Cơ sở trong không gian banach

Khoá luận tốt nghiệp

Vũ Thị Hương - K29K - Toán

LỜI NÓI ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lí thuyết hàm và giải tích hàm có tầm quan trọng đặc biệt đối với toán
học cơ bản và toán học ứng dụng. Nội dung của nó rất phong phú, đa dạng.
Do kiến thức trên lớp với lượng thời gian eo hẹp nên khó có thể đi sâu
nghiên cứu một vấn đề nào đó của giải tích hàm. Với mong muốn được tìm
hiểu sâu hơn về bộ môn này, dưới góc độ một sinh viên sư phạm toán và
trong phạm vi của một khoá luận tốt nghiệp cùng với sự giúp đỡ của thầy
giáo – TS. Bùi Kiên Cường, em xin mạnh dạn trình bày những hiểu biết của
mình về đề tài : “Cơ sở trong không gian Banach”.
2. Mục đích nghiên cứu
Quá trình thực hiện đề tài đã giúp em bước đầu làm quen với việc
nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn về giải tích hàm, đặc biệt là tìm
hiểu sâu về cơ sở trong không gian Banach.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Đề tài này được nghiên cứu nhằm đi sâu khai thác làm nổi bật những
tính chất đặc trưng của cơ sở tổng quát trong không gian Banach, mối liên hệ
giữa cơ sở với một số dãy dặc biệt, tính đối ngẫu của cơ sở. Từ đó, nghiên
cứu sâu các tính chất đặc trưng của một số cơ sở cụ thể: cơ sở hội tụ tuyệt
đối, cơ sở yếu và yếu* trong không gian Banach. Qua đó, bổ sung thêm
những tính chất quan trọng và làm phong phú thêm nội dung của bộ môn
Giải tích hàm.
4. Phương pháp nghiên cứu
Đề tài được hoàn thành dựa trên sự kết hợp các phương pháp: nghiên
cứu lí luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá.

1

Khoá luận tốt nghiệp

Vũ Thị Hương - K29K - Toán

5. Cấu trúc khoá luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khoá luận
gồm ba chương:
 Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
 Chương 2: Cơ sở trong không gian Banach
 Chương 3: Cơ sở hội tụ tuyệt đối, cơ sở yếu và yếu * trong không gian
Banach
Trong suốt quá trình nghiên cứu, được thầy giáo – TS. Bùi Kiên
Cường chỉ bảo, giúp đỡ tận tình, em đã hoàn thành khoá luận này. Một lần
nữa cho em được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy.
Em rất mong các thầy giáo, cô giáo cùng các bạn sinh viên trong khoa đóng
góp ý kiến để đề tài này được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 05 năm 2007
Tác giả

Vũ Thị Hương

2


Khoá luận tốt nghiệp

Vũ Thị Hương - K29K - Toán

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Một số kí hiệu
F : kí hiệu là trường vô hướng, F =  hoặc F =  .
A : lực lượng của tập A hữu hạn.

c

n

  : để chỉ chuỗi
1
0

 mn  

c

n

hội tụ.

nÕu m  n,
: chỉ số Kronecker.
nÕu m  n

Cho X, Y là các tập hợp. Khi đó : f : X  Y là một hàm với miền xác
định X , miền giá trị Y.

Range( f )  f ( X)   f ( x) : x  X : ảnh hoặc miền giá trị của f .

x  : là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X .

 x, x  x ( x) : tác động của x  lên x  X .
x  sup  x, x  .
x

X

1

3


Khoá luận tốt nghiệp

Vũ Thị Hương - K29K - Toán

§1. Không gian Banach
1. Định nghĩa không gian định chuẩn và ví dụ
Định nghĩa 1.1. Không gian vectơ X được gọi là không gian tuyến tính
định chuẩn (không gian định chuẩn) nếu với mỗi x  X tồn tại số thực x ,
gọi là chuẩn của x , thoả mãn:
a) x  0,
b) x  0 nếu và chỉ nếu x  0 ,
c) cx  c x , với mọi vô hướng c, với mọi x  X ,
d) x  y  x  y ,

x, y  X .

Nếu chỉ có tính chất a), c) và d) thì  được gọi là một nửa chuẩn.

Định nghĩa 1.2. Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn
a) Một dãy các vectơ

 xn 

trong X

hội tụ tới x  X nếu

lim xn  x  0, nghĩa là, nếu
n

  0, N  0, n  N , xn  x   .
Trong trường hợp này, ta viết xn  x hoặc lim xn  x.
n 

b) Một dãy các vectơ

 xn  trong

X

là dãy Cauchy nếu

lim xn  xm  0, nghĩa là, nếu

m ,n

  0, N  0, m, n  0, xn  xm   .
c) Dễ thấy mọi dãy hội tụ trong không định chuẩn đều là dãy Cauchy.

Tuy nhiên, điều ngược lại nói chung không đúng. Ta nói rằng X là không
gian đầy nếu nó thoả mãn mọi dãy Cauchy đều hội tụ. Không gian tuyến
tính định chuẩn đầy được gọi là không gian Banach.

