Giải tích ngẫu nhiên và ứng dụng trong thị trường tài chính

Mục lục
BẢNG KÝ HIỆU 5
MỞ ĐẦU 6
1 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN 8
1.1 Những khái niệm chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2 Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc . . . . . . 9
1.1.3 Thời điểm Markov và thời điểm dừng . . . . . . . . . . . . 10
1.1.4 Kỳ vọng có điều kiện lấy đối với một σ-trường . . . . . . . 10
1.1.5 Xác suất có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.6 Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Quá trình Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.2 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Quá trình Wiener hay chuyển động Brown . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.2 Vài tính chất quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.3 Các martingale tạo thành từ chuyển động Brown . . . . . 19
1.3.4 Đặc trưng Lévy của chuyển động Brown . . . . . . . . . . . 20
1.4 Quá trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.1 Quá trình đếm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.2 Quá trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.3 Đặc trưng Watanabe của quá trình Poisson . . . . . . . . . 21
1.5 Quá trình Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.2 Phương trình Chapman-Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . 2 2
2
MỤC LỤC 3
1.5.3 Chú ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN
VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN 23

Phần I. TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1 Tích phân Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1 Mục đích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.2 Định nghĩa tích phân Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.3 Vi phân ngẫu nhiên Itô và Công thức Itô . . . . . . . . . . 26
2.1.4 Các thí dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Tích phân ngẫu nhiên Stratonovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.1 Khái niệm và định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.2 Biến phân bậc hai của hai quá trình ngẫu nhiên . . . . . . 30
Phần II. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN . . . . 32
2.3 Định nghĩa phương trình và lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Định lý tồn tại và duy nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.1 Sự duy nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.2 Sự tồn tại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5 Tính Markov của lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 VÀI ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH 41
Phần I. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
VÀ THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1 Phương án đầu tư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.1 Phương án đầu tư, Phương á n mua và bán . . . . . . . . . 42
3.1.2 Cân đối lại và phương án tự tài trợ (Self-financial portfolio) 42
3.2 Cơ hội có độ chênh thị giá và nguyên lý AAO . . . . . . . . . . . . 44
3.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.2 Nguyên lý AAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.3 Phái sinh kiểu Châu Âu và Châu Mỹ . . . . . . . . . . . . 45
3.3 Nguyên lý đáp ứng và thị trường đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.1 Chiến lược đáp ứng (Replicating Strategy ) . . . . . . . . . 45
3.3.2 Phái sinh đạt được tron g thị trường M. . . . . . . . . . . 46
3.3.3 Thị trường đầy đủ (Complete Market). . . . . . . . . . . . 46
3.4 Định giá bằng phương p háp độ chênh thị giá (Arbitage Pricing) . 46

3.4.1 Đáp ứng duy nhất và quá trình sở hữu. . . . . . . . . . . . 46
MỤC LỤC 4
3.4.2 Ý tưởng chính của việc định giá bằng phương pháp độ
chênh thị giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4.3 Xác suất trung hòa rủi ro hay độ đo martingale . . . . . . 49
3.5 Các tài sản phái s inh (Derivatives) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.5.1 Quyền chọn mua (Call) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5.2 Quyền chọn bán (Put) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Phần II. MÔ HÌNH BLACK-SCHOLES . . . . . . . . . . . . . . 52
3.6 Mô hình Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.6.1 Định nghĩa mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.6.2 Giá cổ phiếu trong mô hình Black-Scholes . . . . . . . . . . 53
3.6.3 Các giả thiết trong mô hình Black-Scholes. . . . . . . . . . 53
3.6.4 Hiện giá quyền chọn mua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.7 Xây dựng công thức Black-Scholes để tính giá qu yền chon kiểu
châu Âu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.7.1 Cách xây dựng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.7.2 Công thức Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.8 Những mô hình quyền chọn liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . 57
KẾT LUẬN 59
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
BẢNG KÝ HIỆU
N Tập các số tự nhiên
Q Tập các số hữu tỷ
R Tập các số thực
R
+
Tập các s ố thực không âm
R Tập các số thực và −∞, ∞
Z Tập các số nguyên

C Tập các số phức
R
⋉
Không gian n− chiều
∅ Tập rỗng
(x
n
) = {x
n
} Dãy số (hoặc d ãy các phần tử)
|x| Giá trị tuyệt đối của x
x Chuẩn của x
f := g Định nghĩa f là g
lim
n→∞
= lim sup
n→∞
Giới hạn trên
lim
n→∞
= lim inf
n→∞
Giới hạn dưới

