Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục và toán tử tuyến tính liên tục trên không gian ca b

Khóa luận tốt nghiệp

Mai Thị Thanh Xuân

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

------

MAI THỊ THANH XUÂN

DẠNG TỔNG QUÁT CỦA
PHIẾM HÀM TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC
VÀ TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC
TRÊN KHÔNG GIAN C[ a,b]
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành : Giải tích

HÀ NỘI - 2010

K32A Khoa Toán

3


Khóa luận tốt nghiệp

Mai Thị Thanh Xuân

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

-----MAI THỊ THANH XUÂN

DẠNG TỔNG QUÁT CỦA
PHIẾM HÀM TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC
VÀ TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC
TRÊN KHÔNG GIAN C

[ a ,b ]

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành : Giải tích
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
TS.Khuất Văn Ninh

HÀ NỘI - 2010

K32A Khoa Toán

4


Khóa luận tốt nghiệp

Mai Thị Thanh Xuân

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận được hoàn thành với sự hướng dẫn chỉ bảo nhiệt tình và
chu đáo của TS. Khuất Văn Ninh. Tôi xin được trân trọng bày tỏ lòng biết ơn

sâu sắc tới thầy TS. Khuất Văn Ninh.
Nhân đây tôi xin trân trọng cảm ơn thầy phản biện đã dành thời gian
đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho tôi để tôi có thể hoàn thành tốt
khóa luận này, đồng thời tôi xin trân trọng cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ của
các thầy cô trong trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện giúp đỡ
tôi hoàn thành khóa luận này.
Vì có nhiều hạn chế về năng lực và thời gian, khóa luận này chắc chắn
không thể tránh khỏi nhiều thiếu sót. Tôi hi vọng nhận được nhiều ý kiến
đóng góp của thầy cô và các bạn.
Cuối cùng em chúc các thầy cô mạnh khoẻ, công tác tốt để cống hiến
nhiều hơn nữa cho sự nghiệp giáo dục của đất nước và thành công hơn nữa
trên con đường nghiên cứu khoa học của mình.

Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2010
Sinh viên
MAI THỊ THANH XUÂN

K32A Khoa Toán

5


Khóa luận tốt nghiệp

Mai Thị Thanh Xuân

Tài liệu tham khảo
1. PGS.TS.Nguyễn Phụ Hy [2006], Giải tích hàm, NXB Khoa Học và
Kỹ Thuật.
2. Nguyễn Xuân Liêm [2003], Bài tập giải tích hàm, NXB Giáo Dục.

3. Nguyễn Duy Tiến [2007], Bài giảng giải tích (tập 1), NXB Đại Học
Quốc Gia Hà Nội.
4. Hoàng Tụy [2005], Hàm thực và giải tích hàm, NXB Đại Học Quốc
Gia Hà Nội.
5. Đỗ Đức Thái và Nguyễn Tiến Dũng [2009], Nhập môn hiện đại xác
suất và thống kê, Trung tâm toán tài chính và công nghệ Hà Nội.
6. GS.TSKH.Nguyễn Văn Khuê và GS.TSKH.Lê Mậu Hải [2001], Cơ
sở lý thuyết hàm và giải tích hàm (tập 1), NXB Giáo Dục.
7. A.N.Cônmôgôrôp, X.V.Fomin [1971], Cơ sở lý thuyết hàm và giải
tích hàm (tập 1), NXB Giáo Dục.
MỤC LỤC

Lời nói đầu ....................................................................................................... 8
Chƣơng 1. TÍCH PHÂN STIELJES ........................................................... 10
1.1. Hàm số có biến phân bị chặn ............................................................... 10
1.2. Tích phân Rieman - Stieljes ................................................................. 19
1.3. Tích Phân Lebesgue - Stieljes ............................................................. 27

K32A Khoa Toán

6


Khóa luận tốt nghiệp

Mai Thị Thanh Xuân

Chƣơng 2. DẠNG TỔNG QUÁT CỦA PHIẾM HÀM TUYẾN TÍNH
LIÊN TỤC TRÊN KHÔNG GIAN

C[a,b] .............................................. 29

2.1. Không gian C[ a,b] .................................................................................. 29
2.2. Không gian liên hợp của không gian C[ a ,b ] ........................................... 32
2.3.Không gian các hàm có biến phân bị chặn trên đoạn [a, b] ................. 34
2.4. Phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian C[ a ,b ] ....................... 35
Chƣơng 3. TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC TRÊN KHÔNG GIAN