4


Khoá luận tốt nghiệp

Vũ Thị Hương - K29K - Toán

Định nghĩa1.3. Dãy  xn  trong không gian Banach X là
a) Bị chặn dưới nếu inf xn  0,
b) Bị chặn trên nếu sup xn   ,
c) Chuẩn hoá nếu xn  1 với mọi n.
Định nghĩa 1.4. Cho không gian định chuẩn X và  1 ,  2 là hai chuẩn trên

X . Hai chuẩn  1 và  2 gọi là tươmg đương nếu tồn tại hai số dương  , 
sao cho

 x 1  x 2   x 1 x  X .
Định lí 1.1. Nếu  1 ,  2 là tương đương thì cùng xác định một sự hội tụ với
một dãy bất kì, nghĩa là

lim x  xn 1  0  lim x  xn 2  0.
n

n

Ví dụ 1.1. Cho f là hàm giá trị phức xác định trên tập E   . Khi đó

a) Với 1  p  , đặt



p
Lp ( E )   f : E   :  f ( x) dx   .

E

Đây là một không gian Banach với chuẩn

f

 (  f ( x) dx)1/ p .
p

p

L

E

b) Trường hợp p =  , đặt
L ( E )   f : E   : f là hàm bị chặn trên E .

Đây là không gian Banach với chuẩn_sup
f  x

L

 ess sup f ( x) = inf M  0 : f ( x)  M hầu khắp nơi
xE

Ví dụ 1.2. Đặt C ( E ) =  f : E  C : f liên tục trên E

5

.

.


Khoá luận tốt nghiệp

Vũ Thị Hương - K29K - Toán

Nếu E là một tập compact trong  thì mọi phiếm hàm liên tục trên
E đều bị chặn. Trong trường hợp này, C  E  là một không gian Banach với

chuẩn_sup
f

L

 sup f ( x) .
xE

Ví dụ 1.3. Với 1  p   , đặt




p
l p  c  (cn ) :  cn    .
n


Đây là một không gian Banach với chuẩn

c

lp

 (cn )

 ( cn )1/ p .
p

lp

n

Định lí 1.2 (Bất đẳng thức Holder). Với 1  p   và xác định p thoả mãn
hệ thức

1 1
1
1
  1. Đặt   và  0.
p q
0



a) Nếu f  Lp ( E ) và g  Lp ( E ) thì fg  L1 ( E ) và
,

fg

 f

L1

g

Lp

Lp

,

.

Với 1  p   bất đẳng thức này tương đương với mệnh đề


E

f ( x) g ( x) dx  (  f ( x) )1/ p (  g ( x) )1/ p .
p,

p

E

,

E

b) Nếu (an )  l p và (bn )  l p thì (anbn )  l1 và
,

(anbn )

l1

 ( (an )

lp

(bn )

lp

,

.

Với 1  p   bất đẳng thức này tương đương với mệnh đề

 anbn  ( an )1/ p ( bn )1/ p .
p,

p

n

n

,

n

Đặc biệt, nếu p  p, =2 thì ta có bất đẳng thức Schwarz hoặc
Cauchy – Schwarz :

6


Khoá luận tốt nghiệp


E

Vũ Thị Hương - K29K - Toán

f ( x) g ( x) dx  (  f ( x) )1/ 2 (  g ( x) )1/ 2 và
2

2

E

a b

n n

n

E

 ( an )1/ 2 ( bn )1/ 2 ..
2

n

2

n

2. Tôpô trong không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.5. Tập X 0   gọi là không gian định chuẩn con của không
gian định chuẩn X nếu X 0 là không gian tuyến tính con của không gian
X và chuẩn xác định trên X 0 là chuẩn xác định trên X .

Nếu X0 đồng thời là tập đóng trong không gian X thì X0 gọi là
không gian định chuẩn con đóng của không gian X .
Định nghĩa 1.6. Không gian tuyến tính định chuẩn X gọi là không gian
tách được nếu tồn tại một tập đếm được trù mật trong X .
Ví dụ 1.4. Với 1  p   thì l p là không gian tách được.
Định nghĩa 1.7. Cho  xn là một dãy tuỳ ý trong không gian tuyến tính
định chuẩn X .

a) Bao tuyến tính hữu hạn của dãy  xn là tập hợp tất cả các tổ hợp
tuyến tính các phần tử của dãy  xn . Kí hiệu
span  xn

N

=  cn xn : N  0 vµ c1,..., cN  F  .
 n1


b) Bao đóng tuyến tính của  xn là bao đóng của bao tuyến tính hữu
hạn và được kí hiệu là span  xn .
c)  xn là đầy trong X nếu span  xn = X hay span  xn trù mật
trong X .

7


Khoá luận tốt nghiệp

Vũ Thị Hương - K29K - Toán

3. Toán tử tuyến tính
Định nghĩa 1.8. Cho hai không gian tuyến tính định chuẩn X vµ Y trên
trường F . Một ánh xạ T : X  Y được gọi là một toán tử. Nếu Y  F thi
toán tử T : X  F là phiếm hàm trên X .

T là tuyến tính nếu T(a x  by) = aT x  bTy , a, b  F , x, y  X .
T là đơn ánh hoặc 1  1 nếu Tx  Ty khi và chỉ khi x  y .
Ảnh hay miền giá trị của T là Range(T)  T( X)  Tx : x  X.

T là toàn ánh hoặc lên nếu Range(T)  Y .
Chuẩn của toán tử tuyến tính hoặc đơn giản là chuẩn của toán tử T là
T  sup Tx .
x 1

T được gọi là bị chặn nếu T   .
T là bảo toàn chuẩn hoặc đẳng cự nếu Tx Y  x

X

x  X.

