Giải gần đúng phương trình đại số

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
************

TRẦN HOÀI ANH

GIẢI GẦN ĐÚNG
PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
CHUYÊN NGÀNH: GIẢI TÍCH

Người hướng dẫn khoa học : TS NGUYỄN VĂN HÙNG

HÀ NỘI – 2010


LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian nghiên cứu cùng với sự hướng dẫn tận tình của thầy
giáo TS Nguyễn Văn Hùng, khoá luận của em đã được hoàn thành.
Qua đây em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Nguyễn Văn
Hùng, người đã trực tiếp hướng dẫn và đóng góp nhiều ý kiến quý báu trong thời
gian em thực hiện khoá luận này.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy, các cô giáo trong khoa toán đã tạo
mọi điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khoá luận này.
Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng do hạn chế về thời gian và kiến thức nên
chắc chắn khóa luận không tránh khỏi những thiếu xót. Em rất mong nhận được
sự giúp đỡ, đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn sinh viên để khoá luận của
em được hoàn thiện hơn.

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng

LỜI CAM ĐOAN
Khoá luận tốt nghiệp của em hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo
TS Nguyễn Văn Hùng cùng với sự cố gắng của bản thân. Trong quá trình nghiên
cứu em có tham khảo một số tài liệu của một số tác giả (đã nêu trong mục tài liệu
tham khảo).
Em xin cam đoan những kết quả trong khoá luận này là kết quả nghiên
cứu của bản thân, không trùng với kết quả của tác giả khác. Nếu sai em xin hoàn
toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 5 năm 2010
SINH VI ÊN

Trần Hoài Anh

Trần Hoài Anh

1

K32 CN Toán


MỤC LỤC
Nội dung

Trang

Mở đầu

1

Nội dung

2

Chương I : Kiến thức chuẩn bị

2

1.1. Số gần đúng và sai số

2

1.2. Sai số tuyệt đối

6

1.3. Cách viết số xấp xỉ

7

1.4. Sai phân

8

Chương II: Giải gần đúng phương trình đại số

11

2.1. Nghiệm và khoảng tách nghiệm

11

2.2. Phương pháp đồ thị

15

2.3. Phương pháp chia đôi

17

2.4. Phương pháp lặp

22

2.5. Phương pháp Newton

26

2.6. Phương pháp dây cung

32

Chương III: Ứng dụng

35

Tài liệu tham khảo

50

Kết luận

51


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng

PHẦN 1: MỞ ĐẦU
Giải tích số là một ngành khoa học đã có từ lâu nhưng từ khi máy tính
điện tử ra đời ngành khoa học này phát triển rất nhanh, nhằm xây dựng những
thuật toán đơn giản có hiệu lực, giải kết quả bằng số những bài toán của khoa
học kỹ thuật trên máy tính. Vì vậy ngày nay với việc sử dụng rộng rãi máy vi
tính trong các cơ quan, xí nghiệp, các kiến thức của môn học “Giải tích số” càng
trở nên hết sức cần thiết.
Giải tích số là một lĩnh vực toán học rất rộng, nó nghiên cứu lý thuyết xấp
xỉ hàm, giải gần đúng một lớp các bài toán, các phương trình thường gặp. Đặc
biệt giải tích số chuyên nghiên cứu các phương pháp số giải gần đúng các bài
toán thực tế đựơc mô hình hoá bằng ngôn ngữ toán học.
Để có lời giải gần đúng cho bất kỳ bài toán nào cũng đòi hỏi phải có các
dữ kiện của bài toán và sau đó là xây dựng mô hình bài toán. Tiếp theo là công
việc tìm thuật toán hữu hiệu nhất và cuối cùng viết chương trình để máy tính tính
toán cho ta kết quả gần đúng. Khi giải bài toán thực tế ta đều phải làm việc trực
tiếp hoặc gián tiếp với các số liệu ban đầu. Chính vì vậy, không tránh khỏi các
sai số, tuy rất nhỏ nhưng ảnh hưởng trực tiếp đến kết quả tính toán. Vì vậy cần
sử dụng các thuật toán hữu hiệu để giảm thiểu sự sai số đồng thời tiện lợi cho

