Về dạng định lý cơ bản thứ hai kiểu cartan cho các đường cong chỉnh hình

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM





NGUYỄN TRƯỜNG GIANG




VỀ DẠNG ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI KIỂU
CARTAN CHO CÁC ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH





LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC



THÁI NGUYÊN – 2008
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM



NGUYỄN TRƯỜNG GIANG

VỀ DẠNG ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI KIỂU CARTAN
CHO CÁC ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH


Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC




Người hướng dẫn khoa học:
TS. TẠ THỊ HOÀI AN



THÁI NGUYÊN – 2008
▼ö❝ ❧ö❝
▼ð ✤➛✉ ✷
✶ ▲þ t❤✉②➳t ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ❝❤♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✻
✶✳✶ ❍➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻
✶✳✷ ▲þ t❤✉②➳t ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ❝❤♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽
✶✳✷✳✶ ❈→❝ ❤➔♠ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ❝❤♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✳ ✳ ✳ ✽
✶✳✷✳✷ ▼ët sè ✈➼ ❞ö ✈➲ ❝→❝ ❤➔♠ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵
✶✳✷✳✸ ▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ✳ ✳ ✶✸
✶✳✷✳✹ ✣à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥ t❤ù ♥❤➜t ❝õ❛ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ✳ ✳ ✳ ✶✹
✶✳✷✳✺ ✣à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥ t❤ù ❤❛✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺

✷ ✣à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥ t❤ù ❤❛✐ ❦✐➸✉ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛✲❈❛rt❛♥ ❝❤♦
❝→❝ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ✷✸
✷✳✶ ❈→❝ ❤➔♠ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛✲❈❛rt❛♥ ❝❤♦ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ✷✸
✷✳✷ ✣à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥ t❤ù ❤❛✐ ❝❤♦ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ❝➢t
❝→❝ s✐➯✉ ♠➦t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✻
✷✳✷✳✶ ▼ët sè ❜ê ✤➲ q✉❛♥ trå♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✻
✷✳✷✳✷ ✣à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥ t❤ù ❤❛✐ ❝❤♦ ❝→❝ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣
❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾
✶

ỵ tt ố tr ừ ữủ ởt
tr ỳ t tỹ s s ừ t ồ tr t
ữỡ ữủ t tứ ỳ ừ ừ t ỵ
tt õ ỗ ố tứ ỳ ổ tr ừ r
r õ ự ử tr ỹ
ừ t ồ ỵ tt ố tr ờ sỹ tờ qt õ
ỵ ỡ ừ số ỡ ỵ tt ự sỹ
ố tr ừ tứ C C{} r t
ừ ỵ tt ỗ ỵ ỡ ừ ỵ ỡ
tự t ởt t ừ ổ tự Pss s
ỵ õ r trữ T (r, a, f) ổ ử tở
a t s ởt ữủ tr õ a ởt số ự
tũ ỵ ỵ ỡ tự t ỳ t q t s
s t ừ ỵ tt ố tr ỵ ữ r ố q
ỳ trữ
rt ự ỵ s
f : C P
n
(C) ữớ ổ s
t t H

