lặp picacrd cho hàm tăng mạnh và lipsit giả co mạnh trong không gian banach tùy ý

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Văn Bình

LẶP PICACRD CHO HÀM TĂNG MẠNH VÀ
LIPSIT GIẢ CO MẠNH TRONG KHÔNG GIAN
BANACH TÙY Ý

Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: GITI-08-002

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC



NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS LÊ HOÀN HÓA





Thành phố Hồ Chí Minh - 2011

Trang 3

LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS Lê Hoàn
Hóa – người đã hướng dẫn tận tâm và tạo mọi điều kiện tốt nhất, giúp tôi hoàn thành
luận văn này.

Tiếp theo, tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô trong Hội đồng chấm luận văn
đã dành thời gian đọc, chỉnh sửa và đóng góp ý kiến cho tôi hoàn thành luận văn này
một cách hoàn chỉnh.

Tôi xin cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Sau Đại học cùng toàn thể thầy cô khoa
Toán – Tin học trường Đại học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh đã giảng dạy và tạo mọi
điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt thời gian nghiên cứu đề tài.

Cuối cùng, trong quá trình viết luận văn này khó tránh khỏi những thiếu sót, rất
mong được sự góp ý của Quý Thầy Cô và bạn đọc để hoàn thiện đề tài hơn nữa.

Xin chân thành cảm ơn. Tp Hồ Chí Minh tháng 08 năm 2011


Trang 4



MỤC LỤC
1TLỜI CẢM ƠN1T 3
1TMỤC LỤC1T 4
1TPHẦN MỞ ĐẦU1T 5
1TChương I. Không gian lồi đều và trơn đều1T 6
1T1.1 Không gian lồi đều1T 6
1T1.2 Không gian trơn đều1T 13

1TChương II. Một số bất đẳng thức trong không gian lồi đều và trơn đều1T 24
1T2.1 Bất đẳng thức trong không gian lồi đều1T 24
1T2.2 Bất đẳng thức trong không gian trơn đều1T 37
1TChương III. Lặp Picard cho nghiệm của phương trình phi tuyến1T 44
1T3.1 Lặp Picard cho nghiệm của phương trình phi tuyến trong không gian Banach.1T
44
1T3.2 Lặp Picard cho hàm tăng mạnh và hàm lipsit giả co mạnh1T 58
1TTÀI LIỆU THAM KHẢO1T 64






Trang 5



PHẦN MỞ ĐẦU
Cho E là không gian Banach thực. Ta xét phương trình
Ax f=
, với ánh xạ
: ()ADA E E⊂→
, trong đó
()DA
mở. Giả sử rằng phương trình đó có nghiệm
x
∗
, ta
sẽ tìm cách lặp dãy hội tụ đến nghiệm. Việc này cho phép tính xấp xỉ nghiệm.

Dãy lặp ở đây được xem xét là dãy lặp Picard:
cố định
0
xB∈
;
1
()
nn n
x x Ax f
λ
+
=−−

( 0)n ≥
.
Để dãy lặp Picard hội tụ, ta xét
E
trơn đều hoặc p-trơn đều, và A thỏa một số tính
chất, chẳng hạn như: lipsit địa phương và tựa-tăng mạnh.
Nếu như
Ax f=
không có nghiệm thì sự cố gắng lặp dãy hội tụ đến nghiệm là vô
nghĩa.
Tuy nhiên, nếu A tăng mạnh và lipsit thì sự tồn tại nghiệm của phương trình
Ax f=
là được khẳng định bởi định lý 13.1 xem ở [7].
Luận văn gồm 3 chương:
Chương I: Giới thiệu không gian lồi đều và p-lồi đều, cùng các tính chất của
môđun lồi. Giới thiệu không gian trơn đều và q-trơn đều, cùng các tính chất của môđun
trơn.

Chương II: Chứng minh một số bất đẳng thức quan trọng được sử dụng trong
chương III.
Chương III: Trình bày cách lặp dãy hội tụ về nghiệm phương trình theo dãy lặp
Picard.



Trang 6



Chương I. Không gian lồi đều và trơn đều
1.1 Không gian lồi đều
Bài này giới thiệu về không gian lồi đều và p-lồi đều và đặc biệt chỉ ra một vài
tính chất của môđun lồi.
Cho X là không gian định chuẩn và cố định
0
xX∈
. Đặt
{ }
00
( ,) :Sx r x X x x r=∈ −=
.
Định nghĩa 1.1.1 Một không gian định chuẩn X được gọi là lồi đều nếu cho bất
kỳ
(0,2]
ε
∈
đều có một
0

δ
>
sao cho nếu
,xy X∈
mà
1, 1xy= =
và
xy
ε
−≥
, thì
1
( )1
2
xy
δ
+ ≤−
.
Nhận xét 1.1.2 Trong định nghĩa trên không khác đi khi thay
(0,2]
ε
∈
bởi
0
ε
>
.
Thật vậy, nếu với mọi
0
ε

