Phân phối xác suất của hàm các biến ngẫu nhiên

Khoá luận tốt nghiệp

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*****&*****

VŨ THỊ THANH HUYỀN

PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA HÀM CÁC
BIẾN NGẪU NHIÊN

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Hà Nội, 2009

Vũ Thị Thanh Huyền

1

K31B CNKH Toán


Khoá luận tốt nghiệp

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*****&*****
VŨ THỊ THANH HUYỀN

PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA HÀM CÁC
BIẾN NGẪU NHIÊN
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
Th.s. Nguyễn Trung Dũng

Hà Nội, 2009

Vũ Thị Thanh Huyền

2

K31B CNKH Toán


Khoá luận tốt nghiệp

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ................................................................................................ 3
LỜI CAM ĐOAN .......................................................................................... 4
LỜI NÓI ĐẦU ............................................................................................... 5
Chƣơng 1. Kiến thức chuẩn bị ..................................................................... 6
1.1 Hàm phân phối xác suất ............................................................................ 6
1.1.1 Một số định nghĩa ........................................................................... 6
1.1.2 Hàm phân phối xác suất của một số b.n.n độc lập ........................ 6
1.2 Hàm sinh mômen ..................................................................................... 8
1.2.1 Định nghĩa hàm sinh mômen .......................................................... 8
1.2.2 Hàm sinh mômen của một số b.n.n độc lập.................................... 10
Chƣơng 2. Phân phối xác suất của hàm các biến ngẫu nhiên .................. 13

2.1 Kĩ thuật dựa trên hàm phân phối xác suất đồng thời ............................... 13
2.1.1 Mô tả phương pháp ........................................................................ 13
2.1.2 Phân phối xác suất của Max và Min .............................................. 14
2.1.3 Phân phối của tổng và hiệu hai biến ngẫu nhiên ........................... 18
2.1.4 Phân phối của tích và thương ........................................................ 21
2.2 Kĩ thuật dựa trên hàm sinh mômen .......................................................... 24
2.2.1 Mô tả phương pháp ........................................................................ 24
2.2.2 Phân phối của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập .......................... 27
2.3 Kĩ thuật dựa trên phép biến đổi Y  g  X  ............................................... 32
2.3.1 Trường hợp biến ngẫu nhiên có phân phối rời rạc ........................ 32

Vũ Thị Thanh Huyền

3

K31B CNKH Toán


Khoá luận tốt nghiệp

2.3.2 Trường hợp biến ngẫu nhiên có phân phối liên tục ....................... 34
KẾT LUẬN ................................................................................................... 43
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 44

Vũ Thị Thanh Huyền

4

K31B CNKH Toán

Khoá luận tốt nghiệp

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khoá luận này, trước hết em xin bày tỏ lòng biếy ơn sâu sắc
đến các thầy, cô giáo trong khoa toán nói chung và các thầy, cô giáo trong tổ
Toán ứng dụng nói riêng đã tạo điều kiện cho em trong suốt thời gian làm khoá
luận.
Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy giáo
Nguyễn Trung Dũng- người đã giúp đỡ em tận tình trong quá trình chuẩn bị và
hoàn thành khoá luận.

Vũ Thị Thanh Huyền

5

K31B CNKH Toán


Khoá luận tốt nghiệp

LỜI CAM ĐOAN

Khoá luận của em được hoàn thành sau một thời gian miệt mài nghiên cứu
cùng với sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo, Thạc sĩ Nguyễn Trung Dũng.
Trong quá trình làm khoá luận em có tham khảo một số tài liệu như đã nêu
ở mục tài liệu tham khảo.
Em xin cam đoan khoá luận này là kết quả nghiên cứu khoa học của riêng
em và nó không trùng với kết quả của bất kì tác giả nào khác.

