Tốc độ hội tụ và xấp xỉ hữu hạn chiều cho nghiệm hiệu chỉnh của bất đẳng thức biến phân đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC







LƯƠNG THỊ THU THỦY






TỐC ĐỘ HỘI TỤ VÀ XẤP XỈ HỮU HẠN CHIỀU
CHO NGHIỆM HIỆU CHỈNH CỦA BẤT ĐẲNG
THỨC BIẾN PHÂN ĐƠN ĐIỆU







LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN – 2009


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC




LƯƠNG THỊ THU THỦY



TỐC ĐỘ HỘI TỤ VÀ XẤP XỈ HỮU HẠN CHIỀU
CHO NGHIỆM HIỆU CHỈNH CỦA
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN ĐƠN ĐIỆU


Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60. 46. 36

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC





Người hướng dẫn khoa học:
TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY








THÁI NGUYÊN - 2009
♥♦♥❡
✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1
▼ô❝ ❧ô❝
▼ë ➤➬✉ ✹
❈❤➢➡♥❣ ✶✳ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✈➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣
❝❤Ø♥❤ ✽
✶✳✶✳ ▼ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❜æ trî ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽

✶✳✶✳✶✳ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽
✶✳✶✳✷✳ P❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❧å✐ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ ❞➢í✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵
✶✳✶✳✸✳ ❚♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹
✶✳✷✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼
✶✳✷✳✶✳ ❑❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈Ò ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼
✶✳✷✳✷✳ ❱Ý ❞ô ✈Ò ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽
✶✳✸✳ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵
✶✳✸✳✶✳ P❤➳t ❜✐Ó✉ ❜➭✐ t♦➳♥ ✈➭ ✈Ý ❞ô ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵
✶✳✸✳✷✳ ❙ù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ t❐♣ ♥❣❤✐Ö♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹
❈❤➢➡♥❣ ✷✳ ◆❣❤✐Ö♠ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❝ñ❛ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥
➤✐Ö✉ ✷✼
✷✳✶✳ ◆❣❤✐Ö♠ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✼
✷✳✶✳✶✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✼
✷
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2
✷✳✶✳✷✳ ❙ù ❤é✐ tô ❝ñ❛ ♥❣❤✐Ö♠ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✽
✷✳✶✳✸✳ ❚è❝ ➤é ❤é✐ tô ❝ñ❛ ♥❣❤✐Ö♠ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✶
✷✳✷✳ ❳✃♣ ①Ø ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ò✉ ♥❣❤✐Ö♠ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✹
✷✳✷✳✶✳ ❳✃♣ ①Ø ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ò✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✹
✷✳✷✳✷✳ ❚è❝ ➤é ❤é✐ tô ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✼
✷✳✸✳ ❑Õt q✉➯ tÝ♥❤ t♦➳♥ t❤ö ♥❣❤✐Ö♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵
❑Õt ❧✉❐♥ ✹✸
❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✹✹
✸
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3
▼ë ➤➬✉
❈❤♦ X ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤➯♥ ①➵ t❤ù❝✱ X
∗
❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➟♥
❤î♣ ❝ñ❛ X✱ ❝➯ ❤❛✐ ❝ã ❝❤✉➮♥ ➤Ò✉ ➤➢î❝ ❦Ý ❤✐Ö✉ ❧➭ .✱ A : X → X

