Tiểu luận vật lý thống kê: áp dụng hàm phân bố Fermi Dirac cho khí electron tự do trong kim loại
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (917.96 KB, 35 trang )
TIỂU LUẬN: NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC & VẬT LÝ THỐNG KÊ
GVHD: TS.LÊ THỊ THU PHƯƠNG
SVTH:HỒ NGỌC NAM
MỤC LỤC
Trang
Lời cảm ơn……………………………………………………………………......1
Phần 1.Mở đầu………………………………………………………………........2
1.1.Lí do chọn đề tài……………………………………………………….....2
1.2.Mục đích nghiên cứu……………………………………………………..2
1.3.Phương pháp nghiên cứu………………………………………………....2
1.4.Giới hạn đề tài…………………………………………………………....2
1.5.Bố cục đề tài……………………………………………………………...3
Phần 2: Nội dung………………………………………………………………....4
2.1.Nhiệt dung của khí electron tự do trong kim loại…………………….......4
2.1.1. Cách tính theo nguyên lí loại trừ Pauli……………………………....4
2.1.2.Khảo sát khí lý tưởng Fermi………………………………………….5
2.2. Tính chất từ của khí electron tự do trong kim loại………………………14
2.2.1.Mật độ trạng thái ở năng lượng Fermi…………………………….....14
2.2.2.Áp dụng phân bố thống kê Fermi-Dirac nghiên cứu tính chất
từ của khí electron trong kim loại………………………………………………..16
Phần 3: Bài tập…………………………………………………………………...19
Phần 4: Kết luận và tài liệu tham khảo…………………………………………..34
1
TIỂU LUẬN: NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC & VẬT LÝ THỐNG KÊ
GVHD: TS.LÊ THỊ THU PHƯƠNG
SVTH:HỒ NGỌC NAM
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1.1 Lý do chọn đề tài:
Vật lý thống kê là một nghành trong vật lý lý thuyết, áp dụng các phương pháp thống kê
để giải quyết các bài toán liên quan đến các hệ chứa một số rất lớn những phần tử, có số
bậc tự do cao đến mức không thể giải quyết chính xác bằng cách theo dõi từng phần tử,
mà phải giả thiết các phần tử có tính hỗn loạn và tuân theo các quy luật thống kê.
Một trong những vấn đề cơ bản trong vật lý thống kê là các hàm phân bố thống kê, trong
đó có hàm phân bố thống kê Fermi-Dirac.Thống kê Fermi-Dirac được áp dụng vào các
hạt có spin bán nguyên như electron, nucleon, mezon và các nguyên tử mà trong đó tổng
các electron và nuclon là một số lẻ. Một trong những dạng toán ta hay bắt gặp nhất về
phân bố Fermi-Dirac là việc áp dụng hàm phân bố này cho các khí electron tự do trong
kim loại.
Vì những ứng dụng hữu ích và quan trọng của nó trong việc dự đoán, tính toán các thông
số trong một số vấn đề của vật lý lý thuyết cũng như hiểu rõ hơn về về ứng dụng của hàm
phân bố thống kê Fermi-Dirac nên em chọn đề tài “ Áp dụng hàm phân bố thống kê
Fermi-Dirac khảo sát khí electron tự do trong kim loại”.
1.2 Mục đích nghiên cứu:
Đề tài nghiên cứu này nhằm mục đích hệ thống lại kiến thức về hàm phân bố Fermi-Dirac
cho các khí electron tự do trong kim loại và giải quyết một số bài tập liên quan.
1.3 Phương pháp nghiên cứu:
Để hoàn thành đề tài này cần vận dụng các phương pháp như phân tích, tổng hợp và sử
dụng các kĩ năng tính toán trong triển khai công thức và giải các bài tập liên quan.
1.4 Giới hạn đề tài
Đề tài chỉ nghiên cứu về tính chất của hàm phân bố Fermi-Dirac khi áp dụng cho khí
electron tự do trong kim loại, các công thức về năng lượng tự do, năng lượng toàn phần,
phương trình trạng thái,…. các tính chất từ của khí electron và các dạng bài tập liên quan.
2
TIỂU LUẬN: NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC & VẬT LÝ THỐNG KÊ
GVHD: TS.LÊ THỊ THU PHƯƠNG
SVTH:HỒ NGỌC NAM
1.5 Bố cục đề tài:
Đề tài chia làm 4 phần:
Phần thứ nhất là phần mở đầu, nêu rõ lí do chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, phương
pháp nghiên cứu và giới hạn đề tài.
Phần thứ hai là phần nội dung chính của đề tài.
Phần thứ ba là một số dạng bài tập liên quan.
Phần thứ tư là phần kết luận và tài liệu tham khảo.
