Giải tích ma trận và ứng dụng trong lý thuyết hệ phương trình vi phân tuyến tính

Lời cảm ơn

Sau một thời gian miệt mài nghiên cứu cùng sự giúp đỡ của các thầy cô giáo
và các bạn sinh viên đến nay khóa luận đà được hoàn thành.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến Thạc Sỹ Phùng Đức
Thắng đà hướng dẫn và giúp đỡ em tận tình trong quá trình chuẩn bị và
hoàn thành khóa luận.
Em xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toán đà tạo điều kiện cho
em có cơ hội để tập dượt với việc nghiên cứu khoa học. Đồng thời em xin
chân thành cám ơn sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô trong tổ giải tích, sư
động viên giúp đỡ, đóng góp ý kiến của bạn bè đà dành cho em trong quá
trình học tập và hoàn thành khóa luận.
Vì đây là lần đầu tiên em được làm quen với công việc nghiên cứu và kiến
thức của bản thân còn hạn chế nên không thể tránh khỏi những thiếu sót.
Em rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên
để khóa luận của em được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên
Phạm Thị Tuyết


Lời cam đoan

Em xin cam đoan khóa luận là công trình nghiên cứu của riêng em.
Trong khi nghiên cứu, em đà kế thừa những thành quả nghiên cứu của các
nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn.
Những kết quả nêu trong khóa luận chưa được công bố trên bất kì công trình
nào khác.

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên
Phạm Thị Tuyết


Mục lục
Lời cảm ơn
Lời cam đoan
Mở đầu ......... 1
Nội dung
Chương 1 : Giải tích ma trận ............ 3
1.1 Không gian vectơ ................ 3
1.1.1 Định nghĩa không gian vectơ ...................... 3
1.1.2 Hệ vectơ độc lập tuyến tính và hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính .......... .4
1.1.2.1 các định nghĩa ....... ……..4
1.1.2.2 mét sè tÝnh chÊt………………………………………….. .............. …5
1.1.3 C¬ së và số chiều của không gian vectơ .................. 5
1.2 Ma trận, định thức của trận và toán tử tuyến tính. ..... 6
1.2.1 Ma trận .............. 6
1.2.2 Định thức ma trận... .................. 11
1.2.3 Toán tử tuyến tính .................. .13
1.2.4 Định lý cơ bản trong lý thuyết ma trận. .................13
1.3 Không gian định chuẩn. ............... .16
1.3.1 Định nghĩa chuẩn và không gian định chuẩn .................. .16
1.3.2 Không gian định chuẩn của các ma trận vuông cấp n. ........ 17
1.3.3 Các tính chÊt vỊ chn cđa ma trËn A …………………………........... .19
1.3.4 Sù hội tụ trong không gian định chuẩn ...................... 20
1.3.4.1 sự hội tụ của một dÃy điểm ................. .20
1.3.4.2 chuỗi trong không gian định chuẩn ................ .20
1.4 Sự hội tụ trong không gian định chuẩn Mat n n, K  …………… .......... …21
1.4.1 Sù héi tơ cđa d·y ma trËn ………………………………… … ............. .21

1.4.2 Sự hội tụ của chuỗi trong không gian định chuÈn Mat  n  n, K  ….. ......... 22
1.5 Ma trận mũ .............23
1.5.1 Định nghĩa ma trận mũ ……………………………………… ..............23
1.5.2 Mét sè tÝnh chÊt ma trËn mò………………………… .......................... .28
1.6 Ma trận logarit ................ .30
Chương 2 : Giải tích ma trận và ứng dụng trong lý thuyết hệ phương
trình vi phân tuyến tính .....................34
2.1 Lý thuyết tổng quát về hệ phương trình vi phân tuyến tính. ............ .34
2.1.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất .................. ..34
2.1.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất .................37
2.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính với hƯ sè h»ng………… ...................... 40
2.2.1 CÊu tróc cđa ma trËn cơ bản . ......................... 40
2.2.2 Công thức biến thiên hằng số ....................... ..42
2.2.3. công thức biến thiên hằng số
2.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số tuần hoàn ................ .45
2.3.1 Định nghĩa ............................... .45
2.3.2 Ma trận cơ bản ..................................46
2.3.3 Cấu trúc nghiệm của hệ tuần hoàn ................................... ..48
2.4 Các hệ khả quy ................................... ….50
2.4.1 Ma trËn Liapunop…………………………… ..................................... .50
2.4.2 CÊu tróc nghiƯm cđa hệ khả quy .................................. 51
Kết luận ....................................................................... 53
Tài liƯu tham kh¶o……………… ........................................................... ..54