C[a,b] .............................................................................................................. 43
3.1. Không gian các toán tử tuyến tính liên tục trên không gian C[ a ,b ] ...... 43
3.2. Toán tử tuyến tính liên tục trên không gian C[ a ,b ] ............................... 45
Kết luận .......................................................................................................... 50

K32A Khoa Toán

7


Khóa luận tốt nghiệp

Mai Thị Thanh Xuân

Lời nói đầu

Giải tích hàm là một ngành của giải tích toán học nghiên cứu về các
không gian vectơ được trang bị thêm các cấu trúc tôpô và các toán tử tuyến
tính liên tục giữa chúng. Ra đời từ đầu thế kỷ 20, đến nay giải tích hàm đã đạt
được những thành tựu quan trọng và trở thành chuẩn mực trong việc nghiên
cứu và trình bầy các kiến thức toán học. Giải tích hàm đã được đưa vào
chương trình đại học như một phần bắt buộc, tuy thế với lượng thời gian có

hạn chúng ta khó có thể nghiên cứu sâu vào một vấn đề nào đó, bên cạnh đó
nội dung của giải tích hàm rất phong phú như: Không gian vectơ tôpô lồi địa
phương (không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian Hilbert,…),
các toán tử tuyến tính liên tục giữa các không gian,…
Để bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học và tìm hiều sâu về
giải tích hàm, em đã chọn đề tài: “ Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến
tính và toán tử tuyến tính trên không gian C[ a ,b ] ”. Khóa luận này nghiên cứu
về một vấn đề quan trọng của giải tích hàm đó là không gian các hàm liên tục
trên đoạn [a, b] và các toán tử tuyến tính liên tục trên nó.
Nội dung của khóa luận bao gồm:
Chương 1. Tích phân Stieljes: Chương này đưa ra các kiến thức ban
đầu về hàm có biến phân bị chặn và tích phân Stieljes (trong đó trình bầy về
tích phân Rieman - Stieljes và tích phân Lebesgue - Stieljes ).

K32A Khoa Toán

8


Khóa luận tốt nghiệp

Mai Thị Thanh Xuân

Chương 2. Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
không gian C[ a,b] : Chương này viết về không gian Banach Céa ,bù và dạng
ëê

ú
û

tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian này.
Chương 3. Toán tử tuyến tính liên tục trên không gian C[ a,b]
Do lần đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, thời gian có hạn và
trình độ còn non trẻ cho nên các vấn đề được trình bày trong bài không tránh
khỏi những thiếu sót nhất định. Vì vậy em rất mong nhận được ý kiến đóng
góp của thầy cô và bạn đọc để khóa luận được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn.
Hà nội. ngày 01 tháng 05 năm
2010
Sinh viên
Mai Thị Thanh Xuân

K32A Khoa Toán

9


Khóa luận tốt nghiệp

Mai Thị Thanh Xuân

Chƣơng 1. TÍCH PHÂN STIELJES

1.1. Hàm số có biến phân bị chặn
Định nghĩa 1.1.1 (Biến phân bị chặn)
Cho hàm số F = F (x) xác định trên đoạn [a, b] . Ta gọi biến phân của
hàm F trên [a, b] là cận trên đúng của tổng

n- 1

åi= 0 F (xi+ 1)- F (xi )

lấy theo tất cả

các phép phân hoạch đoạn [a, b] bởi các điểm chia a  x0  x1  ...  xn  b . Kí
hiệu là Vab (F ) .

 n1

Từ đó ta có: Vab  F   sup  F  xi1   F  xi   lấy theo phép phân
p  i 0




hoạch P nào đó.
Hàm F gọi là hàm có biến phân bị chặn nếu Vab (F )< + ¥ .
b

Theo định nghĩa của biến phân bị chặn ta có: V

b
a

 F    dF .
a

Ví dụ1: Tìm biến phân của các hàm số sau trên đoạn 0,1 .
a)

f  x   x.

b)

g  x   kf  x   m biết rằng Vab  f    .

