Khai thác bài tập toán phần công thức biến đổi lượng giác

Khoá luận tốt nghiệp
Trƣờng đại học sƣ phạm hà nội 2
KHoa Toán
********

Trần thị la

khai thác bài tập toán phần công thức
biến đổi lƣợng giác

Khoá luận tốt nghiệp đại học
Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học môn Toán

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
Th.S Nguyễn Văn Hà

Hà Nội - 2010

Sv:

Trần Thị La -SP Toán 32

1


Khoá luận tốt nghiệp
LỜI CẢM ƠN
Trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận tôi đã nhận được sự
giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô giáo trong tổ phương pháp và các bạn sinh
viên trong khoa. Qua đây tôi muốn gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo
trong tổ phương pháp , đặc biệt là thầy Nguyễn Văn Hà người đã định hướng

cho tôi lựa chọn đề tài, dẫn dắt chỉ bảo tận tình chu đáo giúp tôi hoàn thành
nhanh chóng khóa luận của mình.
Xin cảm ơn tất cả các thầy cô giáo !
Sinh viên
Trần Thị La

Sv:

Trần Thị La -SP Toán 32

2


Khoá luận tốt nghiệp
MỤC LỤC
Lời cảm ơn

1

Phần 1: Mở đầu

3

Phần 2: Nội dung

5

Chương I: Cơ sở lý luận

5

1. Bài toán và lời giải bài toán.

5

2. Ý nghĩa của bài toán.

8

3. Phân loại bài toán.

12

4 Phương pháp tìm lời giải của bài toán: Dựa theo 4 bước của Polia

14

5. Các phép suy luận quy nạp trong toán học.

18

Chương II: Ứng dụng trong dạy học

21

1. Hệ thống hóa các kiến thức.

21

2. Các dạng bài tập.

22

Dạng 1: Tính giá trị của một góc bất kỳ khi biết giá trị hàm

22

lượng giác khác có liên quan đến góc đó. Tính giá trị biểu thức.
Dạng 2: Rút gọn biểu thức.

34

Dạng 3: Chứng minh đẳng thức.

44

Dạng 4: Nhận dạng tam giác.

63

Dạng 5: Phương trình lượng giác.

74

Phần 3: Kết luận.

Sv:

Trần Thị La -SP Toán 32

90

3


Khoá luận tốt nghiệp

PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình Toán ở trung học phổ thông, lượng giác là một trong
những mảng kiến thức rất cơ bản và quan trọng. Cuối chương trình Toán lớp
10 học sinh đã được học về phần lượng giác. Kiến thức cơ bản và đầu tiên học
sinh được học đó là một loạt các công thức biến đổi lượng giác như: công
thức cộng, công thức nhân đôi, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức
biến đổi tích thành tổng. Song song cùng với nó, học sinh lần lượt được làm
quen với các dạng bài tập có liên quan chẳng hạn: tính giá trị lượng giác của
một góc, chứng minh đẳng thức, nhận dạng tam giác, rút gọn biểu thức. Sang
đến lớp 11 lại có thêm phần phương trình lượng giác, việc giải phương trình
lượng giác đôi khi cũng sử dụng các công thức biến đổi lượng giác. Nhằm
củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng sử dụng các công thức biến đổi lượng
giác thầy giáo đã đặt đề tài cho tôi là “ Khai thác bài tập toán phần công
thức biến đổi lƣợng giác ’’. Nội dung chủ yếu của đề tài là việc phân chia
các dạng bài tập có liên quan đến việc sử dụng các công thức biến đổi lượng
giác sin, cosin, và đưa ra một loạt các dạng bài tập giúp củng cố khắc sâu và
rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh.
2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận về bài toán, việc phân loại bài toán và phương pháp
tìm lời giải bài toán nhằm mục đích xây dựng hệ thống bài tập đa dạng
phong phú, đáp ứng yêu cầu giảng dạy phần công thức biến đổi lượng
giác ở trường phổ thông.

- Xây dựng và khai thác hệ thống bài tập trong sách giáo khoa góp phần
nâng cao chất lượng dạy và học toán ở trường phổ thông.

Sv:

Trần Thị La -SP Toán 32

4


Khoá luận tốt nghiệp
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu 2 nội dung :
- Cơ sở lý luận về bài toán, lời giải bài toán, ý nghĩa của bài toán, phân
loại bài toán, phương pháp giải bài toán Toán học.
- Nghiên cứu các công thức biến đổi lượng giác ở lớp 10 trường phổ
thông. Phân loại các dạng toán, khai thác và xây dựng các bài tập
toán có liên quan đến các công thức lượng giác sin, cosin.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
-

Nghiên cứu lý luận chung về bài toán và lời giải bài toán, ý nghĩa

bài toán, phân loại bài toán, phương pháp tìm lời giải bài toán, các
công thức biến đổi lượng giác.
-

Quan sát điều tra thực tiễn việc giải bài tập toán phần công thức

biến đổi lượng giác.

