Các cấu trúc tự do và bài toán phân tích

Khóa luận tốt nghiệp
Nguyễn Thị Hà
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
**********

NGUYỄN THỊ HÀ

CÁC CẤU TRÚC TỰ DO
VÀ BÀI TOÁN PHÂN TÍCH
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ

HÀ NỘI – 2009
1


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Hà

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
**********

NGUYỄN THỊ HÀ

CÁC CẤU TRÚC TỰ DO
VÀ BÀI TOÁN PHÂN TÍCH
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
GVC. VƢƠNG THÔNG

HÀ NỘI - 2009
2


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Hà

Lời cảm ơn.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện khóa luận: “ Các cấu trúc tự do và
bài toán phân tích ” cùng với sự cố gắng của bản thân, em đã nhận được sự
hướng dẫn,giúp đỡ tận tình của thầy giáo Vương Thông. Đồng thời em cũng
nhận được sự giúp đỡ, động viên của các thầy, cô và của các bạn sinh viên trong
khoa toán.
Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy Vương Thông đã giúp đỡ và hướng
dẫn tận tình để em hoàn thành tốt khóa luận của mình.
Em xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa toán các thầy cô giáo và
các bạn sinh viên trong khoa đã tạo điều kiện, giúp đỡ em hoàn thành khóa luận
này.
Em xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, tháng 5 năm 2009
Sinh viên
N guyễn Thị Hà

3

Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Hà

Lời cam đoan.
Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và
nghiên cứu bên cạnh đó em đã nhận được sự quan tâm giúp đỡ của các thầy cô
giáo trong khoa toán đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của thầy Vương Thông.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành khóa luận này em có tham khảo một số
tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo. Vì vậy em xin khẳng định đề tài : “
các cấu trúc tự do và bài toán phân tích ”.không có sự trùng lặp với đề tài của
các tác giả khác.
Sinh viên
Nguyễn Thi Hà.

4


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Hà

Mục lục
Trang
Lời nói đầu ..................................................................................................... 5
Chương 1.những kiến thức chuẩn bị ............................................................... 6
1.1 phép toán đại số 2-ngôi ............................................................................. 6
1.2 Nhóm ......................................................................................................... 6
1.3 Nhóm abel ................................................................................................. 6
1.4 Nhóm xyclic .............................................................................................. 7

1.5 Cấp của nhóm,cấp của một phần tử .......................................................... 8
1.6 Nhóm con ................................................................................................. 9
1.7 Định lý Lagrage......................................................................................... 9
1.8 Nhóm con sylow ....................................................................................... 10
1.9 Nhóm con chuẩn tắc .................................................................................. 10
1.10 Tích trực tiếp, tổng trực tiếp .................................................................. 10
Chương 2. Các cấu trúc tự do ......................................................................... 12
2.1 Nhóm tự do................................................................................................ 12
2.1.1 Định nghĩa .............................................................................................. 12
2.1.2 Tính chất ................................................................................................. 12
2.2 Nhóm abel tự do ........................................................................................ 17
2.2.1 Định nghĩa .............................................................................................. 17
2.2.2 Tính chất ................................................................................................. 18
2.3 Nhóm abel hữu hạn sinh ........................................................................... 22
2.3.1 Định nghĩa .............................................................................................. 22
2.3.2 Tính chất ................................................................................................. 22
2.4 Nhóm các đồng cấu nhóm ......................................................................... 23
2.4.1 Định nghĩa .............................................................................................. 23
2.4.2 Tính chất ................................................................................................. 23
2.5 Nhóm giải được ......................................................................................... 27
5


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Hà

2.5.1 Chuỗi chuẩn tắc ...................................................................................... 27
2.5.2 Chuỗi hợp thành ..................................................................................... 27
2.5.3 Định nghĩa nhóm giải được ................................................................... 27

2.5.4 Tính chất ................................................................................................. 27
2.6 Mô đun tự do ............................................................................................. 29
2.6.1 Môđun sinh bởi một tập,tập sinh............................................................ 29
2.6.2 Tập độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính ..................................... 29
2.6.3 Cơ sở của Môđun ................................................................................... 29
2.6.4 Định nghĩa và ví dụ môđun tự do .......................................................... 30
2.6.5 Các điều kiện tương đương .................................................................... 30
Chương 3.Bài toán phân tích........................................................................... 32
3.1 Sự phân tích nhóm..................................................................................... 32
3.2 Sự phân tích của các nhóm xyclic ............................................................ 33
3.2.1 Sự phân tích của nhóm xyclic vô hạn .................................................... 33
3.2.2 Sự phân tích của các nhóm xyclic hữu hạn ............................................ 34
3.3 Sự phân tích nhóm abel ............................................................................. 36
3.4 Sự phân tích nhóm abel hữu hạn sinh ....................................................... 39
Kết luận .......................................................................................................... 45
Tài liệu tham khảo ........................................................................................... 46