Định lí 1.3. Cho T : X  Y là toán tử tuyến tính ánh xạ không gian định
chuẩn X vào không gian định chuẩn Y . Khi đó

T liên tục  T bị chặn.
Do đó, ta dùng các thuật ngữ liên tục và bị chặn thay thế cho nhau khi
nói về các toán tử tuyến tính.
4. Không gian liên hợp, toán tử liên hợp
Định nghĩa 1.9. Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn trên
trường F . Ta gọi không gian X các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
không gian X là không gian liên hợp (không gian đối ngẫu) của không gian

X.
Định lí 1.4. Nếu X là không gian định chuẩn, khi đó không gian đối ngẫu
X là không gian Banach với chuẩn x

8

X

 sup  x, x  .
x X 1


Khoá luận tốt nghiệp

Vũ Thị Hương - K29K - Toán

Định lí 1.5. Giả sử X là không gian Banach. Khi đó, x  X
x

X

 sup  x, x  .
x 1

Định nghĩa 1.10
a) Không gian liên hợp của không gian X gọi là không gian liên hợp
thứ hai của không gian định chuẩn X và kí hiệu là X .
b) Mỗi phần tử x  X xác định một phần tử  ( x)  X cho bởi công
thức  x , ( x)  x, x  với x  X . Ánh xạ  : X  X được gọi là
phép nhúng chính tắc X vµo X , từ đó đồng nhất X với không gian con

 ( x)  X .
Nếu  là song ánh thì ta viết X  X và nói rằng X là không gian
phản xạ.
Ví dụ 1.5. Lp ( E) vµ l p là các không gian phản xạ nếu 1  p   , nhưng
c p  .

không là không gian phản xạ với p  1hoÆ

Với 1  p  , q  0 thoả mãn

1 1
  1 thì:
p q

( Lp ( E))  Lq ( E),
(l p )  l q .

Định nghĩa 1.11. Giả sử X, Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn, S là
toán tử tuyến tính bị chặn từ X vµo Y . Toán tử S : Y  X xác định bởi

S y  y  S, y  Y , nghĩa là
 x, S y    Sx, y  , x  X
gọi là toán tử liên hợp của toán tử tuyến tính bị chặn S.
Dễ thấy S tuyến tính và với mọi y  Y ta có

9

(1.1)


Khoá luận tốt nghiệp

Vũ Thị Hương - K29K - Toán

(S y ) x   Sx, y   y S x ,x  X .
Do đó, S y  S y . Vậy S là một toán tử tuyến tính bị chặn.

Định lí 1.6. Nếu S là toán tử tuyến tính liên hợp của toán tử tuyến tính bị
chặn S từ không gian tuyến tính định chuẩn X vào không gian tuyến tính
định chuẩn Y thì S  S .
5. Sự hội tụ yếu
Định nghĩa 1.12. Giả sử X là một không gian Banach.
a) Dãy

xn các

phần tử của X hội tụ tới điểm x  X nếu

lim x  xn  0 . Khi đó, ta cũng gọi sự hội tụ này là sự hội tụ mạnh hoặc sự
n

hội tụ theo chuẩn.
b) Dãy  xn các phần tử của X hội tụ yếu đến x  X nếu
x  X , lim  xn , x   x, x  .
n

Khi đó, ta nói rằng xn  x yếu.

 

c) Dãy xn các phiếm hàm của X hội tụ yếu* đến x  X nếu
x  X , lim  xn , x   x , x  .
n

Trong trường hợp này, ta nói rằng xn  x yÕu hoặc trong tôpô yÕu .
Chú ý rằng, sự hội tụ yÕu chỉ áp dụng đối với sự hội tụ của các
phiếm hàm trong không gian đối ngẫu X . Tuy nhiên, do X là không gian

đối ngẫu của chính nó, ta có thể chỉ ra sự hội tụ mạnh hoặc yếu của các
phiếm hàm trong X cũng chính là sự hội tụ yÕu của các phiếm hàm này.
Đặc biệt, nếu X là không gian phản xạ thì X  X , do đó xn  x yếu
trong X nếu và chỉ nếu xn  x yÕu trong X .

10


Khoá luận tốt nghiệp

Vũ Thị Hương - K29K - Toán

Bổ đề 1.1. Cho X là một không gian Banach.
a) Sự hội tụ mạnh trong X thì kéo theo sự hội tụ yếu trong X .
b) Sự hội tụ yếu trong X kéo theo sự hội tụ yÕu trong X .
Bổ đề 1.2. Mọi dãy hội tụ yếu thì đều có chuẩn bị chặn trên, nghĩa là, nếu

xn  X và

xn  x  X yếu thì sup xn   .

§2. Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.13. Cho không gian tuyến tính X trên trường F . Ta gọi là
tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X  X vào

F , kí hiệu  ,  thoả mãn tiên đề :
a)

(x, y  X)  y, x   x, y  ;

b)

(x, y, z X)  x  y, z   x, z  y, z  ,

c)

(x  X)  x, x  0 nếu x   ( là kí hiệu phần tử không),
 x, x  0 nếu x   .