Ω
f (ω) dµ Tích p hân Lebesgue
t

0
f (s, ω) dW

s
Tích phân Wiener
5
MỞ ĐẦU
Giải tích ngẫu nhiên bắt đầu hình thành từ đầu thế kỷ XX. Đầu tiên phải
kể đến sự ra đời của khái niệm toán học về chuyển động Brown hay quá trình
Wiener đưa ra bởi Louis Bachelier (1900) và Albert Einstein (1905). Đặc biệt
là sự sáng tạo ra tích phân ngẫu nhiên Itô (1944) đã giúp giải quyết nhiều bài
toán ngẫu nhiên trong kinh tế, vật lý,. . . mà Giải tích tất định cổ điển không
sử lý được.
Giải tích ngẫu nhiên b a o gồm ba bộ phận chính :
1. Lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên.
2. Lý thuyết các tích phân ngẫu nhiên.
3. Phương trình vi phân ngẫu nhiên.
Trong hơn một thế kỷ qua , các nội dung này đã phát triển rất mạnh mẽ và là
những côn g cụ không thể thiếu được trong nghiên cứu về tài chính. Lý do là
bản thân giá chứng khoán và giá các tài sản tài chính biến động một cách ngẫu
nhiên nên có thể xem chúng như cá c quá trình ngẫu nhiên .
Giải tích ngẫu nhiên đã làm cơ sở cho việc mô hình hóa các biến động giá cả
trên thị trường tài chính. Một s ố khái niệm cơ bản của giải tích ngẫu nhiên, trong
đó có ma rtingale, chuyển động Brown, tích phân Itô, tích phân Stratonovich,
Phương trình vi phân ngẫu nhiên đã được ứng dụng rộng rãi trong việc nghiên
cứu thị trường tài chính. Các mô hình định giá , chẳng hạn như mô hình Black
– Scholes, đều dựa trên kiến thức về G iải tích ngẫu nhiên .
Luận văn này gồm 3 chương :
Chương I. Quá trình ngẫu nhiên
Chương này trình bày những khái niệm cơ bản về quá trình ngẫu nhiên dùng
6
MỤC LỤC MỤC LỤC
trong nghiên cứu về tài chính. Ngoài những khái niệm chung, thì các quá trình

Gauss, quá trình Markov, chuyển động Brown và quá trình Poisson đều đ ược đề
cập
Chương II. Tích phân ngẫu nhiên và Phương trình vi phân ngẫu
nhiên
Tích p hân ngẫu nhiên và Phương trình vi phân ngẫu nhiên là những yếu tố
cơ bả n cấu thàn h môn Giải tích ngẫu nhiên. Chương này nói về tích phân ngẫu
nhiên Itô và tích phân ngẫu nhiên Stratonovich, định nghĩa Phương trình vi
phân ngẫu nhiên và lời giải, định lý tồn tại duy nhất lời giải cùng một vài ví dụ
minh họa.
Chương III. Vài ứng dụng trong thị trường tài chính
Chương này trình bày về các quá trình giá tài sản tài chính như là các quá
trình ngẫu nhiên, cá c khái niệm độ chênh thị giá, thị trường đầy đủ và phương
pháp định giá bằng phương pháp độ chênh thị giá, các hợp đồng tài chính và
đặc biệt đề cập đến mô hình quyền chọn Black - Scholes
7
Chương 1
QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
Chương này trình bày những khái niệm cơ bản về quá trình ngẫu nhiên dùng
trong nghiên cứu về tài chính. Ngoài những khái niệm chung, thì các quá trình
Gauss, quá trình Markov, chuyể n động Brown và quá trình Poisson đều được đề
cập.
1.1 Những khái niệm chung
Cho (Ω, F, P) là k hông gian xác suất, tức là một bộ ba gồm
• Ω là một tập hợp cơ sở bất kỳ nào đó mà mỗi phần tử ω ∈ Ω đại diện cho
một yếu tố ngẫu nhiên. M ỗ i tập con của Ω gồm một số yếu tố n g ẫ u nhiên nào
đó
• F là một họ nào đó các tập con của Ω, chứa Ω và đóng đối với phép hợp đếm
được và phép lấy phần bù; nói cách khác F là một σ-trường các tập con của Ω.
Mỗi tập hợp A ∈ F sẽ được gọi là một biến cố ngẫu nhiên.
• P là một độ đ o xác suất xác định trên không gian đo được (Ω, F)

1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên
(a) Một quá trình ngẫu nhiên X là một họ các biến ngẫu n hiên X = (X
t
(ω), t ∈
T ) trong đó T là một tập các chỉ số thực, T ⊆ R. T có thể hữu hạn, đếm được
hoặc vô hạn không đếm được. Đôi khi ta cũng kí hiệu X
t
(ω) = X(t, ω). Vậy với
8
CHƯƠNG 1. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
mỗi t, X
t
là một hàm đo đư ợc từ (Ω, F) và o (T, B
T
) trong đó B
T
là σ-trường
Borel trên T ⊆ R
(b) Một quá trình ngẫu nhiên (X
t
, t ≥ 0) gọi là đo được là một hàm hai biến
X(t, ω) xác định trên tích B
R
+
×Ω lấy giá trị trong R, và là một hàm đo được
đối với σ-trường tích B
R
+
× F, trong đó B
R

+
là σ-trường các tập Borel trên
R
+
= [0, ∞).
Điều đó có nghĩa là với mọi tập Borel B trên R thì tập hợp

(t, ω) ∈ R
+
× Ω : X (t, ω) ∈ B

là một phần tử của σ-trường tích B
R
+
× F, σ-trường này là σ-trường nhỏ nhất
chứa các tập có dạng

[0, t] ×A : t ∈ R
+
, A ∈ F

(c) khi cố dịnh một ω ∈ Ω, thì ánh xạ riêng phần
t → X (t, ω)
từ R
+
vào R được gọi là một quỹ đạo của quá trình ngẫu nhiên X = (X
t
, t ≥ 0),
ứng với yếu tố ngẫu nhiên ω ấy.
(d) Nếu X lấy giá trị trong không gian R

n
(n ≥ 1) thì ta có một quá trình ng ẫ u
nhiên n-chiều.
(e) Trong tài chính, các quá trình giá chứng khoán S
t
, giá trái phiếu P
t
, giá
sản phẩm phái sinh C
t
đều được xem là các quá trình ngẫu nhiên.
1.1.2 Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc
(a) Một họ các σ-trường con (F
t,
t ≥ 0) của F, F
t
⊂ F, được gọi là một bộ lọc
thỏa mãn các điều kiện th ông th ường nếu
• Đó là một họ tăng theo t, tức là F
s
⊂ F
t
nếu s < t,
• Họ đó là liên tục phải, tức là F
t
=

