Công thức biến dổi Lượng Giác docx

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1.Công thức cộng:
( )
1 .
tga tgb
tg a b
tga tgb
+
+ =
−
cos(a+b) = cosacosb - sinasinb
cos(a-b) = cosacosb +
sinasinb
sin(a+b) = sinacosb + sinbcosa
sin(a-b) = sinacosb – sinbcosa
( )
1 .
tga tgb
tg a b
tga tgb
−
− =
+
Nhớ :
cos thời cos cos, sin sin
sin thời sin cos, cos sin là cùng
tg tổng thì tổng tg ta
phép chia của một trừ thừa tg ra
Cụ thể : VT và VP ngược dấu
VT và VP cùng dấu
( )

1 .
tg tg
tg
tg tg
+
+ =
−
tg hiệu là hiệu tg ngươi
phép chia của một cộng thừa tg vô
( )
1 .
tg tg
tg
tg tg
−
− =
+
cos
cotg
tg
O
+
-1
-1
1
1
B
AA’
B’
M

P
Q
sin
K
α
N
E
F
β
Vận dụng kiến thức đã học :
( )
. . .cos ;u v u v u v=
r r r r r r
. .u p i q j= +
r r r
1i j= =
r r
( )
; 2ON OM k
α β π
= − +
uuur uuuur
j
r
i
r
0
1
x
y

1
( )
1;0i
r
( )
0;1j
r
( ; )u p q=
r
2 2
u p q= +
r
( )
;v a b=
r
. . .u v p a q b= +
r r
Xét M , N trên mp tọa độ Oxy :
x
y
( )
cos ;sinOM
β β
=
uuuur
( )
cos ;sinON
α β
=
uuur

( )
. . .cos ;OM ON OM ON OM ON=
uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
( )
cos cos sin sin 1. 1.cos 2k
α β α β α β π
+ = − +
 
 
cos cos sin sin
α β α β
+ =
2 2 2 2
cos sin . cos sin .
α α β β
+ +
( )
cos 2k
α β π
− +
( )
cos cos sin sin cos
α β α β α β
+ = −
( )
cos
α β
+ =
( )
cos

α β
− − = 
 
( )
cos cos cos sin sin
α β α β α β
+ = −
( ) ( )
cos cos sin sin
α β α β
− + −
( )
( )
( )
sin
sin cos sin cos
cos cos cos sin sin
tg
α β
α β β α
α β
α β α β α β
+
+
+ = =
+ −
sin cos sin cos
cos cos cos cos
cos cos sin sin
cos cos cos cos

α β β α
α β α β
α β α β
α β α β
+
=
−
sin sin
cos cos
sin sin
1 .
cos cos
α β
α β
α β
α β
+
=
−
1
tg tg
tg tg
α β
α β
+
=
−
( )
1
tg tg

tg
tg tg
α β
α β
α β
+
+ =
−
( ) ( )
tg tg
α β α β
− = + − = 
 
( )
( )
1
tg tg
tg tg
α β
α β
+ −
=
− −
1
tg tg
tg tg
α β
α β
−
+

Đối với cotg(α±β) vận dụng tg(α±β) vào và nhớ cotg bằng
nghịch đảo của tg
Ví dụ : Tính cos15
0
và cotg
2
15
0
0
cos15 =
( )
0 0
cos 45 30− =
0 0 0 0
cos45 cos30 sin 45 sin 30+
2 0 2 0
sin 15 1 cos 15= −
( )
2
4 2 2
6 2 8 4 2 2 2
1 1 1
4 16 4 4
− +
 