6


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Hà

Lời nói đầu
Đại số là một nghành chiếm vị trí quan trọng trong khoa học toán học. Nó
là cơ sở của nhiều nghành toán học khác như: đại số tuyến tính, giải tích,
phương trình đạo hàm riêng…Tuy nhiên để đi sâu nghiên cứu về đại số cần có
những hiểu biết sâu sắc về cấu trúc đại số.
Đối tượng chủ yếu của cấu trúc đại số là nhóm, vành, trường ,…trong đó

lớp các cấu trúc tự do là một trong những khái niệm quan trọng của đại số hiện
đại. Để nghiên cứu sâu về lớp cấu trúc này ngoài các khái niệm thông thường về
nhóm, nhóm con,…còn có các khái niệm tích trực tiếp, tổng trực tiếp của các
nhóm, sự phân tích của nhóm, nhóm abel, nhóm abel hữu hạn sinh,…qua đó sẽ
cho ta một cái nhìn tổng quát hơn về cấu trúc của các lớp cấu trúc tự do.
Vì tất cả những ý nghĩa trên,và nhờ có sự động viên, chỉ bảo, hướng dẫn của thầy
Vương Thông em đã mạnh dạn chọn đề tài: “ các cấu trúc tự do và bài toán
phân tích ”.
Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về bộ môn đại số
và bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học.
Nội dung của khóa luận gồm 3 chương:
Chương 1: Những kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Các cấu trúc tự do.
Chương 3 : bài toán phân tích.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng song do điều kiện về thời gian và kinh
nghiệm nghiên cứu của bản thân còn nhiều hạn chế nên khóa luận của em không
thể tránh khỏi những thiếu sót.vì vậy em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến
của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện
hơn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2009

7


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Hà

Chƣơng1. Những kiến thức chuẩn bị.
1.1 Phép toán đại số 2-ngôi.

Định nghĩa1.
cho X là một tập hợp khác rỗng. Ta gọi là phép toán đại số 2-ngôi xác
định trên X là một ánh xạ f : X  X  X

x, y  f x, y   x  y
1.2 Nhóm.
Định nghĩa.
Cho X là một tập khác rỗng tùy ý . Trên X ta xác định một phép toán đại
số 2-ngôi kí hiệu (  ). X là một nhóm khi và chỉ khi:
- phép toán (  ) có tính chất kết hợp tức là x   y  z   x  y   z
- x  X , e  X sao cho ex  xe  x
- x  X , x'  X sao cho xx'  x' x  e
Đối với phép toán cộng phần tử e được gọi là phần tử trung lập(trung hòa)
Phần tử x ' được gọi là phần tử đối xứng.
Đối với phép toán nhân phần tử e được gọi là phần tử đơn vị.
Phần tử x ' được gọi là phần tử nghịch đảo.
- Nếu không có gì nhầm lẫn thì phép toán 2-ngôi trong một nhóm tùy ý
thường được kí hiệu theo lối nhân “ . ”
1.3 Nhóm abel
Định nghĩa.
Nhóm (G, . ) được gọi là giao hoán (hay nhóm abel ) nếu xy  yx, x, y  G
Hệ quả 1.
Một nửa nhóm X là nhóm khi và chỉ khi:
- e  X , x  X sao cho ex  x
- x  X , x'  X sao cho x ' x  e
Hệ quả 2.
8


