Khai thác bài tập chủ đề quan hệ vuông góc (hình học 11)

PHẦN I - MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Hoạt động giải toán là hoạt động mà thông qua giải bài tập, học sinh phải thực
hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định
lí, quy tắc hay phƣơng pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động
trí tuệ phổ biến trong Toán học. Do vậy đòi hỏi ngƣời thầy giáo - ngƣời giữ vai trò
chủ đạo trong hoạt động dạy học phải có phƣơng pháp dạy học thích hợp nhằm
nâng cao hiệu quả quá trình nhận thức của học sinh, đáp ứng yêu cầu và mục tiêu
dạy học. Để góp phần làm đƣợc điều đó, giáo viên cần lựa chọn những kiến thức cơ
bản, trọng tâm trong từng bài học, xây dựng hệ thống câu hỏi, bài tập củng cố kiến
thức, đƣa học sinh vào tình huống có vấn đề.
Hình học là phân môn có tính hệ thống rất chặt chẽ, có tính lôgic và tính trừu
tƣợng hóa cao hơn so với các phân môn khác của Toán học, có thể nói hình học là
phân môn khó trong môn Toán đối với nhiều học sinh, đặc biệt là phần hình học
không gian lớp 11, trong đó có chƣơng “Quan hệ vuông góc”.
Về mặt lí thuyết, định nghĩa và tính chất của phân môn hình học rõ ràng, ngắn
gọn, chính xác. Tuy nhiên để làm bài tập học sinh còn lúng túng, ngộ nhận. Vì vậy
cần đƣa ra cho học sinh những bài tập vận dụng để giúp học sinh củng cố lí thuyết,
rèn luyện kĩ năng, sáng tạo cái mới trên cơ sở những điều đã biết.
Vì những lí do trên mà em chọn đề tài là :
“Khai thác bài tập chủ đề “Quan hệ vuông góc” (Hình học 11)”.
1.2.

Mục tiêu - nhiệm vụ nghiên cứu

1.2.1. Mục tiêu nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận chung về bài tập toán học.
- Nghiên cứu chủ đề quan hệ vuông góc của hình học không gian lớp 11 THPT.
- Khai thác bài tập trong chủ đề “Quan hệ vuông góc”.
1.2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lí luận nhằm xây dựng hệ thống các bài tập phục vụ giảng dạy

chƣơng " Quan hệ vuông góc" trong hình học không gian lớp 11 THPT .

1


PHẦN II – NỘI DUNG
CHƢƠNG 1: CƠ Sở Lí LUậN
2.1.1. Bài tập toán học
Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn Toán. Điều căn bản là bài tập
có vai trò giá mang hoạt động của học sinh. Thông qua giải bài tập, học sinh phải
thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa,
định lí, quy tắc hay phƣơng pháp, những hoạt động Toán học phức hợp, những hoạt
động trí tuệ phổ biến trong Toán học. Hoạt động của học sinh liên hệ mật thiết với
mục tiêu, nội dung và phƣơng pháp dạy học, vì vậy vai trò của bài tập toán học
đƣợc thể hiện trên cả ba bình diện này:
Thứ nhất, trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học ở trƣờng phổ thông
là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện mức độ
đạt mục tiêu. Mặt khác, những bài tập cũng thể hiện những chức năng khác nhau
hƣớng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn Toán, cụ thể là:
+ Hình thành củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khác nhau của quá
trình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn.
+ Phát triển năng lực trí tuệ: Rèn luyện những hoạt động tƣ duy, hình thành
những phẩm chất trí tuệ.
+ Bồi dƣỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất đạo
đức của ngƣời lao động mới.
Thứ hai, trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập Toán học là giá mang
hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, một phƣơng tiện cài đặt nội dung
để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã đƣợc trình bày trong phần
lí thuyết.
Thứ ba, trên bình diện phƣơng pháp dạy học, bài tập toán học là giá mang hoạt

động để ngƣời học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các
mục tiêu dạy học khác. Khai thác tốt những bài tập nhƣ vậy sẽ góp phần tổ chức
cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động
và sáng tạo đƣợc thực hiện độc lập hoặc trong giao lƣu.

2


Trong thực tiễn dạy học, bài tập sử dụng với những dụng ý khác nhau về
phƣơng pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội
dung mới, củng cố hoặc kiểm tra,…Đặc biệt là về mặt kiểm tra, bài tập là phƣơng
tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm việc độc lập và trình độ
phát triển của học sinh,…
2.1.2. Vai trò, ý nghĩa của bài tập toán
2.1.2.1.

Củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh

Trong thực tế, môt bài tập toán học chứa đựng nhiều kiến thức về khái niệm
toán học và các kết luận toán học. Khi giải một bài tập đòi hỏi ta phải phân tích các
dữ kiện của bài tập, huy động các kiến thức đã cho trong đề bài và kiến thức đã biết
có liên quan đến bài tập, tổng hợp lại để đề ra các kiến thức mới. Và cứ nhƣ vậy
các kiến thức mới đƣợc tìm ra lại cùng các kiến thức đã biết trƣớc đƣợc phân tích,
tổng hợp lại để đề ra các kiến thức mới nữa. Cuối cùng chúng ta đi đến đƣợc lời
giải bài tập.
Nhƣ vậy, khi giải một bài tập toán học không những chỉ các kiến thức đã có
trong bài tập, mà cả một hệ thống kiến thức liên quan tới bài tập cũng đƣợc củng cố
qua lại nhiều lần.
2.1.2.2.

Rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh

Đặc điểm nổi bật của môn toán là một môn khoa học suy diễn, đƣợc xây dựng
bằng phƣơng pháp tiên đề. Do vậy, lời giải của bài tập toán học là một hệ thống
hữu hạn các thao tác có thứ tự chặt chẽ để đi đến một mục đích rõ rệt. Vì vậy giải
một bài tập có tác dụng trực tiếp rèn luyện cho ta năng lực sử dụng các suy luận
lôgic : Suy luận có căn cứ đúng, suy luận theo quy tắc suy diễn.
Chúng ta biết rằng không có một phƣơng pháp chung nào để giải đƣợc mọi bài
tập toán học. Mỗi bài tập có một hình, một vẻ khác nhau, muốn tìm đƣợc lời giải
bài tập chúng ta phải biết phân tích, phải biết cách dự đoán kết quả, biết cách kiểm
tra dự đoán, biết cách liên hệ với các vấn đề tƣơng tự gần giống nhau, biết cách suy
luận tổng hợp, khái quát hoá. Nhƣ vậy, qua việc giải bài tập toán học, năng lực tƣ
duy sáng tạo đƣợc rèn luyện và phát triển.

3


2.1.2.3.

Rèn luyện kĩ năng vận dụng các kiến thức toán học cho học sinh

Một trong những yêu cầu của việc nắm vững các kiến thức của bất cứ bộ môn
khoa học nào là hiểu, nhớ và vận dụng các kiến thức của bộ môn khoa học đó vào
việc giải quyết các nhiệm vụ đặt ra, tức là giải quyết đƣợc các bài tập đặt ra trong
lĩnh vực khoa học đó.
Trong dạy học khái niệm toán học: Bài tập toán học đƣợc sử dụng để tổ chức
gây tình huống nhằm dẫn dắt học sinh có thể đi đến định nghĩa khái niệm, bài tập
đƣợc sử dụng để làm các ví dụ hoặc phản ví dụ minh họa cho khái niệm; Bài tập
toán học đƣợc sử dụng để luyện tập, củng cố, vận dụng khái niệm.
Trong dạy học định lý toán học: Bài tập toán học có thể sử dụng để tổ chức gây

tình huống dẫn dắt học sinh phát triển ra nội dung định lí toán học; Bài tập có thể
sử dụng để học sinh tập vận dụng định lý, đặc biệt là việc tổ chức hƣớng dẫn hoc
sinh tập tìm ra lời giải cho một bài tập cơ bản, có nhiều ứng dụng trong một phần
hay một chƣơng nào đó của môn học.
Trong luyện tập toán học: Bài tập toán học là phƣơng tiện chủ yếu trong các tiết
luyện tập, ôn tập. Trong đó, giáo viên phải xây dựng đƣợc hệ thống bài tập có liên
quan chặt chẽ với nhau, nhằm giúp học sinh củng cố kiến thức và hình thành một
số kĩ năng cơ bản nào đó.
2.1.2.4.

Bồi dưỡng và phát triển nhân cách cho học

Điểm cơ bản trong tính cách con ngƣời là : Mọi hoạt động đều có mục đích rõ
ràng. khi giải bài tập ta luôn có định hƣớng mục đích rõ rệt, vì vậy việc giải bài tập
sẽ góp phần tích cực vào việc rèn luyện năng lực hoạt động của con ngƣời. Để giải
một bài tập nhất là đối với bài tập khó, ngƣời giải phải vƣợt qua nhiều khó khăn,
phải kiên trì, nhẫn nại và nhiều khi phải quyết tâm rất lớn mới giải đƣợc một bài
tập.
Hoạt động giải bài tập chính là nhân tố chủ yếu của quá trình hình thành và phát
triển nhân cách con ngƣời.
2.1.3. Phƣơng pháp tìm lời giải bài tập toán học

4


2.1.3.1.

Phương pháp đi xuôi

Xuất phát từ các giả thiết của bài tập toán học đƣợc lấy làm tiền đề. Bằng suy

luận hợp lôgic chúng ta tìm ra các hệ quả lôgic của các tiền đề đó. Tiếp tục chọn
lọc trong đó để lấy ra các hệ quả gần gũi với kết luận của bài tập làm tiền đề mới.
Lại bằng suy luận hợp lôgic chúng ta tìm ra các hệ quả hợp lôgic mới gần gũi với
kết luận. Cứ tiếp tục quá trình đó chúng ta tìm đƣợc hệ quả lôgic trùng với kết luận
của bài tập toán học. Khi ấy ta tìm đƣợc lời giải cho bài tập.
Phƣơng pháp này đƣợc mô tả theo sơ đồ sau:
AC
 X
B  D

(trong đó A,C là giả thiết, X là kết luận)
2.1.3.2.

Phương pháp đi ngược

Đó là quá trình xuất phát từ kết luận của bài tập. Bằng suy luận hợp lôgic
chúng ta đi ngƣợc lên để tìm các tiền đề logic của kết luận.
Tiếp tục, chúng ta chọn lọc trong đó để lấy ra tiền đề gần gũi với giả thiết mới
của kết luận mới này. Quá trình ấy đƣợc tiếp diễn ta tìm đƣợc các tiền đề lôgic
trùng với giả thiết của bài tập, ta đƣợc lời giải của bài tập.
Phƣơng pháp này đƣợc mô tả theo sơ đồ sau:
C  A
X 
D  B

A

(trong đó A,C là giả thiết, X là kết luận)
2.1.3.3.

Ví dụ

Ta cần chứng minh mệnh đề sau đây :
“ Nếu trong tứ diện ABCD ta có AB
và AC

BD thì ta có AD

H
C

CD

X
D

BC”.