- Tổng kết kinh nghiệm.
-

Thực nghiệm giáo dục.

5. Cấu trúc khóa luận
Phần 1: Mở đầu
Phần 2: Nội dung
Bao gồm 2 chương là:
Chương 1: Cơ sở lý luận.
Chương 2: Ứng dụng trong dạy học.
Phần 3: Kết luận.
Sv:

Trần Thị La -SP Toán 32

5


Khoá luận tốt nghiệp

PHẦN II: NỘI DUNG
CHƢƠNG I:

Cơ cở lý

luận
1. Bài toán và lời giải của bài toán
1.1. Bài toán
Theo G.POLYA: Bài toán là việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm một cách có

ý thức các phương tiện thích hợp để đạt đến một mục đích nhất định trông
thấy rõ ràng, nhưng không thể đạt được ngay.
Trên cơ sở định nghĩa khái quát của G.POLYA cho ta thấy rằng: Bài toán là
sự đòi hỏi phải đạt tới mục đích nào đó. Như vậy bài toán có thể đồng nhất
với một số quan niệm khác nhau về bài toán: đề toán, bài tập.....
1.2. Các yếu tố cơ bản của bài toán
Trong định nghĩa về bài toán ở trên ta thấy có hai yếu tố chính hợp thành
của một bài toán đó là : Sự đòi hỏi của bài toán và mục đích của bài toán .
Ví dụ: Cho 2 đường tròn (O), (O’) cắt nhau ở A và B. Một cát tuyến
thay đổi quay quanh B cắt 2 đường tròn (O), (O’) lần lượt tại M, N.
a. Chứng minh rằng trung trực của MN đi qua điểm cố định
b. Tìm tập hợp trung điểm P của MN
Trong bài toán này 2 yếu tố cơ bản hợp thành đó là:
. Sự đòi hỏi của bài toán thể hiện qua cụm từ "Chứng minh rằng", “ Tìm
tập hợp’’

Sv:

Trần Thị La -SP Toán 32

6


Khoá luận tốt nghiệp
. Mục đích của bài toán thể hiện qua: '' Trung trực của MN đi qua
điểm cố định ''; “ Tập hợp trung điểm P của MN’’
Ví dụ :
'' Chứng minh rằng phương trình bậc 3: x3 + ax2 + bx + c = 0 luôn có
nghiệm ''
. Sự đòi hỏi của bài toán thể hiện qua cụm từ " Chứng minh rằng ".

. Mục đích của bài toán thể hiện qua: '' phương trình bậc 3: x3 + ax2 +
bx + c = 0 luôn có nghiệm ''
1.3. Lời giải của bài toán
Lời giải của bài toán được hiểu là tập sắp thứ tự các thao tác cần thực hiện
để đạt tới mục đích đã đặt ra.
Như vậy ta thống nhất lời giải, bài giải, cách giải, đáp án của bài toán.
Một bài toán có thể có :
. Một lời giải.
. Không có lời giải.
. Nhiều lời giải.
Giải được một bài toán được hiểu là tìm ra và trình bày đúng ít nhất một
lời giải của bài toán trong trường hợp bài toán có lời giải, hoặc lý giải
được bài toán là không giải được trong trường hợp nó không có lời giải.
Ví dụ: Bài toán có nhiều lời giải:
'' Trong giỏ vừa thỏ vừa gà
Một trăm cái cẳng bốn ba cái đầu
Sv:

Trần Thị La -SP Toán 32

7


Khoá luận tốt nghiệp
Hỏi có mấy gà mấy thỏ ?''
Cách 1: Phương trình 1 ẩn
Gọi x là số con gà (x nguyên dương). Do đó số con thỏ là 43-x.
Ta có phương trình là: 2.x + 4.(43 - x) = 100
Giải phương trình ta được x=36
Trả lời: Số gà là 36 con, số thỏ là 7 con.

