Phép biến đổi laplace và ứng dụng trong việc giải phương trình vi phân thường

Khóa luận tốt nghiệp

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Phép biến đổi Laplace là một trong các phép biến đổi có vai trò
quan trọng trong giải tích. Qua phép biến đổi Laplace, các phép toán giải
tích phức tạp như đạo hàm, tích phân được đơn giản hóa thành các các
phép toán đại số. Nhờ một số tính chất riêng của nó mà biến đổi Laplace
đặc biệt hữu ích trong giải các phương trình vi phân thường, phương
trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân... Phép biến đổi Laplace
biến mỗi hàm gốc theo biến thành hàm ảnh theo biến. Với phép biến đổi
này việc tìm hàm gốc thỏa mãn các biểu thức chứa đạo hàm tích phân
(nghiệm của phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương tình
đạo hàm riêng) được quy về tính toán các biểu thức đại số trên các hàm
ảnh. Khi biết hàm ảnh ta sử dụng phép biến đổi Laplace ngược để tìm
hàm gốc.
Ngoài ra, phép biến đổi Laplace còn được nghiên cứu trong vật lý
và nhiều môn học khác.
Phương trình vi phân là một trong những lĩnh vực quan trọng của
toán học. Để giải trực tiếp loại phương trình này nói chung là rất khó, do
đó người ta đã sử dụng phép biến đổi Laplace để giải loại phương trình
này. Để tiếp cận với lý thuyết này và hiểu biết phần nào về những ứng
dụng của nó, được sự định hướng của thầy hướng dẫn em chọn đề tài
"Phép biến đổi Laplace và ứng dụng trong việc giải phương trình vi
phân thường" để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp đại học chuyên ngành
Toán giải tích.

Vũ Thị Mai

1

K35D - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về phép biến đổi Laplace và ứng dụng của nó trong
việc giải phương trình vi phân trình thường.
3. Đối tượng nghiên cứu
Nghiên cứu về phép biến đổi Laplace và phương trình vi phân
thường.
Ứng dụng của biến đổi Laplace trong việc giải phương trình vi phân
thường.
4. Phương pháp nghiên cứu
Tra cứu tài liệu, tổng hợp và theo sự chỉ đạo của thầy hướng dẫn để
hoàn thành mục đích đặt ra.
5. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, phụ lục, kết luận, tài liệu tham khảo khóa luận
gồm:
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị
Chương 2. Phép biến đổi Laplace
Chương 3. Ứng dụng của phép biến đổi Laplace trong việc giải
phương trình vi phân thường.

Vũ Thị Mai

2

K35D - SP Toán

Khóa luận tốt nghiệp

CHƯƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Sơ lược về giải tích phức
1.1.1. Số phức
Định nghĩa. Một số phức là một biểu thức dạng x  iy , trong đó x
và y là những số thực và số i thỏa mãn i 2  1 . Kí hiệu số phức là z và
viết là z  x  iy .

i được gọi là đơn vị ảo, x được gọi là phần thực, y là phần ảo của
số phức z  x  iy .
Tập hợp các số phức được kí hiệu là
đồng nhất với mặt phẳng

2

. Tập hợp các số phức được

bởi phép tương ứng:
→

2

z  x  iy   x, y  

2

Một cách tự nhiên, người ta gọi Ox là trục thực, Oy là trục ảo.

Phép cộng và phép nhân các số phức được thực hiện một cách
thông thường như các phép toán trên tập hợp số thực với lưu ý rằng
i 2  1 . Ta có:

z1  z2   x1  x2   i  y1  y2 
z1z2   x1  iy1  x2  iy2   x1x2  ix1 y2  iy1x2  i 2 y1 y2

  x1x2  y1 y2   i  x1 y2  y1x2 
Với mỗi số phức ta xác định module của số phức z là

z  x2  y2

Vũ Thị Mai

3

K35D - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Số phức liên hợp của z  x  iy là x  iy và được kí hiệu là
z  x  iy  x  iy.

