Định lý lagrange, định lý stolz, định lý toeplitz và ứng dụng trong lý thuyết giới hạn dãy số

Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Trường đại học sư phạm hà nội 2
Khoa toán
************
phạm thị lan hương

định lý lagrange, định lý stolz định lý toeplitz
và ứng dụng trong lý thuyết giới hạn dãy số
khóa luận tốt nghiệp đại học
Chuyên ngành: Giải tích

Hà Nội, 2010

Phạm Thị Lan Hương

1

K32-CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình nghiên cứu đề tài với sự hướng dẫn nhiệt tình của
thầy giáo: Thạc sỹ Phùng Đức Thắng. Cùng với sự nỗ lực của bản thân
em đã phần nào nghiên cứu được đề tài trên. Do hạn chế về thời gian, kiến

thức nên chắc chắn khóa luận này không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất
mong có được những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô và các bạn
quan tâm để đề tài được hoàn thiện hơn.
Em xin trân thành cảm ơn sự nhiệt tình tận tâm của thầy giáo: Thạc
sỹ Phùng Đức Thắng và toàn thể các thầy cô trong tổ giải tích và các thầy
cô trong khoa Toán đã quan tâm tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khóa
luận này, cũng như trong suốt thời gian thực tập nghiên cứu tại trường
ĐHSP Hà Nội 2.

Sinh viên
Phạm Thị Lan Hương

Phạm Thị Lan Hương

2

K32-CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Định lý
Lagrange, định lý Stolz, định lý Toeplitz và ứng dụng trong lý thuyết
giới hạn dãy số” là công trình nghiên cứu của riêng tôi, kết quả không
trùng với kết quả nào. Nếu sai tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.

Hà Nội, ngày 20 tháng 4 năm 2010

Sinh viên
Phạm Thị Lan Hương

Phạm Thị Lan Hương

3

K32-CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

MỤC LỤC
Lời mở đầu ...................................................................................................... 1
Lời cam đoan ....................................................................................... 2
Mở đầu. ........................................................................................................... 4
Chương 1. Các kiến thức cơ bản về dãy số ................................................. 6
1.1. Dãy số ............................................................................................... 6
1.2. Dãy số bị chặn .................................................................................. 6
1.3. Dãy số đơn điệu ................................................................................ 6
1.4. Dãy con ............................................................................................. 7
1.5. Giới hạn các dãy số .......................................................................... 7
1.6. Các định lí......................................................................................... 7
1.7. Các nguyên lí về tính đầy đủ của  ................................................ 9
1.8. Giới hạn vô cực của dãy số .............................................................. 9
Chương 2. Định lý Lagrange, định lý Stolz, định lý Toeplitz ................... 11
2.1. Định lý Lagrange và các hệ quả ....................................................... 11
2.2. Định lý Stolz và các hệ quả .............................................................. 14

2.3. Định lý Toeplitz và các hệ quả ......................................................... 17
Chương 3. Ứng dụng trong lý thuyết giới hạn dãy số ............................... 20
3.1. Ứng dụng định lý Lagrange trong bài toán tìm giới hạn dãy số ...... 20
3.2. Ứng dụng định lý Stolz .................................................................... 27
3.3. Ứng dụng định lý Toeplitz ............................................................... 43
Kết luận .................................................................................................. 51
Tài liệu tham khảo ................................................................................... 52

Phạm Thị Lan Hương

4

K32-CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết giới hạn là cơ sở của giải tích. Bởi vậy, nghiên cứu về giải
tích chúng ta thường xuyên phải giải quyết bài toán tìm giới hạn, trong đó
có giới hạn dãy số. Giải bài toán giới hạn dãy số là việc làm khó khăn đối
với các sinh viên và học sinh giỏi toán THPT. Các bài toán giới hạn cũng
nằm trong chương trình quy định của hội toán học Việt Nam đối với kì thi
Olympic toán học sinh viên hằng năm giữa các trường Cao đẳng và Đại
học về giải tích.
Giải bài toán về giới hạn dãy số có nhiều phương pháp khác nhau.
Định lí Lagrange, định lí Stolz và định lý Toeplitz là một phương pháp