ε>0
F
t+ε

• Nếu A ∈ F và P (A) = 0 thì A ∈ F
0
(và do đó A nằm trong mọi F
t
).
9
CHƯƠNG 1. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
(b) Cho một quá trình ngẫu nhiên X = (X
t
, t ≥ 0). Ta xét σ-trường F
X
t
sinh
bởi tất cả các biến ngẫu nhiên X
s
với s ≤ t : F
X
t
= σ( X
s
, s ≤ t). σ−trường này
chứa đựng mọi thông tin về diễn biến quá khứ của quá trình X cho đến thời
điểm t. Người ta gọi đó là bộ lọc tự nhiên của quá trình X, hay là lịch sử của
X, hay cũng còn gọi là trường thông tin về X.
(c) Một khô ng gian xác suất (Ω, F, P) trên đó ta gắn thêm vào một bộ lọc (F
t
),
được gọi là một không gian xác suất có lọc và kí hiệu là (Ω, F, (F
t
), P ).

1.1.3 Thời điểm Markov và thời điểm dừng
Cho một không gian xác suất có lọc (Ω, F, (F
t
), P ).
(a) Một biến ngẫu nhiên T được gọi là một thời điểm Markov nếu với mọi t ≥ 0
{ω ∈ Ω : T (ω) ≤ t} ∈ F
t
(b) Một thời điểm Markov T được gọi là thời điểm dừng nếu T là hữu hạn hầu
chắc chắn, tức là:
P {ω ∈ Ω : T (ω) ≤ t} = 1
.
1.1.4 Kỳ vọng có điều kiện lấy đối với một σ-trường
1.1.4.1 Định nghĩa
(a) Cho (Ω, F, P ) là không gian xác suất, G là một σ-trường con của F, G ⊂ F
và X là một biến ngẫu nhiên, tức là một ánh xạ đo được từ (Ω, F) vào (R, B
R
)
trong đó B
R
là σ-trường các tập Borel tập đường thẳng R.
Khi đó, một biến ngẫu nhiên X
∗
sẽ được gọi là kỳ vọng có điều kiện của X
đối với σ-trường G, nếu:
• X
∗
là biến ngẫu n hiên đo được đối với G.
• Với mọi tạp A ∈ G thì ta có

A

X
∗
dP =

A
XdP
Biến ngẫu nhiên X
∗
này s ẽ được ký hiệu là E(X|G). Ta chú ý rằng kỳ vọng có
điều kiện E(X|G) là một biến ngẫu nhiên.
10
CHƯƠNG 1. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
(b) Nếu ta chọn σ-trường G là σ−trường σ(Y ) sinh ra bởi một b iến ngẫu nhiên
Y nào đó, thì khi đó kỳ vọng có điều kiện của X lấy đối với σ(Y ) cũng được kí
hiệu là E(X|Y ).
1.1.4.2 Các tính chất
Ta có các hệ thức phát biểu dưới đây đều được hiểu theo nghĩa hầu chắc
chắn:
(1) Nếu G là σ-trường tầm thường {φ, Ω} thì
E (X|G) = EX
(2) Nếu X và Y là ha i biến ngẫu nhiên thì
E (X + Y |G) = E (X|G) + E (Y |G)
(3) Nếu X là đo được đ ố i với G thì
E (XY |G) = XE (Y |G)
Nói riêng, nếu c là một hằng số thì
E (cY |G) = cE (Y |G)
(4) Nếu G
1
⊂ G
2

thì
E (E (X|G
2
) |G
1
) = E (X|G
1
)
Nói riêng
E (E (X|G)) = E (X)
(5) Nếu X độc lập đối với G thì
E (X|G) = E (X)
(6) Nếu G và H là hai σ−trường con của F và độc lập đối với nhau, và X là
biến ngẫu nhiên độc lập đối với G thì
E (X|σ (G, H)) = E (X|H) .
trong đó σ (G, H) là σ-trường nhỏ nhất chứa cả G lẫn H.
11
CHƯƠNG 1. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
(7) Bất đẳng thức Jensen đối với kỳ vọng có điều kiện Nếu g(x) là một hàm
lồi trên tập I ⊂ R, tức là
g (λx + (1 − λ) y) ≤ λg (x) + (1 −λ) g (y)
với mọi x, y ∈ I với mọi λ ∈ [0, 1], và nếu X là một biến ngẫu nhiên lấy giá trị
trên I thì
g (E (X|G)) ≤ E (g (X) |G)
Nói riêng, với g(x) = |x| thì
|E (X|G)| ≤ E (|X||G)
(8) Sự hội tụ đơn điệu đối với kỳ vọng có điều kiện
Nếu 0 ≤ X
n
và X

n
↑ X (X
n
đơn điệu tăng dần tới X khi n → ∞) với E|X| < ∞
thì
E (X
n
|G) ↑ E (X|G)
(9) Bổ đề Fatou đối với kỳ vọng có điều kiện
Nếu 0 ≤ X
n
thì
E

lim inf
n
X
n
|G

≤ lim inf
n
E (X
n
|G) .
(10) Sự hội tụ bị làm trội đối với kỳ vọng có điều kiện
Nếu lim
x→∞
X
n