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Hà
Một nửa nhóm X là nhóm khi và chỉ khi phương trình ax  b và ya  b có
nghiệm trong X, a, b  X .
1.4 Nhóm xyclic.
1.4.1 Định nghĩa.
Cho (G, .) là một nhóm. G được gọi là nhóm xyclic khi và chỉ khi mọi
phần tử của nó đều là lũy thừa của 1 phần tử a  G .khi đó ta gọi a là phần tử sinh
của nhóm xyclic G.
Kí hiệu G = <a>.
Theo định nghĩa nhóm xyclic G với phần tử sinh là a có thể được viết dưới
dạng G = {an l n  Z }
Nếu phép toán 2-ngôi trong x là phép toán ( + ) thì G  {na l n  Z }
1.4.2 Phân loại nhóm xyclic.
Nếu a n  a m với mọi cặp số nguyên khác nhau n,m thì khi đó cấp của
nhóm xyclic là vô hạn ta có nhóm xyclic vô hạn.
Nếu tồn tại 2 số nguyên n  m sao cho a n  a m  a  n  a  m , nên có thể giả
sử rằng
n  m  0 hơn nữa a nm  a n .a  m  a m a  m  e . Vậy luôn tồn tại 1 số tự nhiên r  0 bé

nhất sao cho a r  e .
Ta sẽ đi chứng minh G  a 0  e, a1 , a 2 ,..., a r 1
Thật vậy nếu tồn tại 2 số i,j giả sử i  j, o  i, j  r  1 sao cho
ai  a j  ai  j  e

điều này trái với tính bé nhất của r vì j  i  r . Vậy ai  a j
Giả sử a k  G với k là số nguyên nào đó thì k  nr  m.0  m  r ta có

 

a k  a nr  m  a r

n

.a m  a m

Vậy trong trường hợp này ta chứng minh được G là nhóm hữu hạn có cấp là số
bé nhất r có tính chất a r  e
Bổ đề.
9


Khóa luận tốt nghiệp
Nguyễn Thị Hà
Cho X  a , Y  b là 2 nhóm xyclic cùng cấp.
Khi đó ánh xạ f : X  X
a m  bm

Là một đẳng cấu nhóm.
Chứng minh.
+) x, y  X , x  a m , y  a n , m.n  
Ta có f  xy   f  a m a n   f  a m n   b mn  b m .b n  f  x  . f  y 
 f là một đồng cấu nhóm.

+) f là đơn cấu
Thật vậy: x, y  X , mà f(x) = f( y) với x  a m , y  a n  bm  bn  bmn  eY
Mà giả sử X và Y cùng cấp k nên  m  n  k  m  n  ks  m  n  ks
Vậy am  an .a ks  a n  a k   a n  eX   a n  x  y .
s

s

+) f là toàn cấu.
y  Y  b  y  b m  x  a m  a  X sao cho f  x   y . 

Nhận xét: - Các nhóm xyclic cấp vô hạn sẽ đẳng cấu với Z.
- Các nhóm xyclic cấp n hữu hạn sẽ đẳng cấu với nhóm  n .
1.5 Cấp của nhóm, cấp của 1 phần tử.
Định nghĩa1.
Cho G là 1 nhóm với phép toán (.). Cấp của nhóm G là số phần tử của
nhóm G.
Định nghĩa 2.
Cấp của phần tử a  G là cấp của nhóm <a>.
Chú ý:
Cấp của phần tử a là n nếu n là số nguyên dương bé nhất để a n  e
Khi đó a  a 0  e, a1 , a 2 ,..., a n1
Nếu không tồn tại số nguyên khác không nào để a n  e
10


Khóa luận tốt nghiệp
thì ta nói cấp của a là  .

Nguyễn Thị Hà

Mệnh Đề.
Nếu G  a thì ta nói cấp của a xác đinh G chính xác tới một đẳng cấu tức là.
nếu a   thì G  Z
nếu a  n hữu hạn thì G   n
1.6 Nhóm con.
Định nghĩa 1. ( bộ phận ổn định )

Cho (G, .) là một nhóm. A  G . A gọi là bộ phận ổn định của G nếu
x, y  A thì xy  A .

Định nghĩa 2.
Một bộ phận ổn định A của nhóm G là nhóm con của nhóm G nếu A cùng
với phép toán cảm sinh lập thành 1 nhóm.
Mệnh đề:
Một tập hợp con A là nhóm con của 1 nhóm G  A   và
xy 1  A, x, y  A .

Định nghĩa 3.
Các bộ phận xA   xa / a  A gọi là các lớp ghép trái của nhóm con A
trong G tương tự Ax  ax / a  A gọi là các lớp ghép phải của nhóm con A trong
G.
1.7 Định lý Lagrage.
Cho (G, .) là nhóm hữu hạn cấp của mọi nhóm con A của G là ước cấp
của nhóm G.
Hệ quả :
+) Cấp của mỗi phần tử trong 1 nhóm hữu hạn là ước cấp của nhóm đó.
G là nhóm hữu hạn cấp n và a là 1 phần tử của G thì a n  e .
+) Mọi nhóm có cấp là số nguyên tố là nhóm xyclic sinh bởi 1 phần tử
khác phần tử đơn vị của nhóm đó.
11


Khóa luận tốt nghiệp
Nguyễn Thị Hà
+) Cho a là số tự nhiên không chia hết cho 1 số nguyên tố p thì
a p 1  1 mod p  .

