Cấu trúc đại số sắp thứ tự cấu trúc tự do đại số hữu hạn chiều

Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

LỜI CẢM ƠN
Em xin cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán đã giúp đỡ em trong quá
trình học tập và nghiên cứu dƣới mái trƣờng Đại Học Sƣ Phạm Hà Nội 2.
Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Vƣơng Thông đã
tận tình chỉ bảo và giúp đỡ em trong suốt thời gian qua.
Cuối cùng em xin cảm ơn các thầy cô trong tổ Đại Số và các bạn đã tạo
điều kiện, và đóng góp những ý kiến hữu ích để em thực hiện khóa luận này.
Hà Nội, tháng 5 năm 2010
Ngƣời thực hiện
Nguyễn Thị Xen

Nguyễn Thị Xen

1


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

LỜI CAM ĐOAN
Luận văn này là kết quả của em trong quá trình học tập và nghiên cứu
vừa qua, dƣới sự hƣớng dẫn của thầy Vƣơng Thông
Em xin cam đoan luận văn về đề tài “ Cấu trúc đại số sắp thứ tự.
Cấu trúc tự do. Đại số hữu hạn chiều” không trùng với bất kỳ luận văn nào
khác.
Hà Nội, tháng 5 năm 2010.

Ngƣời thực hiện
Nguyễn Thị Xen

Nguyễn Thị Xen

2


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

Mục lục
Mở đầu ..................................................................................................... 1
Nội dung ................................................................................................... 2
Chƣơng 1: Cấu trúc đại số sắp thứ tự ................................................... 2
1.1. Cấu trúc đại số .................................................................................... 2
1.1.1. Phép toán đại số n ngôi và tính chất................................................ 2
1.1.2. Quan hệ n ngôi ................................................................................ 7
1.2. Cấu trúc sắp thứ tự ........................................................................... 11
1.2.1. Định nghĩa ..................................................................................... 11
1.2.2. Ví dụ .............................................................................................. 11
Chƣơng 2: Một số lớp CTĐS đặc biệt ................................................. 14
2.1. Một số lớp nhóm đặc biệt ................................................................. 14
2.1.1. Nhóm tự do.................................................................................... 14
2.1.2 Nhóm Abel tự do ............................................................................ 19
2.1.3. NhómAbel hữu hạn sinh .............................................................. 24
2.1.4. Nhóm các đồng cấu nhóm ............................................................. 38
2.1.5. Nhóm giải đƣợc ............................................................................. 41
2.2. Một số lớp vành đặc biệt .................................................................. 43

2.2.1. Miền nguyên .................................................................................. 43
2.2.2. Vành Gauss .................................................................................. 46
2.2.3. Vành chính .................................................................................... 47
2.2.4. Vành Ơclit ..................................................................................... 48
2.2.5. Vành nguyên tố và nửa nguyên tố ................................................ 49
2.2.6. Vành nguyên thủy và nửa nguyên thủy ........................................ 50
2.2.7. Vành địa phƣơng và nửa địa phƣơng ........................................... 51
2.3. Một số lớp môđun đặc biệt............................................................... 52

Nguyễn Thị Xen

3


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

2.3.1 Môđun ............................................................................................ 52
2.3.2. Môđun tự do .................................................................................. 52
2.3.3. Môđun nội xạ và môđun xạ ảnh .................................................... 56
Chƣơng 3: Đại số hữu hạn chiều ......................................................... 58
3.1. Định nghĩa và ví dụ .......................................................................... 58
3.1.1. Định nghĩa ..................................................................................... 58
3.1.2. Ví dụ .............................................................................................. 58
3.2. Xét một số K_ Đại số ....................................................................... 59
3.2.1. Đại số tenxơ .................................................................................. 59
3.2.2. Đại số ngoài................................................................................... 62
3.2.3. Đại số đối xứng ............................................................................. 67
3.3. K_Đại số hữu hạn chiều ................................................................... 71

Kết luận .................................................................................................. 72
Tài liệu tham khảo ................................................................................ 73

Nguyễn Thị Xen

4


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài.
Đại số là một chuyên ngành chiếm vị trí quan trọng trong khoa học toán
học.Nó góp phần thúc đẩy sự phát triển của toán học hiện đại.Tuy nhiên để đi
sâu nghiên cứu môn Đại số thì cần có sự hiểu biết một cách sâu sắc về cấu
trúc Đại số.
Vì vậy em đã mạnh dạn chọn đề tài “ Cấu trúc đại số sắp thứ tự. Cấu
trúc tự do. Đại số hữu hạn chiều” cùng với sự giúp đỡ của thầy Vƣơng
Thông, với mong muốn đƣợc tìm hiểu sâu hơn về bộ môn Đại số.
2. Mục đích nghiên cứu.
Đƣa ra một số lớp cấu trúc đại số đặc biệt và mối quan hệ giữa chúng,
với các kiến thức ở phổ thông, từ đó góp phần làm phong phú thêm các lớp
cấu trúc đại số.
3. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu.
+ Đối tƣợng nghiên cứu:
- Các nhóm
- Vành
- Môđun

+ Phạm vi nghiên cứu: Đọc các tài liệu có liên quan
4. Nhiệm vụ nghiên cứu.
+ Tìm hiểu sâu hơn về các nhóm, các vành, các môdun
5. Phƣơng pháp nghiên cứu.
Phƣơng pháp đọc sách, tra cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp, đánh giá.