Giải:

B

+ Dùng phƣơng pháp đi ngƣợc

Hình 1

5


Muốn chứng minh AD BC, ta chỉ cần tìm đƣợc một điểm X sao cho AX  BC và

DX  BC. Nếu gọi H là trực tâm của tam giác ABC thì ta có
AH  BC. Ta hãy thử xem DH có vuông góc với BC hay không?
Chú ý rằng CH  AB và theo giả thiết CD  AB vậy DH  AB; BH  AC và
theo gỉa thiết BD  AC, vậy DH  AC. Từ đó suy ra DH  BC, từ đó ta có mệnh
đề đƣợc chứng minh.
+ Dùng phƣơng pháp đi xuôi
Gọi H là trực tâm cửa tam giác ABC, ta có DH  AC, ngoài ra theo giả thiết
BD  AC, vậy DH  AC. Ta lại có CD  AB và theo giả thiết CD  AB, vậy
DH  AB vì DH  AC và DH  AB nên DH  BC. Ta lại còn AH  BC, do đó
AD  BC.
+ Kết hợp cả hai phƣơng pháp
Thông thƣờng để giải đựoc bài tập, ta phải kết hợp cả hai phƣơnng pháp đi
xuôi và đi ngƣợc.
2.1.4. Phƣơng pháp chung để giải một bài tập toán học
Dựa trên những tƣ tƣởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của Pôlya
(1975) về cách thức giải bài tập toán học đã đƣợc kiểm nghiệm trong thực tiễn, ta
có phƣơng pháp chung để giải bài tập toán học nhƣ sau:
- Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
+ Phát biểu đề bài dƣới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài tập.
+ Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh.
+ Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài.
- Bƣớc 2: Cách tìm lời giải
+ Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: biến đổi
cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái
phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài tập cần giải với một bài tập cũ tƣơng
tự, một trƣờng hợp riêng, một bài tập tổng quát hơn hay một bài tập nào đó có liên

6

quan, sử dụng những phƣơng pháp đặc thù với từng dạng toán nhƣ chứng minh
phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích v.v,...
+ Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bƣớc thực hiện hoặc đặc biệt hóa kết
quả tìm đƣợc hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan, ...
+ Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn đƣợc cách giải hợp lí nhất.
- Bƣớc 3: Trình bày lời giải
Từ cách giải đã đƣợc phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chƣơng trình
gồm các bƣớc theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bƣớc đó.
- Bƣớc 4: Nghiên cứu sâu lời giải
+ Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.
+ Nghiên cứu giải bài tập tƣơng tự, mở rộng hay lật ngƣợc vấn đề.
Ví dụ:
Cho hình chóp S.ABCD, SA  (ABCD), ABCD là hình vuông, AE  SB, AF 
SD. Chứng minh: SC  (AEF).
Giải:
+ Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung đề bài:
Giả thiết: Cho hình chóp S.ABCD, SA  mp(ABCD), ABCD là hình vuông,
S

AE  SB, AF  SD.
Kết luận: SC  mp (AEF).
+ Bƣớc 2: Sơ đồ phân tích tìm lời giải :

F
D

SC  mp(AEF)

SC  AE

và


AE  mp(SBC)

(Giả thiết)

C

E

SC  AF

A



B

Hình 2

AF  mp(SBC)

BC  mp(SAB)


7


BC  AB

BC  SA

và


(Giả thiết)


SA  mp(ABCD)

+ Bƣớc 3: Trình bày lời giải:
( Bằng phƣơng pháp chứng minh phân tích đi lên).
Ta có :

Mà

AE

SC

(1)

Hoàn toàn tƣơng tự ta có SC  AF

(2)

Từ (1) và (2)  ta có SC  (AEF).
+ Bƣớc 4: Nghiên cứu sâu lời giải
2.1.5. Các cách khai thác bài tập toán

2.1.5.1.

Cấu tạo của một bài tập toán : gồm có ba bộ phận:

- Những cái đã cho.
- Cái phải tìm.
- Các mối quan hệ.
Sơ đồ mối tƣơng quan giữa ba bộ phận của bài tập toán và ba bộ phận của phép

2.1.5.2.

Cái đã cho

Thành phần

Cái phải tìm

Kết quả

Quan hệ

Các phƣơng pháp giải

Phép tính giải

Bài tập

tính giải

Khai thác bài tập mới trên cơ sở bài tập đã có

2.1.5.2.1. Các bài tập mới tƣơng tự với bài tập đã giải
- Sau khi học sinh giải xong mỗi bài tập, giáo viên có thể dựa vào bài tập đó mà
nghĩ ra các bài tập tƣơng tự với bài tập vừa giải. Giáo viên lập đề toán theo kiểu

8


này là một biện pháp rất tốt để học sinh nắm vững các cách giải các bài toán cùng
loại, giúp học sinh nắm rõ hơn mối quan hệ giữa các đại lƣợng và những quan hệ
bản chất trong mỗi loại toán. Nhờ thế mà học sinh hiểu bài tập này sâu sắc hơn rất
nhiều.
- Bài tập có thể đƣợc lập mới từ bài tập đã cho thông qua các cách sau:
+ Thay đổi các số liệu đã cho.
+ Thay đổi các đối tƣợng trong đề toán.
+Thay đổi các quan hệ trong đề toán.
+ Tăng hoặc giảm đối tƣợng trong đề toán.
+Thay một trong những chỗ đã cho bằng một điều kiện gián tiếp.
+ Thay đổi câu hỏi của bài tập bằng một câu hỏi khó hơn.
- Ví dụ:
A

Bài tập 31/sgk nâng cao hình học 11/trang 117:

B

Cho hình lập phƣơng ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.
Tính khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng BC’ và CD’.