mạnh để giải các bài toán giới hạn dãy số khó và phức tạp. Do đó, dưới sự
hướng dẫn của thầy giáo: Thạc sỹ Phùng Đức Thắng em đã nhận đề tài
“Định lý Lagrange, định lý Stolz, định lý Toeplitz và ứng dụng trong lý
thuyết giới hạn dãy số”.
2. Mục đích nghiên cứu
Cung cấp cho học sinh một phương pháp để có thể xử lý các bài toán
giới hạn dãy số khó và đa dạng. Qua đó củng cố kiến thức về giới hạn cho
học sinh và giúp học sinh vận dụng thành thạo các định lý đã biết, đặc biệt
là định lý Lagrange, định lý Stolz, định lý Toeplitz.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+ Đối tượng nghiên cứu: Sinh viên và học sinh THPT
+ Phạm vi nghiên cứu: Định lý Lagrange, định lý Stolz, định lý
Toeplitz và ứng dụng trong lý thuyết giới hạn dãy số
Phạm Thị Lan Hương

5

K32-CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nhắc lại các kiến thức cơ bản về giới hạn. Giúp học sinh nắm chắc
định lý: Lagrange, định lý Stolz, định lý Toeplitz và khả năng vận dụng
sáng tạo định lí để giải bài toán về giới hạn.

Phạm Thị Lan Hương

6

K32-CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Chương 1
CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ DÃY SỐ
1.1. Dãy số
Ánh xạ f : N  R
n  f ( n)

Gọi là dãy số
Ta thường ghi an  f (n) .
Kí hiệu là (an ) (hay a1, a2 ,..., an ,... ).
1.2. Dãy số bị chặn
Dãy (an ) gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho an  M

n  N .
Dãy (an ) gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số M sao cho an  M

n  N .
Dãy (an ) gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên và vừa bị chặn dưới.
Rõ ràng dãy (an ) bị chặn nếu tồn tại số tự nhiên K  0 sao cho

an  K , n  N .

1.3. Dãy số đơn điệu
Dãy số (an ) gọi là giảm (tương ứng giảm nghiêm ngặt) nếu an  an1

n  N (tương ứng an  an1 n  N ).
Dãy số (an ) gọi là tăng (tương ứng tăng nghiêm ngặt) nếu an  an1

n  N (tương ứng an  an1 n  N ).
Các dãy tăng và giảm gọi chung là dãy đơn điệu.

Phạm Thị Lan Hương

7

K32-CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

1.4. Dãy con

n  nk
Cho dãy (an ) và  k 1
k  N
 nk  N
thì dãy (ak ) với (ak  ank ) gọi là dãy con của dãy (an ) và kí hiệu là (ank ) .
Chú ý: Ta dễ dàng kiểm tra được rằng:

nk  k

k  N .

Mọi dãy đều là dãy con của chính nó.
Mọi dãy con của dãy bị chặn (tương ứng bị chặn trên, bị chặn dưới)
thì bị chặn (tương ứng bị chặn trên, bị chặn dưới).
Mọi dãy con của một dãy đơn điệu là một dãy đơn điệu.
1.5. Giới hạn của dãy số
Số a được gọi là giới hạn của dãy (an ) nếu

  0, n  N n  N , n  n  an  a  
Kí hiệu: lim  a hay an  a .
n

Dãy có giới hạn gọi là dãy hội tụ và dãy không hội tụ được gọi là dãy
phân kì.
1.6. Các định lý
a) Giới hạn của dãy hội tụ là duy nhất.
b) lim an  a  lim (an  a)  0
n

n

c) lim an  0  lim an  0
n

n

d) lim an  a  lim an  a
n

n

e) Mọi dãy hội tụ đều bị chặn.
f) lim an  a, lim bn  b,  R
n

n

Khi đó:
Phạm Thị Lan Hương

8

K32-CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

lim (an  bn )  a  b

n

lim ( .an )   .a

n 

lim ( an .bn )  a.b

n

an a

n b
b
n
lim

(với b  0 )