việc lập trình tiết kiệm số lượng các phép tính, thời gian tính toán. Vấn đề giải
gần đúng phương trình đại số có ý nghĩa lý thuyết và ứng dụng rất lớn, là cơ sở
của môn “Giải tích số”.
Vì thế em đã chọn đề tài cho khoá luận của mình là “Giải gần đúng
phương trình đại số”.
Khoá luận được chia làm 3 phần:
Phần 1: Mở đầu
Phần 2: Nội dung
Phần 3: Kết luận

Trần Hoài Anh

1

K32 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng

PHẦN 2: NỘI DUNG
CHƢƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ
1.1.1. Số gần đúng
Ta nói rằng a là một số gần đúng của a * nếu như a không sai khác a * nhiều,
hiệu số a  a*  a là sai số thực sự của a , nếu a  0 thì a là giá trị gần đúng
thiếu, còn nếu a  0 thì a là giá trị gần đúng thừa của a * . Vì rằng a * nói chung
không biết nên cũng không biết  , tuy nhiên có thể thấy tồn tại a  0 thoả mãn
điều kiện : a*  a  a 1.1.1

Khi đó : a được gọi là sai số tuyệt đối của a .

a 


là sai số tương đối của a .
a

Rõ ràng a, a càng nhỏ càng tốt.
CHÚ Ý : Nếu xét đoạn thẳng AB có số đo a  100m và đoạn thẳng CD có số
đo b  10m với a  b  0,01m .
Khi đó  a 

0,01
0,01
; b 
100
10

Vậy b  10 a và phép đo AB chính xác của một phép đo thường được phản
ánh qua sai số tương đối.
1.1.2. Làm tròn số và sai số của phép làm tròn số
Xét một số thập phân dạng tổng quát
Trần Hoài Anh

2

K32 CN Toán

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng

a    p .10 p  ...  i .10i  ...   ps .10 ps  1.1.2 
Trong đó  j   , j, a p  0,0  a j  9
Nếu  p  s   0 thì a là số nguyên
Nếu p  s  k  k  0 thì a có phần lẻ gồm k chữ số
Nếu s   thì a là số thập phân vô hạn
Làm tròn số a là bỏ đi 1 số các chữ số bên phải của số a để được số a
gọn hơn và gần đúng với số a .
Quy tắc làm tròn : Xét số a ở dạng 1.1.2  và ta sẽ giữu lại đến bậc thứ i ,
phần bỏ đi là  thì :

a    p .10 p  ...  i1.10i1  ...  i .10i 
Trong đó :


1 i
1 i

töông
ñöông
0



.10




.10 khi  i  2l; l  
 i
2
2
i  
 töông ñöông   1 .10i    1 .10i khi   2l  1; l  
i
 i 1
2
2
Ta kí hiệu sai số của phép làm tròn là  a , như vậy a  a  a , rõ ràng

1
a  .10i .
2
Vì a*  a  a*  a  a  a  a   a , do đó khi làm tròn thì sai số tuyệt
đối tăng thêm  a .