Cách 2: Hệ phương trình 2 ẩn
Gọi x là số con gà (x nguyên dương).
Gọi y là số con thỏ (y nguyên dương).
 x + y = 43
Ta có hệ phương trình : 

2x  4y = 100

Giải hệ phương trình ta được x= 36, y= 7
Trả lời: Số gà là 36 con, số thỏ là 7 con.
Cách 3: Giả thiết tạm
Giả sử 43 con vật đều là gà cả.
Vậy số chân của 43 con vật là: 2  43= 86 (chân)
Số chân hụt đi là: 100 - 86 = 14 (chân)
Số chân hụt đi so với điều kiện đã cho là do ta giả sử tất cả 43 con vật
đều là gà cả, tức là ta đã bớt đi mỗi con chó 2 chân.
Vậy số con thỏ là: 14 : 2 = 7 (con), số con gà là: 43 - 7 = 36 (con)

Sv:

Trần Thị La -SP Toán 32

8


Khoá luận tốt nghiệp
Trả lời: Số gà là 36 con, số thỏ là 7 con.
Cách 4: Giả thiết tạm
Giả sử 43 con vật đều là thỏ cả.
Vậy số chân của 43 con vật là: 4  3 = 172 (chân)

Số chân dư ra là: 172 - 100 = 72 (chân)
Số chân dư ra so với điều kiện đã cho là do ta giả sử tất cả 43 con vật
đều là thỏ cả, tức là ta đã thêm vào cho mỗi con gà 2 chân.
Vậy số con gà là: 72 : 2 = 36 (con), số con chó là: 43 - 36 = 7 (con)
Trả lời: Số gà là 36 con, số thỏ là 7 con.
Cách 5: Giả thiết tạm
Giả sử cả 43 con vật gà cũng như thỏ đều 3 chân. Do đó số chân của 43
con vật sẽ là: 3  43 = 129 (chân).
Số chân dư ra là : 129 - 100 = 29 (chân)
Số chân dư ra 29 chân là do ta giả sử gà và chó đều 3 chân, tức là ta đã
tăng lên cho mỗi con gà 1 chân và đồng thời giảm đi mỗi con thỏ 1
chân. Vậy 29 chân dư ra số con gà lớn hơn số con thỏ là 29 con. Do đó
ta có:
Số con thỏ là : (43 - 29) : 2 = 7 (con)
Số con gà là :

7 + 29 = 36 (con)

Trả lời: Số gà là 36 con, số thỏ là 7 con.
2. ý nghĩa của bài toán

Sv:

Trần Thị La -SP Toán 32

9


Khoá luận tốt nghiệp
2.1. Củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh

Trong thực tế một bài toán chứa đựng nhiều kiến thức về khái niệm toán
học và các kết luận toán học. Khi giải một bài toán đòi hỏi ta phải phân
tích dữ kiện của bài toán, huy động các kiến thức đã cho trong đề toán
và các kiến thức đã biết khác có liên quan tới bài toán, tổng hợp lại để
đề ra kiến thức mới. Và cứ như vậy các kiến thức mới tìm ra lại cùng
các kiến thức đã biết trước được phân tích, tổng hợp lại để đề ra các kiến
thức mới nữa ... Cuối cùng chúng ta đi đến được lời giải của bài toán.
Như vậy khi giải một bài toán không những chỉ các kiến thức đã có
trong bài toán mà cả một hệ thống các kiến thức liên quan tới bài toán
cũng được củng cố qua lại nhiều lần.
Ví

dụ:

Tìm

m

để

2

đồ

thị

sau

tiếp

xúc

nhau:

1
cos 2 x  cosx  1
2
y  xsinx  m
y 

Giải
2 đồ thị tiếp xúc nhau khi và chỉ khi:
1
 cos 2 x  cosx  1  xsinx  m
2

  cosxsinx  sinx  xcos x  sinx
1
 cos 2 x  cosx  1  xsinx  m
 2

cosx(x  sinx)  0

1
2
 2 cos x





Sv:

 cosx  1  xsinx  m
 cosx  0

 x  sinx  0

Trần Thị La -SP Toán 32

10


Khoá luận tốt nghiệp
 1
2
  cos x  cos x  1  x sin x  m( I )
 2
cos x  0
 
 1
2
 2 cos x  cos x  1  x sin x  m ( II )

x sin x  0


Hệ (I) tương đương với hệ :

cosx  0





1  xsinx  m



 x  2  2k
 
(k  Z)

m  1  (  2k )
2




 x  2  (2k  1)
Hoặc: 
(k  Z)

m  1 
 (2k  1)
2

Xét hàm số: f(x) = x + sinx , x  R
Ta có :

f’(x) = 1 + cosx với  x R

Khi đó phương trình: x + sinx = 0 có nghiệm duy nhất x = 0
Suy ra hệ (II) có nghiệm khi và chỉ khi m = 1



