Chéo hóa ma trận

Lời cảm ơn
Trước hết, em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2, ban chủ nhiệm Khoa toán và Tổ hình học cùng
với các quý thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành
luận văn tốt nghiệp.
Đặc biệt, em xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất của
mình tới cô Đinh Thị Kim Thúy, người đã hướng dẫn tận tình và thường
xuyên động viên em trong quá trình hoàn thành đề tài.
Em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè
đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và
thực hiện khóa luận này.
Do thời gian có hạn, kiến thức của bản thân còn hạn chế nên trong
nội dung khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận
được sự đóng góp ý kiến và tiếp tục xây dựng đề tài của quý thầy cô và
bạn đọc.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên

Trịnh Thị Lệ


Lời cam đoan
Em xin cam đoan khóa luận được hoàn thành là kết quả nghiên
cứu và tìm hiểu của bản thân, cùng với sự hướng dẫn tận tình của cô
Đinh Thị Kim Thúy.
Khóa luận với đề tài: Chéo hóa ma trận này không trùng với kết
quả của bất kì công trình nghiên cứu nào khác. Nếu sai em xin hoàn toàn
chịu trách nhiệm.

Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên

Trịnh Thị Lệ


Mục lục

A. mở đầu .............................................................................................. 1
1. Lý do chn ti ................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ............................................................................. 1
3. Đối tượng nghiên cứu ............................................................................ 1
4. Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................ 1
5. Phương pháp nghiên cứu ....................................................................... 1
B. nội dung ........................................................................................... 2
Chương 1: kiến thức chuẩn bị.................................................... 2
1.1.Ma trận ................................................................................................ 2
1.2. Ma trận của đồng cấu tuyến tính. ....................................................... 5
1.3. Cơ sở trực chuẩn ................................................................................. 6
1.4. Vectơ riêng giá trị riêng .................................................................. 8
1.5. Các phương pháp tính giá trị riêng và vectơ riêng của tự đồng
cấu f ....................................................................................................... 11
Chương 2: chéo hóa ma trận ................................................... 23
2.1. Chéo hóa ma trận của tự đồng cấu ................................................... 23
2.2. Chéo hóa trực giao............................................................................ 29
2.3. Phương pháp chéo hóa ma trận ........................................................ 30
2.4. ứng dụng chéo hóa ma trận .............................................................. 46
2.7. Bài tập áp dụng ................................................................................. 47
C. kết luận ......................................................................................... 54
Tài liệu tham khảo ....................................................................... 55

Chộo húa ma trn

Khúa lun tt nghip

A. mở đầu

1. Lý do chn ti
Có thể nói Đại số tuyến tính là môn học khá quan trọng của sinh
viên ngành Toán. Nó được coi là môn học cơ sở cho tất cả các môn toán
mà sinh viên được học. Trong đó ma trận và các bài toán liên quan đến
ma trận là phần kiến thức cơ bản, gây được nhiều hứng thú trong nội
dung môn học này. Có nhiều vấn đề khó liên quan đến ma trận, và chéo
hóa ma trận là một trong những vấn đề như thế. Do đó em muốn đi sâu
vào tìm hiểu vấn đề này. Được sự hướng dẫn nhiệt tình của cô Đinh Thị
Kim Thúy cùng với lòng yêu thích môn học này em đã lựa chọn nghiên
cứu đề tài Chéo hóa ma trận.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu và khắc sâu những kiến thức về ma trận chéo và phương
pháp chéo hóa ma trận.
3. Đối tượng nghiên cứu
Các vấn đề về chéo hóa ma trận.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu một số kiến thức liên quan đến vấn đề chéo hóa ma
trận và hai bài toán chéo hóa ma trận.
5. Phương pháp nghiên cứu
Tìm và tham khảo tài liệu, phân tích và tổng hợp bài tập minh họa,
tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn.

Trnh Th L

1

K35C SP Toỏn


Chộo húa ma trn

Khúa lun tt nghip
B. nội dung

Chương 1: kiến thức chuẩn bị
1.1.Ma trận
1.1.1. Định nghĩa
Cho là một trường tùy ý. Một bảng gồm mn phần tử aij có dạng:

a11 a12
a
21 a22
... ...

am1 am 2

... a1n
... a2 n
... ...