Nếu  x, y  0 thì x, y được gọi là trực giao. Khi đó ta viết x  y . Nếu

x  X , ta đặt
x   x, x  ,

(1.2)

thì công thức này xác định một chuẩn trên X .
Định nghĩa 1.14. Không gian tuyến tính trên trường F cùng với một tích
vô hướng gọi là không gian tiền Hilbert.
Như vậy, mọi không gian tiền Hilbert đều là không gian định chuẩn với
chuẩn (1.2).
Định nghĩa 1.15. Ta gọi một tập H   gồm những phần tử x, y, z... nào
đấy là không gian Hilbert nếu H thoả man các điều kiện:

11


Khoá luận tốt nghiệp

Vũ Thị Hương - K29K - Toán

1) H là không gian tuyến tính trên trường F ;
2) H được trang bị một tích vô hướng  ,  ;
3) H là không gian Banach với chuẩn x   x, x  , x  H .
Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H
là không gian Hilbert con của không gian Hilbert H .
Ví dụ 1.6. a) Lp ( E) là không gian Hilbert khi p  2 và tích vô hướng được
xác định bởi  f , g    f ( x)g( x) dx . Khi p  2 thì Lp ( E) không là không
E

gian Hilbert.
b) p  2 thì l p là không gian Hilbert với tích vô hướng


 (an ),(bn )   an bn .
n1

p  2 thì l p không là không gian Hilbert.
Định lí 1.7. Cho H là một không gian Hilbert và lấy x, y  H .

 x, y   x y .

a) (Bất đẳng thức Cauchy- Schwarz)
b) x  sup  x, y  .
y 1

2

2

2

2

2

2

x  y  x  y  2( x  y ) .

c) (Đẳng thức hình bình hành)

d) (Định lí Pythagorean) Nếu  x, y  0 thì x  y  x  y .
Định nghĩa 1.16. Cho  xn là một dãy trong không gian Hilbert H .
a)  xn là dãy trực giao nếu  xn, xm  0 khi m  n .
b)  xn là dãy trực chuẩn nếu  xm, xn  mn , nghĩa là,  xn trực giao
và x  1 với mọi n .

12


Khoá luận tốt nghiệp

Vũ Thị Hương - K29K - Toán


c)  xn là cơ sở của H nếu x  H đều cố thể viết x   cn xn với
n1

cách chọn các vô hướng cn là duy nhất.

d) Dãy  xn là cơ sở trực chuẩn nếu nó vừa là dãy trực chuẩn vừa là
cơ sở. Trong trường hợp này, sự biểu diễn duy nhất của x  H theo cơ sở
này là x    x, xn  xn (xem định lí 1.10)
Ví dụ 1.7. Sau đây là một vài ví dụ về cơ sở trực chuẩn.
a) Lấy H  l 2 và xác định dãy en  ( mn )m1  (0,...,0,1,0,...) , trong đó số 1 ỏ
vị trí thứ n . Khi đó, en là một cơ sở trực chuẩn của l 2 , thường gọi là cơ sở
chính tắc.
b) Lấy H  L2  0,1 , không gian các hàm có bình phương khả tích trên

 0,1 . Đặt en ( x)  e2 inx với n . Khi đó enn

là một cơ sở của H . Nếu

f  L2  0,1 thì f    f , en  en được gọi là chuỗi Fourier của f và
n

( f , en )n là dãy các hệ số Fourier của f . Các hệ số Fourier thường được
^

1

kí hiệu bởi f (n)  f , en    f ( x)e2 inxdx .
0

Nếu en là cơ sở trực chuẩn của không gian Hilbert H bất kì thì biểu
diễn x    x, en  en được gọi là chuỗi Fourier suy rộng của x  H và

( x, en ) được gọi là dãy các hệ số Fourier suy rộng.
Định lí 1.8 (Định lí Friesz). Nếu x là một phiếm hàm tuyến tính liên tục
trên không gian Hilbert H thì tồn tại duy nhất phần tử y của H sao cho

x ( x)  x, y  , x  H và x  y .

13


Khoá luận tốt nghiệp

Vũ Thị Hương - K29K - Toán

Nhờ định lí Friesz, mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục x trên không
gian Hilbert H tương ứng với một phần tử y  H . Hiển nhiên tương ứng đó
vừa tuyến tính vừa đẳng cự. Vì vậy ta có thể đồng nhất mỗi phiếm hàm
x  H  với phần tử y  H , nghĩa là H   H .

Định lí 1.9. Cho  xn là một dãy trực chuẩn trong không gian Hilbert H .
a) Chuỗi x   cn xn hội tụ nếu và chỉ nếu (cn )  l 2 . Trong trường hợp

x   cn .
2

này, ta có công thức Plancherel

2

b) Nếu x   cn xn hội tụ thì cn  x, xn  . Đặc biệt, (cn )  ( x, xn )
là các hệ số được xác định duy nhất sao cho x   cn xn .
c) (Bất đẳng thức Bessel) Nếu x  H thì

  x, x

2

n

2

  x .

Định lí 1.10. Cho  xn là một dãy trực chuẩn trong không gian Hilbert H .
Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương:
a)

xn là đầy trong

b)

xn là cơ sở trực chuẩn trong

H.

c) (Công thức Plancherel)
d) x    x, xn  xn

H.

  x, x

n

2

  x

2

x  H .

x  H .