>
đều có
0
δ
>
sao cho nếu
,xy X∈
mà
1, 1xy= =
và
xy
ε
−≥
, thì
1
( )1
2
xy
δ
+ ≤−
. Do đó cũng dúng với
(0,2]
ε
∈
. Ngược lại, nếu đúng
với
(0,2]
ε
∈
thì với

2
ε
>
1, 1xy= =
và
xy
ε
−≥
2xy⇒−>
, dẫn đến
1
( )1
2
xy
δ
+ ≤−
.
Mệnh đề 1.1.3 Cho số p,
1 p< <∞
. Không gian định chuẩn X lồi đều khi và chỉ
khi, cho mỗi
0
ε
>
có số
() 0
p
δε
>
sao cho, nếu

, mà , 1xy X x y∈≤
và
xy
ε
−≥

thì
(*)
(1 ( ))
22
pp
p
p
xy
xy
δε
+
+
≤−
.
Trang 7



Chứng minh. Ta chứng minh chiều ngược lại. Cho
0
ε
>
có số
() 0

p
δε
>
sao cho,
nếu
, mà 1xy X x y∈==
và
xy
ε
−≥
thì

(1 ( ))
22
pp
p
p
xy
xy
δε
+
+
≤−
,
điều này dẫn đến

( ) ( )
11
1 () 1 1 1 ()
2

pp
pp
xy
δε δε




+
≤− =−−−
,
bởi vậy chọn
( )
1
() 1 1 ()
p
p
δε δ ε




= −−
, ta được ngay X lồi đều.
Ta chứng minh chiều thuận. Giả sử X là không gian định chuẩn lồi đều. Nếu p >
1 thì hàm
1
()
(1 )
p

p
t
t
t
ϕ
+
=
+
,
0t ≥
đạt giá trị nhỏ nhất khi
1t =
. Thật vậy
1 1 11
22
(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) ( 1)
()
(1 ) (1 )
p p p p pp
pp
pt t pt t pt t
t
tt
ϕ
− − −−
+−+ + + −
′
= =
++
, cho nên dấu của

()t
ϕ
′
là
dấu của
1
1
p
t
−
−
và do đó
1
0
min ( ) (1) 2
p
t
t
ϕϕ
−
≥
= =
.
Bởi vậy

1
1
2
(1 )
p

p
p
t
t
−
+
≥
+
,
0t∀≥
,
điều này dẫn đến

11
(1 )
22
p
p
t
t



+
≤+
, với mọi
01t≤≤
.
Bây giời chúng ta khẳng định rằng nó là đủ để chứng minh (*) cho
,xy X∈

sao
cho
1, 1xy= ≤
. Thật vậy giả sử (*) đúng cho
,xy X∈
sao cho
1, 1xy
= ≤
. Khi đó
Trang 8



với
1,xy≥
(xem
yx≤
) và
xy
xy x
xx
ε
≤−= −
, (nếu xem
xy≤
thì đổi
x
bởi
y
) đúng nếu và chỉ nếu

xy
x xx
ε
ε
≤≤ −
ta được

(1 ( ))
2
2
p
p
p
p
xy
xy
x
x
δε
+
+
≤−
.
Vì vậy, chúng ta thiết lập (*) cho
1, 1xy
= ≤
và
xy
ε
≤−

. Nếu (*) không
đúng thì có
0
ε
>
, các dãy
( ),( )
nn
xy
trong X sao cho
1
nn
yx≤=
và
nn
xy
ε
−≥
sao
cho

2
() 1
2
p
nn
pp
nn
xy
xy

α
+
→
+

Vì vậy
1
n
y →
. (Thật vậy, nếu
n
y
không hội tụ về 1 thì có
01q<<
và dãy
con
{ }
n
y
sao cho
1
n
yq≤<
cho tất cả n. Thật vậy, giả sử điều trên không đúng thì
với
1
1
2
k
k

q = −
, ta có dãy con
{ }
k
n
y
của
{ }
n
y
sao cho
1
11
2
k
n
k
k
qy−=< ≤
, suy ra
1
k
n
y →
. Ta sẽ chứng minh mọi dãy con hội tụ của
{ }
n
y
đều hội tụ về 1. Giả sử có
dãy con

{ }
k
n
y
′
của
{ }
n
y
thỏa
{ }
k
n
y
′
hội tụ về phần tử khác 1, thì theo chứng minh
trên
{ }
k
n
y
′
có dãy con mà dãy chuẩn của nó hội tụ về 1, suy ra
{ }
k
n
y
′
hội tụ về 1 (mâu
thuẫn). Như vậy mọi dãy con hội tụ của dãy