Hà Nội, ngày 13 tháng 05 năm 2009
Sinh viên

Vũ Thị Thanh Huyền

Vũ Thị Thanh Huyền

6

K31B CNKH Toán


Khoá luận tốt nghiệp

LỜI NÓI ĐẦU

Ngày nay, “ Lý thuyết xác suất” đã không còn là một lĩnh vực toán học
mới mẻ mà nó đã trở thành một ngành Toán học lớn trong nền toán học thế giới.
Người ta biết đến lý thuyết xác suất không chỉ vì nó là một ngành toán học chặt
chẽ về lý thuyết mà nó còn có ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành khoa học kĩ
thuật, khoa học xã hội và nhân văn. Đặc biệt nó gắn liền với khoa học thống kê,
một khoa học về các phương pháp thu thập, tổ chức và phân tích các dữ liệu,
thông tin định lượng.
Với đề tài : “ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA HÀM CÁC BIẾN NGẪU
NHIÊN” luận văn trình bày một số phương pháp tìm phân phối xác suất của
hàm các biến ngẫu nhiên. Luận văn gồm hai chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này trình bày một số biến ngẫu nhiên thường gặp và hàm sinh
mômen của nó.

Chương 2. Phân phối xác suất của hàm các biến ngẫu nhiên
Trong chương này trình bày một số phương pháp để tìm phân phối xác suất của
hàm các biến ngẫu nhiên.
Với khóa luận này, em mong rằng nó sẽ là một tài liệu bổ ích cho những ai
quan tâm đến vấn đề này.

Vũ Thị Thanh Huyền

7

K31B CNKH Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
1.1.1. Một số định nghĩa
Định nghĩa 1.1 Hàm số FX  x   P   : X    x  , x được gọi là hàm
phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X .
Định nghĩa 1.2 Cho vectơ ngẫu nhiên X   X1, X 2  . Hàm số FX1 , X 2  x1 , x2  xác
định bởi
FX1 , X 2  x1 , x2   P  X 1  x1 , X 2  x2  ,   x1 , x2    2 được gọi là hàm phân

phối xác suất đồng thời của vectơ ngẫu nhiên X.
Từ phân phối xác suất đồng thời của X1, X 2 ta có thể tìm ra phân phối của X1
hoặc X 2 . Khi đó phân phối của X1 và X 2 của được gọi là phân phối biên duyên.
1.1.2 Phân phối của một số biến ngẫu nhiên thƣờng gặp
a. Phân phối nhị thức
Định nghĩa 1.3 B.n.n X được gọi là có phân phối nhị thức với tham số n,p với

n   * ,0  p  1, nếu
P  X  k   Cn k . p k .1  p 

nk

, k  0, n .

Kí hiệu X  B  n, p  .
Đặc biệt nếu n  1 thì ta nói X có phân phối Becnuli.
b. Phân phối Poisson

Định nghĩa 1.4 B.n.n X được gọi là có phân phối Poisson với tham số
    0  , nếu

Vũ Thị Thanh Huyền

8

K31B CNKH Toán


Khoá luận tốt nghiệp

P X  k  

Kí hiệu

e  k
k!

, k = 0, 1, 2,…

.

X  Poi    .

c. Phân phối chuẩn (phân phối Gauss)
Định nghĩa 1.5 B.n.n X được gọi là có phân phối chuẩn với tham số(  , 2 )với

    , 2  0 nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng
  x  
fX  x 
.exp 
2 2
2 2

1



2


 ,   x  .


Kí hiệu X  N   , 2  .
Trường hợp đặc biệt, nếu   0, 2  1 thì X được gọi là có phân phối chuẩn
tắc, kí hiệu là X  N  0,1 .

2

1  x2
Chú ý: Nếu X  N  0,1 thì f X  x  
e và
2
FX  x  

x





2

1  t2
.e dt    x  .
2

d. Phân phối mũ
Định nghĩa1.6 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối mũ với tham số

 e   x , x  0
.
    0  nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng f X  x   
0,
x

0


Kí hiệu là X  Exp    .

Vũ Thị Thanh Huyền

9

K31B CNKH Toán


Khoá luận tốt nghiệp

e. Phân phối đều
Định nghĩa 1.7 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối đều trên đoạn
 1
, x   a, b 
.
 a, b nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng f X  x    b  a
0, x   a, b 


Kí hiệu là X  U  a, b  .
f. Phân phối Gamma
Định nghĩa 1.8 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Gamma với các
tham số r  0,   0 nếu hàm phân phối xác suất của nó có dạng
 r   1  rx
x e ,x  0

f X  x   
.