Nguyễn Thị Xen

5


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

NỘI DUNG
CHƢƠNG 1. CẤU TRÚC ĐẠI SỐ SẮP THỨ TỰ
1.1. Cấu trúc đại số
1.1.1. Phép toán đại số n ngôi và tính chất
a. Định nghĩa
Cho X   , ta gọi là phép toán đại số (PTĐS) 2 ngôi xác định trên X là
một ánh xạ f: X  X  X.
Thay cho cách viết f(x,y) ta viết xfy.
Thƣờng ký hiệu: +, .,  , o, …
Ta mở rộng cho phép toán đại số m ngôi, đó là ánh xạ f: X m  X.
Thƣờng viết f(x1,x2,x3,…xm).
Nếu X là tập hữu hạn có n phần tử ta có thể tính đƣợc:
Số phép toán đại số 2 ngôi xác định trên X là: nn
Số phép toán đại số 2 ngôi xác định trên X là: nn

2
m

b. Ví dụ
1. Đối tƣợng là số:
Trên  : Xét các quy tắc     
(a,b)  a+b (là PTĐS 2 ngôi)
 ab (là PTĐS 2 ngôi)
 a-b (không là PTĐS 2 ngôi)
 a  b (không là PTĐS 2 ngôi)
b

 a (không là PTĐS 2 ngôi)
 Max a, b (là PTĐS 2 ngôi)
 Min a, b (là PTĐS 2 ngôi)
 (a,b): USCLN (không là PTĐS 2 ngôi)
 [a,b]: BSCNN (không là PTĐS 2 ngôi)

Nguyễn Thị Xen

6


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

Tóm lại trên  có vô số PTĐS 2 ngôi
Tƣơng tự trên các tập số khác  ,  [ 2 ],  [ n 2 ],…  ,  ,  , K :số siêu phức,
ta có nhiều phép toán đại số 2 ngôi.

2. Đối tƣợng là các số nguyên đồng dƣ theo môđun n.

 n = { 0 ,1 ,… n  1 }
Có 2 PTĐS 2 ngôi thƣờng dùng: i + j = i  j

i. j  i . j
Cần chứng minh: i+j≥ n thì i  j = k , k  {0,1,…n-1}
i.j≥ n thì i. j  k , k  {0,1,…n-1}
3. Đối tƣợng là đa thức
R[x]: f(x)+ g(x)
f(x).g(x)
Tổng quát A[x], với A là vành giao hoán, có đơn vị bất kì
Nhận xét: Các ví dụ 2, 3 xuất phát từ các PTĐS 2 ngôi trên các đối tƣợng
đã biết ta xây dựng đƣợc các PTĐS 2 ngôi trên các đối tƣợng mới
4. Đối tƣợng là tập hợp
Các phép toán:  ,  , \, 
5. Đối tƣợng là phép thế đặc biệt S3
6.Đối tƣợng là ma trận Matn(  )
7.X là tập khác rỗng .
Xét các phép toán  sau mà mà thƣờng gọi là luật nuốt trái (phải) a, b 
a  b= b (nuốt trái)
Nếu x = 1 thì  giao hoán
Nếu x > 1 thì  không giao hoán
Phép toán  có kết hợp

Nguyễn Thị Xen

7

Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

Phép toán  có đơn vị nếu x = 1
Nếu x >1 thì  có nhiều đơn vị trái mà không có đơn vị phải.
8.Xuất phát từ tập X đã biết ta có thể xây dựng đƣợc nhiều phép toán trên
các đối tƣợng mới
Ví dụ: -Từ phép cộng, nhân các số thực ta xây dựng đƣợc các phép toán
trên Matn(X), X[x]
Tổng quát : Cho X là vành giao hoán, có đơn vị, ta xây dựng đƣợc các phép
cộng, nhân trên Matn(X), X[x].
- Từ các phép toán trên các mệnh đề : , , ,  ta cũng xây dựng
đƣờc các phép toán tƣơng ứng trên các đại số vị từ n ngôi cũng xác định trên
tập X bất kì.

, : Xn  M.
Ta có    x     x    x 

,

   x     x    x 

   x     x    x 

,

   x     x    x 

- Cho (X,+) là nhóm giao hoán .