i
i = 1, ..., q s tr tờ qt ợ

♠é✐ ε > 0 t❛ ❝â
q

j=1
m(r, H
j
, f) ≤ (n + 1 + ε)T (r, f),
tr♦♥❣ ✤â ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤ó♥❣ ✈î✐ ♠å✐ r > 0 ♥➡♠ ♥❣♦➔✐ ♠ët t➟♣ ❝â ✤ë
✤♦ ▲❡❜❡s❣✉❡ ❤ú✉ ❤↕♥✳
❑➳t q✉↔ tr➯♥ ❝õ❛ ❍✳ ❈❛rt❛♥ ❧➔ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ✤➛✉ t✐➯♥ ✈➲ ♠ð rë♥❣ ❧þ
t❤✉②➳t ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ❝❤♦ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤✳ ❙û ❞ö♥❣ ❦➳t q✉↔ ✤â
æ♥❣ ✤➣ ✤÷❛ r❛ ❝→❝ ÷î❝ ❧÷ñ♥❣ sè ❦❤✉②➳t ❝❤♦ ❝→❝ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤➾♥❤
❤➻♥❤ ❣✐❛♦ ✈î✐ ❝→❝ s✐➯✉ ♣❤➥♥❣ ð ✈à tr➼ tê♥❣ q✉→t✳ ❈æ♥❣ tr➻♥❤ ♥➔② ❝õ❛
æ♥❣ ✤➣ ✤÷ñ❝ ✤→♥❤ ❣✐→ ❧➔ ❤➳t sù❝ q✉❛♥ trå♥❣ ✈➔ ♠ð r❛ ♠ët ❤÷î♥❣
♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠î✐ ❝❤♦ ✈✐➺❝ ♣❤→t tr✐➸♥ ❧þ t❤✉②➳t ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛✳ ❇ð✐ ✈➟②✱
❧þ t❤✉②➳t ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ❝❤♦ ❝→❝ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ s❛✉ ♥➔② ✤÷ñ❝
♠❛♥❣ t➯♥ ❤❛✐ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ♥ê✐ t✐➳♥❣ ❝õ❛ t❤➳ ❦✛ ✷✵✱ ✤â ❧➔ ✏▲þ t❤✉②➳t
◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ✲ ❈❛rt❛♥✧✳
◆❤ú♥❣ ♥➠♠ ❣➛♥ ✤➙②✱ ✈✐➺❝ ♠ð rë♥❣ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❈❛rt❛♥ ❝❤♦ tr÷í♥❣
❤ñ♣ ❝→❝ s✐➯✉ ♠➦t t❤✉ ❤ót ✤÷ñ❝ sü ❝❤ó þ ❝õ❛ ♥❤✐➲✉ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝✳ ◆➠♠
✷✵✵✹✱ ▼✳ ❘✉ ❬✶✷❪ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❣✐↔ t❤✉②➳t ❝õ❛ ❇✳ ❙❤✐❢❢♠❛♥ ❬✶✹❪ ✤➦t r❛
✈➔♦ ♥➠♠ ✶✾✼✾✳ ❈ö t❤➸✱ æ♥❣ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣✿ ❈❤♦ f : C → P
n
(C)
❧➔ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ❦❤æ♥❣ s✉② ❜✐➳♥ ✤↕✐ sè✱ D
j
, j = 1, ..., q, ❧➔

❝→❝ s✐➯✉ ♠➦t ❜➟❝ d
j
ð ✈à tr➼ tê♥❣ q✉→t✳ ❑❤✐ ✤â
(q − (n + 1) − ε)T (r, f) ≤
q

j=1
d
−1
j
N (r, D
j
, f) + o(T (r, f)),
tr♦♥❣ ✤â ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ ✤ó♥❣ ✈î✐ ♠å✐ r ✤õ ❧î♥ ♥➡♠ ♥❣♦➔✐ ♠ët
t➟♣ ❝â ✤ë ✤♦ ▲❡❜❡s❣✉❡ ❤ú✉ ❤↕♥✳ ❑➳t q✉↔ tr➯♥ ✤➣ ✤÷ñ❝ ◗✳ ❨❛♥ ✈➔
✸
rở trữớ ủ t ở
ỏ ồ ửt t q ữủ t ữ s
sỷ f : C P
n
(C) ởt ổ s
số D
j
1 j q q s t tr P
n
(C) õ d
j
tữỡ
ự tr tờ qt õ ợ ộ > 0 tỗ t ởt số
ữỡ M s

q (n + 1) )T (r, f)
q

j=1
d
1
j
N
M
(r, D
j
, f) + o (T(r, f)) ,
tr õ t tự tr ú ợ ồ r ừ ợ ởt
t õ ở s ỳ
ự sỹ tỗ t ừ
tổ q ữủ ừ s t ữớ t tữớ sỷ ử
ỵ ỡ tự rt tổ q t
ở r ỵ rt ỏ t
t t s ừ ữớ
ử t ừ tr t q ữủ
ữ r ừ ợ ổ ử ự ừ
ỵ tt rt tứ C
P
n
(C).
ữủ t ữỡ ũ ợ t
ử t t
ữỡ tr ởt số tự ỡ s
t t ừ r ự
ỵ ỡ tự ừ