Không khó khăn ta có thể kiểm tra được

Re z 
và

zz

zz
; Im z 
2
2i

z 2 z z,

1
z
 2 , với z  0.
z z

Số phức khác 0 được biểu diễn dưới dạng cực z  rei với r  0 là
module,  

được gọi là argument của số phức z (argument của số

phức z được xác định một cách duy nhất với sự sai khác một bội của

2 ) và ei  cos  i sin  . Do ei  1 nên r  z và  là góc hợp bởi
chiều dương của trục Ox và nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ đi
qua điểm z .
Nếu z  rei và w  sei  thì zw  rsei (  ) .
1.1.2. Hàm số biến số phức
Cho hàm số f của một biến số phức z . Khi đó ta có thể viết dưới
dạng sau:

f  z   u  x, y   iv  x, y  , trong đó u, v là các hàm số 2 biến số thực.
Tính khả vi của hàm số biến số phức
Cho hàm số f xác định trong miền G 

và một điểm z thuộc

miền G , khi đó hàm f được gọi là khả vi tại điểm z nếu tồn tại một số
phức   z  sao cho

f  z  z   f  z     z  z  R
trong đó

(1.1)

R
 0 khi z  0 .
z

Vũ Thị Mai

4

K35D - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Khi đó,   z  gọi là đạo hàm của f tại z .
Hàm f được gọi là khả vi trong miền G nếu f khả vi tại mọi điểm
trong miền G .
Hàm giải tích
Cho hàm f xác định trong miền G và z0  , z0 

. Khi đó hàm

f được gọi là hàm giải tích tại điểm z0 nếu hàm f khả vi trong một lân
cận nào đó của điểm z0 . Điểm mà tại đó hàm f không giải tích gọi là
điểm kì dị hay f được gọi là có điểm kì dị.
Nhận xét
Hàm f  z  giải tích tại điểm z0 thì khả vi tại điểm đó. Tuy nhiên
điều ngược lại nói chung không đúng.
Trên miền G mở hàm f  z  giải tích trên G khi và chỉ khi f khả
vi trên đó.
1.1.3. Khai triển Laurent
Tại một cực điểm cấp n ta có hàm
n

 z   z  a f  z

là hàm giải tích trong miền z  a   vì vậy ta khai triển được thành
chuỗi Taylor


z 

 k  z  a 
k 0

k



k

, f  z    ai  z  a  , ai  i 1, i  1,2...
i 0

Như vậy, một khai triển được biết như là chuỗi Laurent, nó có thể là
độ phân giải đơn giản nhất của một điểm kì dị.
1.2. Một số vấn đề cơ bản của phương trình vi phân
Định nghĩa. Phương trình vi phân là một phương trình chứa hàm
cần tìm và các đạo hàm của nó. Nếu hàm cần tìm chỉ phụ thuộc vào một

Vũ Thị Mai

5

K35D - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

biến độc lập thì phương trình đó gọi là phương trình vi phân thường. Nếu
hàm cần tìm phụ thuộc hai hoặc nhiều biến độc lập thì phương trình đó
gọi là phương trình vi phân đạo hàm riêng. Trong khuôn khổ của đề tài
này, ta chỉ xét phương trình vi phân thường.
Phương trình vi phân thường có dạng tổng quát





n

F x, y, y, y,..., y   0

(1.2)

trong đó F là hàm xác định trong một miền G nào đó của không gian
n2

gồm biến độc lập x và y là hàm của biến độc lập cùng các đạo

hàm cấp một đến cấp n của nó.
Cấp của phương trình vi phân thường được xác định bởi cấp cao
nhất của đạo hàm xuất hiện trong phương trình đó.
Nếu từ phương trình (1.2) ta tìm được biểu diễn của đạo hàm cấp
cao nhất y  n  qua các biến còn lại thì ta nói phương trình giải được đối
với y  n  hoặc còn gọi là phương trình dạng chính tắc, tức là phương
trình (1.2) có dạng :



n
n 1
y    f x, y, y,..., y 



(1.3)

Nghiệm của phương trình (1.2) cũng như (1.3) là hàm y  y  x 
khả vi n lần trên khoảng  a, b  nào đó thỏa mãn các phương trình đó
với mọi x thuộc khoảng  a, b  .

