phương pháp dòng vòng lý thuyết mạch

3-2. Ph­¬ng ph¸p dßng vßng


1) Ni dung phng phỏp:
Gi s cú 1 dũng in
vũng chy qua tt c cỏc
nhỏnh ca mt vũng kớn.

Vớ d:

Z3

a

Z1

E 1

Ia

Z2

b
Z4

Ib

E 4

Z5
I

c

E 5

c

Như vậy ở mỗi nút, các dòng vòng sau khi đi vào nút lại đi ra ngay
khỏi nút, ta có: I V = 0 Cú ngha l nh lut K1 ó tha món.
Vy ch cn viết các phương trình theo định luật Kiếchốp 2.


Thnh lp h pt dũng vũng
Chọn các ẩn số là các
dòng điện vòng:

I a , I b , I c
(chiu nh hỡnh v)

Z3

a

Z1

E 1

Ia

Z2

b
Z4

Ib

E 4

Z5
I
c

E 5

Theo định luật Kiếchốp 2 ta
c
thành lập được phương trình
cho vòng 1 như sau: Z 1 I a + Z 2 ( I a I b ) = E 1
Nếu ghép các số hạng lại theo ẩn số ta có:

( Z1 + Z 2 ) Ia Z 2 Ib = E 1

(1)

Tương tự như vậy với các vòng b và c, ta cũng lập được các phư
ơng trình:
Z 2 Ia + ( Z 2 + Z 3 + Z 4 ) Ib Z 4 Ic = E 4 (2)

Z 4 Ib + ( Z 4 + Z 5 ) Ic = E 4 E 5

H 1, 2, 3 là hệ phương trình dòng vòng.

(3)


Z3

a
Z1

E 1

Ia

Z2

Z4
Ib

E 4

Nhận xét phương trỡnh (1):

( Z1 + Z 2 ) Ia Z 2 Ib = E 1

b
Z5
I
c

E 5

c

(1)

Số hạng thứ nhất biểu thị sụt áp do dòng điện I a gây ra trên toàn
bộ các tổng trở của vòng a, nên đặt:
Z 1 + Z 2 = Z aa - là tổng trở của vòng a, ly du dng.
Số hạng thứ hai biểu thị phần sụt áp gây ra bởi dòng điện I b khi
chảy qua Z2. Ta thấy tổng trở của nhánh 2 tham gia chung vào cả
hai vòng a và b ta gọi nó là tổng trở chung của hai vòng a và b, kí
hiệu là Zab. Nó mang du âm vỡ dòng điện I b ngược chiều với dòng
điện I a và mang du dương nếu I b cùng chiều I a


Z3

a
Z1

E 1

Ia

Z2

b
Z4

Ib

E 4

Tng t:
Z5
I
c

E 5

Z 2 + Z 3 + Z 4 = Z bb

là tổng trở của vòng b.
Z 4 + Z 5 = Z cc

là tổng trở của vòng c.

c
Tng tr chung ca vũng a v b gi l: Zab = Z2
Tng tr chung ca vũng b v c gi l: Zbc = Z4
Vũng a v vũng c không có nhánh chung nờn Zac = 0.
Các tổng trở của các vòng mang dấu dương, còn các các tổng
trở chung giữa hai vòng mang dấu dương, hay âm, còn tuỳ thuộc
vào chiều các dòng điện vòng đi qua tổng trở đó là cùng chiều,
hay ngược chiều.


Víi c¸c qui ­íc trªn, ta viÕt ®­îc hÖ ph­¬ng tr×nh dßng vßng theo
d¹ng tæng qu¸t nh­ sau:

Z aa I a + Z ab I b + ... + Z ak I k = ∑ a E
Z ba I a + Z bb Ib + ... + Z bk I k = ∑ b E


Z ka I a + Z kb I b + ... + Z kk I k = ∑ k E
Ví dụ: Áp dụng cách viết tæng quát cho mạch điện trên như sau:

ZaaIa + ZabIb + ZacIC = ∑ a E
ZbaIa + ZbbIb + ZbcIC = ∑ b E
ZcaIa + ZcbIb + ZccIC = ∑ c E