0, x  0


Kí hiệu là X  G  r ,   .
1.2 HÀM SINH MÔMEN
1.2.1 Định nghĩa hàm sinh mômen
Định nghĩa 1.9 Cho biến ngẫu nhiên X. Hàm sinh mômen của X kí hiệu là

mX  t  được xác định bởi mX  t   E  etX  nếu tồn tại h>0 sao cho mX  t  tồn tại
với mọi t  h .
Chú ý: Thuật ngữ hàm sinh mômen xuất phát từ các mômen cấp r của X, có thể
được tính từ mX  t  .
Thật vậy, sử dụng khai triển Taylor cho hàm e x ta có
   tX i   t i
t 2E  X 2 
i
mX  t   E  e   E  
E  X   1  tE  X  
 ...

 i 0 i !  
i
!
2!

 i 0
tX

Vũ Thị Thanh Huyền

10

(1.1)

K31B CNKH Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Với t = 0 ta có mX  0   1 .
Từ điều kiện tồm tại của mX  t  ta đạo hàm hai vế của (1.1) đối với t ta được
t2
mX  t   E  X   tE  X   E  X 3   ...
2!
2

(1.2)

Cho t = 0 ta được mX  0   EX .
Đạo hàm hai vế của (1.2) đối với t ta được

mX  t   tE  X 2   tE  X 3   ...
Cho t = 0 ta được mX  0   E  X 2  .
Tiếp tục quá trình này ta tìm được
r
mX   0   E  X r  .

Định lý 1.1 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm sinh mômen là mX  t  . Khi đó, biến
ngẫu nhiên Y = aX + b với a, b là các hằng số thực có hàm sinh mômen là
mY  t   etb mX  at  .

Chứng minh
Ta có



mY  t   E  etY   E e 

t aX b 

  e E e   e m
tb

atX

tb

X

 at 

(đpcm).

Định lý 1.2 Cho X1,, X n là các biến ngẫu nhiên độc lập với các hàm sinh
n

mômen tương ứng là mX i  t  , i=1, 2, ..., n . Đặt Z   ai X i với các a1,, an là
i 1

n

các hằng số thực. Khi đó

mZ  t    mX i  ait  .
i 1

Chứng minh

Vũ Thị Thanh Huyền

11

K31B CNKH Toán


Khoá luận tốt nghiệp

n

Ta có

mZ  t   Ee  Ee
tZ

t

 ai X i
i 1

n

 Ee

 aitX i

n

  Ee

i 1

n

aitX i

i 1

  mX i  ait  .
i 1

1.2.2 Hàm sinh mômen của một số biến ngẫu nhiên thƣờng gặp
a. Biến ngẫu nhiên có phân phôi nhị thức
Nếu X tuân theo phân phối nhị thức B(n,p) thì
mX  t    p.et  q  , q  1  p .
n

Chứng minh
Ta có
n

mX  t   Ee   e .Cn . p .q
tX

tk

k

k

n k

k 0

  Cn k . et p  .q k   p.et  q  , q  1  p .
n

k

n

k 0

Nếu X tuân theo phân phối Becnuli B(1,p) thì

 X  t    p.et  q  , q  1  p .
b. Biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson
Nếu X tuân theo phân phối Poisson Poi(  ) thì

mX  t   e

 .

 et 1

Chứng minh


Ta có

mX  t   EetX   e

k 
kt  e

k!

k 0



 e  

 e 

k 0

t k

k!

 e   e e  e
t

 .

 et 1

c. Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn
Nếu X tuân theo phân phối chuẩn tắc N(0,1) thì

mX  t   e



t2
2

.

Chứng minh
Ta có

Vũ Thị Thanh Huyền

12

K31B CNKH Toán


Khoá luận tốt nghiệp

mX  t   Ee 
tX
















2

2

2

2

1 tx  x2
1 tx  t2  x2 t2
e e dx  

e e e e dx
2
2




t
t
1 21t  x 2 t2
1  12 t  x 2
2
e
e dx  e 
e
dx  e 2 .
2
 2
2

2

2

Nếu X tuân theo phân phối chuẩn N (  , 2 ) thì

mX  t   e

t 

 2t 2
2

.