g) Cho (an ) , (bn ) là các dãy hội tụ và hằng số n0  N . Khi đó:
Nếu an   , n  n0 thì lim an  
n

lim an  a   thì tồn tại số n1  N sao cho an   , n  n1

n

Nếu an   , n  n0 thì lim an  
n

Nếu lim an  a   thì tồn tại n1  N sao cho an   , n  n1
n

Nếu   an   n  n0 thì   lim an  
n

Nếu   lim an  a   thì n1  N sao cho a  an  

n

n  n1
Nếu an  bn , n  n0 thì lim an  lim bn
n

n

an  cn  bn , n  n0
Nếu 
thì lim cn  a
n 
an  lim bn  a
 nlim

n
 cn  bn , n  n0
Nếu 
bn  0
 nlim


thì lim cn  0
n

h) Dãy (an ) hội tụ khi và chỉ khi mọi dãy con của nó đều là dãy hội
tụ và có chung một giới hạn.

Phạm Thị Lan Hương

9

K32-CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

1.7. Các nguyên lý về tính đầy đủ của 
a) Nguyên lý Weierstrass
Nếu dãy (an ) tăng và bị chặn trên thì nó hội tụ và lim an  sup an
n

nN

Nếu dãy (an ) giảm và bị chặn dưới thì nó hội tụ và
lim an  inf an

n

nN

b) Nguyên lý Cantor
Dãy đoạn  an ; bn  gọi là thắt dần nếu

an , bn   an1, bn1 

n  N .

Nguyên lý Cantor: Mọi dãy thắt dần đều có điểm chung duy nhất.
c) Nguyên lý Bolzano – Weierstrass
Mọi dãy bị chặn có ít nhất một dãy con hội tụ.
d) Nguyên lý Cauchy
Dãy (a n ) được gọi là dãy Cauchy (hay dãy cơ bản) nếu

" e > 0, $ ne Î N : " n, m > ne Þ am - an < e
Nguyên lý: Dãy (an ) là dãy hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy
Cauchy.
1.8. Giới hạn vô cực của dãy số
Dãy (an ) được gọi là có giới hạn + ¥ nếu

" A > 0, $ nA Î N sao cho " n Î N , n > nA thì an > A .
Kí hiệu: lim an = + ¥
n® + ¥

Dãy (an ) được gọi là có giới hạn - ¥ nếu

" A > 0, $ nA Î N sao cho " n Î N , n > nA thì an < - A .
Kí hiệu: lim an = - ¥
n® + ¥

Dãy (an ) được gọi là có giới hạn ¥ nếu
Phạm Thị Lan Hương

10

K32-CN Toán

Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

" A > 0, $ nA Î N sao cho " n Î N , n > nA thì an > A .
Kí hiệu: lim an = ¥
n® + ¥

* Chú ý
  ,   ,  chỉ là những kí hiệu chứ không phải là những số thực.

Những dãy có giới hạn hữu hạn được gọi là dãy hội tụ.

lim an = ¥ Û lim

n® ¥

Phạm Thị Lan Hương

11

n® ¥

1
= 0.
an

K32-CN Toán

Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Chương 2
ĐỊNH LÝ LAGRANGE, ĐỊNH LÝ STOLZ, ĐỊNH LÝ TOEPLITZ
2.1. Định lý Lagrange và hệ quả
2.1.1. Định lý Lagrange
Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn [a; b], có đạo hàm trên khoảng

(a; b).

Khi

đó

tồn

tại

c

thuộc

khoảng

(a; b)

sao

cho

f (b) - f (a) = f ' (c)(b - a) .
2.1.2. Hệ quả (định lý Rolle)
Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn [a; b], có đạo hàm trên khoảng

(a; b) và f (a) = f (b) thì tồn tại c thuộc khoảng (a; b) sao cho f ' (c) = 0
Chứng minh
Ta thấy hàm số f ( x) thỏa mãn các điều kiện định lý Lagrange:

f ' ( x) liên tục trên [a; b], có đạo hàm trên [a; b], do đó tồn tại c thuộc (a; b)
sao cho

f (b) - f (a) = f ' (c)(b - a)
Û f ' (c ) =

f (b) - f (a )
b- a

Theo giả thiết f (b) = f (a) nên f (a) - f (b) = 0 .
Vậy f ' (c) = 0 (điều phải chứng minh).
2.1.3. Hệ quả 2
Cho hàm số f ( x) xác định và liên tục trên đoạn [a; b], có đạo hàm
trên khoảng (a; b), ngoài ra f ' (c) = 0 , " x Î (a; b) thì f ( x) = k (với k là
hằng số) x  a; b.
Phạm Thị Lan Hương