ữỡ tr ự ởt ỵ ỡ tự

❝❤♦ →♥❤ ①↕ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ❝➢t ❝→❝ s✐➯✉ ♠➦t ð ✈à tr➼ tê♥❣ q✉→t✳ ❈❤÷ì♥❣
♥➔② ✤÷ñ❝ ✈✐➳t ❞ü❛ tr➯♥ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ❝õ❛ ◗✳ ❨❛♥✱ ❩✳ ❈❤❡♥ ❬✹❪✳
▲✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷ñ❝ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❞÷î✐ sü ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❝õ❛
❚❙✳ ❚↕ ❚❤à ❍♦➔✐ ❆♥✳ ❚→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤
✤➳♥ ❚❙ ✈➲ sü ❣✐ó♣ ✤ï ❦❤♦❛ ❤å❝ ♠➔ ❚❙ ✤➣ ❞➔♥❤ ❝❤♦ t→❝ ❣✐↔ ✈➔ ✤➣ t↕♦
♥❤ú♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t❤✉➟♥ ❧ñ✐ ♥❤➜t ✤➸ t→❝ ❣✐↔ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳
❚→❝ ❣✐↔ ①✐♥ tr➙♥ trå♥❣ ❝↔♠ ì♥ ❝→❝ t❤➛② ❝æ ❣✐→♦ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝
❙÷ ♣❤↕♠ t❤✉ë❝ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ ✤➦❝ ❜✐➺t ❧➔ ❚❤➔② ❍➔ ❚r➛♥
P❤÷ì♥❣ ✈➔ ❝→❝ t❤➛② ❝æ ❣✐→♦ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐ ✈➔ ❝→❝
t❤➛② ❝æ ❣✐→♦ ❱✐➺♥ ❚♦→♥ ❤å❝ ✤➣ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ✈➔ ❣✐ó♣ ✤ï t→❝ ❣✐↔ ❤♦➔♥
t❤➔♥❤ ❦❤â❛ ❤å❝ ✈➔ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳
❚→❝ ❣✐↔ ❝ô♥❣ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ❇❛♥ ●✐→♠ ❤✐➺✉ tr÷í♥❣ ❈❛♦
✤➥♥❣ ❈æ♥❣ ♥❣❤➺ ✈➔ ❑✐♥❤ t➳ ❈æ♥❣ ♥❣❤✐➺♣✱ ❣✐❛ ✤➻♥❤✱ ❜↕♥ ❜➧ ✤➣ t↕♦
♠å✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t❤✉➟♥ ❧ñ✐ ♥❤➜t ❝❤♦ t→❝ ❣✐↔ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣✳
✺
ữỡ
ỵ tt

r ữỡ ú tổ ởt số tự ỡ s
ữủ sỷ ử tr s tự ừ ữỡ
ữủ tr tứ

D ởt tr t ự C
f(z) = u(x, y) + iv(x, y) ữủ ồ C t z
0
C tỗ
t ợ ỳ lim
h0

f(z
0
+ h) f(z
0
)
h

tr õ ữủ ồ ự ừ f(z) t z
0

f(z) ữủ ồ C tr D õ C t ồ
z
0
D.
f(z) ữủ ồ t z
0
C
õ C tr ởt õ ừ z
0

f(z) ữủ ồ tr D õ t ồ

✤✐➸♠ z t❤✉ë❝ D✳
❚➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr➯♥ ♠✐➲♥ D✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ H(D)✳
✶✳✶✳✸ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ❍➔♠ f(z) ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr♦♥❣ t♦➔♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣
♣❤ù❝ C ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ ♥❣✉②➯♥✳
✶✳✶✳✹ ✣à♥❤ ❧þ✳ ❍➔♠ f(z) = u(x, y) + iv(x, y) ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr➯♥ D ♥➳✉
❝→❝ ❤➔♠ u(x, y) ✈➔ v(x, y) ❧➔ R
2
✲ ❦❤↔ ✈✐ tr➯♥ D ✈➔ tr➯♥ ✤â ❝→❝ ❤➔♠

u(x, y)✱ v(x, y) t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❈❛✉❝❤② ✲ ❘✐❡♠❛♥♥✱ tù❝ ❧➔
∂u
∂x
=
∂v
∂y
,
∂u
∂y
= −
∂v
∂x
, ∀ (x, y) ∈ D.
✶✳✶✳✺ ✣à♥❤ ❧þ✳ ●✐↔ sû f(z) ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr♦♥❣ ♠✐➲♥ ❤ú✉
❤↕♥ D ⊂ C✳ ❑❤✐ ✤â tr♦♥❣ ♠é✐ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ ♠é✐ ✤✐➸♠ z ∈ D✱ ❤➔♠
f(z) ✤÷ñ❝ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ t❤➔♥❤ ❝❤✉é✐
f(z) = f(z
0
) +
(z − z
0
)
1!
f