3
TIỂU LUẬN: NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC & VẬT LÝ THỐNG KÊ
GVHD: TS.LÊ THỊ THU PHƯƠNG
SVTH:HỒ NGỌC NAM
PHẦN II: NỘI DUNG
2.1 Nhiệt dung của khí electron tự do trong kim loại:
2.1.1. Cách tính theo nguyên lí loại trừ Pauli:
Phát biểu nguyên lý loại trừ Pauli: đối với các hạt spin có bán nguyên ( gọi là các hạt
Fermion) như electron, proton,neutron,positron…thì chỉ có 0 hoặc 1 hạt cùng nằm trên
một mức năng lượng (nói cách khác là tất cả các Fermion đều phải có năng lượng khác
nhau).
Theo nguyên lí Pauli, tại 00K các electron cũng không phải cùng nằm trên một mức năng
lượng thấp nhất, mà chúng lấp đầy một loạt các mức năng lượng liền nhau từ mức thấp
nhất đến một mức cao nhất nào đó gọi là Fermi (𝜀𝐹 ). Khi tăng nhiệt độ, không phải tất cả
các electron đều có thể thay đổi năng lượng của mình bằng cách nhảy lên các mức năng
lượng cao hơn, vì các mức này nói chung đều bị lấp đầy, chỉ có các electron nằm trên các
mức năng lượng kích thích mới có khả năng thay đổi năng lượng của mình.Khi đó, số
electron này được tính bằng kTg(𝜀𝐹 ). Mỗi một electron như vậy khi chuyển mức sẽ thu
nhận thêm năng lượng cỡ kT. Do đó ta có:
kT .kTg ( F ) (kT )2 g ( F ).
Từ đây ta tính được kết quả: CV electron 2k 2T .g ( F ) 3Nk
Nhiệt dung của khí electron tự do: CV
electron
kT
F
(2.1)
T
Kết quả này đã biểu diễn sự phụ thuộc của CV electron vào nhiệt độ một cách đơn giản, phù
hợp với thực nghiệm hơn một cách định tính.
Ta biết rằng theo lý thuyết cổ điển CV electron =const không phụ thuộc vào nhiệt độ, điều này
mâu thuẫn với kết quả thực nghiệm.Ví dụ công thức cổ điển viết cho kim loại kiềm là:
3
2
NkT C elecV
3
Nk
T 2
4
TIỂU LUẬN: NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC & VẬT LÝ THỐNG KÊ
GVHD: TS.LÊ THỊ THU PHƯƠNG
SVTH:HỒ NGỌC NAM
2.1.2. Khảo sát khí lý tưởng Fermi:
Trong kim loại, các electron tự do có thể di chuyển dễ dàng trong khoảng không gian
giữa các nút mạng. Do đó, tập hợp các electron tự do này được coi là một chất khí. Các
electron dương ở nút mạng sắp xếp tuần hoàn trong không gian gây ra hiệu ứng chắn, nên
tương tác giữa các electron yếu đi nhiều, song các electron tự do này vẫn có thể di
chuyển dễ dàng trong khắp vật thể. Nếu bỏ qua tương tác, tập hợp các electron tự do
trong kim loại được coi là khí lý tưởng Fermi.
Electron có khối lượng rất nhỏ ( me 1031 kg ), spin của electron s=1/2 ( tính theo đơn vị
hằng số Planck). Mật độ electron tự do trong kim loại rất lớn (thông thường cỡ 10221024/cm3). Khí electron tự do trong kim loại tuân theo phân bố Fermi-Dirac. Dó đó số
electron trung bình trong một trạng thái lượng tử bằng:
1
n( ) f ( )
e
1
Thế hóa học 𝜇 phụ thuộc vào nhiệt độ T. Khi T →0 thì 𝜇 → 𝜇0 = 𝜀𝐹 . Mức năng lượng
giới hạn 𝜀𝐹 = 𝜇0 gọi là mức Fermi (hình 1).Vì các electron lần lượt chiếm năng lượng từ
0 đến 𝜇0 nên 𝜇0 phải phụ thuộc vào số điện tử. Sự phụ thuộc vào 𝜀 của 𝑛(𝜀) ở nhiệt độ T
khác nhau được biểu diễn ở hình 2.
Hình 1: Các electron trong kim loại lần lượt chiếm tất cả các mức năng lượng kể từ mức
thấp nhất.Do sự suy biến gần hoàn toàn của khí electron trong kim loại, cho nên có tồn tại
5
TIỂU LUẬN: NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC & VẬT LÝ THỐNG KÊ
GVHD: TS.LÊ THỊ THU PHƯƠNG
SVTH:HỒ NGỌC NAM
một mức năng lượng hoàn toàn xác định, đó là mức trên cùng bị chiếm bởi các
electron.Các mức năng lượng nằm trên mức đó còn chưa bị chiếm bởi các electron, mức
trên cùng bị chiếm bởi các electron đó được gọi là mức Fermi ( khoảng cách năng lượng
giữa mức thấp nhất và mức Fermi là 𝜇 ).