Chứng minh
Ta có

mX  t   EetX 



1



2 2











e

t 



1
2 2

e

etxe



 x   2
2

2





dx 







2
2 2
1 
x   2t    t   t

2 2 
2

e

1
2 2

dx  e

t 

etxe



2
 2t 2  x
 2t 2
2
2

2
2

 2t 2 
2





e

1
2 2

e


e

x

e e
2



2
2 2





2
1 
x   2t   

2 2 

dx

dx

 2t 2
2

.

d. Biến ngẫu nhiên có phân phối mũ
Nếu X tuân theo phân phối mũ Exp    thì
mX  t  


 t

.

Chứng minh
Ta có

mX  t   E  e



tX

   e e
tx

0

 x



dx 

 e
0

   t  x

dx 





e
 t 
0

  t  x

dx 


 t

.

e. Biến ngẫu nhiên có phân phối Gamma

Vũ Thị Thanh Huyền

13

K31B CNKH Toán


Khoá luận tốt nghiệp



 r 
mX  t   
 .
 r t 

Nếu X tuân theo phân phối Gamma G  r ,   thì
Chứng minh


r   1  rx
Ta có mX  t   E  e    e
x e dx 




0
tX

Trong đó     



x

tx




0

r   1  r t  x
x e
dx .
 

e dx   1    1   2 ...1 .

 1  x



0

Bằng cách tính tích phân từng phần  lần ta thu được


 r 
mX  t   
 .
 r t 
f. Biến ngẫu nhiên có phân phối đều

et
Nếu X tuân theo phân phối đều U  a, b  thì mX  t  
eb  e a  .

t b  a 
Chứng minh
b
1
et
tX
tx
dx 
eb  e a  .
Ta có mX  t   E  e    e


ba
t b  a 
a

Vũ Thị Thanh Huyền

14

K31B CNKH Toán


Khoá luận tốt nghiệp

Chƣơng 2: PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA HÀM CÁC BIẾN
NGẪU NHIÊN
Cho các biến ngẫu nhiên c và g1 ,...,  , g2 ,...,  ,..., gk ,...,  là các hàm
đo được trên  n . Vấn đề đặt ra là tìm phân phối xác suất của các biến ngẫu
nhiên Y j  g j  X 1 ,, X n  , j  1,2,..., k .
Dưới đây là một số kĩ thuật để tìm hàm phân phối xác suất của các biến
ngẫu nhiên Yj , j  1,2,..., k .
2.1 KĨ THUẬT DỰA TRÊN HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐỒNG THỜI
2.1.1. Mô tả phƣơng pháp
Cho X1,, X n là các biến ngẫu nhiên và g1 ,...,  , g2 ,...,  ,..., gk ,..., 
là các hàm đo được trên  n . Khi đó hàm phân phối xác suất đồng thời của các
biến ngẫu nhiên Y1,,Yk được xác định bởi
FY1 ,,Yk  y1 , y2 ,..., yk   P Y1  y1;...;Yk  yk   P  g1  X1,, X n   y1;...; g k  X 1,, X n   yk 

trong đó Y j  g j  X 1 ,, X n  , j  1,2,..., k .

Kĩ thuật này được gọi là kĩ thuật dựa trên hàm phân phối xác suất đồng thời.
Đặc biệt, nếu k=1 thì FY  y   P Y  y   P  g  X1,, X n   y  .
Ví dụ 2.1 Cho biến ngẫu nhiên X  N  0,1 . Tìm hàm phân phối xác suất
đồng thời của biến ngẫu nhiên Y  g  X   X 2 .
Giải

Theo định nghĩa ta có

FY  y   P Y  y   P  X 2  y   P  y  X  y   

Vũ Thị Thanh Huyền

15

 y     y 

K31B CNKH Toán


Khoá luận tốt nghiệp

y

y

= 2    u  du  2 
0

0

1  12 u 2
2
e du 
2
2

y

2

1

0

z

e

1
 z
2

dz

y

1
1  12 z
e dz với y > 0.
=

1


2
z
0 
 
2

d
1
1  12 y
Suy ra fY  y    FY  y   
với y > 0 .
e
dy
 1  2y
 
2

 1
1  12 y
e ,y0
 1
   2y
1 1
Vậy fY  y      
hay Y  G  ,  .
2 2
 2

0, y  0
Sau đây là một số ứng dụng của phương pháp này.
2.1.2. Phân phối xác suất của Max và Min
Giả sử X1,, X n là các biến ngẫu nhiên xác định trên cùng không gian
xác suất  , , P  . Ta kí hiệu