(z
0
) +
(z − z
0

)
2
2!
f

(z
0
) + . . . ✭✶✳✶✮
❍ì♥ ♥ú❛✱ ❝❤✉é✐ tr➯♥ ❤ë✐ tö ✤➲✉ ✤➳♥ ❤➔♠ f(z) tr♦♥❣ ❤➻♥❤ trá♥
|z − z
0
| ≤ ρ tò② þ ♥➡♠ tr♦♥❣ D.
❈❤✉é✐ ✭✶✳✶✮ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝❤✉é✐ ❚❛②❧♦ ❝õ❛ ❤➔♠ f(z) tr♦♥❣ ❧➙♥ ❝➟♥
❝õ❛ ✤✐➸♠ z
0
.
✶✳✶✳✻ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ✣✐➸♠ z
0
∈ C ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❜➟❝ m > 0
✭❤❛② ❦❤æ♥❣✲✤✐➸♠ ❝➜♣ m > 0✮ ❝õ❛ ❤➔♠ f(z) ♥➳✉ f
(n)
(z
0
) = 0, ❝❤♦
♠å✐ n = 1,..., m − 1 ✈➔ f
(m)
(z
0
) = 0.
✶✳✶✳✼ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ❍➔♠ f(z) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr♦♥❣

D ⊂ C ♥➳✉ f =
g
h
tr♦♥❣ ✤â g, h ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr♦♥❣ D.
✼
◆➳✉ D = C t❤➻ t❛ ♥â✐ f(z) ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr➯♥ C ❤❛② ✤ì♥ ❣✐↔♥ ❧➔ f(z)
❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤✳
✶✳✶✳✽ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ✣✐➸♠ z
0
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝ü❝ ✤✐➸♠ ❝➜♣
m > 0 ❝õ❛ ❤➔♠ f(z) ♥➳✉ tr♦♥❣ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ z
0
❤➔♠ f(z) =
1
(z − z
0
)
m
.h(z)✱
tr♦♥❣ ✤â h(z) ❧➔ ❤➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr♦♥❣ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ z
0
✈➔ h(z
0
) = 0✳
✶✳✶✳✾ ✣à♥❤ ❧þ ✭❈æ♥❣ t❤ù❝ P♦✐✐s♦♥ ✲ ❏❡♥s❡♥✮✳ ●✐↔ sû f(z) ≡ 0 ❧➔
♠ët ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ trá♥ {|z| ≤ R} ✈î✐ 0 < R < ∞✳ ●✐↔
sû a
µ
✱ µ = 1, ..., M, ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❦➸ ❝↔ ❜ë✐✱ b
ν

, ν = 1, 2, ..., N,
❧➔ ❝→❝ ❝ü❝ ✤✐➸♠ ❝õ❛ f tr♦♥❣ ❤➻♥❤ trá♥ ✤â✱ ❝ô♥❣ ❦➸ ❝↔ ❜ë✐✳ ❑❤✐ ✤â✱
♥➳✉ z = re
iθ
(0 < r < R), f(z) = 0, f(z) = ∞ t❤➻
log |f(z)| =
1
2π
2π

0
log


f(Re
iφ
)


R
2
− r
2
R
2
− 2Rr cos(θ − φ) + r
2
dφ
+
M


µ=1
log




R(z − a
µ
)
R
2
− a
µ
z




−
N

ν=1
log




R(z − b
ν

)
R
2
− b
ν
z




.
✭✶✳✷✮
✶✳✷ ▲þ t❤✉②➳t ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ❝❤♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤
✶✳✷✳✶ ❈→❝ ❤➔♠ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ❝❤♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤
●✐↔ sû f ❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr♦♥❣ ✤➽❛ ❜→♥ ❦➼♥❤ R ✈➔ r < R✳
❑þ ❤✐➺✉ n(r, ∞, f) ✭t÷ì♥❣ ù♥❣✱ n(r, ∞, f), ❧➔ sè ❝→❝ ❝ü❝ ✤✐➸♠ t➼♥❤
❝↔ ❜ë✐✱ ✭t÷ì♥❣ ù♥❣✱ ❦❤æ♥❣ t➼♥❤ ❜ë✐✮✮✱ ❝õ❛ ❤➔♠ f tr♦♥❣ ✤➽❛ ✤â♥❣ ❜→♥
❦➼♥❤ r. ●✐↔ sû a ∈ C✱ t❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛
n(r, a, f) = n