= X hầu chắc chắn và X
n
≤ Y với EY < ∞ thì
lim
x→∞
E (X
n
|G) = E (X|G)
(11) Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập và φ(x, y) là một hàm hai b iến
sao cho E|φ(X, Y )| < ∞. Khi đó thì
E (φ (X, Y ) |Y ) = E (φ (X, Y ))
1.1.5 Xác suất có điều kiện
Định nghĩa 1.1.5.1. Xác suất có điều kiện P (A|G) của một biến cố A ∈ F là
một biến ngẫu nhiên xác định bởi
P (A|G) = E (
A
|G)
12
CHƯƠNG 1. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
trong đó
A
là hàm chỉ tiêu của biến cố A, tức là
A
(ω) =

1 nếu ω ∈ A
0 nếu ω /∈ A
Tính chất 1.1.5.1.
(1) P (Ω|G) = 1 (hầu chắc chắn)
(2) ∀A ∈ F : P


A|G

= 1 −P (A|G) (h.c.c), trong đó A là biến cố đối lập của
A:
A = Ω\A.
(3) ∀A
1
, A
2
, ∈ F rời nhau từng đôi một thì
P

∞

n=1
A
n
|G

=
∞

n=1
P (A
n
|G) (h.c.c)
1.1.6 Martingale
1.1.6.1.Định nghĩa
Cho một quá trình ngẫu nhiên X = (X

t
, t ≥ 0) thích n g hi với bộ lọc (F
t
) và
khả tích: E|X
t
| < ∞ với mọi t ≥ 0
Giả thử s và t là hai giá trị ≥ 0 bất kì sao cho s ≤ t. Khi đó:
(1) Nếu E(X
t
|F
s
) ≤ X
s
thì X gọi là martingale trên (supermartingale)
(2) Nếu E(X
t
|F
s
) ≥ X
s
thì X gọi là martingale dưới (sub martingale)
(3) Nếu E(X
t
|F
s
) = X
s
thì X gọi là martingale đối với bộ lọc (F
t

, t ≥ 0)
Khi không chỉ rõ bộ lọc nào thì ta hiểu rằng (F
t
) là bộ lọc tự nhiên của X
t
,
tức là F
t
= σ(X
s
, s ≤ t) = F
X
t
(ký hiệu)
1.1.6.2.Một số ví dụ
(1) Cho Z là một biến ngẫu nhiên bất kì sao cho EZ < ∞ (khả tích) và cho
(F
t
) là một bộ lọc bất kì trên (Ω, F, P).
Khi đó, quá trình ngẫu nhiên X = ( X
t
, t ≥ 0) xác định bởi
X
t
= E (Z|F
t
)
là một martingale đối với (F
t
).

13
CHƯƠNG 1. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
(2) Cho X = (X
t
, t ≥ 0) là một quá trình ngẫu nhiên khả tích thích nghi với bộ
lọc (F
t
), và giả thử rằng:
Với mọi s, t ≥ 0 sao cho s < t thì X
t
−X
s
độc lập với (F
s
)(∗). Tính chất (∗) được
gọi là tính chất có số gia độc lập với quá khứ.
Khi đó, quá trình ngẫu nhiên Z = (Z
t
, t ≥ 0) xác định bởi
Z
t
= X
t
− E (X
t
)
là một martingale đối với (F
t
).
(3) Cho (X

t
) là một quá trình số gia đ ộc lập, không nhất thiết phải khả tích.
Gọi ϕ
X
t
(u) là hàm đặc trưng của X
t
, tức là
ϕ
X
t
(u) = Ee
iuX
t
=

e
iuX
t
dP
. Khi đó quá trình ngẫu nhiên Y = (Y
t
, t ≥ 0) xác định bởi:
Y
t
=
e
iuX
t
ϕ

X
t
(u)
là một martingale đối với bộ lọc tự nhiên của X : F
X
t
= σ(X
s
, s ≤ t).
(4) Trên không gian xác s uất (Ω, F, P ) cho Q là một độ đo xác suất liên tục
tuyệt đối đối với P : Q ≪ P (điều này có nghĩa là nếu A là một tập thuộc F sao
cho P (A) = 0 thì ta cũng có Q(A) = 0).
Gọi hạn chế của P trên F
t
là P
t
và hạn chế của Q trên F
t
là Q
t
. khi đó đạo
hàm Radon - Nikodym L
t
=
dQ
t
dP
t
tồn tại, và quá trình L = (L
t

, t ≥ 0) là một
martingale đối với F
t
.
1.1.6.3.Phân tích Doob-Meyer và ứng dụng trong toán tài chính
Định lý 1.1.6.1. Nếu X = (X
t
, t ≥ 0) là một martingale dưới đối với (F
t
), khả
tích (tức E|X
t
| < ∞ , ∀t ≥ 0) và liên tục phải theo t, thì X có một biểu thức phân
tích như sau:
X
t
= M
t
+ A
t
trong đó M
t
là một martingale đối với (F
t
) liên tục phải và A
t
là một quá trình
tăng và thích nghi với (F
t
).