Hình 2
Năng lượng của hạt chỉ là năng lượng của chuyển động tịnh tiến:
p2
(p)
2m
Trong đó m là khối lượng của hạt và p là xung lượng của hạt. Số hạt có xung lượng và
tọa độ nằm trong thể tích không gian pha dpxdpydpzdV bằng :
dN ng.
dpx dp y dpz dV
h3
Với g là bội suy biến của mỗi mức năng lượng .
Tích phân theo thể tích V chuyển động từ dpx dpy dpz 4 2 pdp trong biểu thức trên, ta sẽ
tìm được số hạt electron trong thể tích V có xung lượng nằm giữa p và p + dp bằng:
6
TIỂU LUẬN: NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC & VẬT LÝ THỐNG KÊ
GVHD: TS.LÊ THỊ THU PHƯƠNG
SVTH:HỒ NGỌC NAM
dN p
1
.
e kT 1
g 4 V 2
p dp
h3
Vì p 2 2m , nên ta có thể suy ra số hạt trong thể thích V có năng lượng thuộc khoảng
, d bằng:
dN
4 Vgm3/2
.21/2.
e kT 1
d
h3
Vậy, tổng số electron tự do ở nhiệt độ T được tính theo công thức sau:
N ( )n( )d
(2.2)
0
Với ( ) là mật độ trạng thái,
3 1
g ( )V
( ) 2 3 (2m) 2 2
4
Và :
g( ) là bội suy biến của mỗi mức năng lượng .
1
Vì mỗi mức năng lượng ứng với hai trạng thái 𝑠 = ± nên g( ) = 2s +1= 2
2
và n( ) là số hạt trung bình có năng lượng .
Vậy
2V 2m
4 2 3
0
N
3
2
e
d
1
V (2m)
2 2 3
3
2
0
e
1
2
d
1
(2.3)
Năng lượng toàn phần của khí electron ở nhiệt độ T là:
3 1
.2V
E ( )n( )d 2 3 (2m) 2 2 .
4
0
0
1
d
e kT 1
7
TIỂU LUẬN: NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC & VẬT LÝ THỐNG KÊ
GVHD: TS.LÊ THỊ THU PHƯƠNG
SVTH:HỒ NGỌC NAM
V (2m)
2 2 3
với
3
2
3
2
.
0
1
e kT 1
V (2m)
2 2 3
N
0
d
3
2
(2.4)
1
2
e kT
d
1
(2.5)
E
0
e kT
3
2
d
1
(2.6)
F ( )
IP
Xét các tích phân
0
1
3
2
2
e
kT
d
1
Với F ( ) P ; (𝑃 = , 𝑃 = ), khi đó 𝑁 = 𝛼. 𝐼1/2 ; 𝐸 = 𝛼. 𝐼3/2
Đặt biến số mới :
kT
kT
(2.7)
Khi đó ta có:
IP
F ( )
d .
e 1
IP
0
F ( )
F ( )
d
d .
e 1
e
1
0
(2.8)
8
TIỂU LUẬN: NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC & VẬT LÝ THỐNG KÊ
GVHD: TS.LÊ THỊ THU PHƯƠNG
SVTH:HỒ NGỌC NAM
Thay trong tích phân đầu tiên và chú ý:
1
1
1
e 1
e 1
Khi đó IP có dạng:
F ( )
F ( )
I P F ( ) d
d
0 e 1 d .
e 1
0
0
Thay , trong tích phân đầu tiên và chú ý
:
F ( )
F ( )
I P F ( ) d
d
d .
e
1
e
1
0
0
0
(2.9)
Ở vùng nhiệt độ rất thấp: 1 và
, khi đó IP có dạng :
F ( )
F ( )
I P F ( )d
d
d .
e 1
e 1
0
0
0
(2.10)
Khai triển hàm F ( ), F( ) theo x và giới hạn ở gần đúng bậc nhất của x:
F ( ) F ( x) ( x) P
F
p
p 1
p
p 1
F ( 0)
x p .x p
x 0
F ( ) F ( x) ( x) P
F
p
p 1
p
p 1
F ( 0)
x p .x p
x 0
Tiếp theo ta tính:
9
TIỂU LUẬN: NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC & VẬT LÝ THỐNG KÊ
GVHD: TS.LÊ THỊ THU PHƯƠNG
SVTH:HỒ NGỌC NAM
F ( ) d
0
p
d
0
p 1
p 1
Trước hết ta tính các tích phân:
x
2
0 e x 1 dx 12
và tích phân:
F ( )
p
2 2 p p 1
2
p 1
d
d p
d
e 1
e 1
e 1
12
0
0
0
F ( )
p
2 2 p p 1
2
p 1
d
d
p
d
0 e 1
0 e 1
e 1
12
0
Vậy:
IP
p 1
p 1
IP
2 2 p p 1
p 1
p 1
12
2 2 p p 1
12
2 2 p p 1
(2.11)
6
Ta có:
I1/2
2 3/2 2 2 1 1/2 2 3/2 2 2
.