Đường cong y  y  x  , x   a, b  gọi là đường cong tích phân của
phương trình đã cho.
Để giải phương trình vi phân ta cũng dùng thuật ngữ ''tích phân
phương trình vi phân''.

Vũ Thị Mai

6

K35D - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Bài toán Cauchy
Bài toán tìm nghiệm y  y  x  của phương trình (1.2) xác định trên
khoảng  a, b  nào đó thỏa mãn điều kiện :
y0  y  x0  , y0  y  x0  ,..., y0(n 1)  y ( n 1)  x0 

(1.4)

được gọi là bài toán Cauchy. Điều kiện (1.4) gọi là điều kiện ban đầu.
Vấn đề tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân
Định lý 1.1. (Tồn tại và duy nhất nghiệm)
Cho phương trình vi phân cấp n dạng chính tắc:



n
n 1

y    f x, y, y, y,..., y 



Nếu vế phải của phương trình vi phân trên là một hàm liên tục của n  1
biến trong một miền nào đó của
và các đạo hàm riêng



 n 1 chứa điểm x , y , y ,..., y  n 1
0 0 0
0



f f
f
,
,..., ( n) liên tục thì tồn tại khoảng  a, b 
y y '
y

chứa điểm x0 để trên khoảng này tồn tại và duy nhất một hàm y  y  x 
khả vi n lần trên khoảng và thỏa mãn điều kiện đầu (1.4).

Vũ Thị Mai

7

K35D - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

CHƯƠNG 2
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE

2.1. Phép biến đổi Laplace thuận
2.1.1. Hàm gốc
Định nghĩa. Hàm số biến số thực f  t  được gọi là hàm gốc nếu
thỏa mãn 3 điều kiện sau đây:

 i  f  t  liên tục từng khúc trên mọi khoảng hữu hạn của trục thực t.
 ii  f  t   0 khi t  0.
 iii  f  t  không tăng nhanh hơn hàm số mũ, nghĩa là tìm được các số
M  0 và   0 sao cho với mọi t ta đều có: f (t )  Me t .
Số  0 = inf   với tất cả các số  thỏa mãn  iii  được gọi là tỷ số
tăng của f .
Ví dụ 2.1. Chứng minh rằng hàm đơn vị sau là hàm gốc
0 khi t  0
1 khi t  0.

 t   

Giải
Điều kiện  i  và  ii  rõ ràng được thỏa mãn.
Đối với điều kiện  iii  ta có thể lấy

M  2;   0 có  (t )  2e0t  2

Vậy   t  là hàm gốc.
Ví dụ 2.2. Chứng minh rằng hàm số sau đây là hàm gốc

t 2 khi t  0
f (t )  t 2  (t )  
0 khi t  0.

Vũ Thị Mai

8

K35D - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Giải
Điều kiện  i  và  ii  rõ ràng được thỏa mãn.
Đối với điều kiện  iii  ta thấy rằng
et  1  t 

Nên khi t  0 rõ ràng et 

t2 t3
  ...
2! 3!

t2
hay t 2  2et .
2!

Từ đó suy ra với mọi t đều xảy ra đẳng thức: f (t )  t 2 (t )  2et
có nghĩa là điều kiện  iii  được thỏa mãn với M  2;   1.
Ví dụ 2.3. Hàm sau đây có phải là hàm gốc hay không

 t 2
f (t )  e  (t )  e khi t  0
0 khi t  0.
t2

Giải
Điều kiện  i  và  ii  rõ ràng được thỏa mãn. Đối với điều kiện

 iii  ta thấy rằng:
Khi t  0 thì tồn tại tại M  0 và   0 sao cho
2
2
et  Me t  et  t  M

t  0

Bất đẳng thức này sẽ không xảy ra với t khá lớn vì
lim
t 

Me t
e

t2

 

M ; 
2

Do đó điều kiện  iii  không được thỏa mãn và hàm f (t )  et  (t )
không là hàm gốc.