14
CHƯƠNG 1. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
(∗) Ứng dụng của lý thuyết martingale trong toán học tài chính
Ý tưởng chính là như sau:
Trong toán học tài chính, giá của các tài sản tài chính cơ bản (n hư giá cổ
phiếu S
t
, giá trái phiếu B
t
) cũng nh ư giá của các tài sản phái sinh (như giá
Quyền chọn V
t
) đều được xem là các quá trình ngẫu nhiên. Nói chung chúng
không phải là những martingale đối với một trường thông tin (F
t
) đang xét.
Giả thử X
t
là giá của một tài sản tại thời điểm mà ta cần xác định. Nói chung
X
t
không phải là một martingale. Nếu bằng một cách nào đó, ta biến đổi được
X
t
thành một quá trình Z
t
= ϕ(X
t
) là một martingale và giả thử ta biết giá trị
đáo hạn X

T
. Khi đó, vì
E (Z
T
|F
t
) = Z
t
(t < T)
nên ta có thể tính được giá trị X
t
tại thời điểm t < T bởi
X
t
= ϕ
−1
[E (Z
T
|F
t
)] (t < T )
có hai cách để thực hiện sự biến đổi nói trên:
(a).Áp dụng phân tích Doob-Meyer
Giả thử X
t
là một martingale dưới. Ta có phân tích
X
t
= martingale M
t

+ q uá trình tăng A
t
Nếu tìm được có thể quá trình tăng A
t
thì ta biến đổi đư ợc X
t
thành một
martingale cụ thể M
t
= X
t
− A
t
. Nếu (X
t
) là một martingale trên th ì (−X
t
) là
một martingale dưới, do đó ta cũng có kết quả tư ơng tự.
(b).Thực hiện một phép biến đổi độ đo xác suất
Khi ta nói X
t
nói chung không p hải là martingale, ấy là ta xét dưới độ đo
xác suất ban đầu P đã cho. Bây giờ giả thử ta tìm được một độ đo xác suất mới

P tương đương với độ đo xác suất P (có nghĩa là nếu P (A) = 0 với A ∈ F thì

P (A) = 0 và ngư ợc lại cũng đúng) và một phép biến đ ổ i quá trình X
t
thành một

15
CHƯƠNG 1. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
quá trình

X
t
sao cho dưới xác suất

P mới này thì

X
t
trở thành một martingale.
Giả thử bằng cách nào đó ta biết giá trị đáo hạn X
t
, tức là biết

X
T
. Khi đó,
do tính chất martingale của

X
t
ta có
E

P
(


X
T
|F
t
) =

X
t
, (∀t < T )
gọi ϕ là phép biến đổi từ X
t
sang

X
t
, vậy X
t
= ϕ
−1
(

X
t
) và ta định giá được tài
sản X
t
tại thời điểm t bở i công thức
X
t
= ϕ

−1
[E

P
(

X
T
|F
t
)].
Ta lưu ý hai điều quan trọng:
•Thông thườn g phép biến đổi đó là một phép chiết k hấu khô ng rủi ro (tức là
một phép tính lùi), sao cho

X
t
= e
−r(T −t)
X
T
, (t < T)
với hằng số r > 0 là lãi suất không rủi ro, còn T là thời điểm đáo hạn. Vì
E

P
(

X
T

|F
t
) =

X
t
= e
0
X
t
nên cuối cùng ta có công thức định giá tài sả n X tại thời điểm t < T là
X
t
= e
−r(T −t)
E

P
(X
T
).
•Xác suất

P ở đây sẽ gọi là xác suất trung hòa rủi ro hay còn gọi là độ đo
martingale, và kí hiệu là Q.
người ta đã chứng minh được rằng:
Sự tồn tại của một độ đo martingale Q như vậy thì tương đương với sự kiện
"thị trường đan g xét là khô ng có độ chênh thị giá", có nghĩa là tương đương với
Nguyên lý AAO (định nghĩa Nguyên lý AAO mục 3.2.2)
• Thông thường phép biến đổ i ϕ : X

t
→

X
t
là một phép chiết khấu, chẳng
hạn
X
t
→

X
t+u
= e
−ru
X
t+u
, (0 < u < T −t)
16
CHƯƠNG 1. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
thì

X
t
là martingale đối với (F
t
) và xét dưới độ đo

P , cho nên:
E


P
(

X
t+u
|F
t
) =

X
t
.
1.2 Quá trình G auss
1.2.1 Định nghĩa
Một quá trình ngẫu nhiên X = (X
t
, t ≥ 0) được gọi là một quá trình Gauss,
nếu mỗi tổ hợp tuyến tính có dạng
Z =
N

i=1
α
i
X
t
i
là một biến ng ẫ u nhiên chuẩn (biến ngẫu nhiên Gauss), với mọi (α
1

, , α
n
) ∈ R
N
và mọi N.
Nói cách khác, X là Gauss nếu mỗi phân phối h ữu hạn chiều là chuẩn.
Một điều kiện cần của quá trình Gauss (X
t
) là với mọi t thì X
t
là một biến
ngẫu nhiên chuẩn.
Nhưng nó k hông phải là điều kiện đủ. Một điều kiện cần và đủ được cho bởi
định lý sau đây
1.2.2 Định lý
Phát biểu
Một quá trình ngẫu n hiên (X
t
, t ≥ 0) là một quá trình Gauss nếu và chỉ nếu:
(a) EX
2
t
< ∞ với mọi t ≥ 0.
(b) Với mọi tập hữu hạn giá trị (t
1
, , t
N
), t
s
≥ 0, s = 1, , N, thì

E exp

i
N

j=1
u
j
X
t
j

= exp


i
N

j=1
u
j
µ(t
j
) −
1
2
N

k,l=1
u

k
u
l
R(t
k
, t
l
)


trong đó
17
CHƯƠNG 1. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
µ(t) = EX
t
và
R(t, s) = E [(X
t
− µ(t))(X
s
− µ(s))] (hàm tương quan của X).
Ý nghĩa
Theo định lý n ó i trên thì một quá trình Gauss (X
t
) sẽ hoàn toàn đư ợc xác
định một khi ta biết kỳ vọng µ(t) và hàm tương quan R(t, s) của nó.
Bay giờ ta sẽ xét một trường hợp riêng của quá trình Gauss, đó là chuyển
động Brown.
1.3 Quá trình Wiener hay chuyển động Brown
1.3.1 Các định nghĩa