D

Giải:

G

C
G’

A’

B’

Ta có CD’  (ACD’) và BC’  (A’BC’),
mà (ACD’) // (A’BC’) và CD’, BC’

D’

chéo nhau nên khoảng cách giữa hai (ACD’)

C’

Hình 3

và (A’BC’) bằng khoảng cách giữa BC’ và CD’.
Mặt khác, B’D cắt hai (ACD’) và (A’BC’) lần lƣợt tại G và G’ và
DG = GG’ = G’B’. Đƣờng thẳng B’D có hình chiếu trên (ABCD) là DB mà
AC  DB nên theo định lí ba đƣờng vuông góc thì DB’  AC; cũng tƣơng tự nhƣ
trên ta có BD’  AD’. Suy ra DB’  (ACD’).
Nhƣ vậy d(BC’, CD’) =

DB ' a 3

.
3
3

- Các bài tập mới tương tự:
+ Thay đổi số liệu đã cho:

9


Cho hình lập phƣơng ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 2a. Tính khoảng cách giữa
hai đƣờng thẳng BC’ và CD’.
( Giải tƣơng tự và ta có kết quả d(BC’, CD’) =

DB ' 2a 3

.)
3
3

+ Thay đổi các đối tượng trong đề toán:
Cho hình lập phƣơng EFGH.E’F’G’H’ có cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa hai
đƣờng thẳng FG’ và GH’.
( Giải tƣơng tự và ta thay BC’ bằng FG’ và CD’ bằng GH’ có kết quả
d(FG’, GH’) =

HF ' a 3


.)
3
3

+ Tăng (hoặc giảm) đối tượng trong đề toán:
Cho hình lập phƣơng ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a, điểm O là giao của AC và
BD,O’ là giao của A’C’ và B’D’. Tính khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng BC’ và
CD’.
( Giải giống nhƣ bài tập ban đầu và chỉ thêm điểm O và O’ vào hình vẽ ta cũng có
kết quả là d(BC’, CD’) =

DB ' a 3

.)
3
3

+ Thay một trong những chỗ đã cho bằng một điều kiện gián tiếp:
Cho hình lập phƣơng ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Tìm đƣờng vuông góc
chung của các đƣờng thẳng AC’ và CD’. Tính khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng
ấy.
Giải:
Vì các cạnh đều bằng a nên CD’  C’D.Mặt khác AD  (CDD’C’) nên
CD’  AC’ và CD’  (AC’D).

A

D

Kẻ IJ vuông góc với AC’ tại J thì IJ là

đƣờng vuông góc chung của AC’ và CD’.

B

C

Ta tính khoảng cách giữa AC’ và CD’.
Dễ thấy

I
J

IJ
IC '
C'D
Suy ra IJ  AD.

AD AC '
2 AC '

10

A’

B’

D’

C’

Mặt khác C ' D  a 2 . Vậy IJ  a 2.

a 2 a
 .
2.2a 2

+ Thay đổi câu hỏi của bài tập bằng một câu hỏi khó hơn.

Hình 4

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 2a, có đáy ABCD là hình thoi và

 '  DAA
 '  600 . Tính khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng (ABCD) và
BAD
 BAA

(A’B’C’D’).
Giải:
Từ giả thiết ta suy ra các tam giác A’AD, BAD, A’AB là các tam giác cân cùng có
góc ở đỉnh bằng 60 0 nên chúng là các tam giác đều. Nhƣ vậy:
Tứ diện A’ABD có các cạnh cùng bằng a hay A’ABD là tứ diện đều. Khi đó hình
B’

chiếu của A’ trên mp(ABCD) chính là trọng
tâm H của tam giác đều ABD.

C’

A’

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy (ABCD)

D’

và (A’B’C’D’) chính là độ dài A’H . Ta có :
B

2

a 3
a 2 2a 2
2
A ' H  AA '  AH  a  
  a  
3
3
 3 
2

Vậy A ' H 

2

2

C

H

2

D

A

a 6
.
3

Hình 5

2.1.5.2.2. Bài tập mới ngƣợc với bài tập đã giải
- Trong một bài tập nếu ta thay một trong những điều đã cho bằng đáp số của bài
tập và đặt câu hỏi vào điều đã cho ấy thì ta đƣợc một bài toán ngƣợc.
- Đây cũng là một cách hay dùng để dựa vào các bài tập cũ mà đặt ra đề bài tập mới
bằng cách đảo ngƣợc bài tập đã biết.
- Ví dụ :
Bài tập 5a/sgk nâng cao hình học 11/trang 91:
Trong không gian cho tam giác ABC.
a. Chứng minh rằng nếu điểm M thuộc mp(ABC) thì có ba số x, y, z mà








x + y + z = 1 sao cho OM  xOA  yOB  zOC với mọi điểm O.
Giải :

O

11

C
A
M






Vì AB và AC là hai vectơ không cùng phƣơng nên






điểm M thuộc (ABC) khi và chỉ khi có: AM  l AB  mAC
 



 

 

 

hay OM  OA  l OC  OA  m OC  OA



Vớí mọi điểm O tức là

 

OM  1  l  m  OA  lOB  mOC

đặt 1  l  m  x, l  y, m  z thì

Hình 6



 
OM  xOA  yOB  zOC với x + y + z = 1.