K32A Khoa Toán

10


Khóa luận tốt nghiệp

c)

 1
 3

h x   1  x
 1



Mai Thị Thanh Xuân

nÕu x=0
nÕu 0nÕu x=1

Bài giải

a) Phép phân hoạch P chia đoạn 0,1 thành n đoạn bởi các điểm chia

0  x0  x1  ...  xn1  xn  1 .
n 1

Khi đó ta có S   f  xi 1   f  xi 
i 0

n 1

  xi 1  xi  xn  x0  1
i 0

Vậy V01  f   1.
b) Ta có V01  f   
Phép phân hoạch P chia đoạn 0,1 thành n đoạn bởi các điểm chia

0  x0  x1  ...  xn1  xn  1 .
n 1

Khi đó S   g  xi 1   g  xi 
i 0

n 1

  kf  xi 1   m  kf  xi   m
i 0

n 1

 k  f  xi 1   f  xi 
i 0

K32A Khoa Toán

11


Khóa luận tốt nghiệp

Mai Thị Thanh Xuân

Vậy V01  g   kV01  f   k  .

 1
 3

h x   1  x
 1



c)

nÕu x=0
nÕu 0nÕu x=1

Phép phân hoạch P chia đoạn 0,1 thành n đoạn bởi các điểm chia

0  x0  x1  ...  xn1  xn  1 . Khi đó ta có:
n 1

S   h  xi 1    xi 
i 0

 h  x1   h  x0   h  x2   h  x1   ...  h  xn1   h  xn2   h  xn   h  xn1 
 1  x1 

2
8
1
 1  x1  1  xn1    1  1  xn1     2  xn1  x1  
3
3
3

8
Vậy V01  h   .
3

Một số tính chất của hàm có biến phân bị chặn.
Định lý 1.1.2
Nếu hàm số f đơn điệu, không giảm thì f có biến phân bị chặn và
Vab  f   f  b   f  a  .

Định lý 1.1.3
Tổng hay hiệu của hai hàm có biến phân bị chặn là một hàm có biến phân
bị chặn, và Vab  f  g   Vab  f   Vab  g  .
K32A Khoa Toán

12


Khóa luận tốt nghiệp

Mai Thị Thanh Xuân

Định lý 1.1.4
Hàm số f có biến phân bị chặn thì f có đạo hàm hầu khắp nơi.
Định lý 1.1.5
Cho hàm số f xác định trên đoạn [a, b] và a  c  b thì
Vab  f   Vac  f   Vcb  f  .

Định lý 1.1.6
Cho hàm số

f

có biến phân bị chặn trên đoạn [a, b] , hàm số

F  x   Vax  f  là biến phân của hàm f trên đoạn  a, x . Khi đó hàm f liên

tục tại điểm x0   a, b thì hàm F cũng liên tục tại điểm x0 .
Hệ quả
Nếu hàm số f là hàm gián đoạn có biến phân bị chặn trên đoạn [a, b] thì
F  x   Vax  f  cũng gián đoạn trên đoạn [a, b] , trong đó điểm gián đoạn của

hai hàm số là trùng nhau và tại mỗi điểm gián đoạn x0   a, b xảy ra các đẳng
thức sau: f  x0   f  x0   F  x0   F  x0 

f  x0   f  x0   F  x0   F  x0 
Định lý 1.1.7
Hàm số f có biến phân bị chặn trên đoạn [a, b] thi hàm f cũng có biến
phân bị chặn trên đoạn này, và Vab  f   Vab  f  .
Định lý 1.1.8

K32A Khoa Toán

13


Khóa luận tốt nghiệp

Mai Thị Thanh Xuân

Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [a, b] , khi đó f có biến phân bị chặn
trên đoạn [a, b] khi và chỉ khi f cũng có biến phân bị chặn trên đoạn [a, b] ,
và Vab  f   Vab  f  .
Ví dụ 2: Ta xây dựng một ví dụ về hàm số liên tục trên [a, b] có biến phân
không bị chặn trên đoạn này.



nÕu x  0
 xcos
Xét hàm số f ( x)  
x
0
nÕu x  0

hoạch P chia đoạn [0,1] bởi các điểm
1
1
1
0  x2n1  x2n 
 x2n1 
 ...  x2   x1  1. Khi đó ta có
2n
2n  1
2

Phép

phân

chia

 x j nÕu j ch½n
f (xj )  
 x j nÕu j lÎ .
2n

2n

j 1

j 1

Suy ra S   f ( x j 1)  f ( x j )  