Y1  Min  X1,, X n ,Yn  Max  X 1,, X n  thì Y1 ,Yn cũng là các biến ngẫu nhiên,
tức là với mỗi   ta có X i   là các số thực nên Y1   ,Yn   cũng là các
số thực. Khi đó

Y1    Min  X1   ,, X n   là số thực nhỏ nhất trong các số thực

X1   ,, X n   và Yn    Max  X1   ,, X n   là số thực lớn nhất trong
các số thực X1   ,, X n   .
Ta có hàm phân phối xác suất của Y1 ,Yn có dạng
FY1  y   P Y1  y   1  P Y1  y   1  P  X 1  y,, X n  y  và

Vũ Thị Thanh Huyền

16

K31B CNKH Toán


Khoá luận tốt nghiệp

FYn  y   P Yn  y   P  X 1  y,, X n  y  .

Đặc biệt, nếu X1,, X n là các biến ngẫu nhiên độc lập và có các hàm phân phối
xác suất tương ứng là FX i   thì

n

n

i 1

i 1

P  X 1  y,, X n  y    P  X i  y    FX i  y  .
n

n

i 1

i 1

và 1  P  X 1  y,, X n  y   1   P  X i  y   1   1  FX i  y  .
Nếu X1,, X n có cùng hàm phân phối xác suất là FX  thì
n

n

 FXi  y    FX  y  và 1   1  FX  y   1  1  FX  y  .
n

i 1

n

i 1

Từ các công thức trên ta thấy rằng hàm phân phối xác suất của Y1 ,Yn có thể biểu
diễn được qua hàm phân phối biên duyên của X1,, X n .
Định lý 2.1 Nếu X1,, X n là các biến ngẫu nhiên độc lập và có các hàm phân
phối xác suất tương ứng là FX i   , Yn  Max  X1,, X n  thì
n

FY n  y    FX i  y  .
i 1

Nếu X1,, X n có cùng hàm phân phối xác suất là FX  thì
FYn  y    FX  y   .
n

Chứng minh

Ta có

FYn  y   P Yn  y   P  X 1  y,, X n  y  ( do X1,, X n độc lập )
n

n

i 1

i 1

  P  X i  y    FX i  y  .
Nếu X1,, X n có cùng hàm phân phối xác suất là FX  thì

Vũ Thị Thanh Huyền

17

K31B CNKH Toán


Khoá luận tốt nghiệp

n

FYn  y    FX  y    FX  y   .
n

i 1

Hệ quả 2.1 Nếu X1,, X n là các biến ngẫu nhiên liên tục, độc lập có cùng hàm
mật độ xác suất là f X  và hàm phân phối xác suất là FX  thì
fYn  y   n  FX  y  

n 1

fX  y.

Chứng minh
Ta có fYn  y  

n 1 d
n 1

d
 FYn  y    n  FX  y  
 FX  y    n  FX  y  f X  y  .
dy
dy

Địmh lý 2.2 Nếu X1,, X n là các biến ngẫu nhiên độc lập và có các hàm phân
phối xác suất tương ứng là FX i   , Y1  Min X1,, X n  thì
n

FY 1  y   1   1  FX i  y  .
i 1

Nếu X1,, X n là các biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng hàm phân phối xác
suất là FX  thì
FY 1  y   1  1  FX  y   .
n

Chứng minh

Ta có

FY1  y   P Y1  y   1  P Y1  y   1  P  X 1  y,, X n  y 
n

 1   P X i  y
i 1

( Do X1,, X n độc lập)

n

 1   1  FX i  y   .
i 1

Nếu X1,, X n là các biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng hàm phân phối xác
suất là FX  thì

Vũ Thị Thanh Huyền

18

K31B CNKH Toán


Khoá luận tốt nghiệp

n

FY 1  y   1   1  FX  y    1  1  FX  y   .
n

i 1

Hệ quả 2.2 Nếu X1,, X n là các biến ngẫu nhiên liên tục, độc lập có cùng hàm
mật độ xác suất là f X  và hàm phân phối xác suất là FX  thì
fY1  y   n 1  FX  y  

n 1

fX  y .