1
3
6
2
3
8 2
I 3/2
2 5/2 2 2 3 1/2 2 5/2 5 2 2
. 1
5
6
2
5
8 2
Khi nhiệt độ T 0o K thì:
2
2
I1/2 03/2 , I3/2 05/2 .
3
5
(2.12)
(2.13)
Với 0 là thế hóa ở nhiệt độ T = 0K.
Khi đó ta có:
10
TIỂU LUẬN: NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC & VẬT LÝ THỐNG KÊ
GVHD: TS.LÊ THỊ THU PHƯƠNG
SVTH:HỒ NGỌC NAM
2
N 03/2 .
3
2
E 0 05/2
5
N
2 V (2m)3/2 3/2
0
3 2 2 3
2 3 2 N
0
2m V
3/2
(2.14)
3
E0 0 N .
5
Chú ý rằng:
lim n lim
T 0
Để ý rằng giới hạn trên
T 0
1
e kT 1
= 1 khi 0
= 0 khi 0
Từ kết quả này ta thấy rằng, ngay cả ở trạng thái cơ bản (T=0K) khí electron vẫn có năng
lượng khác 0.
Ta có:
0
2 3 2 N
kT0 0 T0
k
2mk V
2/3
.
Như vậy, ở nhiệt độ 0K mỗi trạng thái ứng với năng lượng 0 đều chứa một electron,
còn các trạng thái với 0 đều bỏ trống. Nếu kể đến spin thì ứng với mỗi mức năng
, khí electron tự do ở nhiệt độ 0K
2
được gọi là khí điện tử suy biến hoàn toàn.Hay T0 được gọi là nhiệt độ suy biến. Ở nhiệt
độ T<< T0 khí electron gọi là khí suy biến. Khi (T=0K) thì khí electron suy biến hoàn
toàn. Ở nhiệt độ T >> T0 ta có khí electron không suy biến.
lượng sẽ có hai trạng thái lượng tử riêng biệt S
11
TIỂU LUẬN: NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC & VẬT LÝ THỐNG KÊ
GVHD: TS.LÊ THỊ THU PHƯƠNG
SVTH:HỒ NGỌC NAM
Khi được cung cấp năng lượng từ bên ngoài vào thì nhiệt độ của hệ sẽ tăng lên. Một số
electron ở gần mức Fermi bị kích thích nhảy lên các mức năng lượng nằm trên mức
Fermi. Đến nhiệt độ T0 nào đó thì electron ở mức thấp nhất 0 cũng có thể nhảy lên
mức Fermi, ta có:
kT0 0
Nhiệt độ:
0
2 2 N
T0
3
k 2mk
V
2/3
Gọi là nhiệt độ suy biến. Tuy nhiên ta cần lưu ý đến điều kiện áp dụng thống kê cổ điển
là:
2 N
T
2mk V
2/3
Điều này nghĩa là khí electron không suy biến T >> T0 tuân theo thống kê cổ điển.
N
1024 cm3 ta được T0 ~105 K. Có nghĩa là ở nhiệt độ
V
0
phòng thí nghiệm T=300 K << T0, khí electron tự do tuân theo phân bố Fermi-Dirac.
Thay các giá trị của , m, k, và
Từ (2.12) và (2.14), suy ra:
N
2 2
2 3/2
2
0 I1/2 3/2 1
3
3
8 2
2
2 3/2 2
1
3
8 0
(2.15)
Do đó, ta có:
12
TIỂU LUẬN: NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC & VẬT LÝ THỐNG KÊ
GVHD: TS.LÊ THỊ THU PHƯƠNG
SVTH:HỒ NGỌC NAM
2 2
0 1
2
8 0
2/3
2 2 2
0 1
.
3 1202
Kết hợp (2.12) và (2.15) ta được:
E I 3/2
2 5/2 5 2 2
1
5
8 2
5/2
2
2
2 5/2 2 5 2
1 . 1
5
12
8
0
0
2
2
2 5/2 5 2 5 2
1
. 1
5
24
8
0
0
5 2 2 25 4 4
E0 1
12
112
0
(2.16)
ở đây ta sử dụng:
2
3
E0 05/2 0 N
5
5
Như vậy ở nhiệt độ T rất thấp, năng lượng toàn phần của khí electron tự do gần đúng
bằng:
5 2 2 3
5 2 2
E E0 1
0 N 1
2
2
12
5
0
120
(2.17)
Dựa vào kết quả tính được ở trên, ta thấy rằng nhiệt dung đẳng tích của khí electron tự do
trong kim loại tỉ lệ với nhiệt độ T:
13
TIỂU LUẬN: NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC & VẬT LÝ THỐNG KÊ
GVHD: TS.LÊ THỊ THU PHƯƠNG
SVTH:HỒ NGỌC NAM
3
5 2 k 2T
E
2
0 N
12 02
T V 5
elec
v
C
C
elec
v
2 Nk 2T
.