Định lí 1.11. Không gian Hilbert H có cơ sở trực chuẩn khi và chỉ khi
không gian đó là tách được.
Định nghĩa 1.17. Cho S là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian
Hilbert X vào không gian Hilbert Y . Toán tử S ánh xạ không gian Y vào
không gian

X gọi là toán tử liên hợp của toán tử

 Sx, y  x, S y  , x  X,y  Y .

14

S nếu


Khoá luận tốt nghiệp

Vũ Thị Hương - K29K - Toán

Định nghĩa 1.18. Giả sử H là không gian Hilbert.

a) Toán tử tuyến tính bị chặn S ánh xạ không gian Hilbert H vào
chính nó gọi là tự liên hợp nếu  Sx, y   x, Sy  x, y  H . Có thể chỉ ra
rằng S là tự liên hợp khi và chỉ khi  Sx, x  là số thực và
S  sup  Sx, x  .
x 1

b) S: H  H là xác định dương, kí hiệu S 0 , nếu  Sx, x  là số
thực và  Sx, x  0 x  H . Ta có thể chỉ ra rằng toán tử xác định dương
trong không gian Hilbert phức là tự liên hợp.
c) S: H  H xác định dương hữu hạn, kí hiệu S 0 , nếu  Sx, x  là
số thực và  Sx, x  0 , x  H .
d) Nếu S, T : H  H thì viết S T nếu S T  0. Tương tự, S T
nếu S T  0 .
Ví dụ 1.8. Giả sử S:  n   m là toán tử tuyến tính liên tục xác định bởi
ma trận (aij ) cấp m n , aij   , i  1, m, j  1, n . Khi đó, S :  m   n xác
định bởi ma trận cấp n  m và (aij )  (aij )t . Nếu m  n thì S là tự liên hợp
và (aij )  (aji ) .

15


Khoá luận tốt nghiệp

Vũ Thị Hương - K29K - Toán

§3. Các nguyên lí cơ bản của giải tích hàm
Định lí 1.12 (Định lí Haln- Banach). Cho X là một không gian vectơ và p
là một hàm giá trị thực trên X thoả mãn

x, y  X,a, b   , a  b  1  p(a x  by)  a p( x)  b p( y) .

Lấy  là một phiếm hàm tuyến tính trên không gian con Y của X và
giả sử  thoả mãn x  Y,  ( x)  p( x) . Khi đó, tồn tại một phiếm hàm
tuyến tính  trên X sao cho:

x  X ,  ( x)  p( x) và x  Y , ( x)   ( x) .
Hệ quả 1.1. Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn và lấy Y là
một không gian con của X ,   Y . Khi đó, tồn tại   X sao cho:

x  Y,  x,  x,   vµ 

X

 

Y

.

Hệ quả 1.2. Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn và lấy y  X .
Khi đó, tồn tại   X sao cho  y,  

X

y X.

Trong trường hợp đặc biệt, tồn tại   X sao cho



X

 1 vµ  y,  y X .

Hệ quả 1.3. Cho Z là một không gian con của không gian tuyến tính định
chuẩn X và y  X . Đặt d  dist(y, Z)=inf y  z X .
z

Khi đó tồn tại   X sao cho :
a) 

X

 1, b)  y,  d , c) z Z ,  z,   0 .

Hệ quả 1.4. Cho X là một không gian Banach. Khi đó, xn  X là đầy
nếu và chỉ nếu tồn tại x  X thoả mãn  xn , x  0 n thì x   .

16


Khoá luận tốt nghiệp

Vũ Thị Hương - K29K - Toán

Nếu H là một không gian Hilbert thì H   H . Do đó, hệ quả 4 suy ra
rằng dãy  xn trong không gian Hilbert H là đầy nếu và chỉ nếu mỗi y  H
thoả mãn  xn, y  0 với mọi n thì y   .
Định lí 1.13 (Nguyên lí bị chặn đều). Cho X là một không gian Banach và

Y là một không gian tuyến tính định chuẩn. Lấy T   là một họ các toán

tử tuyến tính bị chặn ánh xạ X vào Y . Khi đó,
(x  X ,sup T ( x) Y  )  sup T   .
y

Định lí 1.14 (Nguyên lí ánh xạ mở). Cho T : X  Y là một toán tử tuyến
tính bị chặn từ không gian Banach X lên không gian Banach Y . Khi đó

T(U )  T( x) : x U là tập mở trong Y khi U là tập mở trong X .
Định lí 1.15 (Nguyên lí ánh xạ ngược).

Một song ánh liên tục

T : X  Y ánh xạ không gian Banach X lên không gian Banach Y có song
ánh ngược T1 : Y  X .
Định nghĩa 1.19. Cho hai không gian định chuẩn X vµ Y . Nếu toán tử
tuyến tính liên tục T ánh xạ không gian X lên không gian Y có toán tử T 1
liên tục thì toán tử T gọi là phép đồng phôi tuyến tính ánh xạ không gian X
lên không gian Y .
Hệ quả 1.5. Song ánh tuyến tính liên tục T ánh xạ không gian Banach X
lên không gian Banach Y là một phép đồng phôi tuyến tính.
Định lí 1.16 (Nguyên lí đồ thị đóng). Cho toán tử tuyến tính T ánh xạ
không gian Banach X lên không gian Banach Y . Toán tử T liên tục khi và
chỉ khi

graph(T)  ( x, y)  X  Y : y  T( x) là tập đóng trong X  Y ,

nghĩa là T bị chặn nếu và chỉ nếu với mỗi xn  X ta có:

( xn  x vµ T( xn )  y)  y  T( x) .

