Giải gần đúng hệ phương trình phi tuyến tính

Khóa luận tốt nghiệp

Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU ................................................................................... 1
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị ............................................................. 3
1.1. Số gần đúng và sai số ...................................................................... 3
1.1.1. Số gần đúng ............................................................................. 3
1.1.2. Làm tròn số và sai số của phép làm tròn .................................. 3
1.1.3. Chữ số có nghĩa, chữ số chắc ................................................... 4
1.1.4. Sai số tính toán ........................................................................ 5
1.1.4.1. Biểu thức tổng quát của sai số tính toán........................ 5
1.1.4.2. Sai số của phép toán cộng trừ ....................................... 5
1.1.4.3. Sai số của phép toán nhân, chia .................................... 6
1.1.4.4. Sai số của phép tính lũy thừa ........................................ 6
1.1.4.4. Sai số của phép logarit .................................................. 6
1.1.5. Bài toán ngược của sai số ........................................................ 6
1.2. Sai số tương đối và sai số tuyệt đối.................................................. 7
1.2.1. Sai số tuyệt đối ........................................................................ 7
1.2.2. Sai số tương đối ....................................................................... 7
1.3. Cách viết số xấp xỉ .......................................................................... 7
1.3.1. Chữ số có nghĩa ....................................................................... 7
1.3.2. Chữ số đáng tin........................................................................ 8
1.3.3. Cách viết số xấp xỉ .................................................................. 8
1.4. Sai số quy tròn ................................................................................. 8
1.4.1. Hiện tượng quy tròn và sai số quy tròn .................................... 8
1.4.2. Sai số quy tròn ......................................................................... 9
1.5. Xấp xỉ ban đầu ................................................................................ 9
1.6. Ma trận nghịch đảo ........................................................................ 13

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

SV: Nguyễn Thị Kim Dung


Khóa luận tốt nghiệp

Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

1.7. Một số phương pháp giải phương trình phi tuyến .......................... 15
1.7.1. Phương pháp chia đôi ............................................................ 15
1.7.1. Phương pháp dây cung .......................................................... 16
1.7.3. Phương pháp lặp đơn ............................................................. 17
1.7.4. Phương pháp tiếp tuyến ......................................................... 18
1.7.4.1. Mô tả phương pháp ..................................................... 19
1.7.4.2. Ước lượng sai số ......................................................... 19
Bài tập chương 1................................................................................. 21
Chương 2. Tính gần đúng nghiệm hệ phương trình phi tuyến ........ 22
2.1. Phương pháp lặp đơn ..................................................................... 22
2.1.1. Phương pháp lặp đơn ............................................................. 22
2.1.1.1. Mô tả phương pháp ..................................................... 22
2.1.1.2. Sự hội tụ và sai số ....................................................... 23
2.1.2. Cách giải hệ phương trình phi tuyến hai ẩn............................ 23
2.1.3. Cách giải hệ phương trình phi tuyến ba ẩn ............................. 26
2.2. Phương pháp lặp Seidel ................................................................. 28
2.2.1. Phương pháp lặp Seidel ......................................................... 28
2.2.2. Cách giải hệ phương trình phi tuyến hai ẩn............................ 29
2.2.3. Cách giải hệ phương trình phi tuyến ba ẩn ............................. 31
2.3. Phương pháp lặp Newton - Raphson.............................................. 34

Chương 3. Bài tập vận dụng .............................................................. 39
Bài tập tự giải ..................................................................................... 52
KẾT LUẬN ......................................................................................... 53
TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................. 54

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

SV: Nguyễn Thị Kim Dung


Khóa luận tốt nghiệp

Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

PHẦN MỞ ĐẦU
Trong toán học hiện đại, Giải tích số đã có những bước tiến nhanh
chóng trong khoảng nửa thế kỉ vừa qua cùng với sự phát triển kì diệu của
tin học. Ngày nay, cùng với sự phát triển của tin học, phạm vi và ứng
dụng của Giải tích số ngày càng được mở rộng.
Giải tích số là một lĩnh vực toán học rất rộng. Nó nghiên cứu lý
thuyết xấp xỉ hàm, giải gần đúng một lớp các bài toán, các phương trình
thường gặp… Đặc biệt giải tích số chuyên nghiên cứu các phương pháp
số giải gần đúng các bài toán thực tế được mô hình hóa bằng ngôn ngữ
toán học. Trong nghiên cứu khoa học và trong các bài toán thực tế (trong
thiên văn, đo đạc ruộng đất ) dẫn đến việc cần phải giải hệ phương trình
phi tuyến tính. Tuy nhiên chỉ trong một số trường hợp đặc biệt ta mới có
cách tìm nghiệm đúng của hệ phương trình đó, các trường hợp còn lại
nói chung khó có thể giải được bằng các biến đổi đại số.
Nếu hệ phương trình đó suất phát từ bài toán thực tế thì biểu thức
fi (x1, x2,…, xn) = 0 ; i = 1, 2, …, n của hệ phương trình phi tuyến cũng