Kết luận m  1 , 1   2k , 1   (2k  1)  (k  Z)
2
2


 Thông qua cách giảI này củng cố cho học sinh các kiến thức sau:
- Phương pháp điều kiện định nghĩa tiếp xúc trong dạng bài tập tìm
điều kiện của tham số để 2 đồ thị hàm số đã cho tiếp xúc với nhau
- Cách giảI phương trinh lượng giác cơ bản cosx, sinx
- Ngoài ra thông qua đó học sinh còn liên hệ tới việc giảI bài toán
này bằng phương pháp nghiệm kép, nhưng cách này gây khó
khăn trong việc xác định m

Sv:

Trần Thị La -SP Toán 32

11


Khoá luận tốt nghiệp
(C) : y = f(x)
(D) : y = g(x)
 y  f ( x)

(C) và (D) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi 

 y  g ( x)

có nghiệm kép

2.2 Rèn luyện và phát triển tƣ duy cho học sinh
Đặc điểm nổi bật của toán học cũng như của môn toán là một khoa học
suy diễn, được xây dựng bằng phương pháp tiên đề. Do vậy nên lời giải
của bài toán là một hệ thống hữu hạn các thao tác có thứ tự chặt chẽ để
đi đến 1 mục đích rất rõ rệt. Vì vậy khi giải một bài toán nó có tác dụng
trực tiếp rèn luyện cho ta năng lực sử dụng các phép suy luận hợp lôgíc:
Suy luận có căn cứ đúng, suy luận tuân theo qui tắc suy diễn, ...
Chúng ta biết rằng không thể có 1 phương pháp chung nào để giải được
mọi bài toán. Mỗi bài toán có một hình vẻ khác nhau, muốn tìm ra được
lời giải của bài toán chúng ta phải biết phân tích: phải biết cách dự đoán
kết quả, biết cách kiểm tra dự đoán, biết cách liên hệ tới các vấn đề
tương tự gần giống nhau, biết cách suy luận tổng hợp khái quát hoá .....
Như vậy qua việc giải bài toán năng lực tư duy sáng tạo được rèn luyện
và phát triển.
2.3. Rèn luyện kĩ năng vận dụng các kiến thức toán học cho học
sinh
Một trong những yêu cầu của việc nắm vững các kiến thức của bất cứ
của bộ môn khoa học nào là hiểu, nhớ, và vận dụng các kiến thức của bộ
môn khoa học đó vào việc giải quyết các nhiệm vụ đặt ra, tức là giải
quyết được các bài toán đặt ra trong lĩnh vực khoa học đó.

Sv:

Trần Thị La -SP Toán 32

12


Khoá luận tốt nghiệp
Trong việc giảng dạy toán thì bài toán lại tham gia vào trong mọi tình
huống của quá trình dạy học môn toán.
Trong giảng dạy khái niệm toán học: Bài toán được sử dụng để tổ chức
gây tình huống để dẫn dắt cho học sinh có thể đi đến định nghĩa khái
niệm; Bài toán được sử dụng để nêu ra làm các ví dụ hoặc phản ví dụ
minh hoạ cho khái niệm; bài toán được sử dụng để luyện tập củng cố
vận dụng khái niệm.
Trong giảng dạy định lý toán học : Bài toán có thể được sử dụng để tổ
chức gây tình huống dẫn dắt học sinh phát hiện ra nội dung định lý toán
học; Bài toán có thể được sử dụng để cho học sinh tập vận dụng định lý;
Đặc biệt là việc tổ chức hướng dẫn học sinh chứng minh định lý chính là
việc tổ chức hướng dẫn học sinh tập tìm ra lời giải của một bài toán cơ
bản có nhiều ứng dụng trong một phần hay một chương nào đó của
môn học.
Trong luyện tập toán học: Bài toán là phương tiện chủ yếu trong các tiết
luyện tập toán học. Trong đó người giáo viên phải xây dựng được một
hệ thống các bài tập có liên quan chặt chẽ với nhau để nhằm giúp học
sinh củng cố các kiến thức và hình thành một số kỹ năng cơ bản nào đó.
2. 4 .Bồi dƣỡng phát triển nhân cách cho học sinh
Đặc điểm cơ bản trong tính cách của con người là mọi hoạt động đều có
mục đích rất rõ ràng. Khi giải một bài toán ta luôn có định hướng mục
đích rất rõ rệt, vì vậy việc giải bài toán sẽ góp phần tích cực vào việc rèn
luyện năng lực hoạt động của con người. Để giải một bài toán, nhất là
đối với các bài toán khó người giải phải vượt qua rất nhiều khó khăn,
phải kiên trì nhẫn lại, và nhiều khi người ta phải có quyết tâm rất lớn để

giải bài toán đó. Nói theo cách của G.POLIA là " Khát vọng và quyết
Sv:

Trần Thị La -SP Toán 32

13


Khoá luận tốt nghiệp
tâm giải được bài toán là nhân tố chủ yếu của quá trình giải mọi bài
toán". Do vậy ta thấy rằng: Hoạt động giải toán chính là nhân tố chủ yếu
của quá trình hình thành và phát triển nhân cách của con người.
3. Phân loại bài toán
Người ta phân loại các bài toán theo nhiều cách khác nhau để đạt được
mục đích nhất định, thường là để sử dụng nó một cách thuận lợi.
3.1. Phân loại theo hình thức bài toán
Người ta căn cứ vào kết luận của bài toán: Kết luận của bài toán đã cho
hay chưa để phân chia bài toán ra thành 2 loại:
- Bài toán chứng minh: Là bài toán kết luận của nó đã được đưa ra một
cách rõ ràng trong đề bài toán.
- Bài toán tìm tòi: Là bài toán trong đó kết luận của nó chưa có sẵn
trong đề bài toán.
3.2 . Phân loại theo phƣơng pháp giải bài toán
Người ta căn cứ vào phương pháp giải bài toán: Bài toán này có angôrit
giải hay chưa để chia các bài toán thành hai loại
- Bài toán có angôrit giải: Là bài toán mà phương pháp giải của nó theo
một angôrit nào đó hoặc mang tích chất angôrit nào đó.
- Bài toán không có angôrit giải: Là bài toán mà phương pháp giải của
nó không theo một angôrit nào hoặc không mang tính chất angôrit nào.
3.3. Phân loại theo nội dung bài toán

Sv:

Trần Thị La -SP Toán 32

14


Khoá luận tốt nghiệp
Người ta căn cứ vào nội dung của bài toán được phát biểu theo thuật
ngữ của một hay một vài lĩnh vực chuyên môn hẹp hơn để chia bài toán
thành các loại khác nhau như sau:
Bài toán số học
Bài toán đại số
Bài toán hình học
3.4. Phân loại theo ý nghĩa giải toán
Người ta dựa vào ý nghĩa của việc giải bài toán để phân loại bài toán:
Bài toán này nhằm củng cố trực tiếp một hay một vài kiến thức kỹ năng
nào đó, hay là bài toán nhằm phát triển tư duy. Ta có hai loại bài toán
như sau:
Bài toán củng cố kỹ năng: Là bài bài toán nhằm củng cố trực tiếp ngay
sau khi học một hoặc một vài kiến thức cũng như kỹ năng nào đó.
Bài toán phát triển tư duy: Là bài toán nhằm củng cố một hệ thống các
kiến thức cũng như kỹ năng nào đó hoặc đòi hỏi phải có một khả năng
tư duy phân tích, tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo.
4. Phƣơng pháp tìm lời giải của bài toán: Dựa theo 4 bƣớc của
G.POLIA
Bƣớc1:Tìm hiểu đề.
Trước khi giải 1 bài toán ta phải phân tích đề bài của bài toán, rồi tìm
hiểu thấu đáo nội dung của bài toán bằng những câu hỏi sau:

Những cái gì đã biết? Cái gì chưa biết của bài toán?

Sv:

Trần Thị La -SP Toán 32

15


Khoá luận tốt nghiệp
Tìm những yếu tố cố định, những yếu tố không đổi, nhữngyếu tố thay
đổi, biến thiên của bài toán.
Xác định các ẩn và các giá trị hằng của bài toán.
Dữ kiện của bài toán có đủ để xác định cái chưa biết hay không?
Bƣớc 2: Xây dựng chương trình giải.
Để tìm được lời giải cho bài toán một cách có hiệu quả thì bước xây
dựng chương trình giải là bước quyết định, đồng thời cũng là bước khó
khăn nhất. Bước này đòi hỏi chúng ta biết huy động các kiến thức đã
biết để nhận xét, so sánh, bác bỏ, từ đó mối có thể tiếp cận tới lời giải
của bài toán.
Đối với những bài toán không có angôrit giải, chúng ta sẽ phải tiến hành
xây dựng chương trình giải theo phương pháp sau:
a. Phương pháp đi xuôi:
Xuất phát từ các giả thiết của bài toán được lấy làm tiền đề. Bằng suy
luận hợp lôgic chúng ta tìm ra các hệ quả lôgic của các tiền đề đó. Tiếp
tục chọn lọc trong đó để lấy ra các hệ quả gần gũi với kết luận của bài
toán làm tiền đề mới. Lại bằng suy luận hợp lôgic chúng ta tìm ra các hệ
quả lôgic mới gần gũi hơn với kết luận.... Cứ tiếp tục quá trình ấy chúng
ta tìm ra được hệ quả lôgic trùng với kết luận của bài toán. Khi ấy ta tìm
được lời giải của bài toán.