+ + +
= − = − = − =
 ÷
 ÷
 

2 0
2 2
sin 15
4
−
=
0
2 2 2 2
sin15
4 2
− −
= =
2 0
2 0
1
15 1
sin 15
cotg = −
( )
4 2 2
1 4 2 2 2 1
1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 1
4
− −
+ +
= − = − = = =
− − − − −
Giải
Ví dụ : Tính

sin
8
π
2 2
cos cos sin
4 8 8
π π π
= −
2 2
1 sin sin
8 8
π π
 
= − −
 ÷
 
2
cos 1 2sin
4 8
π π
= −
2
1 cos
2 2
4
sin
8 2 4
π
π
−

−
= =
2 2
sin
8 2
π
−
=
cos cos cos sin sin
8 8 8 8 8 8
π π π π π π
 
+ = −
 ÷
 
Giải
0
8 2
π π
 
< <
 ÷
 
2. Công thức nhân đôi :
sin2α = 2sinαcosα
cos2α = cos
2
α

– sin

2
α
= 2cos
2
α – 1
= 1 – 2sin
2
α
2
2
2
1
tg
tg
tg
α
α
α
=
−
Nhớ :
sin cặp thì cặp sin cô
cos hai lấy hiệu bình cô sin bình
thêm hai cos bình trừ duy nhất
duy nhất trừ đi hai sin bình
tg nhị là nhị tg anh
phép chia của một trừ bình tg thôi
Chứng minh : Vận dụng các công thức sin(α+β), cos(α+β)
và tg(α+β). Cụ thể :
cos 2

α
=
cos( )
α α
+ =
cos cos sin sin
α α α α
− =
2 2
cos sin
α α
−
sin 2
α
=
sin( )
α α
+ =
sin cos sin cos
α α α α
+ =
2sin cos
α α
2
2
2
1 1
tg tg tg
tg
tg tg tg

α α α
α
α α α
+
= =
− −
a. Hệ quả 1:
2
2
2
1 cos 2
cos
2
1 cos 2
sin
2
1 cos 2
1 cos2
tg
α
α
α
α
α
α
α
+
=
−
=

−
=
+
Các công thức sau đây cho
phép tính cosα, sinα và tgα
theo
, 2
2
t tg k
α
α π π
= ≠ +
2
2
2
2
2
sin
1
1
cos
1
2
1
t
t
t
t
t
tg

t
α
α
α
=
+
−
=
+
=
−
Chứng minh :
Chứng minh :
Vận dụng các công thức nhân
đôi ta được hệ qủa một.
b. Hệ quả 2:
cos bình không biết bằng chi ?
mẫu hai, tử tổng một và cos hai
Nhớ :
sin 2sin cos
2 2
α α
α
= =
2 2
2sin cos
2 2
sin cos
2 2
α α

α α
=
+
2
2 2
2 2
2sin cos
2 2
cos
2
sin cos
2 2
cos cos
2 2
α α
α
α α
α α
+
2 2
2sin cos
2 2
sin cos
2 2
α α
α α
=
+
2
2

2
sin
1
2
tg
tg
α
α
α
=
+
2
2
sin
1
t
t
α
=
+
2
2
1
2
cos
1
2
tg
tg
α

α
α
−
=
+
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
cos sin
2 2
cos sin cos sin cos cos
2 2 2 2 2 2
cos cos sin
2 2 1
cos sin cos sin
2 2 2 2
cos cos
2 2
α α
α α α α α α
α α
α
α α α α
α α
−
− −
= − = = =
+

+
2
2
1
cos
1
t
t
α
−
=
+
Ta có :
Ví dụ : Tính giá trị của biểu thức sau :
2
5 cos
2 7sin
x
M
x
−
=
+
1
2 2
x
tg =
( )
2
2

5 1 sin
4 sin
2 7sin 2 7sin
x
x
M
x x
− −
+
= =
+ +
2
2
1
2.
2 4
2
sin
1 5
1
1
2
t
x
t
= = =
+
 
+
 ÷

 
2
4
4
58
5
4
95
2 7.
5
M
 
+
 ÷
 
= =
+
Giải
Áp dụng hệ qủa 2 : đặt
1
2 2
x
t tg= =
3. Công thức biến đổi :
a. Công thức biến đổi tích các hàm số lượng giác
thành tổng :
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1

sin sin cos cos
2
1
cos cos cos cos
2
1
sin cos sin sin
2
α β α β α β
α β α β α β
α β α β α β
= − + − −
 