Trần Hoài Anh

3

K32 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng

1.1.3. Chữ số có nghĩa, chữ số chắc
Xét số a ở dạng 1.1.2  nghĩa là được viết dưới dạng thập phân, khi đó
chữ số có nghĩa là mọi chữ số khác 0 và những chữ số 0 bị kẹp giữa hai số khác 0
hoặc nó là những chữ số 0 ở hàng được giữ lại.
Xét số a ở dạng 1.1.2 

a    p .10 p  ...  i .10i  ...   ps .10 ps 
Chữ số  j ở 1.1.2  của số a là số chắc nếu :
a  .10 j ; là tham số cho trước

Tham số  sẽ được chọn để sao cho một chữ số vốn là chắc thì sau khi
làm tròn vẫn là chắc, rõ ràng ai là chữ số chắc thì ai 1 cũng là chữ số chắc.
1.1.4. Sai số tính toán
Giả sử phải tìm đại lượng y theo công thức y  f  x1, x2 ,..., xn 
Gọi x*   x1* , x2* ,..., xn*  ; y*  f  x*  là giá trị đúng còn x   x1, x2 ,..., xn  ;

y  f  x  là giá trị gần đúng y * , xi  xi*  xi . Giả sử f  x1, x2 ,..., xn  là
hàm số khả vi liên tục thì :

y  y  y*  f  x1, x2 ,..., xn   f  x1* , x2* ,..., xn*    f x i . xi  xi*
n

i 1

Với f xi là đạo hàm theo xi tính tại điểm trung gian.
Vì f là khả vi liên tục , xi khá bé nên:

Trần Hoài Anh

4

K32 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng

n

y   f x i  x1 , x2 ,..., xn  xi 1.1.3
i 1

y n 
Vậy  y 

ln f xi 1.1.4 
y i 1 xi
a. Sai số của phép toán cộng trừ
n

n

i 1

i 1

Nếu y   xi thì yxi  1, vì vậy ta có : y   xi
n

Chú ý rằng : Nếu tổng đại số y   xi bé về giá trị tuyệt đối thì
i 1

y
lớn, phép
y

tính sẽ kém chính xác. Ta khắc phục bằng cách tránh công thức đưa đến hiệu quả
của hai số gần nhau.
b. Sai số của phép toán nhân, chia
n

Giả sử y 

x
i 1
n

x
i 1

i

. Áp dụng 1.1.3 và 1.1.4  ta có

p i

 y   x1  ...   xq và y  y . y
c. Sai số của phép tính lũy thừa
Xét y  x    , x  0  , khi đó  y   . x

Như vậy,
Nếu   1 thì độ chính xác là giảm đi
Nếu   1 thì độ chính xác tăng lên
Trần Hoài Anh

5

K32 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng

Nếu   1( phép nghịch đảo ) thì độ chính xác là không đổi
1
Nếu   ,k   * ( phép khai căn ) thì độ chính xác tăng lên
k

d. Sai số của phép tính logarit
Xét y  ln x , ta có y   x
1.1.5. Bài toán ngƣợc của sai số
Giả sử đại lượng y được tính theo công thức : y  f  x1, x2 ,..., xn  .
Yêu cầu đặt ra là cần tính xi như thế nào để y   , với  là cho trước.
Theo biểu thức tổng quát của sai số tính toán ta phải có :
n

y  
i 1

f
xi  
xi

Bất đẳng thức trên sẽ thoả mãn nếu xi 


n f x i

Kết luận : Nếu các biến xi có vai trò „đều nhau‟ thì ta có thể lấy xi 


n. f x i

,

khi đó y   .
1.2. SAI SỐ TUYỆT ĐỐI
1.2.1. Sai số tuyệt đối
Trong tính toán , người ta thường không biết số đúng A mà chỉ biết số gần
đúng của nó là a . Lúc đó ta nói „ a xấp xỉ A ‟ và viết "a  A" . Độ lệch h  A  a
được gọi là sai số thực sự của a .

Trần Hoài Anh

6

K32 CN Toán

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng

Nếu số xấp xỉ của A nên cũng không biết h . Tuy nhiên ta có thể tìm
được số dương a  h sao cho a  a  A  a  a . Số a bé nhất mà ta có thể
xác định được gọi là sai số tuyệt đối của a .
Nếu số xấp xỉ của A có sai số tuyệt đối là a , ta viết A  a  a 1.2.1
với nghĩa a  a  A  a  a 1.2.2
1.2.2. Sai số tƣơng đối
Tỷ số  a 

a
1.2.3 gọi là sai số tương đối của a .
a

Ta

ra

suy

a  a . a 1.2.4 .