12

K32-CN Toán

Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Chứng minh
Ta chứng minh với x0 , y0 thuộc đoạn [a; b] mà x0 ¹ y0 thì

f ( x0 ) = f ( y0 )
Thật vậy, giả sử x0 < y0 suy ra [x0 ; y0 ]Ì [a; b]. Ta thấy f ( x) thỏa mãn các
điều kiện của định lý Lagrange trên [x0 ; y0 ] do đó

$ c Î ( x0 ; y0 ) để f ' (c) =

f ( y0 ) - f ( x0 )
y0 - x0

Do theo giả thiết f ' (c) = 0 , " x Î (a; b) nên ta có f ' (c) = 0 , " c Î (x0 ; y0 )
Hay là: f ( y0 ) - f ( x0 ) = 0

Þ f ( y0 ) = f ( x0 )

Hay là: f ( x) = k (với k là hằng số)
2.1.4. Định nghĩa và định lý mở rộng
a) Định nghĩa Ánh xạ co
Cho ánh xạ f : X ® Y gọi là ánh xạ Co nếu tồn tại c Î [0;1) sao cho

f ( x ) - f ( y ) £ c x - y , " x, y Î X .
b) Nguyên lý Ánh xạ co

Nếu f : X ® X là một ánh xạ Co thì f có duy nhất một điểm bất
động, tức là tồn tại duy nhất x Î X sao cho f ( x) = x .
Ta xét hàm số f ( x) thỏa mãn các điều kiện định lý Lagrange rõ ràng
với mọi x khác y, $ c nằm giữa x, y sao cho

f ( x) - f ( y) £ f ' (c) x - y
Nếu ta thêm giả thiết f ' ( x) £ c < 1 thì f ( x) là một ánh xạ Co. Vận dụng ý
tưởng này vào dãy số kết hợp với tính đầy đủ của không gian R ta có định
lý sau đây rất tiện lợi cho việc xét sự hội tụ cho một dãy số c.

Phạm Thị Lan Hương

13

K32-CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

c) Định lý 2.1.5
Cho f : [a; b]® [a; b] thỏa mãn các điều kiện của định lý Lagrange
sao cho f ' ( x) £ c < 1 " x Î [a; b]. Khi đó mọi dãy ( xn ) thỏa mãn

íï x1 = a Î [a; b ]
ïì
ïïî xn+ 1 = f ( xn ), n ³ 1
Thì đều hội tụ tới x * và f ( x* ) = x* (với x * là điểm bất động của f ).
Chứng minh

Với mọi n ³ 2 , ta có $ a n nằm giữa xn và xn+ 1 sao cho

xn+ 1 - xn = f ( xn ) - f ( xn- 1 ) = f ' (a n ) xn - xn- 1 £ c xn - xn- 1 £ ... £ c n- 1 x2 - x1
Với mọi m Î Z1 thì

xn+ m - xn £ xn+ m - xn+ m- 1 + xn+ m- 1 - xn+ m- 2 + ... + xn+ 1 - xn
£ c n+ m- 2 xn - x1 + c n+ m- 3 x2 - x1 + ... + c n- 1 x2 - x1

=c

n- 1

(1 - c m )
x2 - x1 ® 0 khi n ® + ¥
1- c

Do đó ( x n ) là dãy cauchy. Vì Â là không gian đủ nên ( xn ) hội tụ
Đặt

từ

x* = lim xn
n® ¥

xn+ 1 = f ( xn ) Þ lim xn+ 1 = lim f ( xn ) = f (lim xn ) Þ x* = f ( x* ) (đpcm)

Nếu trong định lý trên ta thay a; b bởi khoảng hữu hạn hay vô hạn
thì định lý vẫn còn đúng. Vận dụng định lý trên cho các bài toán về giới
hạn rất tiện lợi.