2 0
(2.18)
Trong nhiệt động lực học Entropi của khí electron tự do có dạng:
CV (T )
2 Nk kT
S
dT
.
T
2
0
0
T
Từ đó, ta dễ dàng tìm được năng lượng tự do của phương trình trạng thái khí electron tự
do trong kim loại:
2
3
5 2
F E TS N 0 1 ,
5
12 0
F 0
2E
F
p
V T
0 T V T V
Hay
2
2
5 2
pV N 0 1
5
12 0
2.2. Tính chất từ của khí electron tự do trong kim loại:
2.2.1. Mật độ trạng thái ở năng lượng Fermi:
Tính chất của các electron có thể coi như tính chất của khí lí tưởng mà các hạt là các
electron không tương tác nhau. Các electron bị giữ lại không đi ra khỏi kim loại bởi các
lực điện ở biên giới kim loại. Như vậy các electron chuyển động trong không gian giới
nội và theo các nguyên lí của cơ học lượng tử thì nó bị lượng tử hóa, tức là hạt không thể
có các trạng thái chuyển động tùy ý mà chỉ có những trạng thái lượng tử gián đoạn đặc
trưng bởi các số lượng tử gián đoạn.
Phương trình Schrodinger xét cho một electron có dạng:
14
TIỂU LUẬN: NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC & VẬT LÝ THỐNG KÊ
GVHD: TS.LÊ THỊ THU PHƯƠNG
SVTH:HỒ NGỌC NAM
2 2
2
2
k (r ) k . k (r ).
2m x 2 y 2 z 2
(2.19)
Xét các electron bị giới hạn trong một hình hộp có cạnh là L thì hàm sóng phải thỏa mãn
điều kiện biên tuần hoàn:
(x L, y, z) (x, y, z).
(x, y L, z ) (x, y, z).
(x, y, z L) (x, y, z).
Khi đó hàm sóng phải có dạng sóng phẳng: k (r ) e
ikr
(2.20)
(2.21)
Trong đó 𝑘 gọi là vectơ sóng và nhận các giá trị gián đoạn:
kx
2n
2n
2n
,ky
, kz
L
L
L
(2.22)
Ở đây n=0,1,2,… Các thành phần của vectơ 𝑘 chính là số lượng tử mà cùng với số lượng
tử cho biết phương của spin sẽ xác định trạng thái của electron. Đặt (2.22) và (2.19) ta
được giá trị riêng của các trạng thái vectơ sóng k:
2 2 2 2
k
k
(k x k y2 k z2 ).
2m
2m
Bước sóng liên hệ với độ lớn của vectơ 𝑘 bởi k
(2.23)
2
(2.24)
i.
Và k là giá trị riêng của toán tử xung lượng : P
Thật vậy:
(r ) i (r ) k (r ).
P
x
k
k
Vì P=mv nên vận tốc hạt liên hệ với k qua công thức v
k
.
m
(2.25)
(2.26)
Ở trạng thái cơ bản của một hệ gồm N electron tự do các trạng thái bị chiếm có thể được
mô tả bởi các điểm bên trong một hình cầu không gian k. Năng lượng ứng với mặt hình
cầu này được gọi là năng lượng Fermi. Năng lượng tương ứng với mặt cầu Fermi là:
15
TIỂU LUẬN: NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC & VẬT LÝ THỐNG KÊ
GVHD: TS.LÊ THỊ THU PHƯƠNG
SVTH:HỒ NGỌC NAM
2 2
k
kF .
2m
(2.27)
Vì ki (kx, ky, kz) chỉ nhận những giá trị gián đoạn, tức là mỗi một bộ 3 số lượng tử tương
2𝜋
ứng với một yếu tố thể tích trong không gian vectơ sóng 𝑘 là ( )3 . Vì mỗi trạng thái có
𝐿
thể chứa hai electron với spin khác nhau, suy ra số các trạng thái cho phép phải bằng:
4 k F3
3 V 3
N 2
2 kF
3
3
2
L
1/3
3 2 N
kF
V
(2.28)
ở đây V=L3 là thể tích của hình hộp. Thay (2.28) vào (2.27), ta có:
2 3 2 N
F
2m V
2/3
.
(2.29)
Vận tốc electron trên mặt Fermi bằng:
1/3
kF 3 2 N
vF
m m V
(2.30)
Xét mật độ trạng thái ( số trạng thái trên một khoảng năng lượng một đơn vị D( ) ).
Từ (2.28) ta suy ra :
V 2m
N 2 2F
3
3/2
(2.31)
Do đó mật độ trạng thái ở năng lượng Fermi là:
3/2
dN
V 2m
D( F )
2 2 . F1/2 ,
d F 2
D( F )
3N
2 F
(2.32)
16
TIỂU LUẬN: NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC & VẬT LÝ THỐNG KÊ
GVHD: TS.LÊ THỊ THU PHƯƠNG
SVTH:HỒ NGỌC NAM
2.2.2. Áp dụng phân bố thống kê Fermi-Dirac nghiên cứu tính chất từ của khí
electron tự do trong kim loại:
Ở hầu hết các kim loại, các electron dẫn tạo nên một độ cảm thuận từ không phụ thuộc
vào nhiệt độ và có giá trị không lớn lắm, cỡ chừng 10-6.