1.8 Nhóm con sylow.
Định nghĩa.
- cho p là một số nguyên tố , nhóm H được gọi là p-nhóm nếu cấp của H là
1 lũy thừa của p tức là H  p n
- Cho G là nhóm, nhóm H được gọi là một p-nhóm con của G nếu H vừa là
một nhóm con của G vừa là một p-nhóm
- Nhóm H được gọi là một p-nhóm con sylow của G nếu H vừa là một pnhóm con của G và H  p n là lũy thừa cao nhất của p chia hết cấp cuẩ G.
Ví dụ:  8 là một p-nhóm vì cấp của  8 là 8 = 23, 2 là số nguyên tố.
1.9 Nhóm con chuẩn tắc.
Định nghĩa 1:
Một nhóm con H của nhóm (G, .) được gọi là 1 nhóm con chuẩn tắc của
nhóm G nếu các lớp ghép trái của H trong G trùng với các lớp ghép phải của H
trong G tức là: xH = Hx, x  G
Theo định nghĩa trên thì khi nói đến các lớp ghép của 1 nhóm con chuẩn
tắc ta không cần phân biệt các lớp ghép trái hay phải.
Ví dụ .
-Với mọi nhóm G luôn có 2 nhóm con chuẩn tắc tầm thường là G và nhóm
{e}.
- Với G là một nhóm abel thì mọi nhóm con của nó đều là nhóm con
chuẩn tắc.
1.10 tích trực tiếp, tổng trƣc tiếp của các nhóm.
1.9.1 Định nghĩa ( tích trực tiếp).
Cho 2 nhóm A ,B. trên tập tích đề các P = A  B ta xác định phép toán sau:

 a, b  c, d    ac, bd  . Khi đó P là một nhóm gọi là tích trực tiếp của A và B.
12


Khóa luận tốt nghiệp
Có 2 đơn cấu iA : A  A  B

Nguyễn Thị Hà
và iB : B  A  B

a   a, eB 

b   eA , b 

Gọi là các phép nhúng tự nhiên.
Có 2 toàn cấu p A : A  B  A

và

 a, b   a

pB : A  B  B

 a, b   b

Là các phép chiếu tự nhiên.
Do iA Và iB là các phép nhúng nên đồng nhất A với i(A) , b với i(B) do đó
coi A, B là các nhóm con chuẩn tắc của P.
Nhận xét:
Ta có thể mở rộng khái niệm tích trực tiếp cho 1 họ bất kì các nhóm.
Cho họ các nhóm  X i iI . kí hiệu P   X i là tích đề các của chúng
iI

P  X 1  X 2  ...  X i ,  i  I  . Xác định phép toán  xi iI .  yi iI   xi yi iI

Khi đó P là nhóm.

kí hiệu W = {  xi iI  P l xi  ei hầu hết } ta có W  P . W gọi là tích trực tiếp yếu
của họ  X i iI . Nếu I là hữu hạn thì W = P.
1.10.2 Định nghĩa tổng trực tiếp
Ta gọi tích trực tiếp yếu là tổng trực tiếp của các nhóm, thường kí hiệu là
n

X1  X 2  ...  X n   X i với i  I ta có các ánh xạ sau:
i 1

jxi : X i  P : xk  xi nếu k  i
xi   xi iI

xk  ei nếu k  i

pxi : p  X i

 xi iI

 xi

Là các đơn cấu, toàn cấu gọi là phép nhúng, phép chiếu thứ i

13


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Hà

Chƣơng2: Các cấu trúc tự do.