Z aa = Z1 + Z 2
Z bb = Z 2 + Z 3 + Z 4
Z cc = Z 4 + Z 5

Zab = Zba = - Z2
Zbc = Zcb = - Z4
Zac = Zca = 0


Tính dòng điện các nhánh bằng tổng đại số các dòng vòng qua nó.
I1 a I3 Z3 b
I
I = I
1

I2 = Ia Ib
I = I
3

5

a

Z1

b

I4 = Ib Ic
I5 = I c

I4

E 1

Z2
Ia

I2

Ib

Z4

E 4
c

Z5
I
c

E 5

Trỡnh t của phương pháp dòng vòng :
1- Chọn ẩn số là các dòng điện vòng độc lập, chiều dương chọn
tuỳ ý.
2- Vit hệ pt dũng vũng theo định luật K2
3- Giải hệ pt để tỡm các dòng điện vòng.
4- Tuỳ ý chọn chiều dòng điện trong các nhánh, tính dòng điện các
nhánh.


VÝ dô 1:
Cho s¬ ®å m¹ch ®iÖn nh­
h×nh vẽ, Viết hệ phương trình
dòng điện vòng và xác định
các dòng nhánh từ các dòng
điện vòng.

Zcd = Zdc = - Z5
Zbc = Zcb = - Z3
Zac = Zca = -Z4

E 2

I2

Ib

I1 a

Z1

Z2

I3 Z3
 Ic
I
Z
4
Ia

E 1

Zab ; Zad = 0

ZaaIa + ZabIb + ZacIC + ZadId = ∑ a E
ZbaIa + ZbbIb + ZbcIC + ZbdId = ∑ b E

ZcaIa + ZcbIb + ZccIC + ZcdId = ∑ c E
ZdaIa + ZdbIb + ZdcIC + Zdd Id = ∑ d E

4 
E4


I
b 6
I5
Z5

Z6
Id

c

Z aa = Z1 + Z 4
Z bb = Z 2 + Z 3
Z cc = Z 3 + Z 4 + Z 5
Z dd = Z 5 + Z 6

E 6


Ví dụ 2:
Cho sơ đồ mạch điện như hình v,
Vit h phng trỡnh dũng in
vũng v xỏc nh cỏc dũng nhỏnh
t cỏc dũng in vũng.
Giải:
Chọn ẩn số là các dòng điện vòng: I a , I b , giả thiết chiều các dòng
điện vòng như hình vẽ, ta thành lập được hệ phương trình dòng vòng
như sau:

( R + R + jX ).I + R I = E
1

2

L1

a

2 b

1





R2 I a + ( R2 + jX L 3 jX C 3 ).I b = E 3

Cỏc dũng in nhỏnh c xỏc nh t cỏc dũng in vũng:
I1 = Ia ; I3 = Ib ; I2 = Ia Ib
Nhỏnh 2 l nhỏnh chung ca hai vũng 1 v 2 nờn I2 c xp
chng bi hai dũng vũng (Ia cựng chiu I2 nờn cú du dng cũn Ib
ngc chiu I2 nờn ly du õm).


Ví dụ 3:
Cho mạch điện như hình Z1
bên, lập hệ phương trình
dòng điện vòng.
Giải:
Giả thiết khép mạch j
qua nhánh 2.
Ta viết được hệ
phương trình dòng
vòng như sau:

Z2

Ia

E 1

Z3

a

J

j

b
Z5

Z4
Ib

E 4

I
c

E 5

c
J






Z1 I a + Z 2 ( I a − I b + J ) = E1
Z 2 (− Ia + Ib − J ) + Z 3 Ib + Z 4 ( Ib − Ic ) = − E 4
Z 5 Ic + Z 4 ( Ic − Ib ) = E 4 − E 5

Chuyển các số hạng đã biết sang vế phải và sắp xếp các số hạng
theo ẩn số ta có:
( Z + Z ) I − I Z = E − J . Z
1

2

a

b

2

1

2

− Z 2 Ia + ( Z 2 + Z 3 + Z 4 ) Ib − Z 4 Ic = − E 4 + J . Z 2
− Z I + ( Z + Z ) I = E − E
4 c

4

5

c

4

5