Do

đó

1.2.1

có

thể

viết

thành: A  a 1   a 
Công thức 1.2.3 và 1.2.4  cho ta liên hệ giữa sai số tuyệt đối và sai số
tương đối.
1.3. CÁCH VIẾT SỐ XẤP XỈ
1.3.1. Chữ số có nghĩa
Một số viết ở dạng thập phân có thể gồm nhiều chữ số, nhưng ta chỉ kể các
chữ số khác 0 đầu tiên tính từ trái sang phải là các chữ số có nghĩa. Chẳng hạn số
1,35 có 3 chữ số có nghĩa ; số 0,0310 cùng có 3 chữ số có nghĩa.
1.3.2. Chữ số đáng tin
Mọi số thập phân a đều có thể viết dưới dạng
n

a   s .10s 1.3.1
s 1

Trần Hoài Anh

7

K32 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng

Trong đó  s là những số nguyên từ 0 đến 9. Chẳng hạn số 17,134 viết là :
17,134  1.101  7.10 0  1.10 1  3.10 2  4.10 3

Tức là a có dạng 1.3.1 với 1  1;0  7; 1  1; 2  3; 3  4
Chữ số  s ở 1.3.1 của chữ số a là chữ số đáng tin (chữ số chắc) nếu
a  0,5.103 . Nếu a  0,5.103 thì ta nói  s là chữ số đáng nghi.

1.3.3. Cách viết số xấp xỉ
Cho a là giá trị xấp xỉ của A với giá trị tuyệt đối a .
Cách thứ nhất là viết kèm theo sai số như ở công thức 1.2.1 .
Cách thứ hai là viết theo quy ước mọi chữ số có nghĩa đáng tin. Một số
viết theo cách thứ hai có nghĩa là nó có sai số tuyệt đối không lớn hơn một nửa
đơn vị hàng cuối cùng.
1.4. SAI PHÂN
1.4.1. Định nghĩa
Hàm số f  x  xác định trên  a, b; h  0 . Ta gọi sai phân của hàm số

f  x  tại điểm x là biểu thức kí hiệu là : f  f  x  h   f  x  .
Sai phân này còn được gọi là sai phân cấp 1 của hàm số f  x  tại điểm x .
Sai phân cấp 2 :  2 f    f 

Trần Hoài Anh

8

K32 CN Toán

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng

 2 f   f  x  2h   f  x  h     f  x  h   f  x  
 f  x  h  2 f  x  h  f  x
.
.
.
 n f     n1 f 
1.4.2. Tính chất
a. Sai phân là 1 ánh xạ tuyến tính

 k  f   g    k f    k g

 ,    ; f  f  x ; g  g  x 
b. Sai phân của đa thức bậc n là 1 đa thức bậc n  1

pn  x  : deg pn  x   n
pn  x  : deg pn  n  1
pn  x   x n
pn   x  h   x n  h  x  h 

n

n 1

  x  h

n2

x  ...  x n1 


deg pn  n  1 (đa thức bậc n  1)

m pn  đa thức bậc n  m  m  n 
m pn  c  const : n  m
m pn  0; m  n (  m pn : sai phân cấp m của đa thức bậc n )
1.4.3. Bảng sai phân

