giả sử F là không gian q-Banach và {An } ⊂ L(E, F ) là dãy
Cauchy. Khi đó, với mỗi x ∈ E, ta có
Am (x) − An (x) = (Am − An )(x)

Am − An

q

x p.

Suy ra {An (x)} là dãy Cauchy trong F . Vì F đầy đủ nên {An (x)} hội
tụ tới y ∈ F . Ta xác định ánh xạ A : E → F xác định bởi A(x) =


15

y = lim An (x). Khi đó, dễ dàng kiểm tra được A là ánh xạ tuyến
n→∞

tính. Từ {An } là dãy Cauchy suy ra { An } là dãy số bị chặn. Do đó
supn

1

An = C < +∞. Ta nhận được

A(x) =

lim An (x)

n→∞

= lim An
n→∞

x

p
q

sup An

x

p
q

p

=C

x q.

Vậy A liên tục.
Với mỗi ε > 0, tồn tại N ∈ N sao cho
Am − An < ε
N . Khi đó, với mỗi x ∈ E ta có

với mọi m, n

(An − A)(x) = lim

m→∞

với mọi n

(An − Am )(x) < ε x

p

q

N . Suy ra An − A < ε với mọi n > N . Do đó {An } hội tụ

tới A trong L(E, F ).
Định lý sau đây trình bày sự mở rộng ánh xạ tuyến tính lên không
gian con đóng.
1.2.15 Định lý. Cho E là không gian p-chuẩn, M là không gian con của
E và F là không gian con q-Banach. Nếu A : M → F là ánh xạ tuyến
tính liên tục thì tồn tại duy nhất một mở rộng tuyến tính liên tục A của
A lên bao đóng M của M sao cho
A = A .
Chứng minh. Dễ dàng chứng minh được bao đóng của M là không gian
con đóng của E. Lấy x ∈ M . Khi đó, tồn tại dãy {xn } ∈ M sao cho
limn→∞ xn = x. Ta có
A(xn ) − A(xm )

A xn − xm

Bởi vì mỗi dãy hội tụ là dãy Cauchy nên xn −xm

q
p

q
p

.

→ 0, khi m, n → ∞.

Suy ra {A(xn )} là dãy Cauchy trong F . Vì F Banach nên limn→∞ A(xn ) =


16

y := A (x). Khi đó A (x) xác định (không phụ thuộc vào dãy {xn }). Thật
vậy, giả sử {un } ⊂ M và limn→∞ un = u. Khi đó,
A(xn ) − A(un )

xn − un

A

q
p

xn − x + x − un

= A

q
p

→0

khi n → ∞. Vì vậy limn→∞ A(xn ) = limn→∞ A(un ) = A (x). Dễ dàng
kiểm tra được A là ánh xạ tuyến tính và rõ ràng A = A trên M .
Tiếp theo ta chứng minh A bị chặn. Bởi vì mỗi q chuẩn là liên tục
nên

A (x) = lim A(xn ) .
n→∞

Mặt khác
A(xn )

A xn

q
p

.

Suy ra
A (x)

A lim xn

q
p

với mọi x ∈ M . Do đó A bị chặn và A
Do đó A

= A

x

q
p

A. Rõ ràng A

A .

= A .

Ta nhận được trực tiếp hệ quả sau.
1.2.16 Hệ quả. Cho E là không gian p-chuẩn, M là không gian con trù
mật trong E và F là không gian con q-Banach. Nếu A : M → F là ánh
xạ tuyến tính liên tục thì tồn tại duy nhất một mở rộng tuyến tính liên
tục A của A lên E sao cho
A = A .
Việc mở rộng tuyến tính liên tục từ một không gian con đóng bất kỳ
lên toàn bộ không gian dường như chưa có câu trả lời đầy đủ. Trường
hợp đặc biệt, nếu F là trường vô hướng K được nghiên cứu trong chương
sau. Mệnh đề sau thuộc về Kondia


17

1.2.17 Mệnh đề. Nếu M là không gian con thật sự và đóng của F-không
gian bị chặn địa phương E thì với mọi ε > 0, tồn tại y ∈ E với y = 1
và x ∈ M sao cho
x−y

1 − ε.