Định nghĩa 1
Một quá trình ngẫu nhiên X = (X
t
, t ≥ 0) được gọi là một quá trình Wiener
tiêu chuẩn hay một chuyển động Brown tiêu chuẩn, nếu X là một quá trình
Gauss sao cho
(a) E(X
t
) = 0, ∀t, tứ c là X
t
là qui tâm.
(b) Hàm tương quan R(t, s) = min(t, s) =
t + s − |t − s|
2
.
• Trong trường hợp tổng quát, một quá trình Wiener với tham số phương sai
σ là một quá trình Gauss, qui tâm và h à m tương quan là
R(t, s) = σ
2
min(t, s).
Định nghĩa 2
Một quá trình ngẫu n hiên X là một chuyển động Brown tiêu chuẩn nếu :
(a) X
0
= 0 h ầ u chắc chắn
(b) Hiệu X
t
− X
s
là một biến ngẫu nhiên chuẩn với kỳ vọng 0 và phương sai

là t − s, (s < t).
(c) Các số gia X
t
4
− X
t
3
và X
t
2
− X
t
1
(với mọi t
1
≤ t
2
≤ t
3
≤ t
4
) là các biến
ngẫu nhiên độc lập.
18
CHƯƠNG 1. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
• Trong trường hợp tổng quát, thì trong điều kiện (b), phương sai của X
t
−X
s
là σ

2
(t − s).
1.3.2 Vài tính chất quan trọng
Từ bây giờ, ta kí hiệu W = (W
t
, t ≥ 0) là một chuyển động Brown.
(a) W
t
là một martingale đối với bộ lọc tự nhiên của nó F
t
, với
F
t
= F
W
t
= σ(W
s
, s ≤ t): σ−trường nhỏ nhất sinh bởi quá khứ của W tính cho
đến thời điểm t.
(b) Hầu chắc chắn là W
t
không khả vi theo t.
(c) Hầu chắc chắn là W
t
không có b iến phân bị chặn trên bất cứ khoảng hữu
hạn nào của t.
(d) W tuân theo luật logarit-lặp như sau:
lim
t→∞

sup
W
t
√
2t ln ln t
= 1 (hầu chắc chắn).
1.3.3 Các martingale tạo thành từ chuyển động Brown
Định lý
Cho (W
t
) là một chuyển động Brown và F
t
= F
W
t
. Khi đó ta có 3 martingale
quen biết là:
(a) Bản thân W
t
là một martingale đối với F
t
.
(b) W
2
t
− t là một martingale đối với F
t
.
(c) Với mọi u ∈ R thì e
uW

t
−
u
2
2
t
là một martingale đối với F
t
.
19
CHƯƠNG 1. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
1.3.4 Đặc trưng Lévy của chuyển động Brown
Định lý
Cho W = (W
t
, t ≥ 0) là một quá trình ngẫu nhiên có quỹ đạo liên tục. Điều
kiện cần và đủ để cho W
t
là một chuyển động Brown là
(∗)

W
t
là một martngale, W
0
= 0 h.c.c, và
W
2
t
− t là một martingale (đối với F

t
= F
W
t
)

Điều kiện (∗) được gọ i là đặc trưng Lévy của chuyển động Brown.
1.4 Quá trình Poisson
1.4.1 Quá trình đếm
Một quá trình ngẫu nhiên (N
t
, t ≥ 0) được gọi là một quá trình đệm (hay
quá trình đếm) nếu N
t
biểu thị tổng số lần một biến cố ngẫu nh iên nào đó xẩy
ra cho đến thời điểm t. Vậy một quá trình đếm là một quá trình với thời gian
liên tục, lấy giá trị nguyên dươ ng và có bước nhảy tại các thời điểm n gẫu nhiên
T
0
, T
1
, T
2
, sao cho
T
0
= 0 ≤ T
1
< T
2

< và lim
n→∞
T
n
= ∞
Khi đó có thể viết
N
t
=

n nếu t ∈ [T
n
, T
n+1
] , n ≥ 0
∞ nếu t = ∞
hoặc
N
t
=
∞

n=0
n
[T
n
,T
n+1
)
1.4.2 Quá trình Poisson

Định nghĩa
Một quá trình đếm (N
t
, t ≥ 0) được gọi là một quá trình Poisson, nếu:
(a) N
0
= 0
(b) {N
t
, t ≥ 0} có số gia độc lập.
20
CHƯƠNG 1. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
(c) Số biến cố xẩy ra trong bất kỳ khoảng thời gian nào đó có độ dài t là một
biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với trung bình là λt(λ > 0). Điều đó có
nghĩa là, với mọi s, t ≥ 0 ta có
P {N
t+s
− N
s
= n} = e
−λt
(λt)
n
n!
; n = 0, 1, 2,
Từ đó ta có E(N
t
) = λt. Số λ > 0 được gọi là cường độ của quá trình Poisson.
1.4.3 Đặc trưng Watanabe của quá trình Poisson
Cho N