Trần Hoài Anh

9

K32 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

xi

fi

x4

f 4

GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng

f i

 2 fi

3 fi

 4 fi

5 fi

 6 fi

f 4

x3

 2 f 4

f 3
f 3

x2

 4 f 4
 2 f 3

f 2
f 2

x1

f 1
x0

f 0

x1

f1

f2
f 2

x3

 6 f 4
5 f 3

3 f 2

 6 f 3
5 f 2

3 f 1

 6 f 2
 4 f 1

 f0

5 f 1

2

f1
x2

3 f 3

 4 f 2
 2 f 1

f0

5 f 4
 4 f 3

 2 f 2

f 1

3 f 4

 2 f1

3 f 0

 4 f0

3 f1

2 f2

f3
f3

x4

f4

Trần Hoài Anh

10

K32 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng

CHƢƠNG II : GIẢI GẦN ĐÚNG PHƢƠNG
TRÌNH ĐẠI SỐ
2.1. NGHIỆM VÀ KHOẢNG TÁCH NGHIỆM
2.1.1. Nghiệm thực của phƣơng trình một ẩn
Xét phương trình một ẩn : f  x   0  2.1.1
Trong đó f là một hàm số cho trước của đối số x .
Nghiệm thực của phương trình  2.1.1 là số thực  thoả mãn  2.1.1 tức
là khi thay  vào x ở vế trái ta được f  x   0  2.1.2 
2.1.2. Sự tồn tại nghiệm thực của phƣơng trình  2.1.1

Trước khi tìm cách tính gần đúng nghiệm thực của phương trình  2.1.1 ta
phải tự hỏi xem nghiệm thực ấy có tồn tại hay không. Để trả lời ta có thể dùng
định lý sau :
Định lý 2.1- Nếu có hai số thực a và b  a  b  sao cho f  a  và f  b 
trái dấu tức là : f  a . f  b   0  2.1.3 đồng thời f  x  liên tục trên  a, b  thì ở
trong  a, b  có ít nhất một nghiệm thực của phương trình  2.1.1 .
Điều đó có thể minh hoạ trên đồ thị. Đồ thị của hàm số

y  f  x tại

a  x  b là một đường liền nối A và B ; A ở dưới, B ở trên trục hoành, nên
phải cắt trục hoành tại ít nhất một điểm ở trong khoảng từ a đến b .
Vậy phương trình  2.1.1 có ít nhất một nghiệm trong khoảng  a, b  .

Trần Hoài Anh

11

K32 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng

y

B
a

O

b

x

A

2.1.3.Khoảng tách nghiệm
Định nghĩa 2.1- Khoảng  a, b  nào đó gọi là khoảng tách nghiệm của
phương trình  2.1.1 nếu nó chứa một và chỉ một nghiệm của phương trình đó.
Để tìm khoảng tách nghiệm ta có định lý :
Định lý 2.2- Nếu  a, b  là một khoảng trong đó hàm số f  x  liên tục và
đơn điệu, đồng thời f  a  và f  b  trái dấu , tức là có  2.1.3 thì  a, b 

là một

khoảng tách nghiệm của phương trình  2.1.1 .
Điều này có thể minh họa bằng đồ thị
Đồ thị của hàm số

y  f  x cắt trục hoành tại một và chỉ một điểm

trong  a, b  . Vậy  a, b  chứa một và chỉ một nghiệm của phương trình  2.1.1

Trần Hoài Anh

12

K32 CN Toán

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng

Nếu f  x  có đạo hàm thì điều kiện đơn điệu có thể thay bằng điều kiện
không đổi dấu của đạo hàm vì đạo hàm không đổi dấu thì hàm số đơn điệu.

y

B

a
O

b

x

A

Ta có :
Định lý 2.3- Nếu  a, b  là một khoảng trong đó hàm f  x  liên tục, đạo
hàm f   x  không đổi dấu và f  a  và f  b  trái dấu thì  a, b  là một khoảng
tách nghiệm của phương trình  2.1.1 .
2.1.4.Ví dụ minh hoạ
Cho phương trình f  x   5 x3  3x  1  0
Hãy tìm khoảng tách nghiệm của phương trình
Giải

Trần Hoài Anh

13

K32 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng

Xét sự biến thiên của hàm số f ( x)
TXĐ: 
f   x   15 x 2  3

f   x   0 suy ra 15 x 2  3  0 suy ra x  

1
5

Bảng biến thiên
x



f  x





1
5

0

1
5



0

2 5
5

f  x






2  5
5



Vậy đồ thị cắt trục hoành tại một điểm duy nhất , do đó phương trình có

một nghiệm thực duy nhất, kí hiệu nó là  .
Ta tính thêm

f  0   1
 suy ra f  0. f 1  0
f 1  1 
Vậy 0,1 chứa nghiệm của phương trình.