Chứng minh. Lấy y0 ∈ E \ M và đặt d = inf{ y0 − x : x ∈ M }. Khi đó,
d > 0 và với mọi η > 0 tồn tại x0 ∈ M sao cho

x0 − y 0

d
Rõ ràng
y=

d + η.

x 0 − y0
x 0 − y0

1
p

∈
/ M,

bởi nếu ngược lại thì y0 ∈ M . Ta có y = 1 và với mọi
x = x0 + x0 − y0

1
p

x

và x ∈ M ta có
y−x =

x 0 − y0

1 − x
x 0 − y0 p
1
=
y0 − x
x 0 − y0
d
η
=1−
.
d+η
d+η

1
y0 − x
d+η

Vì η tùy ý nên ta chọn được η đủ bé sao cho η < ε. Ta nhận được điều
cần chứng minh.


18

CHƯƠNG 2
VỀ CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH HÀM TRÊN
KHÔNG GIAN BỊ CHẶN ĐỊA PHƯƠNG

Chương này trình bày các định lý cơ bản của giải tích hàm là định lý
Hahn-Banach, định lý ánh xạ mở và nguyên lý bị chặn đều trên không
gian bị chặn địa phương. Các kết quả chính của chương này được trích

ra từ [2].
2.1. Định lý Hahn-Banach
Mục này trình bày một dạng mở rộng phiếm hàm tuyến tính với dữ
liệu dựa trên các hàm nửa tuyến tính kiểu σ (thay bởi hệ dữ liệu nửa
chuẩn hay sơ chuẩn ở dạng cổ điển của định lý Hahn-Banach).
2.1.1 Định nghĩa. Cho E là không gian véctơ trên trường vô hướng K.
Hàm thực không âm q trên E được gọi là nửa tuyến tính kiểu σ nếu nó
thoả mãn:
(i) q(x + y)

σ(q(x) + q(y)), ∀x, y ∈ E,

(ii) q(tx) = tq(x), x ∈ E, t

0, trong đó σ

1. Nếu (ii) thay bởi điều

kiện q(tx) = |t|q(x) với các vô hướng t ∈ K thì ta gọi q là nửa tuyến tính
tuyệt đối kiểu σ.
Định lý sau là một dạng của định lý Hahn-Banach.
2.1.2 Định lý. Cho E là một véctơ thực, M là không gian con của E có
đối chiều n và q là một hàm thực nửa tuyến tính kiểu σ xác định trên E.


19

Giả sử f là một phiếm hàm tuyến tính trên M sao cho
q(x) với mọi x ∈ M.

f (x)

Khi đó, tồn tại mở rộng tuyến tính f˜ xác định trên E sao cho f˜(x) = f (x)
với mọi x ∈ M và
f˜(x)

σ n f (x)q(x)

với mọi x ∈ E. Nếu σ = 1 thì ta nhận được định lý Hahn-Banach cổ
điển.
Chứng minh. Đầu tiên ta giả thiết M có đối chiều 1. Lấy b ∈ E \ M và
gọi M1 là không gian tuyến tính con sinh bởi M ∪ {b}. Ta khẳng định
rằng: tồn tại mở rộng tuyến tính f1 trên M1 sao cho
f1 (x)

σq(x)

với mọi x ∈ M1 . Với mỗi y1 , y2 ∈ M ta có
f (y1 ) − f (y2 ) = f (y1 − y2 )

q(y1 − y2 )

q(y1 + b − y2 − b)

σ[q(y1 + b) + q(−y2 − b)].
Suy ra
− σq(−y2 − b) − f (y2 )

σq(y1 + b) − f (y1 ).

(2.1)

Bây giờ, cố đính y1 và cho y2 chạy khắp M thì sup{−σq(−y2 −b)−f (y2 ) :
y2 ∈ M } tồn tại và ký hiệu nó là α. Tương tự, nếu cố định y2 ∈ M và
cho y1 chạy khắp M thì inf{σq(y1 + b) − f (y1 ) : y1 ∈ M } tồn tại và ký
hiệu nó là β. Khi đó, từ (2.1) suy ra α
α

γ

β. Do đó, tồn tại γ ∈ R sao cho
β.