... amn

được gọi là một ma trận kiểu (m,n). Mỗi aij được gọi là thành phần của
ma trận.
Vectơ dòng (hay hàng) ai1

ai 2 ... ain được gọi là dòng (hay

hàng) thứ i của ma trận.

a1 j
a
2j
Vectơ cột ... được gọi là cột thứ j của ma trận.

amj
Ta thường kí hiệu ma trận bởi các chữ A,B,Ma trận còn có thể kí
hiệu đơn giản bởi: A=( aij )mn. Ta cũng nói A là ma trận có m dòng, n cột.
Khi m = n thì ma trận ( aij )mn được gọi là ma trận vuông cấp n. Kí
hiệu A=( aij )nn hoặc A=( aij )n .
Tập hợp tất cả các ma trận kiểu (m,n) với các phần tử thuộc trường
được kí hiệu là Mat(mn,).
1.1.2. Các kiểu ma trận
a. Ma trận đơn vị

Trnh Th L

2

K35C SP Toỏn

Chộo húa ma trn

Khúa lun tt nghip

Phần tử đơn vị của vành Mat(nn,) là ma trận:

1 0 ... 0
0 1 ... 0

En =
... ... ... ...


0 0 ... 1
Ta gọi En là ma trận đơn vị cấp n.
b. Ma trận chuyển vị
Cho

a11 a12
a
21 a22
A=( aij )mn = ...
...

am1 am 2

... a1n
... a2 n
... ...

... amn

Ma trận

a11
a
12
( aij )nm = ...

a1n

a21 ... am1
a22 ... am 2
... ... ...

a2 n ... amn

được gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A , kí hiệu là At .
c. Ma trận nghịch đảo
Ta gọi ma trận vuông AMat(nn,) là một ma trận khả nghịch
(hay ma trận không suy biến) nếu có ma trận vuông BMat(nn,) sao
cho A.B B. A En . Khi đó B được gọi là ma trận nghịch đảo của A và kí
hiệu là B A1 .
d. Ma trận chéo

Trnh Th L

3

K35C SP Toỏn

Chộo húa ma trn

Khúa lun tt nghip

Đường chéo chứa các phần tử a11 , a22 ,..., ann của ma trận vuông
A=( aij )n được gọi là đường chéo chính của ma trận A, đường chéo còn lại
được gọi là đường chéo phụ.
Ma trận vuông A=( aij )n có tất cả các phần tử nằm ngoài đường
chéo chính đều bằng 0 được gọi là ma trận chéo.
e. Ma trận đối xứng.
Ma trận A được gọi là đối xứng nếu At A
g. Ma trận trực giao
Ma trận thực A vuông cấp n được gọi là ma trận trực giao nếu

At . A En , trong đó At là ma trận chuyển vị của A , hay nói cách khác
nếu hệ vectơ cột của A là một hệ trực chuẩn trong n với tích vô hướng
chính tắc thì A là ma trận trực giao.
Ví dụ: Xét ma trận

cos
A=
sin

sin
,
cos

cos sin

Khi đó: At =

sin cos

cos
At.A =
sin

sin cos
.
cos sin

sin 1
=
cos 0

0
= E2
1

Vậy A là ma trận trực giao.
Nhận xét: Nếu A

là ma trận trực giao thì A khả nghịch và

At A1 .
h. Ma trận đồng dạng

Trnh Th L

4

K35C SP Toỏn


Chộo húa ma trn

Khúa lun tt nghip

Cho hai ma trận A v A ' cùng thuộc Mat(nn,). Hai ma trận A
v A ' là đồng dạng nếu có một ma trận khả nghịch CMat(nn,) sao
cho: A ' C 1. A.C .
1.2. Ma trận của đồng cấu tuyến tính
Định nghĩa
Giả sử V, W là những - không gian vectơ hữu hạn chiều,




e e1 , e2 ,..., en là một cơ sở của V, 1 , 2 ,..., m là một cơ sở
của W. Mỗi đồng cấu tuyến tính f :V W được xác định duy nhất bởi




hệ vectơ f e1 , f e2 ,..., f en . Các vectơ f e j lại được biểu thị


tuyến tính một cách duy nhất qua cơ sở 1 , 2 ,..., m của W:
m

f e j aij i

, j=1,2,,n

i 1

Trong đó các aij đều thuộc trường . Nói tóm lại, đồng cấu tuyến
tính f được xác định một cách duy nhất bởi hệ thống duy nhất bởi hệ





thống các vô hướng aij 1 i m,1 j n . Ta sắp xếp chúng thành ma
trận:

a11
a
21
A= ...

am1

a12
a22
...
am 2

... a1n
... a2 n
... ...