Phạm Thị Lan Hương

14

K32-CN Toán


Khoỏ lun tt nghip

Trng HSP H Ni 2

2.2. nh lý Stolz v cỏc h qu
2.2.1. nh lý Stolz
Gi s lim yn = + Ơ v y ( n) tng hoc bt u t mt giỏ tr N
nđ + Ơ

no ú tng thc s yn+ 1 > yn , " n > N . Khi ú
Nu lim
nđ + Ơ

xn - xn- 1
x
= a thỡ lim n = a ( a hu hn hoc vụ hn).
nđ + Ơ y
yn - yn- 1
n

Ngha l lim
nđ + Ơ

xn
x - xn- 1
= lim n
yn nđ + Ơ yn - yn- 1
Chng minh

Trng hp 1: Xột a hu hn, tc l lim
nđ + Ơ

xn - xn- 1
=a
yn - yn- 1

Khi ú vi " e > 0, $ N0 sao cho " n > N0 thỡ

xn - xn- 1
e
- a<
yn - yn- 1
2
aSuy ra

a-

e xn - xn- 1 e
<
< +a
2 yn - yn- 1 2

e xk + 1 - xk e

<
< + a ( " N0 Ê k Ê n - 1 )
2 yk + 1 - yk 2

M y ( n) tng tht s nờn yk + 1 - yk > 0

ổ eử
ổ eử
ỗỗa + ữ
y
y
<
x
x
<
Do ú ỗỗa - ữ
(
)
ữ
ữ
k+ 1
k
k+ 1
k
ữ
ữ( yk + 1 - yk )
ỗ
ốỗ
ứ
ố

2
2ứ
Thay k = N0, N0+1,,n-1 ri cng li ta c

ổ eử
ổ eử
ỗỗa - ữ
ỗa + ữ
y
y
<
x
x
<
(
)
ữ
ữ
N0
n
N0
ữ n
ữ(yn - y N0 )
ỗố
ốỗỗ
2ứ
2ứ
a-

Phm Th Lan Hng

e xn - xN0 e
<
< +a
2 yn - yN0 2
15

K32-CN Toỏn


Khoỏ lun tt nghip

Trng HSP H Ni 2



xn - xN0
yn - y N 0

- a<

e
2

(1)

Ta li cú

xn
x - ayn xn - ayn - ( xN0 - ay N0 ) xN0 - ay N0
- a= n
=
+
yn
yn
yn
yn
=

=

xn - xN0 - a( yn - yN0 )
yn

Vỡ vi n ln thỡ 0 < 1 -

yn

ử x - ay
y N0 ổ
N
N0
ỗỗ xn - xN0 - aữ
ữ
+ 0
ữ
ỗ
ữ

yn ỗố yn - yN0
ữ
yn
ứ

y N0
yn

<1

xn - xN0
xN0 - ayN0
xn
- aÊ
- a+
yn
yn - y N 0
yn

Vỡ lim yn = + Ơ nờn lim
nđ + Ơ

xN0 - ay N0

ử x - ay
yn - y N 0 ổ
N
N0
ỗỗ xn - xN0 - aữ
ữ

+ 0
ữ
ỗ
ữ
yn ỗố yn - yN0
ữ
yn
ứ

= 1-

ị

+

nđ + Ơ

xN0 - ayN0
yn

= 0.

Khi ú tn ti s t nhiờn N 0' sao cho n N 0' thỡ
T (1) v (2) suy ra " n > Max {N0 , N0' } thỡ
Do ú lim
nđ + Ơ

x N0 y N0
yn

2

(2)

xn
e e
- a< + =e
yn
2 2

xn
= a.
yn

Trng hp 2: Xột a vụ hn, tc l

lim

nđ + Ơ

xn - xn- 1
= +Ơ
yn - yn- 1

(hoc

a= - Ơ )

Phm Th Lan Hng

16

K32-CN Toỏn


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Với mọi n đủ lớn n > N thì xn - xn- 1 > yn - yn- 1

(3)

Mà ( yn ) tăng thực sự nên yn - yn- 1 > 0
Suy ra xn - xn- 1 > 0

 dãy ( xn ) là dãy tăng .