2n
1
1
1
  2
j 1 j
j 1 j

Với n đủ lớn ta có S lớn tùy ý  V01  f    .
Định lý 1.1.9
Điều kiện cần và đủ để hàm số f có biến phân bị chặn trên [a, b] là tồn
tại hàm số tăng     x  sao cho: x  a, b, h  0 : x  h a, b thì

f  x  h  f  x    x  h    x  .
Chứng minh
(Điều kiện cầ n )

K32A Khoa Toán

14


Khóa luận tốt nghiệp

Mai Thị Thanh Xuân

Xet hàm f là hàm có biến phân bị chặn trên đoạn [a, b] . Chọn

    x   Vax  f  là hàm tăng trên [a, b] , khi đó ta có x  a, b, h  0 :
x  h  a, b thì

f  x  h   f  x   Vxx h  f  = Vaxh  f   Vax  f  =   x  h     x  .
(Điều kiên đủ)
Cho f là hàm xác định trên đoạn [a, b] và  là hàm tăng trên đoạn
[a, b] ta có x  a, b, h  0 :

x  h  a, b thì

f  x  h  f  x 

 Vxx h  f  = Vaxh  f   Vax  f  =   x  h     x  .

Phép phân hoạch P chia đoạn  a, b thành n đoạn bởi các điểm chia

a  x0  x1  ...  xn1  xn  b .
n 1

n 1

i 0

i 0

S   f  xi 1   f  xi      xi 1     xi 

  b    a 
Vậy với phép phân hoạch

P

bất kì thì

S   b    a 

hay

Vab  f     b     a  hay f là hàm có biến phân bị chặn trên đoạn [a, b] .

Hệ quả
Hàm số f có biến phân bị chặn khi và chỉ khi nó biểu diễn được dưới
dạng hiệu của hai hàm số đơn điệu không giảm.
Chứng minh

K32A Khoa Toán

15


Khóa luận tốt nghiệp

Ta

Mai Thị Thanh Xuân

diễ n

biểu

được

f  x    x    x

trong

đó

  x  Vax  f  ,   x     x  f  x  . Hiển nhiên ta có  là hàm đơn điệu
không giảm.
Ta xét hàm 

ta có: x  a, b, h  0 sao cho x  h a, b thì

  x  h    x     x  h  f  x  h    x   f  x  , mà theo định lý ta có:
x  a, b, h  0 : x  h  a, b thì f  x  h   f  x     x  h     x  .
Vậy   x  h    x   0   là hàm đơn điệu không giảm.
Chiều ngược lại có được do định lý 1.1.2 và định lý 1.1.3.
Định lý 1.1.10
Nếu hàm f có biến phân bị chặn trên đoạn 0,1,     x  là hàm liên
tục, tăng thực sự trên đoạn  ,   sao cho     0,     1 thì hàm

F  x   f   x   có biến phân bị chặn trên đoạn  ,   , và V01  f   V  F  .
Chứng minh
Giả sử F có biến phân không bị chặn trên đoạn  ,   , khi đó với mọi số
tự nhiên M, ta có thể tìm được một phép phân hoạch P chia đoạn  ,  
thành n đoạn bởi các điểm chia   x0  x1  ...  xn1  xn   sao cho
n 1

 F x   F x   M .
i 0

i 1

i

K32A Khoa Toán

16


Khóa luận tốt nghiệp

Mai Thị Thanh Xuân

Từ phép phân hoạch P ta thiết lập phép phân hoạch P ' , phép phân hoạch
này chia đoạn 0,1 thành n đoạn bởi các điểm chia 0  t0  t1  ...  tn  1 với

 i  0, n .

ti    xi 

n 1

Ta có

S   f  ti 1   f  ti 
i 0

n 1

  f   xi 1    f   xi  
i 0

n 1

  F  xi 1   F  xi   M
i 0

n1

Vậy S   f  ti 1   f  ti   M  M    , trái với giả thuyết hàm f có biến
i 0

phân bị chăn trên đoạn 0,1 . Vậy điều giả sử là sai hay F có biến phân bị
chặn trên đoạn  ,   .
n 1

Ta lại có

n 1

 f t   f t    F  x   F  x 
i 0

i 1

i

i 0

i 1

i

 V01  f   V  F  .

 x2
nÕu x  [0,1)

nÕu x  1
Ví dụ 3: Cho hàm số f  x   5
 x  3 nÕu x  (1,2]