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết hệ phương trình vi phân là một trong những công cụ của toán

học. Và hệ phương trình vi phân tuyến tính là một lý thuyết quan trọng
trong lý thuyết phương trình vi phân. Bởi lẽ các phương trình vi phân bậc
cao đều có thể đưa về một hệ các phương trình vi ph©n tun tÝnh. ViƯc thĨ
sư dơng ma trËn ma trËn mũ để trình bày lý thuyết hệ phương trình vi phân
tuyến tính cho ta những công thức biểu diễn nghiệm của hệ, những kết quả
rất gọn, rất đẹp.
Với mong muốn là hiểu hơn về lý thuyết phương trình vi phân nói chung và
lý thuyết hệ phương trình vi phân tuyến tính nói riêng và để tiếp cận vấn đề
này, được sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy Phùng Đúc Thắng em đà chọn
đề tài này.
2. Mục đích nghiên cứu
- Tìm hiểu các kiến thức về :
+ Không gian vectơ, ma trận và định thức của ma trận, không gian
định chuẩn, toán tử tuyến tính
+ Giải tích ma trận
- Làm rõ giải tích ma trận và ứng dụng trong lý thuyết hệ phương
trình vi phân tuyến tính.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu : kiến thức giải tích ma trận và hệ phương trình vi
phân tuyến tính Phạm vi nghiên cứu: kiến thức cơ bản về hệ phương trình

1


vi phân tuyến tính thuần nhất, không thuần nhất, hệ phương trình vi phân
tuyến tính với hệ số hằng, với hệ số tuần hoàn, các hệ khả quy.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày lý thuyết về cơ bản về giải tích ma trân và hệ phương trình vi
phân tuyến tính.
5. Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sử dụng các lý luận, các công cụ toán học.
Nghiên cứu các sách tham khảo, các tài liệu liên quan.
Nghiên cứu lý luận tổng hơp đánh giá.
6. Cấu trúc khóa luận
Gồm 3 phần:
Phần I: Mở đầu
Phần II: Nội dung
Gồm 2 chương
Chương 1 : Giải tích ma trận
Chương 2 : Giải tích ma trận và ứng dụng trong lý thuyết hệ phương
trình vi phân tuyến tính.
Phần III: KÕt luËn.

2


CHƯƠNG 1
GIảI TíCH MA TRậN
1.1. Không gian vectơ
1.1.1. Định nghĩa không gian vectơ
Định nghĩa 1.1.1. Cho V là một tập khác rỗng mà các phần tử của nó ta ký
 

hiƯu lµ  ,  ,  ….vµ K là một trường. Giả sử V được trang bị hai phÐp to¸n
gåm:
a) PhÐp céng  : V*V  V
 





( ,  )   + 
b) PhÐp nh©n * : K*V  V




( , )   

Tháa m·n những điều kiện (hoặc các tiên đề ) sau đây :
     
T

 1          

   
 T2   0 V : 0      0


 ' '  
'
 T3    V,    V :         0
     
 T4         ,  ,   V



T









,  ,   K
 5 

 


 
 T6           ,   K ,  ,   V



 T7      .  ,  ,   K ,   V
 
 T8  1. ,   V









 
 

Khi ®ã V cïng víi hai phÐp toán đà cho được gọi là một không gian vectơ
trên trường K hay K không gian vectơ ( gọi tắt là không gian vectơ).