Theo lý thuyết điện tử tự do cổ điển độ cảm ứng thuận từ của electron phải tuân theo định
luật Curie:
N B2
I
.
H
k BT
(2.33)
Nhưng trên thực tế giá trị quan sát được của trên các kim loại không sắt từ không phụ
thuộc vào T và có giá trị cỡ bằng 1/100 giá trị nói trên.
Tính độ từ hóa: I = (N+ - N-)𝜇𝐵
(2.34)
Ta có:
F
N
F
1
1
1
d
.
f
(
,
T
).D(
H
)
d
.
f
(
,
T
).D(
)
B HD( F )
B
2 B H
2 B H
2
(2.35)
F
N
F
1
1
1
d
.
f
(
,
T
).D(
H
)
d
.
f
(
,
T
).D(
)
B HD( F )
B
2 B H
2 B H
2
(2.36)
Ở đây dấu bằng xảy ra đối với kBT F ( tính chất hàm phân bố Fermi-Dirac) sao cho
có thể giả thiết ở gần mức Fermi
f ( , T ).D( ) d
B
HD( F ).
(2.37)
Ta thay (2.35-2.36-2.37) vào (2.34) ta được:
I B D( F ) H
theo (2.32) ta có:
D( F )
3N B2
H
2kBTF
(2.38)
3N
3N
với F kBTF
2 F 2kBTF
17
TIỂU LUẬN: NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC & VẬT LÝ THỐNG KÊ
GVHD: TS.LÊ THỊ THU PHƯƠNG
SVTH:HỒ NGỌC NAM
Vậy từ (2.38) ta thu được giá trị của là:
3N B2
2k BTF
(2.39)
Ta thấy rằng không phụ thuộc T. Ngoài ra vì kBT F nên có giá trị rất nhỏ so với
tính toán cổ điển.
Đối với các electron tự do momen nghịch từ có giá trị tương ứng với độ cảm ứng từ, theo
Landau:
1
𝜒 = 𝜒𝑛𝑔 ℎị𝑐ℎ 𝑡ừ = − 𝜒𝑡ℎ𝑢ậ𝑛 𝑡ừ
3
Kết hợp (2.39), ta suy ra:
1 N 2 B
𝜒𝑛𝑔 ℎị𝑐ℎ 𝑡ừ = .
2 k BT
(2.40)
Dó đó, độ cảm từ toàn phần của electron là:
2
𝜒 = 𝜒𝑛𝑔 ℎị𝑐ℎ 𝑡ừ + 𝜒𝑡ℎ𝑢ậ𝑛 𝑡ừ = 𝜒𝑡ℎ𝑢ậ𝑛 𝑡ừ
3
Bởi vì độ cảm từ tổng cộng là dương, cho nên khí electron sẽ có tính chất thuận từ.
Hay:
N B2
k BTF
(2.41)
Kết quả cho thấy độ từ hóa và độ cảm từ không phụ thuộc vào nhiệt độ.
Cần chú ý rằng , không có khí electron hoàn toàn tự do và vì vậy, chúng ta không thể
kiểm nghiệm lại giá trị của độ cảm từ bằng thực nghiệm. Khi đo độ cảm từ của các kim
loại ta sẽ thấy ngay một hiệu ứng phức tạp. Ở đây sẽ có cả độ cảm từ của khí electron lẫn
độ cảm nghịch từ và độ cảm thuận từ của các ion của mạng tinh thể. Vì vậy, ở các kim
loại, tùy thuộc vào độ lớn của hiệu ứng này hay hiệu ứng kia mà ta quan sát thấy các tính
chất thuận từ hay các tính chất nghịch từ.
Thế nhưng, ở các kim loại kiềm là kim loại có các electron ngoài liên kết yếu nhất, người
ta đã quan sát thấy độ cảm từ không phụ thuộc vào nhiệt độ. Do đó, ta có thể cho rằng
các tính chất của chúng về căn bản được xác định bởi các tính chất thuận từ của khí
electron.
18
TIỂU LUẬN: NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC & VẬT LÝ THỐNG KÊ
GVHD: TS.LÊ THỊ THU PHƯƠNG
SVTH:HỒ NGỌC NAM
PHẦN III: BÀI TẬP
Bài 1: Giả sử trong một mẫu nào đó mật độ trạng thái của các electron D( ) là hằng số
D0 khi năng lượng 0 ( D( ) 0 khi 0 ) và tổng số các electron là N
(a) Tính thế Fermi 0 ở 0K ?
(b) Đối với các nhiệt độ khác 0, hãy tìm điều kiện để hệ không suy biến ?