... amn

Và gọi là ma trận của đồng cấu tuyến tính f :V W đối với cặp cơ
sở e và .
Khi f :V V là một tự đồng cấu tuyến tính, thì ma trận của f
trong cơ sở e được xác định như sau: Cột thứ j của ma trận là tọa độ

Trnh Th L

5

K35C SP Toỏn


Chộo húa ma trn

Khúa lun tt nghip


của vectơ f e j , j = 1,2,,n trong chính cơ sở e đó. Ma trận của phép

biến đổi tuyến tính là ma trận vuông.
1.3. Cơ sở trực chuẩn
1.3.1. Cơ sở trực chuẩn
Định nghĩa

a) Cho một cơ sở gồm n vectơ e1 , e2 ,..., en của không gian Euclid
n chiều được gọi là một cơ sở trực giao nếu các vectơ của cơ sở đôi một



vuông góc với nhau, tức là ei , e j 0 nếu ij.





b) Cho một cơ sở gồm n vectơ e1 , e2 ,..., en của không gian Euclid
n chiều gọi là một cơ sở trực chuẩn nếu nó là một cơ sở trực giao và
chuẩn của mọi vectơ trong cơ sở đều bằng 1.

0
ei ,ej
1

Nếu ij
Nếu i=j

1.3.2. Phương pháp trực giao trực chuẩn hóa Schmidt
Phương pháp trực giao hóa Schmidt là phương pháp chuyển một hệ
n vectơ độc lập tuyến tính của không gian vectơ Euclid sang hệ n vectơ

không chứa vectơ 0 , trực giao với nhau từng đôi một và mỗi vectơ này
biểu diễn tuyến tính qua hệ đã cho.





Giả sử có một cơ sở bất kì e1 , e2 ,..., en của không gian Euclid n


chiều E. Ta xây dựng hệ n vectơ trực giao 1 , 2 ,..., n như sau:





Đặt : 1 e1 và k 1 b11 ... bk k ek 1 , k 1, n 1


ek 1 , i
trong đó: bi , i 1, k
i ,i

Thì nhận được cơ sở trực giao 1 , 2 ,..., n của hệ e1 , e2 ,..., en
trong E bằng phương pháp trực giao hóa Schmidt.

Trnh Th L

6

K35C SP Toỏn


Chộo húa ma trn

Khúa lun tt nghip








Chuẩn hóa bằng cách đặt i i ta nhận được hệ 1, 2 ,..., n
i


là một cơ sở trực chuẩn của hệ e1 , e2 ,..., en trong E bằng phương pháp
trực chuẩn hóa Schmidt.
Ví dụ: Hãy trực giao, trực chuẩn hóa hệ ba vectơ sau trong không

gian vectơ Euclid 4: 1 1,1,0,0 2 1,0,1,0 3 1,0,0,1
Lời giải:

Dễ dàng chứng tỏ hệ vectơ 1 , 2 , 3 là hệ vectơ độc lập tuyến

tính.
Xét hệ:


e1 1 1,1,0,0

e1 , 2
1.1 1.0 0.1 0.0
1



e2 b1e1 2 , với b1
e1 , e1
11 0 0
2

1
1 1

e2 .1,1,0,0 1,0,1,0 , ,1,0
2
2 2




e3 b1e1 b2e2 3 ,với:

e1 , 3
1.(1) 1.0 0.0 0.1 1
b1

e1 , e1
11 0 0
2

1
1

.(1) .0 1.0 0.1
e ,
1
2
2
b2 2 3

1 1
e2 , e2
3

1 0
4 4

1
1 1 1
1 1 1
e3 .(1,1,0,0) .( , ,1,0) 1,0,0,1 , , ,1
2
3 2 2
3 3 3


Ta nhận được cơ sở trực giao e1 , e2 , e3 của hệ 1 , 2 , 3 trong 4.

Chuẩn hóa hệ e1 , e2 , e3 như sau:

Trnh Th L

7

K35C SP Toỏn


Chộo húa ma trn

Khúa lun tt nghip



e2 1

1 2
e1 1 1

,
,
,0 ;
1
,
,0,0 ; 2
e2 6
e1 2 2
6 6



e3 1 1
1
3
3
,
,
,
e3 2 3 2 3 2 3 2 3


Vậy hệ vectơ trực chuẩn từ ba vectơ 1,2,3 là: 1 , 2 , 3


1.4. Vectơ riêng giá trị riêng
1.4.1. Không gian con bất biến

nh ngha
Cho một không gian vectơ V trên trường và f là một tự đồng
cấu của V. Không gian vectơ con U của V được gọi là một không gian
con bất biến đối với f (hay một không gian con f - bất biến) nếu
f (U) U.