Chứng minh
Ta có
fY1  y  

n 1 d
n 1
d
 FY1  y    n 1  FX  y  
 FX  y    n 1  FX  y   f X  y  .
dy
dy

Ví dụ 2.2 Giả sử tuổi thọ của một bóng đèn thắp sáng là một biến ngẫu nhiên có
phân phối mũ với trung bình là 100 giờ. Thắp sáng đồng thời 10 bóng. Tìm phân
phối xác suất của bóng đèn tắt đầu tiên và tính kì vọng của nó.
Giải
Giả sử X i là tuổi thọ của bóng đèn thứ i, i=1, 2,…, n thì Y1  Min X1,, X n  là
bóng đèn có tuổi thọ ngắn nhất(hay là bóng đèn tắt đầu tiên).
Giả sử X1,, X n là các biến ngẫu nhiên độc lập.
Ta có EX i  100, i  1,2,..., n suy ra X i  Exp  i  với i 

1
1
.

EX i 100

Theo hệ quả 2.2 thì

   1 y 101 1  1 y
10  e 100 
e 100 , y  0
fY1  y    
 100

0, y  0

Vũ Thị Thanh Huyền

19

.

K31B CNKH Toán


Khoá luận tốt nghiệp

 1 101 y
 e ,y0
 10
.
0, y  0


Vậy Y1  Exp    ,  

1
1

, Do đó EY1   10 .
10


2.1.3.Phân phối của tổng và hiệu hai biến ngẫu nhiên
Định lý 2.3 Giả sử X và Y là hai biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác
suất đồng thời f X ,Y  x, y  . Đặt Z = X + Y và V = X – Y thì

fZ  z  





f X ,Y  x, z  x dx 



và

fV  v  







f X ,Y  z  y, y dy



(1)



f X ,Y  x, x  v dx 







f X ,Y  v  y, y dy

(2)



Chứng minh
Ta có FZ  z   P  Z  z   P  X  Y  z 





x y z

 zx


f X ,Y  x, y  dxdy     f X ,Y  x, y  dy  dx .
  



Bằng cách thay y  u  x vào biểu thức ở trên ta được

z

FZ  z      f X ,Y  x, u  x  du  dx .
  





d
f Z  z    FZ  z     f X ,Y  x, z  x  dx .
dz


Do đó

Tương tự, bằng cách thay x  u  y ta cũng có

z

FZ  z      f X ,Y  u  y , y  du  dy
  




Vũ Thị Thanh Huyền

20

K31B CNKH Toán


Khoá luận tốt nghiệp



d
f Z  z    FZ  z     f X ,Y  z  y , y  dy .
dz


và

Vậy ta có (1).
Ta cũng có FV  v   P V  v   P  X  Y  v 





x  y v

 x v

f X ,Y  x, y  dxdy     f X ,Y  x, y  dy  dx .
  



Thay y  x  u vào biểu thức trên ta được

v

FV  v      f X ,Y  x, x  u  du  dx .
  





d
fV  v    FV  v     f X ,Y  x, x  v  dx
dv


Do đó

.

Tương tự, thay y  x  u ta có

v


FV  v      f X ,Y  u  y , y  du  dx
  





d
fV  v    FV  v     f X ,Y  v  y , y  dy .
dv


và

Vậy ta có (2).
Hệ quả 2.3 Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên liên tục, độc lập và Z =X + Y thì

f Z  z   f X Y  z  





 f  z  x  f  x  dx   f  z  y  f  y dy
Y

X

X



Y

(3)



Chứng minh
Ta có

FZ  z   P  Z  z   P  X  Y  z 

Vũ Thị Thanh Huyền

21

K31B CNKH Toán


Khoá luận tốt nghiệp





 P  X  Y  z | X  x  f  x  dx
X








 P  x  Y  z  f  x  dx   F  z  x  f  x  dx .
X

Y



Do đó

X





d
d 
f Z  z    FZ  z      FY  z  x  f X  x  dx 
dz
dz  





d
   FY  z  x   f X  x  dx   fY  z  x  f X  x  dx .
dz


Chứng minh tương tự ta cũng có

fZ  z  



 f  z  y  f  y  dy .
X

Y



Vậy ta có (3).
Chú ý: Công thức được cho trong phương trình (3) thường được gọi là công thức
chập. Trong giải tích toán, hàm f Z  được gọi là tích chập của các hàm f X 
và fY  .
Ví dụ 2.3 Giả sử X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập và có các hàm mật độ
xác suất f X  x   fY  y   I  0,1  x  . Chứng minh rằng 0  Z  X  Y  2 .
Giải