t
là một quá trình ng ẫ u nhiên có số gia độc lập, N
0
= 0. Điều kiện cần
và đủ để N
t
là một quá trình Poisson có cường độ λ là
(∗∗) N
t
− λt là một martingale đối với (F
N
t
).
Diều kiện (∗∗) được gọi là đặc trưng Wa tanabe của quá trình Poisson. Martingale
M
t
= N
t
− λt được gọi là martingale Poisson ứng với quá trình Poisson N
t
. Nếu
N
t
là một quá trình Poisson tiêu chuẩn (λ = 1) thì M
t
= N
t
− t.
1.5 Quá trình Markov
Lớp các quá trình Markov rất rộng, bao gồm các qu á trình có đặc tính là diễn

biến tương lai khi đã b iết hiện tại thì không phụ thuộc vào diễn biến tron g quá
khứ. Đặc tính này gọi là tính chất Markov, hay tính chất mất trí nhớ (loss of
memory).
Nói một cách chính xác hơn, ta có
1.5.1 Định nghĩa
(a) Một quá trình ngẫu nhiên (X
t
, t ≥ 0) được gọi là một quá trình Markov,
nếu với mọi thời điểm bất kỳ 0 ≤ t
1
< t
2
< < t
n−1
< t
n
, ta có:
P {X
t
n
≤ x
n
|X
t
1
= x
1
, X
t
2

= x
2
, , X
t
n−1
= x
n−1
} = P {X
t
n
≤ x
n
|X
t
n−1
= x
n−1
}
(b) Cho A là một khoảng trên đường thẳng thực. Khí đó hàm số P (x, s; t, A)
xác định bởi
P (x, s; t, A) = P {X
t
∈ A|X
s
= x}, s < t,
được gọi là hàm xác suất chuyển, hoặc hàm chuyển, hoặc xác suất chuyển.
21
CHƯƠNG 1. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
(c) Một quá trình Markov có không gian trạng thái hữu hạn hoặc đếm được
thì gọi là một xích Markov.

1.5.2 Phương trình Chapman-Kolmogorov
Cho X
t
là một quá trình Marlov. Khi đó với mọi 0 ≤ s ≤ u ≤ t, mọi x ∈ R và
mọi A ∈ B
R
thì hàm chuyển thỏa mãn điều kiện:
P (x, s; t, A) =

P (x, s; u, dy)P (y, u; t, A) (C − K)
Điều kiện (C −K) được gọi là phương trình Chapman-Kolmogorov.
1.5.3 Chú ý
(a) Hai quá trình Markov điển hình là chuyển động Brown và quá trình Poisson.
(b) Quá trình Lévy (quá trình có số gia độc lập và dừng) là một quá trình
Markov.
(c) Một quá trình Markov cũng có thể là một quá trình Ga uss hoặc có thể
không. Khi một quá trình vừa là Gauss v ừa là Markov thì ngườ i ta gọi đó là
một quá trình Gauss-Markov. Chuyển động Brown là một quá trình Gauss-
Markov. Nhưng quá trình Poisson tuy là Markov nhưng không phải là Gauss.
Một quá trình Gauss qui tâm với hàm tương qua n cho bởi
R (t, s) =
1
2

|t|
α
+ |s|
α
− |t − s|
α


(0 ≤ α ≤ 2)
nói chung không phải là một qua trình Markov (với α = 1). Người ta gọi đó là
một chuyển động Brown phân thứ, nó mô tả những quá trình có trí nhớ lâu dài.
Ngoài ra, ta cũng biết rằng các quá trình X
t
= |W
t
| và X
t
= e
W
t
(với W
t
là chuyển
động Brown thường) không phải là các quá trình Gauss nhưng là Markov; trong
khi đó thì quá trình X
t
=
t

0
W
s
ds tuy không phải là Markov nhưng lại là một
quá trình Gauss.
22
Chương 2
TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN

VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
NGẪU NHIÊN
Tích phân ngẫu nhiên và Phương trình vi p hân ngẫu nhiên là những yếu tố
cơ bản cấu thành môn Giải tích ngẫu nhiên. Chương này nói về tích phân ng ẫu
nhiên Itô và tích phân ngẫu nhiên Stratonovich, định nghĩa Phương trình vi phân
ngẫu nhiên và lời giải, định lý tồn tại duy nhất lời giải cùng một vài ví dụ minh
họa.
Phần I
TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN
2.1 Tích phân Ito
2.1.1 Mục đích
Ta biết rằng một hàm thực F(t) được gọi là có biến phân giới nội (hay còn
gọi là biến phâ n hữu hạn ) trên đoạ n [a, b] nếu tồn tại một hằ ng số C sao cho với
23
CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN
VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN
mọi phân hoạch của đoạn ấy a = t
0
< t
1
< < t
n
= b thì có bất đẳng thức
n

k=1
|F (t
k
) − F (t
k−1

)| ≤ C
Ngoài ra, ta cũng biết rằng, muốn xây dựng tích phân
b

a
f (t) dF (t) trong Giải
tích toán học, ta phải luôn luôn giả thiết rằng F(t) có biến phân giới nội trên
[a, b].
Bây giờ, cho W
t
là một chuyển động Brown và xét một quỹ đạo của nó t → W
t
,
(Ta hiểu một quỹ đạo của quá trình ngẫu nhiên W (t, ω) như là hàm một biến
t → W
t
khi ta cố định một yếu tố ngẫu nhiên ω; mỗi ω ∈ Ω cho ta một quỹ đạo,
tức một hàm thực của t).
Nhiều bài toán dẫn đến nhu cầu phải tính toá n một loại tích phân có dạng
tạm ký hiệu là
I =
b

a
f (t, ω) dW
t
trong đó f (t, ω) là một quá trình ngẫu nhiên nào đó, còn W
t
là chuyển động
Brown nói trên. Thế nhưng, hầu h ế t các quỹ đạ o W

t
của chuyển động Brown
W (t,ω) đều không có biến phân giới nội trên [a, b]. Do đó không thể xây dựng
tích phân
b

a
f (t, ω) dW
t
như đã làm trong Giải tích toán học được. Năm 1941,
nhà toán học Nhật Kyushu Itô đã đưa ra một cách xây dựng tích phân dựa trên
nguyên tắc ánh xạ đẳn g cự. Tích phân đó mang tên ông.
2.1.2 Định nghĩa tích phân Itô
Cho f(t, ω) là một quá trình ngẫu nhiên sao cho E

f
2
(t, ω)