Kí hiệu End(x) = { f: X  X là tự đồng cấu của X }
Xác định phép cộng trên End (x) nhƣ sau:
x  X f,g  End(x),

(f+g)(x) = f(x)+g(x)

x, y  X ,f,g  End(x),

(f+g)(x+y)= f(x+y)+g(x+y)
= f(x)+f(y)+g(x)+g(y)
= [f(x)+g(x)]+ [f(y)+g(y)]
= (f+g)(x)+(f+g)(y)

Suy ra (f+g)  End(x)
9.Thể Quarternion: (Còn gọi là số siêu phức)
Số siêu phức, dim   =2, dim  K =4.
Kí hiệu K={ a+bi+cj+dk | a,b,c,d   }

Nguyễn Thị Xen

8


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

-Phép cộng :  =a+bi+cj+dk
‟

‟

‟

‟

 =a +b i+c j+d k

Suy ra    =(a+a‟)+(b+b‟)i+(c+c‟)j+(d+d‟)k
-Phép nhân các vectơ cơ sở cho dƣới bảng sau:
1

i

j

k

1

1

i

j

k

i

i

-1

k

-j

j

j

-k

-1

i

k

k

j

-i

-1

Chú ý. Để nhớ bảng nhân cần hoán vị vòng quanh và phản hoán vị (trừ d 1,c1)
cụ thể là : {1,i,j,k} ta có : ij=k, jk=i, ki=j.

-Căn cứ vào bảng nhân trên ta thực hiện đựơc phép nhân giữa các phần tử của
K.
Giả sử  =a+bi+cj+dk
‟

‟

‟

‟

 =a +b i+c j+d k

Suy ra    = (a+a‟)+(b+b‟)i+(c+c‟)j+(d+d‟)k
= aa‟+ab‟i+ac‟j+ad‟k
-bb‟+ba‟i-bd‟j+bc‟k
-cc‟+cd‟i+ca‟j-cb‟k
-dd‟-dc‟i+db‟j+da‟k
= (aa‟-bb‟-cc‟-dd‟)+(ab‟+ba‟+cd‟-dc‟)i+(ac‟+ca‟-bd‟+db‟)j
+(ad‟+bc‟-cb‟+da‟)k
-Mỗi phần tử khác không đều có nghịch đảo
Giả sử  K*  a2+b2+c2+d2  0
Ta biến đổi nhƣ sau:
1
1
=
a  bi  cj  dk (a  bi )  (cj  dk )

Nguyễn Thị Xen

9


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán
=

(a  bi )  (cj  dk )
(a  b  2abi )  (c 2  d 2  2cdi)

=

(a  bi  cj  dk )
(a  b  c 2  d 2 )  2(ab  cd )i

=

(a  bi  cj  dk ) (a 2  b 2  c 2  d 2 )  2(ab  cd )i
K
(a 2  b 2  c 2  d 2 ) 2  4(ab  cd ) 2

2

2

2

2





Phép nhân không giao hoán  (K,+,.) Không lập thành một trƣờng, ta
gọi K là một thể
-Nhân vô hƣớng : r  , r  =ra+(rb)i+(rc)j+(rd)k K.
Ta có (K,+) cùng với nhân vô hƣớng trên lập thành  - không gian vectơ
Vậy (K,+,., nhân vô hƣớng với  ) là  - đại số không giao hoán. Đại
số này có 4 chiều
Ta có     K .
10. Lập các bảng toán cho tập X có n phần tử.
- Lập bảng toán 2 ngôi trên X có n phần tử:
2

bằng số các ánh xạ f:X  X  X: nn phép toán
- Tổng quát: số bảng toán m ngôi trên X có m phần tử
m

bằng số các ánh xạ f:Xm  X: nn phép toán
c. Tính chất
Ta viết phép toán theo lối nhân
 Kết hợp:  x, y, z  X: (xy)z=x(yz)
 Giao hoán:  x, y X:

xy=yx

 Tồn tại trung hoà (đơn vị):

 X: +x=x  x X

e X: e x=x

 x X

 Mỗi x X,  phần tử đối - x X, phần tử nghịch đảo x-1 X

Nguyễn Thị Xen

10


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

Ví dụ. trên  xác định phép toán  : a  b=a2+b2+ab. phép toán  có tính chất
giao hoán không có tính chất kết hợp
Tìm đơn vị: giả sử e là đơn vị:

e  
e  
 2

2

e  a  a, a  
e  a  ea  a

1
 2

( 2)
Cách 1: Gán cho a một số giá trị chẳng hạn a=0 
e2=0  e  0 

cho a=2  0  2=02+22+2.0=4  2  không có đơn vị
Cách 2: Xem (2) nhƣ đa thức của biến a :a2+( e  1).a+ e 2 =0
1  0

 e  1
e 2  0


vô nghiệm

Cách 3: Xem (2) là phép toán bậc 2 với e , chọn a=2  e2  2e +2=0 có
' =1-2=-1  phƣơng trình không có nghiệm    (2) không đúng với a=2.