3


Các phần tử của K gọi là các vô hướng , các phần tử của V gọi là các
vectơ
Phép cộng " " gọi là phép cộng vectơ, phép nhân "* " gọi là phép nhân
vectơ với vô hướng.
Khi K

thì V được gọi là không gian vectơ thực , khi K

thì V

được gọi là một không gian vectơ phức.
1.1.2. Hệ vectơ độc lập tuyến tính và hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính
1.1.2.1. Các định nghĩa
Định nghĩa 1.1.2. Cho K là không gian vectơ V .


a) Một tổ hợp tuyến tính của các vectơ 1 , 2 ,, n V là một biểu
n

thức dạng:

i i = 11 + 2 2 +…+ n n trong ®ã 1 , 2 , 3 ,…   K
n

i 1







b) Víi mäi    V, nÕu  = 11 + 2  2 +…+ n  n th× ta nói vectơ


được biểu thị tuyến tính được qua hƯ vect¬ ( 1 ,  2 ,……,  n ) và đẳng thức





= 11 + 2 2 ++ n n được gọi là một biểu thị tuyến tính của qua

các vectơ 1 , 2 ,, n

Định nghĩa 1.1.3. ( Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính )
Trong không gian vect¬ V
 

a) HƯ vect¬ ( 1 ,  2 ,, n ) ( n *) được gọi là độc lập tuyến tính



nếu hệ thức 11 + 2  2 +…+ n  n = 0 chØ xÈy ra khi
1  2  ...  n  0
 

b) HƯ vect¬ ( 1 ,  2 ,……, n ) ( n *) được gọi là phụ thuộc tuyến tính

nếu nó không độc lập tuyến tính.

4


1.1.2.2. Mét sè tÝnh chÊt
 

TÝnh chÊt 1. HƯ vect¬ ( 1 ,  2 ,……,  n ) (n *) được gọi là phụ thuộc
tuyến tính khi và chỉ khi các vô hướng 1 , 2 , 3 , không đồng thời bằng
n

0 sao cho

11 + 2  2 +…+ n  n = 0


TÝnh chÊt 2. HƯ gåm mét vect¬ (  ) phơ thc tuyÕn tÝnh khi vµ chØ khi




 =0


 
TÝnh chÊt 3. Víi n >1, hƯ vect¬ ( 1 ,  2 ,……,  n ) ( n  *, n >1) được gọi

là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi một vectơ nào đó của hệ biểu thị
tuyến tính qua các vectơ còn lại của hệ.
Tính chất 4. Mỗi hệ vectơ con của một hệ vectơ độc lập tuyến tính cũng là
một hệ vectơ độc lập tuyến tính.
Tính chất 5. Mỗi hệ vectơ chứa một hệ con phụ thuộc tuyến tính cũng là
một hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính .

Nói riêng, mỗi hệ vectơ chứa vectơ 0 đều phụ thuộc tuyến tính.

Tính chất 6. Giả sử hệ vectơ ( 1 ,  2 ,……,  n ) ( n *) được gọi là độc


lập tuyến tính. Lúc ®ã,hƯ vet¬ ( 1 ,  2 ,……,  n ,  ) phơ thc tun tÝnh
 


khi vµ chØ khi vectơ biểu thị tuyến tính qua hệ ( 1 ,  2 ,……,  n ). Trong

tr­êng hỵp đó, biểu thị tuyến tính là duy nhất.
1.1.3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ
Định nghĩa 1.1.4. Một hệ vectơ của V được gọi là hệ sinh của V nếu mọi
vectơ của V đều biểu thị tuyến tính qua hƯ ®ã.

5


Định nghĩa 1.1.5. Một hệ vectơ của V được gọi là cơ sở của V nếu mọi
vectơ của V đều biểu thị tuyến tính duy nhất qua hệ này.
Định nghĩa 1.1.6. Không gian vectơ V được gọi là hữu hạn sinh nếu nó có
một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử.
Định nghĩa 1.1.7.


a) Số vectơ trong mỗi cơ sở của K - không gian vectơ hữu hạn sinh V 0
được gọi là số chiều của V trên trường K và kí hiệu là dim V hay rõ hơn
dim K V


NÕu V = 0 ta quy ­íc dim V  0

b) Nếu V không có cơ sở nào gồm hữu hạn phần tử thì nó được gọi là
không gian vectơ vô hạn chiều.
1.2. Ma trận ,định thức của ma trận và toán tử tuyến tính
1.2.1. Ma trận
Định nghĩa 1.2.1. Cho K là một trường tùy ý. Một bảng gồm m.n phần tử
aij thuộc trường K có dạng

a11

a21
...

a m1


a12 a13 .... a1n 

a 22 a 23 .... a2 n 
... ... .... ... 

am 2 a m 3 .... amn 

 i  1, m, j  1, n được gọi là một
a a ... a i 1, m

được gọi là ma trận kiểu (m.n) . Mỗi
thành phần của ma trận. Vectơ dòng

(1.1)

ij

i1

được gọi là dòng thứ i của ma trËn.