{ }
n
y
đều hội tụ về cùng giới hạn 1 nên
1
n
y →
(mâu thuẫn)). Do
1
n
yq≤<
nên,
Trang 9




( )
1
1
(1 )
2
1
1
p
p
n
p
p
p

n
y
q
q
y
−
+
+
≤≤
+
+

do đó ta có

1
22 2
p
p
p
nn
n
nn
xy
y
xy









+
+
+
≤=
.
Mặt khác, chọn
1
ρ
<
sao cho

( )
1
22
p
p
n
p
nn
y
xy
ρ

+

≤+



,
n
∗
∀∈¥

Chọn được vì
1
()
(1 )
p
p
t
t
t
ϕ
+
=
+

nghịch biến trên [0,1] nên
1
( ) ( ) (1) 2 , [0, ]
p
t q tq
ϕϕ ϕ
−
≥ > = ∀∈
,
suy ra,

11
1 1 (1 ) 1
22
() () 1 ()
p
pp
p
t
tq t q
ϕϕ ϕ
−−
+
≤<⇔ ≤<
+

điều này dẫn đến:

1 21
.
2 2 () 2
p
p
p
tt
q
ϕ
++

≤



.
Do đó chọn
2
1
2 ()
p
q
ρ
ϕ
= <
, ta thu được

( )
22
p
p
p
nn
nn
xy
xy
ρ
+
≤+
, điều này mâu thuẫn với
()
α
.

Trang 10



Đặt
n
n
n
y
z
y
=
thì
0
n
nn n
n
y
zy y
y
−= −→
. Vì vậy,
/2
nn
zx
ε
−≥
khi n đủ lớn (
do
()

nn nn nn nn nn
zx xy zy xy zy−=−−− ≥ −−−
). Nhưng bởi
()
α
,
lim 1
2
nn
xz+
=

( vì
1
1
22
nn n
xz x++
→→
), mâu thuẫn với tính lồi đều của X.
Định lý 1.1.4 Không gian
()
p
L
µ
với
1 p< <∞
là không gian Banach lồi đều.
Chứng minh. Xem [2] hoặc [3].
Định nghĩa 1.1.5 Cho X là không gian định chuẩn với

dim 2X ≥
. Môđun lồi
của X là hàm
:(0,2] [0,1]
X
δ
→
được định nghĩa bởi
( ) inf 1 : 1;
2
X
xy
x y xy
δε ε
+ 
= − = = −=


.
Trong trường hợp không gian Hilbert ta có
2
() 1 1
4
H
ε
δε
=−−
( do đẳng thức
hình bình hành
2 2 22

2( )xy xy x y+ +− = +
).
Nhận xét rằng
(0) 0
δ
=
.
Bổ đề 1.1.6 Cho X là không gian định chuẩn với
dim 2X ≥
. Khi đó
( ) inf 1 : 1, 1; inf 1 : 1, 1;
22
X
xy xy
x y xy x y xy
δε ε ε
+ + 
= − ≤ ≤−≥= − ≤ ≤−=
  
  

Chứng minh. Day, M. M [11].
Bổ đề 1.1.7 Cho mỗi không gian định chuẩn X , hàm
()
X
δε
ε
không giảm trên
(0;2]
.

Chứng minh. Cố định
, (0;2],
ηλ η λ
∈≤
và
, :1xy X x y∈==
,
xy
λ
−=
.
Trang 11



Ta sẽ chứng minh
() ()
XX
δη δλ
ηλ
≤
. Đặt:

(1 ) và (1 )
xy xy
ux vy
xy xy
ηη ηη
λλ λλ
++

= +− = +−
++
.
Thì

( ),uv xyuv
η
η
λ
−= − − =
và
1
22
xy
uv xy
xy
η
η
λλ

+
++
= −+

+

,
điều này dẫn đến:

11 1

22 2 2
xy xy uv
xy uv
xy
ηη
ηη
λλ λλ

+ ++
++
− =− =−−+ =−

+

.
Đặc biệt:

11
1
2 22
xy
xy xy
xy
xy xy

+
++
− =+ −=−



++

.
Do đó:

22
11
1
22
xy uv xy xy
xy xy
xy xy
uv xy
η
η
ηλ λ λ
++ ++
−−
++
  
++
=− =−=
  
−−
  
.
Vì vậy:

1 11
22

()
2 22
X
xy uv xy xy
uv xy xy
xy xy
uv uv xy xy
δη
ηλ
++ ++
+ −−
−−
− −−
++
≤= = ==
−− −−
.
Suy ra
Trang 12




() ()
XX
δη δλ
ηλ
≤
.
Định nghĩa 1.1.8 Cho tập con lồi, mở không rỗng của không gian định chuẩn X .