(c) Chứng tỏ rằng nhiệt dung riêng electron tỉ lệ với nhiệt độ T khi hệ suy biến mạnh.
Lời giải:
(a) Khi T= 0K, tất cả các mức năng lượng nằm thấp đều bị chiếm chỗ, trong khi đó
những mức năng lượng cao hơn 0 lại hoàn toàn trống. Lưu ý rằng electron có
spin s=1/2, nên mỗi trạng thái có thể nhận chứa hai electron, do đó 2D0 0V N ,
hay:
0
N
2VD0
Với V là thể tích của mẫu.
(b) Điều kiện không suy biến đòi hỏi e
kT
1 , khi đó:
1
e
kT
e .e
kT
kT
1
Trong gần đúng này :
2 D0
N
kT
d 2 D0 .kT .e
V 0 kT
e 1
N /V
Vậy điều kiện không suy biến là: kT
0
2 D0
19
TIỂU LUẬN: NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC & VẬT LÝ THỐNG KÊ
GVHD: TS.LÊ THỊ THU PHƯƠNG
SVTH:HỒ NGỌC NAM
(c) Khi T= 0K, các electron ở trong trạng thái cơ bản không bị kích thích. Khi
𝑇 ≠ 0𝐾, nhưng T 0 , chỉ những electron nào ở gần mặt Fermi mới bị kích
k
thích , Neff kTD0 và nhiệt dung riêng do các electron đóng góp là C0 3 k . Do đó,
2
khi hệ bị suy biến mạnh nhiệt dung riêng C T .
Bài 2: (a) Tính độ dài của vector sóng Fermi đối với 4,2.1021 electron bị nhốt trong
một hộp 1cm3 ?
(b) Tính năng lượng Fermi ( bằng eV) cho hệ electron này ?
(c) Nếu các electron được thay thế bằng notron, hãy tính độ dài vector sóng Fermi và
năng lượng Fermi ?
Lời giải:
N
(a) Tổng số hạt là:
2V 4 3
.
pF
h3 3
h 8 V
F
pF 3 N
1/3
Bước sóng Fermi là:
1, 25.109 m
2
pF2
1 h
19
(b) Năng lượng Fermi:
1,5.10 J 0,96eV
F
2m 2m F
(c) Tương tự như (a), ta tìm được
F' F 1, 25.109 m;
F'
m
F 5, 2.104 eV .
m'
Bài 3: Tính mật độ trạng thái D( ) như một hàm của năng lượng 𝜀 của một khí electron
tự do một chiều. ( Giả thiết điều kiện biên tuần hoàn hay hạn chế một chuỗi dài có độ dài
L nào đó). Hãy tính năng lượng Fermi F ở không độ tuyệt đối đối với với một hệ N
electron.
20
TIỂU LUẬN: NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC & VẬT LÝ THỐNG KÊ
GVHD: TS.LÊ THỊ THU PHƯƠNG
SVTH:HỒ NGỌC NAM
Lời giải:
p2
. Do đó:
Năng lượng của một hạt là
2m
1/2
m
dp d
2
Chú ý đến hai trạng thái spin, ta có:
2 Ldp L(2m)1/2
d .
h
h. 1/2
(2m / )1/2
D( ) L
h
D( ) d
Tại nhiệt độ 0K, electron sẽ chiếm tất cả các trạng thái có năng lượng từ 0 đến năng
lượng Fermi F . Do đó:
F
h2 N
N D( ) d F
2m 2 L
0
2
Bài 4: Natri kim loại có khoảng chừng 2,6.1022 electron/cm3, mà ta có thể coi gần đúng là
khí electron tự do. Từ đó:
(a) Tìm một trị số gần đúng của năng lượng Fermi ( bằng eV) trong Na?
(b) Tìm một trị số gần đúng cho nhiệt dung riêng electron của Na ở nhiệt độ trong
phòng?
Lời giải:
(a) Năng lượng Fermi là:
2 2 N
EF
3
2m
V
2/3
21
TIỂU LUẬN: NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC & VẬT LÝ THỐNG KÊ
GVHD: TS.LÊ THỊ THU PHƯƠNG
SVTH:HỒ NGỌC NAM
Thay 6,58.1016 eV .s, m 0,511MeV / c 2 ;
N
2, 6.1022 / cm3 vào trong công
V
thức trên, ta tìm được EF 3, 2eV .
(b) Nhiệt dung riêng là :
C
1 N 2
k kT
kT
M EF
me EF
23
31
Trong đó me 9,11.10 kg là khối lượng electron, k 1,38.10 J / K là hằng
số Boltzamann, và kT
1
eV ở nhiệt độ phòng. Thay vào ta tính được
40
C 11,8J / K .g
Bài 5:
(a) Cho một khí Fermi không tương tác, spin bằng ½, suy biến ở không độ tuyệt đối, hãy
tìm một biểu thức năng lượng của một hệ gồm N hạt như trên bị nhốt trong thể tích V.