17


Khoá luận tốt nghiệp

Vũ Thị Hương - K29K - Toán

Chương 2
CƠ SỞ TRONG KHÔNG GIAN BANACH
§1. Sự hội tụ của chuỗi
1. Các định nghĩa
Định nghĩa 2.1. Cho  xn là một dãy trong không gian Banach X .
N

a) Chuỗi

 xn hội tụ và bằng x  X nếu dãy tổng riêng SN   xn
n1

hội tụ tới x theo chuẩn của X , nghĩa là, nếu
N

  0, N0  0, N  N0 , x  SN  x   xn   .
n1

b) Chuỗi

x

n

là chuỗi Cauchy nếu dãy các tổng riêng SN  là dãy

Cauchy trong X , nghĩa là, nếu

  0, N0  0, N  M  N0 , SN  SM 
Do X là không gian Banach, chuỗi

N



n M 1

x

n

xn   .
hội tụ nếu và chỉ nếu nó là

chuỗi Cauchy.
Định nghĩa 2.2. Cho  xn là một dãy trong không gian Banach X .
a) Chuỗi

x

n

hội tụ vô điều kiện nếu

 x

x

.

( n)

hội tụ với mọi sự

hoán vị  của  * .
b) Chuỗi

x

n

hội tụ tuyệt đối nếu

n

Ta thấy trong định nghĩa 2.2 không đòi hỏi chuỗi
tới cùng một giá trị với mọi sự hoán vị  .

18

 x

( n)

phải hội tụ


Khoá luận tốt nghiệp

Vũ Thị Hương - K29K - Toán

Ví dụ 2.1. Cho en là một dãy trực chuẩn vô hạn trong không gian Hilbert

H vô hạn chiều. Khi đó, từ định lí1.9a), chuỗi

c

2

n

c e

hội tụ nếu và chỉ nếu

n n

  . Tuy nhiên, theo bổ đề 2.2 sau đây, điều này xảy ra nếu và chỉ

 c ( n)   với mọi hoán vị  cña  * . Do đó, e (n) cũng là một dãy
2

nếu

c e

trực chuẩn. Từ đó suy ra

n n

hội tụ nếu và chỉ nếu chuỗi đó hội tụ vô

điều kiện và điều này xảy ra với mọi (cn )  l 2 .
Trong trường hợp khác, do en  1, ta có
và chỉ nếu

c

n

c e

n n

hội tụ tuyệt đối nếu

  . Do đó, sự hội tụ của chuỗi đúng với (cn )  l 1 . Do l 1 là

tập con của l 2 nên có những chuỗi

c e

n n

hội tụ vô điều kiện nhưng không

hội tụ tuyệt đối.
Chú ý rằng trong ví dụ này, ta có thể mô tả chính xác tập hợp các hệ
số (cn ) sao cho

c e

n n

hội tụ vì ta đã biết en là dãy trực chuẩn trong

không gian Hilbert hoặc không gian Banach luôn gặp rất nhiều khó khăn để
mô tả chính xác tập hợp các hệ số (cn ) sao cho

c

a hội tụ hoặc hội tụ

n n

vô điều kiện.
2. Mối liên hệ giữa sự hội tụ tuyệt đối và sự hội tụ vô điều kiện của chuỗi
trong không gian Banach
Bổ đề 2.1. Giả sử (cn ) là một dãy các vô hướng thực hoặc phức. Khi đó,

c

n

n

hội tụ tuyệt đối   cn hội tụ vô điều kiện.
n

Chứng minh

 ] Giả sử
N



n M 1

c

n

  và với   0 bất kì. Khi đó, tồn tại N0  0 sao cho

cn   với bất kì N  M  N0 .

19


Khoá luận tốt nghiệp

Vũ Thị Hương - K29K - Toán

Lấy  là một hoán vị bất kì của 







và lấy N1   1(1),..., 1(N0 ) .

Giả sử rằng N  M  N1 . Nếu M  1  n  N , khi đó n  N1 . Do đó,

n   1(1),..., 1(N0 ) , vì vậy  (n)  1,..., N0 . Do đó,  (n)  N0 . Đặc
biệt, K  min ( M  1),..., (N )  N0 và L  max (M+1),..., (N)  K .
Vì vậy,

N



n M 1

c ( n) 

N



L

n M 1

c ( n)   cn   . Do đó,
K

 c

( n)

là chuỗi Cauchy

của các vô hướng và do đó nó phải hội tụ.

c

 ] Trước hết, giả sử

n

là một chuỗi các vô hướng thực hội tụ vô điều

kiện nhưng không hội tụ tuyệt đối. Lấy ( pn ) là một dãy các số hạng không
âm của (cn ) theo thứ tự và lấy (qn ) là một dãy các số hạng âm của dãy (cn )

p

theo thứ tự. Nếu

n

vµ  qn đều hội tụ, khi đó dễ thấy

c

n

hội tụ vã

 p   q , điều này mâu thuẫn. Vì vậy, một trong hai chuỗi
 p hoÆc  q phải phân kì.
Giả sử  p phân kì. Do p  0 với mọi n , phải tồn tại m  0 sao

bằng

n

n

n

n

n

n

1

cho:

p1    pm1  1.
Khi đó, tồn tại m2  m1 sao cho:

p1    pm1  q1  pm11    pm2  2 .
Cứ tiếp tục như vậy, ta thấy rằng

p1    pm1  q1  pm11    pm2  q2  
là sự hoán vị của

c

n

mà chuỗi này phân kì. Do đó,

tụ vô điều kiện. Chứng minh tương tự, ta cũng có
điều kiện nếu

q

n

phân kì.