2.1 Nhóm tự do
2.1.1 Định nghĩa.
Cho S là một tập tuỳ ý, ta gọi là nhóm tự do xác định trên X là cặp (F, f)
trong đó S là một nhóm , f: S  F là ánh xạ sao cho với mọi ánh xạ
g: S  X , X là nhóm thì tồn tại duy nhất đồng cấu nhóm h: F  X sao cho
hf = g, tức là sơ đồ tam giác sau giao hoán

f
S

F
 !h

g

X
2.1.2 Tính chất
Định lí 2.1.
Nếu (F, f) là nhóm tự do xác định trên tập S thì ánh xạ f là đơn ánh và
f(S) sinh ra nhóm F.
Chứng minh:
*) f là đơn ánh:
Thật vậy a, b  S, a  b chọn X là nhóm có nhiều hơn một phần tử . Chọn
g : S  X sao cho g(a)  g(b)
theo định nghĩa nhóm tự do thì  ! đồng cấu h: F  X sao cho hf = g
 hf(a) = h[f(a)] = g(a)  g(b) =hf(b) = h[f(b)]
 f(a)  f(b) vì h là ánh xạ. vậy f là đơn ánh.

Giả sử A

F và A = < f(S) >, ánh xạ f sinh ra phép nhúng

g:S A
14


Khóa luận tốt nghiệp
a  g(a)

Nguyễn Thị Hà

iA : A  F, rõ ràng iAg =f. theo định nghĩa  ! h: F  A sao cho hf = g,
*) Cần chứng minh h là toàn ánh:
ta xét sơ đồ sau:
S

f

F
 !h K = iAh

g
A
iA

F

Ta có 1F cũng thoả mãn 1Ff = f.
Ta có K cũng thoả mãn: Kf = (iAh)f= iA(hf) = iAg = f ( Do(F,f) là nhóm tự do )
 1F = K

Mà 1F là toàn ánh  K là toàn ánh  iA là toàn ánh 

A=F

 F = <f(S)>. Tức là f(S) là tập sinh của nhóm F.

Định lý 2.2

(  ! Nhóm tự do )

Giả sử (F, f) và (F’, f’) là các nhóm tự do cùng xác định trên tập S. khi
đó tồn tại đẳng cấu j : F  F’ sao cho jf = f’ và tồn tại đẳng cấu k: F’  F sao
cho kf’ = f tức là 2 sơ đồ tam giác sau giao hoán
S

f

F

f’

j
’

f’

S
f

F’

F’
k

F

Chứng minh:
Do (F, f) là nhóm tự do xác định trên S nên  ! đồng cấu nhóm
15


Khóa luận tốt nghiệp
Nguyễn Thị Hà
’
’
J: F  F sao cho jf = f tức là sơ đồ tam giác sau giao hoán

S

f

F

f’

j
F’

Do (F’, f’) là nhóm tự do xác định trên tập S nên  ! đồng cấu nhóm

K: F’  F sao cho: kf' = f tức là biểu đồ sau giao hoán
f’
F’

S
f

k
F
f’

Xét sơ đồ sau:
S

F
f’

F’

f

k

 ! kj

F
Coi (F, f) trong sơ đồ trên như cặp (X, g) trong định nghĩa
Theo trên ta có kjf = k(jf) = kf’ = f = 1Ff
Do (F, f) là nhóm tự do nên  ! đồng cấu từ F  F để tam giác ngoài cùng giao
hoán

’

 kj = 1 F  j là đơn cấu

Tương tự ta xét sơ đồ sau:

S

f F

16

F’

f'
k


Khóa luận tốt nghiệp
f'

j

Nguyễn Thị Hà
 ! jk

F’
coi ( F’, f,) trong sơ đồ trên như cặp (X, g) trong định nghĩa theo trên ta
có :
jkf’ = j(kf’) = jf = f’ = 1F’f’

Do ( F’, f’) là nhóm tự do   ! đồng cấu từ F’  F để tam giác ngoài giao
hoán  jk = 1F’  j là toàn cấu
Vậy j là đẳng cấu  k = j-1 cũng là đẳng cấu
Định lý 2.3: (tồn tại nhóm tự do)
Với mọi tập S luôn tồn tại nhóm tự do trên S.
Chứng minh :
*) Xác định nhóm F:
Xác định tập F: Kí hiệu T = S  1,1
Thay cho cách viết (a, 1) bằng a1 , (a, -1) bằng a-1 , a S
Đưa vào khái niệm “ chữ ”
Chữ w là tích hình thức hữu hạn những phần tử của T tức là có dạng
a1 1 a 2 2 … a kk , ai  S ,  i = 1, k ,  i  1,1,

