bài giảng môn phương pháp tính

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ iSPACE
137C Nguyễn Chí Thanh, P 9, Q 5, TP. Hồ Chí Minh
Web: ispace.edu.vn - Tel: 08.6.261.0303 - Fax: 08.6.261.0304

Bài giảng TOÁN ỨNG DỤNG TRONG TIN HỌC
(Tài liệu cập nhật – 2009)

Chương 4

PHƯƠNG PHÁP TÍNH

Toán ứng dụng


Chg 4:

PHƯƠNG PHÁP TÍNH

1. Số xấp xỉ và sai số

1.1 Số xấp xỉ
1.2 Sai số tuyệt đối
1.3 Sai số tương đối

2. Giải gần đúng các ph/trình
3. Giải hệ thống phương trình
(HTPT) đại số tuyến tính
4. Nội suy và bình phương
cực tiểu
5. Tính gần đúng đạo hàm
và tích phân xác định

TOÁN ỨNG DỤNG

2.1 Nghiệm của phương trình
2.2 Phương pháp dây cung
2.3 Phương pháp tiếp tuyến (Newton)
2.4 Phương pháp phối hợp
3.1 Kh/niệm về bài toán HTPT
3.2 Phương pháp trực tiếp Gauss
4.1 Đa thức nội suy
4.2 Tính giá trị của đa thức: Sơ đồ Hoocne
4.3 Đa thức nội suy Lagrange
4.4 Phương pháp bình phương cực tiểu
5.1 Tính gần đúng đạo hàm
5.2 Tính gần đúng tích phân xác định
5.3 Công thức hình thang
5.4 Công thức Simpson

Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH

HDXB-


Chương 4 PHƯƠNG PHÁP TÍNH

1. SỐ XẤP XỈ & SAI SỐ
1.1 Số xấp xỉ
(số đúng – số gần đúng)
1.2 Sai số tuyệt đối;
Sai số tuyệt đối giới hạn
1.3 Sai số tương đối;

Sai số tương đối giới hạn

TOÁN ỨNG DỤNG

Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH

HDXB-


1.2 SAI SỐ TUYỆT ĐỐI
Sai số tuyệt đối ∆ của a:
Ví dụ 4.3

∆ = ∆a = A − a

Số đúng A = π = 3,1415 (tính 4 số lẻ)
Số xấp xỉ thiếu: a = 3,14  a = 3,1400

 Sai số tuyệt đối của a:

∆ = 3,1415 - 3,1400  ∆ = 0,0015
Ví dụ 4.4

Số đúng A = π = 3,141 (3 lẻ)
Số xấp xỉ thừa: b = 3,15  b = 3,150

 Sai số tuyệt đối của b:

∆ = 3,141 - 3,150  ∆ = 0,009
TOÁN ỨNG DỤNG

Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH

HDXB-


1.2 SAI SỐ TUYỆT ĐỐI (tt) 1. SỐ XẤP XỈ & SAI SỐ
Ví dụ 4.5

Số đúng A = 3π, với
Số xấp xỉ : a = 9,42

π = 3,1415

(tính 4 số lẻ)
và b = 9,43

Tính sai số tuyệt đối của a và b theo A?

Ví dụ 4.6

Số đúng B = 16/3 (tính 5 số lẻ)
Số xấp xỉ : c = 5,333 và d = 5,334
Tính sai số tuyệt đối của c và d theo B?

TOÁN ỨNG DỤNG

Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH

HDXB-

1.2 SAI SỐ TUYỆT ĐỐI (tt) SAI

SỐ TUYỆT ĐỐI GiỚI HẠN

Trong thực tế ta không biết được số đúng A, do đó nói chung sai số tuyệt
đối không tính được. Vì vậy ta tìm cách ước lượng sai số tuyệt đối của a
bằng số ∆ a >0 sao cho
| a - A | ≤ ∆ a 0 (*)
Số dương ∆ a được gọi là sai số tuyệt đối giới hạn của a.
Rõ ràng nếu ∆ a là sai số tuyệt đối giới hạn của a thì mọi E > ∆ a đều là
sai số tuyệt đối giới hạn của a.
Trong những điều kiện cụ thể người ta cố gắng chọn ∆ a là số dương bé
nhất có thể được thoã mãn (*). Nếu ∆ a là sai số tuyệt đối giới hạn của a
khi xấp xỉ A thì ta quy ước viết:
A = a ± ∆a
tức là
a - ∆a ≤ A ≤ a + ∆a
TOÁN ỨNG DỤNG

Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH

HDXB-


1.2 SAI SỐ TUYỆT ĐỐI (tt) SAI

SỐ TUYỆT ĐỐI GiỚI HẠN (tt)

Ví dụ 4.7
Sai số tuyệt đối giới hạn (6.2)

GIẢI:

∆ =  ∆ a = A - a ≤ ∆ a

∆ ≤ ∆a

Trong nhiều
TOÁN ỨNG DỤNG

∆ai Chọn ∆ a min  chính xác !!

Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH

HDXB-


1.2 SAI SỐ TUYỆT ĐỐI (tt)
Ví dụ 4.8 Một mảnh đất hình chữ nhất có chiều dài d=15,45m và chiều rộng
r=3,94m với sai số 1cm. Khi đó ta hiểu là:
Δd = 0,01m hay d = 15,45m ± 0,01m
Δr = 0,01m hay r = 3,94m ± 0,01m
Khi đó diện tích của mảnh đất được tính là:
S=d.r = 15,45 . 3,94 m = 60,873 m2
với cận trên là
(15,45+0,01) .(3,94+0,01) = 61,067 m2
và cận dưới là
(15,45-0,01) (3,94-0,01) = 60,679m2

hay
60,679 ≤ S ≤ 61,067
Vậy ước lượng sai số tuyệt đối của S là:
| S-S0| ≤0,388 m2
hay làm tròn 0,4 m2 .

TOÁN ỨNG DỤNG

Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH

HDXB-


1.3 SAI SỐ TƯƠNG ĐỐI (tt)

π

Ví dụ 4.10 Số đúng A = 3π , với = 3,1415 (tính 4 số lẻ)
Số xấp xỉ : a = 9,42 và b = 9,43
Tính sai số tương đối của a và b theo A?

Ví dụ 4.11

TOÁN ỨNG DỤNG

Số đúng B = 16/3 (tính 5 số lẻ)
Số xấp xỉ : c = 5,333 và d = 5,334
Tính sai số tương đối của c và d theo B?

Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH

HDXB-


1.3 SAI SỐ TƯƠNG ĐỐI (tt)
Ví dụ 4.12

Ví dụ 4.13

TOÁN ỨNG DỤNG

Đoạn đường từ A đến B dài khoảng 26km.
Từ B đến C chỉ bằng 1/3 khoảng cách trên.
SV-1 nói rằng khoảng cách BC là 8,67km.
SV-2 lại nói khoảng cách BC là 8,66km.
Tính sai số tương đối của đoạn đường BC theo
AB mà 2 SV đã tính với độ chính xác 0,0001?

Khi tính diện tích hình tròn có đường kính 6m.
SV-1 cho đáp số là 9,43m2.
SV-2 lại cho đáp số là 9,42m2
Tính sai số tương đối của 2 đáp án trên với
độ chính xác 3 số?

Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH

HDXB-


1.3 SAI SỐ TƯƠNG ĐỐI (tt) SAI SỐ TƯƠNG ĐỐI GiỚI HẠN (tt)

Ví dụ 4.15

Ví dụ
4.16

TOÁN ỨNG DỤNG

π

Số đúng A = 3π , với = 3,1415 (tính 4 số lẻ)
Số xấp xỉ : a = 9,42 và b = 9,43
Tính sai số tương đối giới hạn của a và b theo A?

Số đúng B = 16/3 (tính 5 số lẻ)
Số xấp xỉ : c = 5,333 và d = 5,334
Tính sai số tương đối giới hạn của c và d theo B?

Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH

HDXB-


Bài tập về nhà DẠNG 6 (Homework-6):
Bài 6.1:

Số đúng A = 4π, với π = 3,1415 (tính 4 số lẻ)
Số xấp xỉ : a = 12,565 , b = 12,566, c = 12,567 và d = 12,568

Tính:

a/ Biểu diễn số đúng A qua a, ∆a, δa
b/ Biểu diễn số đúng A qua b, ∆b, δb
c/ Biểu diễn số đúng A qua c, ∆c, δc
d/ Biểu diễn số đúng A qua d, ∆d, δd
e/ Chọn giá trị gần đúng nhất từ a, b, c , d so với số đúng A.

TOÁN ỨNG DỤNG

Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH

HDXB-


Bài tập về nhà DẠNG 6 (Homework-6):
Bài 6.2: Đoạn đường từ X đến Z dài khoảng 26km.

Từ X đến Y (A km) chỉ bằng 1/3 khoảng cách trên.
SV-1 nói rằng khoảng cách BC là a = 8,64km.
SV-2 ..............................................b = 8,65km
SV-3 .............. ...............................c = 8,66km.
SV-4 ..............................................d = 8,67km

Tính: a/ Biểu diễn số đúng A qua a, ∆a, δa
b/ Biểu diễn số đúng A qua b, ∆b, δb

(tính 4 số lẻ)

c/ Biểu diễn số đúng A qua c, ∆c, δc
d/ Biểu diễn số đúng A qua d, ∆d, δd

e/ So sánh độ chính xác giảm dần giữa a, b, c , d so với số đúng A.

TOÁN ỨNG DỤNG

Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH

HDXB-


Bài tập về nhà DẠNG 6 (Homework-6):
Bài 6.3:

Khi tính diện tích hình tròn có đường kính 6m.
SV-1 cho đáp số là a = 9,420m2.
SV-2 ........................b = 9,425m 2
SV-3 ........................c = 9,430m 2.
SV-4 ........................d = 9,435m2

Tính: a/ Biểu diễn số đúng A qua a, ∆a, δa
b/ Biểu diễn số đúng A qua b, ∆b, δb

(tính 4 số lẻ)

c/ Biểu diễn số đúng A qua c, ∆c, δc
d/ Biểu diễn số đúng A qua d, ∆d, δd
e/ So sánh độ chính xác tăng dần giữa a, b, c , d so với số đúng A.

TOÁN ỨNG DỤNG

Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH

HDXB-


2. GIẢI GẦN ĐÚNG CÁC PHƯƠNG TRÌNH
2.1 Nghiệm của phương trình
2.2 Phương pháp dây cung
2.3 Phương pháp tiếp tuyến (Newton)
2.4 Phương pháp phối hợp

TOÁN ỨNG DỤNG

Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH

HDXB-


2.1 Nghiệm của phương trình (tt)
Đồ thị của phương trình y = f(x)
 nghiệm của pt f(x) =0 là giao điểm của đồ thị với trục Ox
Pt f(x)=0 có duy nhất một nghiệm trên (a, b) nếu thỏa 3 điểu kiện sau

1- f(a) khác dấu f(b)  f(a).f(b) < 0
2- Đạo hàm cấp một f’(x) không đổi dấu trong (a,b)
3- Đạo hàm cấp hai f’’(x) không đổi dấu trong (a,b)
 Không có điểm uốn

TOÁN ỨNG DỤNG

Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH

HDXB-


2.2 PHƯƠNG PHÁP DÂY CUNG
y

Ví dụ 4.17

B

Cho pt f(x)=0, [a0,b0] là khoảng cách ly
nghiệm (miền nghiệm-MN).
Tìm nghiệm gần đúng

ai trong (a0,b0)

ai ∈ (a0 , b0 )
a0

a1

a2 a3

b0
x

x0
A
Ph.trình dây cung đi qua đường thẳng AB  dạng: y = f(x) =ax+b

NGHIỆM ĐÚNG của ph/trình y = f(x) là X0
TOÁN ỨNG DỤNG

Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH

HDXB-


26- PHƯƠNG PHÁP DÂY CUNG (tt)
Trình tự xác định nghiệm gần đúng
bằng PPDC: (P/t dây cung đi qua đường
thẳng AB  dạng: y = f(x) =ax+b)
Lần 1: 1.1- Chọn MN ban đầu

an = xn → x0 ( xn ≈ x0 )

x0 ∈ (a0 , b0 )