Þ xn > xn- 1

Từ (3) suy ra
xk + 1 - xk > yk + 1 - yk

"k : N £ k £ n- 1

Thay k = N , N + 1,..., n - 1 rồi cộng lại ta được

xn - xN > yn - yN Û xn > yn - yN + xN Þ lim xn = + ¥

n® + ¥

Và ( xn ) tăng
Áp dụng phần trên ta có

lim

n® + ¥

yn
y - yn- 1
x
= lim n
= 0 Þ lim n = + ¥
n® + ¥ y
xn n® + ¥ xn - yn- 1
n

Với a = - ¥ ta xét tương tự.
2.2.2. Hệ quả
a) Hệ quả 1
Cho dãy ( xn ) thỏa mãn lim xn = a . Khi đó
n® + ¥

lim

n® + ¥

x1 + x2 + ... + xn
= a

n

Chứng minh
n

Thật vậy, áp dụng định lý Stolz với dãy un , un =

å

xi và vn = n

i= 1

" n ta có
lim

n® + ¥

x1 + x2 + ... + xn
u
u - un- 1
x
= lim n = lim n
= lim n = a
n® + ¥ v
n
vn - vn- 1 n® + ¥ 1
n

Phạm Thị Lan Hương

17

K32-CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

b) Hệ quả 2
Nếu dãy ( xn ) , un > 0, " n và lim un = a > 0 thì lim
n® + ¥

n® + ¥

n

u1.u2 ...un = a .

Chứng minh
Thật vậy, từ lim un = a suy ra lim (ln un ) = ln a
n® + ¥

n® + ¥

Theo hệ quả 1 thì lim

n® + ¥

ln u1 + ln u2 + ... + ln un
= ln a
n

Hay lim

n® + ¥

Û lim
n® + ¥

Vậy lim
n® + ¥

n

ln (u1u2 ...un )
= ln a
n
n

u1.u2 ...un = a

u1.u2 ...un = a .

2.3. Định lý Toeplitz và các hệ quả
2.3.1. Định lý Toeplitz




Cho bộ số pnk  k  1, n; n  1, 2....  thỏa mãn các điều kiện:




i) pnk  0
n

ii)

p

nk

k1

1

iii) lim pnk = 0 (với mỗi k- cố định )
n® + ¥

Khi đó nếu dãy  xn  hội tụ thì dãy  yn  xác định bởi

n

yn   pnk xk (n=1,2...)
k 1

Cũng hội tụ và lim yn = lim xn .
n® + ¥

Phạm Thị Lan Hương

n® + ¥

18

K32-CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Chứng minh
Giả sử lim xn = a thì
n® + ¥

" e > 0, $ N0 Î N sao cho xn - a <

e
" n > N0 .
2

$ D > 0 sao cho xn - a < D n .
Từ lim pnk = 0 Þ $ M 0 Î N (M 0 > N0 ) sao cho
n® + ¥

pnk <

e
2 DM 0

(" k = 1, M )
0

Khi đó " n > M 0 ta có
n

å

n

pnk xk - a =

å

k= 1

n

£

å

pnk (xk - a )

k= 1

pnk xk - a =

M0

å

k= 1

n

pnk xk - a +

k= 1

< M0

<

e
+
2 DM 0

å

pnk xk - a

k= M0 + 1
n

å

pnk

k= M0 + 1

e
2

e e
+ = e.
2 2
n

Vậy lim yn = lim
n® + ¥

n® + ¥

å

pnk xk = a .

k= 1

n

Biểu thức

å

pnk xk là trung bình chung trọng lượng của x1,..., xn . Do

k= 1

đó định lý Toeplitz là cơ sở để xét sự hội tụ của các dãy trung bình cơ bản.
Từ cách chứng minh định lý Toeplitz ta có thể mở rộng thành hệ quả.