Hàm
: ()f Df → ¡
được gọi là lồi trên
()Df
nếu:


[ (1 ) ] ( ) (1 ) ( ), , ( ); 0 1f x y f x f y xy Df
λ λλ λ λ
+− ≤ +− ∀ ∈ ≤≤
.
Bổ đề 1.1.9 Mỗi hàm lồi f trên tập con mở
()Df
không rỗng, lồi trong
¡
là liên
tục.
Chứng minh. Charles Chidume [1].
Định lý 1.1.10 Môđun lồi của không gian định chuẩn X là hàm liên tục và lồi.
Chứng minh. Lindenstrauss, J. and Tzafriri, L [4].
Định lý 1.1.11 Không gian định chuẩn X lồi đều khi và chỉ khi
( ) 0, (0;2]
X
δε ε
> ∀∈
.
Chứng minh. Cho X lồi đều thì với
(0,2]
ε
∈

có số
0
δ
>
sao cho với
,xy X∈

mà
1, 1xy= =
và
xy
ε
−≥

thì
1
( )1
2
xy
δ
+ ≤−
, do đó
() 0
X
δε
>
. Ngược lại, cho
( ) 0, (0,2]
X
δε ε

> ∀∈
thì với
(0,2]
ε
∈
chọn
(
X
δδε
=
) ta có: với
,xy X∈
mà
1, 1xy= =
và
xy
ε
−≥

thì
1
( )1
2
xy
δ
+ ≤−

tức là X lồi đều.
Hệ quả 1.1.12 Trong không gian lồi đều, môđun lồi là hàm tăng ngặt.
Chứng minh. Từ bổ đề 1.1.7, với

02st<<≤
ta có
() ()
XX
tsst
δδ
<
. Do X lồi đều
nên theo định lý 1.1.11 ta được
( ) 0, (0,2]
X
δε ε
> ∀∈
, bởi vậy
() () () () ()
X X X XX
tssttt s t
δ δ δ δδ
< <⇒<
.
Định lý 1.1.13 Nếu X là không gian lồi đều thì
2
() 1 1
4
X
ε
δε
≤− −
.
Trang 13

Chứng minh. Charles Chidume [1].
Định lý 1.1.14 Nếu X là không gian Banach lồi đều thì X phản xạ.
Chứng minh. Charles Chidume [1].
Định nghĩa 1.1.15 Cho p > 1. Không gian định chuẩn X được gọi là p-lồi đều
nếu có một hằng số
0: ( )
p
X
cc
δε ε
>≥
.
Định lý 1.1.16 Ta kí hiệu
p
δ
để chỉ môđun lồi của
(1 )
p
Lp< <∞
. Ta có:
(i) Nếu
(1, 2)p∈
thì có số
0
p
k >
sao cho

2
()
pp
k
δε ε
≥
.
(ii) Nếu
[2, )p∈∞
thì có số
0
p
k >
sao cho
()
p
pp
k
δε ε
≥
.
Chứng minh. [3], trang 66.
Từ định lý trên ta thấy không gian
(1 )
p
Lp< <∞
là không gian p-lồi đều.
1.2 Không gian trơn đều
Định nghĩa 1.2.1 Một không gian định chuẩn X được gọi là trơn nếu cho mỗi
,1x Xx∈=

, có duy nhất
: 1 và ,x X x xx x
∗ ∗∗ ∗
∈ = 〈 〉=
.
Định nghĩa 1.2.2 Cho X là một không gian định chuẩn với
dim 2X ≥
. Môđun
trơn của X là một hàm
:[0, ) [0, )
X
ρ
∞→ ∞
,
( ) : sup 1 : 1;
2
X
xy xy
xy
ρτ τ
+ +− 
= −==


.
Rõ ràng rằng
( ): sup 1: 1
2
X
xyxy

xy
ττ
ρτ
+ +− 
= −==


.
Mệnh đề 1.2.3 Môđun trơn của không gian định chuẩn X là hàm lồi.
Trang 14



Chứng minh. Cố định
1xy= =
và xét
,
( ): 1
2
xy
x ty x ty
ft
+ +−
= −
. Khi đó cho
[0,1]
λ
∈
, ta có:

,
( (1 ) ) ( (1 ) )
( (1 ) ) 1
2
xy
x t sy x t sy
ft s
λλ λλ
λλ
+ +− +− +−
+− = −


(1 ) (1 )
1
2
x ty x sy x ty x sy
λ λλ λ
+ +− + + − +− −
≤−

(ta đã sử dụng
(1 )xx x
λλ
= +−
)


,,
( ) (1 ) ( )

xy xy
ft fs
λλ
= +−
.
Do đó
,xy
f
là một hàm lồi.
Bây giời cho
0
ε
>
có
,xy X∈
,
1xy= =
sao cho

,
,,
( (1 ) ) ( (1 ) )
( ) (1 ) ( ) ( ) (1 ) ( )
X xy
xy xy X X
tsfts
ft fs t s
ρλλελλ
λ λ λρ λ ρ
+− −< +−

≤ +− ≤ +−

Vì
0
ε
>
tùy ý nên
X
ρ
là hàm lồi.
Định nghĩa 1.2.4 Không gian định chuẩn X được gọi là trơn đều nếu với
0
ε
>

cho trước có
0
δ
>
sao cho với mọi
,xy X∈
và
1,xy
δ
= ≤
, thì
2xy xy y
ε
+ + − <+
.