Chữ w được gọi là rút gọn nếu trong biểu diễn của w không có trường hợp a1
đứng cạnh a-1 , a  S
Đưa vào kí hiệu e thay cho “ chữ rỗng” tức là chữ không có phần tử nào
của S.
Kí hiệu F là tập gồm các chữ rút gọn và phần tử e: F = { w, e}
*) Xác định phép toán đại số 2- ngôi trên F như sau:
u, v  F nếu u =e thì uv = ev = v

Nếu v = e thì uv = ue = u
17


Khóa luận tốt nghiệp
Nếu u  e, v  e

Nguyễn Thị Hà

Thì uv là viết kế tiếp thành tích hình thức như trên trong uv ta xoá đi các tích
dạng a1a-1, a-1a1 (nếu có mặt)  uv là chữ rút gọn.
xoá hết thì coi uv = e.
Dễ dàng kiểm tra được F cùng vớiphép tóan trên lập thành 1 nhóm.
- Xác định ánh xạ : f: S  F
a  a1
*) Ta sẽ chứng minh (F, f) là nhóm tự do
Thật vậy , giả sử x là nhóm bất kì , g: S  X là ánh xạ bất kì
- Xác định quy tắc h: F  X
e  h(e) là phần tử đơn vị của X: h(e) = 1X
w = a1 a 2 … an  g (a1 ) g (a2 ) … g (a n ) ,  i  1,1, i  1, n
1

2

1

n

n

2

ta có quy tắc h là một đồng cấu nhóm
1

1

a  S, (hf)(a) = h[f(a)] = h(a ) = g(a ) = g(a)

 hf = g

Giả sử tồn tại k: F  X sao cho kf = g
Khi đó w  F, giả sử w = a1 a 2 … an
1

2

K(w) = k (a1 ) k (a2 ) … k (a n )
1

2

n

n

= k  f (a1 ) k  f (a2 ) … k  f (a n )
1

2

= kf a1  kf a2  … kf a n 
1

2

= g a1  g a2  … g a n 
1

2

n

n

n

= h(w)
 k=h

Nhận xét : Do f: S  X là một đơn ánh, nên đồng nhất S với f(S)
 S  F và F = < S >

Mọi ánh xạ g: S  X đều mở rộng duy nhát thành đồng cấu
18


Khóa luận tốt nghiệp
h:F X

Nguyễn Thị Hà

Ta gọi F là nhóm tự do sinh bởi tập S.
Định lý 2.4:
Mọi nhóm đều đẳng cấu với nhóm thương của một nhóm tự do.
Chứng minh:
Giả sử X là nhóm bất kì, X = < S >, bao giờ cũng tồn tại S  X để X = < S >
Chẳng hạn S = X
Giả sử F là nhóm tự do sinh bởi S.

phép nhúng g = iS: S  X mở rộng thành đồng cấu h: F  X
ta có h(F)  X

(1)

Mặt khác S = g(S)  h(F) do h là mở rộng của g và S  F, h(F) là một nhóm, X
là nhóm sinh bởi S.
Theo định nghĩa nhóm con sinh bởi một tập  X  h(F)

(2)

Từ (1) và (2)  X = h(F)  h là toàn cấu , theo định lý cơ bản về đồng cấu
nhóm ta có:

F

Kerh

 X

Nhận xét : Giả sử Kerh = <R >, F được xác định bởi S, kerh được hoàn toàn xác
định bởi tập S là các phần tử sinh của X, các phần tử của R được gọi là các hệ
thức của x. gọi các phần tử của R là hệ thức vì giả sử w  R do
R  Kerh, do F là nhóm tự do xác định trên S  X, g là nhúng chính tắc
 g(ai) = ai  h(w) =
 w=

a1 1 a 2 2 … an n

g a1  g a2  … g an  = e

1

n

2

 < R > gọi hệ thức này là hệ thức xác định

Như vậy với nhóm X bất kì thì được xác định bởi tập sinh S và tập hệ thức
R  X không còn là tự do nữa. nhóm tự do F được xác định chỉ bởi tập S.
Từ nhận xét này giúp làm rõ tại sao F gọi là tự do nghĩa là không phụ thuộc
Còn nhóm X phụ thuộc vào các hệ thức trong < R > .
Ví dụ 2.1:

19


Khóa luận tốt nghiệp
Nguyễn Thị Hà
Giả sử X là nhóm xyclic cấp n sinh bởi a  X. khi đó X hoàn toàn xác
định bởi {a} và hệ thức an = e. Do đó X = { an = ao = e, a, a2, …, an-1}
2.2 Nhóm abel tự do
2.2.1 Định nghĩa.
Cho S là một tập hợp, ta gọi là nhóm abel tự do trên tập S, một nhóm abel
F cùng với ánh xạ f: S  F sao cho với mọi ánh xạ g:S  X , X là nhóm abel
thì tồn tạiduy nhất đồng cấu h: F  X âsao cho hf = g, tức là sơ đồ tam giác sau
giao hoán
S

f

F
! h

g

X
2.2.2 Tính chất;
Định lý 2.5
Giả sử (F, f) là nhóm abel tự do xác định trên tập s thì f là đơn ánh
và F = < f(S) >.
Định lý 2.6

(  ! Nhóm abel tự do )

Giả sử (F, f) và (F’, f’) là 2 nhóm abel tự do xác định trên tập S. khi đó :
’

 ! đẳng cấu j: F  F sao cho jf = f
’

’

’

 ! đẳng cấu k: F  F sao cho kf = f

Định lý 2.7

( tồn tại nhóm abel tự do)

Với mọi tập S luôn tồn tại nhóm abel tự do trên S.
Chứng minh:
Trước hết ta đưa vào khái niệm hoán tử của 2 phần tử: cho a,b  X là
nhóm
Gọi phần tử aba-1b-1 là hoán tử của hai phần tử a, b.

20


Khóa luận tốt nghiệp
Nguyễn Thị Hà
-1 -1
Kí hiệu  (x) = < {aba b , a,b  X}> là nhóm con của x được sinh bởi tập các
hoán tử của X , gọi là nhóm con hoán tử của nhóm x.
Ta cũng có nhóm thương X x  là nhóm abel
Ta đi xây dựng nhóm abel F như sau:
Cho S là tập hợp bất kì, giả sử (G, j)là nhóm tự do xác định trên S khi đó tồn tại
nhóm abel G G  = F
Gọi p: G  F là phép chiếu chính tắc. chọn ánh xạ f = pj: S  F
Khi đó (F, f) là nhóm abel tự do
Thật vậy: giả sử g: S  X , với X là nhóm abel bất kì .Vì G là nhóm tự do trên
S nên tồn tại đồng cấu k: G  X sao cho kj = g

j

p

S

G

G
 !k

G 

 h=k

=F

*

g
X
Vì X là nhóm abel  k chuyển nhóm con hoán tử G  vào trung hoà
 x  X vì x  G  x = a1n a 2n … a mnm , ai là hoán tử i  1, m , nj  Z
1

2

n
n
j  1, m  k(x) = k( a1n1 a 2n2 … a mnm ) = k a1  1 k a2  2 … k a m  m
n

Vì ai là hoán tử ai = aba-1b-1, a, b  G

  

1
1
 k ai   k a k bk a 1 k b 1 = k a k a  k bk b =  x

 k ai  i =  x , i  1, m  k(x) =  x
n

Khi đó k sinh ra đẳng cấu k* = h: F  X sao cho hp = k
Thật vậy cho dồng cấu f: X  Y, A  X   nhóm thương X A
21


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Hà

Nếu A  Kerf thì f sinh ra đồng cấu f* : X A  Y
xA  f(x)
quy tắc f* xác định khắp nơi.
quy tắc f* đơn trị :  xA, x’A  X A Giả sử xA = x’A  x 1 x ,  A
Do A  Kerf  f x 1 x ,   e y  f x1 f x ,   e y  f(x) = f(x’)
f* là đồng cấu:
ta có f*p = f vì x  X : (f*p)(x) = f*[p(x)] = f* (xA) = f(x)
Ta có : hf = hpj = kj = g.
Ta di chứng minh h là duy nhất , thật vậy:
Giả sử h’: F  X sao cho h’f = g. khi đó có đồng cấu k’ = h’p: G  X
Cũng thoả mãn: k’j = h’pj = h’f = g.
Do tính duy nhất của đồng cấu từ G  X mà kj = g = k’j
’

 k =k

Khi đó   F   = x G  = p(x), x  G
h(  ) = h[p(x)] = (hp)(x) = k(x) = k’(x) = (h’p)(x) = h’[p(x)] = h’(  )
 h=h

’

*) Ngoài ra ta có thể xây dựng nhóm abel như sau:
Cho (Z,+) là nhóm cộng các số nguyên
kí hiệu F = {  : S  Z sao cho  S  = 0 hầu hết s  S}
xác định phép toán cộng trong F như sau:
 ,   F, s  S : (  + )(s) =  s  +  (s)