Tìm V01  f  , V12  f  , V02  f 
Bài giải

K32A Khoa Toán

17


Khóa luận tốt nghiệp

Mai Thị Thanh Xuân

+) Tìm V01  f 
Phân

hoạch

đoạn

0,1

thành

n

đoạn

bởi

các

điểm chia

0  t0  t1  ...  tn  1
n 1

Ta có S   f  ti 1   f  ti  
i 0

 f  t1   f  t0   f  t2   f  t1   ...  f  t n1   f t n2   f t n   f t n1 



 





 



 t12  0  t22  t12  ...  tn21  tn22  5  tn21  5
Vậy V01  f   sup S  5

( P là phép phân hoạch đoạn [a, b] bất kì)

p

+) Tìm V12  f 
Phân

hoạch

đoạn

1,2

thành

n

đoạn

bởi

các

điểm chia

1  x0  x1  ...  xn  2
n 1

Ta có: S '   f  xi 1   f  xi  
i 0

 f  x1   f  x0   f  x2   f  x1   ...  f  xn   f  xn1 
  x1  3  5  x2  3   x1  3  ...  xn  3   xn1  3

  x1  2  xn  x1  4  2x1  2
Vậy V12  f   sup S'  2

( P là phép phân hoạch đoạn [a, b] )

p

Ta lại có V02  f   V01  f   V12  f   7 .

K32A Khoa Toán

18


Khóa luận tốt nghiệp

Mai Thị Thanh Xuân

1.2. Tích phân Rieman - Stieljes
Định nghĩa 1.2.1 (Tích phân Rieman - Stieljes)
Cho hàm số f và g xác định trên đoạn [a, b] . Ta phân hoạch đoạn [a, b]
các

bởi

điểm

n- 1

S=

chia

åi= 0 f (xi )éêëg (xi+ 1)- g (xi )ùúû

a  x0  x1  ...  xn  b

và

lập

tổng

trong đó xi là một điểm bất kì trên đoạn

éx , x ù, i = 0, n - 1 . Nếu khi max ( x - x ) ® 0 thì tổng S dần đến một giới
i
ú

ëê i i+ 1 û
i= 0,n- 1 i+ 1

hạn không phụ thuộc vào cách phân hoạch đoạn [a, b] và cách chọn điểm xi
thì giới hạn đó gọi là tích phân Rieman - Stieljes (Hay tích phân Stieljes) của
b

hàm f theo g trên đoạn [a, b] và kí hiệu như sau: (R.S )ò f (x)dg (x) hoặc
a

b

(S )òa f (x)dg (x).
Định lý 1.2.2 (Điều kiện tồn tại tích phân Rieman - Stieljes)
Nếu hàm f Î C[ a,b] và g là hàm có biến phân bị chặn trên đoạn [a, b] thì
b

tồn tại tích phân Rieman - Stieljes: (S )ò f (x)dg (x).
a

Chứng minh
Do f là hàm liên tục trên [a, b] nên f liên tục đều trên đoạn [a, b] ta có:

" e > 0, $ d > 0 sao cho f (x '')- f (x ') <

K32A Khoa Toán

e
2Vab ( g )

, " x ', x '': x ''- x ' < d .

19


Khúa lun tt nghip

Mai Th Thanh Xuõn

Ta ly hai phộp phõn hoch P1, P2 chia on [a, b] thnh nhng on cú
di khụng vt quỏ d , trờn chỳng ta ly nhng im tựy ý v lp tng tớch
phõn S1, S2 tng ng. Ta s chng minh S1 - S2 < e .
Gi s phộp phõn hoch P1 cú cỏc im chia: a = x0 < x1 < ... < xn = b thỡ
ta cú tng tớch phõn S1 tng ng l: S1 =

n- 1

ồi= 0 f (x1)ộờởg (xi+ 1)- g (xi )ựỳỷ

vi

xi ẻ ộởờxi ; xi+ 1 ựỷỳ.