∗
❧➭ t♦➳♥
tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ➤➡♥ trÞ ✈➭ K ❧➭ ♠ét t❐♣ ❝♦♥ ❧å✐ ➤ã♥❣ tr♦♥❣ X✳ ❱í✐ f ∈ X
∗
✱ ❤➲②
t×♠ x
0
∈ K s❛♦ ❝❤♦
A(x
0
) − f, x − x
0
 ≥ 0 ∀x ∈ K, ✭✵✳✶✮
ë ➤➞② x
∗
, x ❦Ý ❤✐Ö✉ ❣✐➳ trÞ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❧✐➟♥ tô❝ x
∗
∈ X
∗
t➵✐
x ∈ X✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✭✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧
✐♥❡q✉❛❧✐t②✮✳ ◆Õ✉ K ≡ X t❤× ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✵✳✶✮ ❝ã ❞➵♥❣ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tö
A(x) = f. ✭✵✳✷✮
❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ❧➭ ❧í♣ ❜➭✐ t♦➳♥ ♥➯② s✐♥❤ r❛ tõ ♥❤✐Ò✉
✈✃♥ ➤Ò ❝ñ❛ t♦➳♥ ❤ä❝ ø♥❣ ❞ô♥❣ ♥❤➢ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥✱ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ✈❐t ❧ý
t♦➳♥✱ tè✐ ➢✉ ❤♦➳✳ ◆❣♦➭✐ r❛ ♥❤✐Ò✉ ✈✃♥ ➤Ò t❤ù❝ tÕ ♥❤➢ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝➞♥ ❜➺♥❣
♠➵♥❣ ❣✐❛♦ t❤➠♥❣ ➤➠ t❤Þ✱ ❝➳❝ ♠➠ ❤×♥❤ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ❦✐♥❤ tÕ✳✳✳✳ ➤Ò✉ ❝ã t❤Ó ♠➠ t➯
➤➢î❝ ❞➢í✐ ❞➵♥❣ ❝ñ❛ ♠ét ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉✳ ❘✃t t✐Õ❝ ❧➭ ❜✃t
➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉✱ ♥ã✐ ❝❤✉♥❣✱ ❧➵✐ ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤✳
❉♦ tÝ♥❤ ❦❤➠♥❣ æ♥ ➤Þ♥❤ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ♥➟♥ ✈✐Ö❝ ❣✐➯✐ sè

❝ñ❛ ♥ã ❣➷♣ ❦❤ã ❦❤➝♥✳ ▲ý ❞♦ ❧➭ ♠ét s❛✐ sè ♥❤á tr♦♥❣ ❞÷ ❦✐Ö♥ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥
❝ã t❤Ó ❞➱♥ ➤Õ♥ ♠ét s❛✐ sè ❜✃t ❦ú tr♦♥❣ ❧ê✐ ❣✐➯✐✳ ❱× t❤Õ ♥➯② s✐♥❤ ✈✃♥ ➤Ò t×♠
❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❣✐➯✐ æ♥ ➤Þ♥❤ ❝❤♦ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤✱ s❛♦ ❝❤♦
❦❤✐ s❛✐ sè ❝ñ❛ ❞÷ ❦✐Ö♥ ➤➬✉ ✈➭♦ ❝➭♥❣ ♥❤á t❤× ♥❣❤✐Ö♠ ①✃♣ ①Ø t×♠ ➤➢î❝ ❝➭♥❣
❣➬♥ ✈í✐ ♥❣❤✐Ö♠ ➤ó♥❣ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜❛♥ ➤➬✉✳
✹
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4
r ệ ỉ ổ tế
ể từ ó ý tết t t ỉ ợ t trể ết sứ s
ộ ó t ở ết t tự tế
ụ í ủ ề t ứ ột
ổ ị t tứ ế ệ tr sở ự ệ ệ
ỉ ữ ề t tứ ế ứ sự ộ tụ
tố ộ ộ tụ ủ ệ ệ ỉ ớ t tử ợ ệ
tr tự ự tr ệ ọ t số
ệ ỉ t ệ
ộ ủ ợ trì tr trì
ột số ế tứ t ề t tử ệ t t
ỉ t tứ ế
r sẽ trì ệ ỉ t
tứ ế ệ ết q í ủ
tố ộ ộ tụ ủ ệ ỉ ớ t số ệ ỉ ợ ọ
t ệ ồ tờ ự ệ ệ ỉ ữ ề
tố ộ ộ tụ ủ ệ ệ ỉ ở ố ủ ết
q số ó tí t ứ trì
tự ệ ợ ết ữ
ết q ề sự ộ tụ tố ộ ộ tụ ủ ệ ệ ỉ ữ
ề ủ t tứ ế ợ t tr í
ọ ệ ọ số
ố tỏ ò ết s s tớ ế sĩ ễ

ị ỷ rt t tì ớ ỉ tr sốt tờ

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn 5
tự ệ ó trự tế ớ t ó

ử ờ t tớ s tế sĩ ở ệ
ọ ệ ệ t t tộ ệ ọ ệ ệt
t tr rờ ọ ọ ó
ó r ết ò trề t ề
ế tứ ọ tr sốt tờ ọ t t rờ
ố ù t ử ờ tớ ữ ờ t ữ ờ
ủ t ộ ổ ũ t rt ề tr sốt tờ ừ q
ề ệ tờ trì ộ ó ó
tr ỏ ữ tế sót rt ợ ữ ý ế ó ó
qý ủ qý t t tể
t
ị ỷ