1.1.2. Quan hệ n ngôi
a. ĐN. - Ta gọi là quan hệ 2 ngôi xác định trên X  Y một bộ phận R  X  Y .
Nếu (x,y) R ta viết xRy và nói x có quan hệ R với y;
Xét theo quan hệ bao hàm thì  là hẹp nhất, X  Y là rộng nhất:
Kí hiệu : R,S,  ,=,  ,~
-Nếu X=Y là nói gọn R là quan hệ 2 ngôi xác định trên X.
-Mở rộng ta gọi bộ phận R X1  X 2  ...  X n là quan hệ n ngôi xác
định trên X1  X 2  ...  X n .
b. VD.
1. X là tập ngƣời, Y   .
xR1n nếu n là tuổi của x tính đến năm nào đó
xR2n nếu n > tuổi của x

xR3n nếu n< tuổi của x

Nguyễn Thị Xen

11


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

xR4n nếu x sinh năm n, có thể dẫn ra nhiều quan hệ R tƣơng tự
2. X là tập ngƣời
Xét các quan hệ R sau:
xRy nếu x là bố đẻ của y
xRy nếu x là bạn cùng tuổi với y
xRy nếu x là cùng giới với y
xRy nếu x là cùng trình độ học vấn với y
3.Trên  các số tự nhiên xét các quan hệ sau:
xRy nếu x  y
xRy nếu x | y
xRy nếu (x-y)  4
xRy nếu x  y
4.X là tập các tam giác

 ABC R  A'B'C'

  ABC   A'B 'C '
  ABC   A'B 'C '
  ABC   A' B 'C '

c.Tính chất
Cho R là quan hệ 2 ngôi xác định trên X
1. Tính chất phản xạ : Ta nói R có tính chất phản xạ nếu  x X, xRx
2. Tính chất đối xứng:  x,y X, Nếu xRy thì yRx
3. Tính chất phản xứng:  x,y X. Gỉa sử xRy và yRx suy ra x=y
4. Tính chất bắc cầu:  x,y,z X. Gỉa sử xRy và yRz suy ra xRz.
d. Hai quan hệ 2 ngôi đặc biệt
 Quan hệ tƣơng đƣơng.
-Định nghĩa : Quan hệ 2 ngôi R có 3 tính chất : Phản xạ, đối xứng, bắc cầu là
quan hệ tƣơng đƣơng.
Thƣờng kí hiệu : ~

Nguyễn Thị Xen

12


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

x,y  X. Nếu x~y theo quan hệ tƣơng đƣơng ~ thì ta xem x và y là nhƣ
nhau, điều này giúp rất nhiều trong hoạt động thực tiễn của con ngƣời.
-Tính chất :
Lớp tƣơng đƣơng x ={ y  X | y  x }, x  y  x~ y.
Định lí 1
i.  x  X , x  
ii.  x,y  X, x  y   hoặc x  y
iii. X=  x

xX

Tập thƣơng X/~ ={ x | x  X }
Sự phân hoạch: Chia X   ra thành các bộ phận khác rỗng và rời nhau
từng đôi, khi đó ta có sự phân hoạch tập X
Định lí 2
Có sự tƣơng ứng (1-1) giữa sự phân hoạch trên X với các quan hệ
tƣơng đƣơng xác định trên X.
Từ kết quả này cho phép ta tìm đƣợc các quan hệ tƣơng đƣơng trên X.
Khi X có hữu hạn phần tử bằng cách tìm các sự phân hoạch khác nhau có thể
có trên X
Ý nghĩa : Có một quan hệ tƣơng đƣơng ~ trên X. Khi đó với x,y  X,
nếu x~y thì theo quan hệ ấy ta coi x và y là nhƣ nhau( x  y  x  y ).


Quan hệ thứ tự

- Định nghĩa: Quan hệ 2 ngôi có 3 tính chất : phản xạ, phản xứng, bắc cầu gọi
là quan hệ thứ tự bộ phận.
Thƣờng kí hiệu là:  (  )
Khi đó ta nói X là tập đƣợc sắp thứ tự bởi quan hệ thứ tự bộ phận  .
Thƣờng kí hiệu là (X,  )