Khi đó, với mọi y ∈ M ta có
− σq(−y − b) − f (y)

γ

σq(y + b) − f (y).

(2.2)


20

Để ý rằng, mọi phần tử x ∈ M1 luôn được viết dưới dạng duy nhất
x = y + λb, trong đó λ ∈ R và y ∈ M . Do đó, ánh xạ f1 : M1 → R cho
bởi
f1 (x) = f1 (λb + y) = λγ + f (y)
là xác định. Dễ dàng kiểm tra được f1 là tuyến tính trên M1 và f1 = f

trên M . Ta chỉ ra f1 (x)λσq(x) với mọi x ∈ M1 . Thật vậy, giả sử λ > 0.
Khi đó, theo (2.2), ta có
λ + f (y)
Thay y bởi

σq(y + b).

y
trong bất đẳng thức trên ta nhận được
λ
y
y
λ + f ( ) σf ( + b).
λ
λ

Suy ra
λγ + f (y)

σq(y + λb),

tức là
f1 (x)

σq(x).

Nếu λ < 0 thì cũng từ (2.2) suy ra

Thay y bởi

−f (y) − γ

σq(−y − b).

y
−f ( ) − γ
λ

σq(

[f (y) + λγ]
λ

σ
− q(y + λb),
λ

y
ta có
λ
−y
− b).
λ

Suy ra
−
tức là
f1 (x)

σq(x).

Bất đắng thức hiển nhiên đúng với λ = 0. Do đó
f1 (x)

σq(x)


21

với mọi x ∈ M1 .
Nếu codimM = n thì lặp lại quá trình xây dựng trên n lần ta nhận
được mở rộng tuyến tính f˜ thỏa mãn yêu cầu
f˜(x)σ n f = q(x)
với mọi x ∈ E.

2.1.3 Nhận xét. 1) Nếu σ = 1, tức là q là nửa tuyến tính kiểu 1 thì
chúng ta thu được dạng cổ điển của định lý Hahn-Banach. Trường hợp
này, chứng minh có thể thực hiện được mà không cần điều kiện M có
đối chiều hữu hạn bằng phương pháp sử dụng bổ đề Zorn.
2) Nếu M có đối chiều vô hạn và σ > 1 thì quá trình mở rộng sẽ phải
thực hiện vô hạn bước, và vì thế σ n → ∞. Do đó, không thể sử dụng bổ
đề Zorn trong trường hợp này và Kalton đã xây dựng được ví dụ mà định
lý Hahn-Banach không đúng trong F-không gian không lồi địa phương
(xem [2].
Sau đây là dạng phức của Định lý 2.1.2. Nó được chứng minh tương
tự như dạng cổ điển quen thuộc và nhờ vào Định lý 2.1.2.
2.1.4 Định lý. Cho E là một véctơ phức, M là không gian con của E
có đối chiều n và q là một hàm thực nửa tuyến tính tuyệt đối kiểu σ, xác
định trên E. Giả sử f là một phiếm hàm tuyến tính trên M sao cho
|f (x)|

q(x) với mọi x ∈ M.

Khi đó, tồn tại mở rộng tuyến tính f˜ xác định trên E sao cho f˜(x) = f (x)
với mọi x ∈ M và
|f˜(x)|

σ n f (x)q(x)

với mọi x ∈ E. Nếu σ = 1 thì ta nhận được định lý Hahn-Banach cổ
điển.


22

Sau đây, chúng tôi giới thiệu một số hệ quả của định lý Hahn-Banach
trong F -không gian bị chặn địa phương.
2.1.5 Hệ quả. Cho f là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian
con đóng M của F -không gian bị chặn địa phương E sao cho codimM =
n. Khi đó, tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E thỏa mãn f˜ = f
trên M và
f

f˜

M

σn f

E

M.