r, ∞,
1
f − a

,
✽
n(r, a, f) = n

r, ∞,
1

f − a

.
✶✳✷✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ❍➔♠ ✤➳♠ t➼♥❤ ❝↔ ❜ë✐ N(r, a, f), ✭t÷ì♥❣ ù♥❣✱
❦❤æ♥❣ t➼♥❤ ❜ë✐ N(r, a, f)✮✱ ❝õ❛ ❤➔♠ f t↕✐ ❣✐→ trà a ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛
♥❤÷ s❛✉
N(r, a, f) = n(0, a, f) log r +

r
0

n(t, a, f) − n(0, a, f)

dt
t
,
✭t÷ì♥❣ ù♥❣✱
N(r, a, f) = n(0, a, f) log r +

r
0

n(t, a, f) − n(0, a, f)

dt
t
).
❱➻ t❤➳✱ ♥➳✉ a = 0 t❛ ❝â
N(r, 0, f) = (♦r❞
+

0
f) log r +

z∈D(r)
z=0
(♦r❞
+
z
f) log |
r
z
|,
tr♦♥❣ ✤â D(r) ❧➔ ✤➽❛ ❜→♥ ❦➼♥❤ r ✈➔ ♦r❞
+
z
f = max{0, ♦r❞
z
f} ❧➔ ❜ë✐
❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠✳
✶✳✷✳✷ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ❍➔♠ ①➜♣ ①➾ m(r, a, f) ❝õ❛ ❤➔♠ f t↕✐ ❣✐→ trà
a ∈ C ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥❤÷ s❛✉
m(r, a, f) =

2π
0
log
+




1
f(re
iθ
) − a



dθ
2π
,
✈➔
m(r, ∞, f) =

2π
0
log
+
| f(re
iθ
) |
dθ
2π
,
tr♦♥❣ ✤â log
+
x = max{0, log x}.
❍➔♠ m
f
(r, ∞) ✤♦ ✤ë ❧î♥ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ❝õ❛ log |f| tr➯♥ ✤÷í♥❣ trá♥
|z| = r✳

✾
✶✳✷✳✸ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ❍➔♠ ✤➦❝ tr÷♥❣ T(r, a, f) ❝õ❛ ❤➔♠ f t↕✐ ❣✐→ trà
a ∈ C ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥❤÷ s❛✉
T (r, a, f) = m(r, a, f) + N
f
(r, a, f),
T (r, f) = m(r, ∞, f) + N(r, ∞, f). ✭✶✳✸✮
❳➨t ✈➲ ♠➦t ♥➔♦ ✤â✱ ❤➔♠ ✤➦❝ tr÷♥❣ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ✤è✐ ✈î✐ ❧þ t❤✉②➳t
❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❝â ✈❛✐ trá t÷ì♥❣ tü ♥❤÷ ❜➟❝ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ tr♦♥❣ ❧þ
t❤✉②➳t ✤❛ t❤ù❝✳ ❚ø ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❤➔♠ ✤➦❝ tr÷♥❣ t❛ ❝â
T (r, a, f) ≥ N(r, a, f) + O(1),
tr♦♥❣ ✤â O(1) ❧➔ ✤↕✐ ❧÷ñ♥❣ ❜à ❝❤➦♥ ❦❤✐ r → ∞ ✳
❱î✐ ❝→❝❤ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥➔② t❤➻ ❝æ♥❣ t❤ù❝ P♦✐✐s♦♥✲❏❡♥s❡♥ ✭✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✾✮
✤÷ñ❝ ✈✐➳t ❧↕✐ ♥❤÷ s❛✉
T (r, f) = T (r, a, f) + log |f(0)|. ✭✶✳✹✮
✶✳✷✳✷ ▼ët sè ✈➼ ❞ö ✈➲ ❝→❝ ❤➔♠ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛
✶✳✷✳✹ ❱➼ ❞ö✳ ❳➨t ❤➔♠ ❤ú✉ t➾
f(z) = c
z
p
+ ... + a
p
z
q
+ ... + b
p
,
tr♦♥❣ ✤â c = 0.
✣➛✉ t✐➯♥ ❣✐↔ sû p > q✳ ❑❤✐ ✤â f(z) → ∞✱ ❦❤✐ z → ∞✳ ◆❤÷ ✈➟②
m(r, a, f) = 0(1) ❦❤✐ z → ∞ ❝❤♦ a ❤ú✉ ❤↕♥✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ f(z) = a