Nguyễn Thị Xen

13


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

x,y X, gọi là so sánh đƣợc với nhau nếu x  y hoặc y  x.
Tập sắp thứ tự bộ phận (X,  ) gọi là toàn phần nếu  x,y  X đều so
sánh đƣợc với nhau.
- Có 4 loại phần tử trong tập sắp thứ tự bộ phận (X,  )
+Tối thiểu(TT):a X gọi là phần tử TT nếu  x X giả sử x  a thì x = a
+Bé nhất(BN): a X gọi là phần tử BN nếu  x X a  x
+Tối đại(TĐ): a X gọi là phần tử TĐ nếu  x X giả sử a  x thì x = a
+Lớn nhất(LN):a X gọi là phần tử LN nếu

 x X x  a

Ta có : Nếu a X là phần tử BN thì a là TT, ngƣợc lại nói chung không đúng
Nếu a  X là phần tử LN thì a là TĐ, ngƣợc lại nói chung không đúng
Nếu có nhiều TT thì không có BN
Nếu có nhiều TĐ thì không có LN
- Inf(A) , Sup(A)
Cho A  X
x  X đƣợc gọi là cân dƣới của A nếu x  a với mọi a A. Phần tử lớn
nhất trong các cận dƣới của A gọi là cận dƣới đúng của A, Nếu có thì đƣợc kí
hiệu là inf(A) .
Tƣơng tự có cận trên và sup(A).
-Có một số kiểu sắp thứ tự: Acsimet, rời rạc, trù mật
- Hai tập sắp thứ tự đẳng cấu:
+Cho hai tập sắp thứ tự (X,  1) (X‟,  2).
+Nếu tồn tại song ánh f:X  X‟ sao cho  a,b X, a  1 b thì f(a)  2f(b).
Khi đó ta nói hai tập sắp thứ tự (X,  1) đẳng cấu với (X‟,  2).
Chú ý : Ta còn xét quan hệ tiền thứ tự : Là quan hệ hai ngôi thoả mãn phản
xạ và bắc cầu, trong thực tế quan hệ tiền thứ tự đƣợc dùng rộng rãi hơn.

Nguyễn Thị Xen

14


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

1.2. Cấu trúc sắp thứ tự
1.2.1.Định nghĩa.
Gọi là cấu trúc đại số sắp thứ tự một bộ (X,  ,  ) trong đó X là tập nền
khác rỗng,  là tập các phép toán đại số với số ngôi khác nhau,  là tập quan
hệ thứ tự toàn phần trên X.
Thoả mãn một số điều kiện nào đó.
Các điều kiện này gọi là hệ tiên đề của cấu trúc sắp thứ tự (X,  ,  ) .
1.2.2. Ví dụ.
Ví dụ 1: Nhóm sắp thứ tự là (X,  ,  ) trong đó X   ,
 gồm một PTĐS 0 ngôi phép lấy phần tử trung hoà 

một PTĐS 1 ngôi phép lấy phần tử đối của mỗi phần tử
một PTĐS 2 ngôi: a+b
Hệ tiên đề của nhóm sắp thứ tự:
1 PTĐS 2 ngôi + có tính chất kết hợp
2 PTĐS 2 ngôi + có tính chất giao hoán
3  a X , +a=a
4 a  X ,  a‟ X: a+a‟= 
5  a,b X, giả sử a  b thì a+c  b+c.
Chẳng hạn : Nhóm sắp thứ tự (  ,+,  ),(  ,+,  ), (  ,+,  ), (  ,+,  ).

Ví dụ 2. Vành sắp thứ tự là(X,  ,  ) , trong đó X   ,
 gồm một PTĐS 0 ngôi lấy phần tử 

một PTĐS 1 ngôi lấy phần tử đối của a  X
một PTĐS 2 ngôi viết theo lối cộng : a+b
một PTĐS 2 ngôi viết theo lối nhân: a.b.
Hệ tiên đề của vành sắp thứ tự :
1. PTĐS hai ngôi + có tính chất kết hợp
2. PTĐS hai ngôi + có tính chất giao hoán

Nguyễn Thị Xen

15


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

3.  a X ,  +a=a .
4. Mỗi a X ,  a‟ X: a+a‟= 
5. PTĐS hai ngôi “.” có tính chất kết hợp
6. Nhân có tính chất phân phối đối với cộng : a(b+c) = ab+ac
(b+c)a = ba+ca
7. Quan hệ thứ tự toàn phần tƣơng thích đối với hai phép toán, nghĩa là:
 a,b  X, giả sử a  b thì a+c  b c ,  c  X

a.c  b.c ,  c  X+
a.c  b.c ,  c  XX+ ={x X | x   }, X- ={x X| x   }
Chẳng hạn ta có các vành số sắp thứ tự

(  ,+,.,  ) , (  ,+,.,  ) , (  ,+,.,  ).
Ví dụ 3. Trƣờng sắp thứ tự : (X,  ,  ) trong đó
X
 gồm 2 PTĐS 0 ngôi : Lấy phần tử không : 

Lấy đơn vị

:e

2 PTĐS 1 ngôi : Lấy phần tử đối của a X
Lấy phần tử nghịch đảo a X*
1 PTĐS 2 ngôi : a+b
1 PTĐS 2 ngôi : a.b
Hệ tiên đề của trƣờng sắp thứ tự :
1. PTĐS 2 ngôi „ + ‟có tính chất kết hợp
2. PTĐS 2 ngôi „ + ‟ có tính chất phân phối
3.  a  X ,  +a=a .
4. Mỗi a X ,  a‟  X: a+a‟= 
5. PTĐS 2 ngôi „. ‟ có tính chất kết hợp
6. PTĐS 2 ngôi „. ‟ có tính chất giao hoán