1.2- Nối 2 điểm A và B trên đồ thị,
1.3- AB cắt trục hoành tại điểm có hoành độ: ,

a1 → x0

x0 ∈ (a1 , b0 ) ⊂ (a0 , b0 )
2.2 Nối C với B ta lại tìm được một điểm mới: a2 → x0

Lần 2: 2.1-Chọn MN mới:

….. Lặp lại liên tục nhiều lần

Lần n: Dừng ở bước n ta thu được nghiệm xấp xỉ

TOÁN ỨNG DỤNG

Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH

an = xn → (≈) x0
HDXB-


26- PHƯƠNG PHÁP DÂY CUNG (tt)

Ta có: pt qua dây cung AB

Tam giác đồng dạng

y − f ( xo )
x − xo
=
f (ai ) − f ( xo ) ai − xo

ai = x i

Lặp lại nhiều lần  NGHIỆM càng chính xác

xn  x0

d − x n −1
x n = x n −1 −
f ( x n −1 )

f (d ) − f ( x n − 1 )
TOÁN ỨNG DỤNG

Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH

HDXB-


2.2 PHƯƠNG PHÁP DÂY CUNG (tt)
Ví dụ 4.18

GiẢI

TOÁN ỨNG DỤNG
TOÁN ỨNG DỤNG

Chương
PHƯƠNG
PHÁP TÍNH
4.2 GIẢI
GẦN 4:
ĐÚNG
CÁC PHƯƠNG
TRÌNH

HDXBHDXB-2009…


2.2 PHƯƠNG PHÁP DÂY CUNG (tt)

x n = F ( x n −1 )

TOÁN ỨNG DỤNG

Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH

HDXB-


TÓM TẮT CÁCH TÌM NGHIỆM BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÂY CUNG CỦA
PHƯƠNG TRÌNH F(X)=0
Bước 1. Tìm khoảng phân ly nghiệm (a, b) thỏa các tính chất:
- f(a)f(b)<0
- f’(x) không đổi dấu trên đoạn (a,b)
- f’’(x) không đổi dấu trên đoạn (a,b)
Bước 2. Tìm điểm ban đầu x0 thỏa tính chất f(x0)f’’(x0)<0.
Điểm cố định d thỏa tính chất f(d)f’’(d)>0
Bước 3. Lập các bước tìm nghiệm. Áp dụng công thức:

d − x n −1
x n = x n −1 −
f ( x n −1 )
f (d ) − f ( x n − 1 )


Ví dụ: Tìm nghiêêm đúng của phương trình
f(x)=x3-6x+2=0
Tách nghiêêm: bằng phương pháp khảo sát hàm số y= x3-6x+2 ta suy ra
các đoạn [-3,-2],[0,1],[2,3] chứa nghiêêm của pt.
f’(x)=3x2-6

f’’(x)=6x
Ta tìm nghiêêm gần đúng của phương trình trong khoảng [2,3]


2.3 PHƯƠNG PHÁP TiẾP TUYẾN (Newton)

Ví dụ 4.19
Cho pt f(x)=0, [a,b] là khoảng cách ly nghiệm (miền nghiệm-MN).
Tìm nghiệm gần đúng

TOÁN ỨNG DỤNG

ai trong (a0,b0)

ai ∈ (a0 , b0 )

Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH

HDXB-


2.3 PHƯƠNG PHÁP TiẾP TUYẾN (Newton)---(tt)

y

Ví dụ 4.19

B

ai ∈ (a0 , b0 )

x0

a0
A

b0
a3

a2

x

a1

Ph.trình tiếp tuyến đi qua đường thẳng AB  dạng: y = f(x) =ax+b

NGHIỆM ĐÚNG của ph/trình y = f(x) là X0
TOÁN ỨNG DỤNG

Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH

HDXB-