chỉ biết gần đúng. Vì thế việc giải đúng hệ phương trình đó chẳng những
không thực hiện được, mà nhiều khi không có ý nghĩa. Đối với các bài
toán đó thì việc xác định sai số là một vấn đề đáng quan tâm. Vì vậy,
ngay từ thời Archimesdes, các phương pháp giải gần đúng đã được xây
dựng. Nhiều phương pháp ( phương pháp Newton – Raphson, Phương
pháp Euler, phương pháp Seidel … ) đã trở thành kinh điển và được sử
dụng rộng rãi trong thực tế.
Vấn đề tìm gần đúng nghiệm của hệ phương trình phi tuyến tính
có ý nghĩa lí thuyết và ứng dụng rất lớn. Nó là cơ sở của môn Giải tích
số. Vì vậy em đã lựa chọn đề tài “Giải gần đúng nghiệm hệ phương trình
phi tuyến tính” để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp bậc đại học. Trong đề

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

1

SV: Nguyễn Thị Kim Dung


Khóa luận tốt nghiệp

Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

tài có đưa ra các phương pháp giải hệ phương trình phi tuyến tính hai ẩn
và ba ẩn với mục đích minh họa rõ hơn lý thuyết giải hệ phương trình
phi tuyến tính và có điều kiện nghiên cứu sâu hơn vấn đề này cũng như
môn Giải tích số. Đồng thời qua đó để vận dụng vào dạy hệ phương trình
phi tuyến tính trong chương trình dạy ở trường trung học phổ thông.
Khóa luận được chia làm 3 phần
Phần 1: Mở đầu

Phần 2: Nội dung
Chương 1: Kiến thưc chuẩn bị
Chương 2: Tính gần đúng nghiệm hệ phương trình phi tuyến tính
Chương 3: Bài tập vận dụng
Phần 3: Kết luận

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

2

SV: Nguyễn Thị Kim Dung


Khóa luận tốt nghiệp

Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Số gần đúng và sai số
1.1.1. Số gần đúng
Ta nói rằng a là số gần đúng của số a* nếu như a không sai khác a
nhiều.
Hiệu số ∆ = a* - a là sai số thực sự của a. Nếu ∆ > 0 thì a là giá trị
gần đúng thiếu, còn nếu ∆ < 0 thì a là giá trị gần đúng thừa của a*.
Vì rằng a* nói chung không biết nên cũng không biết ∆, tuy nhiên
có thể thấy tồn tại ∆a  0 thoả mãn điều kiện:
│a* - a│  ∆a

(1.1.1)

Số ∆a thỏa mãn điều kiện (1.1.1) được gọi là sai số tuyệt đối của a,
còn δa=

a
là sai số tương đối của a. Rõ ràng ∆a , δa càng nhỏ càng tốt.
a

Ví dụ: Xét hai đoạn thẳng AB có độ dài a = 10m và CD có độ dài

b  1m với a  b  0,01m .Khi đó ta có :

a 

0,01
0,01
 10 2 .
 103 và  b 
1
10

Hiển nhiên ta thấy phép đo đoạn thẳng AB chính xác hơn đo đoạn
thẳng CD. Như vậy độ chính xác của một phép đo phản ánh qua sai số
tương đối.
1.1.2. Làm tròn số và sai số của phép làm tròn
Xét một số thập phân a  0 có dạng tổng quát:



a    p .10 p   p 1.10 p 1  ...   p s .10 p s



(1.1.2)

trong đó 0   i  9 ,  i , s , p ,  p  0, i  p, p  s . Nếu  p  s   0
thì a là số nguyên, nếu  p  s   k  k  0  thì a có phần lẻ gồm k chữ

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

3

SV: Nguyễn Thị Kim Dung


Khóa luận tốt nghiệp

Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

số, nếu s    thì a là số thập phân vô hạn tuần hoàn. Làm tròn số a là bỏ
đi một số các chữ số bên phải của số a để được số a gọn hơn và gần đúng
nhất với số .
 Quy tắc làm tròn: Xét số a ở dạng (1.1.2) và ta sẽ giữ lại đến
bậc thứ i, phần bỏ đi là  thì ta đặt:
a =  ( αp .10p + …+ αi+1.10i +1 +  i .10i )

trong đó:
1 i
1 i




0



.10



.10 khi  i  2l ; l  
i

2
2
i= 
  1    1 .10i    1 .10i khi   2l  1; l  
i
 i
2
2

Ta kí hiệu sai số của phép làm tròn là  a , như vậy a  a   a , rõ

1
ràng là  a  .10i . Vì a*  a  a*  a  a  a   a   a , do đó khi làm
2
tròn sai số tuyệt đối tăng thêm  a .
1.1.3. Chữ số có nghĩa, chữ số chắc
Xét số a ở dạng (1.1.2) nghĩa là viết được dưới dạng thập phân,

khi đó chữ số có nghĩa là mọi chữ số khác 0 và những chữ số 0 bị kẹp
giữa hai chữ số khác 0 hoặc nó là những chữ số 0 ở hàng được giữ lại.
Ví dụ: Số a = 02,3040 thì chữ số 0 đầu tiên là không có nghĩa,
còn các chữ số 3; 4; 0; 5; 0 là có nghĩa. Số b = 0,023 thì các chữ số 2; 3
là có nghĩa, còn 2 số 0 bên trái không có nghĩa.
Xét số a ở dạng (1.1.2):