6

12

im


Vect¬ cét

 a ij 


 a2 j 
 ... 


a
mj

j 1, n

được gọi là cét thø j cđa ma trËn.
Ta th­êng kÝ hiƯu ma trận bởi các chữ A, B , Ma trận (1.1) có thể được
ký hiệu đơn giản bởi A = ( aij ) mn . Ta cịng nãi A lµ ma trận có m dòng, n

cột.
Khi m n thì ma trận A =( aij ) nn được gọi la ma trận vuông cấp n và ký
hiệu đơn giản là A =( aij ) nn .
Tập hợp tất cả các ma trận kiểu m, n với các phần tử thuộc trường K được
kí hiệu là Mat m n, K
Định nghĩa 1.2.2. Cho A = ( aij ) mn , B =( bij ) mn lµ hai ma trËn cïng thuéc
Mat  m  n, K  vµ

K .
Ta gäi lµ tỉng hai ma trËn A vµ B mét ma trËn C = ( c ij ) mn xác định bởi
cij = aij + bij

i  1, m, j  1, n 

vµ kÝ hiƯu lµ C  A  B
Ta gäi lµ tÝch cđa ma trận A với vô hướng là một ma trận D =( dij ) mn
xác định bởi

7


 i  1, m, j  1, n 

dij =  . aij

vµ kÝ hiƯu lµ D =  A
Nh­ vËy A  B =  aij  bij 

,  A = (  aij ) mn .

mn

MÖnh ®Ị 1.2.1. TËp hỵp Mat  m  n, K với với phép cộng hai ma trận và
phép nhân một ma trận với một vô hướng lập thành không gian vectơ trên
trường K có số chiều là dim Mat  m  n, K   m  n
PhÇn tư trung lËp cđa phÐp céng trong Mat  m  n, K  lµ ma trËn
0
0
 =
 ...

0

0
0
...
0

...
...
...
...

0 
0
.
...

0

Định nghĩa 1.2.3. Cho ma trận A =( aij )  Mat  m  n, K  vµ ma trËn
B = ( bij )  Mat  n  p, K 

Ta gäi lµ tÝch cđa ma trËn A víi ma trËn B mét ma trËn
C =( cik )  Mat  n  p, K 

mµ phần tử được xác định bởi
n

cij = aij.b jk  i  1, m, k  1, p 
j 1

và kí hiệu là C A.B .
Mệnh đề 1.2.2. Víi mäi ma trËn A, B, C vµ víi  K , các đẳng thức sau là
đúng theo nghĩa: nếu một vế được xác định vế kia cũng vậy vµ hai vÕ b»ng
nhau:

8


C  A  B   CA  CB
 AB  C  A  BC  ;
 A  B  C  AC  BC;   AB   A   B 

MƯnh ®Ị 1.2.3. Tập hợp Mat m n, K các ma trận vuông cấp n cùng với
hai phép toán cộng và nhân ma trận lập thành một vành có đơn vị. Vành này
không giao hoán khi n 1 .
Phần tử đơn vị của vành Mat m n, K  lµ ma trËn
1
0

En  
 ...

0

0 ... 0 
1 ... 0 
... ... ... 

0 0 1

Ta gäi En là ma trận đơn vị cấp n .
Định nghĩa 1.2.4. Ta gäi ma trËn vu«ng A  Mat  m n, K là một ma trận
khả nghịch( hay là một ma trận không suy biến ) nếu cã ma trËn vu«ng
B  Mat  m  n, K  sao cho A.B  B. A  En . Khi đó B được gọi là ma trận

nghịch đảo cđa ma trËn A vµ kÝ hiƯu lµ B  A1 . Nếu A là ma trận khả
nghịch thì ma trận nghịch đảo của nó là duy nhất.
Định nghĩa 1.2.5. Cho hai ma trận vuông A và A cùng thuộc
Mat  m  n, K  . Ta b¶o hai ma trận A và A đồng dạng nếu có một ma trận

khả nghịch C Mat m n, K  sao cho A ’= C 1 AC .
Dễ thấy rằng quan hệ đồng dạng trong Mat m n, K là quan hệ tương
đương.
Định nghĩa 1.2.6. Cho