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn 6
▼ét sè ❦ý ❤✐Ö✉ ✈➭ ❝❤÷ ✈✐Õt t➽t
H ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ù❝
X ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ù❝
X
∗
❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➟♥ ❤î♣ ❝ñ❛ X
R
n
❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❊✉❝❧✐❞❡ n ❝❤✐Ò✉
∅ t❐♣ rç♥❣
x := y x ➤➢î❝ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❜➺♥❣ y

∀x ✈í✐ ♠ä✐ x
∃x tå♥ t➵✐ x
inf
x∈X
F (x) ✐♥❢✐♠✉♠ ❝ñ❛ t❐♣ {F (x) : x ∈ X}
I ➳♥❤ ①➵ ➤➡♥ ✈Þ
A
T
♠❛ tr❐♥ ❝❤✉②Ó♥ ✈Þ ❝ñ❛ ♠❛ tr❐♥ A
a ∼ b a t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ b
A
∗
t♦➳♥ tö ❧✐➟♥ ❤î♣ ❝ñ❛ t♦➳♥ tö A
D(A) ♠✐Ò♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❝ñ❛ t♦➳♥ tö A
R(A) ♠✐Ò♥ ❣✐➳ trÞ ❝ñ❛ t♦➳♥ tö A
x
k
→ x ❞➲② {x
k
} ❤é✐ tô ♠➵♥❤ tí✐ x
x
k
 x ❞➲② {x
k
} ❤é✐ tô ②Õ✉ tí✐ x
✼
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 7
❈❤➢➡♥❣ ✶
❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✈➭ ❜➭✐
t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤

✶✳✶✳ ▼ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❜æ trî
❚r♦♥❣ ♠ô❝ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ❣✐➯✐
tÝ❝❤ ❤➭♠ ✈➭ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ❤➭♠ ♣❤✐ t✉②Õ♥ ❝ã ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ ♥é✐ ❞✉♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉
❝ñ❛ ➤Ò t➭✐✳ ❈➳❝ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ♥➭② ➤➢î❝ t❤❛♠ ❦❤➯♦ tr♦♥❣ ❝➳❝ t➭✐ ❧✐Ö✉ ❬✶❪✱ ❬✷❪✱ ❬✸❪✱
❬✹❪✱ ❬✺❪ ✈➭ ❬✽❪✳
✶✳✶✳✶✳ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✶✳ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ➤Þ♥❤ ❝❤✉➮♥ ➤➬②
➤ñ✳
❱Ý ❞ô ✶✳✶✳✶✳ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ L
p
[a, b], 1 ≤ p < ∞ ✈í✐ ❝➳❝ ♣❤➬♥ tö ❧➭ ❝➳❝ ❤➭♠
x(t) ①➳❝ ➤Þ♥❤ ✈➭ p✲❦❤➯ tÝ❝❤ tr➟♥ ➤♦➵♥ [a, b] s❛♦ ❝❤♦
b

a
|x(t)|
p
dt < ∞✱ ❧➭ ♠ét
❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✈í✐ ❝❤✉➮♥
x =


b
a
|x(t)|
p
dt

1/p
.

❈❤♦ X ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ù❝✱ X
∗
❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➟♥ ❤î♣ ❝ñ❛ X✳
❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➟♥ ❤î♣ ❝ñ❛ X
∗
➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➟♥ ❤î♣ t❤ø ❤❛✐ ❝ñ❛ X
✈➭ ❦Ý ❤✐Ö✉ ❧➭ X
∗∗
✱ tø❝ ❧➭ X
∗∗
❂ L✭ X
∗
, R✮✳
✽
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 8
ị ĩ ị X ọ ế
X = X

.
í ụ L
p
[0, 1] p > 1 ột ọ
ị ữ ề ề
ị ĩ M X ợ ọ
ồ ế x, y M, [0, 1] t ó x + (1 )y M;
t ế ọ {x
n
} M ề ứ x
n
k

ộ tụ ế
ột tử x
0
M;
t ế ế ọ {x
n
} M ề ứ ột x
n
k
ộ
tụ ế ế ột tử x
0
M;
ó ó ế ế {x
n
} M x
n
x (x
n
x) tì x M.
ị ĩ tử x
n
tr X ợ
ọ ộ tụ ế tử x
0
n ế x
n
x
0
0.