Vũ Thị Mai

9

K35D - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

2.1.2. Định nghĩa phép biến đổi Laplace
Cho hàm số gốc f  t  ta gọi hàm số phức F  p  của biến số phức

p    i được xác định bằng công thức sau đây:


F ( p)   f (t )e pt
0

là hàm ảnh của hàm f  t  hay là phép biến đổi Laplace của hàm f  t  .
Kí hiệu là L  f (t )  F ( p).
Chú ý.
+) Hàm ảnh F ( p) chỉ xác định trong miền Re p  s  s0 và là hàm

giải tích trong miền đó.
+) Còn có thể chứng minh được khi Re p  s   thì F ( p)  0 .
Cho nên những hàm F  p  nào đó không thỏa mãn điều kiện này sẽ
không phải là hàm ảnh của một hàm gốc nào cả, chẳng hạn  ( p)  cos p
không phải là hàm ảnh của hàm gốc nào cả vì nếu lấy p  2k thì khi

k   ta sẽ có Re p  2k   , nhưng khi đó
lim  ( p )  lim cos 2k  1  0.
p 

k 

Tương tự cũng dễ thấy các hàm sin p, e p ,

p2  1
p2

, 1  p,... không

phải là hàm ảnh của hàm gốc nào cả.
Ví dụ 2.4. Tìm biến đổi Laplace của hàm đơn vị Heaviside

t 2 khi t  0
f (t )  t 2  (t )  
0 khi t  0.

Vũ Thị Mai

10

K35D - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Giải
Biến đổi Laplace của  là:


F ( p)   e pt dt  
0

1  pt
e
p


0

với Re p  0.

Ví dụ 2.5. Tìm biến đổi Laplace của hàm số f (t )  e t .
Giải
Biến đổi Laplace của f  t  là:




 t  pt

F ( p)   e e

dt   e(  p )t dt 

0

0

1 (  p )t
e
p


0



1
1

,
  p p 

với Re(  p)  0.
Ví dụ 2.6. Tìm biến đổi Laplce của hàm số f (t )  t
Giải



Biến đổi Laplace của f  t  là:



F ( p) 



  pt

t e



dt 

0


0

e

u

u du
1

p p p 1




0

euu du 

(  1)
p 1



với ( )   eu u du.
0

Định lý 2.1. Cho f là hàm gốc có chỉ số tăng là  0 . Khi đó biến
đổi Laplace F của hàm giải tích f là hàm giải tích trong miền

Re p   0 .

Vũ Thị Mai

11

K35D - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Chứng minh
Đặt Fn là hàm định bởi
n

Fn   e pt f  t  dt ,
0

với Re p   0 , dãy  Fn n 1,2... hội tụ đều về F trên miền Re   0  2 ,
với   0 bất kì. Thật vậy, với mọi p thuộc miền Re   0  2 , ta có


Fn  p   F  p    e

 Re p t



 Re p t 0  t
f  t  dt  M  e 
e
dt

n

n


 M  e t dt 
n

M



e n .

và bất đẳng thức trên không phụ thuộc vào p trong miền Re   0  2 ,
suy ra sự hội tụ đều trong miền đó.
Ngoài ra, với mỗi n  , Fn giải tích trên miền Re p   0 . Thật
vậy, xét p cố định sao cho Re p   0 , sử dụng định lý hội tụ bị chặn của
Lesbesgue, ta có
n
 ht
Fn  p  h   Fn  p 
1
 pt e
 lim  tf  t  e
h
ht
h 0
h 0