 (  + )  F và phép toán (+) là phép toán đại số 2- ngôI xác định trên F

Dễ dàng kiểm tra được (F, +) là một nhóm abel.
phần tử trung hoà là  : S  Z mà  s   0s  S
phần tử đối của  là -  : S  Z với   s    s  .
Xác định ánh xạ: S  F
22


Khóa luận tốt nghiệp
s  f s  : S  Z

Nguyễn Thị Hà

1, t  s
0, t  s

với f(s)(t) = 

Ta đi chứng minh (F, f) là nhóm abel tự do
Giả sử g: S  X là ánh xạ tuỳ ý từ s đến nhóm abel tự do X
Xác định ánh xạ h: F  X


 h(  ) =

 s g s 
sS

Là đồng cấu nhóm
Thật vậy:
*  ,  F , h         s g s     s    s g s 
sS

sS

=  s g s    s g s  =  s g s  +
sS

 s g s 
sS

= h   h  , s  S
* s  S.hf s   h f s    f s t g t   1.g s   g s   hf  g
tT

đồng cấu nhóm h như trên xác định duy nhất
Thật vậy: Giả sử h’ : F  X sao cho h’f = g
Giả sử   F     s  f s  ,  (s) là số nguyên , f(s) là ánh xạ từ S

Z

sS

được xác định như trên




 sS



Do h’ là đồng cấu nhóm nên: h'    h'    s  f s     s h'  f s 
=

sS

 s h' f s    s g s   h 
sS

sS

 h  h'

Nhận xét: vì f: S  F là đơn ánh  đồng nhất S với f(S) và F = <S > và ánh xạ

g: S  X đều mở rộng duy nhất thành đồng cấu h: F  X. do đó nói gọn F là
nhóm abel tự do xác định trên S.
Định lý 2.8 :
23


Khóa luận tốt nghiệp
Nguyễn Thị Hà
Mọi nhóm abel đều đẳng cấu với nhóm thương của nhóm abel tự do. Tập
sinh S được gọi là cơ sở, Kí hiệu là FS
Định lý 2.9
Giả sử FS, FT là các nhóm abel tự do xác định tương ứng trên S, T. khi đó
FS = FT  S  T
Tập S được gọi là cơ sở củanhóm abel tự do S
S gọi là hạng của nhóm FS, kí hiệu là rank FS

2.3 Nhóm abel hữu hạn sinh
2.3.1 Định nghĩa.
Nhóm abel hữu hạn sinh tức là các nhóm abel với một tập sinh hữu hạn.
Nhóm X được gọi là không xoắn nếu đơn vị của X là phần tử duy nhất trong X
có cấp hữu hạn.
2.3.2 Tính chất
Bổ đề 1
Mọi nhóm abel với n phần tử sinh đều đẳng cấu với một nhóm thương của
một nhóm abel tự do hạng n
Chứng minh:
Giả sử X = S  x1 , x2 ,..., xn  và là nhóm abel
Giả sử (F, f) là nhóm abel tự do sinh bởi S  r(F) = n
Lấy g: S  X

là đơn ánh chính tắc, tức là phép nhúng chính tắc

xi  xi , i  1, n
 ! đồng cấu h: F  X sao cho hg = f, tức là sơ đồ sau giao hoán

f
S

F
24


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Hà

Ta cần chứng minh h là một toàn ánh.
Thật vậy ta có f(S)  F
Mặt khác S = g(S) ( Do g là phép nhúng)
= (hf)(S) = h[f(S)]
 S  h f S   hF 
  X  hF 
X S


Dễ dàng thấy h(F)  X
 h(F) = X
 h là một toàn cấu  X = F

Kerh

( theo định lý cơ bản về đồng cấu nhóm )
2.4 Nhóm các đồng cấu nhóm
2.4.1 Định nghĩa.
Cho A, B là 2 nhóm abel
kí hiệu Hom(A, B) = {f: A  B là đồng cấu nhóm}
Ta xây dựng quy tắc cộng như sau:
f, g  Hom(A,B):  f  g a  f a  g a
2.4.2 Tính chất
Định lý 1.
Hom((A,B), +) lập thành nhóm giao hoán
Chứng minh
Giả sử f,g là đồng cấu nhóm
a, b  A,  f  g a  b  f a  b  g a  b  f a  f b  g a  g b
  f a  g a   f b  g b   f  g a   f  g b

Trung hoà là đồng cấu  AB
25