tử x
n
ợ ọ ộ tụ ế ế tử x
0
ế ớ ọ f X

t ó f(x
n
) f(x
0
) n .
sẽ sử ụ í ệ ể ỉ sự ộ tụ ể ỉ sự ộ tụ
ế ớ ị ĩ tr t ó
ừ sự ộ tụ ủ {x
n
} s r sự ộ tụ ế ủ ó
ớ ế ủ ột ế ó t
ọ ộ tụ ế ề ớ ộ
ế X tì x
n
x ỉ {f, x
n
}
ộ tụ tr R ớ ọ f X


ế x
n
x
0

tì x
0
lim
n
x
n


S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn 9
 ◆❤❐♥ ①Ðt✿ ▼ét sè tr➢ê♥❣ ❤î♣ tõ ❤é✐ tô ②Õ✉ ❝ã t❤Ó s✉② r❛ ❤é✐ tô ♠➵♥❤ ❧➭✿
✶✮ X ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ò✉✳
✷✮ {x
n
} ⊂ M✱ ë ➤➞② M ❧➭ ♠ét t❐♣ ❝♦♠♣❛❝t tr♦♥❣ X✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✶✳ ✭❇❛♥❛❝❤✲❙t❡✐♥❤❛✉s✮ ❈❤♦ X ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ f
n
∈ X
∗
✈➭ ❣✐➯ sö ❞➲② {f
n
, x} ❜Þ ❝❤➷♥ ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ X. ❑❤✐ ➤ã ❞➲② {f
n
} ❜Þ ❝❤➷♥
tr♦♥❣ X
∗
.
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✷✳ ●✐➯ sö {f
n
} ⊂ X
∗

❤é✐ tô ♠➵♥❤ ➤Õ♥ f ∈ X
∗
✈➭ {x
n
} ⊂ X
❤é✐ tô ②Õ✉ ➤Õ♥ x ∈ X ❤♦➷❝ {f
n
} ⊂ X
∗
❤é✐ tô ②Õ✉ ➤Õ♥ f ∈ X
∗
✈➭ {x
n
} ⊂ X
❤é✐ tô ♠➵♥❤ tí✐ x ∈ X. ❑❤✐ ➤ã lim
n→∞
f
n
, x
n
 = f, x.
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✺✳ ❈❤♦ X ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤➯♥ ①➵ t❤ù❝✱ X ➤➢î❝ ❣ä✐
❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t ❊♣❤✐♠♦✈✲❙t❡❝❤❦✐♥ ✭❤❛② tÝ♥❤ ❝❤✃t ❊✲❙✮ ♥Õ✉ tr♦♥❣
X sù ❤é✐ tô ②Õ✉ ❝➳❝ ♣❤➬♥ tö

x
n
 x

✈➭ sù ❤é✐ tô ❝❤✉➮♥


x
n
 → x

❧✉➠♥ ❦Ð♦ t❤❡♦ sù ❤é✐ tô ♠➵♥❤

x
n
− x → 0

✳
✶✳✶✳✷✳ P❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❧å✐ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ ❞➢í✐
❈❤♦ X✱ Y ❧➭ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ t♦➳♥ tö A : X → Y ❧➭ ♠ét t♦➳♥
tö ➤➡♥ trÞ✳ ❈❤ó♥❣ t❛ ❦Ý ❤✐Ö✉ ♠✐Ò♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❝ñ❛ A ❧➭ D(A) ✈í✐
D(A) = domA = {x ∈ X|Ax = ∅}
✈➭ ♠✐Ò♥ ❣✐➳ trÞ ❧➭
R(A) = {f ∈ Y |f ∈ Ax, x ∈ D(A)}.
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✻✳ ❚♦➳♥ tö A ❣ä✐ ❧➭ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ♥Õ✉
✶✮ A(x
1
+ x
2
) = Ax
1
+ Ax
2
✈í✐ ♠ä✐ x
1
, x