Nu ly tt c cỏc im chia ca hai phộp phõn hoch ta cú phộp phõn
hoch on [a, b] th ba, ta kớ hiu l P3 , phộp phõn hoch ny tt hn
phộp phõn hoch P1 v P2 . Gi cỏc im chia ca cỏch phõn hoch ny l:
a = x0 = x0(0) < x0(1) < ... < x0(m ) = x1 = x1(0) < .... < x1(m ) = x2 = x2(0) < ... < xn(m- 1 ) = xn = b
0

n- 1

1

Ta cú tng tớch phõn tng ng: S =

n- 1 mi - 1

ồi= 0 ồj= 0

ổ j ửộ ổ j+ 1 ử
ổ j ửự
f ỗỗxi( )ữữờờg ỗỗỗxi( )ữữữ- g ỗỗxi( )ữữỳỳ Trong
ố ứ ố
ố ứ
ứ
ở

ỷ

ộ j
j+ 1 ự
j
ú xi( ) ẻ ờxi( ); xi( ) ỳ.
ờở

ỳ
ỷ

Vỡ trong phộp phõn hoch P1, P2 , P3 cỏc on chia u cú di khụng
ổ j+ 1 ử

e
ổ jử
vt quỏ d nờn vi i , j bt kỡ ta luụn cú: f ỗỗỗxi( )ữữữ- f ỗỗxi( )ữữ <
b
ố
ứ
ố
ứ
2Va (g )
ổ
ố

ử
ứ

f ỗỗxi( )ữữ- f (xi ) <

ị S - S1 =

n- 1 mi - 1

ồi= 0 ồj= 0

K32A Khoa Toỏn

j

ổ j ửộ ổ j+ 1 ử
ổ j ửự
f ỗỗxi( )ữữờờg ỗỗỗxi( )ữữữ- g ỗỗxi( )ữữỳỳố ứ ố

ố ứ
ứ
ở

ỷ

e
2Vab

(g )

n- 1

ồi= 0 f (xi ) ộờởg (xi+ 1)- g (xi )ựỳỷ=
20


Khúa lun tt nghip

=

Mai Th Thanh Xuõn

n- 1 ớù mi - 1

ùỡ
ù
i= 0 ùợù

ồ ồj= 0

n- 1 ùớ mi - 1

ù
=
ỡ
ù
i= 0 ùợù

ồ ồj= 0

=

<

ở

ùỵ
ù

ỷ

ổ j ửộ ổ j+ 1 ử
ổ j ửự
f ỗỗxi( )ữữờờg ỗỗỗxi( )ữữữ- g ỗỗxi( )ữữỳỳố ứ ố
ố ứ
ứ
ở
ỷ

mi - 1

ồj= 0

ùỹ

f (xi ) ộờg (xi( j+ 1) )- g (xi( j) )ựỳùý
ở

ỷùù
ù
ỵ

ự
ựộ ổ ( j+ 1)ử
ổ jử
ổ ( j )ử
ữ
ỗ
ờ
ỳ
ữ
ỗ
ờf ỗỗxi( )ữ
ỳ
f
x
g
x
g

x
(
)
ữ
i ỳờ ỗ
ữ
ữỳ
ữ
ỗ i
ốỗ i ứ
ờ ố ứ
ứ
ỷở ố
j= 0 ở
ỷ

n- 1 mi - 1 ộ

ồi= 0 ồ

n- 1 mi - 1

<

ỹ

ù
ổ j ửộ ổ j+ 1 ử
ổ j ửự
f ỗỗxi( )ữữờờg ỗỗỗxi( )ữữữ- g ỗỗxi( )ữữỳỳ- f (xi ) ộờg (xi+ 1 )- g (xi )ựỳùý

ố ứ ố
ố ứ
ứ
ở
ỷù

ồi ồj
e
2Vab

Vy ta cú S - S1 <

ổ j+ 1 ử
ổ jử
g ỗỗỗxi( )ữữữ- g ỗỗxi( )ữữ
ố ứ
ứ
(g ) ố

e
2Vab

Vab (g ) =

(g )

e
.
2

e
.
2

Tng t nh trờn ta cú S - S2 <

e
2

Vy S1 - S2 = S1 - S + S - S2 Ê S1 - S + S - S2 < e .
Ly dóy s dng gim en đ 0(n đ Ơ ), vi mi en ta u chn c
mt s s n tng ng sao cho vi e = en ; s = s n iu kin ca nh lý 1.2.2
c tha món. Ta cú s c chn ph thuc vo e , ta gi s dóy (s n ) lp
thnh dóy s gim.
Vi mi n ta u cú phộp phõn hoch Pn chia on

ộa, bự thnh cỏc on
ờở ỳ
ỷ

vi di khụng quỏ s n v tng tớch phõn Sn tng ng.