a    p .10 p   p 1.10 p 1  ...   p s .10 p s ,

chữ số  i ở (1.1.2) của số a là chữ số chắc nếu:

 a  .10i ,

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

4

SV: Nguyễn Thị Kim Dung


Khóa luận tốt nghiệp

Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

trong đó  là tham số cho trước. Tham số  sẽ được trọn để sao cho một
chữ số vốn là chắc thì sau khi làm tròn vẫn là chữ số chắc, rõ ràng là ai

là chữ số chắc thì ai1 cũng là chữ số chắc.
1.1.4. Sai số tính toán
1.1.4.1. Biểu thức tổng quát của sai số tính toán
Giả sử phải tìm đại lượng y theo công thức: y  f  x1, x2 ,..., xn 
Kí hiệu:





 

x*  x1*, x2*, ..., xn* , y*  f x* là giá trị đúng,

x   x1, x2 ,..., xn  , y  f  x  giá trị gần đúng ,
y* , xi  xi*  xi .
Giả sử f  x1, x2 , ..., xn  là hàm số khả vi liên tục thì:
n

y  y  y*  f ( x1, x2 ,..., xn )  f ( x1* , x2* ,..., xn* )   f ' x . xi  xi* ,
i
i 1

với f ' x là đạo hàm theo xi tính tại điểm trung gian.
i
Vì f là hàm khả vi liên tục còn xi khá bé nên:
n

y   f ' x  x1, x2 ,..., xn  xi
i

i 1

(1.1.3)

Vậy:

y 

y n 

ln f xi
y i 1 xi

(1.1.4)

1.1.4.2. Sai số của phép toán cộng trừ
n

n

Nếu y   xi thì y ' x  1 , vì vậy ta có: y   xi .
i
i 1
i 1

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

5

SV: Nguyễn Thị Kim Dung

Khóa luận tốt nghiệp

Đại học Sư Phạm Hà Nội 2
n

 Chú ý: Nếu tổng đại số y   xi rất bé về giá trị tuyệt đối thì
i 1

y
sẽ lớn, phép tính sẽ kém chính xác. Ta khắc phục bằng cách tránh
y

công thức đưa đến hiệu của hai số gần nhau. Hoặc là, có thể lấy các số
đấy với nhiều chữ số chắc để hiệu của chúng có thêm chữ số chắc.
1.1.4.3. Sai số của phép toán nhân, chia
p

 xi

Giả sử y 

i 1
q

áp dụng (1.1.3) và (1.1.4). Ta có:

 x p i

i 1

 y   x  ...   x p q và y  y . y .
1
1.1.4.4. Sai số của phép tính lũy thừa
Xét y  x (  R, x  0) khi đó  y  a . x

 Nhận xét: Nếu   1 thì độ chính xác là giảm đi, nếu   1 thì
độ chính xác tăng lên. Nếu   1 (phép nghịch đảo) thì độ chính xác là
1
không đổi, nếu   , k   (phép khai căn) thì độ chính xác tăng lên.
k

1.1.4.4. Sai số của phép logarit
Xét y= lnx, thì ta có  y   x .
1.1.5. Bài toán ngược của sai số
Giả sử đại lượng y được tính theo công thức: y  f  x1, x2 ,..., xn 
yêu cầu đặt ra là cần tính xi như thế nào để y   , với  là cho trước.
Theo biểu thức tổng quát của sai số tính toán, ta phải có:
f
xi   .
i 1 xi
n

y  

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

6

SV: Nguyễn Thị Kim Dung


Khóa luận tốt nghiệp

Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

Bất đẳng thức trên thỏa mãn nếu xi 


n. f ' xi

.

 Chú ý: Nếu các biến xi vai trò “đều nhau” thì ta có thể lấy
xi 


n. f ' xi

, khi đó y   .

1.2. Sai số tương đối và sai số tuyệt đối
1.2.1. Sai số tuyệt đối
Trong tính toán ta thường không biết số đúng A mà chỉ biết số
gần đúng của nó là a. Lúc đó ta nói “a xấp xỉ A “và viết “a  A “. Độ
lệch h = A – a được gọi là sai số thực sự của A.
Vì không biết A nên ta cũng không biết h. Tuy nhiên ta có thể tìm
được số dương  a  h sao cho a   a  A  a   a . Số  a bé nhất mà ta
có thể xác định được gọi là sai số tuyệt đối của a.

Nếu số xấp xỉ của A có sai số tuyệt đối là ∆a ta viết: A = a   a
(1.2.1) ,với nghĩa a   a  A  a   a

(1.2.2)

1.2.2. Sai số tương đối
Tỷ số  a 

a
(1.2.3) gọi là sai số tương đối của a, ta suy ra
a

 a  a . a (1.2.4). Do đó (1.2.1) có thể viết thành: A = a(1   a ) công

thức (1.2.3) và (1.2.4) cho ta mối liên hệ giữa sai số tuyệt đối và sai số
tương đối.
1.3. Cách viết số xấp xỉ
1.3.1. Chữ số có nghĩa
Một số viết ở dạng thập phân có thể gồm nhiều chữ số, nhưng ta
chỉ kể các chữ số khác 0 đầu tiên tính từ trái sang phải là các chữ số có
nghĩa. Các chữ số 0 bên trái là không có nghĩa.