2
∈ X❀
✶✵
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10
✷✮ A(αx) = αAx ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ X✱ ∀α ∈ R✳
◆Õ✉ Y ≡ R t❤× t❛ ❝ã ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ f ✈í✐ ♠✐Ò♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❝ñ❛ ❤➭♠
f ❧➭
domf = {x ∈ X|f(x) = ∅}.
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✼✳ ❚♦➳♥ tö A ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tö t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❧✐➟♥ tô❝ ♥Õ✉
♥ã ❧➭ t♦➳♥ tö t✉②Õ♥ tÝ♥❤✱ ➤å♥❣ t❤ê✐ ❧➭ t♦➳♥ tö ❧✐➟♥ tô❝ ❣✐÷❛ ❤❛✐ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥
X ✈➭ Y ✳
❱Ý ❞ô ✶✳✶✳✸✳ ❈❤♦ X = R
k
✱ Y = R
m
, t♦➳♥ tö A ➤➢î❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐
A(x
1
, x
2
, ..., x
k
) = (y
1
, y
2
, ..., y
m
)
✈í✐

y
i
=
k

j=1
a
ij
x
j
, i = 1, . . . , m ✭✶✳✶✮
tr♦♥❣ ➤ã a
ij
❧➭ ❝➳❝ ❤➺♥❣ sè✳ ▼❛ tr❐♥ (a
ij
)
k×m
❣ä✐ ❧➭ ♠❛ tr❐♥ ❝ñ❛ t♦➳♥
tö t✉②Õ♥ tÝ♥❤ A ✈➭ ✭✶✳✶✮ ❧➭ ❞➵♥❣ tæ♥❣ q✉➳t ❝ñ❛ ♠ä✐ t♦➳♥ tö t✉②Õ♥ tÝ♥❤ tõ
R
k
✈➭♦ R
m
✳ ▼ét t♦➳♥ tö t✉②Õ♥ tÝ♥❤ tõ R
k
✈➭♦ R
m
❜❛♦ ❣✐ê ❝ò♥❣ ❧✐➟♥ tô❝✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✽✳ ❚♦➳♥ tö t✉②Õ♥ tÝ♥❤ A : X → Y ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❜Þ ❝❤➷♥
✭❣✐í✐ ♥é✐✮ ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ sè K > 0 t❤á❛ ♠➲♥✿

Ax
Y
 K.x
X
, ∀x ∈ X.
❱Ý ❞ô ✶✳✶✳✹✳ ❈❤♦ A : L
2
[a, b] → L
2
[a, b] ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tö ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐
(Aϕ)(x) =
b

a
K(x, s)ϕ(s)ds,
✶✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11
tr ó K(x, s) ột ế ó ì tí ĩ

b
a

b
a
K
2
(x, s)dxds = N
2
< .
ó A ột t tử tế tí tụ tử ọ t tử tí

r s ở K(x, s)
ị ĩ A : X Y ột t tử tế tí tụ
ó số
inf{K, K > 0 : Ax K.x, x X}
ợ ọ ủ t tử A í ệ A
ét
tờ ù tr R
n

x
1
=
n

i=1
|x
i
|, x
2
=

n

i=1
|x
i
|
2

1/2

, x

= max
1in
|x
i
|,
ở x = (x
1
, . . . , x
n
) R
n

r ữ ề R
n
ó ột sở ố ị t
tử tế tí A ợ ở tr (a
ij
)
n
i,j=1
tì t ứ ủ
tr A
A
1
= max
1jn
n

i=1
|a
ij
|, A
2
= {max
1in

i
(A
T
A)}
1
2
, A

= max
1in
n

j=1
|a
ij
|,
tr ó
i
(A
T
A) trị r ủ tr ố ứ A
T

A
ớ t tử r : X Y từ X
Y t sẽ ết r(x) = o(x) ớ x
X
ế r(x)/x 0 x
X

í ệ L(X, Y ) t tt t tử tế tí tụ T : X Y

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn 12
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✶✵✳ ❈❤♦ A : X → Y ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tö tõ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤
X ✈➭♦ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ Y ✳ ❚♦➳♥ tö A ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❦❤➯ ✈✐ ❋rÐ❝❤❡t t➵✐ ➤✐Ó♠
x ∈ X✱ ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ T ∈ L(X, Y ) s❛♦ ❝❤♦
A(x + h) = A(x) + T h + o(h),
✈í✐ ♠ä✐ h t❤✉é❝ ♠ét ❧➞♥ ❝❐♥ ❝ñ❛ ➤✐Ó♠ θ✳ ◆Õ✉ tå♥ t➵✐ t❤× T ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤➵♦
❤➭♠ ❋rÐ❝❤❡t ❝ñ❛ A t➵✐ x✱ ✈➭ t❛ ✈✐Õt A