Phạm Thị Lan Hương

19

K32-CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

2.3.2. Hệ quả
Cho bộ số Pnk ( k = 1, n ; n = 1,2,... ) thỏa mãn các điều kiện:
i) lim pnk = 0 (với mỗi k_cố định)
n® + ¥

n

ii) lim
n® + ¥

å

pnk = 1

k= 1
n

iii) $c > 0 sao cho

å

pnk £ c , " n Î Z + k

k= 1
n

Khi đó, nếu lim xn = a thì lim
n® + ¥

n® + ¥

å

pnk xk = a . ( a có thể hữu hạn

k= 1

hoặc vô hạn).

Phạm Thị Lan Hương

20

K32-CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Chương 3
ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ TRONG LÝ THUYẾT GIỚI HẠN DÃY SỐ
3.1. Ứng dụng định lý Lagrange trong bài toán tìm giới hạn dãy số
3.1.1. Phương pháp chung
Trong bài toán tìm giới hạn dãy số, ta có thể vận dụng định lý 2.1.5
đã nêu ở chương 2 để tìm giới hạn của dãy {xn }Ì R (n Î N ) xác định bởi
hệ thức truy hồi

íïï
x1 = a
ì
ïïî xn+ 1 = f ( xn )

n Î N,n ³ 1

Nhưng ta cũng có thể làm trực tiếp thông qua xét hàm số f ( x) khả
vi trên đoạn [a , b ] và phương trình g (t ) = t có nghiệm duy nhất t0 Î [a , b ]
(giới hạn của dãy số trên nếu có chính là nghiệm của phương trình
g (t ) = t ).

Từ đó, áp dụng định lý Lagrange ta có

an+ 1 - t0 = f (an ) - f (t0 ) = f ' (cn ) . an - t0 với cn nằm giữa

an và t0
Nhờ biểu diễn này ta chuyển việc ước lượng đánh giá an+ 1 - t0
thông qua f ' (cn ) để chỉ ra sự tồn tại hay không tồn tại giới hạn của dãy.
3.1.2. Các ví dụ minh họa

íï
1
ïï
x1 =
ï
2
Ví dụ 1. Xét dãy {xn } thỏa mãn ïì
ïï
xn2
- 1
ïï xn+ 1 =
3
ïî
Phạm Thị Lan Hương

21

K32-CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Chứng minh rằng dãy {xn } có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Giải
xn2
- 1 ta thấy - 1 < xn < 0
Từ hệ thức truy hồi xn+ 1 =
3

xn2
- 1 trên khoảng (-1;0) thì xn+ 1 = f ( xn )
Xét hàm số f ( x) =
3

Ta có f ' ( x) =

2x
2
2
Þ f ' ( x) = x £ , " x Î (- 1;0)
3
3
3

Theo định lý 2.1.5 thì dãy {xn } hội tụ,
x2
- x - 1 = f ( x) - x thì ta cũng có g(x) liên tục trên (Đặt g ( x) =
3

1;0) và
g ' ( x) =

2x
- 1< 0
3

" x Î ( - 1; 0 )do đó phương trình g ( x) = 0 có

một nghiệm duy nhất thuộc (-1;0), và nghiệm đó chính là giới hạn của dãy

{xn } (định lý 2.1.5)
x2
- 1 = x Û x 2 - 3x - 1 = 0
Ta có f ( x) = x Û
3

é
êx1 = 3 - 13
ê
2
Þ ê
ê
êx = 3 + 13
êë 2
2
Vậy lim xn =

3-

13
2

.

íï
u1 = 1; u2 = 2
Ví dụ 2. Xét dãy {un } thỏa mãn ïì
ïïî un+ 2 = un + 2un+ 1 , n ³ 1
Tính a = lim
Phạm Thị Lan Hương