Định lý 1.2.5 Một không gian định chuẩn X là trơn đều nếu và chỉ nếu
0
()
lim 0
X
t
t
t
ρ
+
→
=
.
Chứng minh. Nếu X là trơn đều và
0
ε
>
thì, có
0
δ
>
sao cho:

1 ; , : 1,
22
xy xy
y xy X x y
ε
δ
++−

−< ∀ ∈ = ≤
.
Trang 15



Điều này dẫn đến

() ,
2
X
t tt
ε
ρδ
≤ ∀<
.
Ngược lại, cho
0
ε
>
, giả sử có
0
δ
>
sao cho

() ,
2
X
t tt

ε
ρδ
< ∀≤
. Với
1,xy
δ
= ≤
.
Đặt
y
τ
=
ta có
()
2
X
ε
ρτ τ
<
. Do đó ta được
2,xy xy y y
εδ
+ + − <+ ≤
.
Mệnh đề 1.2.6 Mỗi không gian trơn đều là trơn. (Mệnh đề này cho phép chỉ ra cụ
thể
,1
p
Lp< <∞
là trơn).

Chứng minh. Giả sử phản chứng, X không trơn, thì có
00
:1x Xx∈=
và
**
12
,xx X∈
sao cho
**
12
xx≠
,
**
12
1xx= =
và
**
01 0 02
,,xx x xx= =
. Vì
**
12
xx≠
nên
có
**
0 0 01 2
: 1 và , 0y X y yx x∈ = −>
. Cho mỗi
0t >

chúng ta có:

**
01 2
**
01 02
**
0 01 0 02
00 00
0,
(, ,)
,,
11
22
tyx x
tyx yx
x ty x x ty x
x ty x ty
<−
= −
+ +−
+ +−
= −≤ −

do đó,
**
01 2
()
0 , ,0
X

t
yx x t
t
ρ
< − ≤ ∀>
. Vì vậy X không trơn đều (!).
Mệnh đề 1.2.7 Cho X là không gian Banach thực. Với mỗi
0
τ
>
,
xX∈
,
1x =

và
xX
∗∗
∈
với
1x
∗
=
. Chúng ta có:
Trang 16




( ) sup ( ):0 2

2
( ) sup ( ):0 2
2
X
X
X
X
τε
ρ τ δε ε
τε
ρτ δ ε ε
∗
∗

= − <≤



= − <≤



Chứng minh. Cho
0,0 2; ,xy X
τε
> <≤ ∈
với
1xy= =
. Bởi định lý Hanh-
Banach có

** *
00
,xy X∈
với
**
00
1xy= =
sao cho

*
0
,xyx xy+=+
và
*
0
,xyy xy−=−
.
Khi đó

**
00
** **
00 00
****
0000
****
2 , ,2
, ,2
2 (do ( ) )
sup 2:

xy xy xyx xyy
xx y yx y
x y x y fx f x
xyxy x
ττ
ττ
ττ
ττ
+ + − −= + + − −
= ++ −−
≤+ +− − ≤
≤ + +− −
{ }
*
**
1 2 ()
X
y
ρτ
= = =

Suy ra

() 1
2
X
xy xy
τ
ρτ
∗

++ −
− ≤−
.
Cho nên, Nếu
xy
ε
≤−
thì, từ bất đẳng thức sau:

*
() 1
22
X
xy
τε
ρτ
+
− ≤−
;
Ta thu được:

*
() ()
2
X
X
τε
ρ τ δε
−≤

và từ
02
ε
<≤
tùy ý, chúng ta thu được
Trang 17




sup ( ) :0 2 ( )
2
X
X
τε
δε ε ρ τ
∗

− <≤ ≤


.
Bây giờ cho
,: 1xy X x y
∗∗ ∗ ∗ ∗
∈==
, và
0
δ
>

. Cho
0
τ
>
thì có
00 0 0
,:xy Xx y∈≠
và
00
1xy= =
sao cho

0
,xy xxy
τ τδ
∗∗ ∗∗
+≤ ++
và
0
,xy xxy
τ τδ
∗∗ ∗∗
−≤ −+
( do
{ }
sup ( ) : 1f fx x= =
) .
Từ những bất đẳng thức đó chúng ta thu được

00

00 00
00 00
2 , , 22
,,22
2,2
xyxy xxy yxy
x yx x yy
x y x yy
ττ τ τδ
τδ
τδ
∗∗ ∗∗ ∗∗ ∗∗
∗∗
∗
+ + − −≤ + + − −+
= + + − −+
≤ + −+ − +