Nguyễn Thị Xen

16


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

7.  a  X : e a = a
8. Mỗi a X* ,  a”  X: a” .a = e
9. phép nhân phân phối đối với cộng : a(b+c) = ab + ac
10.  tƣơng thích đối với 2 phép toán , nghĩa là
 a, b X , giả sử a  b thì a+c  b+c  c X

a.c  b.c  c X+
a.c  b.c  c X
Chẳng hạn có các trƣờng sắp thứ tự : (  ,+,.,  ) , (  ,+,.,  ). Còn
(  ,+,.,  ) không trở thành trƣờng sắp thứ tự theo nghĩa :
Giả sử trên  xác định đƣợc quan hệ  cũng tƣơng thích đối với hai phép
toán. Khi đó ta có  x   *, x2 > 0 vì x   *, nếu x> 0.

 x2> 0, Nếu x< 0  -x> 0  (-x)(-x) = x2 > 0.
Ta có    , Ta muốn quan hệ  trên  khi thu hẹp về  vẫn giữ ngƣyên
Khi đó gặp mâu thuẫn sau : x = i  

Nguyễn Thị Xen

*

nhƣng i2 = -1 < 0 (mâu thuẫn)

17


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

CHƢƠNG 2: MỘT SỐ LỚP CTĐS ĐẶC BIỆT
2.1. Một số lớp nhóm đặc biệt
2.1.1. Nhóm tự do
a. ĐN. Cho S là tập tùy ý, ta gọi là nhóm tự do xác định trên tập S là cặp (F,f)
trong đó F là một nhóm, f: S  F là ánh xạ, sao cho với  cặp (x,g), trong đó
g: S  X, X là nhóm thì  ! đồng cấu h: F  X sao cho hf=g, tức là sơ đồ tam
giác sau giao hoán :
S

f

F
 !h

g

X
Có thể xuất phát từ các trƣờng hợp :
- Đồng cấu cảm sinh
- Vành đa thức A[x]
Để ngƣời ta khái quát hóa ngoài lý do dƣới đây giải thích cho thuật ngữ “Tự
do”.
b. Tính chất
Định lí 1. Nếu (F,f) là nhóm tự do xác định trên tập S thì ánh xạ f là đơn ánh
và f(S) sinh ra nhóm F.
Chứng minh.
 f là đơn ánh:
 a,b S, a  b: Chọn X là nhóm có nhiều hơn một phần tử

Chọn g: S  X sao cho g(a)  g(b)

Theo định nghĩa nhóm tự do thì  ! đồng cấu h: F  X sao cho hf=g
 h[f(a)]= (hf)(a)= g(a)  g(b)= (hf)(b)= h[f(b)]
 f(a)  f(b) vì h là ánh xạ.
 Giả sử A

Nguyễn Thị Xen

F và A= <f(S)>, ánh xạ f sinh ra g: S  A  F

18


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

phép nhúng g: S  A

, iA: A  F

a  f(a)
rõ ràng iAg=f, ánh xạ f và g cùng tập xác định, nhƣng khác nhau TGT.
Theo định nghĩa  !h: F  A sao cho hf=g, cần chứng minh iAh là toàn
ánh
Xét sơ đồ:

S

f

f

F
1F

với k=iAh

k

(chọn k=iAh )

F
S

f

g

 !h

F
k=iAh

A
iA
F
Ta có 1A cũng thỏa mãn 1Ff=f

1F=k do (f, F) là tự do   ! đồng cấu từ

k cũng thỏa mãn kf=(iAh)f=iAg=f

F  F ' là toàn ánh.

k=iAh là toàn ánh do 1A là toàn ánh  iA là toàn ánh  A=F  F=<f(S)>, tức
là f(S) là tập sinh của nhóm F.
Định lí 2. (Tồn tại duy nhất nhóm tự do xác định trên tập S).
Giả sử (F,f) và (F‟,f‟) là nhóm tự do cùng xác định trên tập S.
Khi đó  đẳng cấu j: F  F‟ sao cho jf=f‟
và
hoán:

 đẳng cấu k: F‟  F sao cho kf‟=f tức là 2 sơ đồ tam giác sau giao

S

f

F

f‟

j
F

Nguyễn Thị Xen

f‟

S

f

F‟
k

F‟

19


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

Chứng minh. Do (f,F) là nhóm tự do xác định trên S nên  ! đồng cấu nhóm j:
F  F‟ sao cho jf=f‟, tức là sơ đồ tam giác sau giao hoán
S

f

F

f'

 !j

F‟
Do (f‟,F‟) là nhóm tự do xác định trên S nên  ! đồng cấu nhóm k: F‟  F sao
cho kf‟=f, tức là sơ đồ tam giác sau giao hoán
f‟

S

F‟
 !k

f
F
Xét sơ đồ sau:
S

f

F

f‟

j
F‟

f

 !kj

k

F
Coi (f,F) trong sơ đồ trên nhƣ cặp (g,X) trong định nghĩa
Theo trên kjf= k(jf)= kf‟=f=1Fg, Do (f,F) là nhóm tự do   ! đồng cấu từ
F  F để tam giác ngoài cùng giao hoán  kj=1F  j là toàn cấu.