9


A   aij 

mn

a 

Ma trËn

ij nm

a12
...
a1n 
 a11


a21 a22
...
a2 n 


... ...
...
... 


 am1 am 2 ...

a
mn 


... am1 
 a11 a21


a12 a22
... am 2 


... ...
... ...


a1n a2 n

...
a
mn


Được gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A , hiệu là A t . Rõ ràng , A t
nhận được bằng cách đổi các dòng ma trận A thành cột
t

t

t

Ta có : At   A ;  A  B   At  B t ;  AB   B t . At .
Định nghĩa 1.2.7 ( Về phép thế )

Ta gọi mỗi song ánh từ tập 1, 2..., n lên chính nó là một phép thế bậc n .
Tập hợp tất cả các phép thế bậc n với phép lấy tích ánh xạ lập thành một
nhóm kí hiệu là Sn . Ta gọi nhóm này là nhóm đối xøng bËc n . Nã cã n!
phÇn tư.
Víi mäi    n ta th­êng viÕt

1

 
(1)

2 ...
(2) ...

n 
(n) .

Định nghĩa 1.2.8 ( Dấu của phép thế )
Với n  1 , ta gäi cỈp sè i, j  1, 2,..., n lµ mét nghich thÕ cđa phÐp thÕ 
nÕu  (i)   ( j ) tr¸i dÊu víi i  j , nghÜa lµ

10

 (i )   ( j )
i j

0 .


Ta bảo phép thế là phép thế chẵn hay lẻ tùy theo số nghịch thế của nó là

chẵn hay lẻ.
Ta gọi là dấu của phép nghịch thế , mét sè, kÝ hiƯu lµ sgn ( ) cho bëi
nÕu là phép thế chẵ n
1
sng ( )
nếu là phép thế lẻ
1

Mệnh đề 1.2.4. Với mọi  ,   Sn ta ®Ịu cã
sgn( . ) sgn( ) sgn( )

1.2.2. Định thức của ma trận
Định nghĩa 1.2.9. ( Định thức của ma trận)
Cho A (aij ) mn . Ta gọi là định thøc cđa ma trËn A mét phÇn tư thc
tr­êng K , kÝ hiƯu lµ det A , cho bëi
det A 

 sng  .a   .a   ...a
11

2 2

n n

Sn

Khi đó det A cũng được gọi là một định thức cấp n và nó còn được kí hiệu là
A hay

a11

a12 ...

a1n

a 21

a 22 ...

a2 n

...
a n1

... ...
a n 2 ...

...
a nn

Định lý 1.2.1. ( Định thøc cđa ma trËn chun vÞ )
Ta cã det A t = det A víi mäi A  Mat  m  n, K 

11


Định nghĩa 1.2.10. ( Định thức con và phần bù ®¹i sè )
Cho A =( aij ) Mat  m n, K . Nếu chọn k dòng và k cét cña A ( 1  k  n )
thì định thức M của ma trận vuông cấp k gồm các thành phần nằm ở giao
của k dòng và k cột này được gọi là một định thức con cấp k của ma trận A.

Định thức M của ma trận vuông cấp n-k nhận được sau khi xóa đi k dòng
và k cột đó được gọi là định thức con bù của định thức con M .
Nếu k dòng ®· chän lµ i 1 , . . . , i k và k cột đà chọn là j1 ,..., jk th× ta gäi
k

i  j
  1 q 1 q q .M '

là phần bù đại số của định thức con M .
Định lý 1.2.2. Cho A =( aij )  Mat  m  n, K . Gọi Aij là phần bù đại số của
phần tư aij
Khi ®ã
det A  ai1 Ai1  ai 2 Ai 2  ...  ain Ain

(1.2)

det A  a1 j A1 j  a2 j A2 j  ... anj Anj

(1.3)

và ta cũng có

Công thức (1.2) gọi là công thức khai triển det A theo dòng i. Công thức
(1.3) gọi là công thức khai triển det A theo cột j.
Định lý 1.2.3. ( Định lý Laplace )
Cho A (aij )nn . Giả sử trong A đà chọn ra k dòng (cột) cố định với
1 k n  1 . Gäi M 1 , M 2 ,..., M r là tất cả các định thức con cấp k thiết lập được

từ k dòng (cột) và A1 , A2 ,..., Ar là phần bù đại số tương øng cđa chóng th× ta cã
det A  M 1 A1 ...M r Ar .