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

7

SV: Nguyễn Thị Kim Dung


Khóa luận tốt nghiệp

Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

Ví dụ: Số 1,35 thì có các chữ số 1; 3; 5 là có nghĩa. Số 0,0310 thì
các chữ số 3; 1; 0 có nghĩa, còn hai chữ số 0 bên trái không có nghĩa.
1.3.2. Chữ số đáng tin
Mọi số thập phân a đều có thế viết dưới dạng:
a     s .10 s

(1.3.1)

trong đó αs là những số nguyên từ 0 đến 9.
Ví dụ: Số 17,134 viết là: 17,134 1.101  7.100 1.101  3.102  4.103
tức là a có dạng (1.3.1) với 1  1;  0  7;  1  1;  2  3;  3  4.
Chữ số αs ở (1.3.1) của chữ số a là chữ số đáng tin (chữ số chắc)
nếu  a  0,5.10k , s  k , còn khi  a  0,5.10k , s  k thì ta nói αs là
chữ số đáng nghi.
1.3.3. Cách viết số xấp xỉ
Cho a là giá trị xấp xỉ của A với giá trị tuyệt đối ∆a.


Cách thứ nhất: Là viết kèm theo sai số tuyệt đối a   a .



Cách thứ hai: Là chỉ viết các chữ số đáng tin. Nếu ta có số gần
đúng mà không cho sai số thì luôn ngầm hiểu các chữ số có
nghĩa là các chữ số đáng tin. Như vậy các chữ số không ở bên
phải cho ta biết nó là chữ số đáng tin.

1.4. Sai số quy tròn
1.4.1. Hiện tượng quy tròn và sai số quy tròn
Trong tính toán, khi gặp một số có quá nhiều chữ số đáng nghi,
người ta thường bỏ đi một vài chữ số cuối cho gọn. Việc làm đó gọi là
quy tròn số.
Việc quy tròn số sẽ tạo ra sai số mới gọi là sai số quy tròn bằng
hiệu số giữa số đã quy tròn và số chưa quy tròn. Trị tuyệt đối của hiệu

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

8

SV: Nguyễn Thị Kim Dung


Khóa luận tốt nghiệp

Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

này được gọi là sai số quy tròn tuyệt đối. Qui tắc quy tròn phải chọn sao
cho sai số quy tròn tuyệt đối càng bé càng tốt.
Ta chọn qui tắc sau đây: Quy tròn sao cho sai số quy tròn tuyệt đối
không lớn hơn một nửa đơn vị ở hàng được giữa lại cuối cùng, tức là 5
đơn vị ở hàng bỏ đi đầu tiên. Cụ thể là nếu chữ số bỏ đi đầu tiên nhỏ hơn
5 thì để nguyên chữ số giữ lại cuối cùng.
1.4.2. Sai số quy tròn
Giả sử a là số xấp xỉ của số đúng A với sai số tuyệt đối ∆a..Giả sử
ta đã quy tròn a thành a’ với sai số quy tròn tuyệt đối là  a , tức là:
a ' a   a bây giờ tính ∆a của a’, ta có:

a ' A  a ' a  a  A  a ' A  a ' a  a  A   a   a
Vậy có thể lấy  'a   a   a
Rõ ràng  'a   a , tức là việc quy tròn làm tăng sai số tuyệt đối.
Do vậy sai số quy tròn có thể có tác hại trong quá trình tính toán.
1.5. Xấp xỉ ban đầu
Thông thường quá trình tìm nghiệm r của phương trình

f  x  0

(1.5.1)

ở đây f  x  là một hàm số thực một biến x , được chia làm hai phần. Một
là, phần xấp xỉ ban đầu của nghiệm (thường được gọi là nghiệm xấp xỉ).
Hai là tinh chế nghiệm xấp xỉ đó để có được một nghiệm xấp xỉ đó để
được một nghiệm xấp xỉ mới có độ chính xác mong muốn.
Việc tìm xấp xỉ ban đầu x0 cho nghiệm r của phương trình (1.5.1)
thường là do dự đoán dựa trên những thông tin về hàm f có được, hoặc là
bằng cách vẽ đồ thị tìm điểm x0 sao cho f(x0)  0. Ngoài ra ta cũng có
thể tìm x0 dựa vào định lý sau:

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

9

SV: Nguyễn Thị Kim Dung


Khóa luận tốt nghiệp

Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

Nếu f(x) là một hàm thực liên tục trên [a, b] (a < b), có f(a).f(b) <
0 thì tồn tại ít nhất một nghiệm r của f(x) trong khoảng.
Việc tìm một khoảng [a,b] như vậy được gọi là cô lập nghiệm.
Bây giờ xét một số thuật toán tìm xấp xỉ ban đầu cho nghiệm thực
của phương trình đại số có dạng:
f ( x)  Pn ( x)  a0 x n  a1x n1  ...  an1x  an  0