+ Bài toán ngược:
Bài tập 5b/sgk nâng cao hình học 11/trang 91:
Trong không gian cho tam giác ABC.








b. Nếu có một điểm O trong không gian sao cho OM  xOA  yOB  zOC , trong đó
x + y + z = 1 thì điểm M thuộc (ABC).
Giải:








Từ OM  xOA  yOB  zOC với x + y + z = 1 , ta có :

  
 
 
OM  1  y  z  OA  yOB  zOC hay OM  OA  y AB  z AC



 
Tức là AM  y AB  z AC mà AB và AC là hai vectơ không cùng phƣơng

nên điểm M thuộc (ABC) .
2.1.5.2.3. Khai thác bài tập hoàn toàn mới
- Trong thực tế giảng dạy có nhiều khi giáo viên phải khai thác những đề toán hoàn

toàn mới nhằm phục vụ cho những yêu cầu giảng dạy của riêng mình. Bởi vì không
phải lúc nào sách giáo khoa và sách bài tập cũng có đủ loại bài tập để đáp ứng mọi
nhu cầu trong lúc lên lớp. Thực ra giáo viên có thể tìm tấy các đề toán ấy trong các
loại sách khác song hiện nay sách tham khảo về môn Toán ở THPT có rất nhiều do
đó: việc sƣu tầm và tra cứu trong cả một “rừng sách” để tìm đƣợc một đề bài tập
đáp ứng đƣợc nhu cầu giảng dạy của riêng mình nhiều khi tốn thời gian và chƣa
chắc đã thành công.

12


Vì thế giáo viên chẳng những phải có kĩ năng khai thác đề toán mới tƣơng tự với đề
toán đã cho mà còn phải khai thác bài toán hoàn toàn mới dựa trên một số cách
thức sau:
+ Khai thác đề bài tập từ nội dung thực tế đã định trƣớc.
+ Khai thác đề bài tập từ việc ráp nối các bài tập toán đơn và các bài tập điển hình.
-

Ví dụ:

+ Khai thác đề bài tập từ nội dung thực tế đã định trƣớc
Trong thực tế muốn tìm khoảng cách từ một điểm bất kì từ sàn nhà tới mặt phẳng
trần nhà ta chỉ cần kẻ hình chiếu vuông góc của điểm đó lên trần nhà, hình chiếu
vuông góc ấy chính là khoảng cách cần tìm.
Từ nội dung thực tế này có thể ra đề bài tập nhƣ sau:
Cho hình lập phƣơng ABCD.A’B’C’D’, có AB = a, AD = b, AA’ = c.
A

Tính khoảng cách từ điểm B đến (ACC’A’).

D
H

Giải:
Kẻ BH vuông góc với AC, do BH  AA’

B

C
A’

nên d(B; (ACC’A’)) = BH. Ta có:

D’

BH . AC = BA . BC.
Hay BH =

B’

ab

C’

Hình 7

a 2  b2

+ Khai thác đề bài tập từ việc ráp nối các bài tập toán đơn và các bài tập điển hình.
Ví dụ:

Bài 1:Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, H là hình
A

chiếu vuông góc của điểm O trên (ABC).
Chứng minh rằng :BC  (OAH)
Giải:

H

Từ giả thiết : OH  (ABC)



OH  BC. (1)

C
O

OA  OB
 OA  (OBC )  OA  BC (2)
Ta có: 
OA  OC

Từ (1) và (2)



BC  (OAH)

B

13

Hình 8


Bài 2: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, H là hình
chiếu vuông góc của điểm O trên mp(ABC). Chứng minh rằng các góc của tam
giác ABC đều nhọn.
Giải:
Giả sử OA = a, OB = b, OC = c, xét tam giác ABC vuông tại O, ta có:
AB 2  OA2  OB 2  a 2  b 2 ,
BC 2  OB 2  OC 2  b 2  c 2 ,
AC 2  OA2  OC 2  a 2  c 2 .
AB 2  AC 2  BC 2 a 2  b 2  a 2  c 2  (b 2  c 2 )

 nhọn.
cos BAC 

 0  BAC
2
2
2
2
2 AB. AC
2 a b . a c

 ,
ACB đều nhọn.
Chứng minh tƣơng tự ta đƣợc các góc BCA

Vậy các góc của tam giác ABC đều nhọn.
Từ hai bài toán có cùng giả thiết ta có thể gộp thành một bài toán mới nhƣ sau :
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, H là hình chiếu
vuông góc của điểm O trên (ABC).
a. Chứng minh rằng :BC  (OAH)
b. Chứng minh rằng các góc của tam giác ABC đều nhọn.
(Cách giải tƣơng tự nhƣ trên).
2.1.5.2.4. Khai thác bài toán bằng cách khái quát hóa
- Có một hƣớng quan trọng để khai thác các bài toán mới là dựa trên một số
trƣờng hợp cụ thể, dùng phép quy nạp không hoàn toàn để nhận xét và rút ra giả
thuyết; rồi dùng phƣơng pháp thử, chọn để thử xem giả thuyết đó có đúng không?
Nếu đúng thì đề ra bài tập mới và tìm cách giải.
- Ví dụ:
Thông qua việc học sinh vận dụng những kiến thức về vectơ để chứng minh một số
tính chất hình học. Ngƣời thầy giáo cần tận dụng những cơ hội có thể để học sinh
đƣợc rèn luyện về phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, chẳng hạn khái quát hóa sự
A

kiện:
+ Ba vectơ , ,

đồng phẳng khi tồn tại bộ ba

M

14

G
B

D
N
C










số m, n ,p sao cho: x  ma  nb  pc .
+Sử dụng các quy tắc và tính chất của vectơ.
Cho tứ diện ABCD . Gọi M, N lần lƣợt là
trung điểm của AB và CD. Chứng tỏ rằng
 1   1  
MN  ( AD  BC )  ( AC  BD)
2
2

Hình 9

Giải : Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có:
   