Phương pháp này được mô tả theo sơ đồ sau:
A  B
  X
C  D

(trong đó A,C là các giả thiết còn X là kết luận).

b. Phương pháp đi ngược:
Sv:

Trần Thị La -SP Toán 32

16


Khoá luận tốt nghiệp
Đó là quá trình xuất phát từ kết luận của bài toán. Bằng suy luận hợp
lôgic chúng ta đi ngược lên để tìm các tiền đề lôgic của kết luận này.
Tiếp tục chúng ta chọn lọc trong đó để lấy ra tiền đề gần gũi với giả
thiết của bài toán để làm kết luận mới từ đó rút ra các tiền đề lôgíc mới
của các kết luận mới này ... Quá trình ấy lại được tiếp diễn ta tìm được
các tiền đề lôgic trùng với giả thiết của bài toán, ta có được lời giải của
bài toán.
Phương pháp này được mô tả theo sơ đồ sau:
C  A
X  

D  B

(trong đó A, B là giả thiết còn X là kết luận)

Chú ý: Thông thường trong nhiều trường hợp để tìm được lời giải của bài
toán ta thường kết hợp cả 2 phương pháp - đi xuôi và đi ngược.
Ví dụ: Phân tích quá trình tìm lời giải bài toán sau:
'' Chứng minh rằng nếu ABC thoả mãn điều kiện a = 2bcosC thì
ABC là tam giác cân''
Hd:
Để chứng minh một tam giác là tam giác cân ta có nhiều cách: hoặc
chứng minh 2 cạnh nào đó bằng nhau, hoặc chứng minh 2 góc nào đó
bằng nhau.
ở đây ta thấy giả thiết của bài toán cho biết đẳng thức liên hệ giữa góc
và cạnh, do đó ta có 2 hướng chứng minh đó là: chuyển về đẳng thức
liên hệ giữa góc và khi đó ta sẽ chứng minh tam giác đã cho có 2 góc
bằng nhau hoặc ta có thẻ chuyển về đẳng thức liên hệ giữa các cạnh và
khi đó ta sẽ chứng minh tam giác đã cho có 2 cạnh bằng nhau

Sv:

Trần Thị La -SP Toán 32

17


Khoá luận tốt nghiệp
Để thực hiện được công việc chuyển đổi đó ta sẽ cần sủ dụng đến 2 định
lý sin và cosin.ta có 2 cách giải:
Cách 1: Sử dụng định lý sin
Ta có: a = 2bcosC







2RsinA  4RsinBcosC
sinA  2sinBcosC
sinA  sin(B  C)  sin(B  C)
sin(B  C)  0
B  C

Vậy tam giác ABC cân tại A.
Cách 2: Sử dụng định lý cosin.
Ta có:

a  2bcosC
a 2  b2  c2
2ab
2
2
 a  a  b2  c2
 b  c
 a  2b

Vậy tam gác ABC cân tại A.
c. Phương pháp sử dụng các phép suy luận quy nạp
Trong toán học để đi tới lời giải của bài toán thì có rất nhiều phương
pháp. Tuy nhiên không phải phương pháp nào cũng có thể đi tới lời giải
của bài toán.
Có những bài toán mà ta đã sử dụng nhiều phương pháp: Phương pháp
đi xuôi, phương pháp đi ngược, thậm chí kết hợp cả hai phương pháp đó

mà vẫn chưa tìm được lời giải của bài toán đó. Lúc này ta cần chuyển
Sv:

Trần Thị La -SP Toán 32

18


Khoá luận tốt nghiệp
hướng suy nghĩ theo một hướng khác, tạm gọi là phương pháp sử dụng
các phép suy luận qui nạp, nghĩa là: Suy nghĩ đến bài toán liên quan, có
tính chất gần giống với bài toán ta cần giải - Có thể là bài toán con, bài
toán tương tự, bài toán đặc biệt, đôi khi là bài toán khái quát.
Bằng cách phân tích sử dụng lời giải của các bài toán có liên quan
với bài toán đã cho, chúng ta có nhiều cơ hội thuận lợi để tìm ra lời giải
của bài toán đã cho.
Theo G.POLIA chúng ta thường phải đặt ra các câu hỏi sau: " Anh có
biết một bài toán nào gần giống bài toán của anh không?"; " Đây là một
bài toán gần giống với bài toán của anh đã giải được rồi. Anh có thể
dùng được nó làm gì không?"; " Nếu anh không giải được bài toán đã
cho, thì trước hết hãy giải bài toán gần giống với nó.
Bƣớc 3: Thực hiện chương trình giải.
Đây là quá trình tổng hợp lại của bước xây dựng chương trình giải, ta
dùng các phép suy luận hợp lôgic xuất phát từ giả thiết của bài toán, các
mệnh đề toán học đã biết ta suy dần ra tới kết luận của bài toán.
Trong bước thực hiện chương trình giải một bài toán cần chú ý phân
biệt sự khác nhau giữa những điều đã thấy được và những điều suy ra
được - chính là điều chứng minh được.
Bƣớc 4: Nhận xét lời giải và khai thác bài toán.
Thử lại kết quả của bài toán, thử lại các lập luận trong lời giải đã tìm

được của bài toán.
Tìm các cách giải khác nếu có của bài toán.
Nghiên cứu các bài toán có liên quan.

Sv:

Trần Thị La -SP Toán 32

19


Khoá luận tốt nghiệp
5. Các phép Suy Luận Qui Nạp trong Toán Học
5.1. Suy luận
Suy luận là quá trình suy nghĩ đi từ một hay nhiều mệnh đề ta rút ra
mệnh đề mới. Mệnh đề đã có trước gọi là tiền đề, mệnh đề mới được rút
ra gọi là kết luận.
Kí hiệu: X1, X2, ... , Xn  X
Trong đó: X1, X2, ... , Xn: Là các tiền đề.

Y:Là kết luận.

Nếu X1, X2, ... , Xn là hằng đúng thì ta nói phép suy luận đó hợp lôgic.
Lúc đó ta gọi X1, X2, ... , Xn là các tiền đề lôgic, còn Y là hệ quả lôgic.
Nếu các tiền đề trong phép suy luận hợp lôgic là đúng thì ta có hệ quả
lôgic của nó là đúng.
Nếu các tiền đề trong phép suy luận hợp lôgic là sai thì hệ quả lôgic
của nó có thể đúng hoặc sai.
5.2. Suy luận quy nạp ( Suy luận nghe có lý)
Suy luận quy nạp là suy luận đi từ cái đúng riêng đến kết luận chung.

Từ cái ít tổng quát đến cái tổng quát hơn.
Đặc trưng của suy luận quy nạp là:
- Quá trình suy luận không tuân theo quy tắc suy diễn.
- Kết luận mang tính ước đoán có thể đúng có thể sai cần phải kiểm
nghiệm.
- Các phép suy luận qui nạp có nhiều ứng dụng trong giải toán, trong
việc sáng tạo toán học.

Sv:

Trần Thị La -SP Toán 32

20


Khoá luận tốt nghiệp
a. Suy luận quy nạp không hoàn toàn
Suy luận quy nạp không hoàn toàn là phép suy luận mà kết luận thuộc
tính A thuộc vào tất cả các phần tử của tập đang xét trên cơ sở biết thuộc
tính A thuộc vào một số phần tử nào đó của tập đó.
A1A2...An  A
b. Suy luận tương tự
Suy luận tương tự là suy luận mà việc rút ra kết luận về 2 đối tượng
A và B giống nhau ở các dấu hiệu nào đó trên cơ sở đã biết hai đối
tượng đó có một số dấu hiệu giống nhau từ trước.
Ví dụ:

A có các dấu hiệu a, b, c, d

B có các dấu hiệu a, b, c

 Kết luận B cũng có dấu hiệu d.
Suy luận tương tự có ứng dụng rất nhiều trong việc tìm tòi và sáng tạo
toán học, tuy nhiên cần tránh dập khuôn máy móc.
c. Suy luận khái quát hoá
Suy luận khái quát hoá là suy luận đi từ một đối tượng hay một nhóm
đối tượng sang một nhóm đối tượng rộng hơn chứa đối tượng ban đầu
bằng cách dựa vào đặc điểm đặc trưng của nhóm đối tượng xuất phát.
Ví dụ: Nếu có hai điểm A1, A2, và G là trọng tâm của hệ hai điểm thì ta
có:
GA1 + GA2 = 0
Nếu có ba điểm A1, A2, A3, G là trọng tâm hệ ba điểm ta có:
Sv:

Trần Thị La -SP Toán 32

21


Khoá luận tốt nghiệp
GA1 + GA2 + GA3 = 0
...................................