Tƣơng tự xét sơ đồ:
f‟

S
f

F‟
k

f‟

F

jk

j
F‟

Nguyễn Thị Xen

20


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

Coi (f‟,F‟) trong sơ đồ trên nhƣ cặp(g,X) trong định nghĩa
Theo trên jkf‟=j(kf‟)=jf=f‟=1F‟f‟, do (f‟,F‟) là nhóm tự do   ! đồng cấu từ
F‟  F để tam giác ngoài cùng giao hoán  jk=1F‟  j là toàn cấu.

Vậy j là đẳng cấu  k=j-1 cũng là đẳng cấu.
Định lí 3. (Tồn tại nhóm tự do ).
Với mọi tập S luôn tồn tại nhóm tự do trên S.
Chứng minh.
 Xác định nhóm F.
- Xác định tập F: Kí hiệu T=S  {1,-1}
Thay cho cách viết (a,1) bằng a1, (a,-1) bằng a-1, a S. Đƣa vào khái niệm “
chữ”.
Chữ w là một tích hình thức hữu hạn những phần tử của T, tức là dạng:

a11 a2 2 ...ak k ,

ai  S i =1,k ,

có thể trùng nhau, 1 1, 1 .  i=1,k .
Chữ w đƣợc gọi là rút gọn nếu trong biểu diễn của w không xảy ra trƣờng hợp
a1 đứng cạnh a-1,  ai S.
Đƣa vào kí hiệu e thay cho chữ rỗng tức là chữ không có phần tử nào của S.
Kí hiệu F là tập gồm các chữ rút gọn và phần tử e.
F={w, e}
-

Xác định phép toán đại số 2 ngôi x trên F:

 x,v F.

Nếu x=e thì uv=ev=v
Nếu v=e thì uv=ue=u

Nếu x  e, v  e thì uv là viết kế tiếp tích hình thức nhƣ trên, trong uv ta xóa đi

các tích dạng a1a-1, a-1a1 nếu có mặt  uv là chữ rút gọn, xóa hết thì coi uv=e.
- Dễ dàng kiểm tra đƣợc F cùng với phép toán trên lập thành một nhóm.

Nguyễn Thị Xen

21


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

 Xác định ánh xạ f: S  F
a  a1
 CM (F,f) là nhóm tự do
Giả sử (X,g), X là nhóm bất kì , f: S  F là ánh xạ bất kỳ.
- Xác định quy tắc h: F  X
e  h(e) là phần tử đơn vị của X: h(e)=1X
w= a1 a2 ...an  [g(a1)] 1 [g(a2)]  2 … [g(an)]  n
1

2

n

,  i 1,1, i 1, n

- Ta có quy tắc h là một đồng cấu nhóm
-

a S , (hf)(a)=h[f(a)]=h(a1)=g(a)1=g(a)  hf=g tức là sơ đồ tam giác

sau giao hoán
S

f

F

g

h
X

- ! đồng cấu h: F  X sao cho hf=g
Giả sử  đồng cấu k: F  X sao cho kf=g
Khi đó wF w= a11 a2 2 ...an n
k(w) = [k(a1)] 1 [k(a2)]  2 … [k(an)]  n
= [k(a‟1)] 1 [k(a‟2)]  2 … [k(a‟n)]  n
= [k[f(a1)]] 1 [k[f(a2)]]  2 … [k[f(an)]]  n
= [(kf)(a1)] 1 [(kf)(a2)]  2 … [(kf)(an)]  n
= [g(a1)] 1 [g(a2)]  2 … [g(an)]  n =h(w)
 k= h.

Nhận xét:
- Do f: S  F là một đơn ánh, nên đồng nhất S với f(S)  S  F và F=<S>.
-  ánh xạ g: S  X đều mở rộng duy nhất thành đồng cấu h: F  X ta gọi
F là nhóm tự sinh bởi tập S.