Định lý 1.2.4. Giả sử A, B  Mat (n  n, K ) . Khi ®ã:

12


a) det(A.B)=detA.det B
b) A khả nghịch khi và chỉ khi detA 0. Hơn nữa, ta còn có
det A1

1
det A

1.2.3. Toán tử tuyến tính
Định nghĩa 1.2.11 . ( Định nghĩa toán tử tuyến tính)
Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường P ( P , P

). ánh

xạ A từ không gian X vào không Y gian gọi là tuyến tính nếu ánh xạ A
thỏa mÃn các điều kiện :
1) ( x, x '  X ) A( x  x ')  Ax  Ax ' .
2)  x  X    P  A x   Ax .
Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính. Khi toán tử chỉ thỏa
mÃn điều kiện 1) thì A gọi là toán tử thuần nhất. Khi Y P thì toán tử tuyến
tính A thường gọi là phiếm hàm tuyến tính.
Định nghĩa 1.2.12. Cho không gian định chuẩn X và Y . Toán tử tuyến tính
A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn, nÕu tån t¹i h»ng sè C
sao cho Ax  C x , x X

(*)

Định nghĩa 1.2.13. Cho X là một toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian
định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y . Hằng sè C >0 nhá nhÊt tháa
m·n (*) gäi lµ chuÈn của toán tử A và kí hiệu là A
1.2.4. Định lý cơ bản trong lý thuyết ma trận
Giả sử cho f là một phép biến đổi tuyến tính của không gian n chiều R n
trên trường

vào chính nó
f : Rn  Rn

13


LÊy h  h1 , h2 ,..., hn  lµ một cơ sở của không gian R n
n

Khi đó f (hk )   aij

(k  1, 2,..., n) ta gäi ma trËn A  (a jk ) lµ ma trận

j 1

của phép biến đổi f ( đối với cơ së h ®· cho)
Nh­ vËy a jk   f (hk )  j
n

NÕu x    k hk là một vectơ tùy ý thuộc R n thì ta cã
k 1

n

n

y  f ( x)   j h j víi  j   a jk k
k 1

( j 1, 2,..., n)

k 1

Định lý 1.2.5. Đối với bÊt kú phÐp biÕn ®ỉi f trong R n tån tại một cơ sở sao
cho ma trận A của phép biến đổi f có dạng
K1
0

A ....

0

0

....

0
K 2 .... 0 
.... .... .... 

0 0 K p 

Trong ®ã Ki  (i )(i  1, 2,..., p ) hay
1
0

Ki  ...

0
0


1

i
...
0
0

0 ... 0 
1 ... 0 
... ... ...

0
1
0
i

( tức là các phần tử thuộc đường chéo chính đều bằng i và kề trên đều bằng
1, các phần tử khác đều bằng 0. Cấp của ma trận này ta kí hiệu là ni )
Dạng trên đây được gọi là dạng chính tắc Joocđăng ( Jordan) cña ma trËn A.

14


♦ Chó ý
1. Víi bÊt kú ma trËn vu«ng B nào cũng tồn tại ma trận vuông S
không suy biến sao cho SBS 1 A trong đó A là ma trận dạng
chính tắc Jordan.
2. Ma trận A đồng dạng víi ma trËn J d¹ng
 J0
0
J 
...

0

0

...

J1 ...
...

...

0

...

0

0 
... 

Js 

Trong ®ã
0
0
J0  
...

0

0

1
...
0

...

0
... 0 
,
... ... 

0 q 

q 1


0
Ji  
...

0

1

0 ...

q 1 1 ...
...

... ...

0

...