K32A Khoa Toỏn

21


Khóa luận tốt nghiệp

Mai Thị Thanh Xuân

Ta chứng minh (S n ) là dãy cơ bản.
Nếu m  n thì tất cả các đoạn chia của phép phân hoạch Pn , Pm đều có độ
dài nhỏ hơn s n (s n > s m ) , do đó Sn - Sm < e , vậy dãy (S n ) là dãy cơ bản,
Sn = I .
nên $ nlim
®¥

Ta chứng minh với mỗi phép phân hoạch P bất kì ta đều có I - S < e
với S là tổng tích phân tương ứng của phép phân hoạch P .
Với

mọi

" n ³ N : Sn - I <

e> 0

ta

chọn

số

tự

nhiên

N

sao

cho

e
do nlim
Sn = I .
®¥
2

(

)

Ta luôn tìm được số n0 ³ N sao cho en0 £

e
, S là tổng tích phân tương
2 n0

ứng với phép phân hoạch Pn0 _phép phân hoạch [a, b] thành các đoạn có độ
dài nhỏ hơn s n0 .

S là tổng tích phân tương ứng của một phép phân hoạch bất kì đã phân
hoạch [a, b] thành các đoạn có độ dài nhỏ hơn s n0 .
Khi đó S - Sn0 < en0 £

e
.
2

S - I = S - Sn0 + Sn0 - I £ S - Sn0 + Sn0 - I < e
b

Þ lim S = I hay tích phân Rieman - Stieljes (R.S )ò f (x)dg (x) là tồn tại.
s®0

a

Định lý 1.2.3 (Định lý giá trị trung bình)

K32A Khoa Toán

22


Khóa luận tốt nghiệp

Mai Thị Thanh Xuân

b

Nếu tồn tại tích phân Stieljes (S )ò f (x)dg (x) thì:
a

b

(S )ò f (x)dg (x) < max f (x) Vab (g ).
[a,b]

a

Chứng minh
b

Nếu tồn tại tích phân (S )ò f (x)dg (x) thì với mỗi phép phân hoạch
a

n- 1

åi= 0

đoạn [a, b] ta có:

f (xi )éêg (xi+ 1 )- g (xi )ùú£
ë
û

n- 1

åi= 0 f (xi ) g (xi+ 1)- g (xi )

n- 1

£ max f (x) å g (xi+ 1 )- g (xi ) £ max f (x) Vab (g ) .
[ a,b ]

[ a,b ]

i= 0

n- 1

Vậy ta có

Hay

f (x) Vab (g )
åi= 0 f (xi )éêëg (xi+ 1)- g (xi )ùúû£ max
[ a,b ]
b

f (x) Vab (g )
(S )òa f (x)dg (x) < max
[ a ,b ]

Định lý 1.2.4
Nếu g là hàm có biến phân bị chặn, bằng hằng số khắp nơi có thể trừ ra
hữu hạn hay đếm được các điểm trong của  a, b thì
b

 f  x dg x  0

f  Ca,b .

a

Chứng minh
+) Giả sử g x   c  c   trừ hữu hạn điểm.

K32A Khoa Toán

23


Khóa luận tốt nghiệp

Mai Thị Thanh Xuân

Định lý đúng với mọi hàm g khác hàm hằng tại một điểm duy nhất x0 ( vì
bằng cách làm giảm vô hạn các thành phần cuả phép phân hoạch đoạn [a, b]
sao cho x0 không bao giờ là một điểm chia ta thu được những tổng tích phân
bằng không). Do đó định lý cũng đúng với mọi hàm g khác hàm hằng tại hữu
hạn điểm ( tính chất cộng tình).
+) Giả sử g x   c  c   tại x1, x2,..., xn,... và ta có yi  g xi 


Vì g có biến phân bị chặn nên

y
i 1

nhiên N sao cho

y

n

nN





i

i  1,2... .

  , do đó ta có thể chọn số tự

  , khi đó g  c  gn  g trong đó gn là một hàm lấy









giá trị yi i  1, n tại x1 i  1, n và bằng không tại x  xi i  1, n , còn g
b

chỉ khác không tại những điểm xN 1, xN 2... , khi đó

 f  x  dc  0

và

a

b

 f  x dg  x   0 .
n

 f  x dg x   m ax f  x  V  g  m ax f  x  2
b

Lại có

a

a

a,b

b
a

a,b

(theo định lý giá trị trung bình 1.2.3).
b

Vậy

 f  x dg x  0

f  Ca,b .