Nguyễn Thị Xen

22


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

2.1.2. Nhóm Aben tự do.
a. ĐN. Cho S là một tập hợp. Ta gọi nhóm Aben tự do trên tập S, một nhóm
Aben F cùng với một ánh xạ f: S  F sao cho với mọi ánh xạ g: S  X, X là
nhóm Aben thì ! đồng cấu h: F  X sao cho hf=g, tức là sơ đồ tam giác sau
giao hoán
S

f

F
! h

g

X
b. Tính chất.
Định lí 1. Giả sử (F,f) là nhóm Aben tự do xác định trên S thì f là đơn ánh và
F=<f(s)>.
Chứng minh. Tƣơng tự trong phần nhóm tự do.
c. Tồn tại nhóm Aben tự do xác định trên tập S.
Định lí2. (Tồn tại duy nhất ) Giả sử (F,f) và (F‟,f‟) là hai nhóm Aben tự do
xác định trên S. Khi đó ! đồng cấu j: F  F‟ sao cho jf1=f‟

! đồng cấu k: F‟  F sao cho kf‟=f
Chứng minh. Tƣơng tự phần nhóm tự do
Định lí 3. (Tồn tại nhóm tự do Aben)
Cách 1. Đƣa vào khái niệm: hoán tử của 2 phần tử:
Cho a,b X là nhóm, gọi phần tử aba-1b-1 là hoán tử của 2 phần tử a, b.
Kí hiệu   x   aba 1b1, a, b  X  là nhóm con của X đƣợc sinh bởi tập các
hoán tử của X, gọi là nhóm con hoán vị của nhóm X. Ta cũng có nhóm
thƣơng X ( X ) là nhóm Aben.

Nguyễn Thị Xen

23


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

 Xác định nhóm Aben F
- Cho S là tập bất kỳ, giả sử G là (G,j) là nhóm tự do xác định trên S. Khi đó
 nhóm Aben G (G ) =F; D: G  F là phép chiếu chính tắc

 Chọn ánh xạ f= Pj: S  F.
 CM (F,f) là Aben tự do
Giả sử g: S  X là ánh xạ từ S đến nhóm Aben bất kỳ X.
Vì G là nhóm tự do trên S nên  đồng cấu k: G  X sao cho kj= g
S

G

G

 (G )

=F

! k h  h *

g

X
Vì X là nhóm Aben  K chuyển nhóm con hoán tử  (G) vào trung hòa
0x=X. Vì x  G   x  a1n a2n ...amn , ai , ni   i 1.m
1

m

2

 K ( x)  K (a1n1 a2n2 ...amnm )  [ K (a1 )]n1 [ K (a2 )]n2 ...[ K (am )]nm , ai là hoán tử

 ai  aba1b1, a, b  G  k (ai )  k (a)k (b)k (a 1 )k (b 1)
 k (a)k (a 1 )k (b)k (b1 )  0 X
 k (ai )ni 0x i  1, m  k(a)=0x.
Khi đó k sinh ra đồng cấu k  =h: F  X sao cho hp=k.
( Tổng quát: Cho đồng cấu f: X  Y, A  X   nhóm thƣơng X , nếu
A
A  Kerf thì f sinh ra đồng cấu f*: X

A

Y

xA  f(x)
quy tắc f* xác định khắp nơi
quy tắc f* là đơn trị vì  xA, x‟A  X

A

, giả sử xA=x‟A  x-1x‟ A

Do A  Kerf  f(x-1x‟)=ey  f(x)-1f(x‟)=ey  f(x)=f(x‟)

Nguyễn Thị Xen

24


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

có ngay f* là đồng cấu
có ngay f*p=f vì x  X , (f*p)(x)= f* [p(x)]= f* (xA)=f(x))
Ta cũng có hf =hpj=kj=g.
Ta còn chứng minh h là duy nhất: giả sử h‟: F  X sao cho h‟f=g.
CM: k=k‟
Khi đó đồng cấu k‟=h‟p: G  X cũng thỏa mãn k‟j=h‟pj=h‟f=g
Do tích duy nhất của đồng cấu từ G  X (kj=g=k‟j  k‟=k)

Khi đó   F    xr (G )  p( x), x  G .
CM : h=h‟
Khi đó h(  )=h[p(x)]=(hp)(x)=k(x)=k‟(x)=(h‟p)(x)=h‟[p(x)]
=h‟(x  )(G)=h‟(  )  h=h‟.
Xây dựng nhóm Aben F:
- Xây dựng tập F.
Cách 2. Cho (  , ) là nhóm cộng các số nguyên.
Kí hiệu F={  : S   sao cho  ( s)  0 hầu hết s  S }
- Xác định phép toán cộng trong F

 ,  F , s  S ,(   )( s)   ( s)   ( s)
Và cộng là phƣơng trình đại số 2 ngôi xác định trên F
- Kiểm tra đƣợc (F,+) là nhóm Aben, trung hòa là  : S  
mà  (s)=0, s S .
Đối của  là  : S   , (  )(s)=  (s)


Xác định ánh xạ f: S  F
s  ánh xạ f(s): S  

 s 1

t  s  0

Nguyễn Thị Xen

25