Fn  p   lim

0

n

  tf  t  e
0

n

 pt

e ht  1
lim
   tf  t  e pt dt .
ht
h 0
0

Theo định lý Weierstrass hàm f cũng giải tích trên miền Re p   0 .
2.1.3. Các tính chất của phép biến đổi Laplace
Tính chất 2.1. Tính chất tuyến tính
Cho hàm gốc f k có các chỉ số tăng là  k , biến đổi Laplace là Fk ,

k  1,2... Khi đó biến đổi Laplace của hàm tổ hợp tuyến tính của các
hàm f k

Vũ Thị Mai

12

K35D - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp
n

f (t )   ck f k (t ) , ck là hằng số
k 1

là hàm F xác định bởi
n

F ( p)   ck Fk ( p )

(2.1)

k 1

với miền xác định Re p  max  k .
Chứng minh

 n

Từ L  f  t    L   ck f k  t   , Re p  max  k


 k 1



F  p 

e

 n

 pt
  ck f k  t   dt    e ck f k  t  dt
 k 1


0 k 1
n

 pt 

0
n



  ck



k 1

n

e pt f k  t  dt   ck Fk  p .
k 1

0

Ví dụ 2.7. Ta có biến đổi Laplace của các hàm thông dụng sau đây:
1
a) L e t  
, Re p  p     0.
  p 
1 

p
1
 1 1
b) L  cos  t   L  ei t  ei t   

 2
,

p  i  p   2
2
 2  p  i





Re p  Im  .
c) Tương tự ta có L sin  t  
d) L  cosh  t  
e) L sinh  t  

Vũ Thị Mai

p
p2   2


2

p 2


p2   2

,Re p  Im  .

, Re p  Re  .

,Re p  Re  .

13

K35D - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Tính chất 2.2. Tính chất đồng dạng
Cho hàm gốc f có chỉ số tăng là  0 , L  f   F và c  0 là hằng
số.

1  p
Khi đó L t  f (ct )  p  F   , Re p   0 .
c c

(2.2)

Chứng minh
 pu
c



1
L  f  ct     e f  ct  dt   e
c
pt

0

0

1  p
f  u  du  F   .
c c

Ví dụ 2.8.
Hàm lũy thừa f  t   t n có ảnh là F  p  

n!
p n 1

1 n!
cn
 n! n 1 ,
Vậy nên ảnh của hàm f  ct   c t là
c  p n 1
p
 
c

n n

với

Re p  0.
Tính chất 2.3. Tính chất dời (Chuyển dịch ảnh)
Cho L  f   F , f có chỉ số tăng là  0 ,  là hằng số. Khi đó:

L  e t f  t    F  p   



Re p   0  Re 

(2.3)

Chứng minh


  p t
L et f (t )    e
f  t  dt  F  p    .


0

Ví dụ 2.9. Biến đổi Laplace của một số hàm thông dụng sau đây:
p
f) L et cos  t  


 ( p   )2   2

Vũ Thị Mai

14

Re p  Im   Re .

K35D - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp


g) L et sin   

 ( p   )2   2

Re p  Im   Re .

n!
h) L e t t n  


 p   n 1

Re p  Re .

Tính chất 2.4. Tính chậm trễ của gốc
Cho L  f  t    F  p  , Re p   0 . Đặt

khi t  
0
f  t   
 f  t    khi t   .
Khi đó L  f  p    e  p F  p  , Re p   0 .

(2.4)

Chứng minh



 pt

L  f  p     e



 pt

f  t  dt   e

0

 p u
f  t   dt   f  u  e  du  e p F  p  .

0

0

Tính chất 2.5. Tính chất hàm ảnh của hàm tuần hoàn
Nếu khi t  0 hàm gốc f  t  là một hàm tuần hoàn chu kỳ T thì
hàm ảnh của nó được tính theo công thức sau:

L  f (t )  F  p  

 p

(2.5)

1  e pT

T

trong đó

  p    e pt f  t  dt.