MN  MA  AD  DN
   
MN  MB  BC  CN

 



 





1  
2

Do MA  MB  0 và DN  CN  0 nên MN  ( AD  BC )


1  
2

Tƣơng tự trên, ta có: MN  ( AC  BD) .
+ Bài toán khái quát hóa
Cho đa diện A1 A2 A3 A4 ... An . Chứng minh rằng điểm G là trọng tâm của đa diện
A1 A2 A3 A4 ... An , P là điểm bất kì khi và chỉ khi điều kiện sau xảy ra:

 1    

PG  ( PA1  PA2  PA3  PA4  ...  PAn )
n

Giải :
G

là

trọng

tâm

của

đa

diện

A1 A2 A3 A4 ... An

khi

và

chỉ

   
 
GA1  GA2  GA3  GA4  ...  GAn  0

Điều này có nghĩa là với điểm P bất kì, ta có:
       
  

PA1  PG  PA2  PG  PA3  PG  PA4  PG  ...  PAn  PG  0



1    
n



Hay PG  ( PA1  PA2  PA3  PA4  ...  PAn ) .
2.1.6. Tìm hiểu nội dung chủ đề "Quan hệ vuông góc"(Hình học 11)
2.1.6.1.

Nội dung chương trình

Chƣơng: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian
( 2 tiết )

Bài 1 Vectơ trong không gian.

15

khi


Bài 2 Hai đƣờng thẳng vuông góc.

( 2 tiết )

Bài 3 Đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng.

( 3 tiết )

Bài 4 Hai mặt phẳng vuông góc.

( 3 tiết )

Bài 5 Khoảng cách.

( 3 tiết )

2.1.6.2.

Mục đích yêu cầu của việc giảng dạy HHKG

2.1.6.2.1. Kiến thức
+ Nắm vững đƣợc khái niệm, tính chất của từng quan hệ vuông góc.
+ Nắm vững các bƣớc chứng minh một bài tập hình bằng phƣơng pháp tổng hợp
hay phân tích.
2.1.6.2.2. Kỹ năng
+ Rèn luyện kỹ năng phân tích, tổng hợp, chứng minh.
+ Rèn luyện kỹ năng vẽ hình, nhìn hình.
+ Rèn luyện kỹ năng chuyển hóa qua hệ vị trí trong không gian và trong mặt phẳng.
2.1.6.2.3. Tƣ duy
Hình học không gian mang đầy đủ tính chất của khoa học toán học, có nguồn
gốc thực tiễn, mang tính thực nghiệm cho nên việc nắm vững và sử dụng nó sẽ góp
phần bồi dƣỡng và phát triển tƣ duy lôgic và trí tƣởng tƣợng về hình học không
gian cho học sinh.
2.1.6.2.4. Tƣ tƣởng
+ Bồi dữơng thế giới quan khoa học.

+ Giúp học sinh nhìn nhận sự vật, hiện tựơng trong không gian và quan hệ của các
phần tử trong nó.
2.1.6.3.

Phương pháp giải bài toán HHKG

- Để giải bài toán HHKG thì trƣớc tiên học sinh cần nắm đƣợc các kiến thức cơ
bản và quan hệ vuông góc: Định nghĩa và các tính chất của từng quan hệ vuông góc
cụ thể, đồng thời có đầy đủ các kỹ năng: Vẽ hình và nhìn hình.
- Phân tích đề bài tìm các yếu tố đã biết và chƣa biết, tìm các thành phần chính
của bài toán.

16


- Phân tích để thấy đƣợc mối liên hệ giữa các yếu tố đã biết, chƣa biết với kiến
thức đã học.
- Sử dụng phƣơng pháp chứng minh phân tích, tổng hợp để có đƣợc một bài
chứng minh hoàn chỉnh.
2.1.7. Kiến thức cơ bản
Vectơ trong không gian

2.1.7.1.

2.1.7.1.1. Phép cộng và phép trừ vectơ trong không gian


 







+ Cho hai vectơ a, b . Trong không gian lấy một điểm A tùy ý, vẽ AB  a , BC  b .






Vectơ AC đƣợc gọi là tổng của hai vectơ a và b , đồng thời đƣợc kí hiệu:
    
AC  AB  BC  a  b

+ Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' với AB, AD, AA' là ba cạnh có
chung đỉnh A và AC' là đƣờng chéo ta có:
   
AC '  AB  AD  AA '

2.1.7.1.2. Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ
2.1.7.1.2.1.

Khái niệm về sự đồng phẳng của ba vectơ trong không gian


  

Cho ba vectơ a, b, c đều khác 0 trong không gian. Từ một điểm O bất kỳ ta vẽ

     
OA  a, OB  b, OC  c . Khi đó xảy ra hai trƣờng hợp:

+ Trƣờng hợp các đƣờng thẳng OA, OB, OC không cùng nằm trong một mặt
  

phẳng, ta nói ba vectơ a, b, c không đồng phẳng.
+ Trƣờng hợp các đƣờng thẳng OA, OB, OC cùng nằm trong một mặt phẳng, ta nói
  

ba vectơ a, b, c đồng phẳng.
2.1.7.1.2.2.

Định nghĩa

Trong không gian, ba vectơ đƣợc gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng

a

song song với một mặt phẳng.
2.1.7.1.2.3.

Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng:

A


ma

Định lý 1: Trong không gian cho

 

hai vectơ không cùng phƣơng a, b


O

  

và một vectơ c . Khi đó ba vectơ a, b, c

17


b


nb
B

C


đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số






m, n sao cho c  ma  nb . Ngoài ra cặp số m, n là duy nhất.
2.1.7.1.2.4.