 GA = 0
n

Vậy nếu hệ n điểm Ai ,G là trọng tâm hệ n điểm thì

i

i =1

d. Suy luận đặc biệt hoá
Suy luận đặc biệt hoá là suy luận đi từ nhóm đối tượng rộng đến một
nhóm đối tượng hẹp hơn chứa trong tập hợp đối tượng ban đầu.
Trong phép suy luận đặc biệt hoá cần chú ý các trường hợp đặc biệt giới
hạn suy biến : Tiếp tuyến với đường cong là giới hạn của cát tuyến với
đường cong khi hai giao điểm của cát tuyến trùng nhau; Đoạn thẳng là
trường hợp suy biến tam giác; Điểm có thể coi là đường tròn suy biến có
bán kính bằng không.

Sv:

Trần Thị La -SP Toán 32

22


Khoá luận tốt nghiệp

CHƢƠNG II :

ỨNG DỤNG TRONG DẠY

HỌC
1. HỆ THỐNG CÁC KIẾN THỨC
* CT cộng :

sin(a ± b)  sinacosb  sinbcosa
cos(a  b)  cosacosb  sinasinb

* CT nhân đôi :
sin2a  2sinacosa
cos2a  cos 2a  sin 2a  2cos2a  1  1  2sin 2a

* CT nhân ba :
sin3a  3sina  4sin 3a
cos3a  4cos3a  3cosa

* CT hạ bậc :

sin 2a 

1  cos2a
1  cos2a
; cos 2a 
2
2

* CT chia đôi :

sina 

1 t 2
cosa

;
1 t 2
1 t 2
2t

( t  tan a )

2

* CT biến đổi tích :

cosa  cosb  2cos

ab
ab
cos
2
2

cosa  cosb   2sin

Sv:

Trần Thị La -SP Toán 32

ab
ab
sin
2
2

23


Khoá luận tốt nghiệp

sina  sinb  2sin

ab
ab
cos
2
2

sina  sinb  2cos

ab
ab
sin
2
2

* CT biến đổi tích thành tổng :
1
cos(a  b)  cos(a b) 
2
1
sinasinb 
cos(a  b)  cos(a  b) 
2
cosacosb 

sinacosb 

1
sin(a  b)  sin(a  b)

2

2. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Liên quan đến phần công thức BĐLG sin, cosin ta có thể đưa ra một
vài dạng bài tập cơ bản sau đây:
- Dạng 1: Tính giá trị lượng giác của 1 góc bất kỳ biết giá trị hàm
lượng giác khác liên quan đến góc đó, tính giá trị biểu thức
- Dạng 2: Rút gọn biểu thức.
- Dạng 3: Chứng minh đẳng thức.
- Dạng 4: Nhận dạng tam giác.
- Dạng 5: Phương trình lượng giác.
Sau đây là từng dạng cụ thể:
DẠNG 1: TÍNH GIÁ TRỊ LƢỢNG GIÁC CỦA 1 GÓC BẤT KỲ BIẾT
GIÁ TRỊ HÀM LƢỢNG GIÁC KHÁC CÓ LIÊN QUAN ĐẾN
GÓC ĐÓ. TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
Sv:

Trần Thị La -SP Toán 32

24


Khoá luận tốt nghiệp
I. BÀI TẬP CƠ BẢN.
Bài 1: (SGK ĐSNC 10 trang 213)
Sử dụng 750 = 450 + 300, hãy tính giá trị lượng giác của góc 750
Sử dụng 150 = 450 - 300, hãy tính giá trị lượng giác của góc 150
Giải
Ta có :
sin750 = sin(450 + 300) = sin45o cos30o  cos45o sin30 o 

2
( 3  1)
4

2
cos75o  cos(45o  30o )  cos45o cos30o  sin45o sin30o 
( 3  1)
4
sin75o
cos75o
0
tan75o 

2

3
 2  3;
;
cot75
=
cos75o
sin75o
Bài 2: (SGK ĐSNC 10 trang 214)
Biết sina 

1
π
a
và a   , π  , hãy tính các giá trị lượng giác của góc

3
2
2


Giải
Ta có: sina 

 cosa  

Vậy

2 2
a
1  cosa
. Mặt khác : cos 2 
3
2
2

cos

 tan

Sv:

π
1
2 2
 cosa  

. Nhưng do a   , π  nên cosa < 0
3
3
2


a

2

 cos 2

a
3 2 2

2
6

a
3 2 2
. Hoàn toàn tương tự ta có: sin 
2
6

a
 3 2 2 ;
2

Trần Thị La -SP Toán 32

cot

3 2 2
6

a
 3 2 2
2
25