a

Định lý 1.2.5
Hàm g có biến phân bị chặn trên đoạn [a, b] khi đó nếu
b

 f  x  dg x   0

1





, f  Ca,b thì g là hàm hằng tại mọi điểm liên tục của

a

nó.
Chứng minh

K32A Khoa Toán

24


Khóa luận tốt nghiệp

Mai Thị Thanh Xuân

Giả sử tồn tại hai điểm x1, x2  x1  x2  mà tại đó hàm g liên tục nhưng

g x1   g x2  .
Lấy các lân cân của x1, x2 như sau: Vx1   x : x  x1   
Vx2   x : x  x2   

sao

cho

Vx1  Vx2   .
+) Nếu g x1  , g x2  cùng dấu.
Giả sử 0  g x1   g x2  . Do 1 đúng nên đẳng thức cũng đúng với hàm

0 nÕu a  x  x1  

 x  x1   nÕu x1    x  x1



f0  x   1
nÕu x1  x  x2  
 x  x 
1  1 2
nÕu x2    x  x2


0 t ¹ i nh÷ng gi ¸ tr Þcßn l ¹ i
Chọn phép phân hoạch P chia đoạn [a, b] thành n đoạn bởi các điểm

chia a  t0  t1  ...  ts  x1  ts1  x2  ...  tn  b thỏa mãn ts1  ts   .





Chọn i  ti ,ti 1  i  0, n  1 sao cho f0 i   0, f0 i 1   1.
n1

Ta có  n   f0  i   g ti 1   g ti   g x2   g x1   0 , điều này mâu
i 0

b

thuẫn với giả thiết

 f  x dg x  0

f  Ca,b

a

K32A Khoa Toán

25


Khóa luận tốt nghiệp

Mai Thị Thanh Xuân

Giả sử 0  g x2   g x1  , ta chọn f   f0 ta cũng có kết quả như trên.
Tương tự với trường hợp g x1  , g x2   0 .
+) Nếu g x1  , g x2  trái dấu.
Giả sử g x1   0  g x2  ta làm tương tự như trường hợp cùng dấu với
hàm f0 . Còn nếu g x2   0  g x1  thì ta chọn hàm f   f0 và làm tương tự
cũng dẫn đến mâu thuẫn.
Vậy g x1   g x2  . Lai có x1, x2 là những điểm liên tục tùy ý của hàm g nên
g là hàm hằng tại mọi điểm mà hàm liên tục.

Hệ quả 1
Nếu g1, g2 là các hàm số có biến phân bị chặn trên đoạn [a, b] , và bằng
nhau khắp nơi trừ ra một số điểm hữu hạn hay đếm được của  a, b thì:
b

b

 f  x dg  x   f  x  dg  x 
1

a

2

f  Ca,b .

a

Đây là trường hợp riêng của định lí 1.2.4 với hàm g  g1  g2 .
Hệ quả 2

Nếu g1, g2 là các hàm số có biến phân bị chặn trên đoạn [a, b] ,mà
b

b

 f  x dg  x   f  x  dg  x 
1

a

2

f  Ca,b thì g1  g2 là hàm hằng tại mọi

a

điểm mà nó liên tục.
Đây là trường hợp riêng của định lý 1.2.5 với hàm g  g1  g2 .

K32A Khoa Toán

26


Khóa luận tốt nghiệp

Mai Thị Thanh Xuân

1.3. Tích Phân Lebesgue - Stieljes
Định nghĩa 1.3.1 (Độ đo Lebesgue - Stieljes)

là hàm đơn điệu không giảm. Hàm g xác định

Cho hàm số g : ¡ ® ¡

một hàm G trên các gian như sau:

G  a, b  g (b  )  g  a  
G[a, b)  g (b  )  g  a  
G(a, b]  g (b  )  g  a  
G  a, b   g (b  )  g  a  
Trên đại số C tạo nên do các tập có thể biểu diễn thành hợp của một số
n

hữu hạn gian rời nhau, P  C; P    i ; D i là các gian rời nhau.
i 1

n

Ta định nghĩa mg ( P)   G (i )
i 1

n


P

i 

i 1






Ta có mg là một độ đo trên đại số C và là độ đo duy nhất thỏa mãn
mg ()  G()


Với

A   ; A   i

ta

i 1









i 1



định

nghĩa

g

như

sau:

g ( A)  inf   G(i ) : A   i .
 i 1

K32A Khoa Toán

27