Hình 7.1.4.3

Phân tích ( biểu thị ) của một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng


  

Định lý 2: Cho a, b, c là ba vectơ không đồng phẳng.Với mọi vectơ x trong








không gian ta đều tìm đƣợc một bộ ba số m, n, p sao cho : x  ma  nb  pc .
Ngoài ra bộ ba số m, n ,p là duy nhất.
   
   
       
OX  OA  OB  OC . Cụ thể OX  x, OA  a, OB  b, OC  c và OX  OA '  OB '  OC '

 


 

 

với OA '  ma, OB '  mb, OC '  mc . Khi đó: x  ma  nb  pc .
b

2.1.7.2.

a

Hai đường thẳng vuông góc

b'

2.1.7.2.1. Góc giữa hai đƣờng thẳng
Định nghĩa: Góc giữa hai đƣờng thẳng a và b

a'

Hình 7.2.1

là góc giữa hai đƣờng thẳng a' và b' cùng đi qua
một điểm và lần lƣợt song song ( hoặc trùng) với a và b.
2.1.7.2.2. Hai đƣờng thẳng vuông góc
Định nghĩa: Hai đƣờng thẳng đƣợc gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng
bằng 90o .
2.1.7.3. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

d

2.1.7.3.1. Định nghĩa đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng

P

a

Định nghĩa : Một đƣờng thẳng đƣợc gọi là

b

vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông
góc với mọi đƣờng thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
Định lí: Nếu đƣờng thẳng d vuông góc với hai

Hình 7.3.1
a

đƣờng thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong
một mặt phẳng (P) thì đƣờng thẳng d vuông
O

góc với mặt phẳng (P).

c

b

2.1.7.3.2. Các tính chất
Tính chất 1: Có duy nhất một mặt phẳng (P)
đi qua một điểm O cho trƣớc và vuông góc

18

Hình 7.3.2a

P


với một đƣờng thẳng a cho trƣớc.
Tính chất 2: Có duy nhất một đƣờng thẳng

Q

R

d
O

d đi qua một điểm O cho trƣớc và vuông góc
với một mặt phẳng (P) cho trƣớc.

a

b

P

Hình 7.3.2b
2.1.7.3.3. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đƣờng thẳng
và mặt phẳng
2.1.7.3.3.1.

Tính chất 3

a, Mặt phẳng nào vuông góc với một trong hai

b

đƣờng thẳng song song thì cũng vuông góc

P

với đƣờng thẳng còn lại.
b, Hai đƣờng thẳng phân biệt cùng vuông
góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
2.1.7.3.3.2.

Hình 7.3.3.1

Tính chất 4

a
P

a, Đƣờng thẳng nào vuông góc với một
trong hai mặt phẳng song song thì cũng
vuông góc với mặt phẳng còn lại.

Q

b, Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với

một mặt phẳng thì song song với nhau.
2.1.7.3.3.3.

Hình 7.3.3.2
a

Tính chất 5

a, Cho đƣờng thẳng a và mặt phẳng (P)
song song với nhau. Đƣờng thẳng nào
vuông góc với (P) thì cũng vuông góc với a.
b, Nếu một đƣờng thẳng và một mặt phẳng

b
P

(không chứa đƣờng thẳng đó) cùng vuông góc
với một đƣờng thẳng thì chúng song song với nhau.
2.1.7.3.4. Định lí ba đƣờng vuông góc
2.1.7.3.4.1.

Phép chiếu vuông góc

19

Hình 7.3.3.3


Định nghĩa 2: Phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phƣơng l vuông góc
với mặt phẳng (P) gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P).

2.1.7.3.4.2.

Định lí ba đƣờng vuông góc

Định lí 2: Cho đƣờng thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đƣờng thẳng
b nằm trong (P). Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc
với hình chiếu a' của a trên (P).
2.1.7.3.4.3.

Góc giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng
P

Định nghĩa 3: a,Nếu đƣờng thẳng a vuông góc
với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa
đƣờng thẳng a và mặt phẳng (P) bằng 90o .

Hình 7.3.5a
a

b, Nếu đƣờng thẳng a không vuông góc
với mặt phẳng (P) thì góc giữa đƣờng thẳng



a và mặt phẳng (P).

a'
P

Lƣu ý: Góc giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng

không vƣợt quá 90o .
2.1.7.4.

Hình 7.3.5b

Hai mặt phẳng vuông góc

a

b

2.1.7.4.1. Góc giữa hai mặt phẳng
2.1.7.4.1.1.

P

Định nghĩa 1

Góc giữa hai mặt phẳng là góc

Q

giữa hai đƣờng thẳng lần lƣợt

Hình 7.4.1.1

vuông góc với hai mặt phẳng đó.
õ

2.1.7.4.1.2.

b

Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng
a

Giả sử hai mặt phẳng () và () cắt nhau theo
giao tuyến c. Từ một điểm I bất kì trên c ta

c
I

ỏ

dựng trong () đƣờng thẳng a vuông góc với
c và dựng trong () đƣờng thẳng b vuông góc với c.

20

Hình 7.4.1.2


Ngƣời ta chứng minh đƣợc góc giữa hai mặt phẳng () và () là góc giữa hai
đƣờng thẳng a và b.
2.1.7.4.2. Diện tích hình chiếu của một đa giác
Định lí 1: Cho đa giác H nằm trong mặt phẳng () có diện tích S và H' là hình
chiếu vuông góc của h trên mặt phẳng ().

P

Khi đó diện tích S' của h' đƣợc tính theo công thức :
S' = S . cos 

a

Với  là góc giữa () và ().