20

c

n

c

n

không thể hội

không thể hội tụ vô


Khoá luận tốt nghiệp

Vũ Thị Hương - K29K - Toán

c

Vì vậy, nếu

n

là một chuỗi các vô hướng thực hội tụ vô điều kiện

thì chuỗi đó phải hội tụ tuyệt đối. Bây giờ, giả sử

c

n

là một chuỗi các vô

hướng phức hội tụ vô điều kiện. ta sẽ chỉ ra phần thực và phần ảo của

c

n

hội tụ vô điều kiện.
Viết cn  an  ibn và lấy  là một hoán vị bất kì của  * . Khi đó,

c   c ( n) phải hội tụ. Đặt c  a  ib . Khi đó:
N

N

n1

n1

a   a ( n)  c   c ( n) .
Vì vậy, a   a ( n) hội tụ. Điều này, luôn đúng với mọi hoán vị 
của  , do đó

a

n

phải hội tụ vô điều kiện. Do đây là chuỗi các vô hướng

thực nên chuỗi đó phẩi hội tụ tuyệt đối. Tương tự,

 b phải hhội tụ tuyệt

n

đối. Do đó,

c a
n

Vì vậy,

c

n

n

 ibn   an   bn   .

hội tụ tuyệt đối.

Bổ đề 2.2. Cho  xn là một dãy các phần tử của không gian Banach X . Nếu

x

n

hội tụ tuyệt đối thì nó hội tụ vô điều kiện.

Chứng minh
Giả sử
Do



x

n

xn   . Nếu M  N , khi đó

N



n M 1

xn 

N



n M 1

xn .

là một chuỗi Cauchy các số thực, điều đó cho thấy

x

n

là chuỗi Cauchy trong X . Hơn nữa, ta lặp lại lí luận đối với hoán vị bất kì

 của   , ta luôn có

 x

( n)

  theo bổ đề 2.1. Do đó,

điều kiện.

21

x

n

hội tụ vô


Khoá luận tốt nghiệp

Vũ Thị Hương - K29K - Toán

§2. Cơ sở trong không gian Banach
1. Cơ sở Hamel
a) Định nghĩa
Định nghĩa 2.3. Một tập hợp hữu hạn các phần tử x1,..., xn trong không gian

vectơ phức(thực) được gọi là độc lập tuyến tính nếu và chỉ nếu

1x1    n xn  0 ,
với 1,...,n  (hoÆ
c  ) thì suy ra 1     n  0 . Tập con A của không
gian vectơ được gọi là độc lập tuyến tính nếu và chỉ nếu mỗi tập con hữu
hạn của A là độc lập tuyến tính.
Định nghĩa 2.4. Tập con độc lập tuyến tính hữu hạn A trong không gian
vectơ X được gọi là cơ sở Hamel của X nếu và chỉ nếu phần tử khác không
bất kì x  X có thể viết được dưới dạng

x  1u1     mum
với một vài m  , các giá trị 1,...,m  (hoÆ
c  ) và các phần tử phân
biệt u1,..., um  A .
Nói cách khác, A là cơ sở Hamel của X nếu A là độc lập tuyến tính
và nếu phần tử bất kì của X có thể viết được dưới dạng một tổ hợp tuyến
tính hữu hạn các phần tử của A .
Chú ý rằng nếu A là tập con độc lập tuyến tính của X và nếu x  X
có thể viết được dưới dạng x  1u1     mum như trên thì sự khai triển
này là duy nhất. Để hiểu điều này, giả sử ta cũng có biểu diễn

x  1v1    kvk ,
với 1,..., k  khác không và các phần tử phân biệt v1,..., vk  A . Thực
hiện chuyển vế, ta có

  1u1    mum  1v1    kvk .

22

Khoá luận tốt nghiệp

Vũ Thị Hương - K29K - Toán

Giả sử m  k . Lúc này, v1 không bằng bất kì một phần tử vj nào và
vì vậy, từ tính độc lập, cũng không thể khác tất cả các ui . Nói cách khác, v1
bằng một trong các ui . Tương tự, ta thấy mọi vj bằng một vài ui và do đó
phải có m  k và v1,..., vm là một hoán vị của u1,..., um . Nhưng khi đó, lại do
tính độc lập, 1,..., m cũng là hoán vị của 1,..., m . Tính duy nhất của sự
khai triển của x dưới dạng tổ hợp tuyến tính hữu hạn các phần tử của A suy
ra từ đó.
b) Sự tồn tại của cơ sở Hamel trong không gian vectơ
Định lí 2.1. Mọi không gian vectơ X có thể có cơ sở Hamel.
Chứng minh
Lấy  kí hiệu tập hợp các bộ phận độc lập tuyến tính của X , được
sắp xếp riêng rẽ bao hàm nhau. Lấy S :   J là một tập hợp được sắp thứ
tự toàn phần của  . Đặt S   S . Ta cần chứng tỏ S là độc lập tuyến tính.