(1.5.2)

với các hệ số thực ai ; i = 0, 1, 2, ..., n. Phương trình đại số (1.5.2) nói
chung có thể có các nghiệm thực khác nhau hoặc nghiệm kép. Nếu ta kí
hiệu nghiệm của (1.5.2) là các số r1, r2 ,..., rn thì Pn(x) có thể viết dưới
dạng:
Pn ( x )  a0 ( x  r1 )( x  r2 )...( x  rn )

giả thiết rằng: r1  r2  ...  rn .
Nếu các nghiệm ri có môđun khác nhau nhiều, thì xấp xỉ ban đầu
của nghiệm có thể lấy từ định lý:
a1
   ri
a0

a2
   ri rj
i j
a0
a3
   ri r j rk ;
i j k

a0

...;
an
 (1) n r1r2 ...rn
a0

vì ri có môđun lớn hơn nhiều so với các nghiệm khác, cho nên từ đẳng
thức đầu tiên cho ta:
a1
r
r
 r1 (1  2  ...  n )  a1   r1a0
a0
r1
r1

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

10

SV: Nguyễn Thị Kim Dung


Khóa luận tốt nghiệp

Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

Từ đẳng thức thứ hai của hệ trên ta suy ra:
 r

r r 
a2
r   r
r  rr
 r1r2 1  3  ...  n   1  3  ...  n   3 4  ...  n1 n 
a0
r2  
r1
r1  r1r2
r1r2 
 r2
 a2  r1r2a0

Quá trình này được tiếp tục cho đến đẳng thức cuối cùng, ta được:
a1  r1a0

;

a2  r1r2a0

a3  r1r2r3a0

;

an  r1r2r3...rn a0

a1  r1a0  0

;

a1  r2 a0  0

a1  r3a2  0

;

an  rn an1  0

Từ đây suy ra:

Vì vậy:
r1  

a1
a
a
; r2   2 ; ... ; rn   n
a0
a1
an1

 Nguyên lý Decart:
Nếu trong phương trình (1.5.2) hai hệ số cạnh nhau khác dấu, ta
nói rằng có sự đổi dấu, nếu hai hệ số cạnh nhau cùng dấu, ta nói rằng có
sự giữ nguyên dấu. Lưu ý rằng ở đây ta chỉ nói đến các hệ số khác 0.
Phương trình (1.5.2) được gọi đầy đủ nếu nó không có hệ số a
bằng 0.
 Nguyên lý Decart được phát biểu như sau:
Số nghiệm dương của phương trình (1.5.2) bằng hoặc kém hơn
một số chẵn số lần đổi dấu trong dãy hệ số của phương trình đó, những

hệ số là số 0 không tính đến.
Số nghiệm âm của phương trình (1.5.2) bằng hoặc kém hơn một số
chẵn số lần đổi dấu trong hệ số của phương trình f(  x) = 0.

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

11

SV: Nguyễn Thị Kim Dung


Khóa luận tốt nghiệp

Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

 Chú ý: Nếu phương trình là đầy đủ, thì số nghiệm âm bằng số
lần giữ nguyên dấu trong hệ số của phương trình hoặc kém hơn nó một
số chẵn.
Tìm nghiệm có môđun lớn hoặc bé nhất của phương trình đại số
(1.5.2)
 Nghiệm đơn của (1.5.2) với a0 = 1, có môđun lớn nhất cũng có
thể được xấp xỉ từ phương trình:
x 2  a1x  a2  0 hoặc x  a1  0

 Nếu nghiệm đơn có môđun lớn hơn nhiều so với các nghiệm
khác thì các xấp xỉ này cho ta kết quả tương đối chính xác.
 Nghiệm có giá trị môđun nhỏ nhất của (1.5.2) cũng có thể tính
xấp xỉ từ phương trình:
an2 x 2  an1x n1  an  0 hoặc an1x  an  0

 Lược đồ Horner:
Lược đồ Horner để chia một đa thức
Pn ( x )  a0 x n  a1x n1  ...  an1x  an

Cho một nhị thức x - x0. Kết quả sau phép chia sẽ là một đa thức
bậc n-1 là
Qn ( x)  b0 x n1  b1x n2  ...  bn2 x  bn1

và phần dư R, sẽ chỉ là một số, sao cho thỏa mãn:
a0 x n  a1x n1  an1 x  an  ( x  x0 )(b0 x n1  b1x n2  ...  bn2 x  bn1 )  R

So sánh các hệ số của hai đa thức bằng nhau ta được:
b0  a0 ; b1  a0 x0  a1; b2  b1x0  a2 ; ...; bn1  bn2 x0  an1 ;

R= bn1x0  an .