Ví dụ: Đối với một tự đồng cấu f bất kì, các không gian con sau

đây đều là không gian con f - bất biến: { 0 }; V; Ker f ; Im f .
1.4.2. Vectơ riêng - giá trị riêng
Định nghĩa
Giả sử f : VV là một tự đồng cấu của - không gian vectơ V.



Nếu có vectơ 0 của V và vô hướng sao cho f ( )=. thì



được gọi là một giá trị riêng còn được gọi là một vectơ riêng của f
ứng với giá trị riêng .

Nhận xét:

a. Vectơ riêng phải là vectơ khác 0 .

b. Nếu là vectơ riêng của tự đồng cấu f thì giá trị riêng tương

ứng với nó là duy nhất.

Trnh Th L

8

K35C SP Toỏn


Chộo húa ma trn

Khúa lun tt nghip



c. Nếu , là các vectơ riêng ứng với giá trị riêng thì u. +
(u) cũng là vectơ riêng ứng với giá trị riêng .
1.4.3. Đa thức đặc trưng
Định nghĩa 1
Giả sử là một giá trị riêng của tự đồng cấu f :VV. Khi đó,

không gian vectơ Ker( f -.idV) gồm vectơ 0 và tất cả các vectơ riêng của
f ứng với giá trị riêng được gọi là không gian con riêng ứng với giá trị

riêng và được kí hiệu là P.
Định nghĩa 2
Đa thức bậc n với một ẩn X với hệ số trong :
Pf (X) = det( f - X.idv)

được gọi là đa thức đặc trưng của tự đồng cấu f .
Mệnh đề 1
Vô hướng là một giá trị riêng của tự đồng cấu f :VV nếu

và chỉ nếu là một nghiệm của đa thức đặc trưng det( f -.idv) của f .
Định nghĩa 3
Cho ma trận AMat(nn, ) của tự đồng cấu f . a thức bậc n
theo xác định bởi:

a11
det(A - .En) =

a21
...
an1

a12

...

a1n

a22 ... a2n
... ... ...
an2 ... ann

được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A.
Định lý 1

Trnh Th L

9

K35C SP Toỏn

Chộo húa ma trn

Khúa lun tt nghip

Số thực là giá trị riêng của A Mat(nn, ) khi và chỉ khi là
nghiệm của đa thức đặc trưng det(A-.En) .
1.4.4. Định lý Cayley - Hamilton
Định lý: Mỗi ma trận vuông A đều là một nghiệm của đa thức đặc
trưng của chính nó.
Chứng minh:
Gọi B(X) là ma trận phụ hợp của ma trận (A - X.En). Vì phần bù
đại số của mọi phần tử trong (A - X.En) đều là một đa thức của X có bậc
không vượt quá (n-1), nên ta có thể viết:
B(X) = Bn-1.Xn-1 + .. + B1.X+ B0
trong đó B0,,Bn-1 là những ma trận vuông cấp n với các phần tử trong
(không phụ thuộc X)
Mà ta có: (A - X.En).B(X) = det(A - X.En).En = PA(X).En
Thay X = A vào đẳng thức ta được:
PA(A).En = (A - A.En).B(A) = 0.B(A) = 0
Điều đó có nghĩa là: PA(A) = 0
1.4.5. Đa thức tối tiểu
a. Đa thức tối tiểu của ma trận A được kí hiệu A X là đa thức
với hệ số cao nhất bằng 1 và có bậc nhỏ nhất trong những đa thức khác 0
nhận A làm nghiệm.
b. Đa thức tối tiểu của tự đồng cấu f được kí hiệu f X là đa
thức với hệ số bậc cao nhất bằng 1 và có bậc nhỏ nhất trong những đa
thức khác 0 nhận f làm nghiệm.
1.5. Các phương pháp tính giá trị riêng và vectơ riêng của tự đồng

cấu f
1.5.1. Phương pháp 1

Trnh Th L

10

K35C SP Toỏn


Chộo húa ma trn

Khúa lun tt nghip





Bước 1: Lấy một cơ sở {e} = ( e1 , e2 ,..., en ) trong V và tìm ma trận
A của f trong cơ sở đó.
Bc 2: Lập đa thức đặc trưng det(A-.En) của ma trận A.
Bc 3: Giải phương trình đa thức bậc n đối với ẩn : det(A-.En) = 0
Bc 4: Với mỗi nghiệm của phương trình. Giải hệ phương trình
tuyến tính thuần nhất suy biến:

a11 .x1
a12x2
...
a1nxn
0

a22 .x2 ...
a21xn
0
a21x1

...
...
...
...
...
an1x1

an2x2
... ann xn 0
Với mỗi nghiệm không tầm thường (c1,c2,..,cn) của hệ này ta có:




=c1. e1 +..+cn. en là một vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng .
Ví dụ:



Cho tự đồng cấu f : VV có ma trận trong cơ sở { e1 , e2 , e3 } của V là:

1 2 2

A= 1 0 3
1 3 0


Hãy tìm các giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận A?

Lời giải:
Ta có phương trình đặc trưng của ma trận A là:

1 2 2
det(A-.E3) = 1 3 0
1
Ta được phương trình:

Trnh Th L

3



3 2 9 9 0

11

K35C SP Toỏn


Chộo húa ma trn

Khúa lun tt nghip

3 . 1 . 3 0

Phương trình này có các nghiệm: 1 3; 2 1; 3 3 . Vậy ma
trận A có các giá trị riêng là 1 3; 2 1; 3 3 .
Với 1 = -3 ta giải hệ phương trình:

4 x1 2 x2

x1 3x2
x 3x
2
1

2 x3

0

3x3
3x3

0
0

6

x


x2
1

7

x 5 x
2
3
7

Hệ phương trình có nghiệm không tầm thường là:

x1, x2 , x3 6a, 7a,5a , a0, a.
Vậy vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng 1 = -3 có dạng:

6a, 7a,5a , a0, a.

Chọn a=1 ta được vectơ riêng 1 6, 7,5 ứng với giá trị riêng 1 = -3.

Với 2 = 1 ta giải hệ phương trình:

2 x2


x1 x2
x 3x
2
1

2 x3 0
3x3
x3

0 x2 x3
x1 2 x3
0

Hệ phương trình có nghiệm không tầm thường là:

x1, x2 , x3 2a, a, a , a0, a.
Vậy vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng 2 = 1 có dạng 2a, a, a ,

a0, a.

Chọn a=1 ta được vectơ riêng 2 2,1,1 ứng với giá trị riêng 2 = 1.

Với 3 = 3 ta giải hệ phương trình:

Trnh Th L

12

K35C SP Toỏn


Chộo húa ma trn

Khúa lun tt nghip

2 x1 2 x2

3 x2

x1
x
3 x2
1

2 x3
3 x3
3 x3

0

x x3
0 2
x1 0
0

Hệ phương trình có nghiệm không tầm thường là:

x1, x2 , x3 0, a, a , a0, a.
Vậy vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng 3 = 3 có dạng 0, a, a , a0,

a.

Chọn a=1 ta được vectơ riêng 3 0,1,1 ứng với giá trị riêng 3 = 3.


Vậy ma trận A có các vectơ riêng 1 6, 7,5 , 2 2,1,1 ,

3 0,1,1 tương ứng với các giá trị riêng 1 3; 2 1; 3 3 .
1.5.2. Phương pháp 2 (Phương pháp Krylow)

Trước hết xác định các giá trị riêng của ma trận A = (aij)nn cho
trc. Xét En là ma trận đơn vị cấp n. Khi đó phương trình ẩn sau đây
là phương trình đặc trưng của ma trận A:
det(A - .En) = 0
Nếu khai triển det(A - .En) theo lũy thừa thì ta có det(A - .En)
là đa thức đặc trưng của ma trận A:
n
n 1
D() = (-1)n.[ P1. ... Pn 1. Pn ]

n

Nếu (A) = a0 . A a1. A

n 1

... an .En = 0 ta nói rằng đa thức

() = a0 . n a1. n1 ... an1. an nhận ma trn A làm nghiệm.
Theo định lý Cayley - Hamilton thì đa thức đặc trưng D() của ma trận A
nhận A làm nghiệm, đồng thời nó còn nhận ma trận chuyển vị của là A l
At làm nghiệm, nghĩa là:
n
n 1
D(A) = (-1)n.[ A P1. A ... Pn 1. A Pn .En ] = 0

Trnh Th L

13

K35C SP Toỏn


Chộo húa ma trn

Khúa lun tt nghip
t n

t n 1

D(At) = (-1)n.[ ( A ) P1.( A )