(2.6)

0

Ví dụ 2.10. Tính L sin  t .
Giải
Hàm sin là hàm tuần hoàn chu kỳ 2 trước hết ta tính   p 
2

 p 

e
0

Vũ Thị Mai

 pt

1
sin  t dt  
p

15

2

 sin  t d  e

 pt



0

K35D - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

1

   e  pt sin  t
p







p

2

t  2

 t 0




0


e  pt cos t dt 


2

e

 pt

cos t dt.

0

Ta tính
2


0

e pt cos t dt  

1
p

2

 cos t d  e

 pt



0

1
   e pt
p



2

t  2

  t 0




0

1
   e2 p  1  
p


2


0


e pt sin  t dt 



e pt sin  t dt  .




Suy ra





1  e 2 p 
  2 p
 p   2 e
 1     p     p  
.

p 
p2   2

Theo công thức (2.5) suy ra:

1  e2 p  


L sin  t   F  p  
 2
.
2
2
2
2 p
p



p


1

e



Tương tự ta cũng tính được: L  cos  t  


2

p  2

.

Tính chất 2.6. Tính chất về đạo hàm của hàm gốc
k 1
Cho L  f   F giả sử f  k  tồn tại và là hàm gốc, f   0 tồn

 

tại với mọi k  1,2..., n thì ta có:

Vũ Thị Mai

16

K35D - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp
n 1

f 0
f  0
f   0
n 

n

L f
 p F  p 

 ... 



p
p2
pn


 

ở đây f 

k 1

 

  

(2.7)




 0   t lim0 f  k 1 t  , n  1, k  1, n.

Chứng minh


Với n  1 ta có L  f    e pt f   t  dt
0


 e

 pt

d  ft   e

 pt

f t 

0

t 
t 0



  pe pt f  t  dt
0

 

 pF  p   f 0 .
Vậy công thức đúng với n  1.
Giả sử quy nạp đúng với n  1, N , khi đó

L f 


N 1 



N
 L  f    



N 1


f  0
f  0
f    0

N

1


N

  p L  f   p  
L f

 ... 



p
p2
pN


 

và

 

  



 

L  f   pF  p   f 0
Suy ra
L f


N

f 0
f  0
f   0
 p N 1  F  p  

 ... 


p
p2
p N 1


 N 1 

 

 

   .



Theo nguyên lý quy nạp, ta suy ra định lý được chứng minh.

Vũ Thị Mai

17

K35D - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Ví dụ 2.11. Tìm nghiệm của phương trình y  2 y  y  4
thỏa mãn điều kiện y  0   1, y  0   2, y  0   2.
Giải
Đặt Y  p   L  y  t   theo tính chất đạo hàm của hàm gốc trình bày
ở trên ta có:
L  y  t    Y  p  , L  y  t    pY  p   1, L  y  t    p 2Y  p   p  2
L  y  t    p 3Y  p   p 2  2 p  2


và L  4    4e pt dt  
0

4  pt  4

e
 .
0
p
p

Thay vào phương trình đã cho ta được:

 p3  2 p2  p Y  p   4p  p 2  5
Suy ra Y  p   

p3  5 p  4
p 2  p  1

2



3 4
2
 2
p p
p 1

Vậy y  t   3  4t  3et là nghiệm cần tìm thỏa mãn điều kiện ban đầu.
Tính chất 2.7. Tính chất về đạo hàm của hàm ảnh
Cho hàm L  f   F , f có chỉ số tăng là

, ta có:

n
L[(t ) n f (t )]  F   ( p ), n  , Re p   0

(2.8)

n
n
Hay L t n f (t )    1 F    p  .



Chứng minh
n

Dễ thấy rằng hàm t   t  f  t  có cùng chỉ số tăng với f . Ta có:


F   p    e pt  t  f  t  dt
0

Vũ Thị Mai

18

K35D - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Do đó L  t  f  t   =F   p  , Re p   0 .

Bằng phép quy nạp ta suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 2.12.