 
= + + − 
 
= + + −
 
 
Nhớ :
tích sin là tích nửa âm
cô đầu lấy tổng, cô sau lấy trừ
Chứng minh : Vận dụng công thức cộng rồi cộng
hoặc trừ vế theo vế.
Ví dụ : Tính
2
cos cos
5 5
M
π π

=
1 2 2
cos cos
2 5 5 5 5
M
π π π π
 
   
= + + −
 ÷  ÷
 
   
 
1 3 1 3
cos cos cos cos
2 5 5 2 5 5
M
π π π π
 
   
= + − = +
 ÷
 
 
   
 
3
2sin cos cos
1
5 5 5

2
2sin
5
M
π π π
π
 
 
+
 ÷
 
 
 
=
 
 
 
3
2sin cos 2sin cos
1
5 5 5 5
2
2sin
5
π π π π
π
 
+
 
=

 
 
 
1 4 2 2
sin sin sin
5 5 5
4sin
5
M
π π π
π
 
= − +
 ÷
 
4
sin
sin
5
5
4sin 4sin
5 5
π
π
π
π π
 
−
 ÷
 

= =
Giải
sin
1
5
4
4sin
5
M
π
π
= =
b. Công thức biến đổi tổng các hàm số lượng giác
thành tích :
cos cos 2cos cos
2 2
cos cos 2sin sin
2 2
sin sin 2sin cos
2 2
sin sin 2cos sin
2 2
α β α β
α β
α β α β
α β
α β α β
α β
α β α β
α β

+ −
+ =
+ −
− = −
+ −
+ =
+ −
− =
( )
( )
sin
cos cos
sin
cos cos
tg tg
tg tg
α β
α β
α β
α β
α β
α β
+
+ =
−
− =
Nhớ :
cos ‘+’ cos bằng 2 cos cos
cos ‘-’ cos bằng ‘-’ 2 sin sin
sin ‘+’ sin bằng 2 sin cos

sin ‘-’ sin bằng 2 cos sin
Cụ thể :
Chữ cuối lên giọng thì VT là tổng,
xuống giọng VT là hiệu
Ở VP đọc trước là tổng chia đôi,
đọc sau là hiệu chia đôi
Chứng minh :
sin(a + b) = sinacosb + sinbcosa
sin(a – b) = sinacosb – sinbcosa
sin(a + b) + sin(a – b) = 2sinacosb
{
Đặt :
α = a + b
β = a – b
2
2
a
b
α β
α β
+
=
−
=
{
{
sin sin 2sin cos
2 2 2 2 2 2
α β α β α β α β α β α β
+ − + − + −

   
+ + − =
 ÷  ÷
   
sin sin 2sin cos
2 2
α β α β
α β
+ −
+ =
Áp dụng tương tự với các hàm khác
Ví dụ : Biến đổi thành tích biểu thức sau
M = sinx – sin2x + sin3x
M = sin3x + sinx – sin2x – sin2x
3 3
2sin cos
2 2
x x x x+ −
=
Giải
2 2
2cos 2cos sin
2 2
x x x x
M x
+ −
 
=
 ÷
 

M = 2sin2xcosx – 2sinxcosx = 2cosx(sin2x – sinx)
3
4sin cos cos
2 2
x x
M x=
Ví dụ : Tính giá trị biểu thức sau
N = tg75
0
– tg15
0
Giải
( )
0 0
0
0 0 0 0
sin 75 15
sin 60
cos75 cos15 cos75 cos15
N
−
= =
Mở rộng cho các công thức sau :
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
π π
α α α α
   
+ = + = −
 ÷  ÷

   
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
π π
α α α α
   
− = − = − +
 ÷  ÷
   
i.
ii.
iii.
sin3α = 3sinα – 4sin
3
α
iv. cos3α = 4cos
3
α – 3cosα
Vận dụng công thức :
( ) ( )
1
cos cos cos cos
2
α β α β α β
= + + −
 
 
Với α = 75
0
, β = 15

0
thế vào ta được kết quả :
( ) ( )
0
0 0 0 0
sin 60
1
cos 75 15 cos 75 15
2
N =
 
+ + −
 
0
0 0
2sin 60
cos90 cos60
=
+
0
0
0
2sin 60
2 60 2 3
cos60
N tg= = =
Chứng minh :
sin3α = sin(2α + α) = sin2αcosα + sinαcos2α
= 2sinαcos
2