Vì vậy nếu chúng ta đặt
0 00
:,x yy
ε
∗
= −
, thì
0 00
02xy
ε
<≤ − ≤
và

0
0
1 ( ) sup ( ):0 2
22 2
XX
xyxy
ττ
τε
τε
δδε δ δε ε
∗∗ ∗∗
+ +−

−≤ + − ≤ + − < ≤


.
Vì
0
δ
>
tùy ý nên chúng ta thu được:

( ) sup ( ):0 2
2
X
X
τε
ρ τ δε ε

∗

≤ − <≤


.
Vậy đẳng thức thứ nhất được chứng minh xong.
Ta chứng minh đẳng thức thứ hai, cho
0
τ
>
và
,: 1xy X x y
∗∗ ∗ ∗ ∗
∈==
. Cho
bất kỳ
0
η
>
, từ định nghĩa của trong
X
∗
có
00 0 0
,: 1xy X x y∈==
sao cho
00
, , ,x y xx y x y xx y
ηη

∗∗ ∗∗ ∗∗ ∗∗
+ −≤ + − −≤ −
.
Khi đó
Trang 18




00
00 00
2 , , 2 (1 )
, ,2(1 )
xy xy xxy yxy
x yx x yy
τ τ ητ
τ τ ητ
∗∗ ∗∗ ∗∗ ∗∗
∗∗
+ + − −≤ + + − −+ +
= + + − −+ +

Vì X là không gian Banach nên
{ }
sup , : 1x xx x
∗∗
= =
. Do đó ta có

{ }

0000
0000
2 2 (1 )
sup 2 : 1 (1 )
2 () (1 )
X
xy xy x y x y
xy xy xy
τ τ τ ητ
τ τ ητ
ρτ η τ
∗∗ ∗∗
+ + − −≤ + + − −+ +
≤ + +− − ==++
= ++

Suy ra

(1 )
() 1
22
X
xy xy
τ
ητ
ρτ
∗∗ ∗∗
++ −
+
− − ≤−

.
Bởi vậy, nếu
02xy
ε
∗∗
<≤ − ≤
ta có

(1 )
() 1
2 22
X
xy
τε η τ
ρτ
∗∗
++
− − ≤−

, điều đó dẫn đến

(1 )
() ()
22
X
X
τε η τ
ρτ δ ε
∗
+

−− ≤
.
Do
η
tùy ý nên chúng ta thu được

( ) ( ), (0,2]
2
X
X
τε
ρτ δ ε ε
∗
− ≤ ∀∈
.
Vì vậy

sup ( ): 0 2 ( )
2
X
X
τε
δ ε ε ρτ
∗

− <≤ ≤


.
Trang 19

Bây giờ lấy
,xy
trong X với
1xy= =
và cho
0
τ
>
. Bởi định lý Hahn-Banach
có
00 0 0
,: 1xy X x y
∗∗ ∗ ∗
∈==
và sao cho

00
, , ,x yx x y x yx x y
τ ττ τ
∗∗
+=+ −=−
.
Khi đó,

00
00 00
00 00

2 , ,2
, ,2
,2
xyxy xyx xyy
xx y yx y
x y yx y
ττ τ τ
τ
τ
∗∗
∗∗ ∗∗
∗∗ ∗∗
+ + − −= + + − −
= ++ −−
≤++ − −

Vì vậy, nếu
0 00
,yx y
ε
∗∗
= −
thì
0 00
02xy
ε
<≤ − ≤
và

00 00

00
0
,
11
22
1
22
sup ( ):0 2
2
X
x y yx y
xyxy
xy
τ
ττ
τε
τε
δε ε
∗
∗∗ ∗∗
∗∗
++ −
+ +−
−≤ −

+

= −−




≤ − <≤



Do đó

( ) sup ( ):0 2
2
X
X
τε
ρτ δ ε ε
∗

≤ − <≤


.
Vậy hệ thức thứ hai đã được chứng minh.
Hệ quả 1.2.8 Cho không gian Banach thực X . Hàm
()
X
t
t
ρ
không giảm và
()
X
tt

ρ
≤
.
Chứng minh. Lấy
12
,
ττ
dương và giả sử
12
ττ
≤
. Từ mệnh đề 1.2.7 ta thu được:
Trang 20




12
11 2 2
() ()
() ()
sup :0 2 sup :0 2
22
XX
XX
δε δε
ρτ ε ε ρτ
εε
ττ τ τ
∗∗


= − <≤ ≤ − <≤ =


.
Vậy
()
X
t
t
ρ
không giảm.
Bây giờ với
0
τ
>
, ta có

() (), (0,2]
2
XX
τε
δετδε ε
∗∗
− ≤ − ∀∈
.
Do đó kết hợp với mệnh đề 1.2.7 ta thu được
()
X
tt