... Pn1.( At ) Pn .En ] = 0

Trong tập hợp các đa thức nhận A làm nghiệm sẽ tồn tại duy nhất
đa thức () có hệ số cao nhất bằng 1 và có bậc nhỏ nhất trong các đa
thức khác không nhận A làm nghiệm là đa thức tối tiểu của ma trận A.
(0)
(0)
(0)
Với vectơ bất kì C (C1 ,..., Cn ) xác định hệ vectơ bất kì

C
i

n

.
bi C AC
i

i 0

i 1

, i= 0,1,2,n

Từ định lý Cayley - Hamilton ta có D(A).C(0)=0, nghĩa là :

An .C P1.An1.C ... Pn .En .C = 0
0

0

Ai .C C , i= 1,2,n

n 1

i

0

Chú ý rằng :

C

0

P1.C

n 2

... Pn .C C
0

n

(1)

Hệ phương trình (1) là hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất ẩn
P1,,Pn.
0

Nếu hệ C ,..., C

n1

độc lập tuyến tính thì hệ sẽ có duy nhất

nghiệm P1,,Pn
0

Nếu hệ C ,..., C

n1

là phụ thuộc tuyến tính và có

C ,..., C , (1mn-1) là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ này,
0

m

khi đó ta không xác định được các hệ số của đa thức D() mà chỉ xác
định hệ số của đa thức tối tiểu của ma trận A là :
m
m 1
() = 1. ... m 1. m

Từ đó ta có:
Vậy:

Am.C 1.Am1.C ... n .AC
. m.C 0
0

0

0

0

1.C m1 ... m1.C 1 m .C 0 C m

Trnh Th L

14

K35C SP Toỏn

Chộo húa ma trn

Khúa lun tt nghip

Đây chính là hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất ẩn là 1,,m
có định thức của ma trận hệ số khác không nên có nghiệm duy nhất là
các hệ số của đa thức () đồng thời cũng là các giá trị riêng của A.
Tiếp theo tìm các vectơ riêng của ma trận A.
0

Giả sử hệ C ,..., C

n 1

là hệ vectơ độc lập tuyến tính (trong

trường hợp ngược lại, chúng ta lấy C

0

,..., C

m

là hệ vectơ độc lập



tuyến tính tối đại của hệ trên). Khi đó vectơ riêng x i của ma trận A ứng

với giá trị riêng i sẽ tìm được ở dạng sau đây:


x i = d1C n1 d 2 .C n 2 ... d n .C 0


Chú ý rằng : A.xi i .xi , C(i) = A.C(i-1) , i = 1,2,,n.
Từ đó rút ra:

d1.C d 2 .C
n

n 1

... d n .C1 i . d1.C


Mặt khác: D(A).C(0)=0 (-1)n. C

n

n 1

P1.C

d 2 .C
n 1

n2

0
... d n .C


0
... Pn .C = 0

Kết hợp hai hệ thức trên ta có:
n
n 1
0
n 1
1
d1. C P1.C ... Pn .C d 2 .C ... d n .C

= i. d1C

n1

d 2 .C

n 2

0
... dn .C


Từ đó ta có:

d1.P1 i .d1 d2 .C n1 d1.P2 i .d2 d3 .C n2 ...

1
0
d1.Pn1 i .dn1 dn .C d1.Pn i .dn .C 0
Vì hệ C ,..., C
0

Trnh Th L

n 1

là hệ độc lập tuyến tính nên ta có:

15

K35C SP Toỏn


Chộo húa ma trn

Khúa lun tt nghip

d1.P1 i .d1 d 2 0
d .P .d d 0
i 2
3
1 2
......

d .P .d d 0
n

1 n1 i n1
d1.Pn i .d n 0

(2)

Chọn d1 bất kì khác 0, từ đó ta tính được các di ,i= 2, n , và hiển



nhiên tìm được các vectơ x i .
Tóm lại phương pháp Krylow gồm các bước sau:
Bước 1: Lấy vectơ C (0) (C1(0) ,..., Cn (0) ) bất kì, xác định hệ vectơ


C
i

n
i 0

bởi công thức C

i

A.C

i 1

, i = 0, n , trong đó A là ma trận

biểu thị một cơ sở nào đó của f .
Bước 2: Xác định được Pi theo hệ phương trình:

C

n 1

P1.C

n2

... Pn .C C
0

n

Bước 3: Từ đó lập được đa thức đặc trưng của A là:

D (1) n . n P1. n1 .... Pn1. Pn
Từ đó ta tìm được các giá trị riêng.
Bước 4: Xác định các vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng
dựa vào hệ (2).
Chú ý: Phương pháp Krylow chỉ được áp dụng để tính giá trị
riêng - vectơ riêng của ma trận đối xứng.
Ví dụ: Hãy xác định giá trị riêng của ma trận A và vectơ riêng ứng
với giá trị riêng theo phương pháp Krylow.