Gỉa thiết các hạt là phi tương đối tính.
(b) Cho biểu thức nội năng của một hệ tổng quát (không nhất thiết là một khí tự do) ở
không độ tuyệt đối, làm thế nào xác định được áp suất của hệ?
(c) Từ đó hãy tính áp suất của khí này và chứng tỏ nó phù hợp với kết quả cho bởi thuyết
động học.
Lời giải:
(a) Mật độ trạng thái cho bởi:
D( ) d
4
(2m)3/2 . d
3
h
Do đó:
F
4 V
8 V
3/2
N 3 (2m) d
h
3
0
2m F
2
h
3/2
F
3N F
4 V
3/2
Và E 3 (2m ) d
5
h 0
(b) Từ hệ thức nhiệt động lực học:
22
TIỂU LUẬN: NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC & VẬT LÝ THỐNG KÊ
GVHD: TS.LÊ THỊ THU PHƯƠNG
SVTH:HỒ NGỌC NAM
E
p
T
p
V T
T V
Và T = 0K, ta có:
2E
E
p
V T 3V
(c) Giả thiết phân bố theo vận tốc là là D(v)dv, do đó số phân tử va chạm trên một
đơn vị diện tích của thành bình trong một đơn vị thời gian có vận tốc giữa v và v +
dv là nvxD(v)dv. Lực tác dụng lên một đơn vị diện tích do va chạm là:
dp 2mvx2 nD(v) dv
Do đó áp suất là:
p
nD(v).2mvx2 dv
vx 0
nD(v) mv 2x dv
vx
2
1 2
2E
nD
(v)
mv
dv
3
2
3V
Đối với khí electron:
2 E N h 2 3N
p
.
3V 5V m 8V
2/3
Bài 6: Đặt một hệ gồm N = 2.1022 electron vào trong một “hộp” với thể tích V= 1cm3.
Các thành hộp là những rào thế cao vô hạn. Hãy tính các đại lượng dưới đây với sai khác
với một số là 5 và chỉ ra sự phụ thuộc vào những tham số vật lý có liên quan:
(a) Nhiệt dung riêng C ?
(b) Độ từ cảm χ ?
(c) Áp suất p lên các thành hộp ?
(d) Động năng trung bình <Ek>
Lời giải:
Mật độ trạng thái trong không gian k cho bởi:
4 k 2
D(k) dk 2V .
dk
8 3
23
TIỂU LUẬN: NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC & VẬT LÝ THỐNG KÊ
GVHD: TS.LÊ THỊ THU PHƯƠNG
SVTH:HỒ NGỌC NAM
2 2
k . Kết hợp hai biểu thức trên ta được
Và động năng của electron là
2m
3/2
V 2m
D( ) 2 2 . 1/2
2
2 2
k F , tức là:
Tại T = 0K, N electron chiếm tất cả các mức năng lượng từ 0 đến F
2m
N
F
2
D( ) d 3 D(E
F
) EF
0
2 2 N
EF
3
2m
V
2
(a) Nhiệt dung riêng là: C k BTD( EF )
2/3
N 2
k BT , trong đó k là hằng Boltzamann
EF
(b) Độ từ cảm là:
B2 D( EF )
N 2
B , với B là magneton Bohr.
EF
(c) ,(d) Động năng trung bình là:
F
EK D( )d
0
2
3
D(E F ).EF2 NEF
5
5
Và áp suất lên các thành hộp là:
p
d EK
dV
3 NEF
5 V
Bài 7: Tính xác suất để cho ở nhiệt độ phòng (kT=0,025Ev) electron chiếm các trạng thái
nằm cao hơn mức Fermi 0,1 eV và thấp hơn mức -0,1 Ev.
24
TIỂU LUẬN: NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC & VẬT LÝ THỐNG KÊ
GVHD: TS.LÊ THỊ THU PHƯƠNG
SVTH:HỒ NGỌC NAM
Lời giải:
1
f (E)
Ta có hàm phân bố Fermi:
e
E
kT
1
Nếu E 0,1eV thì :
E
0,1
4
kT
0, 025
1
f (E) 4
1, 79.102
e 1
Còn E 0,1eV thì f(E)=0,98.
Bài 8: Tìm độ chênh lệch giữa năng lượng (theo đơn vị kT) của electron nằm trên mức
Fermi và các electron nằm trên mức có xác suất bị chiếm là 0,2 và 0,8.
Lời giải:
1
f (E)
Ta có:
e
E
kT
1
Mức Fermi E 0 và f(E) = 1/2 .Khi f(E)= 0,20; ta có:
e
Vậy :
E
kT
E
ln 4 1,3863
kT
E 1,3863kT
Khi f(E) = 0,80; lúc này
Vậy
4
E
1
ln 1,3863
kT
4
E 1,3863kT
Bài 9: Tìm năng lượng cực đại của electron trong kim loại ở 0K
25