ρ
≤
.
Định lý 1.2.9 Cho X là không gian Banach thực.
(a) X là không gian trơn đều nếu và chỉ nếu
X
∗
là lồi đều.
(b) X là lồi đều nếu và chỉ nếu
X
∗
là trơn đều.
Chứng minh. Ta chứng minh (a).
(a)
→
. Nếu
X
∗
không lồi đều thì có
0
(0,2]
ε
∈
sao cho
0
()0
δε
=
, và bởi mệnh
đề 1.2.7

( ) sup ( ):0 2
2
( ) sup ( ):0 2
2
X
X
X
X
τε
ρ τ δε ε
τε
ρτ δ ε ε
∗
∗

= − <≤



= − <≤



ta thu được
0
()
0, 0
2

X
ε
ρτ
τ
τ
≥ > ∀>
, điều này có nghĩa là X không trơn đều.
(a)
←
. Giả sử X không trơn đều, tức là
0
()
lim 0
X
t
t
t
ρ
+
→
≠
, điều này dẫn đến có
0
ε
>

sao cho mỗi
0
δ
>

tồn tại
(0, )t
δ
δ
∈
thỏa
()
X
tt
δδ
ερ
≤
. Bởi vậy, ta chọn
Trang 21



{ }
(0,1) : 0
nn
ττ
⊂→
và
()
2
Xn n
ε
ρτ τ
>
. Bởi công thức thứ hai của mệnh đề 1.2.7, với

mỗi n có
(0,2]
n
ε
∈
sao cho

*
()
22
nn
nn
X
τε
ε
τ δε
≤−

điều này dẫn đến

*
0 () ( )
2
n
nn
X
τ
δε εε
< ≤−

, suy ra
n
εε
<
và
*
() 0
n
X
δε
→
.
Bởi vì
*
X
δ
không giảm nên
**
() ( ) 0
n
XX
δε δε
≤→
, do đó
*
() 0
X
δε
=
, tức là

*
X

không lồi đều (!).
Chứng minh (b). Tương tự
Hệ quả 1.2.10 Mỗi không gian Banach trơn đều thực X và mỗi không gian
Hilbert H ta đều có
2
2
( ) sup 1 1 :0 2 1 1 ( )
24
HX
τε ε
ρτ ε τ ρτ


= −+ − < ≤ = + −≤



.
Chứng minh. Do H là không gian Hilbert nên
H
∗
cũng là không gian Hilbert, suy
ra
2
() 1 1
4
H

ε
δε
∗
=−−
. Do đó theo mệnh đề 1.2.7 ta được

2
( ) sup 1 1 :0 2 .
24
H
τε ε
ρτ ε


= −+ − < ≤




Bây giờ xét hàm số

2
( ) 1 ,0 2
24
xx
fx x
τ
= + − <≤
,
Trang 22

ta có:

2
()
2
41
4
x
fx
x
τ
′
= −
−


2
2
() 0
1
fx x
τ
τ
′
=⇔=
+
(do

02x<≤
)
Và với
02x<≤
thì

2
2
2
21 0
4
1
x
xx
τ
τ
τ
− −>⇔<
+
.
Bởi vậy,
2
(0,2]
max ( ) 1fx
τ
= +
, điều này dẫn đến

2
2

( ) sup 1 1 :0 2 1 1.
24
H
τε ε
ρτ ε τ


= −+ − < ≤ = + −




Tiếp theo, ta chứng minh
2
() 1 1
X
ρτ τ
≥+−
.
Từ X trơn đều nên theo định lý 1.2.9
X
∗
lồi đều, từ điều này và theo định lý
1.1.13 ta được
2
() 1 1
4
X
ε
δε

∗
≤− −
.
Mặt khác:

2
( ) sup 1 1 :0 2
22
( ) sup ( ):0 2
2
H
XX
τε ε
ρτ ε
τε
ρτ δε ε
∗∗


= −+ − < ≤




= − <≤



Do đó:
Trang 23

2
() () 1 1
H
X
ρ τ ρτ τ
∗
≥ =+−
.
Định nghĩa 1.2.11 Cho q > 1. Một không gian Banach X được gọi là q – trơn đều
nếu có một hằng số c > 0 sao cho
() , 0
q
X
t ct t
ρ
≤>
.
Định lý 1.2.12 Không gian Hilbert là 2-trơn đều với
2
2 1/2
( ) (1 ) 1 , 0
2
H
τ
ρτ τ τ
= + −≤ ∀>

.
Chứng minh. Từ hệ quả 1.2.10 ta có
2 1/2
( ) (1 ) 1
H
ρτ τ
=+−
. Mà
2
2 1/2
(1 ) 1
2
τ
τ
+ −≤
, suy ra
2
2 1/2
( ) (1 ) 1 , 0
2
H
τ
ρτ τ τ
= + −≤ ∀>
.

