Phân phối của hàm các biến ngẫu nhiên trong xác suất thống kê - 2 doc

Từ đó,



Ví dụ 3.3. (Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức)
Giả sử X là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B(n, p). Đặt

thì . Do E(X
i
) = p với mọi i = 1, 2, , n nên .
 Hiệp phương sai
Mệnh đề 3.4. Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập thì với mọi hàm Borel g, h
E[g(X).h(Y)] = E[g(X)].
E[h(Y)]
Định nghĩa 3.5. Hiệp phương sai của 2 biến ngẫu nhiên X và Y, ký hiệu Cov(X,
Y) được xác định bởi
Cov(X, Y) = E[(X – E(X))(Y -
E(Y))]
Khai triển vế phải ta nhận được
Cov(X, Y) = E(XY) –E(X).E(Y)
Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập thì theo Mệnh đề 3.4 ta có Cov(X, Y) =
0. Tuy nhiên khẳng định ngược lại không đúng.
Thật vậy, cho X là biến ngẫu nhiên có phân phối xác suất

và biến ngẫu nhiên .
Dễ thấy E(X) = 0 và do XY = 0 nên E(XY) = 0. Như vậy
Cov(X, Y) = E(XY) – E(X)E(Y) = 0
tuy nhiên rõ ràng X, Y là không độc lập.
Tính chất 3.6.
 Cov(X, Y) = Cov(Y, X)
 Cov(X, X) = D(X)

 Cov(aX, Y) = a Cov(X, Y), a là hằng số.


 Phương sai của tổng các biến ngẫu nhiên
Từ các tính chất trên của hiệp phương sai ta có

Như vậy,


và nếu X
1
, , X
n
là các biến ngẫu nhiên độc lập thì .
Ví dụ 3.7. Cho X
1
, , X
n
là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối với
phương sai . Đặt . Chứng minh
Giải. Ta có

.
 Hệ số tương quan
Định nghĩa 3.8. Hệ số tương quan của 2 biến ngẫu nhiên X và Y, ký hiệu r(X, Y)
được xác định bởi : Nếu D(X) và D(Y) thì
r(X, Y)

Nếu D(X) = 0 hoặc D(Y) = 0 hay có ít nhất một trong 2 đại lượng ngẫu nhiên X, Y
là hằng số thì ta quy ước r(X, Y) = 0.

Khi r(X, Y) = 0, ta nói X, Y không tương quan. Lưu ý rằng nếu X, Y độc lập thì
X, Y không tương quan nhưng khẳng định ngược lại không đúng. (Ví dụ trong
Định nghĩa 3.5)
Định lí 3.9. Với mọi biến ngẫu nhiên X, Y ta luôn có
và khi và chỉ khi X và Y là phụ thuộc tuyến tính.
Chứng minh . Xét phương sai của đại lượng . Ta có


Từ đó suy ra r(x, Y) 1.
Tương tự, xét phương sai của ta nhận được r(X, Y) -1.
Bây giờ, giả sử nếu r(X, Y) = ±1. Từ chứng minh trên suy ra ,
nghĩa là = c với c là hằng số. Như vậy
,
nghĩa là X,Y phụ thuộc tuyến tính.
Ngược lại, nếu Y = aX + b với a,b là hằng số thì
Cov(X, Y) =
Vậy
(X, Y) =
Định lí được chứng minh.