Trần Hoài Anh

14

K32 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng

Vậy phương trình có một nghiệm thực duy nhất  , và có khoảng tách
nghiệm là 0,1 .

y

1/ 5

0

1/ 5

α
x

2.2. PHƢƠNG PHÁP ĐỒ THỊ
2.2.1 Phƣơng pháp
Xét phương trình f  x   0  2.2.1
f ( x) là hàm số liên tục.

Giải phương trình  2.2.1 bằng phương pháp đồ thị là ta đi vẽ đồ thị hàm
số y  f ( x) .Nghiệm của phương trình là hoành độ
y  f ( x) với trục hoành hoặc giải phương trì nh

giao điểm của đồ thị
(2.2.1) ta biến đổi như

sau : f ( x)  0 tương đương h  x   g  x  (2.2.2).

Trần Hoài Anh

15

K32 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng

Giải phương trình (2.2.2) ta đi vẽ 2 đồ thị

y  h( x) ; y  g ( x) trên

cùngmột hệ trục tọa độ . Nghiệm của phương trì nh (2.2.2) là hoành độ giao điểm
của hai đồ thị y  h( x) và y  g ( x) .
2.2.2. Ví dụ
Giải phương trì nh bằng phương pháp đồ thị 5x3  3x  1  0
Giải
Ta có 5 x3  3x  1  0 tương đương 5 x3  3x  1
Vẽ 2 đồ thị hàm số y  5x3 ; y  3x  1 trên cùng một hệ trục tọa độ.
y

5

5/
-1 8
0

x
1/2 1

-5

Trần Hoài Anh

16

K32 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng

2.3. PHƢƠNG PHÁP CHIA ĐÔI
2.3.1. Phƣơng pháp chia đôi
Xét phương trình f ( x)  0 (2.3.1)
Giả sử  a, b  là khoảng tách nghiệm của phương trình (2.3.1).
Giải phương trình (2.3.1) bằng phương pháp chia đôi là phương pháp làm
co hẹp dần khoảng cách nghiệm của phương trì nh (2.3.1).
Giả sử f (a)  0 , f (b)  0 .
Trước hết, ta chia đôi khoảng  a, b  , điểm chia c 

ab
.
2

Rõ ràng khoảng tách nghiệm mới sẽ là  a, c  hay  c, b  .Ta tí nh f (c) , nếu
f (c) = 0 thì c  x* là một nghiệm của phương trì nh f ( x)  0 .

Thường thì f  c   0 , lúc đó ta so sánh dấu của

f (c) và f ( a ) để suy ra

khoảng tách nghiệm thu nhỏ.
i, Nếu f (c) trái dấu f (a ) thì khoảng tách nghiệm thu nhỏ là  a, c  .
ii, Nếu f (c) cùng dấu f (a ) thì khoảng tách nghiệm thu nhỏ là  c, b  .
Như vậy, sau khi chia đôi khoảng
nhỏ là  a, c  hay  c, b  . Kí hiệu là
nửa

 a, b  tức là b1  a1

Trần Hoài Anh



 a, b 

ta được kho ảng tách nghiệm thu

 a1, b1  , nó nằm tro ng  a, b 

và chỉ dài bằng

1
(b  a) .
2

17

K32 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng

Tiếp tục chia đôi khoảng

 a1, b1 

và làm như trên ta sẽ được khoảng tách

nghiệm thu nhỏ mới . Kí hiệu là  a2 , b2  ; nó nằm trong  a1, b1  và chỉ dài bằng
nửa  a1, b1  tức là b2  a2 