L t sin  t    L  t  sin  t   

d

2 p

dp p 2   2
p2   2

L tco s  t    L  t  co s  t   

L t s h t    L  t  s h t   

L tch t    L  t  ch t   





2

.

d
p
p2   2


.
dp p 2   2
2
2 2
p 





d

2 p

dp p 2   2
p2   2





2

.

d
p
p2   2

.

dp p 2   2
2
2 2
p 





Tính chất 2.8. Tính chất tích phân của hàm gốc
t

Cho L  f   F và f liên tục khi đó ánh xạ t   f   d cũng là
0

hàm gốc (nếu như f liên tục thì ánh xạ này là nguyên hàm của f ) và

t
 F  p
L   f   d  
p
 0


(2.9)

Chứng minh
t

Đặt g  t    f   d thì g liên tục, suy ra đo được.

0

Gọi  0 là chỉ số tăng của f thì 0    1 ta có:
t

t

 t

 0 

g  t    f   d  M  e
0

Vũ Thị Mai

0

M
  
  t
d 
e 0 
 M1e 0 
0  
 0

19

K35D - SP Toán

Khóa luận tốt nghiệp

Vậy g là hàm gốc.
Đặt G  L  g  thì F  L  f   L  g    pG  p 
 G ( p) 

F  p
.
p
t

Ví dụ 2.13. Tìm hàm ảnh của hàm  sin  d .
0

Giải

L sin   





p p2   2



t



 L   sin  d  
.
2
2
 0
 p p  





Tính chất 2.9. Tính chất tích phân của hàm ảnh
Nếu L  f  t    F  p  và t 

f t 
là hàm gốc thì khi đó:
t



 f t  
L
   F  u  du
 t  p

(2.10)

tích phân lấy dọc theo đường cong nối p với  nằm trong nửa măt
phẳng hội tụ của hàm gốc

f t 
.
t

Chứng minh
Đặt g  t  

f t 
, G  L  g  theo tính chất đạo hàm của hàm ảnh
t

thì

G  p   L  t  g  t     L  f    F
Vậy G là một nguyên hàm của F . Ngoài ra g là hàm gốc hiển
nhiên, g đo được trên  0,  .
Giả sử chỉ số tăng của nó là  có

Vũ Thị Mai

20

K35D - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp







0

0

t 0

 Re z   1t
e
  Re z t
 Re z   1t

Gz   e
g  t  dt  M  e
dt  M
 Re z    1



M
Re z    1

lim G  z   0,

trong đó, Re z    1  0. Suy ra

Re z 



và

G  p   G  p   lim G  z      F  u   du
Re z 

p



 f t  
 L
     F  u   du.
t

 p
t

Ví dụ 2.14. Tìm L  Si  với Si t  
0

sinx
dx.
x

Giải


du

 sin t 
L
 2
  arctan p

 t  p u 1 2
Áp dụng tính chất tích phân hàm gốc, biến đổi Laplace của hàm Si
t

được định bởi Si t  
0

sin



d ,

L  Si  

1  sin t  1  

L
   arctan p 

p  t  p 2


Tính chất 2.10. Tính chất của tích chập
Giả sử L  f   F , L  g   G , f và g lần lượt là các hàm gốc có chỉ
số tăng là  0 và  0 liên tục trên mọi khoảng của

Vũ Thị Mai

21



. Nếu ta xem f và

K35D - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

, triệt tiêu trên  ,0  thì tích chập f  g cũng là

g xác định trên

hàm gốc có chỉ số tăng  0  max  0 , 0  và L  f  g   F .G.
Chứng minh

t ,   0 có:
t

t

 f  g  t    f  t  g  t    d   f   g  t    d

0

0
t

t

0

0

    t 
  t
  
 M  e 0 e 0  d  Me 0   e 0 0  d

 M e 0  t khi   
 1
0
0

 M 2e 0  t khi  0   0
Bất đẳng thức sau cùng có được bằng cách tính trực tiếp tích phân.
Như vậy, f  g là hàm gốc có chỉ số tăng  0  max  0 , 0 
t



L  f  g  t     e

 pt

0

 f   g  t    d dt
0





  f   d  e pt g  t    dt


0


 G  p   e pt f   d  F  p  G  p 
0

Ví dụ 2.15.
a) Tìm hàm gốc của F  p  

Vũ Thị Mai

1

 p  1
2

22

2

.