(x) = T✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✶✶✳ ❍➭♠ f : X → R ∪ {+∞} ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❧å✐ tr➟♥ X ♥Õ✉
✈í✐ ♠ä✐ x, y ∈ X t❛ ❝ã
f(tx + (1 − t)y) ≤ tf(x) + (1 − t)f(y), ∀t ∈ [0, 1].
❍➭♠ f ❧å✐ ♥❣➷t tr➟♥ X ♥Õ✉ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥ ❦❤➠♥❣ ①➯② r❛ ❞✃✉ ❜➺♥❣ ✈í✐
x = y✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✶✷✳ ❍➭♠ f : X → R ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ ❞➢í✐ tr➟♥ X
♥Õ✉ ✈í✐ ♠ä✐ ❞➲② {x
n
} : x
n
→ x t❤×
lim inf

n→∞
f(x
n
) ≥ f(x), ∀x ∈ X.
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✶✸✳ ❍➭♠ f : X → R ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ ❞➢í✐ ②Õ✉ tr➟♥
X ♥Õ✉ ✈í✐ ♠ä✐ ❞➲② {x
n
} : x
n
 x t❤×
lim inf
n→∞
f(x
n
) ≥ f(x), ∀x ∈ X.
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✶✹✳ ❍➭♠ f : X → R ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭
✶✮ ❝❤Ý♥❤ t❤➢ê♥❣ ♥Õ✉ domf = ∅ ✈➭ f(x) > −∞✱ ∀x ∈ X;
✷✮ ❤÷✉ ❤➵♥ ♥Õ✉ |f(x)| < ∞✱ ∀x ∈ X.
✶✸
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✶✺✳ ❍➭♠ f ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❦❤➯ ✈✐ ●➞t❡❛✉① t➵✐ ➤✐Ó♠ x ∈ X ♥Õ✉
tå♥ t➵✐ x
∗
∈ X
∗
s❛♦ ❝❤♦
lim
λ→+0
f(x + λy) − f(x)
λ

= x
∗
, y, ∀y ∈ X.
✈➭ x
∗
➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤➵♦ ❤➭♠ ●➞t❡❛✉① ❝ñ❛ f t➵✐ x✱ ❦Ý ❤✐Ö✉ ❧➭ f

(x).
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✶✻✳ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ➤Þ♥❤ ❝❤✉➮♥ X ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❧å✐ ❝❤➷t ♥Õ✉ ♠➷t
❝➬✉ ➤➡♥ ✈Þ S = {∀x ∈ X : x = 1} ❝ñ❛ X ❧➭ ❧å✐ ❝❤➷t✱ tø❝ ❧➭ tõ x, y ∈ S
❦Ð♦ t❤❡♦ x + y < 2 ✭♥ã✐ ❝➳❝❤ ❦❤➳❝ ❜✐➟♥ ❝ñ❛ S ❦❤➠♥❣ ❝❤ø❛ ❜✃t ❦× ♠ét
➤♦➵♥ t❤➻♥❣ ♥➭♦✮✳
❱Ý ❞ô ✶✳✶✳✺✳ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ L
p
[a, b], 1 < p < ∞ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧å✐ ❝❤➷t✳
✶✳✶✳✸✳ ❚♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉
❈❤♦ A : X → X
∗
❧➭ t♦➳♥ tö ➤➡♥ trÞ tõ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤➯♥ ①➵ t❤ù❝
X ✈➭♦ X
∗
✈í✐ ♠✐Ò♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❧➭ D(A) ⊆ X ✭t❤➠♥❣ t❤➢ê♥❣ t❛ ❝♦✐ D(A) ≡ X
♥Õ✉ ❦❤➠♥❣ ♥ã✐ ❣× t❤➟♠✮ ✈➭ ♠✐Ò♥ ❣✐➳ trÞ ✭♠✐Ò♥ ➯♥❤✮ R(A) ♥➺♠ tr♦♥❣ X
∗
✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✶✼✳ ❚♦➳♥ tö A ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ♥Õ✉
A(x) − A(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A).
A ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ❝❤➷t ♥Õ✉ ❞✃✉ ❜➺♥❣ ❝❤Ø ➤➵t ➤➢î❝ ❦❤✐ x = y✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✶✽✳ ◆Õ✉ ∀x ∈ X t❛ ❝ã Ax, x ≥ 0 t❤× A ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ t♦➳♥
tö ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❦❤➠♥❣ ➞♠✱ ❦Ý ❤✐Ö✉ ❧➭ A ≥ 0✳