α + sinα(1 – 2sin
2
α)
= 2sinα(1 – sin
2
α) + sinα(1 – 2sin
2
α)
= 2sinα – 2sin
3
α + sinα – 2sin
3
α
sin3α = 3sinα – 4sin
3
α
Tương tự cho cos3α
VT =
2. 2
2
( )
sin cos
α α
+
2=
2 2
sin cos
2 2
α α
 

+
 ÷
 ÷
 
2 cos sin sin cos
4 4
VT
π π
α α
 
= +
 ÷
 
2 sin
4
π
α
 
= +
 ÷
 
2 sin sin cos cos
4 4
VT
π π
α α
 
= +
 ÷
 

2 cos
4
π
α
 
= −
 ÷
 
Tương tự cho sinα - cosα
i.
ii.
iii.
[
iv.
Bài tập củng cố :
1. Tính: A = sin10
0
sin30
0
sin50
0
sin70
0
A.cos10
0
= cos10
0
sin10
0
cos20

0
cos40
0
sin30
0
0 0 0 0
1
.cos10 sin 20 cos20 cos40
2
A =
A = sin10
0
sin30
0
sin(90
0 _
40
0
)sin(90
0
– 20
0
)
A = sin10
0
sin30
0
cos40
0
cos20

0
0 0 0
1
.cos10 sin 40 cos40
4
A =
0 0
1
.cos10 sin80
8
A =
0 0 0
1
.cos10 sin(90 80 )
8
A = −
0 0
1
.cos10 cos10
8
A =
1
8
A =
Giải :
2. Tính : B = cos20
0
+ cos40
0
+ … + cos160

0
+ cos180
0

B = (cos20
0
+ cos160
0
) + (cos40
0
+ cos140
0
) + (cos60
0
+ cos120
0
) +
(cos80
0
+ cos100
0
) + cos180
0

B = [cos20
0
+ cos(180
0
- 20

)] + [cos40
0
+ cos(180
0
- 40
0
)] + [cos60
0
+
cos(180
0
- 60
0
)] + [cos80
0
+ cos(180
0
- 80
0
)] +cos180
0

B = (cos20
0
– cos20
0
) + (cos40
0
– cos40
0

) + (cos60
0
– cos60
0
) +
(cos80
0
– cos80
0
) + cos180
0

B = cos180
0
= cos(180
0
– 0
0
) = – cos0
0
= -1
3.Ví dụ :CMR :
. .tgA tgB tgC tgAtgB tgC+ + =
Theo giả thiết, A,B,C là các góc của một tam giác, ta có:
A + B + C = π A + B = π – C
tg(A + B) = tg(π – C)
Giải :
Giải :
( )
. 1 .tgA tgB tgC tgAtgB+ = − −

. .tgA tgB tgC tgC tgAtgB+ = − +
. .tgA tgB tgC tgAtgB tgC+ + =
1 .
tgA tgB
tgC
tgAtgB
+
= −
−
(đpcm)
4.Ví dụ :CMR tam giác ABC cân tại B khi:
sin
2cos
sin
B
A
C
=
sin 2sin .cosB C A=
( ) ( )
1
2. sin sin
2
C A C A= + + −
 
 
Mà : A + B + C = π
C + A = π – B
( ) ( )
sin sin sinC A B B

π
+ = − =
( )
sin 0C A− =
µ
µ
A C=
(1)
Giải :
(1)
( )
sin sin sinB B C A= + −
Do đó :
Tam giác ABC cân tại B
Một vài cảm nghĩ:
Để việc học được dễ dàng nên phần trình bày các
công thức có bổ sung một số câu thơ.
Các thầy cô giáo hoặc các em học sinh có những câu
thơ hay về nội dung công thức trong bài xin góp ý giùm.
Mong nhận được góp ý !
Thầy Tuấn, KP5 -F. Trung Mỹ Tây – Q.12 – TPHCM , Tel : 0939.889.444