❝â p ♥❣❤✐➺♠ t➼♥❤ ❝↔ ❜ë✐✱ ❞♦ ✤â
N(r, a, f) =
r

a
n(t, a)
dt
t
= p log r + O(1)
✶✵
❦❤✐ r → ∞. ◆❤÷ ✈➟②✱
T (r, f) = p log r + O(1),
✈➔ N(r, a, f) = p log r + O(1), m(r, a) = O(1) ✈î✐ a = ∞. P❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ f(z) = ∞ ❝â q ♥❣❤✐➺♠✱ ✈➻ t❤➳
N(r, ∞, f) = q log r + O(1),
✈➔ ❜ð✐ ✣à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥ t❤ù ♥❤➜t
m(r, ∞, f) = (p − q) log r + O(1).
◆➳✉ p < q✱ t❤➻ t÷ì♥❣ tü t❛ ❝â
T (r, f) = q log r + O(1), N(r, a, f) = q log r + O(1),
m(r, a, f) = O(1), ✈î✐ a = 0.
❑❤✐ a = 0✱
N(r, 0, f) = p log r + O(1), m(r, a, f) = (q − p) log r + O(1).
❈✉è✐ ❝ò♥❣✱ ♥➳✉ p = q,
T (r, f) = q log r + O(1),
✈➔ N(r, a) = q log r + O(1), ✈î✐ a = c. ❍ì♥ ♥ú❛✱ ♥➳✉ ❦þ ❤✐➺✉ k ❧➔ ❜➟❝
tr✐➺t t✐➯✉ ❝õ❛ f − c t↕✐ ∞✱ ❦❤✐ ✤â
m(r, c, f) = k log r + O(1), N(r, c, f) = (q − k) log r + O(1).
❱➟② tr♦♥❣ ♠å✐ tr÷í♥❣ ❤ñ♣
T (r, f) = d log r + O(1),
tr♦♥❣ ✤â d = max(p, q).

✶✶
✶✳✷✳✺ ❱➼ ❞ö✳ ❳➨t ❤➔♠ f(z) = e
z
.
❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ♥➔②✱
m(r, f) =
2π

0
log
+



e
re
iθ



dθ
2π
=
π
2

−
π
2
r cos θ

dθ
2π
=
r
π
.
❉♦ f ❧➔ ❤➔♠ ♥❣✉②➯♥ ♥➯♥ N(r, ∞, f) = 0 ✈➔ ❞♦ ✤â T (r, f) = r/π.
❱î✐ a = 0, ∞, t❤➻ f(z) = a ❝â ♥❣❤✐➺♠ ✈î✐ ❝❤✉ ❦ý 2πi✳ ❉♦ ✈➟②✱ ❝â
2t
2π
♥❣❤✐➺♠ tr♦♥❣ ✤➽❛ ❝â ❜→♥ ❦➼♥❤ t, ✈➔ ❞♦ ✤â
N(r, a, f) =
r

o
t
π
dt
t
+ O(log r) =
r
π
+ O(log r).
❉♦ ✈➟②✱ m(r, a, f) = O(log r).
✶✳✷✳✻ ❱➼ ❞ö✳ ❳➨t ❤➔♠ sin z ✈➔ ❤➔♠ cos z✳
❱î✐ ♠å✐ a ❤ú✉ ❤↕♥
N(r, a, sin z) + O(1) = N(r, a, cos z) + O(1) =
2r
π
+ O(1).

❚ø sin z ✈➔ cos z ✤÷ñ❝ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❜➡♥❣ tê ❤ñ♣ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝õ❛ e
iz
✈➔
e
−iz
✱ t❛ ❝â
T (r, sin z) + O(1) = T(r, cos z) + O(1) ≤
2r
π
+ O(1).
✣✐➲✉ ♥➔② ❦➨♦ t❤❡♦
T (r, sin z) + O(1) = T(r, cos z) + O(1) =
2r
π
+ O(1)
✈➔
m(r, a, sin z) + O(1) = m(r, a, cos z) + O(1) = O(1).
✶✷
✶✳✷✳✸ ▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛
❈❤ó♥❣ t❛ t✐➳♣ tö❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ✤ì♥ ❣✐↔♥ ❝õ❛ ❝→❝
❤➔♠ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛✳ ❈❤ó þ r➡♥❣ ♥➳✉ a
1
, a
2
, ..., a
p
❧➔ ❝→❝ sè ♣❤ù❝ t❤➻
log
+





p

ν=1
a
ν




≤
p

ν=1
log
+
|a
ν
| ✈➔
log
+





p


ν=1
a
ν





≤ log
+

p max
ν=1,..,p
|a
ν
|

≤
q

ν=1
log
+
|a
ν
| + log p✳
⑩♣ ❞ö♥❣ ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ ❝❤♦ p ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ f
1
(z), f
2