2.1.7.4.3.1.

Q

c

2.1.7.4.3. Hai mặt phẳng vuông góc

H

b

Định nghĩa 2: Hai mặt gọi là vuông góc với nhau

nếu góc giữa chúng bằng 90o .Khi hai mặt phẳng

Hình 7.5.1.2

(P) và (Q) vuông góc với nhau thì ta còn nói gọn hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông
góc.
Kí hiệu : (P)  (Q) hay (Q)  (P) .
2.1.7.4.3.2.

Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

2.1.7.4.3.3.

Định lí 2: Nếu một mặt phẳng chứa một

P

đƣờng thẳng vuông góc với một đƣờng thẳng khác ,

A

thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.
2.1.7.4.3.4.

Định lí 3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q)

Q

a

vuông góc với nhau thì bất kì đƣờng thẳng a

Hình 7.5.1 .3

nào nằm trong (P), vuông góc với giao tuyến
của (P) và (Q) đều vuông góc với mặt phẳng (Q).
2.1.7.4.3.5.

R

Q
a

Hệ quả 1: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q)

vuông góc với nhau và A là một điểm nằm trong (P)
thì đƣờng thẳng a đi qua điểm A và vuông góc với
(Q) sẽ nằm trong (P).

P

Hình 7.5.1. 4
Q
a

21

A

b

P


2.1.7.4.3.6.

Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau

và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao

tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
2.1.7.4.3.7. Hệ quả 3: Qua đƣờng thẳng a không vuông
góc với mặt phẳng (P) có duy nhất một mặt phẳng (Q)

Hình 7.5.1.5

vuông góc với mặt phẳng (P).
2.1.7.4.4. Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phƣơng

22


Định nghĩa 3

Hình vẽ

Hình lăng trụ đứng:

B

Là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc

A

C
D

với mặt đáy.

E

B'
A'

C'
E'

D'

Hình lăng trụ đều:
Là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác

A2

A3
A4

A1

đều.
A6
A'2

A5
A'3

A'4

A'1
A'6

Hình hộp đứng:
Là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình
hành

Hình hộp chữ nhật:
Là hình hộp đứng có đáy là hình chữ
nhật.

Hình lập phƣơng:
Là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh
bằng

nhau.

23

A'5


2.1.7.4.5.1.

Định nghĩa 4

S

S

2.1.7.4.5. Hình chóp đều và hình chóp cụt
A

C

D

Một hình chóp đƣợc gọi là

C

H

hình chóp đều nếu đáy của nó

O

A

B

I

là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.

B

Đƣờng thẳng vuông góc với mặt

Hình 7.5.5.1

đáy kẻ từ đỉnh gọi là đƣờng cao của hình chóp.

2.1.7.4.5.2.

Định nghĩa 5: Khi cắt hình chóp đều

S

bởi một mặt phẳng song song với đáy

D’
A’

để đƣợc một hình chóp cụt thì
hình chóp cụt đó đƣợc gọi là hình chóp cụt đều.

O’

C’
B’

D

C

Đoạn nối tâm của hai đáy đƣợc gọi
O

là đƣờng cao của hình chóp cụt đều.

A

B

Hình 7.5.5.2
2.1.7.5.

Khoảng cách

2.1.7.5.1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng , đến một đƣờng thẳng
Định nghĩa 1: Khoảng cách từ điểm

M

M

M đến mặt phẳng (P) (hoặc đến
đƣờng thẳng a) là khoảng cách

H
P

giữa hai điểm M và H,

H

trong đó H là hình chiếu của M
trên mặt phẳng (P)(hoặc trên đƣờng thẳng a).

24

Hình 7.6.1

a


Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) đƣợc kí hiệu là : d(M;(P)). Khoảng
cách từ điểm M đến đƣờng thẳng a đƣợc kí hiệu là : d(M;(a)).
2.1.7.5.2. Khoảng cách giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng song song giữa hai mặt
A

phẳng song song:
2.1.7.5.2.1.

B

Định nghĩa 2: Khoảng cách giữa hai
H

đƣờng thẳng a và mặt phẳng (P) song song

K

P

với a là khoảng cách từ một điểm nào đó

Hình 7.6.2.1

của a đến mặt phẳng (P).
Kí hiệu khoảng cách giữa đƣờng thẳng a và mặt phẳng (P) song song với nó là
d(a;(P))

2.1.7.5.2.2.

B

A

Q

Định nghĩa 3: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng

song song là khoảng cách ừ một điểm bất kì của
mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

P

H

K

Kí hiệu khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
(P) và (Q) là d((P);(Q)) thì d((P);(Q)) = d(A;(Q)) = d(C;(P)),

Hình 7.6.2.2

trong đó A là một điểm nào đó thuộc (P) và C là một điểm nào đó thuộc (Q).
a

I

2.1.7.5.3. Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau

Cho hai đƣờng thẳng chéo nhau a và b, c là đƣờng
thẳng cắt cả a và b đồng thời vuông góc với cả a và b.

b

J

Thuật ngữ: Đƣờng thẳng c gọi là đƣờng vuông
góc chung của hai đƣờng thẳng chéo nhau a và b.

Hình 7.6.3a

Nếu đƣờng vuông góc chung cắt hai đƣờng thẳng chéo nhau tại I và J thì đoạn
thẳng IJ gọi là đoạn vuông góc chung của hai đƣờng thẳng đó.
Định nghĩa 4: Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông
góc chung của hai đƣờng thẳng đó.
Nhận xét:
1, Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau
Bằng khoảng cách giữa một trong hai đƣờng thẳng

I

a

P

25
J
Q

b