Ta có

f Z  z   f X Y  z  



 f  z  x  f  x  dx
Y

X






 I   z  x I   x  dx
0,1

0,1



Vũ Thị Thanh Huyền

22

K31B CNKH Toán


Khoá luận tốt nghiệp





 I    x  I    z   I 
0, z

0,1



z 1,1

z

1

0

z 1

 x  I1,2   z dx

 I  0,1  z   dx  I1,2   z   dx
 zI  0,1  z    2  z  I 1,2   z  .

Vậy 0  Z  X  Y  2 .
2.1.4. Phân phối của tích và thƣơng
Định lý 2.4 Giả sử X và Y là các biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác
suất f X ,Y  x, y  . Giả sử Z  XY và U 

fZ  z  







fU  u  

và





X
thì
Y


z 
1
1
 z
f X ,Y  x, dx  
f X ,Y  , y dy
x
y

 x
y 


(4)

y f X ,Y  uy, y  dy .

(5)



Chứng minh

Ta có

FZ  z   P  Z  z   P  XY  z 




f X ,Y  x, y  dxdy

xy  z

 

z

 x





    f X ,Y  x, y  dy dx     f X ,Y  x, y  dy dx .
 z
0 
 x



0

Bằng cách thay u  xy ta có
 z
 

 u  du 
 u  du 
FZ  z      f X ,Y  x,  dx     f X ,Y  x,  dx
 x x 
 x x 
  z
0  
0

Vũ Thị Thanh Huyền

23

K31B CNKH Toán


Khoá luận tốt nghiệp

z 
 1
0 1
 u 
 u 
     f X ,Y  x,  dx du     f X ,Y  x,  dx du
x
x
 x 
 x 
  
  0
z

  1
 u 
  
f X ,Y  x,  dx du
x
 x 
  
z

.



d
1
 z
f Z  z    FZ  z    
f X ,Y  x.  dx .
dz
x
 x


Do đó

Chứng minh tương tự ta cũng có

fZ  z  







z 
1
f X ,Y  , y dy
y
y 

.

Vậy ta có (4).

X

FU  u   P U  u   P   u 
Y



 f  x, y  dxdy
X ,Y

x
u
y

 uy
 



    f X ,Y  x, y  dx dy     f X ,Y  x, y  dx dy .
 uy
 
0  


0

Thay z 

x
ta được
y
 u
 



FU  u      f X ,Y  zy, y  ydz dy     f X ,Y  zy, y  ydz dy
  u
0  


0

u 


0

      y  f X ,Y  zy, y  dy dz     yf X ,Y  zy, y  dy dz
  
  0


u

Vũ Thị Thanh Huyền

24

K31B CNKH Toán


Khoá luận tốt nghiệp

 

    y f X ,Y  zy, y  dy dz .
  

u

Suy ra


d
fU  u  
 FU  u     y f X ,Y  zy , y  dy .
du 

Ví dụ 2.4 Giả sử X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối đều trên
khoảng  0,1 . Giả sử Z  XY và U 
Giải

X
. Tìm f Z  z  , fU  u  , EU .

Y

Ta có

fZ  z  









1
1
 z
z
f X ,Y  x.  dx   I  0,1  x  I 0,1   dx
x
x
 x
 x

1

1

dx
  ln zI  0,1  z  .

x
z

 I  0,1  z   I  z ,1  x  dx  I  0,1  z  
0

fU  u  





y f X ,Y  uy, y  dy 





y  I  0,1  u  I 0,1  y   I1,    u  I  1   y   dy
 0, 


 u















y I  0,1 uy  I 0,1  y  dy

1
u

1

1
1
 I  0,1  u  0 ydy  I1,   u   ydy  I 0,1  u   2 I1,    u  .
2
2u
0
0
và

Vũ Thị Thanh Huyền

X
E
Y

1
1

  EU   udu 
20
2

1

25



du

u

2

  .

0

K31B CNKH Toán