0

0



0 
... 

q 1

(i 1, 2,..., s ) ở đây j ( j  1,2,..., q  s ) lµ các số riêng của ma trận A không

nhất thiết phải kh¸c nhau.
NÕu  j ( j  1,2,..., q  s ) là các số riêng đơn thì chỉ gặp nó trong J 0
Đặc biệt, nếu các j ( j 1,2,..., n) khác nhau thì ma trận A ®ång d¹ng víi
ma trËn chÐo
0
0
J0  
...

0

0

1
...
0

Ma trËn J i cã d¹ng J i  q i Eri  Z i

15

...

0
... 0 
... ... 

0 n 

Trong đó J i là ma trận vuông cấp ri vµ
0 1
0 0

Z i  ... ...

0 0
0 0

0
1
...
0
0

0
... 0 
0


... 0

...
... ...  , Z i2  

0
... 1 
0

... 0 

0

0
0
...
0
0
0

1 0 ... 0 
0 1 ... 0 

... ... ... ... 

... ... ... 1 
... ... ... 0 

... ... ... 0 

Tøc so víi Z i đường chéo đơn vị trong Z i2 bị dịch về bên phải một đơn vị,
còn các phần tử còn lại đều bằng không.
Suy ra Z iri và ta nãi Z i lµ ma trËn lịy linh. NghÜa là một lũy thừa nào đó
của ma trận này là ma trận không.
1.3. Không gian định chuẩn
1.3.1. Định nghĩa chuẩn và không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.3.1. Ta gọi không gian định chuẩn ( hay không gian tuyến
tính định chuẩn ) mọi không gian tuyến tính X trên trường P ( P , P
cùng với một ánh xạ tõ X vµo tËp sè thùc

, kÝ hiƯu . ( đọc là chuẩn),

thỏa mÃn các tiên đề sau :
1) x  X  x  0, x  0 x ( kí hiệu phần tử không lµ  ).
2)  x  X    P   x   x .
3) ( x, y  X ) x  y  x  y .
Số x gọi là chuẩn của vectơ x . Ta cũng kí hiệu không gian định chuẩn
là X.
Các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề chuẩn.

16

)


Định lý 1.3.1. Cho không gian định chuẩn X. Đối với hai vectơ bất kỳ x, y
ta đặt
d ( x, y )  d ( x, y ) = x y

Khi đó d là một metric trên X.
1.3.2. Không gian định chuẩn của ma trận vuông cấp n.
Định nghĩa ( Không gian định chuẩn các ma trận vuông cấp n)
Định nghĩa 1.3.2. ( Chuẩn của ma trận A)
Trong Mat (n  n, K )( K  , K  ) . Ta xác định chuẩn của ma trận
A (aij ) nn  Mat (n  n, K ) bëi c«ng thøc
n

A   aij

(1.4)

i , j 1

NÕu x  ( x1 , x2 ,..., xn ) lµ mét vectơ của không gian n chiều thì ta có thể xem
nh­ mét ma trËn n hµng, 1 cét vµ do đó
n

x xj
j 1

+ Ta chứng minh được công thức (1.4) cho ta một chuẩn trên không gian
Mat n  n, K  .
. :

ThËt vËy

Mat  n  n, K  
n

A  A   aij
i, j

Víi mäi ma trËn A   aij   Mat  n  n, K  th× aij  (i  1, n , j  1, n) .
n

Suy ra

n

a

ij

i , j 1



hay A

a

ij



. Vậy ánh xạ . được hoàn toàn xác

i , j 1

định.

17


+ Kiểm tra các tiên đề chuẩn
Tiên đề 1. ( A  Mat  n  n, K 
n

* A 

a

ij

0.

i , j 1

n

* A  0   aij  0
i , j 1



 aij  0 i  1, n, j  1, n



 aij  0 i  1, n, j  1, n





 A   n ( n : phần tử không của Mat n n, K )

Tiên đề 2 . ( A  Mat  n  n, K  ,   K
n

n

n

 A    aij    aij  
i , j 1

i , j 1

a

ij

 A

i , j 1

Tiên đề 3. ( A, B Mat  n  n, K  , A  (aij ), B  (bij ) )
n

n





n

n

A  B   aij  bij   aij  bij   a   b  A  B
i , j 1

i , j 1

i , j 1

i , j 1

Vậy (1.4) xác định cho ta một chuẩn trên không gian tuyến tính
Mat (n n, K ) .