Nếu σ = 1 thì f = f˜ với mọi không gian con đóng M .
Chứng minh. Trường hợp M = {0} là hiển nhiên đúng. Vì vậy, ta giả
thiết M = {0}. Đặt
q(x) = f

1

M

x p,

với mọi x ∈ E, trong đó E được mêtric hóa bởi . là một p-chuẩn trên
E. Suy ra q là một phiếm hàm nửa tuyến tính tuyệt đối kiểu σ. Từ
|f (x)|

f

M

x

1
p

= q(x),

suy ra ta có thể áp dụng Định lý 2.1.4 và thu được phiếm hàm tuyến

tính f˜ trên E thỏa mãn
|f (x)|

σ n q(x) = σ f

1

M

x p,

với mọi x ∈ E. Từ đó suy ra f˜ liên tục và
f˜

E

σ f

M.

Rõ ràng
f˜

E

˜M = f

M.

Do đó, ta nhận được điều cần chứng minh.

Sau đây là một hệ quả khác của định lý Hahn-Banach, nó còn được
gọi là định lý tách trong không gian bị chặn địa phương.


23

2.1.6 Hệ quả. Cho M là không gian con đóng của F -không gian bị chặn
địa phương E sao cho codimM = n và b ∈ E \ M . Khi đó, tồn tại phiếm
hàm f˜ tuyến tính liên tục trên E thỏa mãn
f˜

1

E

σn,

1
f˜ = trên M và f˜(b) = d p trong đó d = inf{ y − b : y ∈ M }. Đặc biệt,
nếu σ = 1 thì f˜ = 1 với mọi không gian con đóng M .

Chứng minh. Gọi M1 là không gian con sinh bởi M và b. Trên M1 ta xác
định ánh xạ
1

f (x) = f (y + αb) = αd p
với x = y + αb ∈ M1 , y ∈ M và α ∈ K. Dễ thấy, f là ánh xạ tuyến tính.
Bây giờ, từ M đóng suy ra d > 0, và do đó f = 0. Với α = 0 ta nhận
1

được f = 0 trên M . Với α = 1 và b = 0 ta có f (b) = d p . Với α = 0 ta có
y
∈ M . Do đó
−α
1
1
1
1
1
y
|f (x)| = |α|d p = α inf y − b p α − − b p = y + αb p = x p .
α
y∈M
Từ đó suy ra f bị chặn trên M1 và f
minh f

1. Tiếp theo ta chứng

M1

1. Thật vậy, theo tính chất của cận dưới đúng tồn tại

M1

dãy {yn } ∈ M sao cho yn − b → d. Đặt xn = yn − b. Khi đó f (xn ) =
1

f (yn − b) = −d p . Ta có
f

M1

= sup
x∈M1

|f (x)|
x

|f (xn )|

1
p

xn

1
p

1

=

1

dp
x

1
p

→

dp
d

1
p

=1

khi n → ∞. Do đó f = 1. Theo Hệ quả 2.1.5, ta có thể mở rộng tuyến
tính liên tục f tới f˜ trên E sao cho
f

M

f˜

E

σn f

1

f˜

E

σn.

tức là

Chứng minh kết thúc.

M


24

2.2. Định lý ánh xạ mở
Mục này trình bày định lý ánh xạ mở đối với F-không gian bị chặn
địa phương. Trước hết ta nhắc lại đại lý Baire về phạm trù.
2.2.1 Định lý. (Baire) Mọi không gian mêtric đầy đủ thuộc phạm trù
thứ hai, tức là nó không thể biểu diễn được dưới dạng hợp đếm được các
tập đóng có phần trong rỗng.
Bởi vì F -không gian là không gian mêtric tuyến tính đầy đủ nên chúng
thuộc phạm trù thứ hai.
2.2.2 Định lý. Cho E và F lần lượt là các p-Banach không gian và qBanach. Nếu A ∈ L(E, F ) và A là toàn ánh thì A là ánh xạ mở, tức là
A biến mỗi tập mở trong E thành tập mở trong F .
Chứng minh. Với mỗi n = 1, 2, .. đặt
Bn = {x ∈ E : x <