Trnh Th L

16

K35C SP Toỏn


Chộo húa ma trn

Khúa lun tt nghip

1

A= 1
0


1
2
1

0
1
1

Lời giải: Lấy C(0)=(1,0,0)

1

C(1) = A.C(0) = 1
0

1
2
1

0
1 .(1,0,0)
1

C(1) = (1,1,0)
Tương tự ta có: C(2) = A.C(1)=(2,3,1) ; C(3) =A.C(2) = (5,9,4) ;
Vậy:

P1.C P2 .C P3.C C
2

1

0

3

P1.( 2,3,1) + P2.( 1,1,0) + P3.(1,0,0) = (5,9,4)


(2.P1 + P2 + P3 , 3P1 + P2 , P1) = (5,9,4)

2.P1 P2

3.P1 P2
P

1

P3

5
9
4

P1

P2
P
3



4

3
0

Từ đó ta có phương trình đặc trưng của A là:

3 4 2 3 0


.(2 - 4 +3) = 0

1 0

2 1
3
3

Vậy ma trận A có các giá trị riêng là : 1=0, 2=1, 3=3

Trnh Th L

17

K35C SP Toỏn


Chéo hóa ma trận

Khóa luận tốt nghiệp

Víi 1= 0, xÐt hÖ:

 Pd
1 1

 P2 d1
P d
 3 1

1d1  d 2  0  4d1  0.d1  d 2  0


 1d 2  d3  0   3d1  0.d 2  d 3  0
 1d3
 0  0d1  0.d 3
 0


Chän d1=1 ta cã: d2 = - 4 , d3 = 3





VËy vect¬ riªng 1 cã d¹ng: 1 = 1.C(2) + (-4).C(1) + 3.C(0)



 1 = (2,3,1) - 4.(1,1,0) + 3.(1,0,0)



 1 = (1,-1,1)
Víi 2 = 1, xÐt hÖ:

 Pd
1 1

 P2 d1
P d
 3 1

 2 d1
 2 d 2
 2 d 3

 d2
 d3

 0  4d1

 0   3d1
 0 
 0d1

 1.d1

 d2

 0

 1.d 2
 1.d3

 d3

 0
 0

Chän d1 = 1 ta cã : d2 = -3 , d3 = 0





VËy vect¬ riªng  2 cã d¹ng:  2 = 1.C(2) + (-3).C(1) + 0.C(0)



  2 = (2.3,1) - 3(1,1,0) + 0.(1,0,0)



  2 = (-1,0,1)
Víi 3 = 3, xÐt hÖ:

 3d1
 Pd
1 1

 P2 d1  3d 2
P d   d
3 3
 3 1

 d2
 d3

 0  4d1

 0   3d1
 0  0d1

 3d1
 3d 2

 d2
 d3

 3d3

 0
 0
 0

Chän d1 = 1 ta cã: d2 = -1 , d3 = 0





VËy vect¬ riªng  3 cã d¹ng:  3 = 1.C(2) + (-1).C(1) + 0.C(0)



  3 = (2,3,1) - 1(1,1,0) + 0.(1,0,0)



  3 = (1,2,1)

Trịnh Thị Lệ

18

K35C SP Toán


Chộo húa ma trn

Khúa lun tt nghip

Vậy ma trận A có các giá trị riêng là 1=0,2=1,3=3 và các vectơ
riêng ứng với các giá trị riêng là :






1 = (1,-1,1) , 2 = (-1,0,1) , 3 = (1,2,1)

1.5.3. Phương pháp 3 (Phương pháp Leverie)
n
n 1
Giả sử () = P1. ... Pn 1. Pn có các nghiệm là

1,2,,n (kể cả nghiệm bội)
n
k
Đặt S n i

,(k = 0,1,..,n)

i 1

Theo định lý Vi-et và nhị thức Newton ta có:

P1

P2


...