(z), ..., f
p
(z)
✈➔ sû ❞ö♥❣ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛✱ ❝❤ó♥❣ t❛ t❤✉ ✤÷ñ❝
❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ s❛✉
✶✳ m

r,
p

ν=1
f
ν
(z)

≤
p

ν=1
m (r, f
ν
(z)) + log p✳
✷✳ m

r,
p

ν=1
f
ν

(z)

≤
p

ν=1
m (r, f
ν
(z))✳
✸✳ N

r,
p

ν=1
f
ν
(z)

≤
p

ν=1
N (r, f
ν
(z))✳
✹✳ N

r,
p


ν=1
f
ν
(z)

≤
p

ν=1
N (r, f
ν
(z)).
❙û ❞ö♥❣ ✭✶✳✸✮ t❛ t❤✉ ✤÷ñ❝
✺✳ T

r,
p

ν=1
f
ν
(z)

≤
p

ν=1
T (r, f
ν

(z)) + log p.
✻✳ T

r,
p

ν=1
f
ν
(z)

≤
p

ν=1
T (r, f
ν
(z)).
❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ✤➦❝ ❜✐➺t ❦❤✐ p = 2✱ f
1
(x) = f(z), f
2
(z) = a✭a ❧➔
❤➡♥❣ sè✮✱ t❛ s✉② r❛ T (r, f + a) ≤ T(r, f) + log
+
|a| + log 2✳ ❱➔ tø ✤â
✶✸
❝❤ó♥❣ t❛ ❝â t❤➸ t❤❛② t❤➳ f + a, f ❜ð✐ f, f − a ✈➔ a ❜ð✐ −a✱ s✉② r❛
|T (r, f) − T (r, f − a)| ≤ log
+

|a| + log 2. ✭✶✳✺✮
✶✳✷✳✹ ✣à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥ t❤ù ♥❤➜t ❝õ❛ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛
✶✳✷✳✼ ✣à♥❤ ❧þ✳ ●✐↔ sû f ❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤✱ a ❧➔ ♠ët sè ♣❤ù❝ tò② þ✳
❑❤✐ ✤â t❛ ❝â
m

r,
1
f − a

+ N

r,
1
f − a

= T (r, f) − log |f(0) − a| + ε(a, r),
tr♦♥❣ ✤â |ε(a, r)| ≤ log
+
|a| + log 2.
❚❛ t❤÷í♥❣ ❞ò♥❣ ✤à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥ t❤ù ♥❤➜t ❞÷î✐ ❞↕♥❣
m

r,
1
f − a

+ N

r,

1
f − a

= T (r, f) + O(1),
tr♦♥❣ ✤â ❖✭✶✮ ❧➔ ♠ët ✤↕✐ ❧÷ñ♥❣ ❣✐î✐ ♥ë✐✳
Þ ♥❣❤➽❛
❱➳ tr→✐ tr♦♥❣ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❝õ❛ ✤à♥❤ ❧þ ✤♦ sè ❧➛♥ f − a ✈➔ f ❣➛♥ a✳
❱➳ ♣❤↔✐ ❧➔ ❤➔♠ T (r, f) ❦❤æ♥❣ ♣❤ö t❤✉ë❝ a✱ s❛✐ ❦❤→❝ ♠ët ✤↕✐ ❧÷ñ♥❣
❣✐î✐ ♥ë✐✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❤❡♦ ✭✶✳✸✮ ✈➔ ✭✶✳✹✮ t❛ ❝â✿
m

r,
1
f − a

+ N

r,
1
f − a

= T

r,
1
f − a

= T (r, f − a) + log |f(0) − a| .
❚ø ✭✶✳✺✮ t❛ s✉② r❛

T (r, f − a) = T (r, f) + ε(a, r),
✶✹
✈î✐
|ε(a, r)| ≤ log
+
|a| + log 2.
❚ø ✤â t❛ ❝â
m

r,
1
f − a

+ N

r,
1
f − a

= T (r, f) + log |f(0) − a| + ε(a, r),
tr♦♥❣ ✤â |ε(a, r)| ≤ log
+
|a| + log 2. ✣à♥❤ ❧þ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ①♦♥❣✳
✶✳✷✳✺ ✣à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥ t❤ù ❤❛✐
✣➸ ✤ì♥ ❣✐↔♥✱ ❝❤ó♥❣ t❛ s➩ ✈✐➳t m(r, a) t❤❛② ❝❤♦ m