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

12

SV: Nguyễn Thị Kim Dung


Khóa luận tốt nghiệp

Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

Ta có thể viết lại theo sơ đồ Horner:

x0

a0

a1

...

an1

an

b0  a0

b1  a1  b0 x0

...

bn1  an1  bn2 x0

R  an  bn1x0

1.6. Ma trận nghịch đảo
Ma trận nghịch đảo của ma trận vuông A cấp n là một ma trận, ký
hiệu A-1 thỏa mãn điều kiện:
A.A-1 = A-1.A=I
Ma trận A có ma trận nghịch đảo A-1 khi và chỉ khi detA ≠ 0 và khi
đó ta có thể tìm A-1 bằng cách tính giá trị các phần bù đại số Aij; i, j = 1,
2, 3, ..., n sau đó ta có thể áp dụng công thức:
 A11


1  A21
-1
A =
det A  ...

 An1

A12
A22
...
An 2

... A1n 
... A2 n 

... ... 

... Ann 

Ngoài ra cũng có thể áp dụng phương pháp dưới đây hay được
dùng trong khi lập phương trình tính toán bằng máy tính.
Viết thêm ma trận I vào bên phải ma trận A
 a11 a12
a
a
 A, I    ...21 ...22

 an1 an 2

... a1n

... a2 n
... ...
... ann

1

0 ... 0 
0 1 ... 0 

... ... ... ...

0 0 ... 1 

(1.6.1)

Bằng phép biến đổi sơ cấp lên hàng của ma trận [A, I] này cho đến
khi ta được ma trận dạng:
1
0

...

0

0 ... 0

c1,n1

c1,n 2

1 ... 0 c2,n1 c2,n 2
... ... ...
...
...
0 ... 1

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

cn,n1 c2,n 2

13

... c1,2 n 
... c2,2 n 

... ... 

... cn,2 n 

(1.6.2)

SV: Nguyễn Thị Kim Dung


Khóa luận tốt nghiệp

Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

Khi đó:
 c1,n1 c1,n 2

c
2,n 1 c2,n 2
1
A 
 ...
....

cn,n1 cn,n2

... c1,2 n 
... c2,2 n 

... ... 

... cn,2 n 

Để tìm các thành phần cịj ta áp dụng công thức vào ma trận [A, I]
sao cho ma trận A trở thành ma trận đơn vị. Muốn vậy ở bước l = 1, 2, ...,
n-1 ta phải chia các thành phần của hàng thứ l cho all(l 1) và dùng phép
biến đổi sơ cấp đối với hàng như thế nào để cho tất cả các thành phần ở
cột thứ l bằng 0 trừ all(l 1) . Cũng lưu ý rằng, mỗi lần chia cho all(l 1) như
vậy bắt buộc phải kiểm tra xem all(l 1) có khác 0 hay không ?
Cụ thể, sau khi chia hàng thứ nhất của (1.6.1) cho a11 , tức là ta có:
aij(1) 

aij
a11

Tiếp theo, nhân hàng đầu của ma trận trên với a21 , sau đó cộng
vào hàng thứ hai theo từng thành phần một ta được:

 1 a12 / a11
a
(1)
a22
21

 A.I    ...
...

an 2
 an1
Ở đây:
a2(1)j  a2 j 

... a1n / a11 1 / a11
...
...

a2(1)n

a2,(1)n1

...

...

...

ann

0

a21.a1 j
a11

0 ... 0 
1 ... 0 

... ... ...

0 ... 1 

; j = 2, 3, ..., n+1.

Cách làm này được áp dụng vào hàng thứ 3, 4, ... cho đến hàng
cuối cùng là hàng thứ n để cho a31, a41 ,..., an1 trở thành số 0.

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

14

SV: Nguyễn Thị Kim Dung


Khóa luận tốt nghiệp

Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

Vì vậy, với mỗi hàng i:
aij(1)  aij 

ai1.a1 j
a11

; i =2, 3, ..., n+1

Bây giờ giả thiết là ta đã đưa được ma trận về dạng:
1

0

...

 0

(l 1)
0 ... a11
... a1(nl 1)
(l 1)
(l 1)
1 ... a21
... a
2n
... ...
...
...
...
(l 1)
0 ... an(l11) ... ann

a1,(ln1)1 ... 0 

( l 1)
a2,n1 ... 0 

...
... ...

an(l,n1)1 ... 1 

Hai bước cơ bản cần được tiến hành đối với ma trận này là:
1. Với mỗi hàng thứ l, chia tất cả all(l 1) cho all(l 1) ; j = l, l+1, …,
n+l
2. Với mỗi i = 1, 2, …, n; i ≠ 1, thay alj(l 1) bằng:
aij(l )

 l 1

 aij



l 1
l 1
ail  .alj 
l 1
all 

; j=1, l + 1, …, n + 1

Và vấn đề tìm A-1 trở thành tìm
aij(l )

l 1
alj 

  l 1
all

; l = 1, 2, …, n ; j = 1, l + 1, …, n + 1

l 1
l 1
l 1
aij(l )  aij   ail  .alj  ; i = 1,2, …, l  1, …, n ; j = 1, l + 1, …, n + 1

1.7. Một số phương pháp giải phương trình phi tuyến
1.7.1. Phương pháp chia đôi
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn  a, b  và f  a  . f  b   0 . Đặt

 0 :  a, b  và ta chia đôi ∆0 và chọn 1   a1, b1  là một nửa của ∆ sao
cho f  a1  . f  b1   0 . Nói chung đến bước thứ n, ta có
 n   an , bn    n1   n2  ...  1   0 .