Pn




S1



1
( S 2 PS
1 1)
2

(3)

1

( S n PS
1 n 1 ... Pn 1S1 )
n

Nếu () là đa thức đặc trưng của ma trận A thì Sk chính là vết
k

Tr( Ak ) của ma trận A .
Tóm lại phương pháp Leverie gồm các bước:
k

Bước 1: Tính A (k=1,2,..,n) sau đó tìm vết của ma trận Ak là:
n

Sk = Tr(Ak) =

(k )
ii

a



k
k
, A aij

i 1

n n

Bước 2: Tính Pi (i=1,2,..,n) theo công thức (3) từ đó rút ra được đa
thức đặc trưng của ma trận A .
Nhận xét: Phương pháp Leverie là phương pháp dùng để tìm đa
thức đặc trưng của ma trận A . Từ đa thức đặc trưng của ma trận đó ta tìm
được các giá trị riêng và các vectơ riêng của ma trận bằng phương pháp
đã biết. Phương pháp Leverie là phương pháp đơn giản nhất về mặt lý
tưởng để có thể áp dụng cho mọi trường hợp.

Trnh Th L

19

K35C SP Toỏn


Chộo húa ma trn

Khúa lun tt nghip

Ví dụ: Hãy tìm đa thức đặc trưng của ma trận A bằng phương pháp
Leverie, từ đó xác định giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận A:

1 4 2


A= 3 4 0
3 1 3

Lời giải: Ta có:

1 4 2 1 4


A2= 3 4 0 . 3 4
3 1 3 3 1



2 5 10 4
0 = 9 4 6




3 9 5 15

1 4 2 5 10 4 13 16 2


6 = 21 14 36
A3=A.A2= 3 4 0 . 9 4
3 1 3 9 5 15 21 41 63




3

S1 = Tr(A) =

a

ii

= -1+4+3 = 6

i 1

3

S2 = Tr(A2) =

a = -5+4+15 = 14
2
ii

i 1

3

S3 = Tr(A3) =

a = -13-14+63 = 36
3
ii

i 1

Ta có:


P1


P2


P3


P1

1


( S2 PS
P2
1 1)
2

1

( S3 PS
1 2 P2 S1 )
P3
3

S1



6



1
(14 6.6) 11
2

1
(36 6.14 11.6) 6
3

Vậy P1 = - 6 , P2 = 11 , P3 = -6

Trnh Th L

20

K35C SP Toỏn


Chộo húa ma trn

Khúa lun tt nghip

Phương trình đặc trưng của ma trận A là:

3 6 2 11 6 0
Các giá trị riêng của ma trận A là nghiệm của phương trình:

3 6 2 11 6 0
Phương trình có các nghiệm 1 3, 2 1, 3 2
Với 1 = 3 ta xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:

a11 1 x1


a21x1
a x

31 1


a12 x2



a13 x3

0

a22 1 x2

a23 x3

0

(a33 1 ) x3 0

a32 x2

4x1 4x2 2x3 0

0
3x1 x2
3x x
0
2
1
x2 3x1
x3 4 x1



Hệ này có nghiệm không tầm thường là ( a , 3 a , 4 a ) , a 0

Chọn a = 1 ta được vectơ riêng ứng với giá trị riêng 1 = 3 là : 1 = (1,3,4)

Với 2 = 1 ta xét hệ phương trình:

a11 2 x1

a21x1
a x

31 1


a12 x2

a22 2 x2

a13 x3
a23 x3

0
0

(a33 2 ) x3 0

a32 x2

2x1 4x2 2x3 0

0
3x1 3x2
3x x 2x 0
2
3
1
x1 x2

x3 x2

Trnh Th L

21

K35C SP Toỏn


Chộo húa ma trn

Khúa lun tt nghip

Hệ này có nghiệm không tầm thường là ( a, a, a ) , a 0



Chọn a = 1 ta được vectơ riêng ứng với giá trị riêng 2 = 1 là 2 (1,1,1)
Với 3 = 2 ta xét hệ phương trình:

a11 3 x1


a21x1
a x

31 1


a12 x2

a13 x3

0

a22 3 x2



a23 x3

0

(a33 3 ) x3 0

a32 x2

3x1 4x2 2x3 0

0
3x1 2x2
3x x x 0
2
3
1
3

x1 x2

2
x3 x2

3
2




Hệ này có nghiệm không tầm thường là a, a, a , a 0
Chọn a = 2 ta được vectơ riêng ứng với giá trị riêng 3 = 2 là:

3 (3, 2,2)
Vậy ma trận A có các giá trị riêng là 1=3, 2=1, 3=2 và các vectơ



riêng ứng với các giá trị riêng là: 1 = (1,3,4) , 2 = (1,1,1), 3 = (3,2,2).

Trnh Th L

22

K35C SP Toỏn