Để hiểu rõ điều này, giả sử x1,..., xm là các phần tử phân biệt của S và giả
sử rằng 1x1    mxm   , với 1,..., m  (hoÆ
c  ) khác không. Khi đó,

x1  S1 ,..., xm  Sm với một vài 1,..., m  J . Do S  được sắp thứ tự toàn
phần, có một vài  '  J sao cho S1  S ' ,..., Sm  S ' Vì thế, x1,..., xm  S ' .
Nhưng S ' độc lập và vì vậy ta phải có 1    m  0. Vậy S là độc lập
tuyến tính, điều phải chứng minh.
Từ đó suy ra S là bị chặn trên bởi S  của  . Vì thế mọi tập sắp thứ
tự toàn phần trong  là bị chặn trên và vì vậy theo bổ đề Zorn,  có thể có

một phần tử lớn nhất, giả sử là M . Ta cần chứng tỏ M là cơ sở Hamel. Để
hiểu điều này, lấy x  X, x   và giả sử rằng đẳng thức có dạng

x  1u1    kuk

23


Khoá luận tốt nghiệp

Vũ Thị Hương - K29K - Toán

là không thể xảy ra với bất kì k   , các phần tử phân biệt u1,..., uk  M và
các phần tử khác không 1,..., k  (hoặc  ). Khi đó, với bất kì

u1,..., uk  M phân biệt, đẳng thức dạng  x  1u1    kuk   , phải có

  0 . Nhưng khi đó điều này có nghĩa là 1    k  0 do tính độc lập.
Vì thế x, u1,..., uk là độc lập tuyến tính. Từ đó suy ra rằng M   x là độc
lập tuyến tính, điều này mâu thuẫn với tính chất lớn nhất của M . Vậy x có
thể viết được dưới dạng x  1u1    mum thoả mãn với m * ,

u1,...,uk  M và các phần tử khác không 1,..., m  (hoặc  ), nghĩa là M
là cơ sở Hamel của X .
Định lí 2.2. Cho A là tập con độc lập tuyến tính của không gian vectơ X .
Khi đó, có một cơ sở Hamel của X chứa A , nghĩa là, tập con độc lập tuyến
tính bất kì của không gian vectơ có thể được chứa trong một cơ sở Hamel.
Chứng minh
Lấy  kí hiệu tập hợp các tập con độc lập tuyến tính của X mà chứa

A . Khi đó,  được sắp thứ tự theo thuyết bao hàm tập. Như trên, vận dụng
bổ đề Zorn ta thu được phần tử lớn nhất của  mà tập này là cơ sở Hamel
của X và chứa A .
Sự tồn tại của cơ sở Hamel có ý nghĩa quan trọng trong việc xây dựng
các ví dụ “ bệnh học ” khác nhau.
Ví dụ 2.2. Trước tiên ta chú ý đến sự tồn tại của các phiếm hàm tuyến
tính bị chặn. Dễ dàng đưa ra các ví dụ trên không gian định chuẩn. Chẳng
hạn, lấy X là không gian vectơ các dãy số phức mà các dãy này dần tới
không. Vì thế (an )  X nếu và chỉ nếu an  0 với mọi n đủ lớn (phụ thuộc
vào dãy đặc biệt). Trang bị X với chuẩn (an )  sup an và xác định

24


Khoá luận tốt nghiệp

Vũ Thị Hương - K29K - Toán

 : X   cho bởi (an )   ((an ))   an . Rõ ràng  là một phiếm hàm
n

tuyến tính bị chặn trên X .
Ví dụ 2.3. Ta có thể dùng khái niệm về cơ sở Hamel để đưa ra một ví dụ về
một không gian mà không gian này là không gian Banach với hai chuẩn
không tương đương đương. Dễ dàng đưa ra các ví dụ về các không gian
vectơ với các chuẩn không tương đương. Chẳng hạn, C 0,1 được trang bị
bởi các chuẩn   và  1 là một ví dụ như vậy.
Ví dụ 2.4. Ta sẽ dùng sự tồn tại của cơ sở Hamel để chỉ ra rằng nếu X là
một không gian Banach vô hạn chiều thì tồn tại các phiếm hàm tuyến tính
trên X mà các hàm này không liên tục. Lấy  x  là một cơ sở Hamel của

 
không gian Banach vô hạn chiều X , đã được chuẩn hoá. Vì vậy, x  1 với
mọi   . Lấy 0   1,  2 ,... là dãy con đếm được bất kì của  . Đặt

 : X   xác định bởi   n   n với n * và     0 với   \ 0 và
khi đó thác triển  tuyến tính đối với X . Do đó,  là một phiếm hàm tuyến
tính trên X nhưng nó không bị chặn.
Do mỗi không gian Banach là một không gian vectơ nên có cơ sở
Hamel hoặc cơ sở không gian vectơ. Trong không gian Banach vô hạn chiều
tách được đòi hỏi có cơ sở Hamel không đếm được. Hơn nữa, phép chứng
minh sự tồn tại của cơ sở Hamel đối với không gian vô hạn chiều tách được
cần có các tiên đề Chọn (có thể chỉ ra được rằng mệnh đề “ mọi không gian
vectơ có một cơ sở Hamel ” là tương đương với tiên đề Chọn). Do đó, đối
với không gian Banach không có một phương pháp xây dựng nào để mở
rộng cơ sở Hamel.

25