r,
1
f − a


✈➔
m(r, ∞) t❤❛② ❝❤♦ m(r, f).
✶✳✷✳✽ ✣à♥❤ ❧þ✳ ●✐↔ sû ❢✭③✮ ❧➔ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ sè tr♦♥❣
|z| ≤ r✳ ●✐↔ sû a
1
, a
2
, ..., a
q
✈î✐ q > 2 ❧➔ ❝→❝ sè ♣❤ù❝ ❤ú✉ ❤↕♥✱ r✐➯♥❣
❜✐➺t✱ δ > 0 ✈➔ ❣✐↔ sû r➡♥❣ |a
µ
− a
ν
| ≥ δ ✈î✐ 1 ≤ µ < ν ≤ q✳ ❑❤✐ ✤â
m(r, ∞) +
q

ν=1
m(r, a
ν
) ≤ 2T(r, f) − N
1
(r) + S(r),
tr♦♥❣ ✤â N
1
(r) ❧➔ ❞÷ì♥❣ ✈➔ ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
N
1
(r) = N


r,
1
f


+ 2N (r, f) − N (r, f

) ✈➔
S(r) = m

r,
f

f

+m

r,
q

ν=1
f

f − a
ν

+q log
+
3q

δ
+log 2+log
1
|f

(0)|
✳
▲÷ñ♥❣ S(r) tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ tê♥❣ q✉→t s➩ ✤â♥❣ ✈❛✐ trá ❧➔ s❛✐ sè
❦❤æ♥❣ ✤→♥❣ ❦➸✳ ❙ü tê♥❣ ❤ñ♣ ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ ✤â tr♦♥❣ ✤à♥❤ ❧þ tr➯♥ s➩ ♠❛♥❣
❧↕✐ ✤à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥ t❤ù ❤❛✐✳ ✣✐➲✉ ✤â ❝❤♦ t❤➜② r➡♥❣✱ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣
tê♥❣ q✉→t tê♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ sè ❤↕♥❣ m(r, a
ν
) t↕✐ ♠é✐ sè ❦❤æ♥❣ t❤➸ ❧î♥
✶✺
❤ì♥ 2T (r)✳
❇➙② ❣✐í ❝❤ó♥❣ t❛ ❜➢t ✤➛✉ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ t÷ì♥❣ ✤è✐
✤ì♥ ❣✐↔♥ ❝õ❛ ✤à♥❤ ❧þ tr÷î❝ ❦❤✐ ①û ❧þ ✈î✐ ÷î❝ ❧÷ñ♥❣ ♣❤ù❝ t↕♣ ❤ì♥ ❝õ❛
S(r).
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱î✐ ❝→❝ sè ♣❤➙♥ ❜✐➺t a
ν
, (1 ≤ ν ≤ q)✱ t❛ ①➨t ❤➔♠
F (z) =
q

ν=1
1
f(z) − a
ν
.
✶✳ ●✐↔ sû r➡♥❣ ✈î✐ ♠ët ✈➔✐ ν ♥➔♦ ✤â✱ |f(z) − a

ν
| <
δ
3q
✳ ❑❤✐ ✤â ✈î✐
µ = ν✱ t❛ ❝â
|f(z) − a
µ
| ≥ |a
µ
− a
ν
| − |f(z) − a
ν
| ≥ δ −
δ
3q
≥
2
3
δ,
❜ð✐ ✈➟②✱ ✈î✐ µ = ν t❤➻
1
|f(z) − a
µ
|
≤
3
2δ
≤

1
|f(z) − a
ν
|
.
◆❤÷ ✈➟②
|F (z)| ≥
1
|f(z) − a
ν
|
−

µ=ν
1
|f(z) − a
µ
|
≥
1
|f(z) − a
ν
|

1 −
q − 1
2q

≥
1

2 |f(z) − a
ν
|
.
❚ø ✤â t❛ ❝â
log
+
|F (z)| ≥
q

µ=1
log
+
1
|f(z) − a
µ
|
− q log
+
2
δ
− log 2
≥
q

µ=1
log
+
1
|f(z) − a

µ
|
− q log
+
3q
δ
− log 2. ✭✶✳✻✮
✶✻