 ◆❤❐♥ ①Ðt✿ ◆Õ✉ A ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tö t✉②Õ♥ tÝ♥❤ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ X
t❤× tÝ♥❤ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ tÝ♥❤ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❦❤➠♥❣ ➞♠ ❝ñ❛ t♦➳♥ tö✳
✶✹
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14
ị ĩ tử A ợ ọ ệ ề ế tồ t ột
(t) ớ t 0 (0) = 0
A(x) A(y), x y (x y), x, y D(A).
ế (t) = c
A
t
2
ớ c
A
ột số tì t tử A ợ ọ
ệ
ị ĩ tử A ợ ọ h tụ tr X ế A(x+ty)
Ax t 0 ớ x y X d tụ ế x
n
x tì s r Ax
n
Ax
ú ý r ế A t tử ệ h tụ tì A t tử d
tụ
ị ĩ tử A ợ ọ t tử ứ ế
lim
x+
A(x), x
x
= +.
ị ĩ U

s
: X X

ó trị ị ở
U
s
(x) = {x

X

: x

, x = x


s1
.x = x
s
}, s 2
ợ ọ ố tổ qt ủ X
s = 2 tì U
s
tờ ợ ết U ợ ọ ố
t ủ X í trị ủ ố t ợ
tr ệ ề s
ệ ề sử X ột ó
U(x) t ồ U(x) = U(x) ớ ọ R
U trị ỉ X

ồ t

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn 15
 ◆❤❐♥ ①Ðt✿
✶✮ ❚r♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt H✱ ➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❝❤✉➮♥ t➽❝ ❝❤Ý♥❤ ❧➭
t♦➳♥ tö ➤➡♥ ✈Þ I tr♦♥❣ H✳
✷✮ ➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❧➭ ♠ét tr♦♥❣ ♥❤÷♥❣ ✈Ý ❞ô ✈Ò t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉✱ ♥ã
tå♥ t➵✐ tr♦♥❣ ♠ä✐ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳
❱í✐ X = L
p
(Ω)✱ 1 < p < ∞ ✈➭ Ω ❧➭ ♠ét t❐♣ ➤♦ ➤➢î❝ ❝ñ❛ ❦❤➠♥❣
❣✐❛♥ R
n
t❤× ➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❝❤✉➮♥ t➽❝ U ❝ã ❞➵♥❣
(Ux)(t) = x
2−p
|x(t)|
p−2
x(t), t ∈ Ω.
●✐➯ t❤✐Õt r➺♥❣ ➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ U
s
t❤á❛ ♠➲♥
U
s
(x) − U
s
(y), x − y ≥ m
U
x − y
s
, m

U
> 0, ✭✶✳✷✮
U
s
(x) − U
s
(y) ≤ C(R)x − y
ν
, 0 < ν ≤ 1, ✭✶✳✸✮
ë ➤➞② C(R) ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ❞➢➡♥❣ ✈➭ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ t➝♥❣ t❤❡♦ R = max{x, y}
✭①❡♠ ❬✶❪ ✈➭ t➭✐ ❧✐Ö✉ ❞➱♥✮✳ ◆Õ✉ X ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt H t❤× m
U
= 1, ν = 1
✈➭ C(R) = 1✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✸✳ ✭①❡♠ ❬✺❪✮ ◆Õ✉ X
∗
❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧å✐ ❝❤➷t t❤× ➳♥❤ ①➵
➤è✐ ♥❣➱✉ ❝❤✉➮♥ t➽❝ U : X → X
∗
❧➭ t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉✱ ❜ø❝ ✈➭ d✲❧✐➟♥ tô❝✳
❍➡♥ ♥÷❛✱ ♥Õ✉ X ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧å✐ ❝❤➷t t❤× U ❧➭ t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉
❝❤➷t✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✷✸✳ ❈❤♦ X ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤➯♥ ①➵✱ f : X → R ❧➭
♠ét ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❧å✐✱ ❝❤Ý♥❤ t❤➢ê♥❣ tr➟♥ X✳ ❚❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ∂f(x) ❜ë✐
∂f(x) = {x
∗
∈ X
∗
: f(x) ≤ f(y) + x
∗

, x − y, ∀y ∈ X}.
P❤➬♥ tö x
∗
∈ X
∗
➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❞➢í✐ ●r❛❞✐❡♥t ❝ñ❛ ❤➭♠ f t➵✐ x ✈➭ ∂f(x) ➤➢î❝
❣ä✐ ❧➭ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝ñ❛ f t➵✐ x✳
✶✻
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 16