Định nghĩa 1.3.3. ( Không gian định chuẩn các ma trận vuông cấp n )
Không gian tuyến tính các ma trận vuông cấp n cùng với chuẩn xác định
bởi công thức (1.4) gọi là không gian định chuẩn các ma trận vuông cÊp n .
KÝ hiÖu Mat (n  n, K )

18


1.3.3. C¸c tÝnh chÊt vỊ chn cđa ma trËn A
n

Víi A, B  Mat  n  n, K  , A  (aij ), B  (bij ) ; x   x i 1 ta cã:
1. A  B  A  B .
2. AB  A  B .
3. Ax  A . x
Chøng minh
+ TÝnh chÊt (1) đà chứng minh như ở trên.

+ Tính chất (2)
n



Đặt C  AB   c nn . Trong ®ã cik   aij.b jk i  1, n, k  1, n



j 1

n

n

C   cik  
i ,k 1

n

n

a b

i , k 1 j 1

ij jk

n

n

n

   aijb jk    aij . b jk
i , k 1 j 1

i , k 1 j 1

 n
 n
   aij   b jk
 i , j 1  j ,k 1
 A.B


 VËy ta cã


C  A . B hay AB  A . B .

+ TÝnh chÊt (3)
Víi x  ( x1 , x2 ,..., xn ) hay viÕt d­íi d¹ng ma trËn
 x1 
 
x
x 2
 ... 
 
 xn 

n





Do ®ã Ax là một vectơ n hàng, 1 cột Ax di  : d i   aij.x j i  1, n .
j 1

19


VËy
n

n

n

n

n

 n
 n

Ax    aij x j   aij.x j   aij . x j    aij   x j   A . x
i 1 j 1
i 1 j 1
i , j 1

 i , j 1  j 1 

VËy ta có
Ax A . x

Nhận xét
Nếu ta định nghĩa d ( A, B)  A  B víi mäi A, B thuéc Mat (n  n, K ) th×
d là một metric trong không gian Mat ( n n, K ) .

1.3.4. Sù héi tơ trong kh«ng gian định chuẩn
1.3.4.1. Sự hội tụ của một dÃy điểm
Định ý 1.3.2. DÃy điểm xn của không gian định chuẩn X gọi là hội tụ tới
điểm x X , nÕu lim xn  x  0 . KÝ hiÖu lim xn  x hay xn  x(n  )
n

n

1.3.4.2. Chuỗi trong không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.3.4. Cho không gian định chuẩn X và x X . Ta gọi chuỗi
là biểu thức dạng
x1 x2 .... xn ....

(1.5)



Chuỗi (1.5) thường viết là

x

n

. Mỗi phần tử xn gọi là số hạng thức n của

n 1

chuỗi (1.5). Biểu thức
k

Sn xn (k 1,2,...)
n 1

gọi là tổng riêng thứ k của chuỗi (1.5).

20


Nếu tồn tại lim S n S trong không gian định chuẩn X , thì chuỗi (1.5) gọi là
k

hội tụ và S gọi là tổng của chuỗi này.
Khi đó ta viết


S xn
n 1

Nếu chuỗi (1.5) hội tụ và có tổng là S, thì biểu thức rk  S  S k gäi lµ tỉng
d­ thø k của chuỗi (1.5)
Chuỗi (1.5) gọi là hội tụ tuyệt đối, nếu chuỗi sau hội tụ

x1 x2 ... xn ...

1.4. Sự hội tụ trong không gian định chuÈn Mat (n  n, K )
1.4.1. Sù héi tô của dÃy ma trận
Định nghĩa 1.4.1. ( Sự hội tụ của dÃy ma trận)
DÃy ma trận Am được gọi là hội tụ nếu với mọi số dương nhá tïy ý, tån
t¹i sè N 



sao cho p, q



thì
Aq Ap .

Định nghĩa 1.4.2. ( Giới h¹n cđa d·y ma trËn)
Cho d·y ma trËn  Am   Mat (n  n, K ) . Ta nói dÃy ma trận có giới hạn là
ma trận A nÕu (   0 )  N 



 sao cho m  N

KÝ hiÖu lim Am  A hay A m  A khi m   .
m

♦ NhËn xÐt

21



thif Am  A   .