< ∞ với mọi t
và W
t
là một chuyển động Brown tiêu chuẩn (một chiều), tất cả quỹ đạo của f
và của W là xác định trên đoạn a ≤ t ≤ b.
Xét một phân hoạch của đoạn [a, b]:
a = t
0
< t
1
< < t

n
= b
và lập tổng tích phân
S
n
(ω) =
n−1

i=0
f (t
i
, ω) [W (t
i+1
, ω) −W (t
i
, ω)]
24
CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN
VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN
trong đó f(t
i
, ω) là giá trị của f(t, ω) tại đúng đầu mút bên trái của đoạn nhỏ
t
i
, t
i+1
và không thể thay thế f(t
i
, ω) bằng giá trị f(s
i

, ω) tại một điểm s
i
bất kỳ
thuộc đoạn t
i
, t
i+1
như vẫn làm trong định nghĩa tích phân tất định được.
Ta làm mịn phân hoạch của đoạn [a, b], tức là xét các phân hoạch mau dần
sao cho mỗi khoảng t
i
, t
i+1
đều thu nhỏ dần: max
0≤i≤n−1
|t
i+1
− t
i
| → 0
Khi đó, nếu tồn tại một biến ngẫu nhiên S
∗
(ω) sao cho
E |S
n
(ω) − S
∗
(ω)|
2
→ 0 khi n → ∞

thì S
∗
(ω) đ ược gọi là tích phân Itô của quá trình f(t, ω) trên đoạn [a, b] và ký
hiệu là
I =
b

a
f (t, ω) dW
t
. Giới hạn S
∗
(ω) nói trên chính là giới hạn theo n g hĩa bình phương trung bình
của S
n
(ω) và thường kí hiệu là
l.i.m.
n→∞
S
n
(ω) (l.i.m. = limit in mean: giới hạn theo trung bình).
Điều đó có n g hĩa là S
n
→ S
∗
trong L
2
(Ω, F, P ) khi n → ∞.
Vậy ta có:
Định nghĩa

Tích phân Itô của quá trình ngẫu nhiên f(t, ω) là g iới hạn theo nghĩa bình
phương trung bình sau đây nếu nó tồn tại:
I =
b

a
f (t, ω) dW
t
= l.i.m.
max|t
i+1
−t
i
|→0

f (t
i
, ω) [W
t
i+1
− W
t
i
]
Chú ý:
(a) Nếu trong tích phân trên, ta đặt a = 0 và b = t > 0 thì ta có tích phân
Itô
t

0

f (s, ω) dW
s
phụ thuộc vào cận trên là t và từ nay, ta chỉ xét tích phân này.
25
CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN
VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN
(b) Những quá trình ngẫu nhiên f(t, ω) nào thì có tích phân Itô? Người ta
đã chứng minh được rằng đó là các quá trình f(t, ω) thỏa mãn các điều kiện sau
đây:
(i) Đ o được đối với σ-trường tích B
[0,t]
× F và thích nghi đối với F
t
= F
W
t
,
trong đó B
[0,t]
là σ-trường Borel trên [0, t] và F
W
t
là σ-trường sinh bởi chuyển
động Brown W
t
đã cho.
(ii) E
b

a

f
2
(t, ω) dt < ∞,
b

a
f
2
(t, ω) dt ∈ L
1
(Ω, F, P ).
Ngoài ra, nếu kí hiệu G là σ-trường sinh ra bởi các quá trình liên tục trái
thì mỗi g đo được đối với G được gọi là một quá trình khả đoán. và người ta
cũng chứng minh rằng, với mọi quá trình f(t, ω) thỏa mãn 2 điều kiện (i) và
(ii) nói trên thì bao giờ cũng tồn tại một quá trình khả đoán g(t, ω) sao cho
f(t, ω) = g(t, ω) hầu khắp nơi đ ố i với độ đo tích dt × dP .
Các tính chất quan trọng của tích phân Itô
(a) E
t

0
f (s, ω) dW
s
= 0, t ∈ [a, b]
(b) E




t


0
f (s, ω) dW
s




2
= E

t

0
f
2
(s, ω) ds

(tính chấ t đẳng cự)
(c) Bản thân tích phân Itô X
t
=
t

0
f (s, ω) dW
s
là một Martingale đối với σ-
trường F
W

t
.
2.1.3 Vi phân ngẫu nhiên Itô và Công thức Itô
Vi phân Itô
Giả sử rằng X = (X
t
, t ≥ 0) là một quá trình ngẫu nhiên sao cho:
(a) Hầu hết các quỹ đạo t → X
t
là liên tục.
(b) Hầu chắc chắn X
t
có biểu diễn:
X
t
= X
0
+
t

0
h (s, ω) ds +
t

0
f (s, ω) dW
s
(∗)
26