22

un+ 1
.
un
K32-CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Giải
Theo đề bài, rõ ràng un > 0 với mọi n. Từ un+2 = un + 2un+1
Ta có un+2 > 2un+1
Do đó

u n+ 2
u
u + 2un+ 1
u

> 2 và có n+ 2 = n
= 2+ n
u n+ 1
un+ 1
un+ 1
un+ 1
Đặt vn =

u n+ 1
1
> 2 ta có vn+ 1 = 2 +
un
n
1
x

Xét hàm số f ( x) = 2 +

Ta thấy f ' ( x) = -

( x > 2) Þ vn+ 1 = f (vn )
1
1 1
'
Þ
f
(
x
)
=

< ," x > 2
x2
x2 4

Theo định lý 2.1.5 suy ra dãy {un } hội tụ tới a và f (a) = a hay ta có
2+

Vậy ta có lim

un+ 1
= 1+
un

1
= a Û a 2 - 2a - 1 = 0 Û
a

éa = 1 ê
ê
êëa = 1 +

2
2

2.

ex
Ví dụ 3. Cho f ( x) =
( x + 1)2
u0 = 0

ïí
Xét dãy {un } xác định bởi ïì
ïïî un+ 1 = f (un ), n ³ 0
Chứng minh rằng $ k Î (0;1) sao cho
( a là nghiệm của phương trình

un+ 1 - a £ k un - a
f ( x) = x ).

Phạm Thị Lan Hương

23

K32-CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Giải
Xét hàm số

f ( x) =

ex
> 0, " x ¹ - 1 . Từ u0 = 0 ta có
( x + 1)2

un+ 1 = f (un ) > 0

Bằng quy nạp ta chứng minh được 0 < un < 1, " n ³ 1

ex
Xét hàm số f ( x) =
> 0, " x ¹ - 1 trên khoảng (0;1)
( x + 1)2

f ( x)

liên tục trên (0;1)

e x ( x - 1)
Mặt khác f ( x) =
;
( x + 1)3

e x ( x 2 - 2 x + 3)
f ( x) =
> 0; " x Î (0;1)
( x + 1)4

'

''

Do đó f ' ( x) là hàm đồng biến, ta có f ' (0) < f ' ( x) < f ' (1); " x Î (0;1)

e x ( x - 1)
Hay là - 1 <

< 0 tức là f ' ( x) < 1; " x Î (0;1)
3
( x + 1)
Theo định lý 2.1.5 thì dãy {un } có giới hạn là a và f (a ) = a .
Áp dụng định lý Lagrange ta có
$ c Î (0;1) sao cho un+ 1 - a = f ' (c) . un - a

Do f ' (c) < 1 nên $ k Î (0;1) sao cho 1> k ³ f ' (c) hay
Ta có un+ 1 - a £ k un - a (điều phải chứng minh).

íï
a1 = 0
Ví dụ 4. Cho dãy {an } thỏa mãn ïì
ïï an+ 1 = 2 + an , n ³ 1
î
Chứng minh rằng dãy {an } có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Giải
Theo đề bài a1 = 0 và an+ 1 =
Từ đó ta có an ³
Phạm Thị Lan Hương

2 + an

2 , " n Î N*
24

K32-CN Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Xét hàm số f ( x) =

Trường ĐHSP Hà Nội 2

2 + x liên tục trên nửa đoạn thẳng [0;+ ¥

thì an+ 1 = f (an ) ; f ' ( x) =
và có

f ' ( x) <

1
2 2

1
>0
2 2+ x

)

"x¹ - 2

" x Î [0; + ¥ ).

Theo định lý 2.1.5 thì dãy {an } có giới hạn là a và f (a ) = a . Ta
có

2+ a = a
Û 2 + a = a2

éa = 2
Û a2 - a - 2 = 0 Þ ê
êëa = - 1
Vậy lim an = 2.
u0 > 0
ïíï
ï
Ví dụ 5. Cho dãy {un } xác định bởi ì
1
ïï un+ 1 =
,n ³ 0
2 + un
ïîï

Tìm lim un
Giải
Xét hàm số f ( x) =

1
, x ³ 0 . Khi đó un+ 1 = f (un )
2+ x

Hàm f ( x) khả vi trên 0; và ta có f ' ( x) = -

f ' ( x) £

1
<0
(2 + x) 2

1
, " x Î (0; + ¥ )
4

Theo định lý 2.1.5 thì dãy {un } có giới hạn và giới hạn của dãy {un }
là nghiệm của phương trình f ( x) = x

Phạm Thị Lan Hương

25

K32-CN Toán