Trang 24



Chương II. Một số bất đẳng thức trong không gian lồi đều và
trơn đều
2.1 Bất đẳng thức trong không gian lồi đều
Trong chương này nếu không nói gì về X thì ta ngầm hiểu X là không gian
Banach thực.
Định nghĩa 2.1.1 Cho hàm
:fX→ ¡
. Tập
{ }
( ): : ( )Df x X fx= ∈ < +∞
được gọi
là miền hữu hiệu của f. Ở đây
{ }
= ∪ ±∞¡¡
.
Định nghĩa 2.1.2 Hàm
:fX→ ¡
được gọi là chính thường nếu
()Df ≠∅
.
Định nghĩa 2.1.3 Hàm chính thường

:fX→ ¡
được gọi là lồi trên
()Df
nếu
[ (1 ) ] ( ) (1 ) ( ), , ( ); 0 1f x y fx f y xy Df
λ λλ λ λ
+− ≤ +− ∀ ∈ ≤≤
.
Định nghĩa 2.1.4 Đặt
[0, )
+
= ∞¡
. Một hàm lồi f trên
()Df
được gọi là lồi đều
trên D nếu có một hàm
: [0, )
µ
++
= +∞ →¡¡
với
() 0 0tt
µ
= ⇔=
sao cho
[ (1 ) ] ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( ), , ( ); 0 1f x y f x f y x y xy Df
λ λ λ λ λ λµ λ
+− ≤ +− − − − ∀ ∈ ≤≤
.
Nếu bất đẳng thức trên đúng với mọi

,xy D∈
khi
1
2
λ
=
, thì f được gọi là lồi đều
ở trung tâm trên D.
Định nghĩa 2.1.5 Dưới vi phân của hàm f là một hàm
:2
X
fX
∗
∂→
được định
nghĩa bởi
{ }
() : () () , ,fx x X fy fx y xx y X
∗∗ ∗
∂ = ∈ ≥ +〈 − 〉 ∀ ∈
.
Định nghĩa 2.1.6 Một hàm tăng ngặt và liên tục
:
φ
++
→¡¡
sao cho
(0) 0 và lim ( )
t
t

φφ
→∞
= = ∞
được gọi là hàm định cỡ.
Trang 25



Định nghĩa 2.1.7 Cho một hàm định cỡ
φ
, hàm
:2
X
JX
φ
∗
→
được định nghĩa
bởi
: { : , ; ( )}Jx u X xu x u u x
φ
φ
∗ ∗ ∗∗
=∈= =
, nó được gọi là hàm đối ngẫu của
hàm định cỡ
φ
với X là không gian định chuẩn bất kỳ. Trong trường hợp
()tt
φ

=
, hàm
đối ngẫu
:JJ
φ
=
được gọi là hàm đối ngẫu chuẩn hóa.
Bổ đề 2.1.8 Trong một không gian định chuẩn X, cho mỗi hàm định cỡ
φ
,
()Jx
φ
là khác rỗng với bất kì x trong X.
Chứng minh. Trường hợp
0x =
là hiển nhiên bởi
0u
∗
=
. Với
0x ≠
thì
()0xx
φ
≠
. Bởi định lý Hahn-Banach, ta tìm được
xX
∗∗
∈
sao cho

1 và ( ), ( )x x xx x x
φφ
∗∗
= =
. Ghi chú rằng
() ()xx x
φφ
∗
=
và
,() (), () ()x xx x x x x x x xx
φ φ φφ
∗∗ ∗
= = =
, do đó
: ( ) ()u xx J x
φ
φ
∗∗
= ∈
.
Định nghĩa 2.1.9 Cho mỗi
1p >
, ta xét hàm định cỡ
1
()
p
tt
φ
−

=
. Chúng ta định
nghĩa hàm đối ngẫu suy rộng
:2
X
p
JX
∗
→
bởi

{ }
1
( ): : , . , ( )
p
p
J x J x X xx x x x x x
φ
φ
−
∗ ∗ ∗ ∗∗
= = ∈ 〈 〉= = =
.
Mệnh đề 2.1.10 Cho mỗi
0x ≠
trong không gian Banach thực X ,
{ }
:, ; 1x u X xu x u
∗∗ ∗ ∗
∂ = ∈ 〈 〉= =

.
Chứng minh. Từ định nghĩa 2.1.5, ta có:
{ }
:, ,x u X y xu y x y X
∗∗ ∗
∂ = ∈ 〈 − 〉≤ − ∀ ∈
.
Do đó:
{ }
:, ; 1uXxu xuu x
∗ ∗ ∗ ∗∗
∈ 〈 〉= = = ⊂∂
( vì
,yu y
∗
〈 〉≤
).