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

15

SV: Nguyễn Thị Kim Dung

Khóa luận tốt nghiệp

Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

Ngoài ra, ta còn có bn  an 

b  a   0
2n

khi n   . Dễ dàng

thấy rằng, dãy an  đơn điệu tăng , bị chặn trên bởi b, còn dãy {bn} đơn
điệu giảm và bị chặn dưới bởi a. Hơn nữa do bn  an 

 b  a   0 suy ra
2n

2

an , bn  r khi n  + vì f  a  . f  b   0 , cho n  + ta có  f (r )   0

suy ra f(r) = 0. Tức là r là nghiệm của phương trình f(x) = 0. Do đó,
nghiệm xấp xỉ xn có thể được lấy theo công thức:
xn 

a n  bn

(1.7.1)

2

Ngoài ra, ta còn có đánh giá sau:
0  xn  r 

r  an bn  r
ba

 bn  an  n
2
2
2

Do đó, xấp xỉ xn sao cho xn  r   , suy ra phải có

ba
  tức
2n

là ln  b  a   n ln 2  ln  . Như vậy, phải tiến hành đến bước lặp thứ n
tính bởi:
 ln  b  a   ln  
n  integer 

ln 2



1.7.1. Phương pháp dây cung
Giả sử rằng hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn [a, b] và

f  a  . f  b   0 . Giả sử rằng f(x) có đạo hàm cấp hai liên tục và ta có
f”(x) > 0 trên đoạn [a, b]. Khi đó đồ thị y  f  x  nằm dưới dây cung AB
với A(a, f(a)), B(b, f(b))

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

16

SV: Nguyễn Thị Kim Dung


Khóa luận tốt nghiệp

Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

 Trường hợp 1. Nếu như f(a) > 0 ta xây dựng dãy {xn} theo hệ thức
 x0  b

f  xn 

 xn1  xn  f x  f a  xn  a 
 n  


Khi đó ta sẽ có dãy {xn} đơn điệu giảm, bị chặn và:
a  r  ...  xn1  xn  ...  x0

 Trường hợp 2: Nếu như f(a) < 0 ta xây dựng dãy {xn} theo hệ thức
 x0  a


f  xn 

 xn1  xn  f b  f  x   b  xn 
 
n


Khi đó ta sẽ có dãy {xn} đơn điệu tăng, bị chặn và:
x0  x1...  xn  xn1  ...  r  b

1.7.3. Phương pháp lặp đơn
Giả sử có thể đưa phương trình (1.5.1) về dạng tương đương:

x    x

(1.7.2)

Trong đó φ có tính chất:
1.   x    a, b  ,  x  [a, b]
2.  '  x   q  1 ,  x  [a, b]
Khi đó với xấp xỉ ban đầu x0  [a, b] tùy ý, dãy { xn }được xây
dựng bởi xn1    xn  ; n = 0, 1, ... (1.7.3) sẽ hội tụ đến nghiệm
Thật vậy dễ dàng có đánh giá sau:
xn1  xn    xn     xn1 
  '  c  xn  xn1  q xn  xn1  q n x1  x0

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

17

SV: Nguyễn Thị Kim Dung


Khóa luận tốt nghiệp

Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

Do vậy:



 



xn p  xn  xn p  xn p 1  xn p 1  xn p 2  ...   xn1  xn  

 xn p  xn p 1  xn p1  xn p2  ...  xn1  xn





 x1  x0 q n 1  q  ...  p n1 

qn
x x
1 q 1 0

Hay:
xn p  xn 

qn
x x
1 q 1 0

(1.7.4)

Vì 0  q  1 nên với n đủ lớn thì xn p  xn sẽ bé tùy ý thì dãy này
sẽ hội tụ tới r
Lấy giới hạn 2 vế (1.7.3) ta có:
lim x n1  lim  ( xn ) ( k   )

Hay
r = φ(r)
Vậy r là nghiệm của (1.5.1)
Lấy giới hạn (1.7.4) khi p   ta được:
qn
r  xn 
x x
1 q 1 0

Đây là ước lượng sai số mắc phải khi thuật toán dừng sau n bước.
Do xn  xn1  q n1 x1  x0 nên thường ta chọn điều kiện kết thúc là:
r  xn 

q
x x
1 q 1 0

1.7.4. Phương pháp tiếp tuyến
Khi f là hàm khả vi và dễ tính giá trị đạo hàm thì phương pháp
tiếp tuyến có tốc độ hội tụ nhanh và thường được sử dụng.