K35D - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Giải
Ta sử dụng định lí nhân Borel

1

 p  1
2

2



1

1

p2  1 p2  1

 L(sin t  sin t )

Mà ta có tích chập
t

sin t  sin t   sin  t    sin  d
0
t

t

 sin t  cos sin d  cos  sin 2  d
0

0

 1 cos 2 t 
 t sin 2t 
 sin t  
 cost  


2
2 
2 
2



Suy ra F  p  

sin t  t cos t
.
2

1

 p2  1

2

 sin t  t cos t 
 L
.
2



Vậy hàm gốc của hàm F  p  là hàm f  t  

sin t  t cos t
.
2

t

b) Tìm hàm ảnh của hàm   t     t    e d .
0

Giải
Theo định nghĩa về tích chập ta có:

t

  t     t    e d  t  e
0

Mà L  t  

Vũ Thị Mai

1
p

;
2

1
L  et  
.
  p 1

23

K35D - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

1 1
Nên theo định lí nhân Borel ta có L   t    L t  e   2


 p p 1

Vậy ảnh của hàm   t  là F  p  

1

1
.
p p 1
2

2.2. Phép biến đổi Laplace ngược
2.2.1. Định nghĩa và ví dụ
Định nghĩa. Biến đổi Laplace ngược của hàm F  p  là một hàm

f  t  liên tục trên  0,  và thỏa mãn


L  f  t    F  p    e pt f  t  dt
0

Kí hiệu biến đổi Laplace ngược là L1[f (t )]  f (t ), t  0 .
Biến đổi Laplace ngược có ý nghĩa quan trọng trong thực hành và
cũng có rất nhiều cách khác nhau để tìm chúng, ở đây ta xem xét tới các
hàm phân thức của 2 đa thức dạng F  p  

r  p
ở đó r  p  và h  p 
h p

có hệ số thực và không bằng nhau.


Khi đó lim F  p   lim
p 

e
p 

 pt

f  t  dt  0.

0

Biến đổi Laplace ngược giúp chúng ta tìm lại các hàm gốc f  t  từ
hàm ảnh F  p  .
Ví dụ 2.16. Ta có:

L  cos  t  =

L sin  t  

Vũ Thị Mai

p 
1 

cos


t

L
.
 2
2
p2   2
p




p


p2   2

 

 sin  t  L1  2
.
2
p  

24

K35D - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

L s h t  =

 
1 

s
h

t

L
.

2
2
p2   2
p  

L  ch t  =

p 
1 

ch

t

L
.


2
2
p2   2
p







p



1
Ví dụ 2.17. Tìm L1  2
.
p

2
p

5


Giải
Ta thấy

Từ

Suy ra

1
p2  2 p  5



L[et sin 2t ] 

1

 p  12  4



1
2
2  p  12  4



2
t
1



e

sin
2
t

L
2
2

 p  1  4
  p  1  4 
2

 1

 1 1 
1
2

  et sin 2t.
L1  2

L

2
  p  1  4  2
 p  2 p  5 2

2.2.2 . Các định lý
Định lý 2.2. Cho các hàm xác định liên tục trên  0,  có biến đổi
Laplace ngược hoàn toàn xác định.

Kết quả này được gọi là định lý Lerch. Nó có nghĩa là chúng ta hạn
chế việc đề cập tới các hàm liên tục trên  0,  thì biến đổi ngược
L1  F  p    f  t  ,

là xác định duy nhất.
Biến đổi Laplace ngược cũng có tính chất tuyến tính, tức là:
L1  aF  p   bG  p    af  t   bg  t 

với L1  F  p    f  t  , L1  G  p    g  t  . Điều này được suy ra từ tính
chất tuyến tính của L và đẳng thức được xác định trong miền chung của
F và G .

Vũ Thị Mai

25

K35D - SP Toán