1
1
}
=
B
(0,
)
E

2n
2n

và
Sn = A(Bn ) = A BE (0,

1
) .
2n

Từ E = ∪n 1 nB1 và A là toàn ánh suy ra
F = ∪n 1 nS1 = ∪n 1 nS 1 .
Theo định lý Baire, tồn tại k sao cho kS 1 có phần trong khác rỗng. Do
đó, tồn tại ξ ∈ F và a > 0 thỏa mãn BF (ξ, a) ⊂ kS 1 . Vì ánh xạ y → ky
là đồng phôi nên S 1 chứa hình cầu mở BF (η, r) với r > 0 và η ∈ S 1 . Khi
đó
BF (0, r) ⊂ S 1 − η ⊂ S 1 − S 1 ⊂ 21q = S 0 ,
1

trong đó S0 = 2 q S1 . Suy ra BF (0, r) ⊂ S 0 và
−1
r
2 q BF (0, ) ⊂ S 1
2


25

bởi vì
1

BF (0, r) = r q BF (0, 1).
Bây giờ ta chứng minh bằng quy nạp
BF (0,

r

) ⊂ S n.

2n+q

(2.3)

với mọi n. Thật vây, giả thiết quy nạp đúng với n = 1. Giả sử
BF (0,

r

) ⊂ S n.

2n+q

Khi đó, nếu
y ∈ BF (0,

r

r

2

)=
n+1+q

1
q

2n+1+q

r
thì tồn tại z ∈ BF (0, 2n+q
) sao cho y =

BF (0,
nên tồn tại x ∈ B(0,

r
2n+q

1
1 z.
2q

BF (0,

r
2n+q

)

) ⊂ Sn

1
) sao cho z = Ax. Từ đó suy ra
2n
1

1

2q

2q

2n+1

1 Ax = A[

1 x] ∈ A B(0,

Tiếp theo, nếu y ∈ F và y
x1 ∈ B1 thỏa mãn

2

1
q

Mặt khác, vì

1

y=

1

BF (0, 1) =

<

) ⊂ S n+1 .

r
thì từ y ∈ S 1 và (2.3), tồn tại
2

y − A(x1 ) <

r

.
22+q
Khi đó y − A(x1 ) ∈ S 2 , vì thế tồn tại x2 ∈ B2 sao cho
y − A(x1 ) − A(x2 ) <

r
23+q

.

Tiếp tục quá trình trên ta nhận được xn ∈ Bn sao cho

y − A(x1 ) − A(x2 ) − ... − A(xn ) <

r
2n+1+q

.


26

Từ

∞
n=1

xn <

∞
n=1

thuộc x ∈ BE (0, 1) và

1
= 1, suy ra chuỗi
2n

∞
n=1 xn

hội tụ tới điểm

∞

A(x) = A(

xn ) = y.
n=1

r
Do đó y ∈ S0 . Suy ra BF (0, ) ⊂ S0 . Tương tự, ta có
2
BF (0,

r
2n+q+1

) ⊂ Sn

(2.4)

Bây giờ, ta chứng minh A là ánh xạ mở. Cho U là tập mở tùy ý của E.
Khi đó, với mọi x ∈ U và y = A(x), tồn tại n sao cho x + Bn ⊂ U . Suy
ra
y + Sn ⊂ A(U ).
Từ Sn chứa lân cận của 0 (do (2.4)) suy ra A(U ) là lân cận mở của y.
Do đó A(U ) mở.
2.2.3 Hệ quả. (Banach) Cho E và F lần lượt là các p-Banach không
gian và q-Banach. Nếu f ∈ L(E, F ) và f là song ánh thì f là một đồng
phôi.
Chứng minh. Theo định lý ánh xạ mở thì A−1 liên tục. Do đó, A là đồng

phôi.
2.3. Nguyên lý bị chặn đều
Cho E, F là các F -không gian bị chặn địa phương. Nếu B ⊂ L(E, F )
bị chặn, tức là tồn tại M > 0 sao cho
sup{ A : A ∈ B}

M.

Khi đó, với mọi x ∈ E tồn tại Mx > 0 sao cho
sup{ A : A(x) ∈ B}

Mx .