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

18

SV: Nguyễn Thị Kim Dung


Khóa luận tốt nghiệp

Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

1.7.4.1. Mô tả phương pháp
Giả sử f(x) là hàm khả vi liên tục 2 lần trên đoạn [a, b] và thỏa
mãn f(a).f(b) < 0 và f’, f” không đổi dấu trên [a, b]

 Định nghĩa: điểm x0 gọi là điểm fourier của f nếu f(x0).f”(x0) > 0
Phương pháp tiếp tuyến hay còn gọi là phương pháp Newton, là
phương pháp có tốc độ hội tụ cao. Ý tưởng của thuật toán như sau: ở
bước lặp thứ n ta thay hàm f(x) bởi tiếp tuyến với đồ thị tại điểm xk ,
nghiệm xấp xỉ tiếp theo là giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành.
Xấp xỉ ban đầu x0 được chọn là một điểm fourier thuộc [a, b] kể
cả a và b
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị y = f(x) tại xn là
y = f’(xn)(x – xn ) + f(xn)
Nghiệm xấp xỉ ở bước thứ n+1 sẽ là nghiệm của phương trình

f’(xn)(x – xn ) + f(xn) = 0
Hay ta có công thức lặp
xn1  xn 

f  xn 
f '  xn 

(1.7.5)

Ta có thể chứng minh dãy trên đơn điệu và hội tụ đến nghiệm
phương trình (1.5.1)
1.7.4.2. Ước lượng sai số





Giả sử r là nghiệm của (1.5.1) đặt m = min f '  x  / x   a, b ta
có ước lượng sau:
xn  r 

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

f  xn 
m

19

(1.7.6)

SV: Nguyễn Thị Kim Dung


Khóa luận tốt nghiệp

Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

Trước hết ta nhắc lại công thức Lagrangiơ

 Công thức Lagrangiơ : Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a, b],
có đạo hàm trong (a, b) thì tồn tại số c   a, b  , tức là c  a    b  a  ,
0    1 sao cho

F  b   F  a   F '  c  b  a 

Áp dụng công thức Lagrangiơ ta có:

f  xn   f  xn   f  r   f '  c   xn  r 
Nên:
xn  r 

f  xn 
f ' c 



f  xn 
m

Vì các đạo hàm f’(x) và f”(x) không đổi dấu trên [a, b] nên





m  min f '  a  , f '  b   0

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

20

SV: Nguyễn Thị Kim Dung


Khóa luận tốt nghiệp

Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

BÀI TẬP CHƯƠNG 1
Bài 1: Bằng phương pháp lặp đơn tính gần đúng nghiệm của
phương trình sau đây.
a) x3 – x – 1 = 0
b) x – sinx = 0,25
c) x2 – cos  x = 0
d) 2x – lnx – 3 = 0
Bài 2: Bằng phương pháp tiếp tuyến và dây cung tính gần đúng
nghiệm của phương trình sau đây.
a) x5 – 40x + 3 = 0
b) x3 – 17 = 0
c) x5 – 4x4 + x3 – 6x2 + 7 = 0

Bài 3: Giải gần đúng phương trình sau nhờ phương pháp Newton.
a) 2x = 4x
b) x3 + 3x +5 = 0

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

21

SV: Nguyễn Thị Kim Dung


Khóa luận tốt nghiệp

Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

Chương 2
TÍNH GẦN ĐÚNG NGHIỆM
CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

Cho hệ phương trình phi tuyến:
 f1  x1 , x2 ,..., xn   0

 f 2  x1, x2 ,..., xn   0

..............................
 f  x , x ,..., x   0
n
 n 1 2

(2.1.1)

Ở đây fi (i = 1, 2, …, n) và các đạo hàm riêng của chung cho đến
bậc hai được giả thiết là liên tục và giới nội.
2.1. Phương pháp lặp đơn
2.1.1. Phương pháp lặp đơn
2.1.1.1. Mô tả phương pháp
Trước tiên ta đưa hệ (2.1.1) về dạng:
 x1  g1  x1 , x2 ,..., xn 

 x2  g 2  x1, x2 ,..., xn 

..............................
 x  g  x , x ,..., x 
n 1 2
n
 n

(2.1.2)

Hay dưới dạng véctơ:
x  g  x

(2.1.3)

Trong đó g(x) là hàm n biến xác định trong miền D  Rn và có
các tính chất sau:
1. g(x) D với x  D

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

22

SV: Nguyễn Thị Kim Dung


Khóa luận tốt nghiệp

Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

2. Nếu có :

g1 g1
g

 ...  1  1
x1 x2
xn
g 2 g 2
g

 ...  2  1
x1 x2
xn
.........................................
g n g n
g

 ...  n  1
x1 x2
xn

Tại lân cận của nghiệm r = (r1, r2, ...,rn) thì phương pháp lặp đơn:

x

k 1

 

k
 g x 

(2.1.4)

Hội tụ đến nghiệm của hệ phương trình (2.1.1) ở đây:
 x k 1 
 1

  k 1 
k 1
x
x    2 
 ... 
  k 1 
 xn 

;

 g1 
 
g 

g   2
 ... 
g 
 n

2.1.1.2. Sự hội tụ và sai số
Người ta chứng minh được hệ (2.1.2) có duy nhất nghiệm r trong
miền D và có ước lượng sai số:
r  xn 

qn 1 0
x x
1 q

Và ước lượng sai số trong thực hành là:
r  xn 

q 1 0
x x
1 q

2.1.2. Cách giải hệ phương trình phi tuyến hai ẩn
Cho hệ phương trình phi tuyến tính:
 f1  x1, x2   0

 f 2  x1, x2   0

(2.1.5)

23

SV: Nguyễn Thị Kim Dung

GVHD: TS.Nguyễn Văn Hùng