1
1
(b1  a1 )  2 (b1  a1 ) .
2
2

Lặp lại việc làm trên đến lần thứ

n ta được khoảng tách nghiệm thu nhỏ

thứ n , kí hiệu là  an , bn  ; nó nằm trong  a, b  và chỉ dài bằng
là bn  an 

1
của  a, b  tức
2n

ba
.
2n

Ta có bn  an 

ba

 0 khi n  
2n

Dễ dàng thấy rằng , dãy an  đơn điệu tăng , bị chặn trên bởi b , còn dãy

bn  đơn điệu giảm và bị chặn dưới bởi a . Hơn nữa do

bn  an 

ba
 0 suy ra
2n

an , bn  r khi n   .
Vì f (a). f (b)  0 , cho n   ta có [ f (r )]2  0 .
Suy ra f (r ) = 0 tức r là nghiệm của phương trình (2.3.1).
Do đó, nghiệm xấp xỉ xn có thể được lấy theo công thức : xn 

an  bn
2

2.3.2. Ví dụ minh họa
Giải phương trình 5 x3  3x  1  0 bằng phương pháp chia đôi với n  10
Giải

Trần Hoài Anh

18

K32 CN Toán

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng

Ta có f  x   5 x3  3x  1
f   x   15 x 2  3

f   x   0suy ra15 x 2  3  0
suy ra x  

1
5

Bảng biến thiên
x



f  x





1
5

0

1
5



0

2 5
5

f  x







2  5
5

Nhận xét: Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy f  x  chỉ cắt trục Ox tại duy
nhất 1 điểm nên phương trình đã cho luôn có nghiệm thực duy nhất .
Ta lại có

f  0   1
 suy ra f  0  . f 1  0
f 1  1 
Vậy khoảng tách nghiệm của phương trình đã cho là 0,1

Trần Hoài Anh

19

K32 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng

 Bằng phương pháp chia đôi tìm nghiệm của phương trình
Chia 0,1 bằng điểm chia c 

0 1
 0,5
2

Ta có f  c   1,875  0
Đặt a1  0,5; b1  1

0,5  1
 0,75
2

Chia  a1, b1  bằng điểm chia c1 
Ta có f  c1   1,140625  0
Đặt a2  0,75; b2  1

Chia  a2 , b2  bằng điểm chia c2 

0,75  1
 0,875
2

Ta có f  c2   0,275390625  0
Đặt a3  0,875; b3  1

0,875  1
 0,9375
2

Chia  a3 , b3  bằng điểm chia c3 
Ta có f  c3   0,307373046  0
Đặt a4  0,875; b4  0,9375
Chia  a4 , b4  bằng điểm chia c4 

0,875  0,9375
 0,90625
2

Ta có f  c4   2,71606447.103  0

Trần Hoài Anh

20

K32 CN Toán

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng

Đặt a5  0,875; b5  0,90625

0,875  0,90625
 0,890625
2

Chia  a5 , b5  bằng điểm chia c5 
Ta có f  c5   0,139598846  0
Đặt a6  0,890625; b6  0,90625
Chia  a6 , b6  bằng điểm chia

c6 

0,890625  0,90625
 0,8984375
2

Ta có f  c6   0,069263935  0
Đặt a7  0,8984375; b7  0,90625
Chia  a7 , b7  bằng điểm chia

c7 

0,8984375  0,90625
 0,90234375

2

Ta có f  c7   0,033480465  0
Đặt a8  0,90234375; b8  0,90625
Chia  a8 , b8  bằng điểm chia

c8 

0,90234375  0,90625
 0,904296875
2

Ta có f  c8   0,015433944  0
Đặt a9  0,904296875; b9  0,90625
Trần Hoài Anh

21

K32 CN Toán